段考詳解範圍：離散型隨機變數（機率分布、期望值、變異數與標準差）、二項分布及其在檢定上的應用

高師大附中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 13 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 13 題，照原卷順序

考試班級為孝、和兩班，考試時間 70 分鐘。多重選擇題 4 題共 24 分；填充題 9 題共 16 格，依答對格數給分（答對 1～16 格依序得 8、16、22、28、34、40、46、50、54、58、62、66、70、72、74、76 分），合計 100 分。原卷兩大題各自從 1 編號，本頁依序連續編為第 1～13 題（填充 1～9 為第 5～13 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多重選擇題：每題6分，共24分（每題均有五個選項，其中至少有一個選項是正確的。答錯一個選項得4分，答錯兩個選項得2分，錯三個或三個以上的選項不給分）

若隨機變數

X

滿足

X \sim B (10, 0.5)

，則下列何者正確？

(A) $X$ 的期望值是 $5$
(B) $P (X = 2) = P (X = 8)$
(C) $X$ 的所有可能值中，以 $X = 6$ 的機率最大
(D) $P (X = 4) > P (X = 7)$
(E) $P (X > 5) = \frac{1}{2}$

隨機變數

X

之期望值

E (X) = 4

，

X^{2}

之期望值

E (X^{2}) = 80

，下列何者正確？

(A) $V a r (X) = 76$
(B) $σ (X) = 8$
(C) $E (- 2 X + 4) = - 4$
(D) $V a r (- 2 X + 4) = 260$
(E) $σ (- 2 X + 4) = - 16$

有一顆正四面體公正骰子，四面分別標上

1

、

2

、

3

、

4

點。今連續投擲

2

次，令

X

表示朝下那面出現

1

點的次數，下列何者正確？

(A) $X$ 為隨機變數
(B) $P (X = 0) = \frac{9}{16}$
(C) $P (X = 1) = \frac{3}{8}$
(D) $P (X = 2) = \frac{1}{16}$
(E) $X$ 的期望值為 $\frac{1}{4}$

某次測驗，有

10

題是非題，若每題答對得

10

分，答錯不給分。某生每題皆任意猜答，每題猜對與否皆為獨立事件，設隨機變數

X

表示答對的題數，下列敘述哪些正確？

(A) 隨機變數 $X$ 的期望值為 $5$ 題
(B) 恰答對 $5$ 題的機率為 $\frac{1}{2}$
(C) 隨機變數 $X$ 的標準差超過 $2$
(D) 該生此測驗分數的期望值為 $50$ 分
(E) 該生此測驗分數的變異數為 $25$

二、填充題：每格全對才給分

投擲一個公正的硬幣

4

次，觀察出現正面或反面的情形，求 (1) 恰出現

2

次正面的機率＝ ____。 (2) 至少出現

2

次正面的機率＝ ____。

某人射擊每發的命中率為八成，且互不影響。今此人連續射擊

100

發，求射中靶面發數的 (1) 期望值＝ ____；(2) 標準差＝ ____。

一副撲克牌有黑桃、紅心、鑽石、梅花等

4

種花色，以及

2

、

3

、

4

、……、

10

、

J

、

Q

、

K

、

A

等

13

種點數。甲從一副撲克牌中拿出

3

張

5

點以及

2

張

10

點的牌共

5

張，請乙任意抽取

2

張。已知每張牌被抽取的機會均相等，則乙抽得

2

張牌點數之和的 (1) 期望值為 ____ 元（卷面在空格後印了「元」，所求是點數之和）(2) 標準差為 ____。

某保險公司推出一款旅遊意外險，該保單提供壽險保障額度為

200

萬元，亦即保障期間若保戶旅遊意外身故，保險公司須付出

200

萬元理賠金。已知該保單的保險費為

180

元，且依過去經驗，在旅遊途中發生意外死亡的機率為

0.00002

，且每張保單的人事成本為

50

元，則保險公司每張保單獲利的期望值為 ____ 元。

設隨機變數

X

表示投擲一顆不公正骰子出現的點數，

P (X = k)

表示

X

取值為

k

的機率。已知

X

的機率分布表如下，其中

a, b

為實數，且期望值

E (X) = 3

，

X P 1 a 2 b 3 0.4 4 b 5 0.2

(1) 則數對

(a, b) =

____。 (2) 投擲此骰子兩次，則點數和不大於

4

的機率＝ ____。

如下圖，夜市裡有一種彈珠檯遊戲，彈珠從上方

O

落入檯內，假設彈珠每一次碰到檯內位於各正六邊形頂點的鐵釘後，以相等機率往左或往右繼續往下落，最後落入下方

A

、

B

、

C

、

D

、

E

五個出口之一。每局遊戲可丟

100

顆彈珠，且彈珠與彈珠間互相不影響，則 (1) 彈珠由 ____ 出口掉出的機率最大。 (2) 若

100

顆丟完後有

X

顆彈珠由出口

B

掉出，則可得

X

元獎金；由其他出口掉出則沒有獎金。試求玩一局此遊戲所得獎金的標準差＝ ____。

載入中...

