段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數與反函數、函數的極限與連續、導數與導函數、切線、一次估計）

溪湖高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 溪湖高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 溪湖高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 7 題：選項 (A) 的負一的 n 次方沒有括號，每一項都是負一，是收斂的常數數列，而無窮等比級數求和前要先檢查公比。填充第 8 題（本頁第 20 題）：點 P 不在圖形上，要先設切點，不能直接把 P 的橫坐標代進導函數。填充第 5 題（本頁第 17 題）：去絕對值前要先判斷裡面的正負。填充第 9 題（本頁第 21 題）：著地時的速度帶負號，表示方向向下。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單選題 8 題（32 分）、填充題 11 題共 16 格（68 分）

一、單選題（32%）

已知函數

f (x) = 2 x - 3

，若

f (x)

與

g (x)

互為反函數，則

g (x)

為下列何者？

(A) $g (x) = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
(B) $g (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{3}$
(C) $g (x) = - 2 x + 3$
(D) $g (x) = - 3 x + 2$
(E) $g (x) = \frac{1}{2 x - 3}$

已知函數

f (x)

的圖形如圖，選出正確的選項。

(A) $x \to 0 lim f (x) = f (0)$
(B) $x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{-} lim f (x)$
(C) $x \to 1 lim f (x) = f (1)$
(D) $x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{-} lim f (x)$
(E) $f (1) = f (3)$

載入中...

下列哪一個函數是奇函數？

(A) 函數 $f_{1} (x) = 5 x^{2} + 3$
(B) 函數 $f_{4} (x) = sin x$
(C) 函數 $f_{3} (x) = 3 x + 5$
(D) 函數 $f_{2} (x) = ∣ x ∣$
(E) 函數 $f_{5} (x) = [x]$

已知兩多項式函數

f (x)

與

g (x)

滿足

x \to 1 lim f (x) = 2

，

x \to 1 lim g (x) = 3

，下列哪一個選項的極限值不為

5

？

(A) $x \to 1 lim (f (x) + g (x))$
(B) $x \to 1 lim (4 f (x) - g (x))$
(C) $x \to 1 lim (f (x) g (x) - x)$
(D) $x \to 1 lim \frac{5 f ( x )}{x - 2}$
(E) $f (1) + g (1)$

已知無窮數列

⟨ (x^{2} + x - 1)^{n} ⟩

為收斂數列，試選出下列滿足條件的

x

值？

(A) $- \frac{4}{3}$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) $\frac{3}{2}$
(E) $2$

已知

x \neq = 0

，不等式

- 1 \leq sin \frac{1}{x ^{2}} \leq 1

恆成立，求

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x ^{2}}

的值。

(A) $1$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) $2$
(E) 不存在

下列各敘述何者正確？

(A) 無窮數列 $⟨ - 1^{n} ⟩$ 為發散數列
(B) 無窮等比級數 $1 - \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \dots = \frac{2}{5}$
(C) $2. \overline{9} < 3$
(D) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，則無窮數列 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 亦為發散數列
(E) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 均為發散數列，則無窮數列 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 可能為收斂數列

函數

f (x) = 2^{- x^{2} - 2 x + 8}

的值域為

(A) ${y \in R ∣ y \leq 8}$
(B) ${y \in R ∣ 1 \leq y \leq 8}$
(C) ${y \in R ∣ 0 \leq y \leq 8}$
(D) ${y \in R ∣ 0 \leq y \leq 3}$
(E) ${y \in R \frac{1}{8} \leq y \leq 2}$

二、填充題（68%）（本頁第 9～24 題依序為原卷填充題的 1(1)、1(2)、1(3)、2(1)、2(2)、3、4(1)、4(2)、5、6、7、8、9、10(1)、10(2)、11）

填充第 1 題（第 9～11 題）　求下列各極限。（若為無極限請寫「不存在」）

(1)

n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} =

____。

(2)

n \to \infty lim (\frac{1 - n ^{2}}{2 n + 1}) =

____。

(3)

x \to - 2 lim \frac{2 x ^{2} + x - 6}{x + 2} =

____。

填充第 2 題（第 12～13 題）　求下列導數的值：

(1) 設

f (x) = x^{3} - x^{2} + 3

，求

f^{''} (2) =

____。

(2) 設

f (x) = (2 x - 1)^{10}

，求

f^{'} (1) =

____。

若極限

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - x + a}{x - 3}

存在，求此極限為 ____。

填充第 4 題（第 15～16 題）　試求下列各值。

(1)

n \to \infty lim \frac{1 + 2 + 2 ^{2} + \dots + 2 ^{n - 1}}{5 ^{n}} =

____。

(2)

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} - 1}{5 ^{n}} =

____。

試求極限

x \to 1 lim \frac{3 - 3 x - x ^{2} - 1}{x - 1} =

____。

已知函數

f (x) = {x^{2} - 2, a x + 2, 當 x \geq 1 當 x < 1

為連續函數，求實數

a =

____。

設

f (x)

為三次多項式，若

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

且

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 2

，則

f (0) =

____。

已知點

P (1, 0)

為二次函數

f (x) = x^{2} + 4 x - 1

圖形外一點，則過

P

點的切線方程式為 ____。（有二解，全對才給分）

有一被垂直上拋的球，

t

秒後的高度是

h (t) = 49 t - 4.9 t^{2}

公尺，求這球著地時的速度為 ____（公尺/秒）。

填充第 10 題（第 22～23 題）　設函數

f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 1

。試求

(1) 函數

f (x)

