溪湖高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (2)。先把每個角化成銳角的三角比，並記得 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，且銳角的正弦值隨角度增大而增大。

$\sin 31^{\circ }>\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，大於。

$\sin 179^{\circ }=\sin 1^{\circ }<\sin 30^{\circ }$，不大於。

$\sin 201^{\circ }=-\sin 21^{\circ }<0$，$\sin 350^{\circ }=-\sin 10^{\circ }<0$，都不大於。

$\sin 400^{\circ }=\sin (400^{\circ }-360^{\circ })=\sin 40^{\circ }>\sin 30^{\circ }$，大於。

共 $2$ 個。

答案 (5)。由對數的性質 $\log a^k=k\log a$：$\log \left(2^{\left(3^5\right)}\right)=3^5\log 2$。

其他選項：(1) $5\log 2^3=15\log 2$；(4) $3\times 5\log 2=15\log 2$，都是把 $3^5$ 誤當成 $3\times 5$；(2) $5\log 2\times \log 3$ 是兩個對數相乘，不等於所求；(3) $\log \left(2\times 3^5\right)=\log 2+5\log 3$，也不等於所求。

答案 (3)。由二項式定理：

$$(1+\sqrt{2}{)}^5=\sum _{k=0}^5{C}_k^5{\left(\sqrt{2}\right)}^k$$

$k$ 為偶數的項是整數，$k$ 為奇數的項含 $\sqrt{2}$：${\left(\sqrt{2}\right)}^1=\sqrt{2}$，${\left(\sqrt{2}\right)}^3=2\sqrt{2}$，${\left(\sqrt{2}\right)}^5=4\sqrt{2}$。所以

$$b=C_1^5+2C_3^5+2^2{C}_5^5=5+20+4=29$$

就是選項 (3)。選項 (2) 是 $a=C_0^5+2C_2^5+2^2{C}_4^5=41$；其他選項的值依序為 $32$、$42$、$58$，都不是 $29$。

答案 (1)。設 $F$ 為「第一次療程失敗」，$S$ 為「第二次療程成功」。

第一類（機率 $0.6$）：第一次失敗的機率 $0.1$，接著第二次成功的機率 $0.9$；第二類（機率 $0.4$）：一定失敗，第二次也不會成功。

$$P(F)=0.6\times 0.1+0.4\times 1=0.46$$

$$P(F\cap S)=0.6\times 0.1\times 0.9=0.054$$

所求 $P(S\mid F)=\frac{0.054}{0.46}=\frac{27}{230}\approx 0.117$，最接近 $0.1$。

答案 (5)。

(1) 錯誤。 第十公里的平均心率是 $190$，所以那一公里中最高心率至少是 $190$；但若那一公里心率一直都是 $190$，最高心率就等於 $190$，不一定大於 $190$。

(2) 錯誤。 總步數 $990+1000+1005+998+1015+1005+1050+1050+1050+1100=10263$，總距離 $10000$ 公尺，每步平均 $\frac{10000}{10263}$ 公尺，小於 $1$ 公尺。

(3) 錯誤。 大致上完成時間愈短（跑愈快），平均心率愈高，例如第一公里 5:00 對 $161$，第十公里 4:34 對 $190$；兩者呈負相關，相關係數為負（計算得約 $-0.85$）。

(4) 錯誤。 步數愈多，平均心率大致愈高，呈正相關，相關係數為正（約 $0.93$）。

(5) 正確。 完成時間愈短，步數大致愈多，呈負相關，相關係數為負（約 $-0.81$）。

答案 (3)(4)。$|x|$ 是數線上 $x$ 到 $0$ 的距離，$|x-4|$ 是 $x$ 到 $4$ 的距離。

$|x|+|x-4|$：$0\le x\le 4$ 時等於 $4$；$x$ 在兩點外側時大於 $4$，且可以任意大。所以 $|x|+|x-4|$ 的值恰好是所有 $\ge 4$ 的數。

