段考詳解範圍：機率與統計（離散型隨機變數、期望值與變異數、二項分布與幾何分布、古典機率與期望值、獨立事件與條件機率、數據分析）

鼓山高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

填充題 10 題（每格 5 分，共 50 分）、單選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、多重選擇題 5 題（每題 7 分，共 35 分）；滿分 100 分。原卷規定答案要化為最簡式（分母要有理化、分數要約分）。卷首印有一維數據與二維數據的參考公式，列在第 1 題前

一、填充題：每格 5 分；共 50 分。

參考公式（第 1～18 題）　(1) 一維數據

X

：

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

。算術平均數

μ_{X} = \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})

；標準差

σ_{X} = \frac{1}{n} [(x_{1} - μ_{X})^{2} + (x_{2} - μ_{X})^{2} + \dots + (x_{n} - μ_{X})^{2}]

= \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n μ_{X}^{2}]

。(2) 二維數據

(X, Y)

：

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})

。相關係數

r_{X, Y} = \frac{( x _{1} - μ _{X} ) ( y _{1} - μ _{Y} ) + ( x _{2} - μ _{X} ) ( y _{2} - μ _{Y} ) + \dots + ( x _{n} - μ _{X} ) ( y _{n} - μ _{Y} )}{n σ _{X} σ _{Y}}

；迴歸（最適）直線方程式

y - μ_{Y} = r_{X, Y} \times \frac{σ _{Y}}{σ _{X}} (x - μ_{X})

。

附表是某一學年度學科能力測驗數學科各級分人數統計表，今定義頂標、前標、均標、後標、底標分別為第

88

，

75

，

50

，

25

，

12

百分位數考生的級分。已知參與考試的總人數為

133519

人，若此次數學科前標為

a

級分，後標為

b

級分，則

(a, b) =

____。

級分 人數 級分 人數 05081015712847911296210161108655316120118522412362125965512994135427610479143157712512152815

（資料來源：大學入學考試中心）

依過去之統計資料顯示，一個

25

歲年輕人，在一年內存活的機率為

0.9995

，現有一位

25

歲的年輕人購買了一年期保險額為一百萬元的意外險，須繳保費

700

元，試問保險公司獲利的期望值為 ____ 元。

已知事件

A

，

B

互斥，它們都不發生的機率為

\frac{1}{3}

，且

P (A) = 2 P (B)

，則

P (A^{'}) =

____。

設有相異

5

個數，

a

，

40

，

25

，

35

，

60

，其平均數恰與中位數相等，則

a =

____。

若有一隨機變數

X

其機率分布表如附表，且

P (1 < X < 5) = \frac{5}{9}

，則

(α, β) =

____。

x p (x) 1 \frac{1}{9} 2 \frac{1}{6} 3 α 4 \frac{1}{3} 5 β 6 \frac{2}{9}

小傑在袋中放入

8

顆黃球與

2

顆藍球，重複進行取球後放回袋子的動作，直到取出藍球為止。假設每顆球被取出的機會均相等，停止時取球至少

3

次的機率為 ____。

一袋中有

2

白球

1

紅球，今從袋中每次取一球，看其顏色後放回。若共取球

6

次，設

X

是

6

次試驗中取出白球的次數，且

X

的期望值為

μ

，標準差為

σ

，則

P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) =

____。（已知

3 \approx 1.732

）

根據經驗，甲打靶的命中率為

\frac{1}{2}

，乙打靶的命中率為

\frac{1}{3}

。今兩人對同一靶面各射擊一發，已知兩人能擊中與否是獨立事件，則此靶面被擊中（至少中一發）的機率為 ____。

已知隨機變數

X

的期望值

E (X) = 5

，

E (X^{2}) = 42

，則

V a r (2 X - 5) =

____。

設盒中有

10

個燈泡，其中有

3

個壞的。今從盒子中任取

2

個燈泡測試，設每個燈泡被取出的機會均相等，隨機變數

X

表示取到壞燈泡的個數，則

E (X) =

____ 個。

二、單選題：每題 5 分，共 15 分。（原卷題號 1～3，本頁編為第 11～13 題）

設隨機變數

X \sim B (40, 0.5)

，利用 Excel 計算二項分布的部分機率值

P (X = k)

與

P (X \geq k)

如表：

X P (X = k) P (X \geq k) 23 0.080702 0.214795 24 0.057164 0.134094 25 0.036585 0.076930 26 0.021107 0.040345 27 0.010944 0.019239

現有一個硬幣，連續投擲此硬幣

40

次，假設在公正的情況下，設出現正面的次數超過

k

次的機率小於

0.05

，我們判定此硬幣不公平，試求

k

的最小值為多少？

(A) $23$
(B) $24$
(C) $25$
(D) $26$
(E) $27$

袋中有大小相同的藍球

3

個、紅球

2

個，從袋中隨機取出

1

個記錄顏色後再放回袋中，連取

10

次中有

x

次取到紅球。將

x = 0

，

1

，

2

，……，

10

所對應的發生機率

y_{i}

，

i = 0

，

1

，

2

，……，

10

繪出長條圖，下列選項中的圖形，何者最可能是繪出的長條圖？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

已知某工廠生產的產品中，不良品的機率為

0.2

。今隨機抽樣

23

件產品，隨機變數

X

為不良品的件數，若

P (X = k)

