段考詳解範圍：數列的極限、無窮級數、函數、函數的極限、連續函數與勘根定理

武陵高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題選項 (5) 只說在開區間連續，勘根定理要的是閉區間連續，選項 (4) 少了兩端極限相等的條件；第 5 題兩層高斯符號，內層的極限不存在，整個式子卻恆為 0；第 9 題定義域容易漏掉對數在分母不可為 0；第 14 題要先用二項式定理拿掉最高的兩項求出餘式，計算量最大。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（每題全對得 8 分，錯一個選項得 5 分，錯二個選項得 2 分）、填充題 11 格（答對 1～11 格依序得 7、14、20、26、32、38、44、50、54、58、61 分）、計算證明題共 15 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一.多重選擇題(每題全對得 8 分，錯一個選項得 5 分，錯二個選項得 2 分)

下列無窮級數，哪些恆為收斂級數？

(1) $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \dots$
(2) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots + (- \frac{1}{2})^{n - 1} + \dots$
(3) $1 - 2 + 4 - 8 + \dots + (- 2)^{n - 1} + \dots$
(4) $\frac{5 - 4}{5 + 4} + \frac{5 ^{2} - 4 ^{2}}{5 ^{2} + 4 ^{2}} + \frac{5 ^{3} - 4 ^{3}}{5 ^{3} + 4 ^{3}} + \dots + \frac{5 ^{n} - 4 ^{n}}{5 ^{n} + 4 ^{n}} + \dots$
(5) $(a_{1} - a_{2}) + (a_{2} - a_{3}) + (a_{3} - a_{4}) + \dots + (a_{n} - a_{n + 1}) + \dots$

下列無窮數列，哪些為收斂數列？

(1) $⟨ (- 2)^{n} (\frac{3}{4})^{n + 3} ⟩$
(2) $⟨ \frac{0.001 n ^{3}}{2025 n ^{2} - 5 n + 100} ⟩$
(3) $⟨ (- 0.999)^{n} ⟩$
(4) $⟨ \frac{0.00001 ( n - 1 ) ^{- 3}}{20252025 ( n + 1 ) ^{- 2}} ⟩$ （照卷面； $n = 1$ 時此式無定義，見詳解）
(5) $⟨ \frac{π ^{n}}{( 3.14 ) ^{n - 9}} ⟩$

下列選項哪些是正確的？

(1) 若無窮數列 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 、 $⟨ a_{n} ⟩$ 都收斂，則無窮數列 $⟨ b_{n} ⟩$ 也收斂
(2) 若無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 發散，則無窮數列 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 也發散
(3) 設 $n \to \infty lim a_{n} = α$ ， $n \to \infty lim b_{n} = β$ ，若 $a_{n} < b_{n}$ ，則 $α \leq β$
(4) 設三無窮數列 $⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩$ 滿足 $a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$ ，若 $⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩$ 都收斂，則 $⟨ c_{n} ⟩$ 也收斂
(5) 設 $a, b$ 為兩實數 $a < b$ 且 $f (x)$ 是在開區間 $(a, b)$ 上的連續函數，若 $f (a) \times f (b) < 0$ ，則至少有一實數 $c$ 滿足 $a < c < b$ 且 $f (c) = 0$

二.填充題

填充題第 1 題（本頁第 4～7 題）（第 4～7 題）　試求下列的極限值：(若不存在，則答案請填“不存在”)

(1)

x \to 0 lim \frac{x ^{2} + 1 - x + 1}{x} =

____。

(2)

x \to 2 lim [x - [x]] =

____。(兩個[ ]皆為高斯符號)

(3)

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \frac{3}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}}) =

____。

(4)

n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} =

____。

求無窮級數

n = 1 \sum \infty 5^{(- n l o g_{5} 7)}

的和為 ____。

實函數

f (x) = \frac{2 x - 1}{lo g ( 2 - x )}

的定義域為 ____。(要用集合表示)

