段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 求和、無窮等比級數與循環小數、函數的合成與奇偶性、函數的極限與連續）

平鎮高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題要逐一用定義檢查，高斯符號與平移過的拋物線都不是偶函數；單選第 2 題是先開根號再代入多項式，定義域只受根號限制；選填 B（本頁第 6 題）分子要先用平方和公式收成一個式子再求極限；選填 P（第 20 題）接點的函數值用上面那一段算，負號代入時要留意。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多選題 2 題（10 分）、選填題 16 題（80 分）；全卷畫卡作答

第一部分：選擇題（佔 20 分）　壹、單選題（佔 10 分）｜第 1 至 2 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

試問下列有關極限

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{3}} + (0.9999)^{n} + \frac{2 n - 1}{n} + (- 1)^{n})

的敘述何者正確？

(1) 極限為 $1$
(2) 極限為 $2$
(3) 極限為 $3$
(4) 極限為 $4$
(5) 極限不存在

已知函數

f (x) = x

，

g (x) = x^{2} - 2 x - 3

，求

g (x)

與

f (x)

的合成函數

(g \circ f) (x)

的定義域為

(1) ${x ∣ x \in R}$
(2) ${x \in R ∣ x \geq 0}$
(3) ${x \in R ∣ - 1 \leq x \leq 3}$
(4) ${x \in R ∣ - 1 < x < 3}$
(5) ${x \in R ∣ x \geq 3 或 x \leq - 1}$

貳、多選題（佔 10 分）｜第 3 至 4 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 5 分，只錯一個選項可得 3 分，錯兩個選項可得 1 分，不作答或錯三個以上選項不給分。

試問下列哪些數列的極限值不存在？

(1) $⟨ \frac{n}{n + 1} ⟩$
(2) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$
(3) $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} ⟩$
(4) $⟨ n^{2} ⟩$
(5) $⟨ 7^{n} ⟩$

下列哪些函數是偶函數？

(1) $f_{1} (x) = (x + 2)^{2}$
(2) $f_{2} (x) = 100 x^{4} - 3$
(3) $f_{3} (x) = [x]$
(4) $f_{4} (x) = sin x$
(5) $f_{5} (x) = ∣ x ∣$

第二部分：選填題（佔 80 分）｜1. 第 A 至 P 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（5～40）。2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（原卷題號 A～P，本頁編為第 5～20 題）

求

n \to \infty lim \frac{5 n - 4 n ^{3} - 11}{3 n - 5 n ^{3}} =

____。（以最簡分數作答）

求

n \to \infty lim \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + n ^{2}}{2 n ^{3} + 1} =

____。（以最簡分數作答）

求

k = 1 \sum 24 k (k - 16)

的值。____。

求無窮等比級數的和：

30 + 18 + \frac{54}{5} + \frac{162}{25} + \dots =

____。

若將循環小數

0.2 \overline{8}

化為有理數，此有理數化為最簡分數之值為 ____。（以最簡分數作答）

有一個面積為

32

的正方形，先將其等分成

4

個相同的小正方形，並將左上方和右下方的兩個正方形塗黑；接著，再將右上方的小正方形等分成

4

個相同的更小正方形，並將左上方和右下方的兩個正方形塗黑；如此繼續下去…，則所有黑色區域的面積總和為 ____。（以最簡分數作答）

載入中...

已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

中的每一項

a_{n}

都滿足

6 n^{2} + 3 < a_{n} < 6 n^{2} + 5

，求

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}}

的值。____。

設

f (x) = x^{2} + x

，

g (x) = 2 x + 3

，則

(f \circ g) (x)

為幾次多項式函數？____。

求

x \to - 2 lim (x^{2} - 2 x - 3)^{4} =

____。

求

x \to 2 lim (\frac{10 x + 2}{x - 1} + \frac{x + 1}{x - 3}) =

____。

求

x \to 3 lim \frac{x ^{3} - 27}{x - 3} =

____。

若

- ∣ x ∣ \leq x \times sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

，則

x \to 0 lim (x \times sin \frac{1}{x}) =

____。

設

a

為實數，且極限

x \to - 2 lim \frac{3 x ^{2} + 2 x + a}{x + 2}

存在，求此極限為 ____。

已知

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 7

，則數對

(a, b) =

____。

設

y = f (x)

為一函數，若

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4 x + 3} \leq f (x) \leq \frac{x ^{2} - 3 x}{x ^{2} - 9}

