段考詳解範圍：選修數學乙（上）單元 1（數列的極限、無窮等比級數）

溪湖高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

全卷只有一大題填充題，共 20 格，每格 5 分，合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、填充題（每格 5 分）（原卷題號 1(1)～(7)、2(1)～(4)、3、4(1)～(3)、5、6、7(1)～(3)，本頁編為第 1～20 題）

第 1 題（第 1～7 題）　求下列極限。

(1)

n \to \infty lim (2 + \frac{1}{5 ^{n}}) (3 - \frac{1}{n})

(2)

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2} + 1}{2 n} - \frac{n ^{2} - 2}{n - 3})

(3)

n \to \infty lim \frac{4 ^{n} + 3 ^{n + 1}}{4 ^{n + 1} + 3 ^{n}}

(4)

n \to \infty lim \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{3}}

(5)

n \to \infty lim \frac{sin ( 2 n )}{3 n}

(6)

n \to \infty lim \frac{- 2 n ^{2} + 1}{n ^{2} - 1}

(7)

n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} + 1}{C _{2}^{n}}

　（提示：

C_{2}^{5} = \frac{5 \times 4}{2}

）

第 2 題（第 8～11 題）　求下列的值。

(1)

k = 2 \sum 5 3 (k + 1)

(2)

n = 1 \sum 10 (n + 1) (n - 3)

(3)

k = 1 \sum 6 (- 2)^{k}

(4)

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} - 1}{3 ^{n}}

若

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{4 n - 3} = 4

，則

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{3 n + 1} =

____。

第 4 題（第 13～15 題）　判斷下列各無窮等比級數為發散或收斂級數；若為發散級數，需寫出原因；若為收斂級數，求其和。

(1)

48 + 24 + 12 + 6 + 3 + \dots

。

(2)

\frac{9}{4} - 3 + 4 - \frac{16}{3} + \frac{64}{9} - \dots

。

(3)

33 + (- 3) + 3 + (- 1) + \dots

。

將

3.2 \overline{6}

化成最簡分數之值為 ____。（未化為最簡分數者不給分）

已知數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

3 + 4 n + 2 n^{2} \leq (n^{2} - 1) a_{n} \leq 3 - 4 n + 2 n^{2}

，則

n \to \infty lim a_{n} =

____。

第 7 題（第 18～20 題）　一線段

A B

，由

B

點延伸出兩線段

B C_{1}

與

B C_{2}

，其長度都是

\overline{A B}

的

\frac{1}{3}

，得到圖①。接著，由圖①的

C_{1}

點與

C_{2}

點分別延伸出兩線段，其長度分別是

\overline{B C_{1}}

與

\overline{B C_{2}}

的

\frac{1}{3}

，得到圖②。重複以上步驟如此繼續下去，可得到圖③, …。設

S_{n}

為圖ⓝ中所有線段長度的總和（例如：

S_{1} = \overline{A B} + \overline{B C_{1}} + \overline{B C_{2}}

），且

\overline{A B} = 1

。

(1) 求

S_{3}

的值。

載入中...

(2) 求

S_{n}

的值。（需以

\sum

符號寫出答案才給分）

(3) 並求當

n

趨向無限大時其極限。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

6

第 2 題

- 3

第 3 題

\frac{1}{4}

第 4 題

\frac{1}{3}

第 5 題

0

第 6 題

- 2

第 7 題

6

第 8 題

54

第 9 題

245

第 10 題

42

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

\frac{16}{3}

第 13 題收斂，和為

96

第 14 題發散，原因為公比

r = - \frac{4}{3}

，

∣ r ∣ \geq 1

第 15 題收斂，和為

\frac{9 3 - 9}{2}

第 16 題

\frac{49}{15}

第 17 題

2

（卷面的不等式左邊比右邊大，條件本身有瑕疵；照夾擠定理的算法得 2，見詳解）

第 18 題

\frac{65}{27}

第 19 題

k = 0 \sum n (\frac{2}{3})^{k}

第 20 題

3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1 題 (1)(2)(3)（第 1～3 題）：極限的四則運算、通分、指數型分式

