段考詳解範圍：數學乙（上）第一章：數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續

基隆高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 6 題（每題 5 分，共 30 分）、多選題 4 題（每題 8 分，共 32 分；所有選項均正確得 8 分，答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，答錯多於兩個選項或未作答得 0 分）、選填與混合題 7 題（混合題組單選題 2 分，其餘每題 6 分，共 38 分；答錯不倒扣）。本頁第 11～15 題是卷面第三大題的 A～E，第 16、17 題是混合題組的 F、G。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題(每題 5 分，共 30 分。)

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - x + 5}{x - 2} =

？

(A) $- 7$
(B) $- 5$
(C) $1$
(D) $5$
(E) $7$

設

a

，

b

為循環小數，

a = 0. \overline{12}

，

b = 0. \overline{01}

，則

a - b

的值是下列哪一個選項？

(A) $0.11$
(B) $0.1111$
(C) $\frac{1}{9}$
(D) $\frac{10}{99}$
(E) $\frac{100}{999}$

n \to \infty lim [(\frac{4}{n} - 3) (\frac{3 n + 3}{n - 5} + 2)] =

？

(A) $2$
(B) $- 3$
(C) $- 6$
(D) $- 15$
(E) 不存在

函數

f (x) = 6 - x - x^{2} + \frac{1}{2 - x}

的定義域中有幾個整數值？

(A) $4$
(B) $5$
(C) $6$
(D) $7$
(E) $8$

若

a

、

b

為實數，

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + x + a}{x - 2} = b

，則

a + b =

？

(A) $- 1$
(B) $- 2$
(C) $- 3$
(D) $1$
(E) $2$

已知

x^{3} - 3 x^{2} + 10 x + 60 = 0

恰有一實根，且它在兩個連續整數

n

與

n + 1

之間，則

n =

？

(A) $1$
(B) $- 1$
(C) $- 2$
(D) $- 3$
(E) $- 4$

二、多選題(每題 8 分，共 32 分。)

下列各數列中，何者為收斂數列？

(A) $⟨ (\frac{4}{3})^{n} ⟩$
(B) $⟨ 1^{n} ⟩$
(C) $⟨(0.8)^{n} ⟩$
(D) $⟨(- 0.99)^{n} ⟩$
(E) $⟨(- 1)^{n} ⟩$

試判斷下列哪些圖形表

y

為

x

之函數圖形？（選項 (A)～(E) 是下圖的五個圖形）

載入中...

下列關於高斯函數

Γ

：

y = [x]

的敘述，正確的有哪些？

(A) $Γ$ 的定義域為 ${x ∣ x \in R}$
(B) $Γ$ 為連續函數
(C) $x \to 153 7^{-} lim [x] = 1537$
(D) $x \to 153 7^{+} lim [x] = 1537$
(E) $x \to 1537 lim [x] = 1537$

若函數

f (- x) = - f (x)

，則稱

f (x)

是一個奇函數。試在下列選項中，選出奇函數。

(A) $f (x) = ∣ x ∣$
(B) $f (x) = x - x^{3}$
(C) $f (x) = 2^{x}$
(D) $f (x) = lo g x$
(E) $f (x) = sin x$

三、選填與混合題(混合題組單選題 2 分，其餘每題 6 分，共 38 分。)

若

f (x)

滿足

\frac{- x ^{2} - x + 5}{6} \leq f (x) \leq \frac{x ^{2} - x + 5}{6}

，其中

- 1 \leq x \leq 1

，且

x \neq = 0

，則

x \to 0 lim f (x) =

____。

試求

k = 1 \sum 8 k (3 k - 1)

之值為 ____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a x ^{2} + x - 2 - 4 a}{x - 2}, - 11, 當 x \neq = 2 當 x = 2

是一個連續函數，則

a

值為 ____。

定義函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 4 - x, [x - 1], \frac{- 2}{1 + x}, x \geq 1 - 1 \leq x < 1 x < - 1

，則

f (f (- 0.3)) =

____。

設

f (x)

為三次多項式，且

x \to - 1 lim \frac{f ( x )}{x + 1} = - 2

，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 10

，則

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x - 2} =

____。

混合題組（第 16～17 題）　一位同學想為基中校慶製作一個慶祝圖案，他在邊長為

6

的正方形

A B C D

中做一個內切圓，其面積

S_{1}

，又在此圓之內接正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中再做一個內切圓，其面積

S_{2}

，如下圖，依此方式一直做下去……

根據上方敘述，試問

S_{1}

的面積：

S_{2}

的面積為？（單選題）

(A) $2 : 1$
(B) $4 : 1$
(C) $3 : 2$
(D) $9 : 4$
(E) $16 : 9$

載入中...