表示不良品為

k

件的機率，試問下列哪一個機率最大？

(A) $P (X = 4)$
(B) $P (X = 4.6)$
(C) $P (X = 5)$
(D) $P (X = 6)$
(E) $P (X = 7)$

三、多重選擇題：至少有一個選項是正確的；每題 7 分，共 35 分；答錯 1 個選項得 4 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯 3 個（含）選項以上或未作答得 0 分。（原卷題號 1～5，本頁編為第 14～18 題）

選擇題為避免猜答而採倒扣記分，其扣分的標準是以猜答得分的期望值為

0

來計算。今有一題有五個選項的選擇題，則下列哪些正確？

(A) 若此題為單選題，小明五個選項完全用猜的，則猜對的機率為 $\frac{1}{5}$
(B) 若此題為至少有一個答案的多重選擇題，小明五個選項完全用猜的，則猜對的機率為 $\frac{1}{32}$
(C) 若單選題每題 $5$ 分，則答錯就需倒扣 $1$ 分
(D) 若至少有一個答案的多重選擇題每題 $10$ 分，答錯 $1$ 個選項得 $7$ 分，答錯 $2$ 個選項得 $4$ 分，答錯 $3$ 個選項（含）以上得 $0$ 分，已知五個選項中有兩個選項不正確，則剩下 $3$ 個選項全猜對的機率為 $\frac{1}{8}$
(E) 承 (D) 選項所述，此多重選擇題得分的期望值為 $5$ 分。

已知某人每次飛鏢射中的機率皆為

\frac{1}{2}

，且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從下列選項中，選出發生機率為

\frac{1}{2}

的事件。

(A) 連續射 $2$ 次飛鏢，恰射中 $1$ 次
(B) 連續射 $4$ 次飛鏢，恰射中 $2$ 次
(C) 連續射 $4$ 次飛鏢，射中的總次數為奇數
(D) 連續射 $6$ 次飛鏢，在第 $1$ 次沒有射中的條件下，第 $2$ 次有射中
(E) 連續射 $6$ 次飛鏢，在前 $2$ 次恰射中 $1$ 次的條件下，後 $4$ 次恰射中 $2$ 次。

若有

10

筆資料

(x_{i}, y_{i})

，已知平均數

μ_{x} = 5

且

μ_{y} = 3

，

x

與

y

的相關係數

r = 1

，若

y

對

x

的最適直線

L

會通過點

(0, 2)

，請選出下列正確的選項。

(A) $x$ 的變異數大於 $y$ 的變異數
(B) 標準差 $σ_{y} = 4$
(C) $L$ 的斜率為 $1$
(D) $L$ 會通過點 $(10, 6)$
(E) $y_{i} = \frac{1}{5} x_{i} + 2$ ， $i = 1$ ， $2$ ，……， $10$ 。

投擲

3

顆公正的骰子一次，若恰有一顆骰子出現

6

點時，則得

216

元，恰有兩顆骰子出現

6

點時，則得

432

元，三顆骰子均出現

6

點時，則得

648

元，則下列選項哪些正確？

(A) 恰有一顆骰子出現 $6$ 點的機率為 $\frac{75}{216}$
(B) 恰有兩顆骰子出現 $6$ 點的機率為 $\frac{25}{216}$
(C) 三顆骰子均不為 $6$ 點的機率為 $\frac{125}{216}$
(D) 投擲一次得錢的期望值為 $108$ 元
(E) 若投擲骰子之前須先繳交 $120$ 元，則此遊戲對玩家不利。

袋中有

4

個紅球、

5

個白球，假設每球被選取的機率均等。今自袋中隨機取球，則下列選項哪些正確？

(A) 一次取 $2$ 球，恰有 $1$ 紅球 $1$ 白球的機率為 $\frac{5}{9}$
(B) 一次取 $1$ 球，取後放回，共取 $2$ 次，則恰為 $1$ 紅球 $1$ 白球的機率為 $\frac{20}{81}$
(C) 一次取 $1$ 球，取後不放回，共取 $2$ 次，則恰為 $1$ 紅球 $1$ 白球的機率為 $\frac{5}{9}$
(D) 一次取 $1$ 球，取後不放回，直到所有的球皆取完，則第二次取到白球的機率為 $\frac{5}{9}$
(E) 白球先取完的機率為 $\frac{5}{9}$ 。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

(10, 4)

第 2 題

200

第 3 題

\frac{5}{9}

第 4 題

15

第 5 題

(\frac{1}{18}, \frac{1}{9})

第 6 題

\frac{16}{25}

第 7 題

\frac{592}{729}

第 8 題

\frac{2}{3}

第 9 題

68

第 10 題

\frac{3}{5}

第 11 題(C)

第 12 題(B)

第 13 題(A)

第 14 題(A)

第 15 題(A)(C)(D)

第 16 題(A)(E)

第 17 題(A)(C)(D)(E)

第 18 題(A)(C)(D)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01數據分析：百分位數、平均數與中位數

第 1 題把級分由小排到大。前標是第

75

百分位數：

133519 \times 0.75 = 100139.25

不是整數，取第

100140

位考生。累計人數到

9

級分為

98978

、到

10

級分為

107633

，所以第

100140

位是

10

級分，

a = 10

。後標是第

25

百分位數：

133519 \times 0.25 = 33379.75

，取第

33380

位；累計到

3

級分為

29178

、到

4

級分為

41540

，所以

b = 4

。故

(a, b) = (10, 4)

