段考詳解範圍：高三數學乙第一章、第二章（數列的極限、Σ 與無窮等比級數、循環小數、函數的定義域與圖形、函數的極限與連續）

苑裡高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要分辨五個無窮級數的斂散，各項趨近 0 的級數不一定收斂；第 8 題的選項 (E) 少了兩邊極限相同這個條件，夾擠定理不能用；第 17 題公比等於 1 時收斂、等於負 1 時發散，而且要解分式不等式；第 15 題要先把數列用已知極限的式子表示；第 21 題要把每個根號夾在兩個相鄰整數之間。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單一選擇題 5 題與填充題 12 題（共 15 格）合併計分，卷面沒有印這部分的給分方式；多重選擇題 4 題，每題 5 分（答錯一個扣 2 分，扣至 0 分為止），共 20 分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題：與填充題合併計分（原卷題號 1～5，本頁編為第 1～5 題）

已知一無窮等比級數的首項

a_{1} = 0. \overline{2}

，第二項

a_{2} = 0.0 \overline{4}

，則此級數的和為多少？

(A) $\frac{1}{18}$
(B) $\frac{5}{18}$
(C) $\frac{7}{18}$
(D) $\frac{11}{18}$
(E) $\frac{13}{18}$

若

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

均為發散數列，

⟨ c_{n} ⟩

為收斂數列，則下列何者正確？

(A) $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 必為發散數列
(B) $⟨ a_{n} \cdot b_{n} ⟩$ 必為發散數列
(C) $⟨ a_{n} + c_{n} ⟩$ 必為發散數列
(D) $⟨ a_{n} \cdot c_{n} ⟩$ 必為發散數列
(E) $⟨ \frac{c _{n}}{a _{n}} ⟩$ 必為發散數列

下列哪一個無窮級數是收斂級數？

(A) $n = 1 \sum \infty \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{2}$
(B) $n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 n}$
(C) $n = 1 \sum \infty \frac{3 n - 1}{4 ^{n}}$
(D) $n = 1 \sum \infty (n + 1 - n)$
(E) $n = 1 \sum \infty (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \frac{3}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}})$

a = \frac{9}{10} + \frac{9}{1 0 ^{2}} + \frac{9}{1 0 ^{3}} + \dots + \frac{9}{1 0 ^{n}} + \dots

，

b = 0. \overline{9}

，

c = 1

，則下列敘述何者正確？

(A) $a < b < c$
(B) $a = b < c$
(C) $a < b = c$
(D) $b < a < c$
(E) $a = b = c$

若函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2}, k, 當 x \neq = 2 當 x = 2

為連續函數，則實數

k

之值為何？

(A) $5$
(B) $4$
(C) $3$
(D) $2$
(E) $1$

二、多重選擇題：每題 5 分（答錯一個扣 2 分，扣至 0 分為止），共 20 分（原卷題號 1～4，本頁編為第 6～9 題）

下列各圖為函數

y = f (x)

的圖形，哪些

x \to 1 lim f (x)

存在？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

下列各數列何者為收斂？

(A) $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1} ⟩$
(B) $⟨ \frac{3 ^{2 n} - 5 ^{n}}{2 ^{3 n} + 6 ^{n}} ⟩$
(C) $⟨ \frac{2 ^{n}}{n !} ⟩$
(D) $⟨ \frac{n ^{2} - n}{n + 1} ⟩$
(E) $⟨ cos (nπ + \frac{π}{2}) ⟩$

設

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

為三個無窮數列，試問下列哪些選項是正確的？

(A) 若 $n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n}$ ，則 $n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = 0$ 。
(B) 若 $n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = 0$ ，則 $n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n}$ 。
(C) 若 $n \to \infty lim (a_{n} + b_{n})$ 、 $n \to \infty lim (a_{n} - b_{n})$ 的值都存在，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 都是收斂數列。
(D) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 是收斂數列， $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 是發散數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 必為發散數列。
(E) 若對於任意正整數 $n$ ，都有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，而且 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ c_{n} ⟩$ 都是收斂數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 亦為收斂數列。