這位同學是一個十分有毅力的孩子，如果他無窮盡的一直做下去，得各正方形內切圓面積

S_{3}

，

S_{4}

，…，

S_{n}

，…，則

S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n} + \dots =

____？（計算題，需列出計算過程）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(B)

第 5 題(A)

第 6 題(D)

第 7 題(B)(C)(D)

第 8 題(A)(C)(E)

第 9 題(A)(D)

第 10 題(B)(E)

第 11 題

\frac{5}{6}

第 12 題

576

第 13 題

- 3

第 14 題

2

第 15 題

\frac{3}{2}

第 16 題(A)

第 17 題

18 π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：直接代入、循環小數、數列的極限

第 1 題答案 (B)。分母在

x = 1

的值是

1 - 2 = - 1

，不是

0

，所以直接把

x = 1

代入：分子是

1^{2} - 1 + 5 = 5

，極限等於

5 \div (- 1) = - 5

。

只有代入後分母變成

0

的時候，才需要先約分或另外處理。

第 2 題答案 (C)。循環小數是無窮等比級數。

a = 0.121212 \dots = 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + \dots

，首項

0.12

、公比

0.01

，和是

a = \frac{0.12}{1 - 0.01} = \frac{12}{99}

同理

b = 0.010101 \dots

的首項

0.01

、公比

0.01

，

b = \frac{0.01}{0.99} = \frac{1}{99}

。所以

a - b = \frac{12}{99} - \frac{1}{99} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}

。

直接相減也看得出來：

0.121212 \dots - 0.010101 \dots = 0.111111 \dots = 0. \overline{1} = \frac{1}{9}

。選項 (A)(B) 都只是有限小數，比

\frac{1}{9}

小一點。

第 3 題答案 (D)。兩個括號各自求極限。第一個：

n

越來越大時

\frac{4}{n}

趨近

0

，所以

\frac{4}{n} - 3

趨近

- 3

。第二個：分子分母同除以

n

，

\frac{3 n + 3}{n - 5} = \frac{3 + \frac{3}{n}}{1 - \frac{5}{n}} 趨近 \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3

所以

\frac{3 n + 3}{n - 5} + 2

趨近

5

。兩個數列都收斂，乘積的極限等於極限的乘積：

(- 3) \times 5 = - 15

。

極限的四則運算性質要在每一個數列都收斂的時候才能用，這一題兩個括號都收斂，所以可以分開算。

求極限先試直接代入；循環小數看成無窮等比級數，首項是第一個循環節。

02單選第 4～6 題：定義域、反求係數、勘根定理

第 4 題答案 (B)。兩個部分都要有意義。根號內不可為負：

6 - x - x^{2} \geq 0

，即

x^{2} + x - 6 \leq 0

，

(x + 3) (x - 2) \leq 0

，得

- 3 \leq x \leq 2

。第二項的根號在分母，根號內要是正數：

2 - x > 0

，得

x < 2

。兩個條件同時成立的範圍是

- 3 \leq x < 2

，其中的整數是

- 3, - 2, - 1, 0, 1

，共

5

個。

x = 2

滿足第一個條件，但會讓第二項的分母變成

0

，要去掉。如果忘了分母不可為

0

，會多數一個而選成

6

。

第 5 題答案 (A)。

x

趨近

2

時分母

x - 2

趨近

0

。極限若要存在，分子也必須趨近

0

（否則分式的絕對值會無限變大），所以

2^{2} + 2 + a = 0

，

a = - 6

。這時分子是

x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)

，

x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 3) = 5

所以

b = 5

，

a + b = - 6 + 5 = - 1

。

求極限時

x

只是靠近

2

，並不等於

2

，所以

x - 2

不是

0

，可以約掉。

第 6 題答案 (D)。令

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 10 x + 60

，它是多項式函數，處處連續。代整數算函數值：

f (- 3) = - 27 - 27 - 30 + 60 = - 24, f (- 2) = - 8 - 12 - 20 + 60 = 20

f (- 3)

是負數、

f (- 2)

是正數，由勘根定理，

- 3

與

- 2

之間至少有一個實根。題目說方程式恰有一個實根，所以就是這一個，

n = - 3

。

其他選項對應的整數：

f (- 4) = - 92

、

f (- 1) = 46

、

f (0) = 60

、

f (1) = 68

、

f (2) = 76

。只有在

- 3

與

- 2

之間函數值由負變正。

分母趨近於 0 而極限存在，分子也要趨近於 0；找根的位置就是找函數值變號的地方。

03多選第 7、8 題：等比數列的收斂、函數圖形的判斷

第 7 題答案 (B)(C)(D)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

：

∣ r ∣ < 1

時收斂到

0

，

r = 1

時收斂到

1

，其他情形都發散。 (A) 錯誤。 公比

\frac{4}{3}

大於

1

，各項越來越大，沒有上限，發散。 (B) 正確。 每一項都是

1

，是常數數列，收斂到

1

。 (C) 正確。 公比

0.8

的絕對值小於

1

，收斂到

0

。 (D) 正確。 公比

- 0.99

的絕對值是

0.99

，小於

1

；各項正負交替，但絕對值

0.9 9^{n}

趨近

0

，所以收斂到

0

。 (E) 錯誤。 各項是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，在兩個數之間來回跳，不會趨近於一個定值，發散。

