段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

溪湖高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 溪湖高中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 溪湖高中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要把首位數字 6、7、8 的三個比例相加，用對數律合併成一個對數再查表；第 8 題底數是五分之一，不等號要反向，還要同時顧到兩個真數條件；第 15 題把藥量寫成二分之一的次方，比較指數時也要注意底數小於一不等號反向；第 17 題畫圖要先看出係數負二讓圖形遞減，再挑真數是 10 的次方的點。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題，每題 5 分，共 10 分；填充題 14 格，依答對格數給分，答對 1～14 格依序得 7、14、21、28、34、40、46、52、57、62、67、72、76、80 分；繪圖題 10 分（坐標平面 2 分、正確畫出函數 2 分、正確標示 3 個點及其坐標各 2 分）。本頁第 1、2 題為原卷單選 1、2，第 3～16 題依序為原卷填充 3(1)(2)(3)、4(1)(2)(3)、5(1)(2)、6～11，第 17 題為原卷繪圖題 12。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

單選題：10 分（一題 5 分）

班佛法則：銀行存款首位數字為

a

的比例約有

lo g (1 + \frac{1}{a})

，例如存款金額為

456780

元的首位數字為

4

，所有首位數字為

4

的存款所占比例約

lo g (1 + \frac{1}{4})

；存款金額為

621

元的首位數字為

6

，所有首位數字為

6

的存款所占比例約

lo g (1 + \frac{1}{6})

。請根據班佛法則，估計銀行存款的首位數字為

6

或

7

或

8

的人最接近下列比例？（

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

）

(A) $13%$
(B) $18%$
(C) $23%$
(D) $28%$
(E) $33%$

某國在 COVID-19 的檢驗上，沒有採取有效的防護措施，導致感染人數以每週增為上週

2

倍的速率成長，即本周總感染人數為前一週之

2

倍。假設本周有

10

人被感染，試問經過

50

天後，該國的感染人數最接近下列何者？（

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

，

lo g 5 = 0.6990

，

lo g 7 = 0.8451

，

1 0^{0.1} = 1.259

，

1 0^{0.15} = 1.412

，

1 0^{0.2} = 1.585

）

(A) $600$ 人
(B) $1000$ 人
(C) $1400$ 人
(D) $1800$ 人
(E) $2200$ 人

填充題：80 分（依答對格數給分）

填充題 3（第 3～5 題）　求下列方程式的實數解：

(1)

3^{4 x - 1} = 243

(2)

4^{x} - 2^{x + 1} - 3 = 0

（以

lo g

表示）

(3)

lo g_{2} (x + 3) + lo g_{2} (x - 1) = 5

填充題 4（第 6～8 題）　求下列不等式的範圍：

(1)

lo g (3 x - 1) < 1

(2)

(0.7)^{x^{2} - x} \leq (0.49)^{3}

(3)

lo g_{\frac{1}{5}} (x - 1)^{2} < lo g_{\frac{1}{5}} (7 - x)

填充題 5（第 9～10 題）　計算下列之值：

(1)

lo g 7 + 5 lo g 2 - 2 lo g 6 - lo g \frac{14}{9} + lo g 25 =

(2)

lo g_{19} 64 \times lo g_{3} 7 \times lo g_{7} 19 \times lo g_{4} 3 =

已知

f (x) = 2^{x}

，又存在實數

a

、

b

使得

f (a) = 5

，

f (b) = 6

，試求

f (a + 2 b)

之值。

若

x lo g 4 = 2

，且

a = 2^{x}

，

b = 4^{- x}

，試求數對

(a, b)

之值。

已知圖形

y = lo g_{a} (x + 1)

有三點，分別為

A (7, 3)

、

B (b, 0)

、

c (15, c)

，試求數對

(a, b, c)

。

試求

2^{60} - 1 0^{3}

是幾位數？（

lo g 2 = 0.3010

）

已知某種藥物在服用過

x

小時後，殘留在身體內的藥量為原先的

y

倍，且

x

與

y

的關係式為

y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}}

，即每過

3

個小時，藥量降為原本的一半。又藥物殘留在身體內的藥量需要小於或等於

1

顆藥物的

\frac{1}{32}

倍時，才視為代謝完成。試問某人某次服藥

4

顆藥物的情況下，至少需要幾個小時才能代謝完成？

已知正數數列

{a_{n}}

，

n \geq 1

且滿足

lo g a_{n + 1} = 1 + lo g a_{n}

，又

lo g (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10}) = 2

，試求

lo g (a_{11} + a_{12} + \dots + a_{20})

