段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 求和、無窮等比級數與循環小數、函數的運算與合成、奇偶函數、函數的極限與連續）

溪湖高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 溪湖高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 溪湖高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 4 題要先各自找出兩個根號函數的定義域，相除時還要再扣掉分母為零的點；單選第 5 題在零的左右極限不相等，極限不存在時不能拿來比大小；填充第 6 題（本頁第 11 題）兩個循環小數的循環節都從小數第二位開始；填充第 13 題（本頁第 18 題）要把租金上限換成高斯符號的不等式，再留意負數取高斯符號的方向。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（25 分）、填充題 15 題（75 分）

一、單選題（5 小題，每題 5 分，共 25 分）

下列無窮數列何者為發散數列？

(A) $⟨ - 3 ⟩$
(B) $⟨ 1 + \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(C) $⟨ (2 - 1)^{n} ⟩$
(D) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$
(E) $⟨ (2 - \frac{3}{n}) (\frac{4}{n} + 5) ⟩$

下列各無窮等比級數何者為收斂級數？

(A) $3 + 3 + 1 + \frac{3}{3} + \dots$
(B) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots$
(C) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$
(D) $1 + (\frac{- 4}{3}) + \frac{16}{9} + (\frac{- 64}{27}) + \dots$
(E) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

下列哪一個函數是奇函數？

(A) 函數 $f_{1} (x) = 3 x + 1$
(B) 函數 $f_{2} (x) = x^{2}$
(C) 函數 $f_{3} (x) = sin x$
(D) 函數 $f_{4} (x) = lo g x$
(E) 函數 $f_{5} (x) = ∣ x ∣$

已知函數

f (x) = 1 + x

、

g (x) = 1 - x

，請選出下列正確的選項？

(A) $(f + g) (x) = 2$
(B) $(f - g) (x) = 2 x$
(C) 函數 $(f g) (x) = 1 - x^{2}$
(D) 函數 $(f g) (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ - 1 \leq x \leq 1}$
(E) 函數 $(\frac{f}{g}) (x)$ 與 $(\frac{g}{f}) (x)$ 的定義域相同

關於函數

f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

（

x \neq = 0

），選出下列敘述正確的選項？

(A) $x \to 1 lim f (x) = x \to 2 lim f (x)$
(B) $x \to 1 lim f (x) = x \to 0 lim f (x)$
(C) $x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{+} lim f (x)$
(D) $x \to - 1 lim f (x) = x \to 0 lim f (x)$
(E) $x \to - 1 lim f (x) < x \to 0 lim f (x)$

二、填充題（15 小題，每題 5 分，共 75 分）（原卷題號 1～15，本頁編為第 6～20 題）

求

n \to \infty lim \frac{2 n ^{2} + 3 n}{4 n ^{2} - 5}

的值為 ____。

求

n \to \infty lim \frac{2 ^{n + 1} - 3 ^{n - 1}}{3 ^{n}}

的值為 ____。

求

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} - 1}{n - 1} - \frac{n ^{2} + 3 n + 2}{n + 1})

的值為 ____。

求

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}})

之值為 ____。

已知無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

中的每一項都滿足

\frac{2 n - 1}{3 n} \leq c_{n} \leq \frac{2 n + 1}{3 n}

，求

n \to \infty lim c_{n}

的值為 ____。

求

0.1 \overline{23} - 0.1 \overline{2}

化成最簡分數

\frac{q}{p}

的值為 ____。（

p, q \in N

）

取一個面積為

4

的正方形，將其等分成四個小的全等正方形，並將其左下方的小正方形塗黑，得到圖(1)；接著，再將剛塗黑的正方形之右上方那個小正方形等分成四個小的全等正方形，並將其左下方的小正方形塗黑，得到圖(2)。重複以上步驟如此繼續下去，可得到圖(3)…。設

S_{n}

為圖

(n)

中，所有塗黑正方形面積的總和，則

n \to \infty lim S_{n} =

____。

載入中...

x \to - 1 lim (x^{2025} - x^{10} + 14)

的極限為 ____。

已知函數

f (x) = x^{2} - 2

，

g (x) = x + 1

，求合成函數

(f \circ g) (x) =

____。

已知函數

f (x) = {a x^{2} + 3, - 3 x + 2, 當 x \geq 1 當 x < 1

在

x = 1

處連續，求實數

a

的值為 ____。

求

k = 1 \sum 10 (k + 2) (k - 1)

的值為 ____。

已知二次多項式

f (x)

的最高次項的係數為

1

，且滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 3

，求

f (2) =

____。

租借某共享機車計費方式為：前

6

分鐘，收費

12

元，超過

6

分鐘的部分，每分鐘加收

3

元，不足

1

分鐘以

1

分鐘計算。已知租借某共享機車

x

分鐘所需支付的租金為

f (x) = {12, 12 + 3 \times (- [6 - x]), 當 0 < x \leq 6 當 x > 6

元，其中符號

[]