(D) 的公比很接近

- 1

，收斂得很慢（例如第

1000

項的絕對值約

0.00004

），但還是收斂。

第 8 題答案 (A)(C)(E)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

只對應到一個

y

。在圖形上就是：任何一條鉛直線與圖形最多只有一個交點。 (A) 正確。 三段水平線段。相鄰兩段在接點的地方，一段是實心點、另一段是空心點，所以接點的

x

也只對應一個

y

；每條鉛直線最多交一點。 (B) 錯誤。 圖形是鉛直的線段，同一個

x

對應到線段上許多個

y

。 (C) 正確。 一條左右延伸的平滑曲線，每條鉛直線恰交一點。 (D) 錯誤。 橫躺的 S 形曲線，在

y

軸附近畫鉛直線（例如

y

軸本身）會交到三個點。 (E) 正確。 一條由左到右的折線，每條鉛直線最多交一點。

(A) 圖形中間斷開沒有關係，函數不需要連續；要看的只有「一個

x

會不會對到兩個以上的

y

」。

等比數列看公比：絕對值小於 1 或公比等於 1 才收斂。函數圖形用鉛直線檢查。

04多選第 9、10 題：高斯函數、奇函數

第 9 題答案 (A)(D)。

[x]

表示不大於

x

的最大整數。 (A) 正確。 每一個實數

x

都找得到不大於它的最大整數，所以定義域是全體實數。 (B) 錯誤。 在每一個整數點，圖形都往上跳一階。例如

x

從左邊靠近

1

時

[x] = 0

，從右邊靠近

1

時

[x] = 1

，左右極限不相等，在

x = 1

不連續。 (C) 錯誤。

x

從左邊靠近

1537

時，

1536 < x < 1537

，

[x] = 1536

，所以左極限是

1536

，不是

1537

。 (D) 正確。

x

從右邊靠近

1537

時，

1537 < x < 1538

，

[x] = 1537

，右極限是

1537

。 (E) 錯誤。 左極限

1536

與右極限

1537

不相等，所以

x

趨近

1537

時極限不存在。

[1537] = 1537

是函數值，和極限是兩回事：函數值存在，極限仍然可以不存在。

第 10 題答案 (B)(E)。逐一把

x

換成

- x

，看是不是等於

- f (x)

。 (A) 錯誤。

f (- x) = ∣ - x ∣ = ∣ x ∣ = f (x)

，例如

f (- 1) = 1

而

- f (1) = - 1

，不相等。 (B) 正確。

f (- x) = (- x) - (- x)^{3} = - x + x^{3} = - (x - x^{3}) = - f (x)

。 (C) 錯誤。

f (- 1) = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

，而

- f (1) = - 2

，不相等。 (D) 錯誤。

lo g x

只在

x > 0

有定義；

x > 0

時

- x < 0

，

f (- x)

沒有意義，等式不可能成立。 (E) 正確。 由負角公式

sin (- x) = - sin x

，所以

f (- x) = - f (x)

。

奇函數的圖形對稱於原點。(A) 的圖形對稱於

y

軸，滿足的是

f (- x) = f (x)

，稱為偶函數；(C)(D) 兩種對稱都沒有。

05選填第 11～13 題（卷面 A、B、C）：夾擠定理、Σ、連續

第 11 題

f (x)

被夾在兩個函數中間，分別求兩邊在

x

趨近

0

時的極限。兩邊都是多項式除以

6

，直接代入

x = 0

：

x \to 0 lim \frac{- x ^{2} - x + 5}{6} = \frac{5}{6}, x \to 0 lim \frac{x ^{2} - x + 5}{6} = \frac{5}{6}

左右兩邊的極限都是

\frac{5}{6}

，由夾擠定理，

x \to 0 lim f (x) = \frac{5}{6}

。

題目特別排除

x = 0

，是因為求極限只看

0

附近的值，

f (0)

是多少甚至有沒有定義都不影響。卷面的空格是分數形式，分子填

5

、分母填

6

。

第 12 題先展開：

k (3 k - 1) = 3 k^{2} - k

。利用 Σ 的運算性質拆成兩個級數：

k = 1 \sum 8 (3 k^{2} - k) = 3 k = 1 \sum 8 k^{2} - k = 1 \sum 8 k

平方和公式

k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

，代

n = 8

得

\frac{8 \times 9 \times 17}{6} = 204

；又

1 + 2 + \dots + 8 = \frac{8 \times 9}{2} = 36

。所求為

3 \times 204 - 36 = 612 - 36 = 576

。

也可以直接把八項寫出來相加：

2 + 10 + 24 + 44 + 70 + 102 + 140 + 184 = 576

。

第 13 題連續函數在

x = 2

也要連續，所以

x

趨近

2

時的極限要等於

f (2) = - 11

。把分子依

a

整理後分解：

a x^{2} + x - 2 - 4 a = a (x^{2} - 4) + (x - 2) = (x - 2) (a (x + 2) + 1)

x \neq = 2

時約去

x - 2

，

f (x) = a (x + 2) + 1

，所以

x \to 2 lim f (x) = 4 a + 1

。令

4 a + 1 = - 11

，得

a = - 3

。

檢查：

a = - 3

時分子是

- 3 x^{2} + x + 10 = (x - 2) (- 3 x - 5)