第 1 題

n \to \infty

時

\frac{1}{5 ^{n}} \to 0

、

\frac{1}{n} \to 0

，兩個括號分別趨近

2

與

3

，所以極限為

2 \times 3 = 6

。

第 2 題兩個分式各自都發散，不能分開取極限，先通分：

\frac{( 2 n ^{2} + 1 ) ( n - 3 ) - 2 n ( n ^{2} - 2 )}{2 n ( n - 3 )}

。分子

= (2 n^{3} - 6 n^{2} + n - 3) - (2 n^{3} - 4 n) = - 6 n^{2} + 5 n - 3

，分母

= 2 n^{2} - 6 n

。分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 6 + \frac{5}{n} - \frac{3}{n ^{2}}}{2 - \frac{6}{n}} \to \frac{- 6}{2} = - 3

。

通分後

n^{3}

項消掉，剩下分子分母同為二次，極限就是最高次項係數的比。

第 3 題底數最大的是

4

，分子分母同除以

4^{n}

：

\frac{1 + 3 ( \frac{3}{4} ) ^{n}}{4 + ( \frac{3}{4} ) ^{n}}

。因為

(\frac{3}{4})^{n} \to 0

，極限為

\frac{1 + 0}{4 + 0} = \frac{1}{4}

。

3^{n + 1} = 3 \times 3^{n}

、

4^{n + 1} = 4 \times 4^{n}

，先把指數的

+ 1

拆出來再除。

分式型的極限：多項式同除以分母的最高次，指數型同除以底數最大的那一項。

02第 1 題 (4)～(7)（第 4～7 題）：先求和再取極限、夾擠定理、組合數

第 4 題分子的項數會隨

n

變多，要先求和：

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。所以原式

= \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{3}} = \frac{1}{6} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) \to \frac{1}{6} \times 1 \times 2 = \frac{1}{3}

。

第 5 題不論

n

是多少，

- 1 \leq sin (2 n) \leq 1

，各項同除以正數

3 n

：

- \frac{1}{3 n} \leq \frac{sin ( 2 n )}{3 n} \leq \frac{1}{3 n}

。左右兩邊的極限都是

0

，由夾擠定理，所求極限為

0

。

sin (2 n)

本身沒有極限，但它被夾在

- 1

與

1

之間，除以愈來愈大的

3 n

之後就被壓到

0

。

第 6 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 2 + \frac{1}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{- 2}{1} = - 2

。

第 7 題照提示，

C_{2}^{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

。原式

= \frac{2 ( 3 n ^{2} + 1 )}{n ( n - 1 )} = \frac{6 n ^{2} + 2}{n ^{2} - n}

，分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{6 + \frac{2}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n}} \to 6

。

項數跟著 n 變多的和，要先用公式求和，再取極限。

03第 2 題（第 8～11 題）：Σ 符號與求和

第 8 題

k

從

2

到

5

共四項：

3 \times (3 + 4 + 5 + 6) = 3 \times 18 = 54

。

下限是

k = 2

，不是

1

，第一項是

3 \times 3 = 9

。

第 9 題展開

(n + 1) (n - 3) = n^{2} - 2 n - 3

。

n = 1 \sum 10 n^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，

n = 1 \sum 10 n = 55

，常數

3

加十次是

30

。所求

= 385 - 2 \times 55 - 30 = 245

。

第 10 題逐項寫出：

- 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 = 42

。也可以用等比級數公式：首項

- 2

、公比

- 2

、六項，和為

\frac{- 2 [ 1 - ( - 2 ) ^{6} ]}{1 - ( - 2 )} = \frac{- 2 \times ( - 63 )}{3} = 42

。

第 11 題拆成兩個無窮等比級數：

n = 1 \sum \infty (\frac{2}{3})^{n} - n = 1 \sum \infty (\frac{1}{3})^{n}

，兩個的公比絕對值都小於

1

，都收斂。第一個首項

\frac{2}{3}

、公比

\frac{2}{3}

，和為

\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 2

；第二個首項

\frac{1}{3}

、公比

\frac{1}{3}

，和為

\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

。所求

= 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。

n

從

1

開始，首項是

\frac{2}{3}

與

\frac{1}{3}

，不是

1

。

04第 3、6 題（第 12、17 題）：由已知極限求極限、夾擠定理

第 12 題把所求湊成已知的式子：

\frac{a _{n}}{3 n + 1} = \frac{a _{n}}{4 n - 3} \times \frac{4 n - 3}{3 n + 1}

。前者趨近

4

；後者分子分母同除以

n

得

\frac{4 - \frac{3}{n}}{3 + \frac{1}{n}} \to \frac{4}{3}

。所以極限為

4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3}

。

檢查：取

a_{n} = 4 (4 n - 3)