在

x = 1

附近的一次估計 ____。

(2) 試求

f (1.01) =

____。

已知三次多項式

f (x)

滿足

f (1) = f (2) = f^{'} (2) = 0

，

f^{'} (0) = - 8

，求

f (x) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題(C)

第 7 題(E)

第 8 題(B)

第 9 題

0

第 10 題不存在

第 11 題

- 7

第 12 題

10

第 13 題

20

第 14 題

5

第 15 題

0

第 16 題

\frac{5}{12}

第 17 題

5

第 18 題

- 3

第 19 題

- 8

第 20 題

y = 2 x - 2

與

y = 10 x - 10

第 21 題

- 49

第 22 題

4 - 5 (x - 1)

（即

- 5 x + 9

）

第 23 題

3.95

（一次估計的近似值）

第 24 題

- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：反函數、由圖形讀極限、奇函數、極限的運算

第 1 題答案 (A)。令

y = 2 x - 3

，把

x

用

y

表示：

x = \frac{y + 3}{2}

。再把

x

、

y

對調，得

g (x) = \frac{x + 3}{2} = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

。檢查：

f (g (x)) = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) - 3 = x

，

g (f (x)) = \frac{1}{2} (2 x - 3) + \frac{3}{2} = x

。

反函數不是倒數。(E) 的

\frac{1}{2 x - 3}

是

\frac{1}{f ( x )}

，代回去

f (g (x)) \neq = x

。

第 2 題答案 (D)。從圖上讀：

x

從左邊靠近

0

時圖形趨近空心點

(0, 2)

，所以

x \to 0^{-} lim f (x) = 2

；從右邊靠近

0

時圖形趨近實心點

(0, 1)

，所以

x \to 0^{+} lim f (x) = 1

，且

f (0) = 1

。

x

從左、右兩邊靠近

1

時圖形都趨近空心點

(1, 2)

，所以

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{+} lim f (x) = 2

，而實心點在

(1, 1)

，

f (1) = 1

。(A)(B) 左、右極限

2 \neq = 1

，

x \to 0 lim f (x)

不存在，都錯。(C)

x \to 1 lim f (x) = 2 \neq = f (1) = 1

，錯。(D) 兩邊都是

2

，對。(E)

f (1) = 1

，

f (3) = 2

，錯。

極限看的是「靠近時圖形往哪裡去」，與那一點的函數值（實心點）無關；空心點表示函數值不在那裡。

第 3 題答案 (B)。奇函數要對定義域內每個

x

都有

f (- x) = - f (x)

。(A)

5 (- x)^{2} + 3 = 5 x^{2} + 3

，是偶函數。(B)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。(C)

f_{3} (- 1) = 2

，

- f_{3} (1) = - 8

，不相等。(D)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是偶函數。(E)

[- 0.5] = - 1

，

- [0.5] = 0

，不相等。

x = 0

有定義，必有

f (0) = 0

，而

f_{3} (0) = 5

。

第 4 題答案 (D)。各極限都存在時可以分開算。(A)

2 + 3 = 5

。(B)

4 \cdot 2 - 3 = 5

。(C)

2 \cdot 3 - 1 = 5

。(D) 分母

x - 2 \to - 1

不為

0

，所以極限

= \frac{5 \cdot 2}{- 1} = - 10

，不是

5

。(E) 多項式函數處處連續，

f (1) = x \to 1 lim f (x) = 2

，

g (1) = 3

，和為

5

。

(D) 的分母是

x - 2

不是

x - 1

，

x \to 1

時分母不會趨近

0

，直接代入即可。

極限看的是靠近時的走向，函數值看的是那一點本身；兩者相等才叫連續。

02單選 5～8：等比數列的收斂、夾擠定理、收斂發散的判斷、值域

第 5 題答案 (A)。這是公比

r = x^{2} + x - 1

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。逐一代入：(A)

\frac{16}{9} - \frac{4}{3} - 1 = - \frac{5}{9}

，在範圍內。(B)

1 - 1 - 1 = - 1

，數列在

- 1

、

1

之間跳動，發散。(C)

0 + 0 - 1 = - 1

，同樣發散。(D)

\frac{9}{4} + \frac{3}{2} - 1 = \frac{11}{4} > 1

，發散。(E)

4 + 2 - 1 = 5 > 1

，發散。

直接解不等式也可以：

x^{2} + x - 1 \leq 1

得

- 2 \leq x \leq 1

；

x^{2} + x - 1 > - 1

得

x < - 1

或

x > 0

。合起來是

- 2 \leq x < - 1

或

0 < x \leq 1

，五個選項中只有

- \frac{4}{3}

在裡面。

第 6 題答案 (C)。

x \neq = 0

時

sin \frac{1}{x ^{2}} \leq 1

，所以

x sin \frac{1}{x ^{2}} \leq ∣ x ∣

，即

- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x ^{2}} \leq ∣ x ∣

。

x \to 0

時

- ∣ x ∣ \to 0

且

∣ x ∣ \to 0

，由夾擠定理，

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x ^{2}} = 0

。

不能寫成

lim x \cdot lim sin \frac{1}{x ^{2}}

，因為

sin \frac{1}{x ^{2}}

在

x \to 0

時不斷振盪，極限不存在；也不要把不等式直接乘以

x

，

x

為負時不等號會反向，所以用

∣ x ∣

來夾。

第 7 題答案 (E)。(A)