(1) 錯誤。 $0<4$，無解。

(2) 錯誤。 $1<4$，無解。

(3) 正確。 $1000\ge 4$，有解，例如 $x=502$：$502+498=1000$。

$|x|-|x-4|$：$x\le 0$ 時等於 $-x-(4-x)=-4$；$x\ge 4$ 時等於 $x-(x-4)=4$；$0<x<4$ 時等於 $x-(4-x)=2x-4$，介於 $-4$ 與 $4$ 之間。所以它的值恰好是 $-4$ 到 $4$ 之間的數。

(4) 正確。 $2x-4=-1$，$x=\frac{3}{2}$，在 $0$ 與 $4$ 之間，有解。

(5) 錯誤。 $5>4$，無解。

答案 (2)(3)(5)。由除法原理，存在多項式 $q(x)$ 使 $f(x)=\left(x^3-1\right)q(x)+4x+1$。

(1) 錯誤。 $f(0)=-q(0)+1$，與 $q(x)$ 有關。例如 $q(x)=1$ 時 $f(x)=x^3+4x$，$f(0)=0\ne 1$。

(2) 正確。 $f(1)=0\cdot q(1)+4+1=5$。

(3) 正確。 取 $q(x)=0$，$f(x)=4x+1$ 是一次式，除以 $x^3-1$ 的餘式就是 $4x+1$。

(4) 錯誤。 若 $q(x)=0$，$f(x)=4x+1$ 是一次式；若 $q(x)\ne 0$，$\left(x^3-1\right)q(x)$ 的次數至少是 $3$，加上一次式 $4x+1$ 後次數仍至少是 $3$。所以 $f(x)$ 不可能是二次式。

(5) 正確。 $4x^4+1=4x\left(x^3-1\right)+4x+1$，除以 $x^3-1$ 的餘式是 $4x+1$。

答案 (3)(4)。由圖上的標示，$\angle D=90^{\circ }$，$\overline{CD}=\overline{DA}=2$，$\angle DAB=105^{\circ }$，$\overline{AB}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$。

(1) 錯誤。 $△ACD$ 是等腰直角三角形，$\overline{AC}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。

(2) 錯誤。 等腰直角三角形的底角 $\angle DAC=45^{\circ }$，所以 $\angle CAB=105^{\circ }-45^{\circ }=60^{\circ }$。

(3) 正確。 在 $△ABC$ 用餘弦定理：

$${\overline{BC}}^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cos 60^{\circ }$$

其中 ${\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2=8+4\sqrt{3}$，$2\sqrt{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)=4\sqrt{3}+4$，所以 ${\overline{BC}}^2=8+8+4\sqrt{3}-\left(4\sqrt{3}+4\right)=12$，$\overline{BC}=2\sqrt{3}$。

(4) 正確。 由正弦定理 $\frac{\overline{AC}}{\sin \angle ABC}=\frac{\overline{BC}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，得 $\sin \angle ABC=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\angle ABC=45^{\circ }$ 或 $135^{\circ }$。若 $\angle ABC=135^{\circ }$，則 $\angle CAB+\angle ABC=60^{\circ }+135^{\circ }=195^{\circ }>180^{\circ }$，不合，所以 $\angle ABC=45^{\circ }$。

(5) 錯誤。 $△ABC$ 的面積為 $\frac{1}{2}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{AB}\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$，化簡為 $\left(2\sqrt{3}+2\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3+\sqrt{3}$，不是 $6+2\sqrt{3}$。

答案 (2)(4)。全班 $50$ 人分成四類，A、B、C、D 依序是「兩者都有」「兩者都沒有」「只有手機」「只有平板」。

$$\mathrm{A}+\mathrm{C}=45,\mathrm{A}+\mathrm{D}=15,\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}+\mathrm{D}=50$$

所以 $\mathrm{C}=45-\mathrm{A}$，$\mathrm{D}=15-\mathrm{A}$，$\mathrm{B}=50-45-(15-\mathrm{A})=\mathrm{A}-10$。人數不可為負：$\mathrm{B}\ge 0$ 得 $\mathrm{A}\ge 10$，$\mathrm{D}\ge 0$ 得 $\mathrm{A}\le 15$。因此 $10\le \mathrm{A}\le 15$，$0\le \mathrm{B}\le 5$，$30\le \mathrm{C}\le 35$，$0\le \mathrm{D}\le 5$。