校慶晚會舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了

4

個分別標有

1000

，

800

，

600

，

0

元獎額的球。參加者自行從抽獎箱裡摸取

1

球，每球被取出的機率相等，取後即放回，主持人即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽取到

0

元的人，先罰交

200

元，然後再摸一次，但是所得獎金折半（若再摸到

0

元就沒有第三次機會），則一位參加者可得獎金的期望值是 ____ 元。

某藥廠推出一款新疫苗時，宣稱該疫苗導致過敏的比率至多

2%

，今有

100

位受試者參加試驗，結果有

6

位受試者有過敏反應。設隨機變數

X

的取值為有過敏反應的人數，請參考下表（

X \sim B (100, 0.02)

的一部分），並設定顯著水準為

0.05

，則

X = k P (X = k) P (X \leq k) 0 0.132620 0.132620 1 0.270652 0.403272 2 0.273414 0.676686 3 0.182276 0.858962 4 0.090208 0.949170 5 0.035347 0.984516 \dots\dots \dots\dots \dots\dots

(1) 拒絕域為 ____。 (2) 對於該藥廠的說法應該 ____（填入拒絕或接受）。

有一種在數線上移動一個棋子的遊戲，移動棋子的方式是以投擲一顆公正骰子來決定，其規則如下：（一）當所擲點數為

1

點時，棋子不移動。（二）當所擲點數為

3

或

5

點時，棋子向左（負向）移動「該點數減

1

」單位。（三）當所擲點數為偶數時，棋子向右（正向）移動「該點數的一半」單位。第一次擲骰子時，棋子以原點當起點。第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點。例如，投擲骰子兩次，第一、二次分別擲出點數為

5

點、

2

點時，該棋子先向左移動

4

單位至坐標

- 4

，再向右移動

1

單位至坐標

- 3

，則 (1) 投擲骰子一次，棋子的坐標之期望值為 ____。 (2) 投擲骰子三次，棋子在原點的機率為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(D)

第 2 題(B)(C)

第 3 題(A)(B)(C)(D)

第 4 題(A)(D)

第 5 題(1)

\frac{3}{8}

　(2)

\frac{11}{16}

第 6 題(1)

80

　(2)

4

第 7 題(1)

14

　(2)

3

第 8 題

90

第 9 題(1)

(0.2, 0.1)

　(2)

\frac{1}{4}

第 10 題(1)

C

　(2)

\frac{5 3}{2}

第 11 題

625

第 12 題(1)

X > 5

（也就是

X \geq 6

）　(2) 拒絕

第 13 題(1)

0

　(2)

\frac{19}{216}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1 題：二項分布的對稱與機率最大的取值

1 (A)正確。二項分布

B (n, p)

的期望值是

n p

，這裡

n = 10

、

p = 0.5

，期望值為

10 \times 0.5 = 5

。

1 (B)正確。

P (X = k) = C_{k}^{10} (\frac{1}{2})^{10}

。因為

C_{2}^{10} = C_{8}^{10} = 45

，兩個機率都是

\frac{45}{1024}

。

p = \frac{1}{2}

時成功與失敗的機率相同，

P (X = k) = P (X = 10 - k)

，分布左右對稱。

1 (C)錯誤。每個機率的分母都是

1024

，只要比

C_{k}^{10}

的大小。組合數在正中間最大：

C_{5}^{10} = 252

，而

C_{6}^{10} = 210

，所以機率最大的是

X = 5

，不是

X = 6

。

1 (D)正確。

C_{4}^{10} = 210

、

C_{7}^{10} = C_{3}^{10} = 120

，所以

P (X = 4) = \frac{210}{1024}

比

P (X = 7) = \frac{120}{1024}

大。

1 (E)錯誤。由對稱

P (X > 5) = P (X < 5)

，兩者加上

P (X = 5)

才是

1

。

P (X = 5) = \frac{252}{1024}

不是

0

，所以

P (X > 5) = \frac{1}{2} (1 - \frac{252}{1024}) = \frac{386}{1024} = \frac{193}{512}

比

\frac{1}{2}

小。

\frac{193}{512} \approx 0.377

。次數是偶數時，正中間那一項佔掉一塊機率，兩邊各自就不到一半。

p = \frac{1}{2}

的二項分布左右對稱，比機率只要比組合數；正中間的組合數最大。

02多選第 2 題：變異數、標準差與一次式變換

2 (A)錯誤。

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 80 - 4^{2} = 64

。

76

是只減了

E (X)

、沒有平方的結果。

2 (B)正確。標準差是變異數的正平方根，

σ (X) = 64 = 8

。

2 (C)正確。

E (a X + b) = a E (X) + b

，所以

E (- 2 X + 4) = - 2 \times 4 + 4 = - 4

。

2 (D)錯誤。

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

，加上的常數不影響變異數，所以

V a r (- 2 X + 4) = (- 2)^{2} \times 64 = 256

。

260

是多加了常數

4

的結果。

2 (E)錯誤。

σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)

，所以

σ (- 2 X + 4) = 2 \times 8 = 16

。標準差不會是負數。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

，

σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)