，則

\frac{a _{n}}{4 n - 3} = 4

，而

\frac{a _{n}}{3 n + 1} = \frac{16 n - 12}{3 n + 1} \to \frac{16}{3}

。

第 17 題

n \geq 2

時

n^{2} - 1 > 0

，各項同除以

n^{2} - 1

，不等號方向不變：

\frac{2 n ^{2} + 4 n + 3}{n ^{2} - 1} \leq a_{n} \leq \frac{2 n ^{2} - 4 n + 3}{n ^{2} - 1}

。左邊分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{2 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n ^{2}}} \to 2

；右邊同理

\frac{2 - \frac{4}{n} + \frac{3}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n ^{2}}} \to 2

。左右兩邊的極限都是

2

，由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = 2

。

卷面印的不等式是

3 + 4 n + 2 n^{2} \leq (n^{2} - 1) a_{n} \leq 3 - 4 n + 2 n^{2}

。

n

是正整數時

3 + 4 n + 2 n^{2}

比

3 - 4 n + 2 n^{2}

大

8 n

，左邊反而比右邊大，嚴格來說沒有任何數列能同時滿足兩個不等號（左右兩式的

+ 4 n

與

- 4 n

可能印反了）。不過兩個式子除以

n^{2} - 1

之後都趨近

2

，不論哪一邊是

+ 4 n

，照夾擠定理算出來都是

2

，所以本頁答案寫

2

。

夾擠定理：把數列夾在兩個極限相同的數列之間，中間的數列也趨近同一個值。

05第 4、5 題（第 13～16 題）：無窮等比級數的斂散、循環小數

第 13 題首項

48

，公比

r = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}

，

∣ r ∣ < 1

，收斂。和為

\frac{48}{1 - \frac{1}{2}} = 96

。

第 14 題公比

r = - 3 \div \frac{9}{4} = - \frac{4}{3}

（檢查：

- 3 \times (- \frac{4}{3}) = 4

，

4 \times (- \frac{4}{3}) = - \frac{16}{3}

，都符合）。

∣ r ∣ = \frac{4}{3} \geq 1

，不滿足

∣ r ∣ < 1

，所以是發散級數。

各項的絕對值

\frac{9}{4}, 3, 4, \frac{16}{3}, \frac{64}{9}, \dots

愈來愈大，不會趨近

0

，加起來不可能趨近一個定值。

第 15 題首項

33

，公比

r = \frac{- 3}{3 3} = - \frac{1}{3}

（檢查：

- 3 \times (- \frac{1}{3}) = 3

，

3 \times (- \frac{1}{3}) = - 1

）。

∣ r ∣ = \frac{1}{3} < 1

，收斂。和為

\frac{3 3}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3 3 \times 3}{3 + 1} = \frac{9}{3 + 1} = \frac{9 ( 3 - 1 )}{2} = \frac{9 3 - 9}{2}

。

公比是負的，分母是

1 - r = 1 + \frac{1}{3}

；最後一步是分母有理化，上下同乘

3 - 1

。和的近似值約

3.29

。

第 16 題循環節只有

6

：

3.2 \overline{6} = 3.2 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + \dots

。後面是首項

0.06

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.06}{1 - 0.1} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}

。所以

3.2 \overline{6} = \frac{16}{5} + \frac{1}{15} = \frac{48 + 1}{15} = \frac{49}{15}

。

檢查：

49 \div 15 = 3.2666 \dots

。

49 = 7^{2}

與

15 = 3 \times 5

沒有公因數，已是最簡分數。

無窮等比級數只有在公比的絕對值小於 1 時收斂，和是首項除以（1 − 公比）。

06第 7 題（第 18～20 題）：圖形中的等比級數

第 18 題數每一步新增的線段：圖①新增

2

條，每條長

\frac{1}{3}

，共

\frac{2}{3}

；圖②由

C_{1}

、

C_{2}

兩個端點各再長出

2

條，新增

4

條，每條長

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

，共

\frac{4}{9}

；圖③由

4

個端點各再長出

2

條，新增

8

條，每條長

\frac{1}{27}

，共

\frac{8}{27}

。所以

S_{3} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{27 + 18 + 12 + 8}{27} = \frac{65}{27}