之值。

繪圖題：10 分

請在

x y

坐標平面上畫出

y = - 2 lo g x

，且標示通過這個圖形的三個點及其坐標。（

x y

坐標平面

2

分、正確畫出函數

2

分、正確標示

3

個點及其坐標各

2

分、共計

10

分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題

x = \frac{3}{2}

第 4 題

x = lo g_{2} 3

（或

\frac{l o g 3}{l o g 2}

）

第 5 題

x = 5

第 6 題

\frac{1}{3} < x < \frac{11}{3}

第 7 題

x \leq - 2

或

x \geq 3

第 8 題

x < - 2

或

3 < x < 7

第 9 題

2

第 10 題

3

第 11 題

180

第 12 題

(10, \frac{1}{100})

第 13 題

(2, 0, 4)

第 14 題

19

位數

第 15 題

21

小時

第 16 題

12

第 17 題圖形見詳解；例如標示

(\frac{1}{10}, 2)

、

(1, 0)

、

(10, - 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1、2 題：單選題

第 1 題

① 首位數字為 $6$ 、 $7$ 、 $8$ 的比例相加：

$lo g (1 + \frac{1}{6}) + lo g (1 + \frac{1}{7}) + lo g (1 + \frac{1}{8}) = lo g \frac{7}{6} + lo g \frac{8}{7} + lo g \frac{9}{8}$

② 用對數律合併，分子分母一路相消：

$lo g (\frac{7}{6} \times \frac{8}{7} \times \frac{9}{8}) = lo g \frac{9}{6} = lo g \frac{3}{2}$

③ $lo g \frac{3}{2} = lo g 3 - lo g 2 = 0.4771 - 0.3010 = 0.1761$ ，約 $17.6%$ 。

④ 選項中最接近的是 $18%$ 。

答案 (B)。

載入中...

九個比例

lo g \frac{2}{1} + lo g \frac{3}{2} + \dots + lo g \frac{10}{9} = lo g 10 = 1

，合起來剛好是全部；首位數字越大，比例越小。

第 2 題

① 每週變為 $2$ 倍， $50$ 天是 $\frac{50}{7}$ 週，所以 $50$ 天後的人數是

$10 \times 2^{\frac{50}{7}}$

② 取常用對數： $lo g (10 \times 2^{\frac{50}{7}}) = 1 + \frac{50}{7} \times 0.3010 = 1 + \frac{15.05}{7} = 1 + 2.15 = 3.15$ 。

③ 所以人數約 $1 0^{3.15} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.15} = 1000 \times 1.412 = 1412$ 人。

④ 最接近 $1400$ 人。

答案 (C)。

若只算整週（

7

週），人數是

10 \times 2^{7} = 1280

；題目給的

1 0^{0.15}

提示要把

50

天換成

\frac{50}{7}

週直接代入。兩種算法最接近的選項都是

1400

人。

比例相乘、相加的估值題，先用對數律把多個對數合併成一個，再查題目給的對數值；成長模型寫成

a \times r^{t}

，取常用對數後拆成整數部分與小數部分估值。

02第 3～10 題：填充 3～5（方程式、不等式、求值）

第 3 題

① $243 = 3^{5}$ ，所以 $3^{4 x - 1} = 3^{5}$ 。

② 底數相同，指數相等： $4 x - 1 = 5$ 。

答案 $x = \frac{3}{2}$ 。

第 4 題

① $4^{x} = (2^{x})^{2}$ ， $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ 。令 $t = 2^{x} > 0$ ，方程式變成 $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ 。

② 因式分解： $(t - 3) (t + 1) = 0$ ，得 $t = 3$ 或 $t = - 1$ 。

③ $t = 2^{x} > 0$ ，不合 $t = - 1$ ，所以 $2^{x} = 3$ 。

④ 化成對數： $x = lo g_{2} 3$ 。

答案 $x = lo g_{2} 3$ 。

以常用對數表示也可以寫成

x = \frac{l o g 3}{l o g 2}

（換底公式），兩者相等。

第 5 題

① 真數條件： $x + 3 > 0$ 且 $x - 1 > 0$ ，所以 $x > 1$ 。

② 對數律合併： $lo g_{2} [(x + 3) (x - 1)] = 5$ ，即 $(x + 3) (x - 1) = 2^{5} = 32$ 。

③ 展開： $x^{2} + 2 x - 3 = 32$ ， $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ ， $(x + 7) (x - 5) = 0$ 。

④ 得 $x = 5$ 或 $x = - 7$ ； $x = - 7$ 不合真數條件。

答案 $x = 5$ 。

第 6 題

① 真數條件： $3 x - 1 > 0$ ， $x > \frac{1}{3}$ 。

② $1 = lo g 10$ ，底數 $10 > 1$ ， $lo g$ 遞增，所以 $lo g (3 x - 1) < lo g 10$ 等價於 $3 x - 1 < 10$ ， $x < \frac{11}{3}$ 。

③ 兩個條件取交集。

答案 $\frac{1}{3} < x < \frac{11}{3}$ 。

載入中...