，試求

x \to 3 lim f (x)

之值化為最簡分數為 ____。

已知函數

f (x) = {x^{2} - 4 x + 6, x + a, 當 x \geq - 2 當 x < - 2

為連續函數，求實數

a

的值。____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(2)

第 3 題(2)(4)(5)

第 4 題(2)(5)

第 5 題

\frac{4}{5}

第 6 題

\frac{1}{6}

第 7 題

100

第 8 題

75

第 9 題

\frac{13}{45}

第 10 題

\frac{64}{3}

第 11 題

6

第 12 題

2

第 13 題

625

第 14 題

19

第 15 題

27

第 16 題

0

第 17 題

- 10

第 18 題

(5, - 6)

第 19 題

\frac{1}{2}

第 20 題

20

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1、2 題）：極限的存在、合成函數的定義域

第 1 題答案 (5)。前三項各自收斂：

\frac{1}{n ^{3}} \to 0

；

0.9999

的絕對值小於

1

，所以

(0.9999)^{n} \to 0

；

\frac{2 n - 1}{n} = 2 - \frac{1}{n} \to 2

。這三項的和趨近

2

。但

(- 1)^{n}

在

- 1

與

1

之間來回，所以整個式子在

n

很大時，奇數項接近

2 - 1 = 1

、偶數項接近

2 + 1 = 3

，不會趨近同一個數，極限不存在。

(0.9999)^{n}

雖然降得很慢，公比的絕對值小於

1

就一定趨近

0

；讓極限不存在的是

(- 1)^{n}

這一項。

第 2 題答案 (2)。

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x)

，要先能算

f (x) = x

，所以

x \geq 0

；而

g

是多項式函數，任何實數都能代入，不再多出限制。因此定義域是

{x \in R ∣ x \geq 0}

。

化簡後

(g \circ f) (x) = x - 2 x - 3

。選項 (3)(4)(5) 是從

x^{2} - 2 x - 3

的正負去想，那是

(f \circ g) (x) = x^{2} - 2 x - 3

才需要的條件，合成的順序不同。

02多選題（第 3、4 題）：數列的收斂與發散、偶函數

第 3 題答案 (2)(4)(5)。(1)

\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} \to 1

，極限存在。(2)

(- 1)^{n}

在

- 1

、

1

之間來回，極限不存在。(3)

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{n ^{2}} \to 0

，所以數列趨近

0

，極限存在。(4)

n^{2}

愈來愈大、沒有上限，極限不存在。(5)

7^{n}

的公比

7 > 1

，同樣愈來愈大，極限不存在。

(3) 雖然正負交錯，但絕對值趨近

0

，所以收斂到

0

；(2) 正負交錯而且絕對值一直是

1

，才是發散。

第 4 題答案 (2)(5)。偶函數要對所有

x

都有

f (- x) = f (x)

。(1)

f_{1} (1) = 9

、

f_{1} (- 1) = 1

，不相等，不是。(2)

f_{2} (- x) = 100 (- x)^{4} - 3 = 100 x^{4} - 3 = f_{2} (x)

，是。(3)

[x]

是高斯符號，

f_{3} (0.5) = 0

、

f_{3} (- 0.5) = - 1

，不是。(4)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數，不是偶函數。(5)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是。

(1) 的圖形是拋物線，對稱軸在

x = - 2

而不是

y

軸；偶函數的圖形要對稱於

y

軸。

03選填 A、B、G（第 5、6、11 題）：數列的極限

第 5 題分子分母同除以最高次

n^{3}

：

\frac{5 n - 4 n ^{3} - 11}{3 n - 5 n ^{3}} = \frac{\frac{5}{n ^{2}} - 4 - \frac{11}{n ^{3}}}{\frac{3}{n ^{2}} - 5}