為高斯符號，求租金

50

元最多可使用 ____ 分鐘。

求

x \to 1 lim (\frac{3 x + 3}{( x - 1 ) ( x + 2 )} - \frac{x + 1}{x - 1})

的極限為 ____。

已知

f (x) = x^{2}

在

π

與

4.1

之間至少有一實數

c

，使得

f (c) = k

。若

k

為整數，則

k

的最大值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(A)

第 3 題(C)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題

\frac{1}{2}

第 7 題

- \frac{1}{3}

第 8 題

- 1

第 9 題

\frac{1}{2}

第 10 題

\frac{2}{3}

第 11 題

\frac{1}{990}

第 12 題

\frac{4}{3}

第 13 題

12

第 14 題

x^{2} + 2 x - 1

第 15 題

- 4

第 16 題

420

第 17 題

4

第 18 題

18

第 19 題

- \frac{2}{3}

第 20 題

16

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：數列與無窮等比級數的收斂、發散

第 1 題答案 (D)。(A) 每一項都是

- 3

，是常數數列，收斂到

- 3

。(B)

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，所以

1 + \frac{1}{n ^{2}} \to 1

，收斂。(C)

2 - 1 \approx 0.414

，公比的絕對值小於

1

，

(2 - 1)^{n} \to 0

，收斂。(D)

(- 1)^{n}

在

- 1

與

1

之間來回，不會趨近同一個數，發散。(E)

2 - \frac{3}{n} \to 2

、

\frac{4}{n} + 5 \to 5

，乘積趨近

2 \times 5 = 10

，收斂。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

- 1 < r \leq 1

時收斂；

r = - 1

不在這個範圍內，所以 (D) 發散。

第 2 題答案 (A)。無窮等比級數收斂的條件是公比

r

滿足

∣ r ∣ < 1

。(A)

r = \frac{3}{3} \approx 0.577

，收斂。(B)

r = \frac{3}{2} > 1

，發散。(C)

r = - 1

，部分和在

1

與

0

之間來回，發散。(D)

r = - \frac{4}{3}

，

∣ r ∣ > 1

，發散。(E)

r = 2 > 1

，發散。

(A) 的公比可以用相鄰兩項相除來確認：

3 \div 3

、

1 \div 3

、

\frac{3}{3} \div 1

都等於

\frac{3}{3}

。數列

⟨ r^{n} ⟩

在

r = 1

時收斂，但級數要

∣ r ∣ < 1

才收斂，兩個條件不一樣。

等比數列看公比是否滿足 −1 < r ≤ 1；無窮等比級數看公比的絕對值是否小於 1。

02單選第 3、4 題：奇函數、函數的四則運算與定義域

第 3 題答案 (C)。奇函數要對定義域內所有

x

都有

f (- x) = - f (x)

。(A)

f_{1} (1) = 4

、

f_{1} (- 1) = - 2

，

- 2 \neq = - 4

，不是。(B)

f_{2} (- x) = x^{2} = f_{2} (x)

，是偶函數。(C)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。(D)

lo g x

只在

x > 0

有定義，

- x

代不進去，不是。(E)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是偶函數。

(A) 的圖形是直線，但沒有通過原點；奇函數的圖形要對稱於原點，定義域含

0

時必有

f (0) = 0

。

第 4 題答案 (D)。

f

的定義域是

x \geq - 1

，

g

的定義域是

x \leq 1

，所以

f + g

、

f - g

、

f g

的定義域都是兩者的共同部分

- 1 \leq x \leq 1

，(D) 正確。(A)

(f + g) (x) = 1 + x + 1 - x

，代

x = 0

得

2 \neq = 2

。(B)

(f - g) (x) = 1 + x - 1 - x

，代

x = - 1

得

0 - 2 = - 2

，是負數；而

2 x

不會是負數，在

x < 0

也沒有定義，兩者不同。(C)

(f g) (x) = 1 + x \cdot 1 - x = 1 - x^{2}

，不是

1 - x^{2}

。(E)

\frac{f}{g}

還要

g (x) \neq = 0

，定義域是

- 1 \leq x < 1

；

\frac{g}{f}

要

f (x) \neq = 0

，定義域是

- 1 < x \leq 1

，兩者不同。

根號不能逐項相加減：

1 + x + 1 - x

不等於

(1 + x) + (1 - x)

。相乘才可以合併成

(1 + x) (1 - x)

