段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數的定義域與合成、函數的極限、連續函數）

安康高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 安康高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 31 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 安康高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 17 格（本頁第 31 題）：要先由四個等圓的圓心排成正方形求出相鄰兩層的半徑比是根號 2 減 1，面積比還要再平方。填充第 11 格（本頁第 25 題）：絕對值裡面在 x 等於 1 附近是負的，沒有變號就會算成負 4。填充第 5 格（本頁第 19 題）：無窮等比級數的和存在，公比兩端都不能取等號。是非第 4 題：公比的絕對值大於 1 的等比級數沒有和，不能套公式。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 31 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 31 題，照原卷順序

是非題 10 題（20 分）、多重選擇題 4 題（20 分）、填充題 17 格（60 分）

一、是非題（每題 2 分，共 20 分）

無窮數列

⟨ \frac{n - 100}{3 n} ⟩

的極限為

0

。

若無窮數列

⟨ \frac{a n ^{2} - 2 n + 1}{3 n} ⟩

的極限存在，則

a = 0

。

0. \overline{9} < 1

。

無窮等比級數

1 - \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - \frac{27}{8} + \dots

的和為

\frac{1}{1 - ( - \frac{3}{2} )} = \frac{2}{5}

。

若多項式函數

f (x)

滿足

f (0) = 2

，則

x \to 0 lim f (x) = 2

。

若函數

f (x) = x^{3} + 1

，

g (x) = 2 x^{2} - 3

，則

(g \circ f) (x)

為五次多項式函數。

函數

f (x) = \frac{5 x - 3}{x ^{2} + x + 1}

的定義域為所有實數。

極限

x \to 1 lim \frac{x}{∣ x ∣}

不存在。

設函數

f (x) = x

，

g (x) = \frac{1}{x}

，則函數

(f + g) (x)

的定義域為

{x \in R ∣ x \geq 0}

。

設

f (x) = x^{2} - x

，則在

3

與

4

之間至少有一個實數

c

，滿足

f (c) = 10

。

二、多重選擇題（每題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，其餘不給分）（本頁第 11～14 題依序為原卷多重選擇第 1～4 題）

選出正確的選項：

(1) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為收斂數列
(2) 若 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 均為收斂數列
(3) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂於 $0$ ，則數列 $⟨ ∣ a_{n} ∣ ⟩$ 收斂於 $0$
(4) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂於 $0$ ，則數列 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 收斂於 $0$
(5) 若數列 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 收斂於 $1$ ，則數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂於 $1$ 。

下列哪些數列為收斂數列？

(1) $⟨ \frac{n + 2024}{n - 2025} ⟩$
(2) $⟨ \frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{3 n + 5} ⟩$
(3) $⟨ \frac{2 ^{n + 2} - 3 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n + 1}} ⟩$
(4) $⟨ cos (nπ)⟩$
(5) $⟨ sin (nπ)⟩$

已知多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 5

，選出正確的選項。

(1) $f (1) = 0$
(2) $x \to 1 lim (\frac{f ( x )}{x - 1} + \frac{x - 1}{x}) = 5$
(3) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} = 5$
(4) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 2} = \frac{5}{3}$
(5) $x \to 1 lim (x \cdot f (x)) = 0$

下列哪一個函數在

x = 2

時連續？

(1) $f (x) = ∣ x - 2∣$
(2) $f (x) = (x - 2)^{2}$
(3) $f (x) = \frac{1}{x}$
(4) $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2}, 4, - x + 6, x > 2 x = 2 x < 2$
(5) $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 1, 1, - x + 2, x > 2 x = 2 x < 2$

三、填充題（依答對格數給分：答對 1～17 格依序得 5、10、15、20、24、28、32、36、39、42、45、48、51、54、56、58、60 分）（本頁第 15～31 題依序為原卷答案格 (1)～(17)）

求下列無窮數列的極限：

n \to \infty lim (\frac{- 3 n ^{2} + 1}{2 n ^{2} - 3 n}) =

____。

求下列無窮數列的極限：

n \to \infty lim \frac{4 ^{n} - 2 ^{n + 1}}{4 ^{n + 1} + 3 ^{n}} =

____。

若數列

\frac{2}{2 n + 1}, \frac{4}{2 n + 1}, \frac{6}{2 n + 1}, \dots, \frac{2 n}{2 n + 1}

為等差數列，且這

n

項的算術平均數為

a_{n}

，則

n \to \infty lim a_{n} =

____。

n = 1 \sum \infty \frac{3 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{5 ^{n}} =