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x - 5, a x - 1, b x + 11, 當 x < - 1 當 - 1 \leq x < 2 當 x \geq 2

，若

f (x)

在所有實數

R

上每一點皆連續，試求

f (f (1)) =

____。

若已知無窮級數

\frac{a}{1} + \frac{a}{1 + 2} + \frac{a}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{a}{1 + 2 + \dots + n} + \dots

的和為

10000

，則常數

a =

____。

設

a, b, c

為非零實數，極限值

x \to 2 lim \frac{a x ^{3} + b x + c}{x - 2} = k

與

x \to (- 3) lim \frac{a x ^{2} + b x + c}{x + 3} = t

均存在，試求

\frac{a + c + k + t}{b} =

____。

已知自然常數

e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n}

，試求

n \to \infty lim (\frac{n + 1}{n + 3})^{n} =

____。(用

e

表示)

令多項式

4 (x + 1)^{n + 1}

除以

(3 x - 2)^{n}

所得的餘式為多項式

r_{n} (x)

，試求

n \to \infty lim \frac{( - 2 ) ^{n} \times r _{n} ( 1 ) - r _{n} ( 0 )}{3 ( - 4 ) ^{n + 1} + 3 ^{n - 2}} =

____。

三.計算證明題(共 15 分)

設

f (x) = x^{5} + x^{2} + x + 1

，

g (x) = 3 x^{3} + x^{2} + 8

，試證明：在

1 < x < 2

的範圍內，存在實數

k

使得

f (k) = g (k)

。(5 分)

計算證明題第 2 題（本頁第 16～17 題）（第 16～17 題）　

(1) 證明：

n^{2} \leq 2^{n}

對所有正整數

n \geq 4

均成立。(5 分)

(2) 試求極限

n \to \infty lim \frac{n}{2 ^{n}}

。(5 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)(4)

第 3 題(1)(3)

第 4 題

- \frac{1}{2}

第 5 題

0

第 6 題

\frac{1}{2}

第 7 題

0

第 8 題

\frac{1}{6}

第 9 題

{x ∣ \frac{1}{2} \leq x < 2, x \neq = 1, x \in R}

第 10 題

11

第 11 題

5000

第 12 題

- 5

第 13 題

\frac{1}{e ^{2}}

第 14 題

- \frac{2}{3}

第 15 題證明見詳解（令

h (x) = f (x) - g (x)