下列圖形何者為「

y

是

x

的函數」？（圖 (A) 的原檔曲線走樣、無法確定原貌，這裡是本站重畫的示意圖；圖 (B)～(E) 照原檔重畫）

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

三、填充題：與單一選擇題合併計分（原卷題號 1～12，本頁編為第 10～21 題）

試求下列各極限：(1)

n \to \infty lim \frac{6 n ^{2} + 5 n + 1}{n ^{2} + 3 n + 2} =

____　(2)

x \to - 2 lim \frac{x ^{3} - 12 x - 16}{( x + 2 ) ^{2}} =

____　(3)

n \to \infty lim \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \dots + n ^{3}}{n ^{4}} =

____　(4)

x \to 2 lim (\frac{x ^{2}}{x - 2} - \frac{4}{( x - 1 ) ( x - 2 )}) =

____。

設

[x]

為不大於

x

的最大整數，試求

[1] + [2] + [3] + \dots + [64] =

____。

設

⟨ a_{n} ⟩

為一等差數列。已知

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 186

，

a_{3} + a_{7} = 110

。令

S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}

。則極限

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{2}} =

____。

求

1 + (1 + 2 + 1) + (1 + 2 + 3 + 2 + 1) + \dots + (1 + 2 + 3 + \dots + 19 + 20 + 19 + \dots + 3 + 2 + 1) =

____。

一球自

20

公尺的高處落下，每次反彈高度為其落下高度的

k

倍，

0 < k < 1

。若此皮球至完全靜止時所經過的距離為

80

公尺，則

k

值為 ____。

若數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

n \to \infty lim \frac{5 a _{n} + 1}{3 a _{n} - 2} = 2

，則

n \to \infty lim \frac{7 a _{n} + 5}{3 a _{n} - 5} =

____。

若函數

f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 3 x - 4} + 9 - x^{2}

，則

f (x)

之定義域為 ____。

設無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

，且

a_{n} = (\frac{2 x + 1}{3 x + 4})^{n}

，若

⟨ a_{n} ⟩

為收斂，則實數

x

的範圍為 ____。

設

a, b

為實數，若

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} - a x + b} = \frac{3}{7}

，則數對

(a, b) =

____。

設

f (x)

為三次多項式函數且

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 2

，則

f (3) =

____。

設

x

為一正實數且滿足方程式

x^{2} \cdot 3^{x} = 3^{24}

，設

x

落在連續正整數

k

與

k + 1

之間，則

k =

____。

設

a_{n} = 1 \times 3 + 2 \times 4 + 3 \times 5 + \dots + n \times (n + 2)

，

n

為正整數，試求極限

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(C)

第 4 題(E)

第 5 題(A)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(A)(C)(D)

第 9 題(A)(C)(D)（圖 (A) 是本站重畫的示意圖，依學校公布的答案畫成 y 是 x 的函數）

第 10 題(1)

6

　(2)

- 6

　(3)

\frac{1}{4}

　(4)

8

第 11 題

316

第 12 題

- \frac{7}{2}

第 13 題

2870

第 14 題

\frac{3}{5}

第 15 題

4

第 16 題

{x \in R ∣ - 3 \leq x < - 1}

第 17 題

x > - 1

或

x \leq - 3

第 18 題

(- 3, - 10)

第 19 題

10

第 20 題

18

第 21 題

\frac{1}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：無窮等比級數、收斂與發散的運算、級數的斂散、連續

第 1 題答案 (B)。先把循環小數化成分數：

0. \overline{2} = \frac{2}{9}

；

0.0 \overline{4} = \frac{1}{10} \times 0. \overline{4} = \frac{1}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{45}

。公比

r = \frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{2}{45} \div \frac{2}{9} = \frac{1}{5}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和

= \frac{a _{1}}{1 - r} = \frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2}{9} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{18}

