段考詳解範圍：數列與函數的極限（選修數學乙上：數列的極限、Σ 與無窮等比級數、函數、函數的極限與連續）

北一女中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 4 題（24 分）、多選題 3 題（30 分）、填充題 4 題共 9 格（54 分），卷面合計 108 分；卷頭註明總分超過 100 分者以 100 分計。卷面三個大題的題號各自從 1 編起，本頁改為全卷連續：第 5～7 題是卷面多選第 1～3 題，第 8～13 題是卷面填充第 1 題的 (A)～(F)，第 14、15、16 題是卷面填充第 2、3、4 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，16 題全部相同。

一、單選題（24 分）｜說明：每題答對者得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者得 0 分。

首項為

1

，公比為

0. \overline{3}

的無窮等比級數和為下列哪個選項？

(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $\frac{10}{7}$
(4) $\frac{3}{4}$
(5) $3$

已知函數

f (x) = 2 x sin \frac{1}{x}

的值是介在

y = 2∣ x ∣

與

y = - 2∣ x ∣

之間，意即

- 2∣ x ∣ \leq 2 x sin \frac{1}{x} \leq 2∣ x ∣

，則

x \to 0 lim 2 x sin \frac{1}{x}

之值為下列哪個選項？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $- 2$
(4) $2$
(5) 不存在

已知方程式

(x - 10) (x - 20) (x - 30) = x

有三個實根

α, β, γ

，且三個整數

a, b, c

滿足

a < α < a + 1, b < β < b + 1, c < γ < c + 1

，則

a + b + c =

？

(1) $59$
(2) $60$
(3) $61$
(4) $62$
(5) $63$

如圖，以

\overline{A B}

為直徑的單位圓

S_{1}

內作一個內接等腰直角三角形

A B C

。在三角形

A B C

內作一內切圓

S_{2}

，並在圓

S_{2}

內作一個內接等腰直角三角形

D E F

，其中

\overline{D E}

為圓

S_{2}

的直徑；重複同樣的動作，依次可得到圓

S_{3}, S_{4}, \dots

。則所有圓面積的總和為下列哪個選項？

(1) $(2 - 1) π$
(2) $\frac{2 - 2}{2} π$
(3) $\frac{1 + 2}{2} π$
(4) $\frac{2 + 2}{2} π$
(5) 發散

載入中...

二、多選題（30 分）｜說明：每題答對者得 10 分，每題各有五個選項。每個選項 2 分，所有選項均未作答，該題以 0 分計算。

設已知

n = 1 \sum \infty a_{n}, n = 1 \sum \infty b_{n}

分別收斂至

L, M

，則下列敘述哪些正確？

(1) $n = 1 \sum \infty (5 a_{n} - 2 b_{n}) = 5 L - 2 M$
(2) $n = 1 \sum \infty (3 a_{n} - 10) = 3 L - 10$
(3) $n = 1 \sum \infty (a_{n} \times b_{n}) = L \times M$
(4) $n = 1 \sum \infty n a_{n} = L^{2}$
(5) $n = 1 \sum \infty a_{n}^{b_{n}} = L^{M}$

已知函數

f (x) = 4 - x^{2}, g (x) = x - 1

，試問下列哪些選項正確？

(1) $f (x)$ 的定義域為 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 2, x \in R}$
(2) $\frac{1}{g ( x )}$ 的定義域為 ${x ∣ 1 \leq x, x \in R}$
(3) $f (x)$ 的值域為 ${y ∣ 0 \leq y \leq 2, y \in R}$
(4) $f \circ g (x)$ 的值域為 ${y ∣ - 1 \leq y \leq 1, y \in R}$
(5) $g \circ f (x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸

已知數列

⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩, ⟨ d_{n} ⟩, ⟨ e_{n} ⟩

定義如下：

a_{n} = (\frac{- 1}{2})^{n}, b_{n} = 2^{n} a_{n}, c_{n} = b_{n} + b_{n + 1}, d_{n} = (\frac{1 - 5}{2})^{n}, e_{n} = \frac{1}{d _{n}};

其中

n

為自然數。試選出會收斂的數列。

(1) $a_{n}$
(2) $b_{n}$
(3) $c_{n}$
(4) $d_{n}$
(5) $e_{n}$

三、填充題（54 分）｜說明：每格答對得 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

填充題第 1 題（本頁第 8～13 題）（第 8～13 題）　求下列各極限值（若無極限值，答案請寫「不存在」）

(A)

n \to \infty lim \frac{11 2 ^{n + 3}}{202 3 ^{n - 10}} =

____。

(B)

n \to \infty lim \frac{5 n ^{3} - 6 n + 10}{n ^{3} + 69 n ^{2} - 7} =

____。

(C)