，用勘根定理）

第 16 題證明見詳解（數學歸納法）

第 17 題

0

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1：哪些無窮級數恆收斂

第 1 題答案 (2)。 (1) 錯誤。 把各項分組：

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}

，

\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{2}

，之後每一組（項數依序是

8, 16, \dots

）的和也都大於

\frac{1}{2}

。部分和可以超過任何數，級數發散。 (2) 正確。 這是首項

1

、公比

- \frac{1}{2}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，收斂，和為

\frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

。 (3) 錯誤。 公比為

- 2

，絕對值不小於

1

，等比級數發散。 (4) 錯誤。 一般項的分子分母同除以

5^{n}

，得

\frac{1 - ( \frac{4}{5} ) ^{n}}{1 + ( \frac{4}{5} ) ^{n}}

，它趨近

1

而不是

0

，所以級數發散。 (5) 錯誤。 前

n

項的和是

a_{1} - a_{n + 1}

，要看

⟨ a_{n} ⟩

收不收斂。例如

a_{n} = n

時每一項都是

- 1

，級數發散；所以不是恆收斂。

(1) 的一般項

\frac{1}{n}

趨近

0

，級數卻發散：一般項趨近

0

只是級數收斂的必要條件。(5) 在

⟨ a_{n} ⟩

收斂時才收斂，和為

a_{1} - n \to \infty lim a_{n}

。

02多選 2：哪些無窮數列收斂

第 2 題答案 (3)(4)。 (1) 錯誤。

(- 2)^{n} (\frac{3}{4})^{n + 3} = (\frac{3}{4})^{3} (- \frac{3}{2})^{n}

，公比

- \frac{3}{2}

的絕對值大於

1

，發散。 (2) 錯誤。 分子是三次、分母是二次。分子分母同除以

n^{2}

，得

\frac{0.001 n}{2025 - \frac{5}{n} + \frac{100}{n ^{2}}}

，分母趨近

2025

，分子沒有上界，發散。係數再小也不影響。 (3) 正確。 公比

- 0.999

的絕對值小於

1

，數列收斂到

0

。 (4) 正確。 負指數搬到另一邊：

\frac{0.00001 ( n - 1 ) ^{- 3}}{20252025 ( n + 1 ) ^{- 2}} = \frac{0.00001 ( n + 1 ) ^{2}}{20252025 ( n - 1 ) ^{3}}

，分子二次、分母三次，收斂到

0

。 (5) 錯誤。

\frac{π ^{n}}{( 3.14 ) ^{n - 9}} = (3.14)^{9} (\frac{π}{3.14})^{n}

，而

π = 3.14159 \dots > 3.14

，公比大於

1

，發散。

(4) 的式子在

n = 1

時出現

0^{- 3}

，沒有定義；收斂與否只看

n

很大時的情形，從第

2

項起看即可，學校公布的答案也含 (4)。(5) 的公比

\frac{π}{3.14} \approx 1.0005

，只比

1

大一點點，但只要大於

1

就發散。

03多選 3：極限的性質與勘根定理的條件

第 3 題答案 (1)(3)。 (1) 正確。

b_{n} = (a_{n} + b_{n}) - a_{n}

，兩個收斂數列相減仍收斂。 (2) 錯誤。 取

a_{n} = (- 1)^{n}

，它發散；但

a_{n}^{2} = 1

是常數數列，收斂。 (3) 正確。 假如

α > β

，當

n

夠大時

a_{n}

很接近

α

、

b_{n}

很接近

β

，就會有

a_{n} > b_{n}

，與條件矛盾。所以

α \leq β

。 (4) 錯誤。 取

a_{n} = - 1

、

b_{n} = 1

、

c_{n} = (- 1)^{n}

，條件都成立，但

⟨ c_{n} ⟩

發散。夾擠定理還需要

⟨ a_{n} ⟩

與

⟨ b_{n} ⟩

的極限相等。 (5) 錯誤。 勘根定理要求

f (x)

在閉區間

[a, b]

上連續。只在開區間連續時，端點的函數值可以與區間內的值無關。例如當

a < x \leq b

時

f (x) = 1

，而

f (a) = - 1

：它在

(a, b)

上連續，

f (a) \times f (b) = - 1 < 0

，但在

a

與

b

之間沒有任何

c

使

f (c) = 0

。

(3) 的結論不能改成

α < β

：

a_{n} = 0

、

b_{n} = \frac{1}{n}

時

a_{n} < b_{n}

恆成立，兩個極限卻都是

0

。

04填充第 1 題 (1)～(4)（本頁 4～7）：基本的極限計算

第 4 題直接代

x = 0

會得到

\frac{0}{0}

，先把分子有理化。分子分母同乘

x^{2} + 1 + x + 1

：

\frac{x ^{2} + 1 - x + 1}{x} = \frac{( x ^{2} + 1 ) - ( x + 1 )}{x ( x ^{2} + 1 + x + 1 )} = \frac{x - 1}{x ^{2} + 1 + x + 1}

（

x \neq = 0

）。

x \to 0

時分子趨近

- 1

、分母趨近

2

，極限為

- \frac{1}{2}

。

第 5 題對任何實數

x

，

x - [x]

是

x

的小數部分，恆有

0 \leq x - [x] < 1

，所以外層的高斯符號值恆為

0

。函數

[x - [x]]

是常數函數

0

，極限為

0

。

如果只看內層：

x

從右邊接近

2

時

x - [x]