。

0.0 \overline{4} = 0.0444 \dots

，循環的只有

4

，小數點後第一位的

0

不循環。

第 2 題答案 (C)。(A) 錯：

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

都發散，但

a_{n} + b_{n} = 0

收斂。(B) 錯：

a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n}

都發散，但

a_{n} \cdot b_{n} = 1

收斂。(C) 對：假設

⟨ a_{n} + c_{n} ⟩

收斂，那麼

a_{n} = (a_{n} + c_{n}) - c_{n}

是兩個收斂數列的差，也會收斂，與

⟨ a_{n} ⟩

發散矛盾，所以

⟨ a_{n} + c_{n} ⟩

一定發散。(D) 錯：取

c_{n} = 0

，則

a_{n} \cdot c_{n} = 0

收斂。(E) 錯：取

a_{n} = n

、

c_{n} = 1

，則

\frac{c _{n}}{a _{n}} = \frac{1}{n}

收斂到

0

。

「必為」的敘述只要找到一個反例就不成立；(C) 沒有反例，要用反證法說明。

第 3 題答案 (C)。無窮級數收斂是指前

n

項和

S_{n}

趨近一個定值。(A) 各項依序是

0, 1, 0, 1, \dots

，

S_{n}

每兩項增加

1

，越來越大，發散。(B)

\sum \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots)

；括號內

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}

，

\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{2}

，接下來的

8

項、

16

項也各大於

\frac{1}{2}

，可以一直加出新的

\frac{1}{2}

，所以和沒有上限，發散。(C) 注意

\frac{3 k - 1}{4 ^{k}} = \frac{4 k - ( k + 1 )}{4 ^{k}} = \frac{k}{4 ^{k - 1}} - \frac{k + 1}{4 ^{k}}

，前後項相消得

S_{n} = 1 - \frac{n + 1}{4 ^{n}}

；因為

4^{n} > n^{2}

，

0 < \frac{n + 1}{4 ^{n}} < \frac{n + 1}{n ^{2}}

，右邊趨近

0

，所以

S_{n}

趨近

1

，收斂。(D) 前後項相消得

S_{n} = n + 1 - 1

，越來越大，發散。(E) 第

n

項

= \frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n}

，趨近

\frac{1}{2}

而不是

0

，每多加一項和就多大約

\frac{1}{2}

，發散。

\frac{1}{2}

的等比級數

\sum \frac{3}{2 ^{n}}

的對應項小（因為

n < 2^{n}

，

\frac{3 n - 1}{4 ^{n}} < \frac{3 \cdot 2 ^{n}}{4 ^{n}}

），而前

n

項和又一直增加，所以會趨近一個定值。

第 4 題答案 (E)。

a

是首項

\frac{9}{10}

、公比

\frac{1}{10}

的無窮等比級數，和

= \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = 1

。

b = 0. \overline{9} = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots

，正是同一個級數，所以

b = 1

。因此

a = b = c = 1

。

0. \overline{9}

不是「比

1

小一點點的數」，它就等於

1

；也可以用

0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

檢查。

第 5 題答案 (A)。

x \neq = 2

時

f (x) = \frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{x - 2} = x + 3

，所以

x \to 2 lim f (x) = 2 + 3 = 5

。

f (x)

在

x = 2

連續的條件是

x \to 2 lim f (x) = f (2)

，即

k = 5

。其他地方

f (x) = x + 3

本來就連續。

循環小數先化成分數再算公比；判斷級數收斂要看前 n 項和是否趨近定值，不是只看各項會不會變小。

02多選題：圖形上的極限、數列的收斂、極限的性質、函數的圖形

第 6 題答案 (B)(C)(D)。

x \to 1 lim f (x)

存在，是指

x

從

1

的左邊與右邊靠近時，

f (x)

都趨近同一個定值；與

f (1)

有沒有定義、等於多少無關。(A) 不存在：從左邊靠近時函數值是上面那條水平線的高度，從右邊靠近時是下面那條的高度，兩邊不同。(B) 存在：左右兩條斜線都通到

(1, 1)