。

第 4 題平均數為

\frac{a + 160}{5}

。其餘四數由小到大是

25, 35, 40, 60

，依

a

的位置討論中位數：若

a < 35

，中位數是

35

，由

\frac{a + 160}{5} = 35

得

a = 15

，符合

a < 35

。若

35 < a < 40

，中位數是

a

，由

a + 160 = 5 a

得

a = 40

，不在此範圍。若

a > 40

，中位數是

40

，得

a = 40

，與五數相異矛盾。故

a = 15

。

找第 k 百分位數先算人數乘以百分之 k：不是整數就進位取那一位，再用累計人數找出他落在哪一級。

02期望值、互斥事件與獨立事件

第 2 題保險公司先收

700

元；這位年輕人一年內死亡的機率是

1 - 0.9995 = 0.0005

，此時要理賠

1000000

元。獲利的期望值為

700 - 1000000 \times 0.0005 = 700 - 500 = 200

元。

第 3 題都不發生的機率為

\frac{1}{3}

，所以

P (A \cup B) = \frac{2}{3}

。

A

、

B

互斥，故

P (A \cup B) = P (A) + P (B) = 3 P (B) = \frac{2}{3}

，得

P (B) = \frac{2}{9}

、

P (A) = \frac{4}{9}

，因此

P (A^{'}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

。

第 8 題靶面沒被擊中表示兩人都沒中。兩人獨立，都沒中的機率為

(1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}

，所以至少中一發的機率為

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

。

03離散型隨機變數：機率分布、期望值與變異數

第 5 題

P (1 < X < 5) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = \frac{1}{6} + α + \frac{1}{3} = \frac{5}{9}

，得

α = \frac{5}{9} - \frac{1}{2} = \frac{1}{18}

。全部機率的和為

1

：

\frac{1}{9} + \frac{5}{9} + β + \frac{2}{9} = 1

，得

β = \frac{1}{9}

。故

(α, β) = (\frac{1}{18}, \frac{1}{9})

。

第 9 題

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 42 - 25 = 17

。加減常數不改變變異數，乘以

2

則變異數變為

2^{2}

倍，所以

V a r (2 X - 5) = 4 \times 17 = 68

。

第 10 題

P (X = 1) = \frac{C _{1}^{3} C _{1}^{7}}{C _{2}^{10}} = \frac{21}{45}

，

P (X = 2) = \frac{C _{2}^{3}}{C _{2}^{10}} = \frac{3}{45}

。所以

E (X) = 1 \times \frac{21}{45} + 2 \times \frac{3}{45} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}

（個）。

一次變換 aX＋b 的變異數只看 a：變成 a 的平方倍，b 不影響。

04重複試驗：幾何分布與二項分布

第 6 題每次取到藍球的機率是

\frac{2}{10} = \frac{1}{5}

，且每次取後放回，各次互相獨立。「至少取

3

次才停」就是前

2

次都取到黃球，機率為

(\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}

。

第 7 題每次取到白球的機率是

\frac{2}{3}

，所以

X \sim B (6, \frac{2}{3})

，

μ = 6 \times \frac{2}{3} = 4

，

σ = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3} \approx 1.155

。範圍

μ - σ \leq X \leq μ + σ

約為

2.845 \leq X \leq 5.155

，即

X = 3, 4, 5

。所求為

C_{3}^{6} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{3} + C_{4}^{6} (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3})^{2} + C_{5}^{6} (\frac{2}{3})^{5} (\frac{1}{3}) = \frac{160 + 240 + 192}{729} = \frac{592}{729}

。

05二項分布：尾端機率、圖形與機率最大的次數

第 11 題正面次數超過

k

次就是

X \geq k + 1

，要

P (X \geq k + 1) < 0.05

。查表：

P (X \geq 25) = 0.076930 > 0.05

，

P (X \geq 26) = 0.040345 < 0.05

，所以

k + 1 \geq 26

，即

k \geq 25

，

k

的最小值為

25

，選 (C)。

本題依字面把「超過

k

次」解為

X > k

；若讀成「

k

次以上（含

k

次）」則會得到

26

。原卷來源沒有附答案，此處照題幹文字作答。

第 12 題每次取到紅球的機率是

\frac{2}{5}

，取到紅球的次數服從

B (10, \frac{2}{5})

，期望值為

10 \times \frac{2}{5} = 4

，長條圖的最高處應在

4

附近。實際算：

P (3) = C_{3}^{10} (0.4)^{3} (0.6)^{7} \approx 0.215

，

P (4) \approx 0.251

，

P (5) \approx 0.201

，

P (2) \approx 0.121

，

P (6) \approx 0.111

，最高在

x = 4

，且

x = 3

比

x = 5

略高、右邊的尾巴比較長。五張圖中只有圖 (B) 的最高處在

4

，選 (B)。

第 13 題

X \sim B (23, 0.2)

，

X

只能取整數，所以

P (X = 4.6) = 0

。比較相鄰兩項：

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{23 - k}{k + 1} \times \frac{0.2}{0.8} = \frac{23 - k}{4 ( k + 1 )}

。此比值大於

1

的條件是

23 - k > 4 k + 4

，即

k < 3.8

。所以

P (0) < P (1) < \dots < P (4)

，而從

k = 4

起

P (4) > P (5) > P (6) > \dots

，機率最大的是

P (X = 4)