第 7 題

① 化成同底： $(0.49)^{3} = ((0.7)^{2})^{3} = (0.7)^{6}$ 。

② 底數 $0.7 < 1$ ， $y = (0.7)^{x}$ 遞減，所以 $(0.7)^{x^{2} - x} \leq (0.7)^{6}$ 等價於 $x^{2} - x \geq 6$ （不等號反向）。

③ $x^{2} - x - 6 \geq 0$ ， $(x - 3) (x + 2) \geq 0$ 。

答案 $x \leq - 2$ 或 $x \geq 3$ 。

載入中...

第 8 題

① 真數條件： $(x - 1)^{2} > 0$ 得 $x \neq = 1$ ； $7 - x > 0$ 得 $x < 7$ 。

② 底數 $\frac{1}{5} < 1$ ， $lo g_{\frac{1}{5}}$ 遞減，所以原式等價於 $(x - 1)^{2} > 7 - x$ （不等號反向）。

③ 展開： $x^{2} - 2 x + 1 > 7 - x$ ， $x^{2} - x - 6 > 0$ ， $(x - 3) (x + 2) > 0$ ，得 $x < - 2$ 或 $x > 3$ 。

④ 與真數條件 $x < 7$ 、 $x \neq = 1$ 取交集（ $x = 1$ 本來就不在 ③ 的範圍內）。

答案 $x < - 2$ 或 $3 < x < 7$ 。

載入中...

易錯：忘了

7 - x > 0

會把

x \geq 7

也算進去；例如

x = 8

時

7 - x = - 1

，

lo g_{\frac{1}{5}} (- 1)

沒有意義。

第 9 題

① 用對數律把各項寫成一個對數：

$lo g 7 + lo g 2^{5} - lo g 6^{2} - lo g \frac{14}{9} + lo g 25 = lo g \frac{7 \times 32 \times 25}{36 \times \frac{14}{9}}$

② 分母 $36 \times \frac{14}{9} = 56$ ，分子 $7 \times 32 \times 25 = 5600$ 。

③ 所以原式 $= lo g \frac{5600}{56} = lo g 100 = 2$ 。

答案 $2$ 。

第 10 題

① 每一項用換底公式寫成常用對數：

$\frac{lo g 64}{lo g 19} \times \frac{lo g 7}{lo g 3} \times \frac{lo g 19}{lo g 7} \times \frac{lo g 3}{lo g 4}$

② $lo g 19$ 、 $lo g 7$ 、 $lo g 3$ 都約掉，剩下 $\frac{l o g 64}{l o g 4} = lo g_{4} 64$ 。

③ $64 = 4^{3}$ ，所以 $lo g_{4} 64 = 3$ 。

答案 $3$ 。

指數方程式化成同底或整體代換；對數方程式與不等式先寫真數條件；底數小於

1

時，去掉底數不等號要反向。連乘的對數用換底公式寫成分數，通常會一路相消。

03第 11～16 題：填充 6～11

第 11 題

① $f (a) = 2^{a} = 5$ ， $f (b) = 2^{b} = 6$ 。

② 由指數律： $f (a + 2 b) = 2^{a + 2 b} = 2^{a} \times (2^{b})^{2}$ 。

③ 代入： $5 \times 6^{2} = 5 \times 36 = 180$ 。

答案 $180$ 。

第 12 題

① $x lo g 4 = 2$ 即 $lo g 4^{x} = 2$ ，所以 $4^{x} = 1 0^{2} = 100$ 。

② $a = 2^{x} = 4^{x} = 100 = 10$ （ $2^{x} > 0$ ）。

③ $b = 4^{- x} = \frac{1}{4 ^{x}} = \frac{1}{100}$ 。

答案 $(a, b) = (10, \frac{1}{100})$ 。

第 13 題

① $A (7, 3)$ 在圖形上： $lo g_{a} (7 + 1) = 3$ ，即 $a^{3} = 8$ ，所以 $a = 2$ 。

② $B (b, 0)$ 在 $y = lo g_{2} (x + 1)$ 上： $lo g_{2} (b + 1) = 0$ ， $b + 1 = 1$ ， $b = 0$ 。

③ 點 $c (15, c)$ 的 $y$ 坐標： $c = lo g_{2} (15 + 1) = lo g_{2} 16 = 4$ 。

答案 $(a, b, c) = (2, 0, 4)$ 。

載入中...