。

03多選第 3 題：擲正四面體骰子兩次

3 (A)正確。每一種投擲結果都對應到一個數（出現

1

點的次數

0

、

1

或

2

），所以

X

是隨機變數。

3 (B)正確。每次朝下那面是

1

點的機率為

\frac{1}{4}

、不是

1

點的機率為

\frac{3}{4}

，兩次互相獨立。兩次都不是

1

點的機率為

(\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16}

。

3 (C)正確。恰有一次是

1

點，可以是第一次或第二次，機率為

C_{1}^{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

。

3 (D)正確。兩次都是

1

點的機率為

(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}

。

三個機率相加

\frac{9}{16} + \frac{6}{16} + \frac{1}{16} = 1

，可以用來檢查。

3 (E)錯誤。

E (X) = 0 \times \frac{9}{16} + 1 \times \frac{6}{16} + 2 \times \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

。也可以看成

X \sim B (2, \frac{1}{4})

，期望值

2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

。

\frac{1}{4}

是只擲一次的期望值。

04多選第 4 題：猜是非題的題數與得分

4 (A)正確。每題猜對的機率是

\frac{1}{2}

，各題獨立，所以

X \sim B (10, \frac{1}{2})

，期望值

10 \times \frac{1}{2} = 5

題。

4 (B)錯誤。

P (X = 5) = C_{5}^{10} (\frac{1}{2})^{10} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}

，大約

0.246

，不是

\frac{1}{2}

。

4 (C)錯誤。

V a r (X) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

，標準差

2.5

。因為

2^{2} = 4

比

2.5

大，所以標準差比

2

小。

2.5 \approx 1.58

。

4 (D)正確。分數是

10 X

，期望值

E (10 X) = 10 \times 5 = 50

分。

4 (E)錯誤。

V a r (10 X) = 1 0^{2} \times V a r (X) = 100 \times \frac{5}{2} = 250

。變異數要乘上倍數的平方，

25

是只乘了

10

的結果。

題數換成分數是乘上

10

：期望值乘

10

，變異數乘

100

，標準差乘

10

。

05填充 1～3（第 5～7 題）：擲硬幣、射擊、抽兩張牌

第 5 題出現正面的次數

X \sim B (4, \frac{1}{2})

，

P (X = k) = C_{k}^{4} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{C _{k}^{4}}{16}

。 (1)

P (X = 2) = \frac{C _{2}^{4}}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

。 (2) 「至少

2

次」的反面是

0

次或

1

次：

P (X = 0) + P (X = 1) = \frac{1 + 4}{16} = \frac{5}{16}

，所以所求為

1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}

。

直接加也可以：

\frac{6 + 4 + 1}{16} = \frac{11}{16}

。

第 6 題射中的發數

X \sim B (100, 0.8)

。 (1) 期望值

n p = 100 \times 0.8 = 80

。 (2) 變異數

n p (1 - p) = 100 \times 0.8 \times 0.2 = 16

，標準差

16 = 4

。

第 7 題從

5

張牌任取

2

張，共

C_{2}^{5} = 10

種，機會均等。設點數之和為

X

：兩張都是

5

點（和為

10

）有

C_{2}^{3} = 3

種；一張

5

點一張

10

點（和為

15

）有

3 \times 2 = 6

種；兩張都是

10

點（和為

20

）有

C_{2}^{2} = 1

種。

X P 10 \frac{3}{10} 15 \frac{6}{10} 20 \frac{1}{10}

(1)

E (X) = 10 \times \frac{3}{10} + 15 \times \frac{6}{10} + 20 \times \frac{1}{10} = 3 + 9 + 2 = 14

。 (2)

E (X^{2}) = 100 \times \frac{3}{10} + 225 \times \frac{6}{10} + 400 \times \frac{1}{10} = 30 + 135 + 40 = 205

，所以

V a r (X) = 205 - 1 4^{2} = 9

，標準差為

3

。

卷面在 (1) 的空格後印了「元」，所求是點數之和，數值是

14

。也可以用離差算變異數：

(- 4)^{2} \times \frac{3}{10} + 1^{2} \times \frac{6}{10} + 6^{2} \times \frac{1}{10} = 4.8 + 0.6 + 3.6 = 9

。

二項分布

B (n, p)

：期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

，標準差再開根號。不是二項分布的，就老實列機率分布表。

06填充 4、5（第 8、9 題）：保險的期望值、由期望值求未知機率

第 8 題每張保單公司先收保費

180

元、付人事成本

50

元，淨收

130

元。理賠

200

萬元發生的機率是

0.00002

，理賠金額的期望值為

2000000 \times 0.00002 = 40

元。獲利的期望值

= 130 - 40 = 90

元。

列成分布也一樣：沒出事時獲利

130

元（機率

0.99998

），出事時獲利

130 - 2000000 = - 1999870

元（機率

0.00002

），期望值

130 \times 0.99998 - 1999870 \times 0.00002 = 90

。

第 9 題(1) 機率總和為

1

：

a + b + 0.4 + b + 0.2 = 1

，得

a + 2 b = 0.4

。期望值為

3

：

1 \times a + 2 b + 3 \times 0.4 + 4 b + 5 \times 0.2 = 3

，得

a + 6 b = 0.8

。兩式相減，

4 b = 0.4

，

b = 0.1

，代回得

a = 0.2

。所以

(a, b) = (0.2, 0.1)

。 (2) 兩次互相獨立，點數和不大於

4

的情形依（第一次，第二次）列出：

(1, 1)

：

0.2 \times 0.2 = 0.04

；

(1, 2)

與

(2, 1)

：各

0.2 \times 0.1 = 0.02

；

(1, 3)

與

(3, 1)