- 1^{n}

是先算

1^{n} = 1

再取負號，每一項都是

- 1

，是常數數列，收斂到

- 1

，敘述錯。(B) 公比

- \frac{3}{2}

，

- \frac{3}{2} \geq 1

，這個無窮等比級數發散，沒有和，錯。(C)

2. \overline{9} = 2 + 0. \overline{9} = 2 + (\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \dots) = 2 + \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = 3

，所以

2. \overline{9} = 3

，錯。(D) 取

a_{n} = (- 1)^{n}

，

⟨ a_{n} ⟩

發散，但

a_{n}^{2} = 1

收斂，錯。(E) 取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，兩個都發散，但

a_{n} + b_{n} = 0

收斂，所以「可能收斂」，對。

(A) 的

- 1^{n}

沒有括號，與

(- 1)^{n}

不同；

(- 1)^{n}

才是在

- 1

、

1

之間跳動的發散數列。(B) 的

\frac{2}{5}

是沒檢查公比就套

\frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 + \frac{3}{2}}

的結果，公式只在

∣ r ∣ < 1

時能用。

第 8 題答案 (B)。根號內配方：

- x^{2} - 2 x + 8 = 9 - (x + 1)^{2}

。根號內要不小於

0

，所以定義域是

- 4 \leq x \leq 2

；在這個範圍內

9 - (x + 1)^{2}

的值從

0

（

x = - 4

或

2

）到

9

（

x = - 1

）都取得到。於是

- x^{2} - 2 x + 8

的範圍是

0

到

3

。

2^{t}

隨

t

遞增，所以

f (x)

的範圍是

2^{0} = 1

到

2^{3} = 8

，值域為

{y ∣ 1 \leq y \leq 8}

。

根號的值最小是

0

，所以

f (x)

最小是

2^{0} = 1

而不是

0

；(D) 的

0 \leq y \leq 3

是指數（根號）的範圍，還沒有代進

2

的次方。

等比數列收斂要公比大於負一且不超過一；無窮等比級數求和前先看公比的絕對值是否小於一。

03填充 9～14（原卷填充 1、2、3）：基本極限與導數

第 9 題

- \frac{1}{n ^{2}} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}

，而

n \to \infty lim (- \frac{1}{n ^{2}}) = n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0

，由夾擠定理，極限為

0

。

分子

(- 1)^{n}

雖然正負交錯，但絕對值固定是

1

，分母愈來愈大，整個分數會趨近

0

。

第 10 題分子分母同除以

n

：

\frac{1 - n ^{2}}{2 n + 1} = \frac{\frac{1}{n} - n}{2 + \frac{1}{n}}

。

n

愈大，分母趨近

2

，分子

\frac{1}{n} - n

愈來愈小（負得愈來愈多），整個式子不會趨近任何定數，所以極限不存在。

分子的次數比分母高時，數列發散。例如

n = 1000

時值約為

- 499.75

，

n = 10000

時約為

- 4999.75

。

第 11 題

x = - 2

代入分子得

8 - 2 - 6 = 0

，分子有因式

x + 2

：

2 x^{2} + x - 6 = (x + 2) (2 x - 3)

。約去

x + 2

後，原式

= x \to - 2 lim (2 x - 3) = - 7

。

第 12 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x

，再微分一次：

f^{''} (x) = 6 x - 2

。

f^{''} (2) = 12 - 2 = 10

。

第 13 題由連鎖律，

f^{'} (x) = 10 (2 x - 1)^{9} \cdot (2 x - 1)^{'} = 10 (2 x - 1)^{9} \cdot 2 = 20 (2 x - 1)^{9}

。

f^{'} (1) = 20 \cdot 1^{9} = 20

。

括號裡的

2 x - 1

還要再微分一次，乘上

2

；少乘這個

2

會得到

10

。

第 14 題

x \to 3

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

9 - 3 + a = 0

，

a = - 6

。此時分子

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

，約去

x - 3

後，極限

= x \to 3 lim (x + 2) = 5

。

題目問的是極限值

5

，不是

a

的值

- 6

。

分式的極限遇到分母趨近 0，分子也要趨近 0，再把共同的因式約掉。

04填充 15～19（原卷填充 4～7）：等比級數、絕對值、連續與待定多項式

第 15 題分子是首項

1

、公比

2

的等比級數，從

2^{0}

到

2^{n - 1}

共

n

項，和為

\frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = 2^{n} - 1

。原式

= n \to \infty lim \frac{2 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = n \to \infty lim [(\frac{2}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}] = 0 - 0 = 0

。

原卷題幹分子印作

1 + 2 + 2^{n} + \dots + 2^{n - 1}

，依前後項的規律應為

1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1}

，本頁題幹已照此更正。

第 16 題一般項

\frac{2 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = (\frac{2}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{2}{5}

、

\frac{1}{5}

絕對值都小於

1

，都收斂，可以分開求和：

\frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} - \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