，選 (A)。

二項分布要找機率最大的次數，就比較相鄰兩項的比值何時由大於 1 變成小於 1；期望值 4.6 本身不是 X 會出現的值。

06猜答的機率與倒扣

第 14 題(A) 單選題的答案是五個選項之一，猜對的機率為

\frac{1}{5}

，正確。(B) 至少有一個答案時，五個選項不能全不選，可能的答案組合有

2^{5} - 1 = 31

種，猜對的機率為

\frac{1}{31}

，不是

\frac{1}{32}

，錯誤。(C) 設答錯倒扣

x

分，期望值

5 \times \frac{1}{5} - x \times \frac{4}{5} = 0

，得

x = \frac{5}{4}

，不是

1

分，錯誤。(D) 已知兩個選項不正確後，剩下

3

個選項至少有一個正確，可能的組合有

2^{3} - 1 = 7

種，全猜對的機率為

\frac{1}{7}

，不是

\frac{1}{8}

，錯誤。(E) 承 (D)，在

7

種組合中任猜一種：若正確選項恰有

3

個，答錯

0, 1, 2

個選項的猜法各有

1, 3, 3

種，期望值為

\frac{10 + 7 \times 3 + 4 \times 3}{7} = \frac{43}{7}

分；若恰有

2

個，答錯

0, 1, 2, 3

個選項的猜法各有

1, 3, 2, 1

種，期望值為

\frac{10 + 21 + 8}{7} = \frac{39}{7}

分；若恰有

1

個，各有

1, 2, 3, 1

種，期望值為

\frac{10 + 14 + 12}{7} = \frac{36}{7}

分。三種情形都不是

5

分，錯誤。故選 (A)。

(B)(D) 的「完全用猜」有另一種讀法：每個選項各自以

\frac{1}{2}

的機率獨立猜「選或不選」。照這個讀法，(B) 猜對的機率為

(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}

、(D) 為

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

，兩者都成立，答案變成 (A)(B)(D)；(E) 的期望值則是

10 \times \frac{1}{8} + 7 \times \frac{3}{8} + 4 \times \frac{3}{8} = \frac{43}{8}

分，仍不是

5

分。原卷來源沒有附答案，本站依題幹強調的「至少有一個答案」採第一種讀法。

07獨立重複試驗與條件機率

第 15 題(A)

C_{1}^{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

，正確。(B)

C_{2}^{4} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

，錯誤。(C) 射中

1

次或

3

次：

\frac{C _{1}^{4} + C _{3}^{4}}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

，正確。(D) 各次互相獨立，第

1

次的結果不影響第

2

次，機率仍為

\frac{1}{2}

，正確。(E) 後

4

次與前

2

次獨立，機率就是

4

次恰中

2

次的

\frac{3}{8}

，錯誤。故選 (A)(C)(D)。

各次獨立時，以前幾次的結果為條件，不會改變後面幾次的機率。

08相關係數與最適直線

第 16 題最適直線必過

(μ_{x}, μ_{y}) = (5, 3)

，又過

(0, 2)

，所以斜率為

\frac{3 - 2}{5 - 0} = \frac{1}{5}

，

L

：

y = \frac{1}{5} x + 2

。由參考公式，斜率

= r \times \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{1}{5}

，即

σ_{x} = 5 σ_{y}

。(A)

σ_{x} = 5 σ_{y} > σ_{y}

（相關係數存在，故

σ_{y} > 0

），

x

的變異數是

y

的

25

倍，正確。(B) 只知道

σ_{x} = 5 σ_{y}

，

σ_{y}

的值無法確定，錯誤。(C) 斜率是

\frac{1}{5}

，錯誤。(D)

x = 10

時

y = \frac{10}{5} + 2 = 4 \neq = 6

，錯誤。(E)

r = 1

表示

10

個點全部落在同一條斜率為正的直線上，這條直線就是最適直線

L

，所以每一筆都滿足

y_{i} = \frac{1}{5} x_{i} + 2

，正確。故選 (A)(E)。

最適直線一定通過兩個平均數所成的點，斜率是相關係數乘以兩個標準差的比。

09古典機率：骰子與取球

第 17 題(A)

C_{1}^{3} \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^{2} = \frac{75}{216}

，正確。(B)

C_{2}^{3} \times (\frac{1}{6})^{2} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216}

，不是

\frac{25}{216}

，錯誤。(C)

(\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}

，正確。(D) 期望值

= 216 \times \frac{75}{216} + 432 \times \frac{15}{216} + 648 \times \frac{1}{216} = 75 + 30 + 3 = 108

元，正確。(E) 先繳

120

元，平均只拿回

108

元，每玩一次平均損失

12

元，對玩家不利，正確。故選 (A)(C)(D)(E)。

第 18 題(A)

\frac{C _{1}^{4} C _{1}^{5}}{C _{2}^{9}} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}

，正確。(B) 放回時兩次獨立，「先紅後白」與「先白後紅」合計

2 \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{40}{81}

，不是

\frac{20}{81}

，錯誤。(C) 不放回：

\frac{4}{9} \times \frac{5}{8} + \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}

，正確（與一次取

2

球相同）。(D) 第二次取到白球的機率為

\frac{4}{9} \times \frac{5}{8} + \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}

，與第一次相同，正確。(E) 白球先取完，表示最後取出的那一顆是紅球；最後一顆是紅球的機率為

\frac{4}{9}

，不是

\frac{5}{9}

，錯誤。故選 (A)(C)(D)。

不放回地一顆一顆取，每一次取到白球的機率都和第一次相同；「哪一色先取完」看最後一顆是什麼顏色。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