第 19 題每做一步，新增的線段條數變成

2

倍、每條的長度變成

\frac{1}{3}

，所以第

k

步新增的總長是

2^{k} \times \frac{1}{3 ^{k}} = (\frac{2}{3})^{k}

。加上原來的

\overline{A B} = 1 = (\frac{2}{3})^{0}

，得

S_{n} = 1 + \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^{2} + \dots + (\frac{2}{3})^{n} = k = 0 \sum n (\frac{2}{3})^{k}

寫成

1 + k = 1 \sum n (\frac{2}{3})^{k}

或

k = 1 \sum n + 1 (\frac{2}{3})^{k - 1}

是同一個式子。圖ⓝ共有

n + 1

項，不是

n

項：代

n = 1

得

1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

，與題目的

S_{1}

相符。用等比級數公式可再化成

S_{n} = 3 [1 - (\frac{2}{3})^{n + 1}]

。

第 20 題

n

趨向無限大時，

S_{n}

成為首項

1

、公比

\frac{2}{3}

的無窮等比級數，

\frac{2}{3} < 1

，收斂，和為

\frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3

。

由

S_{n} = 3 [1 - (\frac{2}{3})^{n + 1}]

也看得出來：

(\frac{2}{3})^{n + 1} \to 0

，所以

S_{n} \to 3

。

圖形一層一層長出去的題目，先分別看「條數變幾倍」與「長度變幾倍」，兩個相乘就是公比。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題 (2)（本頁第 2 題）兩個分式各自發散，要先通分才能取極限；第 4 題 (3)（本頁第 15 題）公比是負的根式，求和後還要有理化；第 5 題（本頁第 16 題）循環節只有最後一位，要把不循環的部分分開；第 7 題 (2)（本頁第 19 題）用求和符號寫時項數是 n 加 1 項，容易少一項。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：選修數學乙（上）單元 1（數列的極限、無窮等比級數）

溪湖高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

全卷只有一大題填充題，共 20 格，每格 5 分，合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、填充題（每格 5 分）（原卷題號 1(1)～(7)、2(1)～(4)、3、4(1)～(3)、5、6、7(1)～(3)，本頁編為第 1～20 題）

第 1 題（第 1～7 題）　求下列極限。

(1)

n \to \infty lim (2 + \frac{1}{5 ^{n}}) (3 - \frac{1}{n})

(2)

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2} + 1}{2 n} - \frac{n ^{2} - 2}{n - 3})

(3)

n \to \infty lim \frac{4 ^{n} + 3 ^{n + 1}}{4 ^{n + 1} + 3 ^{n}}

(4)

n \to \infty lim \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{3}}

(5)

n \to \infty lim \frac{sin ( 2 n )}{3 n}

(6)

n \to \infty lim \frac{- 2 n ^{2} + 1}{n ^{2} - 1}

(7)

n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} + 1}{C _{2}^{n}}

　（提示：

C_{2}^{5} = \frac{5 \times 4}{2}

）

第 2 題（第 8～11 題）　求下列的值。

(1)

k = 2 \sum 5 3 (k + 1)

(2)

n = 1 \sum 10 (n + 1) (n - 3)

(3)

k = 1 \sum 6 (- 2)^{k}

(4)

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} - 1}{3 ^{n}}

若

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{4 n - 3} = 4

，則

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{3 n + 1} =

____。

第 4 題（第 13～15 題）　判斷下列各無窮等比級數為發散或收斂級數；若為發散級數，需寫出原因；若為收斂級數，求其和。

(1)

48 + 24 + 12 + 6 + 3 + \dots

。

(2)

\frac{9}{4} - 3 + 4 - \frac{16}{3} + \frac{64}{9} - \dots

。

(3)

33 + (- 3) + 3 + (- 1) + \dots

。

將

3.2 \overline{6}

化成最簡分數之值為 ____。（未化為最簡分數者不給分）

已知數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

3 + 4 n + 2 n^{2} \leq (n^{2} - 1) a_{n} \leq 3 - 4 n + 2 n^{2}

，則

n \to \infty lim a_{n} =

____。

第 7 題（第 18～20 題）　一線段

A B

，由

B

點延伸出兩線段

B C_{1}

與

B C_{2}

，其長度都是

\overline{A B}

的

\frac{1}{3}

，得到圖①。接著，由圖①的

C_{1}

點與

C_{2}

點分別延伸出兩線段，其長度分別是

\overline{B C_{1}}

與

\overline{B C_{2}}

的

\frac{1}{3}

，得到圖②。重複以上步驟如此繼續下去，可得到圖③, …。設

S_{n}

為圖ⓝ中所有線段長度的總和（例如：

S_{1} = \overline{A B} + \overline{B C_{1}} + \overline{B C_{2}}

），且

\overline{A B} = 1

。

(1) 求

S_{3}

的值。

載入中...