：各

0.2 \times 0.4 = 0.08

；

(2, 2)

：

0.1 \times 0.1 = 0.01

。相加得

0.04 + 0.02 \times 2 + 0.08 \times 2 + 0.01 = 0.25 = \frac{1}{4}

。

這顆骰子只會出現

1

到

5

點。「不大於

4

」包含和等於

4

，

(1, 3)

、

(3, 1)

、

(2, 2)

都要算。

07填充 6、7（第 10、11 題）：彈珠檯、摸到 0 元再摸一次

第 10 題先數彈珠要做幾次「往左或往右」的選擇。彈珠從

O

落到最上面那個正六邊形的頂端（第 1 次選擇），沿邊落到第二層正六邊形的頂端（第 2 次），再落到第三層正六邊形的頂端（第 3 次），最後落到第三層正六邊形下方兩側的頂點（第 4 次），之後才進入出口。共

4

次選擇，每次往左、往右的機率各

\frac{1}{2}

。出口由左到右

A

、

B

、

C

、

D

、

E

分別對應「往右

0

、

1

、

2

、

3

、

4

次」，機率依序為

\frac{C _{0}^{4}}{16}, \frac{C _{1}^{4}}{16}, \frac{C _{2}^{4}}{16}, \frac{C _{3}^{4}}{16}, \frac{C _{4}^{4}}{16} = \frac{1}{16}, \frac{4}{16}, \frac{6}{16}, \frac{4}{16}, \frac{1}{16}

(1) 機率最大的是出口

C

。 (2) 每顆彈珠由

B

掉出的機率是

\frac{4}{16} = \frac{1}{4}

，

100

顆互不影響，所以

X \sim B (100, \frac{1}{4})

。獎金就是

X

元，標準差為

100 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{75}{4} = \frac{5 3}{2}

出口有

5

個，剛好對應

4

次選擇的

5

種結果；只數正六邊形的層數會以為是

3

次。

\frac{5 3}{2} \approx 4.33

。

第 11 題第一次摸球，四種結果機率各

\frac{1}{4}

。摸到

1000

、

800

、

600

元的球：直接得到該金額。摸到

0

元的球：先交

200

元，再摸一次，獎金折半，可能得

500

、

400

、

300

、

0

元，機率各

\frac{1}{4}

。這條路的期望所得是

- 200 + \frac{500 + 400 + 300 + 0}{4} = - 200 + 300 = 100

元。所以期望值

= \frac{1}{4} \times (1000 + 800 + 600) + \frac{1}{4} \times 100 = 600 + 25 = 625

元。

罰交的

200

元要從獎金裡扣掉；第二次摸球取後放回，所以還是四顆球，

0

元也在裡面。

08填充 8、9（第 12、13 題）：疫苗的檢定、數線上的棋子

第 12 題藥廠宣稱過敏的比率至多

2%

。先假設宣稱成立並取邊界值

p = 0.02

，則

100

位受試者中過敏的人數

X \sim B (100, 0.02)

。過敏的人數太多才會對宣稱不利，所以拒絕域取在右邊，形如

X \geq c

，並且要讓

P (X \geq c)

不超過顯著水準

0.05

。用表中的累積機率來算：

P (X \geq 5) = 1 - P (X \leq 4) = 1 - 0.949170 = 0.050830

，比

0.05

大，

5

不能放進拒絕域。

P (X \geq 6) = 1 - P (X \leq 5) = 1 - 0.984516 = 0.015484

，比

0.05

小。 (1) 拒絕域為

X \geq 6

，人數是整數，所以也可以寫成

X > 5

。 (2) 觀察到

6

位有過敏反應，落在拒絕域內，所以應該拒絕藥廠的說法。

學校答案寫

X > 5

，與

X \geq 6

是同一個範圍。

P (X \geq 5)

只比

0.05

多出

0.00083

，要用表上的六位小數去減，不能先四捨五入成

0.05

。

第 13 題先把六種點數換成棋子的位移：

1

點是

0

；

3

點向左

2

，是

- 2

；

5

點向左

4

，是

- 4

；

2

、

4

、

6

點分別是

+ 1

、

+ 2

、

+ 3

。每種位移的機率都是

\frac{1}{6}

。 (1) 擲一次後的坐標就是位移，期望值為

\frac{0 + ( - 2 ) + ( - 4 ) + 1 + 2 + 3}{6} = 0

。 (2) 擲三次共

6^{3} = 216

種結果，機會均等。要回到原點，三次位移的和要是

0

。依用到的三個位移分類：

0, 0, 0

：

1

種。

0, 2, - 2

：三個都不同，排列

3! = 6

種。

- 2, 1, 1

：排列

3

種。

- 4, 2, 2

：排列

3

種。

- 4, 1, 3

：排列

6

種。共

1 + 6 + 3 + 3 + 6 = 19

種，機率為

\frac{19}{216}

。

檢查有沒有漏：位移含

- 4

時，另外兩次要合計

+ 4

，只有

1 + 3

與

2 + 2

；含

- 2

（不含

- 4

）時，另外兩次合計

+ 2

，只有

1 + 1

與

0 + 2

；兩個負的位移合計至少向左

4

，第三次要

+ 4

以上，做不到；都不含負的位移時只能三次都是

0

。

檢定的拒絕域要用尾端機率去找：從最極端的一邊往內加，加到快要超過顯著水準為止。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