趨近

0

，從左邊接近

2

時趨近

1

（但始終小於

1

），內層的極限不存在；再取一次高斯符號後兩邊都是

0

，極限就存在了。

第 6 題括號裡的項數隨

n

增加，不能逐項取極限，要先加起來。分子的和是

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，所以括號內等於

\frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n}

，極限為

\frac{1}{2}

。

若逐項取極限，每一項都趨近

0

，會誤以為答案是

0

。極限的加法性質只能用在固定個數的數列相加。

第 7 題

- \frac{1}{n} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} \leq \frac{1}{n}

，而

n \to \infty lim (- \frac{1}{n}) = n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

，由夾擠定理得極限為

0

。

05填充第 2～5 題（本頁 8～11）：等比級數、定義域、連續、分項對消

第 8 題

5^{- n l o g_{5} 7} = (5^{l o g_{5} 7})^{- n} = 7^{- n} = (\frac{1}{7})^{n}

。所以這是首項

\frac{1}{7}

、公比

\frac{1}{7}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，和為

\frac{\frac{1}{7}}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{1}{6}

。

第 9 題三個條件要同時成立。根號內不可為負：

2 x - 1 \geq 0

，即

x \geq \frac{1}{2}

。對數的真數為正：

2 - x > 0

，即

x < 2

。分母不為

0

：

lo g (2 - x) \neq = 0

，即

2 - x \neq = 1

，

x \neq = 1

。定義域為

{x ∣ \frac{1}{2} \leq x < 2, x \neq = 1, x \in R}

。

最容易漏掉的是分母

lo g (2 - x) \neq = 0

這個條件。

第 10 題三段各自都是一次函數，只要看兩個接點。在

x = - 1

：左極限為

2 (- 1) - 5 = - 7

，

f (- 1) = - a - 1

，所以

- a - 1 = - 7

，

a = 6

。在

x = 2

：左極限為

2 a - 1 = 11

，

f (2) = 2 b + 11

，所以

2 b + 11 = 11

，

b = 0

。於是

f (1) = 6 \cdot 1 - 1 = 5

；而

5 \geq 2

，用第三段，

f (5) = 0 \cdot 5 + 11 = 11

。故

f (f (1)) = 11

。

算

f (5)

時要先看

5

落在哪一段。

第 11 題分母

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，所以一般項是

\frac{2 a}{n ( n + 1 )} = 2 a (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})

。前

n

項的和中間各項對消，剩下

2 a (1 - \frac{1}{n + 1})

，

n \to \infty

時趨近

2 a

。由

2 a = 10000

得

a = 5000

。

06填充第 6 題（本頁 12）：兩個極限都存在

第 12 題

x \to 2

時分母

x - 2

趨近

0

，極限存在則分子也要趨近

0

：

8 a + 2 b + c = 0

。同理

x \to - 3

時

9 a - 3 b + c = 0

。兩式相減得

a - 5 b = 0

，即

a = 5 b

；代回得

c = - 8 a - 2 b = - 42 b

。求

k

：

c = - 8 a - 2 b

時，

a x^{3} + b x + c = a (x^{3} - 8) + b (x - 2) = (x - 2) [a (x^{2} + 2 x + 4) + b]

，約去

x - 2

後代入

x = 2

，

k = 12 a + b = 61 b

。求

t

：

c = - 9 a + 3 b

時，

a x^{2} + b x + c = a (x^{2} - 9) + b (x + 3) = (x + 3) [a (x - 3) + b]

，約去

x + 3

後代入

x = - 3

，

t = - 6 a + b = - 29 b

。所以

\frac{a + c + k + t}{b} = \frac{5 b - 42 b + 61 b - 29 b}{b} = \frac{- 5 b}{b} = - 5

。

a, b, c

三個數定不出來，只能定出比例

a : b : c = 5 : 1 : (- 42)