鼓山高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

鼓山高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要先算出期望值 4 與標準差約 1.155，才知道範圍內只有 3、4、5 三個整數；第 11 題的「超過 k 次」是 k 加 1 次以上，查表要看下一格；第 14 題多重選擇題至少有一個答案，可能的組合要扣掉全不選那一種；第 18 題白球先取完等於最後一顆是紅球，機率是九分之四。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自鼓山高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：機率與統計（離散型隨機變數、期望值與變異數、二項分布與幾何分布、古典機率與期望值、獨立事件與條件機率、數據分析）

鼓山高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、填充題：每格 5 分；共 50 分。

參考公式（第 1～18 題）　(1) 一維數據

X

：

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

。算術平均數

μ_{X} = \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})

；標準差

σ_{X} = \frac{1}{n} [(x_{1} - μ_{X})^{2} + (x_{2} - μ_{X})^{2} + \dots + (x_{n} - μ_{X})^{2}]

= \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n μ_{X}^{2}]

。(2) 二維數據

(X, Y)

：

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})

。相關係數

r_{X, Y} = \frac{( x _{1} - μ _{X} ) ( y _{1} - μ _{Y} ) + ( x _{2} - μ _{X} ) ( y _{2} - μ _{Y} ) + \dots + ( x _{n} - μ _{X} ) ( y _{n} - μ _{Y} )}{n σ _{X} σ _{Y}}

；迴歸（最適）直線方程式

y - μ_{Y} = r_{X, Y} \times \frac{σ _{Y}}{σ _{X}} (x - μ_{X})

。

附表是某一學年度學科能力測驗數學科各級分人數統計表，今定義頂標、前標、均標、後標、底標分別為第

88

，

75

，

50

，

25

，

12

百分位數考生的級分。已知參與考試的總人數為

133519

人，若此次數學科前標為

a

級分，後標為

b

級分，則

(a, b) =

____。

級分 人數 級分 人數 05081015712847911296210161108655316120118522412362125965512994135427610479143157712512152815

（資料來源：大學入學考試中心）

依過去之統計資料顯示，一個

25

歲年輕人，在一年內存活的機率為

0.9995

，現有一位

25

歲的年輕人購買了一年期保險額為一百萬元的意外險，須繳保費

700

元，試問保險公司獲利的期望值為 ____ 元。

已知事件

A

，

B

互斥，它們都不發生的機率為

\frac{1}{3}

，且

P (A) = 2 P (B)

，則

P (A^{'}) =

____。

設有相異

5

個數，

a

，

40

，

25

，

35

，

60

，其平均數恰與中位數相等，則

a =

____。

若有一隨機變數

X

其機率分布表如附表，且

P (1 < X < 5) = \frac{5}{9}

，則

(α, β) =

____。

x p (x) 1 \frac{1}{9} 2 \frac{1}{6} 3 α 4 \frac{1}{3} 5 β 6 \frac{2}{9}

小傑在袋中放入

8

顆黃球與

2

顆藍球，重複進行取球後放回袋子的動作，直到取出藍球為止。假設每顆球被取出的機會均相等，停止時取球至少

3

次的機率為 ____。

一袋中有

2

白球

1

紅球，今從袋中每次取一球，看其顏色後放回。若共取球

6

次，設

X

是

6

次試驗中取出白球的次數，且

X

的期望值為

μ

，標準差為

σ

，則

P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) =

____。（已知

3 \approx 1.732

）

根據經驗，甲打靶的命中率為

\frac{1}{2}

，乙打靶的命中率為

\frac{1}{3}

。今兩人對同一靶面各射擊一發，已知兩人能擊中與否是獨立事件，則此靶面被擊中（至少中一發）的機率為 ____。

已知隨機變數

X

的期望值

E (X) = 5

，

E (X^{2}) = 42

，則

V a r (2 X - 5) =

____。

設盒中有

10

個燈泡，其中有

3

個壞的。今從盒子中任取

2

個燈泡測試，設每個燈泡被取出的機會均相等，隨機變數

X

表示取到壞燈泡的個數，則

E (X) =

____ 個。

二、單選題：每題 5 分，共 15 分。（原卷題號 1～3，本頁編為第 11～13 題）

設隨機變數

X \sim B (40, 0.5)

，利用 Excel 計算二項分布的部分機率值

P (X = k)

與

P (X \geq k)

如表：

X P (X = k) P (X \geq k) 23 0.080702 0.214795 24 0.057164 0.134094 25 0.036585 0.076930 26 0.021107 0.040345 27 0.010944 0.019239

現有一個硬幣，連續投擲此硬幣

40

次，假設在公正的情況下，設出現正面的次數超過

k

次的機率小於

0.05

，我們判定此硬幣不公平，試求

k

的最小值為多少？

(A) $23$
(B) $24$
(C) $25$
(D) $26$
(E) $27$

袋中有大小相同的藍球

3

個、紅球

2

個，從袋中隨機取出

1

個記錄顏色後再放回袋中，連取

10

次中有

x

次取到紅球。將

x = 0

，

1

，

2

，……，

10

所對應的發生機率

y_{i}

，

i = 0

，

1

，

2

，……，

10

繪出長條圖，下列選項中的圖形，何者最可能是繪出的長條圖？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

已知某工廠生產的產品中，不良品的機率為

0.2

。今隨機抽樣

23

件產品，隨機變數

X

為不良品的件數，若

P (X = k)