高師大附中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 13 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 8 題（本頁第 12 題）的拒絕域要用表上的累積機率算右尾機率，五人以上的機率只比顯著水準多一點點，五不能放進拒絕域；填充第 6 題（本頁第 10 題）彈珠其實做了四次左右選擇而不是三次；多選第 1 題選項 E 忘了扣掉正中間那一項；填充第 9 題（本頁第 13 題）回到原點的走法要分類數清楚。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 114 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：離散型隨機變數（機率分布、期望值、變異數與標準差）、二項分布及其在檢定上的應用

高師大附中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 13 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 13 題，照原卷順序

若隨機變數

X

滿足

X \sim B (10, 0.5)

，則下列何者正確？

(A) $X$ 的期望值是 $5$
(B) $P (X = 2) = P (X = 8)$
(C) $X$ 的所有可能值中，以 $X = 6$ 的機率最大
(D) $P (X = 4) > P (X = 7)$
(E) $P (X > 5) = \frac{1}{2}$

隨機變數

X

之期望值

E (X) = 4

，

X^{2}

之期望值

E (X^{2}) = 80

，下列何者正確？

(A) $V a r (X) = 76$
(B) $σ (X) = 8$
(C) $E (- 2 X + 4) = - 4$
(D) $V a r (- 2 X + 4) = 260$
(E) $σ (- 2 X + 4) = - 16$

有一顆正四面體公正骰子，四面分別標上

1

、

2

、

3

、

4

點。今連續投擲

2

次，令

X

表示朝下那面出現

1

點的次數，下列何者正確？

(A) $X$ 為隨機變數
(B) $P (X = 0) = \frac{9}{16}$
(C) $P (X = 1) = \frac{3}{8}$
(D) $P (X = 2) = \frac{1}{16}$
(E) $X$ 的期望值為 $\frac{1}{4}$

某次測驗，有

10

題是非題，若每題答對得

10

分，答錯不給分。某生每題皆任意猜答，每題猜對與否皆為獨立事件，設隨機變數

X

表示答對的題數，下列敘述哪些正確？

(A) 隨機變數 $X$ 的期望值為 $5$ 題
(B) 恰答對 $5$ 題的機率為 $\frac{1}{2}$
(C) 隨機變數 $X$ 的標準差超過 $2$
(D) 該生此測驗分數的期望值為 $50$ 分
(E) 該生此測驗分數的變異數為 $25$

二、填充題：每格全對才給分

投擲一個公正的硬幣

4

次，觀察出現正面或反面的情形，求 (1) 恰出現

2

次正面的機率＝ ____。 (2) 至少出現

2

次正面的機率＝ ____。

某人射擊每發的命中率為八成，且互不影響。今此人連續射擊

100

發，求射中靶面發數的 (1) 期望值＝ ____；(2) 標準差＝ ____。

一副撲克牌有黑桃、紅心、鑽石、梅花等

4

種花色，以及

2

、

3

、

4

、……、

10

、

J

、

Q

、

K

、

A

等

13

種點數。甲從一副撲克牌中拿出

3

張

5

點以及

2

張

10

點的牌共

5

張，請乙任意抽取

2

張。已知每張牌被抽取的機會均相等，則乙抽得

2

張牌點數之和的 (1) 期望值為 ____ 元（卷面在空格後印了「元」，所求是點數之和）(2) 標準差為 ____。

某保險公司推出一款旅遊意外險，該保單提供壽險保障額度為

200

萬元，亦即保障期間若保戶旅遊意外身故，保險公司須付出

200

萬元理賠金。已知該保單的保險費為

180

元，且依過去經驗，在旅遊途中發生意外死亡的機率為

0.00002

，且每張保單的人事成本為

50

元，則保險公司每張保單獲利的期望值為 ____ 元。

設隨機變數

X

表示投擲一顆不公正骰子出現的點數，

P (X = k)

表示

X

取值為

k

的機率。已知

X

的機率分布表如下，其中

a, b

為實數，且期望值

E (X) = 3

，

X P 1 a 2 b 3 0.4 4 b 5 0.2

(1) 則數對

(a, b) =

____。 (2) 投擲此骰子兩次，則點數和不大於

4

的機率＝ ____。

如下圖，夜市裡有一種彈珠檯遊戲，彈珠從上方

O

落入檯內，假設彈珠每一次碰到檯內位於各正六邊形頂點的鐵釘後，以相等機率往左或往右繼續往下落，最後落入下方

A

、

B

、

C

、

D

、

E

五個出口之一。每局遊戲可丟

100

顆彈珠，且彈珠與彈珠間互相不影響，則 (1) 彈珠由 ____ 出口掉出的機率最大。 (2) 若

100

顆丟完後有

X

顆彈珠由出口

B

掉出，則可得

X

元獎金；由其他出口掉出則沒有獎金。試求玩一局此遊戲所得獎金的標準差＝ ____。

載入中...