。

n \to \infty

時

\frac{5}{n ^{2}}

、

\frac{11}{n ^{3}}

、

\frac{3}{n ^{2}}

都趨近

0

，極限為

\frac{- 4}{- 5} = \frac{4}{5}

。

分子分母沒有照降冪排，最高次項是

- 4 n^{3}

與

- 5 n^{3}

，不是排在最前面的

5 n

與

3 n

。

第 6 題分子用平方和公式：

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。所以原式

= \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 ( 2 n ^{3} + 1 )}

，分子分母同除以

n^{3}

得

\frac{( 1 + \frac{1}{n} ) ( 2 + \frac{1}{n} )}{6 ( 2 + \frac{1}{n ^{3}} )}

，極限為

\frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{1}{6}

。

分子的項數會跟著

n

變多，不能把

\frac{1 ^{2}}{2 n ^{3} + 1}

、

\frac{2 ^{2}}{2 n ^{3} + 1}

…各自取極限再相加；要先求和成一個式子。

第 11 題各項同除以

n^{2}

（

n^{2} > 0

，不等號方向不變）：

6 + \frac{3}{n ^{2}} < \frac{a _{n}}{n ^{2}} < 6 + \frac{5}{n ^{2}}

。

n \to \infty

時左右兩邊都趨近

6

，由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} = 6

。

分式型的數列極限先同除以分母的最高次；項數會變的和先用公式收成一個式子；只知道範圍時用夾擠定理。

04選填 C～F（第 7～10 題）：Σ 求和與無窮等比級數

第 7 題

k = 1 \sum 24 k (k - 16) = k = 1 \sum 24 k^{2} - 16 k = 1 \sum 24 k

。其中

k = 1 \sum 24 k^{2} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4900

，

k = 1 \sum 24 k = \frac{24 \times 25}{2} = 300

。所以原式

= 4900 - 16 \times 300 = 100

。

第 8 題首項

a = 30

，公比

r = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}

（檢查：

18 \times \frac{3}{5} = \frac{54}{5}

，

\frac{54}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{162}{25}

）。

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - r} = \frac{30}{1 - \frac{3}{5}} = 30 \times \frac{5}{2} = 75

。

第 9 題循環節只有

8

：

0.2 \overline{8} = 0.2 + 0.08 + 0.008 + 0.0008 + \dots

。後面是首項

0.08

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.08}{1 - 0.1} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45}

。所以

0.2 \overline{8} = \frac{1}{5} + \frac{4}{45} = \frac{9}{45} + \frac{4}{45} = \frac{13}{45}

。

另一種算法：設

x = 0.2 \overline{8}

，則

100 x - 10 x = 28. \overline{8} - 2. \overline{8} = 26

，

x = \frac{26}{90} = \frac{13}{45}

。若把循環節當成

28

會得到

\frac{28}{99}

，與本題不同。

第 10 題第一次分割：每個小正方形面積

\frac{32}{4} = 8

，塗黑兩個，面積

16

。第二次只分割右上方那個面積

8

的小正方形，每格面積

2

，塗黑兩個，面積

4

。之後每次被分割的正方形面積都是前一次的

\frac{1}{4}

，塗黑的面積也跟著變成

\frac{1}{4}

。所以黑色面積是首項

16

、公比

\frac{1}{4}

的無窮等比級數：

16 + 4 + 1 + \dots = \frac{16}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{64}{3}

。

也可以這樣檢查：每次分割時，黑色佔被分割正方形的

\frac{1}{2}

、留白

\frac{1}{4}

、剩下

\frac{1}{4}

繼續分，所以黑與白的面積比固定是

2 : 1

，黑色佔全體的

\frac{2}{3}

，

32 \times \frac{2}{3} = \frac{64}{3}

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用「首項除以（1 減公比）」；循環小數與重複分割的圖形都是同一個公式。

05選填 H（第 12 題）：合成函數

第 12 題

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} + (2 x + 3) = 4 x^{2} + 14 x + 12