，極限為

1

。(C) 存在：曲線在

(1, 1)

是空心點，但左右兩邊都趨近高度

1

，極限為

1

。(D) 存在：曲線連續地通過

(1, 3)

，極限為

3

。(E) 不存在：

x

靠近

1

時曲線沿著直線

x = 1

一直往上，函數值越來越大，不趨近任何定值。

x = 1

沒有定義（或函數值不在那裡），極限仍然存在；(A) 的實心點只決定

f (1)

，救不了左右不一致。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。(A) 收斂：

- \frac{1}{n + 1} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1} \leq \frac{1}{n + 1}

，兩邊都趨近

0

，由夾擠定理得極限為

0

。(B) 發散：

\frac{3 ^{2 n} - 5 ^{n}}{2 ^{3 n} + 6 ^{n}} = \frac{9 ^{n} - 5 ^{n}}{8 ^{n} + 6 ^{n}}

，分子、分母同除以

8^{n}

得

\frac{( \frac{9}{8} ) ^{n} - ( \frac{5}{8} ) ^{n}}{1 + ( \frac{3}{4} ) ^{n}}

，分母趨近

1

，分子中的

(\frac{9}{8})^{n}

越來越大，所以發散。(C) 收斂：

n \geq 2

時

\frac{2 ^{n}}{n !} = \frac{2}{1} \times \frac{2}{2} \times \frac{2}{3} \times \dots \times \frac{2}{n}

，中間的因數都不超過

1

，所以

0 < \frac{2 ^{n}}{n !} \leq \frac{2}{1} \times \frac{2}{n} = \frac{4}{n}

，由夾擠定理得極限為

0

。(D) 發散：

\frac{n ^{2} - n}{n + 1} = \frac{n - 1}{1 + \frac{1}{n}}

，分母趨近

1

、分子越來越大。(E) 收斂：

nπ + \frac{π}{2}

的終邊永遠落在

y

軸上，餘弦值都是

0

，所以每一項都是

0

，是常數數列，極限為

0

。

(B) 要先把

3^{2 n}

寫成

9^{n}

、

2^{3 n}

寫成

8^{n}

才看得出誰比較大；(E) 不要看到

cos nπ

就以為在

1

與

- 1

之間跳動，多了

\frac{π}{2}

之後每一項都是

0

。

第 8 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：等式成立表示兩個極限都存在且相等，設都等於

α

，則

n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = α - α = 0

。(B) 錯：取

a_{n} = b_{n} = n

，

a_{n} - b_{n} = 0

的極限是

0

，但

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

都發散，兩個極限都不存在。(C) 對：

a_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) + ( a _{n} - b _{n} )}{2}

、

b_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) - ( a _{n} - b _{n} )}{2}

，都是收斂數列的和、差再乘以常數，所以都收斂。(D) 對：假設

⟨ b_{n} ⟩

收斂，則

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

是兩個收斂數列的和，也收斂，與已知矛盾，所以

⟨ b_{n} ⟩

發散。(E) 錯：取

a_{n} = - 1

、

c_{n} = 1

、

b_{n} = (- 1)^{n}

，滿足

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

，

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

都收斂，但

⟨ b_{n} ⟩

發散。

(E) 少了夾擠定理最重要的條件：

⟨ a_{n} ⟩

與

⟨ c_{n} ⟩

要收斂到「同一個值」，

⟨ b_{n} ⟩

才會被夾住。

第 9 題答案 (A)(C)(D)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

值恰好對應一個

y

值；在圖形上就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。(A) 是：圖 (A) 的原檔曲線走樣、無法確定原貌，本頁的圖是本站重畫的示意圖，依學校公布的答案畫成一條每條鉛直線只交一點的曲線。(B) 不是：心形是封閉曲線，穿過它內部的鉛直線會交於上下兩點。(C) 是：有三個峰的波浪形曲線由左往右畫，沒有往回走，每條鉛直線只交一點。(D) 是：水平段與斜線段交替往右上的折線，同樣由左往右沒有往回走，每條鉛直線只交一點。(E) 不是：S 形曲線左右來回彎，中間那一段的鉛直線會與它交於兩點或三點。