校慶晚會舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了

4

個分別標有

1000

，

800

，

600

，

0

元獎額的球。參加者自行從抽獎箱裡摸取

1

球，每球被取出的機率相等，取後即放回，主持人即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽取到

0

元的人，先罰交

200

元，然後再摸一次，但是所得獎金折半（若再摸到

0

元就沒有第三次機會），則一位參加者可得獎金的期望值是 ____ 元。

某藥廠推出一款新疫苗時，宣稱該疫苗導致過敏的比率至多

2%

，今有

100

位受試者參加試驗，結果有

6

位受試者有過敏反應。設隨機變數

X

的取值為有過敏反應的人數，請參考下表（

X \sim B (100, 0.02)

的一部分），並設定顯著水準為

0.05

，則

X = k P (X = k) P (X \leq k) 0 0.132620 0.132620 1 0.270652 0.403272 2 0.273414 0.676686 3 0.182276 0.858962 4 0.090208 0.949170 5 0.035347 0.984516 \dots\dots \dots\dots \dots\dots

(1) 拒絕域為 ____。 (2) 對於該藥廠的說法應該 ____（填入拒絕或接受）。

有一種在數線上移動一個棋子的遊戲，移動棋子的方式是以投擲一顆公正骰子來決定，其規則如下：（一）當所擲點數為

1

點時，棋子不移動。（二）當所擲點數為

3

或

5

點時，棋子向左（負向）移動「該點數減

1

5

點、

2

點時，該棋子先向左移動

4

單位至坐標

- 4

，再向右移動

1

單位至坐標

- 3

，則 (1) 投擲骰子一次，棋子的坐標之期望值為 ____。 (2) 投擲骰子三次，棋子在原點的機率為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(D)

第 2 題(B)(C)

第 3 題(A)(B)(C)(D)

第 4 題(A)(D)

第 5 題(1)

\frac{3}{8}

　(2)

\frac{11}{16}

第 6 題(1)

80

　(2)

4

第 7 題(1)

14

　(2)

3

第 8 題

90

第 9 題(1)

(0.2, 0.1)

　(2)

\frac{1}{4}

第 10 題(1)

C

　(2)

\frac{5 3}{2}

第 11 題

625

第 12 題(1)

X > 5

（也就是

X \geq 6

）　(2) 拒絕

第 13 題(1)

0

　(2)

\frac{19}{216}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1 題：二項分布的對稱與機率最大的取值

1 (A)正確。二項分布

B (n, p)

的期望值是

n p

，這裡

n = 10

、

p = 0.5

，期望值為

10 \times 0.5 = 5

。

1 (B)正確。

P (X = k) = C_{k}^{10} (\frac{1}{2})^{10}

。因為

C_{2}^{10} = C_{8}^{10} = 45

，兩個機率都是

\frac{45}{1024}

。

p = \frac{1}{2}

時成功與失敗的機率相同，

P (X = k) = P (X = 10 - k)

，分布左右對稱。

1 (C)錯誤。每個機率的分母都是

1024

，只要比

C_{k}^{10}

的大小。組合數在正中間最大：

C_{5}^{10} = 252

，而

C_{6}^{10} = 210

，所以機率最大的是

X = 5

，不是

X = 6

。

1 (D)正確。

C_{4}^{10} = 210

、

C_{7}^{10} = C_{3}^{10} = 120

，所以

P (X = 4) = \frac{210}{1024}

比

P (X = 7) = \frac{120}{1024}

大。

1 (E)錯誤。由對稱

P (X > 5) = P (X < 5)

，兩者加上

P (X = 5)

才是

1

。

P (X = 5) = \frac{252}{1024}

不是

0

，所以

P (X > 5) = \frac{1}{2} (1 - \frac{252}{1024}) = \frac{386}{1024} = \frac{193}{512}

比

\frac{1}{2}

小。

\frac{193}{512} \approx 0.377

。次數是偶數時，正中間那一項佔掉一塊機率，兩邊各自就不到一半。

p = \frac{1}{2}

的二項分布左右對稱，比機率只要比組合數；正中間的組合數最大。

02多選第 2 題：變異數、標準差與一次式變換

2 (A)錯誤。

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 80 - 4^{2} = 64

。

76

是只減了

E (X)

、沒有平方的結果。

2 (B)正確。標準差是變異數的正平方根，

σ (X) = 64 = 8

。

2 (C)正確。

E (a X + b) = a E (X) + b

，所以

E (- 2 X + 4) = - 2 \times 4 + 4 = - 4

。

2 (D)錯誤。

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

，加上的常數不影響變異數，所以

V a r (- 2 X + 4) = (- 2)^{2} \times 64 = 256

。

260

是多加了常數

4

的結果。

2 (E)錯誤。

σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)

，所以

σ (- 2 X + 4) = 2 \times 8 = 16

。標準差不會是負數。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

，

σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)

。

03多選第 3 題：擲正四面體骰子兩次

3 (A)正確。每一種投擲結果都對應到一個數（出現

1

點的次數

0

、

1

或

2

），所以

X

是隨機變數。

3 (B)正確。每次朝下那面是

1

點的機率為

\frac{1}{4}

、不是

1

點的機率為

\frac{3}{4}

，兩次互相獨立。兩次都不是

1

點的機率為

(\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16}

。

3 (C)正確。恰有一次是

1

點，可以是第一次或第二次，機率為

C_{1}^{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

。

3 (D)正確。兩次都是

1

點的機率為

(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}

。

三個機率相加

\frac{9}{16} + \frac{6}{16} + \frac{1}{16} = 1

，可以用來檢查。

3 (E)錯誤。

E (X) = 0 \times \frac{9}{16} + 1 \times \frac{6}{16} + 2 \times \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