，

x

趨近

2

時

- 3 x - 5

趨近

- 11

，與

f (2)

相同。不論

a

是多少，分子在

x = 2

的值都是

4 a + 2 - 2 - 4 a = 0

，所以一定分解得出

x - 2

。

連續就是「極限值等於函數值」；被兩個函數夾住時，兩邊的極限相同，中間的極限也就是它。

06選填第 14、15 題（卷面 D、E）：分段函數的合成、由極限決定多項式

第 14 題由內往外算。先算

f (- 0.3)

：

- 0.3

在

- 1 \leq x < 1

這一段，用

[x - 1]

，

f (- 0.3) = [- 1.3]

。不大於

- 1.3

的最大整數是

- 2

，所以

f (- 0.3) = - 2

。再算

f (- 2)

：

- 2

在

x < - 1

這一段，用

\frac{- 2}{1 + x}

，

f (- 2) = \frac{- 2}{1 + ( - 2 )} = \frac{- 2}{- 1} = 2

。所以

f (f (- 0.3)) = 2

。

負數取高斯符號是往更小的整數取：

[- 1.3] = - 2

，不是

- 1

。若誤取

- 1

，下一步會用到中間那一段，得到

[- 2] = - 2

，答案就錯了。

第 15 題

x

趨近

- 1

時分母

x + 1

趨近

0

而極限存在，所以分子也趨近

0

，

f (- 1) = 0

，

f (x)

有因式

x + 1

。同理由第二個極限得

f (1) = 0

，

f (x)

有因式

x - 1

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x + 1) (x - 1) (a x + b)

第一個極限：約去

x + 1

後代

x = - 1

，

(- 2) (- a + b) = - 2

，得

- a + b = 1

。第二個極限：約去

x - 1

後代

x = 1

，

2 (a + b) = 10

，得

a + b = 5

。解得

a = 2

、

b = 3

，

f (x) = (x + 1) (x - 1) (2 x + 3)

。所求的分母在

x = 0

不是

0

，直接代入：

f (0) = 1 \times (- 1) \times 3 = - 3

，極限等於

\frac{- 3}{0 - 2} = \frac{3}{2}

。

展開是

f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 3

。卷面的空格是分數形式，分子填

3

、分母填

2

。

分式的極限存在而分母趨近於 0，分子就有同一個因式；有幾個這樣的條件就先寫出幾個因式。

07混合題組第 16、17 題（卷面 F、G）：內切圓面積成等比

第 16 題答案 (A)。正方形

A B C D

邊長

6

，內切圓的直徑等於邊長，半徑

3

，

S_{1} = 9 π

。這個圓的內接正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

，對角線等於圓的直徑

6

，所以邊長是

\frac{6}{2} = 32

。它的內切圓半徑是邊長的一半

\frac{3 2}{2}

，面積

S_{2} = π (\frac{3 2}{2})^{2} = \frac{9 π}{2}

所以

S_{1} : S_{2} = 9 π : \frac{9 π}{2} = 2 : 1

。

每做一次，正方形的邊長變成原來的

\frac{1}{2}

倍，內切圓的半徑也變成

\frac{1}{2}

倍，面積就變成

\frac{1}{2}

倍。

第 17 題每一步都是「圓 → 圓的內接正方形 → 正方形的內切圓」，做法相同，所以相鄰兩個圓的面積比都和第 16 題一樣：後一個是前一個的

\frac{1}{2}

。因此

S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots

是首項

S_{1} = 9 π

、公比

\frac{1}{2}

的等比數列。公比的絕對值小於

1

，無窮等比級數收斂，和為

S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n} + \dots = \frac{9 π}{1 - \frac{1}{2}} = 18 π

公比的理由要寫出來：設某一個圓半徑為

r

，它的內接正方形對角線是

2 r

、邊長是

2 r

，下一個內切圓半徑是

\frac{2}{2} r

，面積是

\frac{1}{2} π r^{2}

。總和

18 π

約為

56.5

，比最外面的正方形面積

36

還大，這是因為各個圓互相重疊，並不矛盾。

重複同一個作圖步驟的題目，先算前兩項的比，確認每一步的比都相同，再用無窮等比級數的求和公式。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