。

03單選第 5 題：左極限、右極限與極限的存在

第 5 題答案 (A)。

x > 0

時

f (x) = \frac{x}{x} = 1

；

x < 0

時

f (x) = \frac{- x}{x} = - 1

。所以

x \to 1 lim f (x) = 1

、

x \to 2 lim f (x) = 1

、

x \to - 1 lim f (x) = - 1

。在

x = 0

：

x \to 0^{-} lim f (x) = - 1

、

x \to 0^{+} lim f (x) = 1

，左右極限不相等，

x \to 0 lim f (x)

不存在。(A) 兩邊都是

1

，正確。(C)

- 1 \neq = 1

，錯。(B)(D)(E) 都用到不存在的

x \to 0 lim f (x)

，等式與不等式都不成立。

極限不存在時，它不是一個數，既不能說「相等」，也不能拿來比大小，所以 (E) 也不對。

04填充 1～5（第 6～10 題）：數列的極限

第 6 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{2 n ^{2} + 3 n}{4 n ^{2} - 5} = \frac{2 + \frac{3}{n}}{4 - \frac{5}{n ^{2}}}

。

n \to \infty

時

\frac{3}{n} \to 0

、

\frac{5}{n ^{2}} \to 0

，極限為

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

。

第 7 題拆成兩項：

\frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n}} - \frac{3 ^{n - 1}}{3 ^{n}} = 2 (\frac{2}{3})^{n} - \frac{1}{3}

。因為

\frac{2}{3} < 1

，

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

，所以極限為

0 - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}

。

2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n}

，

3^{n - 1} = \frac{3 ^{n}}{3}

；先把指數的

+ 1

、

- 1

拆出來再除以

3^{n}

。

第 8 題兩個分式各自趨近無限大，不能分開取極限，先化簡：

\frac{n ^{2} - 1}{n - 1} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 )}{n - 1} = n + 1

（

n \geq 2

），

\frac{n ^{2} + 3 n + 2}{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{n + 1} = n + 2

。所以括號內等於

(n + 1) - (n + 2) = - 1

，每一項都是

- 1

，極限為

- 1

。

若不約分而直接通分，分子是

(n^{2} - 1) (n + 1) - (n^{2} + 3 n + 2) (n - 1) = - n^{2} + 1

，分母是

n^{2} - 1

，同樣得到

- 1

。

第 9 題括號內共有

n

項，項數會跟著

n

變多，要先求和：

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{\frac{n ( n + 1 )}{2}}{n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}

。

n \to \infty

時極限為

\frac{1}{2}

。

每一項

\frac{k}{n ^{2}}

各自都趨近

0

，但不能因此說和趨近

0

：項數不是固定的，極限的加法性質只適用於固定個數的數列相加。

第 10 題

\frac{2 n - 1}{3 n} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3 n} \to \frac{2}{3}

，

\frac{2 n + 1}{3 n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3 n} \to \frac{2}{3}

。左右兩邊的極限都是

\frac{2}{3}

，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = \frac{2}{3}

。

分式型同除以分母的最高次；指數型同除以底數最大的那一項；兩個各自發散的式子相減或項數會變的和，都要先化成一個式子再取極限。

05填充 6、7、11（第 11、12、16 題）：循環小數、無窮等比級數、Σ 求和

第 11 題

0.1 \overline{23} = 0.1 + 0.023 + 0.00023 + \dots

，後面是首項

0.023

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.023}{1 - 0.01} = \frac{23}{990}

，所以

0.1 \overline{23} = \frac{99}{990} + \frac{23}{990} = \frac{122}{990}

。

0.1 \overline{2} = 0.1 + 0.02 + 0.002 + \dots = \frac{1}{10} + \frac{0.02}{1 - 0.1} = \frac{1}{10} + \frac{2}{90} = \frac{11}{90} = \frac{121}{990}

。相減得

\frac{122}{990} - \frac{121}{990} = \frac{1}{990}

。

檢查：

0.1232323 \dots - 0.1222222 \dots = 0.0010101 \dots = 0.00 \overline{10}

，而

\frac{1}{990} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{99} = \frac{1}{10} \times 0. \overline{01}

，相符。兩個循環小數的循環節都從小數第二位開始，第一位的

1

不在循環節內。

第 12 題大正方形面積

4

，四等分後每個小正方形面積

1

，第一次塗黑的面積是

1

。第二次分割的是面積

1

的小正方形，每格面積

\frac{1}{4}

，塗黑

\frac{1}{4}

。之後每次被分割的正方形面積都是前一次的

\frac{1}{4}

，塗黑的面積也跟著變成

\frac{1}{4}

。所以

S_{n} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots + (\frac{1}{4})^{n - 1}

，是首項

1

、公比

\frac{1}{4}

的等比級數，

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

。

也可以這樣檢查：每次分割時，被分割的正方形有

\frac{1}{4}

塗黑、

\frac{2}{4}

留白、

\frac{1}{4}

繼續分割，所以黑與白的面積比固定是

1 : 2

，黑色佔全體的

\frac{1}{3}

，

4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

。

第 16 題先展開：

(k + 2) (k - 1) = k^{2} + k - 2

。所以

k = 1 \sum 10 (k + 2) (k - 1) = k = 1 \sum 10 k^{2} + k = 1 \sum 10 k - k = 1 \sum 10 2