，最高次項是

4 x^{2}

，所以是

2

次多項式函數。

f

是二次、

g

是一次，合成後的次數是

2 \times 1 = 2

；把一次式代進二次式，最高次項的係數

4

不會是

0

。

06選填 I～L（第 13～16 題）：函數的極限

第 13 題多項式函數的極限直接代入：

x = - 2

時

x^{2} - 2 x - 3 = 4 + 4 - 3 = 5

，所以極限為

5^{4} = 625

。

第 14 題

x = 2

時兩個分母

x - 1 = 1

、

x - 3 = - 1

都不是

0

，可以直接代入：

\frac{10 \times 2 + 2}{2 - 1} + \frac{2 + 1}{2 - 3} = 22 + (- 3) = 19

。

第 15 題直接代入是

\frac{0}{0}

，先因式分解：

x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

。

x \to 3

時

x \neq = 3

，可以約去

x - 3

，得

x \to 3 lim (x^{2} + 3 x + 9) = 9 + 9 + 9 = 27

。

第 16 題題目已給

- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

。

x \to 0

時

- ∣ x ∣ \to 0

、

∣ x ∣ \to 0

，左右兩邊的極限都是

0

，由夾擠定理，

x \to 0 lim (x sin \frac{1}{x}) = 0

。

題目的不等式來自

- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1

，各項乘上

∣ x ∣

就得到。

sin \frac{1}{x}

本身在

x \to 0

時沒有極限，所以不能拆成兩個極限相乘，要用夾擠定理。

07選填 M～P（第 17～20 題）：反求係數、夾擠定理、連續

第 17 題

x \to - 2

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

3 (- 2)^{2} + 2 (- 2) + a = 8 + a = 0

，

a = - 8

。此時

3 x^{2} + 2 x - 8 = (x + 2) (3 x - 4)

，約去

x + 2

後極限為

x \to - 2 lim (3 x - 4) = - 10

。

題目問的是極限值

- 10

，不是

a = - 8

。

第 18 題分母趨近

0

而極限存在，分子在

x = 1

的值必為

0

：

1 + a + b = 0

，即

b = - 1 - a

。於是

x^{2} + a x + b = x^{2} + a x - (1 + a) = (x - 1) (x + 1 + a)

，約去

x - 1

後極限為

1 + 1 + a = 2 + a = 7

，得

a = 5

，

b = - 6

。所以

(a, b) = (5, - 6)

。

檢查：

x^{2} + 5 x - 6 = (x - 1) (x + 6)

，

x \to 1

時

x + 6 \to 7

。

第 19 題左邊：

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4 x + 3} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 1 ) ( x - 3 )}

，

x \to 3

時約去

x - 3

，極限為

\frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}

。右邊：

\frac{x ^{2} - 3 x}{x ^{2} - 9} = \frac{x ( x - 3 )}{( x + 3 ) ( x - 3 )}

，約去

x - 3

，極限為

\frac{3}{3 + 3} = \frac{1}{2}

。左右兩邊的極限都是

\frac{1}{2}

，由夾擠定理，

x \to 3 lim f (x) = \frac{1}{2}

。

第 20 題兩段各自都是多項式，只要在接點

x = - 2

連續即可。

f (- 2) = (- 2)^{2} - 4 (- 2) + 6 = 18

，右極限也是

18

；左極限用

x + a

算，是

- 2 + a

。連續要左極限＝右極限＝函數值：

- 2 + a = 18

，得

a = 20

。

x = - 2

屬於上面那一段（

x \geq - 2

），函數值用

x^{2} - 4 x + 6

算；代入時

- 4 \times (- 2) = + 8

，三項相加是

4 + 8 + 6 = 18

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0，這個條件先用來求係數，再約去公因式算極限；分段函數在接點連續，就是左極限、右極限、函數值三者相等。

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御藍教育／段考卷／高三

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多選題 2 題（10 分）、選填題 16 題（80 分）；全卷畫卡作答

試問下列有關極限

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{3}} + (0.9999)^{n} + \frac{2 n - 1}{n} + (- 1)^{n})

的敘述何者正確？

(1) 極限為 $1$
(2) 極限為 $2$
(3) 極限為 $3$
(4) 極限為 $4$
(5) 極限不存在

已知函數

f (x) = x

，

g (x) = x^{2} - 2 x - 3

，求

g (x)

與

f (x)

的合成函數

(g \circ f) (x)

的定義域為

(1) ${x ∣ x \in R}$
(2) ${x \in R ∣ x \geq 0}$
(3) ${x \in R ∣ - 1 \leq x \leq 3}$
(4) ${x \in R ∣ - 1 < x < 3}$
(5) ${x \in R ∣ x \geq 3 或 x \leq - 1}$

試問下列哪些數列的極限值不存在？

(1) $⟨ \frac{n}{n + 1} ⟩$
(2) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$
(3) $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} ⟩$
(4) $⟨ n^{2} ⟩$
(5) $⟨ 7^{n} ⟩$

下列哪些函數是偶函數？

(1) $f_{1} (x) = (x + 2)^{2}$
(2) $f_{2} (x) = 100 x^{4} - 3$
(3) $f_{3} (x) = [x]$
(4) $f_{4} (x) = sin x$
(5) $f_{5} (x) = ∣ x ∣$

求

n \to \infty lim \frac{5 n - 4 n ^{3} - 11}{3 n - 5 n ^{3}} =

____。（以最簡分數作答）

求

n \to \infty lim \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + n ^{2}}{2 n ^{3} + 1} =