卷面第三點印作小寫

c (15, c)

，點名與

y

坐標同一個字母，不影響計算；所求的

c

是它的

y

坐標。

第 14 題

① $lo g 2^{60} = 60 \times 0.3010 = 18.06$ ，所以 $2^{60} = 1 0^{18.06} = 1 0^{0.06} \times 1 0^{18}$ 。

② $1 0^{0.06}$ 介於 $1$ 與 $10$ 之間，所以 $2^{60}$ 是 $19$ 位數，而且比 $1 0^{18}$ 大了 $(1 0^{0.06} - 1) \times 1 0^{18}$ ，遠大於 $1000$ 。

③ 所以 $1 0^{18} < 2^{60} - 1 0^{3} < 2^{60} < 1 0^{19}$ ，減去 $1000$ 不會少一位。

答案 $19$ 位數。

lo g 1.1 \approx 0.041

、

lo g 1.2 \approx 0.079

，所以

1 0^{0.06}

約

1.15

，

2^{60}

約

1.15 \times 1 0^{18}

，比

1 0^{18}

多了約

1.5 \times 1 0^{17}

，減掉

1000

不會少一位。

第 15 題

① 服 $4$ 顆， $x$ 小時後殘留 $4 \times (\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}}$ 顆。

② 代謝完成的條件： $4 \times (\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}} \leq \frac{1}{32}$ ，即 $(\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}} \leq \frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^{7}$ 。

③ 兩邊取以 $2$ 為底的對數（ $lo g_{2}$ 是遞增函數，不等號方向不變），得到殘留顆數的對數：

$lo g_{2} (4 \times (\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}}) = lo g_{2} 4 - \frac{x}{3} = 2 - \frac{x}{3} \leq lo g_{2} \frac{1}{32} = - 5$

④ 所以 $2 - \frac{x}{3} \leq - 5$ ， $\frac{x}{3} \geq 7$ ， $x \geq 21$ 。

⑤ 所以至少要 $21$ 小時。

答案 $21$ 小時。

載入中...

也可以不取對數，直接比指數：

(\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}} \leq \frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^{7}

，底數

\frac{1}{2} < 1

，指數函數遞減，不等號反向，

\frac{x}{3} \geq 7

。或直接數減半次數：

4 \to 2 \to 1 \to \frac{1}{2} \to \frac{1}{4} \to \frac{1}{8} \to \frac{1}{16} \to \frac{1}{32}

，共減半

7

次，每次

3

小時，

7 \times 3 = 21

。

第 16 題

① $lo g a_{n + 1} = 1 + lo g a_{n} = lo g (10 a_{n})$ ，所以 $a_{n + 1} = 10 a_{n}$ ， ${a_{n}}$ 是公比 $10$ 的等比數列。

② 於是 $a_{11} = 1 0^{10} a_{1}$ 、 $a_{12} = 1 0^{10} a_{2}$ 、…、 $a_{20} = 1 0^{10} a_{10}$ 。

③ $a_{11} + a_{12} + \dots + a_{20} = 1 0^{10} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10})$ 。

④ 取對數： $lo g (a_{11} + \dots + a_{20}) = 10 + lo g (a_{1} + \dots + a_{10}) = 10 + 2 = 12$ 。

答案 $12$ 。

已知

2^{a}

、

2^{b}

求

2^{a + 2 b}

用指數律拆開；應用題把條件寫成指數不等式後化成同底；看到

lo g a_{n + 1} - lo g a_{n}

是常數，就是等比數列。

04第 17 題：繪圖題

第 17 題

① 定義域：真數 $x > 0$ ，圖形全在 $y$ 軸右側。

② 係數 $- 2 < 0$ ， $lo g x$ 遞增，所以 $y = - 2 lo g x$ 遞減。

③ 挑真數是 $10$ 的次方的點，坐標都是整數： $x = \frac{1}{10}$ 時 $y = - 2 \times (- 1) = 2$ ； $x = 1$ 時 $y = 0$ ； $x = 10$ 時 $y = - 2 \times 1 = - 2$ 。

④ 圖形通過 $(\frac{1}{10}, 2)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(10, - 2)$ ，越靠近 $y$ 軸往上無限延伸， $x$ 越大越往下但下降得越來越慢。

⑤ 畫出坐標平面，描這三點，用平滑曲線連起來並標出坐標。

答：圖形如下，標示 $(\frac{1}{10}, 2)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(10, - 2)$ 。

載入中...

y = - 2 lo g x = lo g \frac{1}{x ^{2}}

；它與

y = 2 lo g x

的圖形對稱於

x

軸。也可以標

(100, - 4)