(2) 求

S_{n}

的值。（需以

\sum

符號寫出答案才給分）

(3) 並求當

n

趨向無限大時其極限。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

6

第 2 題

- 3

第 3 題

\frac{1}{4}

第 4 題

\frac{1}{3}

第 5 題

0

第 6 題

- 2

第 7 題

6

第 8 題

54

第 9 題

245

第 10 題

42

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

\frac{16}{3}

第 13 題收斂，和為

96

第 14 題發散，原因為公比

r = - \frac{4}{3}

，

∣ r ∣ \geq 1

第 15 題收斂，和為

\frac{9 3 - 9}{2}

第 16 題

\frac{49}{15}

第 17 題

2

（卷面的不等式左邊比右邊大，條件本身有瑕疵；照夾擠定理的算法得 2，見詳解）

第 18 題

\frac{65}{27}

第 19 題

k = 0 \sum n (\frac{2}{3})^{k}

第 20 題

3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1 題 (1)(2)(3)（第 1～3 題）：極限的四則運算、通分、指數型分式

第 1 題

n \to \infty

時

\frac{1}{5 ^{n}} \to 0

、

\frac{1}{n} \to 0

，兩個括號分別趨近

2

與

3

，所以極限為

2 \times 3 = 6

。

第 2 題兩個分式各自都發散，不能分開取極限，先通分：

\frac{( 2 n ^{2} + 1 ) ( n - 3 ) - 2 n ( n ^{2} - 2 )}{2 n ( n - 3 )}

。分子

= (2 n^{3} - 6 n^{2} + n - 3) - (2 n^{3} - 4 n) = - 6 n^{2} + 5 n - 3

，分母

= 2 n^{2} - 6 n

。分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 6 + \frac{5}{n} - \frac{3}{n ^{2}}}{2 - \frac{6}{n}} \to \frac{- 6}{2} = - 3

。

通分後

n^{3}

項消掉，剩下分子分母同為二次，極限就是最高次項係數的比。

第 3 題底數最大的是

4

，分子分母同除以

4^{n}

：

\frac{1 + 3 ( \frac{3}{4} ) ^{n}}{4 + ( \frac{3}{4} ) ^{n}}

。因為

(\frac{3}{4})^{n} \to 0

，極限為

\frac{1 + 0}{4 + 0} = \frac{1}{4}

。

3^{n + 1} = 3 \times 3^{n}

、

4^{n + 1} = 4 \times 4^{n}

，先把指數的

+ 1

拆出來再除。

分式型的極限：多項式同除以分母的最高次，指數型同除以底數最大的那一項。

02第 1 題 (4)～(7)（第 4～7 題）：先求和再取極限、夾擠定理、組合數

第 4 題分子的項數會隨

n

變多，要先求和：

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。所以原式

= \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{3}} = \frac{1}{6} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) \to \frac{1}{6} \times 1 \times 2 = \frac{1}{3}

。

第 5 題不論

n

是多少，

- 1 \leq sin (2 n) \leq 1

，各項同除以正數

3 n

：

- \frac{1}{3 n} \leq \frac{sin ( 2 n )}{3 n} \leq \frac{1}{3 n}

。左右兩邊的極限都是

0

，由夾擠定理，所求極限為

0

。

sin (2 n)

本身沒有極限，但它被夾在

- 1

與

1

之間，除以愈來愈大的

3 n

之後就被壓到

0

。

第 6 題分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 2 + \frac{1}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{- 2}{1} = - 2

。

第 7 題照提示，

C_{2}^{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

。原式

= \frac{2 ( 3 n ^{2} + 1 )}{n ( n - 1 )} = \frac{6 n ^{2} + 2}{n ^{2} - n}

，分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{6 + \frac{2}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n}} \to 6