____。（以最簡分數作答）

求

k = 1 \sum 24 k (k - 16)

的值。____。

求無窮等比級數的和：

30 + 18 + \frac{54}{5} + \frac{162}{25} + \dots =

____。

若將循環小數

0.2 \overline{8}

化為有理數，此有理數化為最簡分數之值為 ____。（以最簡分數作答）

有一個面積為

32

的正方形，先將其等分成

4

個相同的小正方形，並將左上方和右下方的兩個正方形塗黑；接著，再將右上方的小正方形等分成

4

個相同的更小正方形，並將左上方和右下方的兩個正方形塗黑；如此繼續下去…，則所有黑色區域的面積總和為 ____。（以最簡分數作答）

載入中...

已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

中的每一項

a_{n}

都滿足

6 n^{2} + 3 < a_{n} < 6 n^{2} + 5

，求

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}}

的值。____。

設

f (x) = x^{2} + x

，

g (x) = 2 x + 3

，則

(f \circ g) (x)

為幾次多項式函數？____。

求

x \to - 2 lim (x^{2} - 2 x - 3)^{4} =

____。

求

x \to 2 lim (\frac{10 x + 2}{x - 1} + \frac{x + 1}{x - 3}) =

____。

求

x \to 3 lim \frac{x ^{3} - 27}{x - 3} =

____。

若

- ∣ x ∣ \leq x \times sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

，則

x \to 0 lim (x \times sin \frac{1}{x}) =

____。

設

a

為實數，且極限

x \to - 2 lim \frac{3 x ^{2} + 2 x + a}{x + 2}

存在，求此極限為 ____。

已知

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 7

，則數對

(a, b) =

____。

設

y = f (x)

為一函數，若

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4 x + 3} \leq f (x) \leq \frac{x ^{2} - 3 x}{x ^{2} - 9}

，試求

x \to 3 lim f (x)

之值化為最簡分數為 ____。

已知函數

f (x) = {x^{2} - 4 x + 6, x + a, 當 x \geq - 2 當 x < - 2

為連續函數，求實數

a

的值。____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(2)

第 3 題(2)(4)(5)

第 4 題(2)(5)

第 5 題

\frac{4}{5}

第 6 題

\frac{1}{6}

第 7 題

100

第 8 題

75

第 9 題

\frac{13}{45}

第 10 題

\frac{64}{3}

第 11 題

6

第 12 題

2

第 13 題

625

第 14 題

19

第 15 題

27

第 16 題

0

第 17 題

- 10

第 18 題

(5, - 6)

第 19 題

\frac{1}{2}

第 20 題

20

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1、2 題）：極限的存在、合成函數的定義域

第 1 題答案 (5)。前三項各自收斂：

\frac{1}{n ^{3}} \to 0

；

0.9999

的絕對值小於

1

，所以

(0.9999)^{n} \to 0

；

\frac{2 n - 1}{n} = 2 - \frac{1}{n} \to 2

。這三項的和趨近

2

。但

(- 1)^{n}

在

- 1

與

1

之間來回，所以整個式子在

n

很大時，奇數項接近

2 - 1 = 1

、偶數項接近

2 + 1 = 3

，不會趨近同一個數，極限不存在。

(0.9999)^{n}

雖然降得很慢，公比的絕對值小於

1

就一定趨近

0

；讓極限不存在的是

(- 1)^{n}

這一項。

第 2 題答案 (2)。

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x)

，要先能算

f (x) = x

，所以

x \geq 0

；而

g

是多項式函數，任何實數都能代入，不再多出限制。因此定義域是

{x \in R ∣ x \geq 0}

。

化簡後

(g \circ f) (x) = x - 2 x - 3

。選項 (3)(4)(5) 是從

x^{2} - 2 x - 3

的正負去想，那是

(f \circ g) (x) = x^{2} - 2 x - 3

才需要的條件，合成的順序不同。

02多選題（第 3、4 題）：數列的收斂與發散、偶函數

第 3 題答案 (2)(4)(5)。(1)

\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} \to 1

，極限存在。(2)

(- 1)^{n}

在

- 1

、

1

之間來回，極限不存在。(3)

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{n ^{2}} \to 0

，所以數列趨近

0

，極限存在。(4)

n^{2}

愈來愈大、沒有上限，極限不存在。(5)