。也可以看成

X \sim B (2, \frac{1}{4})

，期望值

2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

。

\frac{1}{4}

是只擲一次的期望值。

04多選第 4 題：猜是非題的題數與得分

4 (A)正確。每題猜對的機率是

\frac{1}{2}

，各題獨立，所以

X \sim B (10, \frac{1}{2})

，期望值

10 \times \frac{1}{2} = 5

題。

4 (B)錯誤。

P (X = 5) = C_{5}^{10} (\frac{1}{2})^{10} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}

，大約

0.246

，不是

\frac{1}{2}

。

4 (C)錯誤。

V a r (X) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

，標準差

2.5

。因為

2^{2} = 4

比

2.5

大，所以標準差比

2

小。

2.5 \approx 1.58

。

4 (D)正確。分數是

10 X

，期望值

E (10 X) = 10 \times 5 = 50

分。

4 (E)錯誤。

V a r (10 X) = 1 0^{2} \times V a r (X) = 100 \times \frac{5}{2} = 250

。變異數要乘上倍數的平方，

25

是只乘了

10

的結果。

題數換成分數是乘上

10

：期望值乘

10

，變異數乘

100

，標準差乘

10

。

05填充 1～3（第 5～7 題）：擲硬幣、射擊、抽兩張牌

第 5 題出現正面的次數

X \sim B (4, \frac{1}{2})

，

P (X = k) = C_{k}^{4} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{C _{k}^{4}}{16}

。 (1)

P (X = 2) = \frac{C _{2}^{4}}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

。 (2) 「至少

2

次」的反面是

0

次或

1

次：

P (X = 0) + P (X = 1) = \frac{1 + 4}{16} = \frac{5}{16}

，所以所求為

1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}

。

直接加也可以：

\frac{6 + 4 + 1}{16} = \frac{11}{16}

。

第 6 題射中的發數

X \sim B (100, 0.8)

。 (1) 期望值

n p = 100 \times 0.8 = 80

。 (2) 變異數

n p (1 - p) = 100 \times 0.8 \times 0.2 = 16

，標準差

16 = 4

。

第 7 題從

5

張牌任取

2

張，共

C_{2}^{5} = 10

種，機會均等。設點數之和為

X

：兩張都是

5

點（和為

10

）有

C_{2}^{3} = 3

種；一張

5

點一張

10

點（和為

15

）有

3 \times 2 = 6

種；兩張都是

10

點（和為

20

）有

C_{2}^{2} = 1

種。

X P 10 \frac{3}{10} 15 \frac{6}{10} 20 \frac{1}{10}

(1)

E (X) = 10 \times \frac{3}{10} + 15 \times \frac{6}{10} + 20 \times \frac{1}{10} = 3 + 9 + 2 = 14

。 (2)

E (X^{2}) = 100 \times \frac{3}{10} + 225 \times \frac{6}{10} + 400 \times \frac{1}{10} = 30 + 135 + 40 = 205

，所以

V a r (X) = 205 - 1 4^{2} = 9

，標準差為

3

。

卷面在 (1) 的空格後印了「元」，所求是點數之和，數值是

14

。也可以用離差算變異數：

(- 4)^{2} \times \frac{3}{10} + 1^{2} \times \frac{6}{10} + 6^{2} \times \frac{1}{10} = 4.8 + 0.6 + 3.6 = 9

。

二項分布

B (n, p)

：期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

，標準差再開根號。不是二項分布的，就老實列機率分布表。

06填充 4、5（第 8、9 題）：保險的期望值、由期望值求未知機率

第 8 題每張保單公司先收保費

180

元、付人事成本

50

元，淨收

130

元。理賠

200

萬元發生的機率是

0.00002

，理賠金額的期望值為

2000000 \times 0.00002 = 40

元。獲利的期望值

= 130 - 40 = 90

元。

列成分布也一樣：沒出事時獲利

130

元（機率

0.99998

），出事時獲利

130 - 2000000 = - 1999870

元（機率

0.00002

），期望值

130 \times 0.99998 - 1999870 \times 0.00002 = 90

。

第 9 題(1) 機率總和為

1

：

a + b + 0.4 + b + 0.2 = 1

，得

a + 2 b = 0.4

。期望值為

3

：

1 \times a + 2 b + 3 \times 0.4 + 4 b + 5 \times 0.2 = 3

，得

a + 6 b = 0.8

。兩式相減，

4 b = 0.4

，

b = 0.1

，代回得

a = 0.2

。所以

(a, b) = (0.2, 0.1)

。 (2) 兩次互相獨立，點數和不大於

4

的情形依（第一次，第二次）列出：

(1, 1)

：

0.2 \times 0.2 = 0.04

；

(1, 2)

與

(2, 1)

：各

0.2 \times 0.1 = 0.02

；

(1, 3)

與

(3, 1)

：各

0.2 \times 0.4 = 0.08

；

(2, 2)

：

0.1 \times 0.1 = 0.01

。相加得

0.04 + 0.02 \times 2 + 0.08 \times 2 + 0.01 = 0.25 = \frac{1}{4}

。

這顆骰子只會出現

1

到

5

點。「不大於

4

」包含和等於

4

，

(1, 3)