。

n

從

1

開始，兩個級數的首項分別是

\frac{2}{5}

與

\frac{1}{5}

，不是

1

。

第 17 題

x = 1

時

3 - 3 x - x^{2} = - 1 < 0

，所以

x

在

1

附近時

3 - 3 x - x^{2} < 0

，

3 - 3 x - x^{2} = x^{2} + 3 x - 3

。分子

= x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)

，約去

x - 1

後，原式

= x \to 1 lim (x + 4) = 5

。

去絕對值前先把

x = 1

代進去看正負。若當成正的直接拿掉，分子在

x = 1

的值是

- 2

，約不掉

x - 1

。

第 18 題兩段各自是多項式，在各自的範圍內都連續，只要看接點

x = 1

。

f (1) = 1 - 2 = - 1

，

x \to 1^{+} lim f (x) = - 1

，

x \to 1^{-} lim f (x) = a + 2

。在

x = 1

連續需要

a + 2 = - 1

，所以

a = - 3

。

第 19 題兩個極限的分母都趨近

0

而極限存在，所以

f (1) = 0

、

f (2) = 0

，

f (x)

有因式

(x - 1) (x - 2)

。

f (x)

是三次，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (a x + b)

。

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = (1 - 2) (a + b) = - (a + b) = 1

；

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = (2 - 1) (2 a + b) = 2 a + b = 2

。解得

a = 3

，

b = - 4

。

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 4)

，

f (0) = (- 1) (- 2) (- 4) = - 8

。

第一個極限約掉

x - 1

後，剩下的

(x - 2)

代

x = 1

是

- 1

，負號不要漏掉。

分段函數的連續只要檢查接點：左極限、右極限、函數值三者相等。

05填充 20～24（原卷填充 8～11）：切線、速度、一次估計與待定多項式

第 20 題

P (1, 0)

不在圖形上（

f (1) = 4 \neq = 0

），先設切點為

(t, t^{2} + 4 t - 1)

。

f^{'} (x) = 2 x + 4

，切線斜率為

2 t + 4

，切線：

y - (t^{2} + 4 t - 1) = (2 t + 4) (x - t)

。代入

P (1, 0)

：

- (t^{2} + 4 t - 1) = (2 t + 4) (1 - t)

，右邊

= - 2 t^{2} - 2 t + 4

，整理得

t^{2} - 2 t - 3 = 0

，

t = - 1

或

t = 3

。

t = - 1

：切點

(- 1, - 4)

，斜率

2

，切線

y = 2 (x - 1)

，即

y = 2 x - 2

。

t = 3

：切點

(3, 20)

，斜率

10

，切線

y = 10 (x - 1)

，即

y = 10 x - 10

。

P

不是切點，不能用

f^{'} (1) = 6

當斜率。另一種檢查：設切線

y = m (x - 1)

，與

y = x^{2} + 4 x - 1

聯立得

x^{2} + (4 - m) x + (m - 1) = 0

，相切時判別式

(4 - m)^{2} - 4 (m - 1) = m^{2} - 12 m + 20 = 0

，

m = 2

或

10

，結果相同。

第 21 題著地時高度為

0

：

49 t - 4.9 t^{2} = 4.9 t (10 - t) = 0

，

t = 0

（拋出時）或

t = 10

，所以球在

t = 10

秒著地。速度是高度函數的導數：

h^{'} (t) = 49 - 9.8 t

，

h^{'} (10) = 49 - 98 = - 49

（公尺/秒）。

負號表示球正在往下掉；著地時的快慢（速率）是

49

公尺/秒，與拋出時的初速

h^{'} (0) = 49

大小相同、方向相反。

第 22 題

f (x)

在

x = 1

附近的一次估計是

f (1) + f^{'} (1) (x - 1)

，也就是圖形在

x = 1

處的切線。

f (1) = 1 - 10 + 12 + 1 = 4

；

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 20 x + 12

，

f^{'} (1) = 3 - 20 + 12 = - 5

。所以一次估計為

4 - 5 (x - 1)

，展開即

- 5 x + 9

。

第 23 題用上一格的一次估計，

x = 1.01

代入：

f (1.01) \approx 4 - 5 (1.01 - 1) = 4 - 0.05 = 3.95

。

這一格接在一次估計後面，本頁依題組的脈絡以一次估計作答，答案是近似值。直接代入計算的精確值是

1.030301 - 10.201 + 12.12 + 1 = 3.949301

，兩者相差不到

0.001

。

第 24 題

f (1) = 0

，所以

f (x)

有因式

x - 1

。

f (2) = 0

且

f^{'} (2) = 0

，表示

x = 2

是重根，

f (x)

有因式

(x - 2)^{2}

。

f (x)

是三次，所以

f (x) = a (x - 1) (x - 2)^{2} = a (x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4)

。

f^{'} (x) = a (3 x^{2} - 10 x + 8)

，

f^{'} (0) = 8 a = - 8

，

a = - 1

。所以

f (x) = - (x - 1) (x - 2)^{2} = - x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4

。

f (2) = 0

且

f^{'} (2) = 0

為什麼是重根：設

f (x) = (x - 2) q (x)

，則

f^{'} (x) = q (x) + (x - 2) q^{'} (x)

，

f^{'} (2) = q (2) = 0

，所以

q (x)

也有因式

x - 2

。

過圖形外一點作切線，先設切點再用導數寫出切線，最後把那個點代進去解切點。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