基隆高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題分母趨近於 0 而極限存在，分子也一定要趨近於 0，先由這個條件求出 a 再約分；第 9 題高斯函數在整數點的左極限比右極限少 1，所以左極限不是 1537，極限也不存在；第 13 題連續的條件是極限值等於函數值，分子要先分解出與分母相同的因式；第 15 題兩個極限都存在，表示三次多項式有兩個已知的一次因式，剩下一個一次因式用兩個極限值去解。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自基隆高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：數學乙（上）第一章：數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續

基隆高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單選題(每題 5 分，共 30 分。)

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - x + 5}{x - 2} =

？

(A) $- 7$
(B) $- 5$
(C) $1$
(D) $5$
(E) $7$

設

a

，

b

為循環小數，

a = 0. \overline{12}

，

b = 0. \overline{01}

，則

a - b

的值是下列哪一個選項？

(A) $0.11$
(B) $0.1111$
(C) $\frac{1}{9}$
(D) $\frac{10}{99}$
(E) $\frac{100}{999}$

n \to \infty lim [(\frac{4}{n} - 3) (\frac{3 n + 3}{n - 5} + 2)] =

？

(A) $2$
(B) $- 3$
(C) $- 6$
(D) $- 15$
(E) 不存在

函數

f (x) = 6 - x - x^{2} + \frac{1}{2 - x}

的定義域中有幾個整數值？

(A) $4$
(B) $5$
(C) $6$
(D) $7$
(E) $8$

若

a

、

b

為實數，

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + x + a}{x - 2} = b

，則

a + b =

？

(A) $- 1$
(B) $- 2$
(C) $- 3$
(D) $1$
(E) $2$

已知

x^{3} - 3 x^{2} + 10 x + 60 = 0

恰有一實根，且它在兩個連續整數

n

與

n + 1

之間，則

n =

？

(A) $1$
(B) $- 1$
(C) $- 2$
(D) $- 3$
(E) $- 4$

二、多選題(每題 8 分，共 32 分。)

下列各數列中，何者為收斂數列？

(A) $⟨ (\frac{4}{3})^{n} ⟩$
(B) $⟨ 1^{n} ⟩$
(C) $⟨(0.8)^{n} ⟩$
(D) $⟨(- 0.99)^{n} ⟩$
(E) $⟨(- 1)^{n} ⟩$

試判斷下列哪些圖形表

y

為

x

之函數圖形？（選項 (A)～(E) 是下圖的五個圖形）

載入中...

下列關於高斯函數

Γ

：

y = [x]

的敘述，正確的有哪些？

(A) $Γ$ 的定義域為 ${x ∣ x \in R}$
(B) $Γ$ 為連續函數
(C) $x \to 153 7^{-} lim [x] = 1537$
(D) $x \to 153 7^{+} lim [x] = 1537$
(E) $x \to 1537 lim [x] = 1537$

若函數

f (- x) = - f (x)

，則稱

f (x)

是一個奇函數。試在下列選項中，選出奇函數。

(A) $f (x) = ∣ x ∣$
(B) $f (x) = x - x^{3}$
(C) $f (x) = 2^{x}$
(D) $f (x) = lo g x$
(E) $f (x) = sin x$

三、選填與混合題(混合題組單選題 2 分，其餘每題 6 分，共 38 分。)

若

f (x)

滿足

\frac{- x ^{2} - x + 5}{6} \leq f (x) \leq \frac{x ^{2} - x + 5}{6}

，其中

- 1 \leq x \leq 1

，且

x \neq = 0

，則

x \to 0 lim f (x) =

____。

試求

k = 1 \sum 8 k (3 k - 1)

之值為 ____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a x ^{2} + x - 2 - 4 a}{x - 2}, - 11, 當 x \neq = 2 當 x = 2

是一個連續函數，則

a

值為 ____。

定義函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 4 - x, [x - 1], \frac{- 2}{1 + x}, x \geq 1 - 1 \leq x < 1 x < - 1

，則

f (f (- 0.3)) =

____。

設

f (x)

為三次多項式，且

x \to - 1 lim \frac{f ( x )}{x + 1} = - 2

，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 10

，則

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x - 2} =

____。

混合題組（第 16～17 題）　一位同學想為基中校慶製作一個慶祝圖案，他在邊長為

6

的正方形

A B C D

中做一個內切圓，其面積

S_{1}

，又在此圓之內接正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中再做一個內切圓，其面積

S_{2}

，如下圖，依此方式一直做下去……

根據上方敘述，試問

S_{1}

的面積：

S_{2}

的面積為？（單選題）

(A) $2 : 1$
(B) $4 : 1$
(C) $3 : 2$
(D) $9 : 4$
(E) $16 : 9$

載入中...