。

項數跟著 n 變多的和，要先用公式求和，再取極限。

03第 2 題（第 8～11 題）：Σ 符號與求和

第 8 題

k

從

2

到

5

共四項：

3 \times (3 + 4 + 5 + 6) = 3 \times 18 = 54

。

下限是

k = 2

，不是

1

，第一項是

3 \times 3 = 9

。

第 9 題展開

(n + 1) (n - 3) = n^{2} - 2 n - 3

。

n = 1 \sum 10 n^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，

n = 1 \sum 10 n = 55

，常數

3

加十次是

30

。所求

= 385 - 2 \times 55 - 30 = 245

。

第 10 題逐項寫出：

- 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 = 42

。也可以用等比級數公式：首項

- 2

、公比

- 2

、六項，和為

\frac{- 2 [ 1 - ( - 2 ) ^{6} ]}{1 - ( - 2 )} = \frac{- 2 \times ( - 63 )}{3} = 42

。

第 11 題拆成兩個無窮等比級數：

n = 1 \sum \infty (\frac{2}{3})^{n} - n = 1 \sum \infty (\frac{1}{3})^{n}

，兩個的公比絕對值都小於

1

，都收斂。第一個首項

\frac{2}{3}

、公比

\frac{2}{3}

，和為

\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 2

；第二個首項

\frac{1}{3}

、公比

\frac{1}{3}

，和為

\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

。所求

= 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。

n

從

1

開始，首項是

\frac{2}{3}

與

\frac{1}{3}

，不是

1

。

04第 3、6 題（第 12、17 題）：由已知極限求極限、夾擠定理

第 12 題把所求湊成已知的式子：

\frac{a _{n}}{3 n + 1} = \frac{a _{n}}{4 n - 3} \times \frac{4 n - 3}{3 n + 1}

。前者趨近

4

；後者分子分母同除以

n

得

\frac{4 - \frac{3}{n}}{3 + \frac{1}{n}} \to \frac{4}{3}

。所以極限為

4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3}

。

檢查：取

a_{n} = 4 (4 n - 3)

，則

\frac{a _{n}}{4 n - 3} = 4

，而

\frac{a _{n}}{3 n + 1} = \frac{16 n - 12}{3 n + 1} \to \frac{16}{3}

。

第 17 題

n \geq 2

時

n^{2} - 1 > 0

，各項同除以

n^{2} - 1

，不等號方向不變：

\frac{2 n ^{2} + 4 n + 3}{n ^{2} - 1} \leq a_{n} \leq \frac{2 n ^{2} - 4 n + 3}{n ^{2} - 1}

。左邊分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{2 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n ^{2}}} \to 2

；右邊同理

\frac{2 - \frac{4}{n} + \frac{3}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n ^{2}}} \to 2

。左右兩邊的極限都是

2

，由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = 2

。

卷面印的不等式是

3 + 4 n + 2 n^{2} \leq (n^{2} - 1) a_{n} \leq 3 - 4 n + 2 n^{2}

。

n

是正整數時

3 + 4 n + 2 n^{2}

比

3 - 4 n + 2 n^{2}

大

8 n

，左邊反而比右邊大，嚴格來說沒有任何數列能同時滿足兩個不等號（左右兩式的

+ 4 n

與

- 4 n

可能印反了）。不過兩個式子除以

n^{2} - 1

之後都趨近

2

，不論哪一邊是

+ 4 n

，照夾擠定理算出來都是

2

，所以本頁答案寫

2

。

夾擠定理：把數列夾在兩個極限相同的數列之間，中間的數列也趨近同一個值。

05第 4、5 題（第 13～16 題）：無窮等比級數的斂散、循環小數

第 13 題首項

48

，公比

r = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}

，

∣ r ∣ < 1

，收斂。和為

\frac{48}{1 - \frac{1}{2}} = 96

。

第 14 題公比

r = - 3 \div \frac{9}{4} = - \frac{4}{3}

（檢查：

- 3 \times (- \frac{4}{3}) = 4

，

4 \times (- \frac{4}{3}) = - \frac{16}{3}

，都符合）。

∣ r ∣ = \frac{4}{3} \geq 1

，不滿足

∣ r ∣ < 1

，所以是發散級數。

各項的絕對值

\frac{9}{4}, 3, 4, \frac{16}{3}, \frac{64}{9}, \dots

愈來愈大，不會趨近

0

，加起來不可能趨近一個定值。

第 15 題首項

33

，公比

r = \frac{- 3}{3 3} = - \frac{1}{3}

（檢查：

- 3 \times (- \frac{1}{3}) = 3

，

3 \times (- \frac{1}{3}) = - 1

）。

∣ r ∣ = \frac{1}{3} < 1

，收斂。和為

\frac{3 3}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3 3 \times 3}{3 + 1} = \frac{9}{3 + 1} = \frac{9 ( 3 - 1 )}{2} = \frac{9 3 - 9}{2}