。其中

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 k = \frac{10 \times 11}{2} = 55

，

k = 1 \sum 10 2 = 20

。原式

= 385 + 55 - 20 = 420

。

常數

2

加了

10

次，是

20

不是

2

。

循環小數與重複分割的圖形都是無窮等比級數：確認公比的絕對值小於 1，再用「首項除以（1 減公比）」。

06填充 9、13（第 14、18 題）：合成函數、高斯符號

第 14 題

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 1) = (x + 1)^{2} - 2 = x^{2} + 2 x + 1 - 2 = x^{2} + 2 x - 1

。

f \circ g

是先算

g

再代入

f

。順序反過來是

(g \circ f) (x) = g (x^{2} - 2) = x^{2} - 1

，結果不同。

第 18 題

50 > 12

，所以使用時間超過

6

分鐘，用第二段：

12 + 3 \times (- [6 - x]) \leq 50

，得

- [6 - x] \leq \frac{38}{3} = 12.6 \dots

。

- [6 - x]

是整數，所以

- [6 - x] \leq 12

，即

[6 - x] \geq - 12

。高斯符號

[t]

是不超過

t

的最大整數，

[t] \geq - 12

相當於

t \geq - 12

，所以

6 - x \geq - 12

，

x \leq 18

。最多可使用

18

分鐘，此時租金

12 + 3 \times 12 = 48

元。

原卷題幹印作「租借某共享機車

x

公里」，依計費方式與問句的單位，應為「

x

分鐘」。檢查：超過

18

分鐘一點點（例如

x = 18.5

）時

[6 - x] = [- 12.5] = - 13

，租金

12 + 3 \times 13 = 51

元，超過

50

元。

- [6 - x]

就是把超過的時間

x - 6

無條件進位到整數分鐘。

07填充 8、10、12、14、15（第 13、15、17、19、20 題）：函數的極限與連續

第 13 題多項式函數的極限直接代入：

(- 1)^{2025} - (- 1)^{10} + 14 = - 1 - 1 + 14 = 12

。

2025

是奇數，

(- 1)^{2025} = - 1

；

10

是偶數，

(- 1)^{10} = 1

。

第 15 題在

x = 1

連續，要左極限＝右極限＝函數值。

x = 1

屬於上面那一段，

f (1) = a + 3

，右極限也是

a + 3

；左極限用

- 3 x + 2

算，是

- 3 + 2 = - 1

。所以

a + 3 = - 1

，

a = - 4

。

第 17 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

，所以

f (1) = 0

，

f (x)

有因式

x - 1

。

f (x)

是首項係數

1

的二次式，可設

f (x) = (x - 1) (x - b)

。約去

x - 1

後，

x \to 1 lim (x - b) = 1 - b = 3

，得

b = - 2

。所以

f (x) = (x - 1) (x + 2)

，

f (2) = 1 \times 4 = 4

。

檢查：

f (x) = x^{2} + x - 2

，

\frac{f ( x )}{x - 1} = x + 2

（

x \neq = 1

），

x \to 1

時趨近

3

。

第 19 題兩個分式在

x \to 1

時分母都趨近

0

，不能分開取極限，先通分：

\frac{3 x + 3}{( x - 1 ) ( x + 2 )} - \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{3 x + 3 - ( x ^{2} + 3 x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1 - x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 2 )}

。分子

1 - x^{2} = - (x - 1) (x + 1)

，約去

x - 1

得

\frac{- ( x + 1 )}{x + 2}

，

x \to 1

時極限為

\frac{- 2}{3} = - \frac{2}{3}

。

1 - x^{2}

與

x - 1

約分時差一個負號：

1 - x = - (x - 1)

。

第 20 題

f (x) = x^{2}

是連續函數，而且在

x > 0

時遞增。

f (π) = π^{2} \approx 9.87

，

f (4.1) = 16.81

。由中間值定理，介於

π^{2}

與

16.81

之間的每一個數

k

，都能在

π

與

4.1

之間找到

c

使

f (c) = k

；又因為

f

遞增，

c

在

π

與

4.1

之間時

f (c)

不會超出這個範圍。所以整數

k

可以是

10, 11, \dots, 16

，最大值為

16

（此時

c = 4

，確實在

π

與

4.1

之間）。

4. 1^{2} = 16.81

不到

17

，所以

k = 17

取不到。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0，先用這個條件找出公因式再約分；分段函數在接點連續，就是左極限、右極限、函數值三者相等。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