；所求的式子分子分母都是

b

的倍數，約掉後才是定值。

07填充第 7 題（本頁 13）：e 的極限

第 13 題

(\frac{n + 1}{n + 3})^{n} = \frac{1}{( \frac{n + 3}{n + 1} ) ^{n}}

，先求分母的極限。把

\frac{n + 3}{n + 1}

拆成兩個分式相乘：

\frac{n + 3}{n + 1} = \frac{n + 3}{n + 2} \cdot \frac{n + 2}{n + 1} = (1 + \frac{1}{n + 2}) (1 + \frac{1}{n + 1})

對

j = 1, 2

，

(1 + \frac{1}{n + j})^{n} = (1 + \frac{1}{n + j})^{n + j} \div (1 + \frac{1}{n + j})^{j}

；

n \to \infty

時，被除的那一項由題目給的極限趨近

e

，除的那一項趨近

1

，所以它趨近

e

。兩個因式各自的

n

次方都趨近

e

，分母趨近

e^{2}

，所求極限為

\frac{1}{e ^{2}}

。

常見的寫法是令

m = \frac{n + 1}{2}

，把

\frac{n + 3}{n + 1}

寫成

1 + \frac{1}{m}

再湊出

[(1 + \frac{1}{m})^{m}]^{2}

。這裡的

m

不一定是整數，那樣寫等於多用了「

x

取實數趨向無限大時

(1 + \frac{1}{x})^{x}

也趨近

e

」這件事；答案相同，上面的拆法則只用到題目給的式子。

08填充第 8 題（本頁 14）：先用二項式定理求餘式

第 14 題令

u = 3 x - 2

，則

x + 1 = \frac{u + 5}{3}

，被除式為

\frac{4}{3 ^{n + 1}} (u + 5)^{n + 1}

。由二項式定理，

(u + 5)^{n + 1} = u^{n + 1} + 5 (n + 1) u^{n} + (u 的次數低於 n 的各項)

前兩項都是

u^{n} = (3 x - 2)^{n}

的倍式，其餘各項次數低於

n

，正是餘式：

r_{n} (x) = \frac{4}{3 ^{n + 1}} [(u + 5)^{n + 1} - u^{n + 1} - 5 (n + 1) u^{n}]

x = 1

時

u = 1

：

r_{n} (1) = \frac{4}{3 ^{n + 1}} [6^{n + 1} - 1 - 5 (n + 1)] = 4 \cdot 2^{n + 1} - \frac{4 ( 5 n + 6 )}{3 ^{n + 1}}

。

x = 0

時

u = - 2

：

r_{n} (0) = \frac{4}{3 ^{n + 1}} [3^{n + 1} - (- 2)^{n + 1} - 5 (n + 1) (- 2)^{n}] = 4 - \frac{4 ( 5 n + 3 ) ( - 2 ) ^{n}}{3 ^{n + 1}}

。分子：

(- 2)^{n} \cdot 4 \cdot 2^{n + 1} = 8 (- 4)^{n}

，而含

n

的兩項合併為

\frac{4 ( - 2 ) ^{n} [ ( 5 n + 3 ) - ( 5 n + 6 ) ]}{3 ^{n + 1}} = - 4 (- \frac{2}{3})^{n}