溪湖高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 7 題：選項 (A) 的負一的 n 次方沒有括號，每一項都是負一，是收斂的常數數列，而無窮等比級數求和前要先檢查公比。填充第 8 題（本頁第 20 題）：點 P 不在圖形上，要先設切點，不能直接把 P 的橫坐標代進導函數。填充第 5 題（本頁第 17 題）：去絕對值前要先判斷裡面的正負。填充第 9 題（本頁第 21 題）：著地時的速度帶負號，表示方向向下。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數與反函數、函數的極限與連續、導數與導函數、切線、一次估計）

溪湖高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單選題 8 題（32 分）、填充題 11 題共 16 格（68 分）

一、單選題（32%）

已知函數

f (x) = 2 x - 3

，若

f (x)

與

g (x)

互為反函數，則

g (x)

為下列何者？

(A) $g (x) = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
(B) $g (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{3}$
(C) $g (x) = - 2 x + 3$
(D) $g (x) = - 3 x + 2$
(E) $g (x) = \frac{1}{2 x - 3}$

已知函數

f (x)

的圖形如圖，選出正確的選項。

(A) $x \to 0 lim f (x) = f (0)$
(B) $x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{-} lim f (x)$
(C) $x \to 1 lim f (x) = f (1)$
(D) $x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{-} lim f (x)$
(E) $f (1) = f (3)$

載入中...

下列哪一個函數是奇函數？

(A) 函數 $f_{1} (x) = 5 x^{2} + 3$
(B) 函數 $f_{4} (x) = sin x$
(C) 函數 $f_{3} (x) = 3 x + 5$
(D) 函數 $f_{2} (x) = ∣ x ∣$
(E) 函數 $f_{5} (x) = [x]$

已知兩多項式函數

f (x)

與

g (x)

滿足

x \to 1 lim f (x) = 2

，

x \to 1 lim g (x) = 3

，下列哪一個選項的極限值不為

5

？

(A) $x \to 1 lim (f (x) + g (x))$
(B) $x \to 1 lim (4 f (x) - g (x))$
(C) $x \to 1 lim (f (x) g (x) - x)$
(D) $x \to 1 lim \frac{5 f ( x )}{x - 2}$
(E) $f (1) + g (1)$

已知無窮數列

⟨ (x^{2} + x - 1)^{n} ⟩

為收斂數列，試選出下列滿足條件的

x

值？

(A) $- \frac{4}{3}$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) $\frac{3}{2}$
(E) $2$

已知

x \neq = 0

，不等式

- 1 \leq sin \frac{1}{x ^{2}} \leq 1

恆成立，求

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x ^{2}}

的值。

(A) $1$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) $2$
(E) 不存在

下列各敘述何者正確？

(A) 無窮數列 $⟨ - 1^{n} ⟩$ 為發散數列
(B) 無窮等比級數 $1 - \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \dots = \frac{2}{5}$
(C) $2. \overline{9} < 3$
(D) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，則無窮數列 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 亦為發散數列
(E) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 均為發散數列，則無窮數列 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 可能為收斂數列

函數

f (x) = 2^{- x^{2} - 2 x + 8}

的值域為

(A) ${y \in R ∣ y \leq 8}$
(B) ${y \in R ∣ 1 \leq y \leq 8}$
(C) ${y \in R ∣ 0 \leq y \leq 8}$
(D) ${y \in R ∣ 0 \leq y \leq 3}$
(E) ${y \in R \frac{1}{8} \leq y \leq 2}$

二、填充題（68%）（本頁第 9～24 題依序為原卷填充題的 1(1)、1(2)、1(3)、2(1)、2(2)、3、4(1)、4(2)、5、6、7、8、9、10(1)、10(2)、11）

填充第 1 題（第 9～11 題）　求下列各極限。（若為無極限請寫「不存在」）

(1)

n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} =

____。

(2)

n \to \infty lim (\frac{1 - n ^{2}}{2 n + 1}) =

____。

(3)

x \to - 2 lim \frac{2 x ^{2} + x - 6}{x + 2} =

____。

填充第 2 題（第 12～13 題）　求下列導數的值：

(1) 設

f (x) = x^{3} - x^{2} + 3

，求

f^{''} (2) =

____。

(2) 設

f (x) = (2 x - 1)^{10}

，求

f^{'} (1) =

____。

若極限

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - x + a}{x - 3}

存在，求此極限為 ____。

填充第 4 題（第 15～16 題）　試求下列各值。

(1)

n \to \infty lim \frac{1 + 2 + 2 ^{2} + \dots + 2 ^{n - 1}}{5 ^{n}} =

____。

(2)

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} - 1}{5 ^{n}} =

____。

試求極限

x \to 1 lim \frac{3 - 3 x - x ^{2} - 1}{x - 1} =

____。

已知函數

f (x) = {x^{2} - 2, a x + 2, 當 x \geq 1 當 x < 1

為連續函數，求實數

a =

____。

設

f (x)

為三次多項式，若

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

且

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 2

，則

f (0) =

____。

已知點

P (1, 0)

為二次函數

f (x) = x^{2} + 4 x - 1

圖形外一點，則過

P

點的切線方程式為 ____。（有二解，全對才給分）

有一被垂直上拋的球，

t

秒後的高度是

h (t) = 49 t - 4.9 t^{2}

公尺，求這球著地時的速度為 ____（公尺/秒）。

填充第 10 題（第 22～23 題）　設函數

f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + 1

。試求

(1) 函數

f (x)