____。

若無窮級數

n = 1 \sum \infty (\frac{x + 1}{2})^{n}

的和存在，則

x

的範圍為 ____。

已知

n \to \infty lim a_{n}

存在，且

n \to \infty lim (\frac{3 n + 1}{4 n - 2} - a_{n}) = 3

，求

n \to \infty lim a_{n}

的值為 ____。

已知

a, b

為二實數，滿足

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} + 1}{n + 1} - an - b) = 2

，求

(a, b) =

____。

某一無窮等比數列的和為

28

，又其各項的平方和為

112

。若此級數的首項為

a

，公比為

r

，則數對

(a, r) =

____。

函數

f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}

的定義域為 ____。

若無窮等比級數

1 + r + r^{2} + \dots + r^{n} + \dots = 0.5 \overline{3}

，則

r =

____。

已知

x \to 1 lim \frac{∣3 - 3 x - x ^{2} ∣ + a}{x - 1} = b

，求

a + b =

____。

求下列極限：

x \to 2 lim \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 3} =

____。

求下列極限：

x \to 2 lim (\frac{x + 1}{x - 2} - \frac{4 x + 4}{x ^{2} - 4}) =

____。

已知

a, b

為二實數，滿足

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = 2

，求數對

(a, b) =

____。

已知函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + a}{x - 2}, b, 當 x \neq = 2 當 x = 2

在

x = 2

處連續，求

a + b =

____。

手機剩餘電量經常用格子數來顯示，有一款手機當充滿電時，螢幕的電量顯示為

5

格。設在待機

x

小時後，剩餘電量的顯示格數為

f (x) = [\frac{60}{x + 11}]

格，其中符號

[]

為高斯符號。試問：若剩餘電量的顯示格數是

3

格，則

x

的最大值為 ____。（註：

[x]

表示不大於

x

的最大整數）

如圖，圓

C_{1}

內部有四個等圓

C_{2}

彼此外切，且均與圓

C_{1}

內切；圓

C_{2}

內部有四個等圓

C_{3}

彼此外切，且均與圓

C_{2}

內切，依此類推可作出圓

C_{4}

，

C_{5}

，

C_{6}

，

\dots

，若圓

C_{1}

的半徑為

2

，且圓

C_{n}

的面積為

a_{n}

，則

n \to \infty lim (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

第 11 題(1)(3)(4)

第 12 題(1)(3)(5)

第 13 題(1)(2)(4)(5)

第 14 題(1)(2)(3)(4)

第 15 題

- \frac{3}{2}

第 16 題

\frac{1}{4}

第 17 題

\frac{1}{2}

第 18 題

\frac{17}{14}

第 19 題

- 3 < x < 1

第 20 題

- \frac{9}{4}

第 21 題

(1, - 3)

第 22 題

(7, \frac{3}{4})

第 23 題

x \leq - 3

或

x > 2

第 24 題

- \frac{7}{8}

第 25 題

4

第 26 題

\frac{5}{7}

第 27 題

\frac{3}{4}

第 28 題

(4, - 5)

第 29 題

0

第 30 題

9

第 31 題

(2 + 22) π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：數列的極限、循環小數、等比級數的收斂條件