(D) 的水平段是「很多個

x

對到同一個

y

」，這仍然是函數；不行的是「一個

x

對到很多個

y

」，例如 (B) 與 (E)。

極限看的是靠近時的趨勢，不看那一點本身；函數看的是每個 x 只能對一個 y，用鉛直線檢查。

03填充題：函數與數列的極限、由極限反求係數

第 10 題(1) 分子、分母同除以

n^{2}

：

\frac{6 + \frac{5}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n ^{2}}}

，極限

= \frac{6}{1} = 6

。(2)

x = - 2

代入分子得

- 8 + 24 - 16 = 0

，分子有因式

x + 2

；除下去得

x^{3} - 12 x - 16 = (x + 2) (x^{2} - 2 x - 8) = (x + 2) (x + 2) (x - 4)

。所以

x \neq = - 2

時原式

= x - 4

，極限

= - 2 - 4 = - 6

。(3) 立方和公式

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}

，所以原式

= \frac{( n + 1 ) ^{2}}{4 n ^{2}} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n})^{2}

，極限

= \frac{1}{4}

。(4) 兩項各自在

x = 2

都沒有極限，要先通分：

\frac{x ^{2} ( x - 1 ) - 4}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x ^{3} - x ^{2} - 4}{( x - 1 ) ( x - 2 )}

。

x = 2

代入分子得

8 - 4 - 4 = 0

，分子

= (x - 2) (x^{2} + x + 2)

。所以

x \neq = 2

時原式

= \frac{x ^{2} + x + 2}{x - 1}

，極限

= \frac{4 + 2 + 2}{1} = 8

。

(2) 的分母是

(x + 2)^{2}

，分子要能約掉兩個

x + 2

極限才存在；(4) 不可以拆成兩個極限相減，因為各自都不存在。

第 18 題

x \to 2

時分子

x^{2} - x - 2 \to 0

。如果分母不趨近

0

，極限會是

0

，不會是

\frac{3}{7}

，所以分母在

x = 2

也要是

0

：

4 - 2 a + b = 0

，即

b = 2 a - 4

。代回分母：

x^{2} - a x + 2 a - 4 = (x - 2) (x + 2 - a)

。分子

= (x - 2) (x + 1)

，所以

x \neq = 2

時原式

= \frac{x + 1}{x + 2 - a}

，極限

= \frac{3}{4 - a} = \frac{3}{7}

，得

a = - 3

，

b = 2 \times (- 3) - 4 = - 10

。

(a, b) = (- 3, - 10)

。

檢查：分母

x^{2} + 3 x - 10 = (x - 2) (x + 5)

，極限

= \frac{2 + 1}{2 + 5} = \frac{3}{7}

。

第 19 題

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1}

存在而分母趨近

0

，所以分子也要趨近

0

，

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式且有因式

x - 1

、

x - 2

，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (a x + b)

。第一個極限

= x \to 1 lim (x - 2) (a x + b) = - (a + b) = 1

；第二個極限

= x \to 2 lim (x - 1) (a x + b) = 2 a + b = 2

。解

a + b = - 1

、

2 a + b = 2

得

a = 3

、

b = - 4

。

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 4)

，

f (3) = 2 \times 1 \times 5 = 10

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也必須趨近 0；先找出公因式約掉，再代入。

04填充題：數列的極限、等比數列收斂的範圍、夾擠定理

第 12 題等差數列中

a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}

，所以

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 3 a_{4} = 186

，

a_{4} = 62

；

a_{3} + a_{7} = 2 a_{5} = 110

，

a_{5} = 55

。公差

d = a_{5} - a_{4} = - 7

，首項

a_{1} = a_{4} - 3 d = 62 + 21 = 83

。

S_{n} = \frac{n [ 2 \times 83 + ( n - 1 ) ( - 7 ) ]}{2} = \frac{n ( 173 - 7 n )}{2}