在

x = 1

附近的一次估計 ____。

(2) 試求

f (1.01) =

____。

已知三次多項式

f (x)

滿足

f (1) = f (2) = f^{'} (2) = 0

，

f^{'} (0) = - 8

，求

f (x) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題(C)

第 7 題(E)

第 8 題(B)

第 9 題

0

第 10 題不存在

第 11 題

- 7

第 12 題

10

第 13 題

20

第 14 題

5

第 15 題

0

第 16 題

\frac{5}{12}

第 17 題

5

第 18 題

- 3

第 19 題

- 8

第 20 題

y = 2 x - 2

與

y = 10 x - 10

第 21 題

- 49

第 22 題

4 - 5 (x - 1)

（即

- 5 x + 9

）

第 23 題

3.95

（一次估計的近似值）

第 24 題

- x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：反函數、由圖形讀極限、奇函數、極限的運算

第 1 題答案 (A)。令

y = 2 x - 3

，把

x

用

y

表示：

x = \frac{y + 3}{2}

。再把

x

、

y

對調，得

g (x) = \frac{x + 3}{2} = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

。檢查：

f (g (x)) = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) - 3 = x

，

g (f (x)) = \frac{1}{2} (2 x - 3) + \frac{3}{2} = x

。

反函數不是倒數。(E) 的

\frac{1}{2 x - 3}

是

\frac{1}{f ( x )}

，代回去

f (g (x)) \neq = x

。

第 2 題答案 (D)。從圖上讀：

x

從左邊靠近

0

時圖形趨近空心點

(0, 2)

，所以

x \to 0^{-} lim f (x) = 2

；從右邊靠近

0

時圖形趨近實心點

(0, 1)

，所以

x \to 0^{+} lim f (x) = 1

，且

f (0) = 1

。

x

從左、右兩邊靠近

1

時圖形都趨近空心點

(1, 2)

，所以

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{+} lim f (x) = 2

，而實心點在

(1, 1)

，

f (1) = 1

。(A)(B) 左、右極限

2 \neq = 1

，

x \to 0 lim f (x)

不存在，都錯。(C)

x \to 1 lim f (x) = 2 \neq = f (1) = 1

，錯。(D) 兩邊都是

2

，對。(E)

f (1) = 1

，

f (3) = 2

，錯。

極限看的是「靠近時圖形往哪裡去」，與那一點的函數值（實心點）無關；空心點表示函數值不在那裡。

第 3 題答案 (B)。奇函數要對定義域內每個

x

都有

f (- x) = - f (x)

。(A)

5 (- x)^{2} + 3 = 5 x^{2} + 3

，是偶函數。(B)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。(C)

f_{3} (- 1) = 2

，

- f_{3} (1) = - 8

，不相等。(D)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是偶函數。(E)

[- 0.5] = - 1

，

- [0.5] = 0

，不相等。

x = 0

有定義，必有

f (0) = 0

，而

f_{3} (0) = 5

。

第 4 題答案 (D)。各極限都存在時可以分開算。(A)

2 + 3 = 5

。(B)

4 \cdot 2 - 3 = 5

。(C)

2 \cdot 3 - 1 = 5

。(D) 分母

x - 2 \to - 1

不為

0

，所以極限

= \frac{5 \cdot 2}{- 1} = - 10

，不是

5

。(E) 多項式函數處處連續，

f (1) = x \to 1 lim f (x) = 2

，

g (1) = 3

，和為

5

。

(D) 的分母是

x - 2

不是

x - 1

，

x \to 1

時分母不會趨近

0

，直接代入即可。

極限看的是靠近時的走向，函數值看的是那一點本身；兩者相等才叫連續。

02單選 5～8：等比數列的收斂、夾擠定理、收斂發散的判斷、值域

第 5 題答案 (A)。這是公比

r = x^{2} + x - 1

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。逐一代入：(A)

\frac{16}{9} - \frac{4}{3} - 1 = - \frac{5}{9}

，在範圍內。(B)

1 - 1 - 1 = - 1

，數列在

- 1

、

1

之間跳動，發散。(C)

0 + 0 - 1 = - 1

，同樣發散。(D)

\frac{9}{4} + \frac{3}{2} - 1 = \frac{11}{4} > 1

，發散。(E)

4 + 2 - 1 = 5 > 1

，發散。

直接解不等式也可以：

x^{2} + x - 1 \leq 1

得

- 2 \leq x \leq 1

；

x^{2} + x - 1 > - 1

得

x < - 1

或

x > 0

。合起來是

- 2 \leq x < - 1

或

0 < x \leq 1

，五個選項中只有

- \frac{4}{3}

在裡面。

第 6 題答案 (C)。

x \neq = 0

時

sin \frac{1}{x ^{2}} \leq 1

，所以

x sin \frac{1}{x ^{2}} \leq ∣ x ∣

，即

- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x ^{2}} \leq ∣ x ∣

。

x \to 0

時

- ∣ x ∣ \to 0

且

∣ x ∣ \to 0

，由夾擠定理，

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x ^{2}} = 0

。

不能寫成

lim x \cdot lim sin \frac{1}{x ^{2}}

，因為

sin \frac{1}{x ^{2}}

在

x \to 0

時不斷振盪，極限不存在；也不要把不等式直接乘以

x

，

x

為負時不等號會反向，所以用

∣ x ∣

來夾。

第 7 題答案 (E)。(A)