第 1 題2分子分母同除以

n

：

\frac{n - 100}{3 n} = \frac{1 - \frac{100}{n}}{3}

，

n \to \infty

時

\frac{100}{n} \to 0

，所以極限是

\frac{1}{3}

，不是

0

。

前面幾項（

n < 100

）是負的，

n = 100

時剛好是

0

，但極限看的是

n

很大以後的走向。

第 2 題1

\frac{a n ^{2} - 2 n + 1}{3 n} = \frac{a}{3} n - \frac{2}{3} + \frac{1}{3 n}

。後兩項趨近

- \frac{2}{3}

；若

a \neq = 0

，

\frac{a}{3} n

的絕對值會愈來愈大，數列發散。所以極限存在時必有

a = 0

（此時極限為

- \frac{2}{3}

）。

第 3 題2

0. \overline{9} = \frac{9}{10} + \frac{9}{1 0 ^{2}} + \frac{9}{1 0 ^{3}} + \dots

是首項

\frac{9}{10}

、公比

\frac{1}{10}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = 1

。所以

0. \overline{9} = 1

，不小於

1

。

也可以由

0. \overline{3} = \frac{1}{3}

兩邊乘以

3

得到

0. \overline{9} = 1

。

第 4 題2公比

r = - \frac{3}{2}

，

∣ r ∣ = \frac{3}{2} > 1

，這個無窮等比級數發散，沒有和。公式

\frac{a}{1 - r}

只有在

∣ r ∣ < 1

時才能用。

把部分和算幾項就看得出來：

1, - \frac{1}{2}, \frac{7}{4}, - \frac{13}{8}, \dots

，正負交替而且離

0

愈來愈遠，不會靠近

\frac{2}{5}

。

第 5 題1多項式函數在每一點都連續，所以

x \to 0 lim f (x) = f (0) = 2

。

用公式之前先檢查條件：無窮等比級數要公比的絕對值小於 1 才有和。

02是非 6～10：合成函數、定義域、函數的極限與中間值定理

第 6 題2

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = 2 (x^{3} + 1)^{2} - 3 = 2 x^{6} + 4 x^{3} - 1

，是六次多項式函數。

合成時次數相乘（

3 \times 2 = 6

），不是相加（

3 + 2 = 5

）；相加是兩個多項式相乘時的次數。

第 7 題1分式函數只要分母不為

0

就有定義。

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

，對所有實數

x

分母都不為

0

，所以定義域是所有實數。

第 8 題2

x

在

1

附近時

x > 0

，

∣ x ∣ = x

，所以

\frac{x}{∣ x ∣} = 1

，

x \to 1 lim \frac{x}{∣ x ∣} = 1

，極限存在。

極限不存在的是

x \to 0

：左極限

- 1

、右極限

1

不相等。這題是

x \to 1

，要看清楚趨近的點。

第 9 題2

(f + g) (x) = x + \frac{1}{x}

要兩個函數都有定義：

x

需要

x \geq 0

，

\frac{1}{x}

需要

x \neq = 0

。兩個條件同時成立是

x > 0

，定義域為

{x \in R ∣ x > 0}

，不含

0

。

第 10 題1

f (x) = x^{2} - x

是多項式函數，在

[3, 4]

上連續。

f (3) = 6

，

f (4) = 12

，而

10

介於

6

與

12

之間，由中間值定理，在

3

與

4

之間至少有一個

c

使

f (c) = 10

。

也可以直接解：

c^{2} - c - 10 = 0

，

c = \frac{1 + 41}{2}

（取正）。因為

6 < 41 < 7

，所以

3.5 < c < 4

，確實在

3

與

4

之間。

兩個函數相加、相乘，定義域是兩個定義域的共同部分；合成函數的次數是相乘。

03多重選擇 11～14（原卷多選 1～4）：收斂數列的性質、極限的運算、連續

第 11 題答案 (1)(3)(4)。(1) 兩個收斂數列的和仍收斂，極限是兩個極限的和，對。(2) 反例：

a_{n} = n

，

b_{n} = - n

，

a_{n} + b_{n} = 0

收斂，但

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

都發散，錯。(3)

∣ a_{n} ∣

就是

a_{n}

與

0

的距離，

a_{n}

趨近

0

表示這個距離趨近

0

，所以

∣ a_{n} ∣ \to 0

，對。(4)

a_{n}^{2} = a_{n} \cdot a_{n} \to 0 \cdot 0 = 0

，對。(5) 反例：

a_{n} = - 1

，

a_{n}^{2} = 1

收斂於

1

，但

a_{n}

收斂於

- 1

；或

a_{n} = (- 1)^{n}

，

a_{n}^{2} = 1

，但

⟨ a_{n} ⟩

發散，錯。

(2) 與 (5) 都是把正確性質反過來說。要判斷「若…則…」是錯的，找一個反例就夠了。

第 12 題答案 (1)(3)(5)。(1) 分子分母同除以

n

：

\frac{1 + \frac{2024}{n}}{1 - \frac{2025}{n}} \to 1

，收斂。(2) 分子二次、分母一次，同除以

n

得

\frac{n - 3 + \frac{2}{n}}{3 + \frac{5}{n}}

，分子愈來愈大，發散。(3) 同除以

3^{n}

：

\frac{4 ( \frac{2}{3} ) ^{n} - 1}{( \frac{2}{3} ) ^{n} + 3} \to \frac{- 1}{3}

，收斂。(4)

cos (nπ) = (- 1)^{n}

，在

- 1

、

1

之間跳動，發散。(5)