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1} =

____。

(D)

x \to 2 lim (\frac{3}{x - 2} + \frac{x - 11}{x ^{2} - x - 2}) =

____。

(E)

x \to 0 lim \frac{x ^{2} + 7}{x} =

____。

(F)

n \to \infty lim (1 - \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - \frac{27}{8} + \dots + (- \frac{3}{2})^{n - 1}) =

____。

已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩_{n = 1}^{\infty}

，其中

a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} \times 2023}{n ^{2}}

，若當

n \geq k

時，

∣ a_{n} - 0∣ < \frac{1}{2024}

，則此整數

k

值的最小值為 ____。

考慮函數

y = f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a}{x}, ∣2 x ∣, b x^{2} + 12, x \geq 3 - 2 \leq x < 3 x < - 2

，若已知

f (x)

是一個連續函數，則數對

(a, b) =

____。

承上，試求

x \to 2 lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} =

____。（若無極限值，答案請寫「不存在」）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(1)

第 3 題(1)

第 4 題(3)

第 5 題(1)

第 6 題(1)(3)(5)

第 7 題(1)(3)(4)

第 8 題

0

第 9 題

5

第 10 題

3

第 11 題

\frac{4}{3}

第 12 題不存在

第 13 題不存在

第 14 題

2024

第 15 題

(18, - 2)

第 16 題

2

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：無窮等比級數、夾擠定理、根的位置、所有圓的面積和

第 1 題答案 (2)。循環小數化成分數：

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

。公比

\frac{1}{3}

介於

- 1

與

1

之間，級數收斂，和為

\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}

。

0. \overline{3} = 0.333 \dots

本身是首項

0.3

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{1}{3}

。選項 (3) 的

\frac{10}{7}

是把公比當成

0.3

的結果。

第 2 題答案 (1)。題目已給

- 2∣ x ∣ \leq 2 x sin \frac{1}{x} \leq 2∣ x ∣

（

x \neq = 0

）。因為

x \to 0 lim (- 2∣ x ∣) = 0

且

x \to 0 lim 2∣ x ∣ = 0

，左右兩邊的極限相同，由夾擠定理，

x \to 0 lim 2 x sin \frac{1}{x} = 0

。

sin \frac{1}{x}

本身在

x \to 0

時沒有極限，不能把極限拆成

2 x

與

sin \frac{1}{x}

兩個極限相乘；要靠上下兩個都趨近

0

的函數把它夾住。

第 3 題答案 (1)。令

h (x) = (x - 10) (x - 20) (x - 30) - x

，方程式的實根就是

h (x) = 0

的實根。把整數代入看正負：

h (10) = - 10 < 0

，

h (11) = 1 \times (- 9) \times (- 19) - 11 = 160 > 0

，所以

10

與

11

之間有一根；

h (19) = 9 \times (- 1) \times (- 11) - 19 = 80 > 0

，

h (20) = - 20 < 0

，所以

19

與

20

之間有一根；

h (30) = - 30 < 0

，

h (31) = 21 \times 11 \times 1 - 31 = 200 > 0

，所以

30

與

31

之間有一根。三次方程式最多三個實根，這三個就是

α, β, γ

，故

a + b + c = 10 + 19 + 30 = 59

。

x = 10, 20, 30

時左式為

0

、右式為正，所以

h

在這三個數都是負的；再往旁邊各試一個整數就能看到變號。檢查：展開後

x^{2}

項係數為

- 60

，三根和為

60

，與

10. \dots + 19. \dots + 30. \dots

相符。

第 4 題答案 (3)。

S_{1}

是單位圓，半徑

r_{1} = 1

，

\overline{A B} = 2

，等腰直角三角形

A B C

的兩股

\overline{C A} = \overline{C B} = 2

。直角三角形的內切圓半徑＝

\frac{兩股和 - 斜邊}{2}

，所以

S_{2}

的半徑

r_{2} = \frac{2 + 2 - 2}{2} = 2 - 1

。每一步都是「以直徑為斜邊作等腰直角三角形，再作內切圓」，圖形相似，所以每次半徑都乘

2 - 1

，面積都乘

(2 - 1)^{2} = 3 - 22

。所有圓的面積成首項

π

、公比

3 - 22

的無窮等比級數，

0 < 3 - 22 < 1

，級數收斂，和為

\frac{π}{1 - ( 3 - 2 2 )} = \frac{π}{2 2 - 2} = \frac{π}{2 ( 2 - 1 )} = \frac{2 + 1}{2} π

。

內切圓半徑也可以用面積算：三角形

A B C

的面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 1

，也等於

\frac{1}{2} \times r_{2} \times (周長) = \frac{1}{2} r_{2} (2 + 22)