表示不良品為

k

件的機率，試問下列哪一個機率最大？

(A) $P (X = 4)$
(B) $P (X = 4.6)$
(C) $P (X = 5)$
(D) $P (X = 6)$
(E) $P (X = 7)$

選擇題為避免猜答而採倒扣記分，其扣分的標準是以猜答得分的期望值為

0

來計算。今有一題有五個選項的選擇題，則下列哪些正確？

(A) 若此題為單選題，小明五個選項完全用猜的，則猜對的機率為 $\frac{1}{5}$
(B) 若此題為至少有一個答案的多重選擇題，小明五個選項完全用猜的，則猜對的機率為 $\frac{1}{32}$
(C) 若單選題每題 $5$ 分，則答錯就需倒扣 $1$ 分
(D) 若至少有一個答案的多重選擇題每題 $10$ 分，答錯 $1$ 個選項得 $7$ 分，答錯 $2$ 個選項得 $4$ 分，答錯 $3$ 個選項（含）以上得 $0$ 分，已知五個選項中有兩個選項不正確，則剩下 $3$ 個選項全猜對的機率為 $\frac{1}{8}$
(E) 承 (D) 選項所述，此多重選擇題得分的期望值為 $5$ 分。

已知某人每次飛鏢射中的機率皆為

\frac{1}{2}

，且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從下列選項中，選出發生機率為

\frac{1}{2}

的事件。

(A) 連續射 $2$ 次飛鏢，恰射中 $1$ 次
(B) 連續射 $4$ 次飛鏢，恰射中 $2$ 次
(C) 連續射 $4$ 次飛鏢，射中的總次數為奇數
(D) 連續射 $6$ 次飛鏢，在第 $1$ 次沒有射中的條件下，第 $2$ 次有射中
(E) 連續射 $6$ 次飛鏢，在前 $2$ 次恰射中 $1$ 次的條件下，後 $4$ 次恰射中 $2$ 次。

若有

10

筆資料

(x_{i}, y_{i})

，已知平均數

μ_{x} = 5

且

μ_{y} = 3

，

x

與

y

的相關係數

r = 1

，若

y

對

x

的最適直線

L

會通過點

(0, 2)

，請選出下列正確的選項。

(A) $x$ 的變異數大於 $y$ 的變異數
(B) 標準差 $σ_{y} = 4$
(C) $L$ 的斜率為 $1$
(D) $L$ 會通過點 $(10, 6)$
(E) $y_{i} = \frac{1}{5} x_{i} + 2$ ， $i = 1$ ， $2$ ，……， $10$ 。

投擲

3

顆公正的骰子一次，若恰有一顆骰子出現

6

點時，則得

216

元，恰有兩顆骰子出現

6

點時，則得

432

元，三顆骰子均出現

6

點時，則得

648

元，則下列選項哪些正確？

(A) 恰有一顆骰子出現 $6$ 點的機率為 $\frac{75}{216}$
(B) 恰有兩顆骰子出現 $6$ 點的機率為 $\frac{25}{216}$
(C) 三顆骰子均不為 $6$ 點的機率為 $\frac{125}{216}$
(D) 投擲一次得錢的期望值為 $108$ 元
(E) 若投擲骰子之前須先繳交 $120$ 元，則此遊戲對玩家不利。

袋中有

4

個紅球、

5

個白球，假設每球被選取的機率均等。今自袋中隨機取球，則下列選項哪些正確？

(A) 一次取 $2$ 球，恰有 $1$ 紅球 $1$ 白球的機率為 $\frac{5}{9}$
(B) 一次取 $1$ 球，取後放回，共取 $2$ 次，則恰為 $1$ 紅球 $1$ 白球的機率為 $\frac{20}{81}$
(C) 一次取 $1$ 球，取後不放回，共取 $2$ 次，則恰為 $1$ 紅球 $1$ 白球的機率為 $\frac{5}{9}$
(D) 一次取 $1$ 球，取後不放回，直到所有的球皆取完，則第二次取到白球的機率為 $\frac{5}{9}$
(E) 白球先取完的機率為 $\frac{5}{9}$ 。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

(10, 4)

第 2 題

200

第 3 題

\frac{5}{9}

第 4 題

15

第 5 題

(\frac{1}{18}, \frac{1}{9})

第 6 題

\frac{16}{25}

第 7 題

\frac{592}{729}

第 8 題

\frac{2}{3}

第 9 題

68

第 10 題

\frac{3}{5}

第 11 題(C)

第 12 題(B)

第 13 題(A)

第 14 題(A)

第 15 題(A)(C)(D)

第 16 題(A)(E)

第 17 題(A)(C)(D)(E)

第 18 題(A)(C)(D)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01數據分析：百分位數、平均數與中位數

第 1 題把級分由小排到大。前標是第

75

百分位數：

133519 \times 0.75 = 100139.25

不是整數，取第

100140

位考生。累計人數到

9

級分為

98978

、到

10

級分為

107633

，所以第

100140

位是

10

級分，

a = 10

。後標是第

25

百分位數：

133519 \times 0.25 = 33379.75

，取第

33380

位；累計到

3

級分為

29178

、到

4

級分為

41540

，所以

b = 4

。故

(a, b) = (10, 4)