n

是正整數時

sin (nπ) = 0

，每一項都是

0

，收斂於

0

。

(1) 的第

2025

項分母為

0

、沒有定義；收斂與否看的是

n

很大以後的項，這裡照題意判為收斂。(4)(5) 先把

n = 1, 2, 3

代進去寫出前幾項，就看得出一個在跳、一個全是

0

。

第 13 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1)

f (x) = \frac{f ( x )}{x - 1} \cdot (x - 1) \to 5 \cdot 0 = 0

，而多項式函數連續，所以

f (1) = x \to 1 lim f (x) = 0

，對。(2)

x \to 1 lim \frac{x - 1}{x} = \frac{0}{1} = 0

，兩個極限都存在，和的極限

= 5 + 0 = 5

，對。(3) 若

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}}

存在，設為

L

，則

\frac{f ( x )}{x - 1} = \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} \cdot (x - 1) \to L \cdot 0 = 0

，與已知的

5

矛盾，所以這個極限不存在，錯。(4)

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

，

\frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 2} = \frac{f ( x )}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 2} \to 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}

，對。(5)

x \cdot f (x) \to 1 \cdot 0 = 0

，對。

可以拿

f (x) = 5 (x - 1)

當例子檢查：(3) 變成

\frac{5}{x - 1}

，

x \to 1

時極限不存在；(4) 變成

\frac{5}{x + 2} \to \frac{5}{3}

。

第 14 題答案 (1)(2)(3)(4)。在

x = 2

連續的條件是

x \to 2 lim f (x) = f (2)

。(1)

∣ x - 2∣

在

x \to 2

時趨近

0 = f (2)

，連續。(2) 多項式函數處處連續。(3)

\frac{1}{x}

只在

x = 0

沒有定義，在

x = 2

附近分母不為

0

，

x \to 2 lim \frac{1}{x} = \frac{1}{2} = f (2)

，連續。(4) 右極限

x \to 2^{+} lim x^{2} = 4

，左極限

x \to 2^{-} lim (- x + 6) = 4

，

f (2) = 4

，三者相等，連續。(5) 右極限

x \to 2^{+} lim (2 x + 1) = 5

，左極限

x \to 2^{-} lim (- x + 2) = 0

，左右極限不相等，極限不存在，不連續。

(1) 的圖形在

x = 2

有尖點，但沒有斷開，仍然連續。(3) 的不連續點在

x = 0

，不在

x = 2

。

分段定義的函數要判斷連續，把左極限、右極限、函數值三個數都算出來比。

04填充 15～20（原卷第 (1)～(6) 格）：數列的極限與無窮等比級數

第 15 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 3 + \frac{1}{n ^{2}}}{2 - \frac{3}{n}} \to \frac{- 3}{2} = - \frac{3}{2}

。

第 16 題底數最大的是

4

，分子分母同除以

4^{n}

：分子

= 1 - 2 (\frac{1}{2})^{n} \to 1

；分母

= 4 + (\frac{3}{4})^{n} \to 4

。極限為

\frac{1}{4}

。

2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n}

、

4^{n + 1} = 4 \cdot 4^{n}

，先把指數上的

+ 1

拆成係數再除。

第 17 題這

n

項的和

= \frac{2 + 4 + 6 + \dots + 2 n}{2 n + 1} = \frac{n ( n + 1 )}{2 n + 1}

，算術平均數

a_{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2 n + 1} = \frac{n + 1}{2 n + 1}

。分子分母同除以

n

：

\frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n}} \to \frac{1}{2}

。

等差數列的平均數也等於首項與末項的平均：

\frac{1}{2} (\frac{2}{2 n + 1} + \frac{2 n}{2 n + 1}) = \frac{n + 1}{2 n + 1}

，結果相同。

第 18 題一般項

\frac{3 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{5 ^{n}} = (\frac{3}{5})^{n} + (- \frac{2}{5})^{n}

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{3}{5}

、

- \frac{2}{5}

絕對值都小於

1

，都收斂，可以分開求和：

\frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} + \frac{- \frac{2}{5}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{3}{2} - \frac{2}{7} = \frac{17}{14}