。

公比是負的，分母是

1 - r = 1 + \frac{1}{3}

；最後一步是分母有理化，上下同乘

3 - 1

。和的近似值約

3.29

。

第 16 題循環節只有

6

：

3.2 \overline{6} = 3.2 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + \dots

。後面是首項

0.06

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.06}{1 - 0.1} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}

。所以

3.2 \overline{6} = \frac{16}{5} + \frac{1}{15} = \frac{48 + 1}{15} = \frac{49}{15}

。

檢查：

49 \div 15 = 3.2666 \dots

。

49 = 7^{2}

與

15 = 3 \times 5

沒有公因數，已是最簡分數。

無窮等比級數只有在公比的絕對值小於 1 時收斂，和是首項除以（1 − 公比）。

06第 7 題（第 18～20 題）：圖形中的等比級數

第 18 題數每一步新增的線段：圖①新增

2

條，每條長

\frac{1}{3}

，共

\frac{2}{3}

；圖②由

C_{1}

、

C_{2}

兩個端點各再長出

2

條，新增

4

條，每條長

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

，共

\frac{4}{9}

；圖③由

4

個端點各再長出

2

條，新增

8

條，每條長

\frac{1}{27}

，共

\frac{8}{27}

。所以

S_{3} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{27 + 18 + 12 + 8}{27} = \frac{65}{27}

第 19 題每做一步，新增的線段條數變成

2

倍、每條的長度變成

\frac{1}{3}

，所以第

k

步新增的總長是

2^{k} \times \frac{1}{3 ^{k}} = (\frac{2}{3})^{k}

。加上原來的

\overline{A B} = 1 = (\frac{2}{3})^{0}

，得

S_{n} = 1 + \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^{2} + \dots + (\frac{2}{3})^{n} = k = 0 \sum n (\frac{2}{3})^{k}

寫成

1 + k = 1 \sum n (\frac{2}{3})^{k}

或

k = 1 \sum n + 1 (\frac{2}{3})^{k - 1}

是同一個式子。圖ⓝ共有

n + 1

項，不是

n

項：代

n = 1

得

1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

，與題目的

S_{1}

相符。用等比級數公式可再化成

S_{n} = 3 [1 - (\frac{2}{3})^{n + 1}]

。

第 20 題

n

趨向無限大時，

S_{n}

成為首項

1

、公比

\frac{2}{3}

的無窮等比級數，

\frac{2}{3} < 1

，收斂，和為

\frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3

。

由

S_{n} = 3 [1 - (\frac{2}{3})^{n + 1}]

也看得出來：

(\frac{2}{3})^{n + 1} \to 0

，所以

S_{n} \to 3

。

圖形一層一層長出去的題目，先分別看「條數變幾倍」與「長度變幾倍」，兩個相乘就是公比。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1 題 (1)(2)(3)（第 1～3 題）：極限的四則運算、通分、指數型分式

02第 1 題 (4)～(7)（第 4～7 題）：先求和再取極限、夾擠定理、組合數

03第 2 題（第 8～11 題）：Σ 符號與求和

04第 3、6 題（第 12、17 題）：由已知極限求極限、夾擠定理

05第 4、5 題（第 13～16 題）：無窮等比級數的斂散、循環小數

06第 7 題（第 18～20 題）：圖形中的等比級數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

溪湖高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1 題 (1)(2)(3)（第 1～3 題）：極限的四則運算、通分、指數型分式

02第 1 題 (4)～(7)（第 4～7 題）：先求和再取極限、夾擠定理、組合數

03第 2 題（第 8～11 題）：Σ 符號與求和

04第 3、6 題（第 12、17 題）：由已知極限求極限、夾擠定理

05第 4、5 題（第 13～16 題）：無窮等比級數的斂散、循環小數

06第 7 題（第 18～20 題）：圖形中的等比級數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

溪湖高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

溪湖高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

溪湖高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？