等其他點，只要坐標正確。

畫對數函數先看定義域與遞增遞減，再挑真數為底數的整數次方的點描點，坐標才會是整數。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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第 1 題要把首位數字 6、7、8 的三個比例相加，用對數律合併成一個對數再查表；第 8 題底數是五分之一，不等號要反向，還要同時顧到兩個真數條件；第 15 題把藥量寫成二分之一的次方，比較指數時也要注意底數小於一不等號反向；第 17 題畫圖要先看出係數負二讓圖形遞減，再挑真數是 10 的次方的點。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

溪湖高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題：10 分（一題 5 分）

班佛法則：銀行存款首位數字為

a

的比例約有

lo g (1 + \frac{1}{a})

，例如存款金額為

456780

元的首位數字為

4

，所有首位數字為

4

的存款所占比例約

lo g (1 + \frac{1}{4})

；存款金額為

621

元的首位數字為

6

，所有首位數字為

6

的存款所占比例約

lo g (1 + \frac{1}{6})

。請根據班佛法則，估計銀行存款的首位數字為

6

或

7

或

8

的人最接近下列比例？（

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

）

(A) $13%$
(B) $18%$
(C) $23%$
(D) $28%$
(E) $33%$

某國在 COVID-19 的檢驗上，沒有採取有效的防護措施，導致感染人數以每週增為上週

2

倍的速率成長，即本周總感染人數為前一週之

2

倍。假設本周有

10

人被感染，試問經過

50

天後，該國的感染人數最接近下列何者？（

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

，

lo g 5 = 0.6990

，

lo g 7 = 0.8451

，

1 0^{0.1} = 1.259

，

1 0^{0.15} = 1.412

，

1 0^{0.2} = 1.585

）

(A) $600$ 人
(B) $1000$ 人
(C) $1400$ 人
(D) $1800$ 人
(E) $2200$ 人

填充題：80 分（依答對格數給分）

填充題 3（第 3～5 題）　求下列方程式的實數解：

(1)

3^{4 x - 1} = 243

(2)

4^{x} - 2^{x + 1} - 3 = 0

（以

lo g

表示）

(3)

lo g_{2} (x + 3) + lo g_{2} (x - 1) = 5

填充題 4（第 6～8 題）　求下列不等式的範圍：

(1)

lo g (3 x - 1) < 1

(2)

(0.7)^{x^{2} - x} \leq (0.49)^{3}

(3)

lo g_{\frac{1}{5}} (x - 1)^{2} < lo g_{\frac{1}{5}} (7 - x)

填充題 5（第 9～10 題）　計算下列之值：

(1)

lo g 7 + 5 lo g 2 - 2 lo g 6 - lo g \frac{14}{9} + lo g 25 =

(2)

lo g_{19} 64 \times lo g_{3} 7 \times lo g_{7} 19 \times lo g_{4} 3 =

已知

f (x) = 2^{x}

，又存在實數

a

、

b

使得

f (a) = 5

，

f (b) = 6

，試求

f (a + 2 b)

之值。

若

x lo g 4 = 2

，且

a = 2^{x}

，

b = 4^{- x}

，試求數對

(a, b)

之值。

已知圖形

y = lo g_{a} (x + 1)

有三點，分別為

A (7, 3)

、

B (b, 0)

、

c (15, c)

，試求數對

(a, b, c)

。

試求

2^{60} - 1 0^{3}

是幾位數？（

lo g 2 = 0.3010

）

已知某種藥物在服用過

x

小時後，殘留在身體內的藥量為原先的

y

倍，且

x

與

y

的關係式為

y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}}

，即每過

3

個小時，藥量降為原本的一半。又藥物殘留在身體內的藥量需要小於或等於

1

顆藥物的

\frac{1}{32}

倍時，才視為代謝完成。試問某人某次服藥

4

顆藥物的情況下，至少需要幾個小時才能代謝完成？

已知正數數列

{a_{n}}

，

n \geq 1

且滿足

lo g a_{n + 1} = 1 + lo g a_{n}

，又

lo g (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10}) = 2

，試求

lo g (a_{11} + a_{12} + \dots + a_{20})

之值。

繪圖題：10 分

請在

x y

坐標平面上畫出

y = - 2 lo g x

，且標示通過這個圖形的三個點及其坐標。（

x y

坐標平面

2

分、正確畫出函數

2

分、正確標示

3

個點及其坐標各

2

分、共計

10

分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題

x = \frac{3}{2}

第 4 題

x = lo g_{2} 3

（或

\frac{l o g 3}{l o g 2}

）

第 5 題

x = 5

第 6 題

\frac{1}{3} < x < \frac{11}{3}

第 7 題

x \leq - 2

或

x \geq 3

第 8 題

x < - 2

或

3 < x < 7

第 9 題

2

第 10 題

3

第 11 題

180

第 12 題

(10, \frac{1}{100})