- 1^{n}

是先算

1^{n} = 1

再取負號，每一項都是

- 1

，是常數數列，收斂到

- 1

，敘述錯。(B) 公比

- \frac{3}{2}

，

- \frac{3}{2} \geq 1

，這個無窮等比級數發散，沒有和，錯。(C)

2. \overline{9} = 2 + 0. \overline{9} = 2 + (\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \dots) = 2 + \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = 3

，所以

2. \overline{9} = 3

，錯。(D) 取

a_{n} = (- 1)^{n}

，

⟨ a_{n} ⟩

發散，但

a_{n}^{2} = 1

收斂，錯。(E) 取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，兩個都發散，但

a_{n} + b_{n} = 0

收斂，所以「可能收斂」，對。

(A) 的

- 1^{n}

沒有括號，與

(- 1)^{n}

不同；

(- 1)^{n}

才是在

- 1

、

1

之間跳動的發散數列。(B) 的

\frac{2}{5}

是沒檢查公比就套

\frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 + \frac{3}{2}}

的結果，公式只在

∣ r ∣ < 1

時能用。

第 8 題答案 (B)。根號內配方：

- x^{2} - 2 x + 8 = 9 - (x + 1)^{2}

。根號內要不小於

0

，所以定義域是

- 4 \leq x \leq 2

；在這個範圍內

9 - (x + 1)^{2}

的值從

0

（

x = - 4

或

2

）到

9

（

x = - 1

）都取得到。於是

- x^{2} - 2 x + 8

的範圍是

0

到

3

。

2^{t}

隨

t

遞增，所以

f (x)

的範圍是

2^{0} = 1

到

2^{3} = 8

，值域為

{y ∣ 1 \leq y \leq 8}

。

根號的值最小是

0

，所以

f (x)

最小是

2^{0} = 1

而不是

0

；(D) 的

0 \leq y \leq 3

是指數（根號）的範圍，還沒有代進

2

的次方。

等比數列收斂要公比大於負一且不超過一；無窮等比級數求和前先看公比的絕對值是否小於一。

03填充 9～14（原卷填充 1、2、3）：基本極限與導數

第 9 題

- \frac{1}{n ^{2}} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}

，而

n \to \infty lim (- \frac{1}{n ^{2}}) = n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0

，由夾擠定理，極限為

0

。

分子

(- 1)^{n}

雖然正負交錯，但絕對值固定是

1

，分母愈來愈大，整個分數會趨近

0

。

第 10 題分子分母同除以

n

：

\frac{1 - n ^{2}}{2 n + 1} = \frac{\frac{1}{n} - n}{2 + \frac{1}{n}}

。

n

愈大，分母趨近

2

，分子

\frac{1}{n} - n

愈來愈小（負得愈來愈多），整個式子不會趨近任何定數，所以極限不存在。

分子的次數比分母高時，數列發散。例如

n = 1000

時值約為

- 499.75

，

n = 10000

時約為

- 4999.75

。

第 11 題

x = - 2

代入分子得

8 - 2 - 6 = 0

，分子有因式

x + 2

：

2 x^{2} + x - 6 = (x + 2) (2 x - 3)

。約去

x + 2

後，原式

= x \to - 2 lim (2 x - 3) = - 7

。

第 12 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x

，再微分一次：

f^{''} (x) = 6 x - 2

。

f^{''} (2) = 12 - 2 = 10

。

第 13 題由連鎖律，

f^{'} (x) = 10 (2 x - 1)^{9} \cdot (2 x - 1)^{'} = 10 (2 x - 1)^{9} \cdot 2 = 20 (2 x - 1)^{9}

。

f^{'} (1) = 20 \cdot 1^{9} = 20

。

括號裡的

2 x - 1

還要再微分一次，乘上

2

；少乘這個

2

會得到

10

。

第 14 題

x \to 3

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

9 - 3 + a = 0

，

a = - 6

。此時分子

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

，約去

x - 3

後，極限

= x \to 3 lim (x + 2) = 5

。

題目問的是極限值

5

，不是

a

的值

- 6

。

分式的極限遇到分母趨近 0，分子也要趨近 0，再把共同的因式約掉。

04填充 15～19（原卷填充 4～7）：等比級數、絕對值、連續與待定多項式

第 15 題分子是首項

1

、公比

2

的等比級數，從

2^{0}

到

2^{n - 1}

共

n

項，和為

\frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = 2^{n} - 1

。原式

= n \to \infty lim \frac{2 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = n \to \infty lim [(\frac{2}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}] = 0 - 0 = 0

。

原卷題幹分子印作

1 + 2 + 2^{n} + \dots + 2^{n - 1}

，依前後項的規律應為

1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1}

，本頁題幹已照此更正。

第 16 題一般項

\frac{2 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = (\frac{2}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{2}{5}

、

\frac{1}{5}

絕對值都小於

1

，都收斂，可以分開求和：

\frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} - \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