。

第 4 題平均數為

\frac{a + 160}{5}

。其餘四數由小到大是

25, 35, 40, 60

，依

a

的位置討論中位數：若

a < 35

，中位數是

35

，由

\frac{a + 160}{5} = 35

得

a = 15

，符合

a < 35

。若

35 < a < 40

，中位數是

a

，由

a + 160 = 5 a

得

a = 40

，不在此範圍。若

a > 40

，中位數是

40

，得

a = 40

，與五數相異矛盾。故

a = 15

。

找第 k 百分位數先算人數乘以百分之 k：不是整數就進位取那一位，再用累計人數找出他落在哪一級。

02期望值、互斥事件與獨立事件

第 2 題保險公司先收

700

元；這位年輕人一年內死亡的機率是

1 - 0.9995 = 0.0005

，此時要理賠

1000000

元。獲利的期望值為

700 - 1000000 \times 0.0005 = 700 - 500 = 200

元。

第 3 題都不發生的機率為

\frac{1}{3}

，所以

P (A \cup B) = \frac{2}{3}

。

A

、

B

互斥，故

P (A \cup B) = P (A) + P (B) = 3 P (B) = \frac{2}{3}

，得

P (B) = \frac{2}{9}

、

P (A) = \frac{4}{9}

，因此

P (A^{'}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

。

第 8 題靶面沒被擊中表示兩人都沒中。兩人獨立，都沒中的機率為

(1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}

，所以至少中一發的機率為

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

。

03離散型隨機變數：機率分布、期望值與變異數

第 5 題

P (1 < X < 5) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = \frac{1}{6} + α + \frac{1}{3} = \frac{5}{9}

，得

α = \frac{5}{9} - \frac{1}{2} = \frac{1}{18}

。全部機率的和為

1

：

\frac{1}{9} + \frac{5}{9} + β + \frac{2}{9} = 1

，得

β = \frac{1}{9}

。故

(α, β) = (\frac{1}{18}, \frac{1}{9})

。

第 9 題

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 42 - 25 = 17

。加減常數不改變變異數，乘以

2

則變異數變為

2^{2}

倍，所以

V a r (2 X - 5) = 4 \times 17 = 68

。

第 10 題

P (X = 1) = \frac{C _{1}^{3} C _{1}^{7}}{C _{2}^{10}} = \frac{21}{45}

，

P (X = 2) = \frac{C _{2}^{3}}{C _{2}^{10}} = \frac{3}{45}

。所以

E (X) = 1 \times \frac{21}{45} + 2 \times \frac{3}{45} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}

（個）。

一次變換 aX＋b 的變異數只看 a：變成 a 的平方倍，b 不影響。

04重複試驗：幾何分布與二項分布

第 6 題每次取到藍球的機率是

\frac{2}{10} = \frac{1}{5}

，且每次取後放回，各次互相獨立。「至少取

3

次才停」就是前

2

次都取到黃球，機率為

(\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}

。

第 7 題每次取到白球的機率是

\frac{2}{3}

，所以

X \sim B (6, \frac{2}{3})

，

μ = 6 \times \frac{2}{3} = 4

，

σ = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3} \approx 1.155

。範圍

μ - σ \leq X \leq μ + σ

約為

2.845 \leq X \leq 5.155

，即

X = 3, 4, 5

。所求為

C_{3}^{6} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{3} + C_{4}^{6} (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3})^{2} + C_{5}^{6} (\frac{2}{3})^{5} (\frac{1}{3}) = \frac{160 + 240 + 192}{729} = \frac{592}{729}

。

05二項分布：尾端機率、圖形與機率最大的次數

第 11 題正面次數超過

k

次就是

X \geq k + 1

，要

P (X \geq k + 1) < 0.05

。查表：

P (X \geq 25) = 0.076930 > 0.05

，

P (X \geq 26) = 0.040345 < 0.05

，所以

k + 1 \geq 26

，即

k \geq 25

，

k

的最小值為

25

，選 (C)。

本題依字面把「超過

k

次」解為

X > k

；若讀成「

k

次以上（含

k

次）」則會得到

26

。原卷來源沒有附答案，此處照題幹文字作答。

第 12 題每次取到紅球的機率是

\frac{2}{5}

，取到紅球的次數服從

B (10, \frac{2}{5})

，期望值為

10 \times \frac{2}{5} = 4

，長條圖的最高處應在

4

附近。實際算：

P (3) = C_{3}^{10} (0.4)^{3} (0.6)^{7} \approx 0.215

，

P (4) \approx 0.251

，

P (5) \approx 0.201

，

P (2) \approx 0.121

，

P (6) \approx 0.111

，最高在

x = 4

，且

x = 3

比

x = 5

略高、右邊的尾巴比較長。五張圖中只有圖 (B) 的最高處在

4

，選 (B)。

第 13 題

X \sim B (23, 0.2)

，

X

只能取整數，所以

P (X = 4.6) = 0

。比較相鄰兩項：

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{23 - k}{k + 1} \times \frac{0.2}{0.8} = \frac{23 - k}{4 ( k + 1 )}

。此比值大於

1

的條件是

23 - k > 4 k + 4

，即

k < 3.8

。所以

P (0) < P (1) < \dots < P (4)

，而從

k = 4

起

P (4) > P (5) > P (6) > \dots

，機率最大的是

P (X = 4)