溪湖高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 4 題要先各自找出兩個根號函數的定義域，相除時還要再扣掉分母為零的點；單選第 5 題在零的左右極限不相等，極限不存在時不能拿來比大小；填充第 6 題（本頁第 11 題）兩個循環小數的循環節都從小數第二位開始；填充第 13 題（本頁第 18 題）要把租金上限換成高斯符號的不等式，再留意負數取高斯符號的方向。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 求和、無窮等比級數與循環小數、函數的運算與合成、奇偶函數、函數的極限與連續）

溪湖高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（25 分）、填充題 15 題（75 分）

一、單選題（5 小題，每題 5 分，共 25 分）

下列無窮數列何者為發散數列？

(A) $⟨ - 3 ⟩$
(B) $⟨ 1 + \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(C) $⟨ (2 - 1)^{n} ⟩$
(D) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$
(E) $⟨ (2 - \frac{3}{n}) (\frac{4}{n} + 5) ⟩$

下列各無窮等比級數何者為收斂級數？

(A) $3 + 3 + 1 + \frac{3}{3} + \dots$
(B) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots$
(C) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$
(D) $1 + (\frac{- 4}{3}) + \frac{16}{9} + (\frac{- 64}{27}) + \dots$
(E) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

下列哪一個函數是奇函數？

(A) 函數 $f_{1} (x) = 3 x + 1$
(B) 函數 $f_{2} (x) = x^{2}$
(C) 函數 $f_{3} (x) = sin x$
(D) 函數 $f_{4} (x) = lo g x$
(E) 函數 $f_{5} (x) = ∣ x ∣$

已知函數

f (x) = 1 + x

、

g (x) = 1 - x

，請選出下列正確的選項？

(A) $(f + g) (x) = 2$
(B) $(f - g) (x) = 2 x$
(C) 函數 $(f g) (x) = 1 - x^{2}$
(D) 函數 $(f g) (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ - 1 \leq x \leq 1}$
(E) 函數 $(\frac{f}{g}) (x)$ 與 $(\frac{g}{f}) (x)$ 的定義域相同

關於函數

f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

（

x \neq = 0

），選出下列敘述正確的選項？

(A) $x \to 1 lim f (x) = x \to 2 lim f (x)$
(B) $x \to 1 lim f (x) = x \to 0 lim f (x)$
(C) $x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{+} lim f (x)$
(D) $x \to - 1 lim f (x) = x \to 0 lim f (x)$
(E) $x \to - 1 lim f (x) < x \to 0 lim f (x)$

二、填充題（15 小題，每題 5 分，共 75 分）（原卷題號 1～15，本頁編為第 6～20 題）

求

n \to \infty lim \frac{2 n ^{2} + 3 n}{4 n ^{2} - 5}

的值為 ____。

求

n \to \infty lim \frac{2 ^{n + 1} - 3 ^{n - 1}}{3 ^{n}}

的值為 ____。

求

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} - 1}{n - 1} - \frac{n ^{2} + 3 n + 2}{n + 1})

的值為 ____。

求

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}})

之值為 ____。

已知無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

中的每一項都滿足

\frac{2 n - 1}{3 n} \leq c_{n} \leq \frac{2 n + 1}{3 n}

，求

n \to \infty lim c_{n}

的值為 ____。

求

0.1 \overline{23} - 0.1 \overline{2}

化成最簡分數

\frac{q}{p}

的值為 ____。（

p, q \in N

）

取一個面積為

4

S_{n}

為圖

(n)

中，所有塗黑正方形面積的總和，則

n \to \infty lim S_{n} =

____。

載入中...

x \to - 1 lim (x^{2025} - x^{10} + 14)

的極限為 ____。

已知函數

f (x) = x^{2} - 2

，

g (x) = x + 1

，求合成函數

(f \circ g) (x) =

____。

已知函數

f (x) = {a x^{2} + 3, - 3 x + 2, 當 x \geq 1 當 x < 1

在

x = 1

處連續，求實數

a

的值為 ____。

求

k = 1 \sum 10 (k + 2) (k - 1)

的值為 ____。

已知二次多項式

f (x)

的最高次項的係數為

1

，且滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 3

，求

f (2) =

____。

租借某共享機車計費方式為：前

6

分鐘，收費

12

元，超過

6

分鐘的部分，每分鐘加收

3

元，不足

1

分鐘以

1

分鐘計算。已知租借某共享機車

x

分鐘所需支付的租金為

f (x) = {12, 12 + 3 \times (- [6 - x]), 當 0 < x \leq 6 當 x > 6

元，其中符號

[]

為高斯符號，求租金

50

元最多可使用 ____ 分鐘。

求

x \to 1 lim (\frac{3 x + 3}{( x - 1 ) ( x + 2 )} - \frac{x + 1}{x - 1})