第 13 題

(2, 0, 4)

第 14 題

19

位數

第 15 題

21

小時

第 16 題

12

第 17 題圖形見詳解；例如標示

(\frac{1}{10}, 2)

、

(1, 0)

、

(10, - 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1、2 題：單選題

第 1 題

① 首位數字為 $6$ 、 $7$ 、 $8$ 的比例相加：

$lo g (1 + \frac{1}{6}) + lo g (1 + \frac{1}{7}) + lo g (1 + \frac{1}{8}) = lo g \frac{7}{6} + lo g \frac{8}{7} + lo g \frac{9}{8}$

② 用對數律合併，分子分母一路相消：

$lo g (\frac{7}{6} \times \frac{8}{7} \times \frac{9}{8}) = lo g \frac{9}{6} = lo g \frac{3}{2}$

③ $lo g \frac{3}{2} = lo g 3 - lo g 2 = 0.4771 - 0.3010 = 0.1761$ ，約 $17.6%$ 。

④ 選項中最接近的是 $18%$ 。

答案 (B)。

載入中...

九個比例

lo g \frac{2}{1} + lo g \frac{3}{2} + \dots + lo g \frac{10}{9} = lo g 10 = 1

，合起來剛好是全部；首位數字越大，比例越小。

第 2 題

① 每週變為 $2$ 倍， $50$ 天是 $\frac{50}{7}$ 週，所以 $50$ 天後的人數是

$10 \times 2^{\frac{50}{7}}$

② 取常用對數： $lo g (10 \times 2^{\frac{50}{7}}) = 1 + \frac{50}{7} \times 0.3010 = 1 + \frac{15.05}{7} = 1 + 2.15 = 3.15$ 。

③ 所以人數約 $1 0^{3.15} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.15} = 1000 \times 1.412 = 1412$ 人。

④ 最接近 $1400$ 人。

答案 (C)。

若只算整週（

7

週），人數是

10 \times 2^{7} = 1280

；題目給的

1 0^{0.15}

提示要把

50

天換成

\frac{50}{7}

週直接代入。兩種算法最接近的選項都是

1400

人。

比例相乘、相加的估值題，先用對數律把多個對數合併成一個，再查題目給的對數值；成長模型寫成

a \times r^{t}

，取常用對數後拆成整數部分與小數部分估值。

02第 3～10 題：填充 3～5（方程式、不等式、求值）

第 3 題

① $243 = 3^{5}$ ，所以 $3^{4 x - 1} = 3^{5}$ 。

② 底數相同，指數相等： $4 x - 1 = 5$ 。

答案 $x = \frac{3}{2}$ 。

第 4 題

① $4^{x} = (2^{x})^{2}$ ， $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ 。令 $t = 2^{x} > 0$ ，方程式變成 $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ 。

② 因式分解： $(t - 3) (t + 1) = 0$ ，得 $t = 3$ 或 $t = - 1$ 。

③ $t = 2^{x} > 0$ ，不合 $t = - 1$ ，所以 $2^{x} = 3$ 。

④ 化成對數： $x = lo g_{2} 3$ 。

答案 $x = lo g_{2} 3$ 。

以常用對數表示也可以寫成

x = \frac{l o g 3}{l o g 2}

（換底公式），兩者相等。

第 5 題

① 真數條件： $x + 3 > 0$ 且 $x - 1 > 0$ ，所以 $x > 1$ 。

② 對數律合併： $lo g_{2} [(x + 3) (x - 1)] = 5$ ，即 $(x + 3) (x - 1) = 2^{5} = 32$ 。

③ 展開： $x^{2} + 2 x - 3 = 32$ ， $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ ， $(x + 7) (x - 5) = 0$ 。

④ 得 $x = 5$ 或 $x = - 7$ ； $x = - 7$ 不合真數條件。

答案 $x = 5$ 。

第 6 題

① 真數條件： $3 x - 1 > 0$ ， $x > \frac{1}{3}$ 。

② $1 = lo g 10$ ，底數 $10 > 1$ ， $lo g$ 遞增，所以 $lo g (3 x - 1) < lo g 10$ 等價於 $3 x - 1 < 10$ ， $x < \frac{11}{3}$ 。

③ 兩個條件取交集。

答案 $\frac{1}{3} < x < \frac{11}{3}$ 。

載入中...