，選 (A)。

二項分布要找機率最大的次數，就比較相鄰兩項的比值何時由大於 1 變成小於 1；期望值 4.6 本身不是 X 會出現的值。

06猜答的機率與倒扣

第 14 題(A) 單選題的答案是五個選項之一，猜對的機率為

\frac{1}{5}

，正確。(B) 至少有一個答案時，五個選項不能全不選，可能的答案組合有

2^{5} - 1 = 31

種，猜對的機率為

\frac{1}{31}

，不是

\frac{1}{32}

，錯誤。(C) 設答錯倒扣

x

分，期望值

5 \times \frac{1}{5} - x \times \frac{4}{5} = 0

，得

x = \frac{5}{4}

，不是

1

分，錯誤。(D) 已知兩個選項不正確後，剩下

3

個選項至少有一個正確，可能的組合有

2^{3} - 1 = 7

種，全猜對的機率為

\frac{1}{7}

，不是

\frac{1}{8}

，錯誤。(E) 承 (D)，在

7

種組合中任猜一種：若正確選項恰有

3

個，答錯

0, 1, 2

個選項的猜法各有

1, 3, 3

種，期望值為

\frac{10 + 7 \times 3 + 4 \times 3}{7} = \frac{43}{7}

分；若恰有

2

個，答錯

0, 1, 2, 3

個選項的猜法各有

1, 3, 2, 1

種，期望值為

\frac{10 + 21 + 8}{7} = \frac{39}{7}

分；若恰有

1

個，各有

1, 2, 3, 1

種，期望值為

\frac{10 + 14 + 12}{7} = \frac{36}{7}

分。三種情形都不是

5

分，錯誤。故選 (A)。

(B)(D) 的「完全用猜」有另一種讀法：每個選項各自以

\frac{1}{2}

的機率獨立猜「選或不選」。照這個讀法，(B) 猜對的機率為

(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}

、(D) 為

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

，兩者都成立，答案變成 (A)(B)(D)；(E) 的期望值則是

10 \times \frac{1}{8} + 7 \times \frac{3}{8} + 4 \times \frac{3}{8} = \frac{43}{8}

分，仍不是

5

分。原卷來源沒有附答案，本站依題幹強調的「至少有一個答案」採第一種讀法。

07獨立重複試驗與條件機率

第 15 題(A)

C_{1}^{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

，正確。(B)

C_{2}^{4} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

，錯誤。(C) 射中

1

次或

3

次：

\frac{C _{1}^{4} + C _{3}^{4}}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

，正確。(D) 各次互相獨立，第

1

次的結果不影響第

2

次，機率仍為

\frac{1}{2}

，正確。(E) 後

4

次與前

2

次獨立，機率就是

4

次恰中

2

次的

\frac{3}{8}

，錯誤。故選 (A)(C)(D)。

各次獨立時，以前幾次的結果為條件，不會改變後面幾次的機率。

08相關係數與最適直線

第 16 題最適直線必過

(μ_{x}, μ_{y}) = (5, 3)

，又過

(0, 2)

，所以斜率為

\frac{3 - 2}{5 - 0} = \frac{1}{5}

，

L

：

y = \frac{1}{5} x + 2

。由參考公式，斜率

= r \times \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{1}{5}

，即

σ_{x} = 5 σ_{y}

。(A)

σ_{x} = 5 σ_{y} > σ_{y}

（相關係數存在，故

σ_{y} > 0

），

x

的變異數是

y

的

25

倍，正確。(B) 只知道

σ_{x} = 5 σ_{y}

，

σ_{y}

的值無法確定，錯誤。(C) 斜率是

\frac{1}{5}

，錯誤。(D)

x = 10

時

y = \frac{10}{5} + 2 = 4 \neq = 6

，錯誤。(E)

r = 1

表示

10

個點全部落在同一條斜率為正的直線上，這條直線就是最適直線

L

，所以每一筆都滿足

y_{i} = \frac{1}{5} x_{i} + 2

，正確。故選 (A)(E)。

最適直線一定通過兩個平均數所成的點，斜率是相關係數乘以兩個標準差的比。

09古典機率：骰子與取球

第 17 題(A)

C_{1}^{3} \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^{2} = \frac{75}{216}

，正確。(B)

C_{2}^{3} \times (\frac{1}{6})^{2} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216}

，不是

\frac{25}{216}

，錯誤。(C)

(\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}

，正確。(D) 期望值

= 216 \times \frac{75}{216} + 432 \times \frac{15}{216} + 648 \times \frac{1}{216} = 75 + 30 + 3 = 108

元，正確。(E) 先繳

120

元，平均只拿回

108

元，每玩一次平均損失

12

元，對玩家不利，正確。故選 (A)(C)(D)(E)。

第 18 題(A)

\frac{C _{1}^{4} C _{1}^{5}}{C _{2}^{9}} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}

，正確。(B) 放回時兩次獨立，「先紅後白」與「先白後紅」合計

2 \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{40}{81}

，不是

\frac{20}{81}

，錯誤。(C) 不放回：

\frac{4}{9} \times \frac{5}{8} + \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}

，正確（與一次取

2

球相同）。(D) 第二次取到白球的機率為

\frac{4}{9} \times \frac{5}{8} + \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}

，與第一次相同，正確。(E) 白球先取完，表示最後取出的那一顆是紅球；最後一顆是紅球的機率為

\frac{4}{9}

，不是

\frac{5}{9}

，錯誤。故選 (A)(C)(D)。

不放回地一顆一顆取，每一次取到白球的機率都和第一次相同；「哪一色先取完」看最後一顆是什麼顏色。

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04重複試驗：幾何分布與二項分布

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