的極限為 ____。

已知

f (x) = x^{2}

在

π

與

4.1

之間至少有一實數

c

，使得

f (c) = k

。若

k

為整數，則

k

的最大值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(A)

第 3 題(C)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題

\frac{1}{2}

第 7 題

- \frac{1}{3}

第 8 題

- 1

第 9 題

\frac{1}{2}

第 10 題

\frac{2}{3}

第 11 題

\frac{1}{990}

第 12 題

\frac{4}{3}

第 13 題

12

第 14 題

x^{2} + 2 x - 1

第 15 題

- 4

第 16 題

420

第 17 題

4

第 18 題

18

第 19 題

- \frac{2}{3}

第 20 題

16

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：數列與無窮等比級數的收斂、發散

第 1 題答案 (D)。(A) 每一項都是

- 3

，是常數數列，收斂到

- 3

。(B)

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，所以

1 + \frac{1}{n ^{2}} \to 1

，收斂。(C)

2 - 1 \approx 0.414

，公比的絕對值小於

1

，

(2 - 1)^{n} \to 0

，收斂。(D)

(- 1)^{n}

在

- 1

與

1

之間來回，不會趨近同一個數，發散。(E)

2 - \frac{3}{n} \to 2

、

\frac{4}{n} + 5 \to 5

，乘積趨近

2 \times 5 = 10

，收斂。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

- 1 < r \leq 1

時收斂；

r = - 1

不在這個範圍內，所以 (D) 發散。

第 2 題答案 (A)。無窮等比級數收斂的條件是公比

r

滿足

∣ r ∣ < 1

。(A)

r = \frac{3}{3} \approx 0.577

，收斂。(B)

r = \frac{3}{2} > 1

，發散。(C)

r = - 1

，部分和在

1

與

0

之間來回，發散。(D)

r = - \frac{4}{3}

，

∣ r ∣ > 1

，發散。(E)

r = 2 > 1

，發散。

(A) 的公比可以用相鄰兩項相除來確認：

3 \div 3

、

1 \div 3

、

\frac{3}{3} \div 1

都等於

\frac{3}{3}

。數列

⟨ r^{n} ⟩

在

r = 1

時收斂，但級數要

∣ r ∣ < 1

才收斂，兩個條件不一樣。

等比數列看公比是否滿足 −1 < r ≤ 1；無窮等比級數看公比的絕對值是否小於 1。

02單選第 3、4 題：奇函數、函數的四則運算與定義域

第 3 題答案 (C)。奇函數要對定義域內所有

x

都有

f (- x) = - f (x)

。(A)

f_{1} (1) = 4

、

f_{1} (- 1) = - 2

，

- 2 \neq = - 4

，不是。(B)

f_{2} (- x) = x^{2} = f_{2} (x)

，是偶函數。(C)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。(D)

lo g x

只在

x > 0

有定義，

- x

代不進去，不是。(E)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是偶函數。

(A) 的圖形是直線，但沒有通過原點；奇函數的圖形要對稱於原點，定義域含

0

時必有

f (0) = 0

。

第 4 題答案 (D)。

f

的定義域是

x \geq - 1

，

g

的定義域是

x \leq 1

，所以

f + g

、

f - g

、

f g

的定義域都是兩者的共同部分

- 1 \leq x \leq 1

，(D) 正確。(A)

(f + g) (x) = 1 + x + 1 - x

，代

x = 0

得

2 \neq = 2

。(B)

(f - g) (x) = 1 + x - 1 - x

，代

x = - 1

得

0 - 2 = - 2

，是負數；而

2 x

不會是負數，在

x < 0

也沒有定義，兩者不同。(C)

(f g) (x) = 1 + x \cdot 1 - x = 1 - x^{2}

，不是

1 - x^{2}

。(E)

\frac{f}{g}

還要

g (x) \neq = 0

，定義域是

- 1 \leq x < 1

；

\frac{g}{f}

要

f (x) \neq = 0

，定義域是

- 1 < x \leq 1

，兩者不同。

根號不能逐項相加減：

1 + x + 1 - x

不等於

(1 + x) + (1 - x)

。相乘才可以合併成

(1 + x) (1 - x)

。

03單選第 5 題：左極限、右極限與極限的存在

第 5 題答案 (A)。

x > 0

時

f (x) = \frac{x}{x} = 1

；

x < 0

時

f (x) = \frac{- x}{x} = - 1

。所以

x \to 1 lim f (x) = 1

、

x \to 2 lim f (x) = 1

、

x \to - 1 lim f (x) = - 1

。在

x = 0

：

x \to 0^{-} lim f (x) = - 1

、

x \to 0^{+} lim f (x) = 1

，左右極限不相等，

x \to 0 lim f (x)

不存在。(A) 兩邊都是

1

，正確。(C)