，所以

\frac{S _{n}}{n ^{2}} = \frac{173 - 7 n}{2 n} = \frac{173}{2 n} - \frac{7}{2}

，極限

= - \frac{7}{2}

。

S_{n}

是

n

的二次式，

n^{2}

的係數是

\frac{d}{2}

，所以這個極限其實就是公差的一半。

第 15 題令

b_{n} = \frac{5 a _{n} + 1}{3 a _{n} - 2}

，已知

n \to \infty lim b_{n} = 2

。把

a_{n}

用

b_{n}

表示：

b_{n} (3 a_{n} - 2) = 5 a_{n} + 1

，

a_{n} (3 b_{n} - 5) = 2 b_{n} + 1

，

a_{n} = \frac{2 b _{n} + 1}{3 b _{n} - 5}

。所以

n \to \infty lim a_{n} = \frac{2 \times 2 + 1}{3 \times 2 - 5} = 5

。於是

n \to \infty lim \frac{7 a _{n} + 5}{3 a _{n} - 5} = \frac{7 \times 5 + 5}{3 \times 5 - 5} = \frac{40}{10} = 4

。

不能一開始就把

lim a_{n}

當成存在的數代進去算；先把

a_{n}

寫成

b_{n}

的式子，才知道

⟨ a_{n} ⟩

確實收斂到

5

。

第 17 題這是公比

r = \frac{2 x + 1}{3 x + 4}

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。先解

r \leq 1

：

\frac{2 x + 1}{3 x + 4} - 1 = \frac{- x - 3}{3 x + 4} \leq 0

，即

\frac{x + 3}{3 x + 4} \geq 0

，得

x \leq - 3

或

x > - \frac{4}{3}

。再解

r > - 1

：

\frac{2 x + 1}{3 x + 4} + 1 = \frac{5 x + 5}{3 x + 4} > 0

，得

x < - \frac{4}{3}

或

x > - 1

。兩者同時成立：

x \leq - 3

或

x > - 1

。

x = - 3

時

r = \frac{- 5}{- 5} = 1

，數列每一項都是

1

，收斂，要包含；

x = - 1

時

r = - 1

，數列在

- 1

與

1

之間跳動，發散，不包含。分式不等式不可以直接兩邊同乘

3 x + 4

，因為它的正負還不知道。

第 21 題每一項都夾在兩個整數之間：

k^{2} < k (k + 2) < (k + 1)^{2}

，所以

k < k (k + 2) < k + 1

。把

k = 1, 2, \dots, n

加起來：

1 + 2 + \dots + n < a_{n} < 2 + 3 + \dots + (n + 1)

，即

\frac{n ( n + 1 )}{2} < a_{n} < \frac{n ( n + 3 )}{2}

。各邊除以

n^{2}

：

\frac{n + 1}{2 n} < \frac{a _{n}}{n ^{2}} < \frac{n + 3}{2 n}

。左右兩邊的極限都是

\frac{1}{2}

，由夾擠定理得

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{2}

。

k (k + 2) = (k + 1)^{2} - 1

，只比完全平方數

(k + 1)^{2}

少

1

，所以

k (k + 2)

非常接近

k + 1

。

等比數列收斂的條件是公比大於 −1 且小於等於 1；根號加不起來時，把每一項夾在兩個好算的數之間。

05填充題：高斯符號、Σ 求和、無窮等比級數、定義域、估計解的位置

第 11 題用完全平方數分段：

m^{2} \leq k < (m + 1)^{2}

時

[k] = m

，這樣的

k

(m + 1)^{2} - m^{2} = 2 m + 1

個。

k

從

1

到

63

對應

m = 1, 2, \dots, 7

，另外

k = 64

時

[64] = 8

。所以總和

= m = 1 \sum 7 m (2 m + 1) + 8 = 2 m = 1 \sum 7 m^{2} + m = 1 \sum 7 m + 8 = 2 \times 140 + 28 + 8 = 316