。

n

從

1

開始，首項是

\frac{3}{5}

與

- \frac{2}{5}

，不是

1

。

第 19 題這是首項與公比都是

\frac{x + 1}{2}

的無窮等比級數。和存在的條件是公比的絕對值小於

1

：

- 1 < \frac{x + 1}{2} < 1

，

- 2 < x + 1 < 2

，所以

- 3 < x < 1

。

x = - 1

時每一項都是

0

，和為

0

，也在這個範圍內。兩端

x = - 3

（各項為

- 1, 1, - 1, \dots

）與

x = 1

（各項都是

1

）級數都發散，不能取等號；這與「數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂」的條件

- 1 < r \leq 1

不同。

第 20 題設

n \to \infty lim a_{n} = α

。

n \to \infty lim \frac{3 n + 1}{4 n - 2} = \frac{3}{4}

，兩個數列都收斂，差的極限等於極限的差：

\frac{3}{4} - α = 3

，所以

α = \frac{3}{4} - 3 = - \frac{9}{4}

。

原卷題幹的兩處

lim a_{n}

下方印作

x \to \infty

，數列的變數是

n

，應為

n \to \infty

，本頁已更正。

分式型同除以最高次項，指數型同除以底數最大的那一項；無窮等比級數要先看首項是哪一項。

05填充 21～25（原卷第 (7)～(11) 格）：由極限求係數、等比級數、定義域

第 21 題用長除法：

n^{2} + 1 = (n + 1) (n - 1) + 2

，所以

\frac{n ^{2} + 1}{n + 1} = n - 1 + \frac{2}{n + 1}

。括號內

= (1 - a) n - (1 + b) + \frac{2}{n + 1}

。若

a \neq = 1

，

(1 - a) n

的絕對值會愈來愈大，極限不存在；所以

a = 1

，此時極限

= - (1 + b) = 2

，

b = - 3

。

(a, b) = (1, - 3)

。

第 22 題級數的和

\frac{a}{1 - r} = 28

。各項平方

a^{2}, a^{2} r^{2}, a^{2} r^{4}, \dots

是首項

a^{2}

、公比

r^{2}

的等比級數，和

\frac{a ^{2}}{1 - r ^{2}} = 112

。因為

\frac{a ^{2}}{1 - r ^{2}} = \frac{a}{1 - r} \cdot \frac{a}{1 + r}

，所以

\frac{a}{1 + r} = \frac{112}{28} = 4

。由

a = 28 (1 - r) = 4 (1 + r)

得

24 = 32 r

，

r = \frac{3}{4}

，

a = 4 \cdot \frac{7}{4} = 7

。

(a, r) = (7, \frac{3}{4})

。

∣ r ∣ = \frac{3}{4} < 1

，兩個級數都收斂，符合題意。驗算：

\frac{7}{1 - \frac{3}{4}} = 28

，

\frac{49}{1 - \frac{9}{16}} = 112

。

第 23 題根號內要大於或等於

0

，而且分母不為

0

：

\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0

且

x \neq = 2

。分子分母同號或分子為

0

：

x > 2

時兩者皆正；

x < - 3

時兩者皆負；

x = - 3

時分式為

0

。所以定義域為

x \leq - 3

或

x > 2

。

x = - 3

可以取（根號內是

0

），

x = 2

不能取（分母為

0

）；兩個端點一個含、一個不含。

第 24 題先把循環小數化成分數：

0.5 \overline{3} = 0.5 + 0.0 \overline{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}

。級數的首項為

1

、公比為

r

，和

\frac{1}{1 - r} = \frac{8}{15}

，

1 - r = \frac{15}{8}

，

r = - \frac{7}{8}

。

∣ r ∣ = \frac{7}{8} < 1

，級數確實收斂。和比首項

1

小，可以先看出公比是負的。

第 25 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

。

x = 1

時

3 - 3 x - x^{2} = - 1

，所以

∣ - 1∣ + a = 0

，

a = - 1

。

x

在

1

附近時

3 - 3 x - x^{2} < 0

，

∣3 - 3 x - x^{2} ∣ = x^{2} + 3 x - 3

，分子

= x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)

。極限

b = x \to 1 lim (x + 4) = 5

。

a + b = - 1 + 5 = 4

。

去絕對值前先把

x = 1

代進絕對值裡面看正負；裡面是負的，去掉絕對值要變號。若直接拿掉絕對值，會得到

a = 1

、

b = - 5

，算成

- 4

。

極限存在而分母趨近 0，分子一定也趨近 0；絕對值先看裡面在那一點附近的正負。

06填充 26～31（原卷第 (12)～(17) 格）：函數的極限、連續、高斯符號與圖形級數

第 26 題

x \to 2

時分母

x^{2} + 3 \to 7 \neq = 0

，直接代入：

\frac{2 \cdot 2 + 1}{2 ^{2} + 3} = \frac{5}{7}

。

第 27 題兩項各自在

x \to 2

時沒有極限，先通分。

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

，原式

= \frac{( x + 1 ) ( x + 2 ) - ( 4 x + 4 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x + 1}{x + 2}