- 1 \neq = 1

，錯。(B)(D)(E) 都用到不存在的

x \to 0 lim f (x)

，等式與不等式都不成立。

極限不存在時，它不是一個數，既不能說「相等」，也不能拿來比大小，所以 (E) 也不對。

04填充 1～5（第 6～10 題）：數列的極限

第 6 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{2 n ^{2} + 3 n}{4 n ^{2} - 5} = \frac{2 + \frac{3}{n}}{4 - \frac{5}{n ^{2}}}

。

n \to \infty

時

\frac{3}{n} \to 0

、

\frac{5}{n ^{2}} \to 0

，極限為

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

。

第 7 題拆成兩項：

\frac{2 ^{n + 1}}{3 ^{n}} - \frac{3 ^{n - 1}}{3 ^{n}} = 2 (\frac{2}{3})^{n} - \frac{1}{3}

。因為

\frac{2}{3} < 1

，

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

，所以極限為

0 - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}

。

2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n}

，

3^{n - 1} = \frac{3 ^{n}}{3}

；先把指數的

+ 1

、

- 1

拆出來再除以

3^{n}

。

第 8 題兩個分式各自趨近無限大，不能分開取極限，先化簡：

\frac{n ^{2} - 1}{n - 1} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 )}{n - 1} = n + 1

（

n \geq 2

），

\frac{n ^{2} + 3 n + 2}{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{n + 1} = n + 2

。所以括號內等於

(n + 1) - (n + 2) = - 1

，每一項都是

- 1

，極限為

- 1

。

若不約分而直接通分，分子是

(n^{2} - 1) (n + 1) - (n^{2} + 3 n + 2) (n - 1) = - n^{2} + 1

，分母是

n^{2} - 1

，同樣得到

- 1

。

第 9 題括號內共有

n

項，項數會跟著

n

變多，要先求和：

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{\frac{n ( n + 1 )}{2}}{n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}

。

n \to \infty

時極限為

\frac{1}{2}

。

每一項

\frac{k}{n ^{2}}

各自都趨近

0

，但不能因此說和趨近

0

：項數不是固定的，極限的加法性質只適用於固定個數的數列相加。

第 10 題

\frac{2 n - 1}{3 n} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3 n} \to \frac{2}{3}

，

\frac{2 n + 1}{3 n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3 n} \to \frac{2}{3}

。左右兩邊的極限都是

\frac{2}{3}

，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = \frac{2}{3}

。

分式型同除以分母的最高次；指數型同除以底數最大的那一項；兩個各自發散的式子相減或項數會變的和，都要先化成一個式子再取極限。

05填充 6、7、11（第 11、12、16 題）：循環小數、無窮等比級數、Σ 求和

第 11 題

0.1 \overline{23} = 0.1 + 0.023 + 0.00023 + \dots

，後面是首項

0.023

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.023}{1 - 0.01} = \frac{23}{990}

，所以

0.1 \overline{23} = \frac{99}{990} + \frac{23}{990} = \frac{122}{990}

。

0.1 \overline{2} = 0.1 + 0.02 + 0.002 + \dots = \frac{1}{10} + \frac{0.02}{1 - 0.1} = \frac{1}{10} + \frac{2}{90} = \frac{11}{90} = \frac{121}{990}

。相減得

\frac{122}{990} - \frac{121}{990} = \frac{1}{990}

。

檢查：

0.1232323 \dots - 0.1222222 \dots = 0.0010101 \dots = 0.00 \overline{10}

，而

\frac{1}{990} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{99} = \frac{1}{10} \times 0. \overline{01}

，相符。兩個循環小數的循環節都從小數第二位開始，第一位的

1

不在循環節內。

第 12 題大正方形面積

4

，四等分後每個小正方形面積

1

，第一次塗黑的面積是

1

。第二次分割的是面積

1

的小正方形，每格面積

\frac{1}{4}

，塗黑

\frac{1}{4}

。之後每次被分割的正方形面積都是前一次的

\frac{1}{4}

，塗黑的面積也跟著變成

\frac{1}{4}

。所以

S_{n} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots + (\frac{1}{4})^{n - 1}

，是首項

1

、公比

\frac{1}{4}

的等比級數，

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

。

也可以這樣檢查：每次分割時，被分割的正方形有

\frac{1}{4}

塗黑、

\frac{2}{4}

留白、

\frac{1}{4}

繼續分割，所以黑與白的面積比固定是

1 : 2

，黑色佔全體的

\frac{1}{3}

，

4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

。

第 16 題先展開：

(k + 2) (k - 1) = k^{2} + k - 2

。所以

k = 1 \sum 10 (k + 2) (k - 1) = k = 1 \sum 10 k^{2} + k = 1 \sum 10 k - k = 1 \sum 10 2

。其中

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 k = \frac{10 \times 11}{2} = 55