這位同學是一個十分有毅力的孩子，如果他無窮盡的一直做下去，得各正方形內切圓面積

S_{3}

，

S_{4}

，…，

S_{n}

，…，則

S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n} + \dots =

____？（計算題，需列出計算過程）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(B)

第 5 題(A)

第 6 題(D)

第 7 題(B)(C)(D)

第 8 題(A)(C)(E)

第 9 題(A)(D)

第 10 題(B)(E)

第 11 題

\frac{5}{6}

第 12 題

576

第 13 題

- 3

第 14 題

2

第 15 題

\frac{3}{2}

第 16 題(A)

第 17 題

18 π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：直接代入、循環小數、數列的極限

第 1 題答案 (B)。分母在

x = 1

的值是

1 - 2 = - 1

，不是

0

，所以直接把

x = 1

代入：分子是

1^{2} - 1 + 5 = 5

，極限等於

5 \div (- 1) = - 5

。

只有代入後分母變成

0

的時候，才需要先約分或另外處理。

第 2 題答案 (C)。循環小數是無窮等比級數。

a = 0.121212 \dots = 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + \dots

，首項

0.12

、公比

0.01

，和是

a = \frac{0.12}{1 - 0.01} = \frac{12}{99}

同理

b = 0.010101 \dots

的首項

0.01

、公比

0.01

，

b = \frac{0.01}{0.99} = \frac{1}{99}

。所以

a - b = \frac{12}{99} - \frac{1}{99} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}

。

直接相減也看得出來：

0.121212 \dots - 0.010101 \dots = 0.111111 \dots = 0. \overline{1} = \frac{1}{9}

。選項 (A)(B) 都只是有限小數，比

\frac{1}{9}

小一點。

第 3 題答案 (D)。兩個括號各自求極限。第一個：

n

越來越大時

\frac{4}{n}

趨近

0

，所以

\frac{4}{n} - 3

趨近

- 3

。第二個：分子分母同除以

n

，

\frac{3 n + 3}{n - 5} = \frac{3 + \frac{3}{n}}{1 - \frac{5}{n}} 趨近 \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3

所以

\frac{3 n + 3}{n - 5} + 2

趨近

5

。兩個數列都收斂，乘積的極限等於極限的乘積：

(- 3) \times 5 = - 15

。

極限的四則運算性質要在每一個數列都收斂的時候才能用，這一題兩個括號都收斂，所以可以分開算。

求極限先試直接代入；循環小數看成無窮等比級數，首項是第一個循環節。

02單選第 4～6 題：定義域、反求係數、勘根定理

第 4 題答案 (B)。兩個部分都要有意義。根號內不可為負：

6 - x - x^{2} \geq 0

，即

x^{2} + x - 6 \leq 0

，

(x + 3) (x - 2) \leq 0

，得

- 3 \leq x \leq 2

。第二項的根號在分母，根號內要是正數：

2 - x > 0

，得

x < 2

。兩個條件同時成立的範圍是

- 3 \leq x < 2

，其中的整數是

- 3, - 2, - 1, 0, 1

，共

5

個。

x = 2

滿足第一個條件，但會讓第二項的分母變成

0

，要去掉。如果忘了分母不可為

0

，會多數一個而選成

6

。

第 5 題答案 (A)。

x

趨近

2

時分母

x - 2

趨近

0

。極限若要存在，分子也必須趨近

0

（否則分式的絕對值會無限變大），所以

2^{2} + 2 + a = 0

，

a = - 6

。這時分子是

x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)

，

x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 3) = 5

所以

b = 5

，

a + b = - 6 + 5 = - 1

。

求極限時

x

只是靠近

2

，並不等於

2

，所以

x - 2

不是

0

，可以約掉。

第 6 題答案 (D)。令

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 10 x + 60

，它是多項式函數，處處連續。代整數算函數值：

f (- 3) = - 27 - 27 - 30 + 60 = - 24, f (- 2) = - 8 - 12 - 20 + 60 = 20

f (- 3)

是負數、

f (- 2)

是正數，由勘根定理，

- 3

與

- 2

之間至少有一個實根。題目說方程式恰有一個實根，所以就是這一個，

n = - 3

。

其他選項對應的整數：

f (- 4) = - 92

、

f (- 1) = 46

、

f (0) = 60

、

f (1) = 68

、

f (2) = 76

。只有在

- 3

與

- 2

之間函數值由負變正。

分母趨近於 0 而極限存在，分子也要趨近於 0；找根的位置就是找函數值變號的地方。

03多選第 7、8 題：等比數列的收斂、函數圖形的判斷

第 7 題答案 (B)(C)(D)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

：

∣ r ∣ < 1

時收斂到

0

，

r = 1

時收斂到

1

，其他情形都發散。 (A) 錯誤。 公比

\frac{4}{3}

大於

1

，各項越來越大，沒有上限，發散。 (B) 正確。 每一項都是

1

，是常數數列，收斂到

1

。 (C) 正確。 公比

0.8

的絕對值小於

1

，收斂到

0

。 (D) 正確。 公比

- 0.99

的絕對值是

0.99

，小於

1

；各項正負交替，但絕對值

0.9 9^{n}

趨近

0

，所以收斂到

0

。 (E) 錯誤。 各項是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，在兩個數之間來回跳，不會趨近於一個定值，發散。