第 7 題

① 化成同底： $(0.49)^{3} = ((0.7)^{2})^{3} = (0.7)^{6}$ 。

② 底數 $0.7 < 1$ ， $y = (0.7)^{x}$ 遞減，所以 $(0.7)^{x^{2} - x} \leq (0.7)^{6}$ 等價於 $x^{2} - x \geq 6$ （不等號反向）。

③ $x^{2} - x - 6 \geq 0$ ， $(x - 3) (x + 2) \geq 0$ 。

答案 $x \leq - 2$ 或 $x \geq 3$ 。

載入中...

第 8 題

① 真數條件： $(x - 1)^{2} > 0$ 得 $x \neq = 1$ ； $7 - x > 0$ 得 $x < 7$ 。

② 底數 $\frac{1}{5} < 1$ ， $lo g_{\frac{1}{5}}$ 遞減，所以原式等價於 $(x - 1)^{2} > 7 - x$ （不等號反向）。

③ 展開： $x^{2} - 2 x + 1 > 7 - x$ ， $x^{2} - x - 6 > 0$ ， $(x - 3) (x + 2) > 0$ ，得 $x < - 2$ 或 $x > 3$ 。

④ 與真數條件 $x < 7$ 、 $x \neq = 1$ 取交集（ $x = 1$ 本來就不在 ③ 的範圍內）。

答案 $x < - 2$ 或 $3 < x < 7$ 。

載入中...

易錯：忘了

7 - x > 0

會把

x \geq 7

也算進去；例如

x = 8

時

7 - x = - 1

，

lo g_{\frac{1}{5}} (- 1)

沒有意義。

第 9 題

① 用對數律把各項寫成一個對數：

$lo g 7 + lo g 2^{5} - lo g 6^{2} - lo g \frac{14}{9} + lo g 25 = lo g \frac{7 \times 32 \times 25}{36 \times \frac{14}{9}}$

② 分母 $36 \times \frac{14}{9} = 56$ ，分子 $7 \times 32 \times 25 = 5600$ 。

③ 所以原式 $= lo g \frac{5600}{56} = lo g 100 = 2$ 。

答案 $2$ 。

第 10 題

① 每一項用換底公式寫成常用對數：

$\frac{lo g 64}{lo g 19} \times \frac{lo g 7}{lo g 3} \times \frac{lo g 19}{lo g 7} \times \frac{lo g 3}{lo g 4}$

② $lo g 19$ 、 $lo g 7$ 、 $lo g 3$ 都約掉，剩下 $\frac{l o g 64}{l o g 4} = lo g_{4} 64$ 。

③ $64 = 4^{3}$ ，所以 $lo g_{4} 64 = 3$ 。

答案 $3$ 。

指數方程式化成同底或整體代換；對數方程式與不等式先寫真數條件；底數小於

1

時，去掉底數不等號要反向。連乘的對數用換底公式寫成分數，通常會一路相消。

03第 11～16 題：填充 6～11

第 11 題

① $f (a) = 2^{a} = 5$ ， $f (b) = 2^{b} = 6$ 。

② 由指數律： $f (a + 2 b) = 2^{a + 2 b} = 2^{a} \times (2^{b})^{2}$ 。

③ 代入： $5 \times 6^{2} = 5 \times 36 = 180$ 。

答案 $180$ 。

第 12 題

① $x lo g 4 = 2$ 即 $lo g 4^{x} = 2$ ，所以 $4^{x} = 1 0^{2} = 100$ 。

② $a = 2^{x} = 4^{x} = 100 = 10$ （ $2^{x} > 0$ ）。

③ $b = 4^{- x} = \frac{1}{4 ^{x}} = \frac{1}{100}$ 。

答案 $(a, b) = (10, \frac{1}{100})$ 。

第 13 題

① $A (7, 3)$ 在圖形上： $lo g_{a} (7 + 1) = 3$ ，即 $a^{3} = 8$ ，所以 $a = 2$ 。

② $B (b, 0)$ 在 $y = lo g_{2} (x + 1)$ 上： $lo g_{2} (b + 1) = 0$ ， $b + 1 = 1$ ， $b = 0$ 。

③ 點 $c (15, c)$ 的 $y$ 坐標： $c = lo g_{2} (15 + 1) = lo g_{2} 16 = 4$ 。

答案 $(a, b, c) = (2, 0, 4)$ 。

載入中...