所以

(- 2)^{n} \times r_{n} (1) - r_{n} (0) = 8 (- 4)^{n} - 4 - 4 (- \frac{2}{3})^{n}

分母：

3 (- 4)^{n + 1} + 3^{n - 2} = - 12 (- 4)^{n} + \frac{3 ^{n}}{9}

。分子分母同除以

(- 4)^{n}

：分子成為

8 - \frac{4}{( - 4 ) ^{n}} - 4 (\frac{1}{6})^{n}

，趨近

8

；分母成為

- 12 + \frac{1}{9} (- \frac{3}{4})^{n}

，趨近

- 12

。所求極限為

\frac{8}{- 12} = - \frac{2}{3}

。

被除式是

n + 1

次、除式是

n

次，商是一次式，所以展開式要拿掉最高的兩項而不是一項。用

n = 1

檢查：

4 (x + 1)^{2}

除以

3 x - 2

的餘式是

4 (\frac{5}{3})^{2} = \frac{100}{9}

，公式給

r_{1} (1) = 16 - \frac{44}{9} = \frac{100}{9}

，相符。

09計算證明題第 1 題（本頁 15）：勘根定理

第 15 題令

h (x) = f (x) - g (x) = (x^{5} + x^{2} + x + 1) - (3 x^{3} + x^{2} + 8) = x^{5} - 3 x^{3} + x - 7

。

h (x)

是多項式函數，在閉區間

[1, 2]

上連續。

h (1) = 1 - 3 + 1 - 7 = - 8 < 0

，

h (2) = 32 - 24 + 2 - 7 = 3 > 0

，所以

h (1) \times h (2) < 0

。由勘根定理，在

1 < x < 2

的範圍內存在實數

k

使得

h (k) = 0

，即

f (k) = g (k)

。

學校的給分標準：算出

h (1) \times h (2) < 0

得 2 分，寫出

h (x)

在

[1, 2]

連續得 2 分，結論 1 分。「連續」這句話不能省。

10計算證明題第 2 題（本頁 16～17）：數學歸納法與夾擠定理

第 16 題用數學歸納法。一、

n = 4

時，

4^{2} = 16 = 2^{4}

，原式成立。二、設

n = k

（

k \geq 4

）時成立，即

k^{2} \leq 2^{k}

。則

n = k + 1

時，

2^{k + 1} = 2 \cdot 2^{k} \geq 2 k^{2}

。又

2 k^{2} - (k + 1)^{2} = k^{2} - 2 k - 1 = (k - 1)^{2} - 2

，因為

k \geq 4

，

(k - 1)^{2} - 2 \geq 7 > 0

，所以

2 k^{2} \geq (k + 1)^{2}

。於是

2^{k + 1} \geq (k + 1)^{2}

，

n = k + 1

時原式也成立。由數學歸納法，

n^{2} \leq 2^{n}

對所有正整數

n \geq 4

均成立。

起點是

n = 4

而不是

n = 1

：

n = 3

時

9 > 8

，不等式不成立。

第 17 題由 (1)，當

n \geq 4

時

2^{n} \geq n^{2}

，所以

0 \leq \frac{n}{2 ^{n}} \leq \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n}

。而

n \to \infty lim 0 = 0 = n \to \infty lim \frac{1}{n}

，由夾擠定理得

n \to \infty lim \frac{n}{2 ^{n}} = 0

。

不等式只在

n \geq 4

時成立沒有關係，極限只看

n

很大時的情形。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

武陵高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題選項 (5) 只說在開區間連續，勘根定理要的是閉區間連續，選項 (4) 少了兩端極限相等的條件；第 5 題兩層高斯符號，內層的極限不存在，整個式子卻恆為 0；第 9 題定義域容易漏掉對數在分母不可為 0；第 14 題要先用二項式定理拿掉最高的兩項求出餘式，計算量最大。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1：哪些無窮級數恆收斂

02多選 2：哪些無窮數列收斂

03多選 3：極限的性質與勘根定理的條件

04填充第 1 題 (1)～(4)（本頁 4～7）：基本的極限計算

05填充第 2～5 題（本頁 8～11）：等比級數、定義域、連續、分項對消

06填充第 6 題（本頁 12）：兩個極限都存在

07填充第 7 題（本頁 13）：e 的極限

08填充第 8 題（本頁 14）：先用二項式定理求餘式

09計算證明題第 1 題（本頁 15）：勘根定理

10計算證明題第 2 題（本頁 16～17）：數學歸納法與夾擠定理

同一次段考的其他學校

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常見問題

武陵高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

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武陵高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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