(D) 的公比很接近

- 1

，收斂得很慢（例如第

1000

項的絕對值約

0.00004

），但還是收斂。

第 8 題答案 (A)(C)(E)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

只對應到一個

y

x

也只對應一個

y

；每條鉛直線最多交一點。 (B) 錯誤。 圖形是鉛直的線段，同一個

x

對應到線段上許多個

y

。 (C) 正確。 一條左右延伸的平滑曲線，每條鉛直線恰交一點。 (D) 錯誤。 橫躺的 S 形曲線，在

y

軸附近畫鉛直線（例如

y

軸本身）會交到三個點。 (E) 正確。 一條由左到右的折線，每條鉛直線最多交一點。

(A) 圖形中間斷開沒有關係，函數不需要連續；要看的只有「一個

x

會不會對到兩個以上的

y

」。

等比數列看公比：絕對值小於 1 或公比等於 1 才收斂。函數圖形用鉛直線檢查。

04多選第 9、10 題：高斯函數、奇函數

第 9 題答案 (A)(D)。

[x]

表示不大於

x

的最大整數。 (A) 正確。 每一個實數

x

都找得到不大於它的最大整數，所以定義域是全體實數。 (B) 錯誤。 在每一個整數點，圖形都往上跳一階。例如

x

從左邊靠近

1

時

[x] = 0

，從右邊靠近

1

時

[x] = 1

，左右極限不相等，在

x = 1

不連續。 (C) 錯誤。

x

從左邊靠近

1537

時，

1536 < x < 1537

，

[x] = 1536

，所以左極限是

1536

，不是

1537

。 (D) 正確。

x

從右邊靠近

1537

時，

1537 < x < 1538

，

[x] = 1537

，右極限是

1537

。 (E) 錯誤。 左極限

1536

與右極限

1537

不相等，所以

x

趨近

1537

時極限不存在。

[1537] = 1537

是函數值，和極限是兩回事：函數值存在，極限仍然可以不存在。

第 10 題答案 (B)(E)。逐一把

x

換成

- x

，看是不是等於

- f (x)

。 (A) 錯誤。

f (- x) = ∣ - x ∣ = ∣ x ∣ = f (x)

，例如

f (- 1) = 1

而

- f (1) = - 1

，不相等。 (B) 正確。

f (- x) = (- x) - (- x)^{3} = - x + x^{3} = - (x - x^{3}) = - f (x)

。 (C) 錯誤。

f (- 1) = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

，而

- f (1) = - 2

，不相等。 (D) 錯誤。

lo g x

只在

x > 0

有定義；

x > 0

時

- x < 0

，

f (- x)

沒有意義，等式不可能成立。 (E) 正確。 由負角公式

sin (- x) = - sin x

，所以

f (- x) = - f (x)

。

奇函數的圖形對稱於原點。(A) 的圖形對稱於

y

軸，滿足的是

f (- x) = f (x)

，稱為偶函數；(C)(D) 兩種對稱都沒有。

05選填第 11～13 題（卷面 A、B、C）：夾擠定理、Σ、連續

第 11 題

f (x)

被夾在兩個函數中間，分別求兩邊在

x

趨近

0

時的極限。兩邊都是多項式除以

6

，直接代入

x = 0

：

x \to 0 lim \frac{- x ^{2} - x + 5}{6} = \frac{5}{6}, x \to 0 lim \frac{x ^{2} - x + 5}{6} = \frac{5}{6}

左右兩邊的極限都是

\frac{5}{6}

，由夾擠定理，

x \to 0 lim f (x) = \frac{5}{6}

。

題目特別排除

x = 0

，是因為求極限只看

0

附近的值，

f (0)

是多少甚至有沒有定義都不影響。卷面的空格是分數形式，分子填

5

、分母填

6

。

第 12 題先展開：

k (3 k - 1) = 3 k^{2} - k

。利用 Σ 的運算性質拆成兩個級數：

k = 1 \sum 8 (3 k^{2} - k) = 3 k = 1 \sum 8 k^{2} - k = 1 \sum 8 k

平方和公式

k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

，代

n = 8

得

\frac{8 \times 9 \times 17}{6} = 204

；又

1 + 2 + \dots + 8 = \frac{8 \times 9}{2} = 36

。所求為

3 \times 204 - 36 = 612 - 36 = 576

。

也可以直接把八項寫出來相加：

2 + 10 + 24 + 44 + 70 + 102 + 140 + 184 = 576

。

第 13 題連續函數在

x = 2

也要連續，所以

x

趨近

2

時的極限要等於

f (2) = - 11

。把分子依

a

整理後分解：

a x^{2} + x - 2 - 4 a = a (x^{2} - 4) + (x - 2) = (x - 2) (a (x + 2) + 1)

x \neq = 2

時約去

x - 2

，

f (x) = a (x + 2) + 1

，所以

x \to 2 lim f (x) = 4 a + 1

。令

4 a + 1 = - 11

，得

a = - 3

。

檢查：

a = - 3

時分子是

- 3 x^{2} + x + 10 = (x - 2) (- 3 x - 5)