卷面第三點印作小寫

c (15, c)

，點名與

y

坐標同一個字母，不影響計算；所求的

c

是它的

y

坐標。

第 14 題

① $lo g 2^{60} = 60 \times 0.3010 = 18.06$ ，所以 $2^{60} = 1 0^{18.06} = 1 0^{0.06} \times 1 0^{18}$ 。

② $1 0^{0.06}$ 介於 $1$ 與 $10$ 之間，所以 $2^{60}$ 是 $19$ 位數，而且比 $1 0^{18}$ 大了 $(1 0^{0.06} - 1) \times 1 0^{18}$ ，遠大於 $1000$ 。

③ 所以 $1 0^{18} < 2^{60} - 1 0^{3} < 2^{60} < 1 0^{19}$ ，減去 $1000$ 不會少一位。

答案 $19$ 位數。

lo g 1.1 \approx 0.041

、

lo g 1.2 \approx 0.079

，所以

1 0^{0.06}

約

1.15

，

2^{60}

約

1.15 \times 1 0^{18}

，比

1 0^{18}

多了約

1.5 \times 1 0^{17}

，減掉

1000

不會少一位。

第 15 題

① 服 $4$ 顆， $x$ 小時後殘留 $4 \times (\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}}$ 顆。

② 代謝完成的條件： $4 \times (\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}} \leq \frac{1}{32}$ ，即 $(\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}} \leq \frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^{7}$ 。

③ 兩邊取以 $2$ 為底的對數（ $lo g_{2}$ 是遞增函數，不等號方向不變），得到殘留顆數的對數：

$lo g_{2} (4 \times (\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}}) = lo g_{2} 4 - \frac{x}{3} = 2 - \frac{x}{3} \leq lo g_{2} \frac{1}{32} = - 5$

④ 所以 $2 - \frac{x}{3} \leq - 5$ ， $\frac{x}{3} \geq 7$ ， $x \geq 21$ 。

⑤ 所以至少要 $21$ 小時。

答案 $21$ 小時。

載入中...

也可以不取對數，直接比指數：

(\frac{1}{2})^{\frac{x}{3}} \leq \frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^{7}

，底數

\frac{1}{2} < 1

，指數函數遞減，不等號反向，

\frac{x}{3} \geq 7

。或直接數減半次數：

4 \to 2 \to 1 \to \frac{1}{2} \to \frac{1}{4} \to \frac{1}{8} \to \frac{1}{16} \to \frac{1}{32}

，共減半

7

次，每次

3

小時，

7 \times 3 = 21

。

第 16 題

① $lo g a_{n + 1} = 1 + lo g a_{n} = lo g (10 a_{n})$ ，所以 $a_{n + 1} = 10 a_{n}$ ， ${a_{n}}$ 是公比 $10$ 的等比數列。

② 於是 $a_{11} = 1 0^{10} a_{1}$ 、 $a_{12} = 1 0^{10} a_{2}$ 、…、 $a_{20} = 1 0^{10} a_{10}$ 。

③ $a_{11} + a_{12} + \dots + a_{20} = 1 0^{10} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10})$ 。

④ 取對數： $lo g (a_{11} + \dots + a_{20}) = 10 + lo g (a_{1} + \dots + a_{10}) = 10 + 2 = 12$ 。

答案 $12$ 。

已知

2^{a}

、

2^{b}

求

2^{a + 2 b}

用指數律拆開；應用題把條件寫成指數不等式後化成同底；看到

lo g a_{n + 1} - lo g a_{n}

是常數，就是等比數列。

04第 17 題：繪圖題

第 17 題

① 定義域：真數 $x > 0$ ，圖形全在 $y$ 軸右側。

② 係數 $- 2 < 0$ ， $lo g x$ 遞增，所以 $y = - 2 lo g x$ 遞減。

③ 挑真數是 $10$ 的次方的點，坐標都是整數： $x = \frac{1}{10}$ 時 $y = - 2 \times (- 1) = 2$ ； $x = 1$ 時 $y = 0$ ； $x = 10$ 時 $y = - 2 \times 1 = - 2$ 。

④ 圖形通過 $(\frac{1}{10}, 2)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(10, - 2)$ ，越靠近 $y$ 軸往上無限延伸， $x$ 越大越往下但下降得越來越慢。

⑤ 畫出坐標平面，描這三點，用平滑曲線連起來並標出坐標。

答：圖形如下，標示 $(\frac{1}{10}, 2)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(10, - 2)$ 。

載入中...

y = - 2 lo g x = lo g \frac{1}{x ^{2}}

；它與

y = 2 lo g x

的圖形對稱於

x

軸。也可以標

(100, - 4)

等其他點，只要坐標正確。

畫對數函數先看定義域與遞增遞減，再挑真數為底數的整數次方的點描點，坐標才會是整數。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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04第 17 題：繪圖題

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

溪湖高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？