，

k = 1 \sum 10 2 = 20

。原式

= 385 + 55 - 20 = 420

。

常數

2

加了

10

次，是

20

不是

2

。

循環小數與重複分割的圖形都是無窮等比級數：確認公比的絕對值小於 1，再用「首項除以（1 減公比）」。

06填充 9、13（第 14、18 題）：合成函數、高斯符號

第 14 題

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 1) = (x + 1)^{2} - 2 = x^{2} + 2 x + 1 - 2 = x^{2} + 2 x - 1

。

f \circ g

是先算

g

再代入

f

。順序反過來是

(g \circ f) (x) = g (x^{2} - 2) = x^{2} - 1

，結果不同。

第 18 題

50 > 12

，所以使用時間超過

6

分鐘，用第二段：

12 + 3 \times (- [6 - x]) \leq 50

，得

- [6 - x] \leq \frac{38}{3} = 12.6 \dots

。

- [6 - x]

是整數，所以

- [6 - x] \leq 12

，即

[6 - x] \geq - 12

。高斯符號

[t]

是不超過

t

的最大整數，

[t] \geq - 12

相當於

t \geq - 12

，所以

6 - x \geq - 12

，

x \leq 18

。最多可使用

18

分鐘，此時租金

12 + 3 \times 12 = 48

元。

原卷題幹印作「租借某共享機車

x

公里」，依計費方式與問句的單位，應為「

x

分鐘」。檢查：超過

18

分鐘一點點（例如

x = 18.5

）時

[6 - x] = [- 12.5] = - 13

，租金

12 + 3 \times 13 = 51

元，超過

50

元。

- [6 - x]

就是把超過的時間

x - 6

無條件進位到整數分鐘。

07填充 8、10、12、14、15（第 13、15、17、19、20 題）：函數的極限與連續

第 13 題多項式函數的極限直接代入：

(- 1)^{2025} - (- 1)^{10} + 14 = - 1 - 1 + 14 = 12

。

2025

是奇數，

(- 1)^{2025} = - 1

；

10

是偶數，

(- 1)^{10} = 1

。

第 15 題在

x = 1

連續，要左極限＝右極限＝函數值。

x = 1

屬於上面那一段，

f (1) = a + 3

，右極限也是

a + 3

；左極限用

- 3 x + 2

算，是

- 3 + 2 = - 1

。所以

a + 3 = - 1

，

a = - 4

。

第 17 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

，所以

f (1) = 0

，

f (x)

有因式

x - 1

。

f (x)

是首項係數

1

的二次式，可設

f (x) = (x - 1) (x - b)

。約去

x - 1

後，

x \to 1 lim (x - b) = 1 - b = 3

，得

b = - 2

。所以

f (x) = (x - 1) (x + 2)

，

f (2) = 1 \times 4 = 4

。

檢查：

f (x) = x^{2} + x - 2

，

\frac{f ( x )}{x - 1} = x + 2

（

x \neq = 1

），

x \to 1

時趨近

3

。

第 19 題兩個分式在

x \to 1

時分母都趨近

0

，不能分開取極限，先通分：

\frac{3 x + 3}{( x - 1 ) ( x + 2 )} - \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{3 x + 3 - ( x ^{2} + 3 x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1 - x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 2 )}

。分子

1 - x^{2} = - (x - 1) (x + 1)

，約去

x - 1

得

\frac{- ( x + 1 )}{x + 2}

，

x \to 1

時極限為

\frac{- 2}{3} = - \frac{2}{3}

。

1 - x^{2}

與

x - 1

約分時差一個負號：

1 - x = - (x - 1)

。

第 20 題

f (x) = x^{2}

是連續函數，而且在

x > 0

時遞增。

f (π) = π^{2} \approx 9.87

，

f (4.1) = 16.81

。由中間值定理，介於

π^{2}

與

16.81

之間的每一個數

k

，都能在

π

與

4.1

之間找到

c

使

f (c) = k

；又因為

f

遞增，

c

在

π

與

4.1

之間時

f (c)

不會超出這個範圍。所以整數

k

可以是

10, 11, \dots, 16

，最大值為

16

（此時

c = 4

，確實在

π

與

4.1

之間）。

4. 1^{2} = 16.81

不到

17

，所以

k = 17

取不到。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0，先用這個條件找出公因式再約分；分段函數在接點連續，就是左極限、右極限、函數值三者相等。

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03單選第 5 題：左極限、右極限與極限的存在

04填充 1～5（第 6～10 題）：數列的極限

05填充 6、7、11（第 11、12、16 題）：循環小數、無窮等比級數、Σ 求和

06填充 9、13（第 14、18 題）：合成函數、高斯符號

07填充 8、10、12、14、15（第 13、15、17、19、20 題）：函數的極限與連續

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