7^{n}

的公比

7 > 1

，同樣愈來愈大，極限不存在。

(3) 雖然正負交錯，但絕對值趨近

0

，所以收斂到

0

；(2) 正負交錯而且絕對值一直是

1

，才是發散。

第 4 題答案 (2)(5)。偶函數要對所有

x

都有

f (- x) = f (x)

。(1)

f_{1} (1) = 9

、

f_{1} (- 1) = 1

，不相等，不是。(2)

f_{2} (- x) = 100 (- x)^{4} - 3 = 100 x^{4} - 3 = f_{2} (x)

，是。(3)

[x]

是高斯符號，

f_{3} (0.5) = 0

、

f_{3} (- 0.5) = - 1

，不是。(4)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數，不是偶函數。(5)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是。

(1) 的圖形是拋物線，對稱軸在

x = - 2

而不是

y

軸；偶函數的圖形要對稱於

y

軸。

03選填 A、B、G（第 5、6、11 題）：數列的極限

第 5 題分子分母同除以最高次

n^{3}

：

\frac{5 n - 4 n ^{3} - 11}{3 n - 5 n ^{3}} = \frac{\frac{5}{n ^{2}} - 4 - \frac{11}{n ^{3}}}{\frac{3}{n ^{2}} - 5}

。

n \to \infty

時

\frac{5}{n ^{2}}

、

\frac{11}{n ^{3}}

、

\frac{3}{n ^{2}}

都趨近

0

，極限為

\frac{- 4}{- 5} = \frac{4}{5}

。

分子分母沒有照降冪排，最高次項是

- 4 n^{3}

與

- 5 n^{3}

，不是排在最前面的

5 n

與

3 n

。

第 6 題分子用平方和公式：

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。所以原式

= \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 ( 2 n ^{3} + 1 )}

，分子分母同除以

n^{3}

得

\frac{( 1 + \frac{1}{n} ) ( 2 + \frac{1}{n} )}{6 ( 2 + \frac{1}{n ^{3}} )}

，極限為

\frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{1}{6}

。

分子的項數會跟著

n

變多，不能把

\frac{1 ^{2}}{2 n ^{3} + 1}

、

\frac{2 ^{2}}{2 n ^{3} + 1}

…各自取極限再相加；要先求和成一個式子。

第 11 題各項同除以

n^{2}

（

n^{2} > 0

，不等號方向不變）：

6 + \frac{3}{n ^{2}} < \frac{a _{n}}{n ^{2}} < 6 + \frac{5}{n ^{2}}

。

n \to \infty

時左右兩邊都趨近

6

，由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} = 6

。

分式型的數列極限先同除以分母的最高次；項數會變的和先用公式收成一個式子；只知道範圍時用夾擠定理。

04選填 C～F（第 7～10 題）：Σ 求和與無窮等比級數

第 7 題

k = 1 \sum 24 k (k - 16) = k = 1 \sum 24 k^{2} - 16 k = 1 \sum 24 k

。其中

k = 1 \sum 24 k^{2} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4900

，

k = 1 \sum 24 k = \frac{24 \times 25}{2} = 300

。所以原式

= 4900 - 16 \times 300 = 100

。

第 8 題首項

a = 30

，公比

r = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}

（檢查：

18 \times \frac{3}{5} = \frac{54}{5}

，

\frac{54}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{162}{25}

）。

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - r} = \frac{30}{1 - \frac{3}{5}} = 30 \times \frac{5}{2} = 75

。

第 9 題循環節只有

8

：

0.2 \overline{8} = 0.2 + 0.08 + 0.008 + 0.0008 + \dots

。後面是首項

0.08

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.08}{1 - 0.1} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45}

。所以

0.2 \overline{8} = \frac{1}{5} + \frac{4}{45} = \frac{9}{45} + \frac{4}{45} = \frac{13}{45}

。

另一種算法：設

x = 0.2 \overline{8}

，則

100 x - 10 x = 28. \overline{8} - 2. \overline{8} = 26

，

x = \frac{26}{90} = \frac{13}{45}

。若把循環節當成

28

會得到

\frac{28}{99}

，與本題不同。

第 10 題第一次分割：每個小正方形面積

\frac{32}{4} = 8

，塗黑兩個，面積

16

。第二次只分割右上方那個面積

8

的小正方形，每格面積

2

，塗黑兩個，面積

4

。之後每次被分割的正方形面積都是前一次的

\frac{1}{4}

，塗黑的面積也跟著變成

\frac{1}{4}

。所以黑色面積是首項

16

、公比

\frac{1}{4}

的無窮等比級數：

16 + 4 + 1 + \dots = \frac{16}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{64}{3}