（

x \neq = 2

）。

x \to 2

時趨近

\frac{3}{4}

。

第 28 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限存在，所以分子在

x = 1

的值為

0

：

1 + a + b = 0

，即

a = - 1 - b

。分子

x^{2} - (1 + b) x + b = (x - 1) (x - b)

，約去

x - 1

後極限

= x \to 1 lim \frac{x - b}{x + 2} = \frac{1 - b}{3} = 2

，

b = - 5

，

a = 4

。

(a, b) = (4, - 5)

。

驗算：

x^{2} + 4 x - 5 = (x - 1) (x + 5)

，

\frac{x + 5}{x + 2}

在

x \to 1

時趨近

\frac{6}{3} = 2

。

第 29 題在

x = 2

連續表示

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a}{x - 2}

存在且等於

b

。分母趨近

0

，所以分子也要趨近

0

：

4 + a = 0

，

a = - 4

。此時

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2

（

x \neq = 2

），極限為

4

，所以

b = 4

。

a + b = 0

。

第 30 題

[\frac{60}{x + 11}] = 3

，由高斯符號的定義，

3 \leq \frac{60}{x + 11} < 4

。

x \geq 0

時

x + 11 > 0

，取倒數再乘以

60

：

15 < x + 11 \leq 20

，所以

4 < x \leq 9

。

x

的最大值為

9

。

用題意檢查：

x = 9

時

\frac{60}{20} = 3

，顯示

3

格；再久一點，

\frac{60}{x + 11}

小於

3

，就掉到

2

格。

x = 0

時

[\frac{60}{11}] = 5

，與「充滿電顯示

5

格」相符。

第 31 題先找相鄰兩層半徑的比。設大圓半徑為

R

、圓心為

O

，裡面四個等圓半徑為

r

。四個等圓的圓心是一個邊長

2 r

的正方形的四個頂點，正方形的中心就是

O

，所以

O

到每個小圓圓心的距離是對角線的一半

2 r

。小圓與大圓內切：

2 r + r = R

，

r = \frac{R}{2 + 1} = (2 - 1) R

。所以每往內一層，半徑乘以

2 - 1

，面積乘以

(2 - 1)^{2} = 3 - 22

。

a_{1} = π \cdot 2^{2} = 4 π

，

⟨ a_{n} ⟩

是首項

4 π

、公比

3 - 22

的等比數列，公比約

0.17

，絕對值小於

1

。所求

= \frac{4 π}{1 - ( 3 - 2 2 )} = \frac{4 π}{2 2 - 2} = \frac{2 π}{2 - 1} = 2 (2 + 1) π = (2 + 22) π

。

a_{n}

是「一個」圓

C_{n}

的面積，不是那一層所有圓的面積和。原卷題幹第二句印作「圓

C_{2}

部有四個等圓

C_{3}

」，漏「內」字，本頁已補上；本題在原卷的題號是填充第 17 題。

圖形一層一層縮小的題目，先找相鄰兩層的長度比，面積比是它的平方，再用無窮等比級數求和。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 31 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

安康高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 17 格（本頁第 31 題）：要先由四個等圓的圓心排成正方形求出相鄰兩層的半徑比是根號 2 減 1，面積比還要再平方。填充第 11 格（本頁第 25 題）：絕對值裡面在 x 等於 1 附近是負的，沒有變號就會算成負 4。填充第 5 格（本頁第 19 題）：無窮等比級數的和存在，公比兩端都不能取等號。是非第 4 題：公比的絕對值大於 1 的等比級數沒有和，不能套公式。詳解逐題寫在本頁。

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安康高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01是非 1～5：數列的極限、循環小數、等比級數的收斂條件

02是非 6～10：合成函數、定義域、函數的極限與中間值定理

03多重選擇 11～14（原卷多選 1～4）：收斂數列的性質、極限的運算、連續

04填充 15～20（原卷第 (1)～(6) 格）：數列的極限與無窮等比級數

05填充 21～25（原卷第 (7)～(11) 格）：由極限求係數、等比級數、定義域

06填充 26～31（原卷第 (12)～(17) 格）：函數的極限、連續、高斯符號與圖形級數

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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