(1) 錯誤。 $\mathrm{B}=\mathrm{A}-10<\mathrm{A}$，$\mathrm{A}<\mathrm{B}$ 一定不成立。

(2) 正確。 $\mathrm{B}\le 5<30\le \mathrm{C}$。

(3) 錯誤。 $\mathrm{C}\ge 30>5\ge \mathrm{D}$。

(4) 正確。 $\mathrm{A}\le 15<30\le \mathrm{C}$。

(5) 錯誤。 $\mathrm{B}<\mathrm{D}$ 即 $\mathrm{A}-10<15-\mathrm{A}$，$\mathrm{A}<12.5$，不一定成立。例如 $\mathrm{A}=15$ 時 $\mathrm{B}=5$、$\mathrm{D}=0$。

左邊乘積的第 $1$ 列第 $2$ 行是 $3x+2y$，第 $2$ 列第 $2$ 行是 $x+2y$，由矩陣相等：

$$3x+2y=4,x+2y=2$$

兩式相減得 $2x=2$，$x=1$，代回得 $2y=1$，$y=\frac{1}{2}$。

設 $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=k$。

$${\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|}^2=1+2k+1=2+2k$$

$$\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\cdot \overrightarrow{u}=1+k$$

由夾角 $60^{\circ }$：$1+k=\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }$。兩邊都不為負，平方得 $(1+k{)}^2=\frac{1}{4}(2+2k)$，即 $(1+k)\left(1+k-\frac{1}{2}\right)=0$。若 $1+k=0$，則 $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$，沒有夾角可言，不合；所以 $1+k=\frac{1}{2}$，$k=-\frac{1}{2}$。

前五個偶數項 $a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}$ 分別是前五個奇數項各乘以公比 $r$，所以

$$a_2+a_4+\cdots +a_{10}=r\left(a_1+a_3+\cdots +a_9\right)=120r$$

又前十項的和 $=$ 奇數項和 $+$ 偶數項和：$40=120+120r$，$r=-\frac{80}{120}=-\frac{2}{3}$。

本金 $1$ 百萬元 $=1000000$ 元，年利率 $8\%$，兩年。

複利本利和：$1000000\times 1.08^2=1000000\times 1.1664=1166400$（元）。

單利本利和：$1000000\times (1+0.08\times 2)=1160000$（元）。

少繳 $1166400-1160000=6400$（元）。

$M$ 在直線 $AP$ 上，設 $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AP}=\frac{t}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{t}{5}\overrightarrow{AC}$。$M$ 又在 $\overline{BC}$ 上，$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 的係數和為 $1$：

$$\frac{t}{2}+\frac{t}{5}=1,t=\frac{10}{7}$$

所以 $\overrightarrow{AM}=\frac{10}{7}\left(\frac{4}{3},2\right)=\left(\frac{40}{21},\frac{20}{7}\right)$。

五天選四種餐點、每種至少一次，恰有一種餐點點了兩次。分兩類（麵食指三種麵）。

第一類：排骨飯點兩次。 麵食三天、各一種。排骨飯的兩天從五天中選，共 $C_2^5=10$ 種；其中麵食的三天恰好連續（星期一到三、二到四、三到五）的有 $3$ 種，要排除，剩 $7$ 種。三種麵排進麵食的三天有 $3!=6$ 種。共 $7\times 6=42$ 種。

第二類：某一種麵點兩次。 排骨飯只有一天，麵食四天。排骨飯若不在星期三，另一側就有連續三天麵食（例如排骨飯在星期一，則星期二到四都是麵）；排骨飯在星期三時，麵食是星期一、二與星期四、五，符合規定。所以排骨飯只能排星期三。選哪一種麵點兩次有 $3$ 種，四天的排法有 $\frac{4!}{2!}=12$ 種。共 $3\times 12=36$ 種。

合計 $42+36=78$ 種。