、

(3, 1)

、

(2, 2)

都要算。

07填充 6、7（第 10、11 題）：彈珠檯、摸到 0 元再摸一次

第 10 題先數彈珠要做幾次「往左或往右」的選擇。彈珠從

O

4

次選擇，每次往左、往右的機率各

\frac{1}{2}

。出口由左到右

A

、

B

、

C

、

D

、

E

分別對應「往右

0

、

1

、

2

、

3

、

4

次」，機率依序為

\frac{C _{0}^{4}}{16}, \frac{C _{1}^{4}}{16}, \frac{C _{2}^{4}}{16}, \frac{C _{3}^{4}}{16}, \frac{C _{4}^{4}}{16} = \frac{1}{16}, \frac{4}{16}, \frac{6}{16}, \frac{4}{16}, \frac{1}{16}

(1) 機率最大的是出口

C

。 (2) 每顆彈珠由

B

掉出的機率是

\frac{4}{16} = \frac{1}{4}

，

100

顆互不影響，所以

X \sim B (100, \frac{1}{4})

。獎金就是

X

元，標準差為

100 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{75}{4} = \frac{5 3}{2}

出口有

5

個，剛好對應

4

次選擇的

5

種結果；只數正六邊形的層數會以為是

3

次。

\frac{5 3}{2} \approx 4.33

。

第 11 題第一次摸球，四種結果機率各

\frac{1}{4}

。摸到

1000

、

800

、

600

元的球：直接得到該金額。摸到

0

元的球：先交

200

元，再摸一次，獎金折半，可能得

500

、

400

、

300

、

0

元，機率各

\frac{1}{4}

。這條路的期望所得是

- 200 + \frac{500 + 400 + 300 + 0}{4} = - 200 + 300 = 100

元。所以期望值

= \frac{1}{4} \times (1000 + 800 + 600) + \frac{1}{4} \times 100 = 600 + 25 = 625

元。

罰交的

200

元要從獎金裡扣掉；第二次摸球取後放回，所以還是四顆球，

0

元也在裡面。

08填充 8、9（第 12、13 題）：疫苗的檢定、數線上的棋子

第 12 題藥廠宣稱過敏的比率至多

2%

。先假設宣稱成立並取邊界值

p = 0.02

，則

100

位受試者中過敏的人數

X \sim B (100, 0.02)

。過敏的人數太多才會對宣稱不利，所以拒絕域取在右邊，形如

X \geq c

，並且要讓

P (X \geq c)

不超過顯著水準

0.05

。用表中的累積機率來算：

P (X \geq 5) = 1 - P (X \leq 4) = 1 - 0.949170 = 0.050830

，比

0.05

大，

5

不能放進拒絕域。

P (X \geq 6) = 1 - P (X \leq 5) = 1 - 0.984516 = 0.015484

，比

0.05

小。 (1) 拒絕域為

X \geq 6

，人數是整數，所以也可以寫成

X > 5

。 (2) 觀察到

6

位有過敏反應，落在拒絕域內，所以應該拒絕藥廠的說法。

學校答案寫

X > 5

，與

X \geq 6

是同一個範圍。

P (X \geq 5)

只比

0.05

多出

0.00083

，要用表上的六位小數去減，不能先四捨五入成

0.05

。

第 13 題先把六種點數換成棋子的位移：

1

點是

0

；

3

點向左

2

，是

- 2

；

5

點向左

4

，是

- 4

；

2

、

4

、

6

點分別是

+ 1

、

+ 2

、

+ 3

。每種位移的機率都是

\frac{1}{6}

。 (1) 擲一次後的坐標就是位移，期望值為

\frac{0 + ( - 2 ) + ( - 4 ) + 1 + 2 + 3}{6} = 0

。 (2) 擲三次共

6^{3} = 216

種結果，機會均等。要回到原點，三次位移的和要是

0

。依用到的三個位移分類：

0, 0, 0

：

1

種。

0, 2, - 2

：三個都不同，排列

3! = 6

種。

- 2, 1, 1

：排列

3

種。

- 4, 2, 2

：排列

3

種。

- 4, 1, 3

：排列

6

種。共

1 + 6 + 3 + 3 + 6 = 19

種，機率為

\frac{19}{216}

。

檢查有沒有漏：位移含

- 4

時，另外兩次要合計

+ 4

，只有

1 + 3

與

2 + 2

；含

- 2

（不含

- 4

）時，另外兩次合計

+ 2

，只有

1 + 1

與

0 + 2

；兩個負的位移合計至少向左

4

，第三次要

+ 4

以上，做不到；都不含負的位移時只能三次都是

0

。

檢定的拒絕域要用尾端機率去找：從最極端的一邊往內加，加到快要超過顯著水準為止。

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02多選第 2 題：變異數、標準差與一次式變換

03多選第 3 題：擲正四面體骰子兩次

04多選第 4 題：猜是非題的題數與得分

05填充 1～3（第 5～7 題）：擲硬幣、射擊、抽兩張牌

06填充 4、5（第 8、9 題）：保險的期望值、由期望值求未知機率

07填充 6、7（第 10、11 題）：彈珠檯、摸到 0 元再摸一次

08填充 8、9（第 12、13 題）：疫苗的檢定、數線上的棋子

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高三第一次段考
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