。

逐段列出也可以：

1 \times 3 + 2 \times 5 + 3 \times 7 + 4 \times 9 + 5 \times 11 + 6 \times 13 + 7 \times 15 = 308

，再加上最後一項

8

。

第 13 題第

k

個括號是

1 + 2 + \dots + (k - 1) + k + (k - 1) + \dots + 2 + 1 = 2 \times \frac{( k - 1 ) k}{2} + k = k^{2}

（例如

1 + 2 + 1 = 4

，

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9

）。最後一個括號的中間是

20

，所以原式

= 1^{2} + 2^{2} + \dots + 2 0^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 2870

。

第 14 題第一次落下走

20

公尺。之後每一次反彈都是上去再下來：第一次反彈高度

20 k

，來回共

40 k

；第二次來回

40 k^{2}

；依此類推，是首項

40 k

、公比

k

的無窮等比級數，因為

0 < k < 1

，和

= \frac{40 k}{1 - k}

。總距離

20 + \frac{40 k}{1 - k} = 80

，

40 k = 60 (1 - k)

，

100 k = 60

，

k = \frac{3}{5}

。

第一段只有落下、沒有上升，

20

只算一次，之後的每個高度才要乘以

2

。

第 16 題兩個條件要同時成立。第一項的根號在分母，根號內必須為正：

x^{2} - 3 x - 4 = (x - 4) (x + 1) > 0

，得

x < - 1

或

x > 4

。第二項根號內不可為負：

9 - x^{2} \geq 0

，得

- 3 \leq x \leq 3

。取共同的部分：

- 3 \leq x < - 1

，定義域為

{x \in R ∣ - 3 \leq x < - 1}

。

分母的根號內不可以等於

0

，所以

x = - 1

不含；

9 - x^{2}

的根號內可以等於

0

，所以

x = - 3

要含。

第 20 題

x > 0

時

x^{2}

與

3^{x}

都隨

x

變大而變大，所以

x^{2} \cdot 3^{x}

也是越來越大，方程式的正實數解只有一個，只要找出函數值在哪兩個相鄰整數之間跨過

3^{24}

。

x = 18

：

1 8^{2} \cdot 3^{18} = 324 \cdot 3^{18}

，而

3^{24} = 3^{6} \cdot 3^{18} = 729 \cdot 3^{18}

，

324 < 729

，還不夠大。

x = 19

：

1 9^{2} \cdot 3^{19} = 361 \cdot 3^{19}

，而

3^{24} = 3^{5} \cdot 3^{19} = 243 \cdot 3^{19}

，

361 > 243

，已經超過。所以

18 < x < 19

，

k = 18

。

怎麼想到從

18

附近試：如果沒有

x^{2}

，解是

x = 24

；

x^{2}

大約是幾百，相當於

3^{5}

到

3^{6}

，所以

x

大約是

24

減去

5

或

6

。

高斯符號的和用完全平方數分段數個數；落下再反彈的總距離，第一段只算一次。

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第 3 題要分辨五個無窮級數的斂散，各項趨近 0 的級數不一定收斂；第 8 題的選項 (E) 少了兩邊極限相同這個條件，夾擠定理不能用；第 17 題公比等於 1 時收斂、等於負 1 時發散，而且要解分式不等式；第 15 題要先把數列用已知極限的式子表示；第 21 題要把每個根號夾在兩個相鄰整數之間。詳解逐題寫在本頁。

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苑裡高中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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02多選題：圖形上的極限、數列的收斂、極限的性質、函數的圖形

03填充題：函數與數列的極限、由極限反求係數

04填充題：數列的極限、等比數列收斂的範圍、夾擠定理

05填充題：高斯符號、Σ 求和、無窮等比級數、定義域、估計解的位置

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高三第一次段考
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