。

也可以這樣檢查：每次分割時，黑色佔被分割正方形的

\frac{1}{2}

、留白

\frac{1}{4}

、剩下

\frac{1}{4}

繼續分，所以黑與白的面積比固定是

2 : 1

，黑色佔全體的

\frac{2}{3}

，

32 \times \frac{2}{3} = \frac{64}{3}

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用「首項除以（1 減公比）」；循環小數與重複分割的圖形都是同一個公式。

05選填 H（第 12 題）：合成函數

第 12 題

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} + (2 x + 3) = 4 x^{2} + 14 x + 12

，最高次項是

4 x^{2}

，所以是

2

次多項式函數。

f

是二次、

g

是一次，合成後的次數是

2 \times 1 = 2

；把一次式代進二次式，最高次項的係數

4

不會是

0

。

06選填 I～L（第 13～16 題）：函數的極限

第 13 題多項式函數的極限直接代入：

x = - 2

時

x^{2} - 2 x - 3 = 4 + 4 - 3 = 5

，所以極限為

5^{4} = 625

。

第 14 題

x = 2

時兩個分母

x - 1 = 1

、

x - 3 = - 1

都不是

0

，可以直接代入：

\frac{10 \times 2 + 2}{2 - 1} + \frac{2 + 1}{2 - 3} = 22 + (- 3) = 19

。

第 15 題直接代入是

\frac{0}{0}

，先因式分解：

x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

。

x \to 3

時

x \neq = 3

，可以約去

x - 3

，得

x \to 3 lim (x^{2} + 3 x + 9) = 9 + 9 + 9 = 27

。

第 16 題題目已給

- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

。

x \to 0

時

- ∣ x ∣ \to 0

、

∣ x ∣ \to 0

，左右兩邊的極限都是

0

，由夾擠定理，

x \to 0 lim (x sin \frac{1}{x}) = 0

。

題目的不等式來自

- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1

，各項乘上

∣ x ∣

就得到。

sin \frac{1}{x}

本身在

x \to 0

時沒有極限，所以不能拆成兩個極限相乘，要用夾擠定理。

07選填 M～P（第 17～20 題）：反求係數、夾擠定理、連續

第 17 題

x \to - 2

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

3 (- 2)^{2} + 2 (- 2) + a = 8 + a = 0

，

a = - 8

。此時

3 x^{2} + 2 x - 8 = (x + 2) (3 x - 4)

，約去

x + 2

後極限為

x \to - 2 lim (3 x - 4) = - 10

。

題目問的是極限值

- 10

，不是

a = - 8

。

第 18 題分母趨近

0

而極限存在，分子在

x = 1

的值必為

0

：

1 + a + b = 0

，即

b = - 1 - a

。於是

x^{2} + a x + b = x^{2} + a x - (1 + a) = (x - 1) (x + 1 + a)

，約去

x - 1

後極限為

1 + 1 + a = 2 + a = 7

，得

a = 5

，

b = - 6

。所以

(a, b) = (5, - 6)

。

檢查：

x^{2} + 5 x - 6 = (x - 1) (x + 6)

，

x \to 1

時

x + 6 \to 7

。

第 19 題左邊：

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4 x + 3} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 1 ) ( x - 3 )}

，

x \to 3

時約去

x - 3

，極限為

\frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}

。右邊：

\frac{x ^{2} - 3 x}{x ^{2} - 9} = \frac{x ( x - 3 )}{( x + 3 ) ( x - 3 )}

，約去

x - 3

，極限為

\frac{3}{3 + 3} = \frac{1}{2}

。左右兩邊的極限都是

\frac{1}{2}

，由夾擠定理，

x \to 3 lim f (x) = \frac{1}{2}

。

第 20 題兩段各自都是多項式，只要在接點

x = - 2

連續即可。

f (- 2) = (- 2)^{2} - 4 (- 2) + 6 = 18

，右極限也是

18

；左極限用

x + a

算，是

- 2 + a

。連續要左極限＝右極限＝函數值：

- 2 + a = 18

，得

a = 20

。

x = - 2

屬於上面那一段（

x \geq - 2

），函數值用

x^{2} - 4 x + 6

算；代入時

- 4 \times (- 2) = + 8

，三項相加是

4 + 8 + 6 = 18

。

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