，

x

趨近

2

時

- 3 x - 5

趨近

- 11

，與

f (2)

相同。不論

a

是多少，分子在

x = 2

的值都是

4 a + 2 - 2 - 4 a = 0

，所以一定分解得出

x - 2

。

連續就是「極限值等於函數值」；被兩個函數夾住時，兩邊的極限相同，中間的極限也就是它。

06選填第 14、15 題（卷面 D、E）：分段函數的合成、由極限決定多項式

第 14 題由內往外算。先算

f (- 0.3)

：

- 0.3

在

- 1 \leq x < 1

這一段，用

[x - 1]

，

f (- 0.3) = [- 1.3]

。不大於

- 1.3

的最大整數是

- 2

，所以

f (- 0.3) = - 2

。再算

f (- 2)

：

- 2

在

x < - 1

這一段，用

\frac{- 2}{1 + x}

，

f (- 2) = \frac{- 2}{1 + ( - 2 )} = \frac{- 2}{- 1} = 2

。所以

f (f (- 0.3)) = 2

。

負數取高斯符號是往更小的整數取：

[- 1.3] = - 2

，不是

- 1

。若誤取

- 1

，下一步會用到中間那一段，得到

[- 2] = - 2

，答案就錯了。

第 15 題

x

趨近

- 1

時分母

x + 1

趨近

0

而極限存在，所以分子也趨近

0

，

f (- 1) = 0

，

f (x)

有因式

x + 1

。同理由第二個極限得

f (1) = 0

，

f (x)

有因式

x - 1

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x + 1) (x - 1) (a x + b)

第一個極限：約去

x + 1

後代

x = - 1

，

(- 2) (- a + b) = - 2

，得

- a + b = 1

。第二個極限：約去

x - 1

後代

x = 1

，

2 (a + b) = 10

，得

a + b = 5

。解得

a = 2

、

b = 3

，

f (x) = (x + 1) (x - 1) (2 x + 3)

。所求的分母在

x = 0

不是

0

，直接代入：

f (0) = 1 \times (- 1) \times 3 = - 3

，極限等於

\frac{- 3}{0 - 2} = \frac{3}{2}

。

展開是

f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 3

。卷面的空格是分數形式，分子填

3

、分母填

2

。

分式的極限存在而分母趨近於 0，分子就有同一個因式；有幾個這樣的條件就先寫出幾個因式。

07混合題組第 16、17 題（卷面 F、G）：內切圓面積成等比

第 16 題答案 (A)。正方形

A B C D

邊長

6

，內切圓的直徑等於邊長，半徑

3

，

S_{1} = 9 π

。這個圓的內接正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

，對角線等於圓的直徑

6

，所以邊長是

\frac{6}{2} = 32

。它的內切圓半徑是邊長的一半

\frac{3 2}{2}

，面積

S_{2} = π (\frac{3 2}{2})^{2} = \frac{9 π}{2}

所以

S_{1} : S_{2} = 9 π : \frac{9 π}{2} = 2 : 1

。

每做一次，正方形的邊長變成原來的

\frac{1}{2}

倍，內切圓的半徑也變成

\frac{1}{2}

倍，面積就變成

\frac{1}{2}

倍。

第 17 題每一步都是「圓 → 圓的內接正方形 → 正方形的內切圓」，做法相同，所以相鄰兩個圓的面積比都和第 16 題一樣：後一個是前一個的

\frac{1}{2}

。因此

S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots

是首項

S_{1} = 9 π

、公比

\frac{1}{2}

的等比數列。公比的絕對值小於

1

，無窮等比級數收斂，和為

S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n} + \dots = \frac{9 π}{1 - \frac{1}{2}} = 18 π

公比的理由要寫出來：設某一個圓半徑為

r

，它的內接正方形對角線是

2 r

、邊長是

2 r

，下一個內切圓半徑是

\frac{2}{2} r

，面積是

\frac{1}{2} π r^{2}

。總和

18 π

約為

56.5

，比最外面的正方形面積

36

還大，這是因為各個圓互相重疊，並不矛盾。

重複同一個作圖步驟的題目，先算前兩項的比，確認每一步的比都相同，再用無窮等比級數的求和公式。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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基隆高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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每一題，錯在哪一步

01單選第 1～3 題：直接代入、循環小數、數列的極限

02單選第 4～6 題：定義域、反求係數、勘根定理

03多選第 7、8 題：等比數列的收斂、函數圖形的判斷

04多選第 9、10 題：高斯函數、奇函數

05選填第 11～13 題（卷面 A、B、C）：夾擠定理、Σ、連續

06選填第 14、15 題（卷面 D、E）：分段函數的合成、由極限決定多項式

07混合題組第 16、17 題（卷面 F、G）：內切圓面積成等比

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基隆高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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