。

n

從

1

開始，兩個級數的首項分別是

\frac{2}{5}

與

\frac{1}{5}

，不是

1

。

第 17 題

x = 1

時

3 - 3 x - x^{2} = - 1 < 0

，所以

x

在

1

附近時

3 - 3 x - x^{2} < 0

，

3 - 3 x - x^{2} = x^{2} + 3 x - 3

。分子

= x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)

，約去

x - 1

後，原式

= x \to 1 lim (x + 4) = 5

。

去絕對值前先把

x = 1

代進去看正負。若當成正的直接拿掉，分子在

x = 1

的值是

- 2

，約不掉

x - 1

。

第 18 題兩段各自是多項式，在各自的範圍內都連續，只要看接點

x = 1

。

f (1) = 1 - 2 = - 1

，

x \to 1^{+} lim f (x) = - 1

，

x \to 1^{-} lim f (x) = a + 2

。在

x = 1

連續需要

a + 2 = - 1

，所以

a = - 3

。

第 19 題兩個極限的分母都趨近

0

而極限存在，所以

f (1) = 0

、

f (2) = 0

，

f (x)

有因式

(x - 1) (x - 2)

。

f (x)

是三次，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (a x + b)

。

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = (1 - 2) (a + b) = - (a + b) = 1

；

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = (2 - 1) (2 a + b) = 2 a + b = 2

。解得

a = 3

，

b = - 4

。

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 4)

，

f (0) = (- 1) (- 2) (- 4) = - 8

。

第一個極限約掉

x - 1

後，剩下的

(x - 2)

代

x = 1

是

- 1

，負號不要漏掉。

分段函數的連續只要檢查接點：左極限、右極限、函數值三者相等。

05填充 20～24（原卷填充 8～11）：切線、速度、一次估計與待定多項式

第 20 題

P (1, 0)

不在圖形上（

f (1) = 4 \neq = 0

），先設切點為

(t, t^{2} + 4 t - 1)

。

f^{'} (x) = 2 x + 4

，切線斜率為

2 t + 4

，切線：

y - (t^{2} + 4 t - 1) = (2 t + 4) (x - t)

。代入

P (1, 0)

：

- (t^{2} + 4 t - 1) = (2 t + 4) (1 - t)

，右邊

= - 2 t^{2} - 2 t + 4

，整理得

t^{2} - 2 t - 3 = 0

，

t = - 1

或

t = 3

。

t = - 1

：切點

(- 1, - 4)

，斜率

2

，切線

y = 2 (x - 1)

，即

y = 2 x - 2

。

t = 3

：切點

(3, 20)

，斜率

10

，切線

y = 10 (x - 1)

，即

y = 10 x - 10

。

P

不是切點，不能用

f^{'} (1) = 6

當斜率。另一種檢查：設切線

y = m (x - 1)

，與

y = x^{2} + 4 x - 1

聯立得

x^{2} + (4 - m) x + (m - 1) = 0

，相切時判別式

(4 - m)^{2} - 4 (m - 1) = m^{2} - 12 m + 20 = 0

，

m = 2

或

10

，結果相同。

第 21 題著地時高度為

0

：

49 t - 4.9 t^{2} = 4.9 t (10 - t) = 0

，

t = 0

（拋出時）或

t = 10

，所以球在

t = 10

秒著地。速度是高度函數的導數：

h^{'} (t) = 49 - 9.8 t

，

h^{'} (10) = 49 - 98 = - 49

（公尺/秒）。

負號表示球正在往下掉；著地時的快慢（速率）是

49

公尺/秒，與拋出時的初速

h^{'} (0) = 49

大小相同、方向相反。

第 22 題

f (x)

在

x = 1

附近的一次估計是

f (1) + f^{'} (1) (x - 1)

，也就是圖形在

x = 1

處的切線。

f (1) = 1 - 10 + 12 + 1 = 4

；

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 20 x + 12

，

f^{'} (1) = 3 - 20 + 12 = - 5

。所以一次估計為

4 - 5 (x - 1)

，展開即

- 5 x + 9

。

第 23 題用上一格的一次估計，

x = 1.01

代入：

f (1.01) \approx 4 - 5 (1.01 - 1) = 4 - 0.05 = 3.95

。

這一格接在一次估計後面，本頁依題組的脈絡以一次估計作答，答案是近似值。直接代入計算的精確值是

1.030301 - 10.201 + 12.12 + 1 = 3.949301

，兩者相差不到

0.001

。

第 24 題

f (1) = 0

，所以

f (x)

有因式

x - 1

。

f (2) = 0

且

f^{'} (2) = 0

，表示

x = 2

是重根，

f (x)

有因式

(x - 2)^{2}

。

f (x)

是三次，所以

f (x) = a (x - 1) (x - 2)^{2} = a (x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4)

。

f^{'} (x) = a (3 x^{2} - 10 x + 8)

，

f^{'} (0) = 8 a = - 8

，

a = - 1

。所以

f (x) = - (x - 1) (x - 2)^{2} = - x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4

。

f (2) = 0

且

f^{'} (2) = 0

為什麼是重根：設

f (x) = (x - 2) q (x)

，則

f^{'} (x) = q (x) + (x - 2) q^{'} (x)

，

f^{'} (2) = q (2) = 0

，所以

q (x)

也有因式

x - 2

。

過圖形外一點作切線，先設切點再用導數寫出切線，最後把那個點代進去解切點。

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