，得

r_{2} = \frac{1}{1 + 2} = 2 - 1

。最後一步有理化：

\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1

。

圖形一層一層縮小的題目：先求相鄰兩層的長度比，面積比是它的平方，再套無窮等比級數的和。

02多選題（第 5～7 題）：收斂級數的性質、定義域與值域、數列的收斂

第 5 題答案 (1)。(1) 對：兩個收斂級數可以逐項乘常數、逐項相減，

n = 1 \sum \infty (5 a_{n} - 2 b_{n}) = 5 n = 1 \sum \infty a_{n} - 2 n = 1 \sum \infty b_{n} = 5 L - 2 M

。(2) 錯：常數

10

要加無窮多次。前

n

項的和是

3 (a_{1} + \dots + a_{n}) - 10 n

，前一部分趨近

3 L

，後一部分

- 10 n

愈來愈小、沒有下限，級數發散。(3) 錯：取

a_{n} = b_{n} = (\frac{1}{2})^{n}

，則

L = M = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

，但

n = 1 \sum \infty a_{n} b_{n} = n = 1 \sum \infty (\frac{1}{4})^{n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3} \neq = 1

。(4) 錯：取

a_{1} = 1

、

a_{2} = - 1

、其餘各項都是

0

，則

L = 0

，但

n = 1 \sum \infty n a_{n} = 1 \times 1 + 2 \times (- 1) = - 1 \neq = 0 = L^{2}

。(5) 錯：取

a_{n} = b_{n} = (\frac{1}{2})^{n}

，則

L^{M} = 1

；但第一項

a_{1}^{b_{1}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{2}

，第二項

a_{2}^{b_{2}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{2}

，前兩項的和已是

2 > 1

，而每一項都是正的，總和不可能是

1

。

Σ 只有「乘常數」與「加減」可以拆開；相乘、乘上

n

、取次方都不能逐項搬到總和上。(2) 要小心

n = 1 \sum \infty 10

不是

10

。

第 6 題答案 (1)(3)(5)。(1) 對：根號內要

4 - x^{2} \geq 0

，即

- 2 \leq x \leq 2

。(2) 錯：

\frac{1}{g ( x )} = \frac{1}{x - 1}

只要分母不為

0

，定義域是

{x ∣ x \neq = 1, x \in R}

；例如

x = 0

時值為

- 1

，有定義。(3) 對：

- 2 \leq x \leq 2

時

0 \leq 4 - x^{2} \leq 4

，所以

0 \leq 4 - x^{2} \leq 2

，而且

x = \pm 2

時取到

0

、

x = 0

時取到

2

，中間的值也都取得到。(4) 錯：

f \circ g (x) = f (x - 1) = 4 - (x - 1)^{2}

，定義域是

- 2 \leq x - 1 \leq 2

即

- 1 \leq x \leq 3

，值域和

f

一樣是

{y ∣ 0 \leq y \leq 2}

；根號的值不會是負的，而且

x = 1

時值為

2 > 1

。(5) 對：

g \circ f (x) = g (f (x)) = 4 - x^{2} - 1

，定義域

- 2 \leq x \leq 2

左右對稱，且把

x

換成

- x

後

4 - (- x)^{2} - 1 = 4 - x^{2} - 1

不變，所以圖形對稱於

y

軸。

(4) 的範圍裡有負數，根號的值不可能是負的，光看這一點就知道不對。

f \circ g (x)

是先算

g

再代進

f

，

g \circ f (x)

是先算

f

再代進

g

，兩者不同。

第 7 題答案 (1)(3)(4)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

- 1 < r \leq 1

時收斂，其餘發散。(1) 收斂：公比

- \frac{1}{2}

介於

- 1

與

1

之間，

a_{n} \to 0

。(2) 發散：

b_{n} = 2^{n} (- \frac{1}{2})^{n} = (- 1)^{n}

，在

- 1

與

1

之間跳動，不趨近一個定值。(3) 收斂：

c_{n} = (- 1)^{n} + (- 1)^{n + 1} = (- 1)^{n} (1 + (- 1)) = 0

，每一項都是

0

，收斂到

0

。(4) 收斂：因為

2 < 5 < 3

，所以

- 1 < \frac{1 - 5}{2} < - \frac{1}{2}

，公比介於

- 1

與

1

之間，

d_{n} \to 0

。(5) 發散：

e_{n} = (\frac{2}{1 - 5})^{n}

，而

\frac{2}{1 - 5} = \frac{2 ( 1 + 5 )}{1 - 5} = - \frac{1 + 5}{2} < - 1

，公比小於

- 1

，數列發散。

兩個發散的數列相加可能收斂：

⟨ b_{n} ⟩

與

⟨ b_{n + 1} ⟩

都發散，但相加後每一項都互相抵消。

d_{n} \to 0

時，它的倒數

e_{n}

的絕對值會愈來愈大。

要否定「對所有收斂級數都成立」的敘述，舉一個反例就夠；最順手的反例是公比二分之一的等比級數。

03填充第 1 題 (A)～(F)（本頁第 8～13 題）：六個極限

第 8 題(A)

\frac{11 2 ^{n + 3}}{202 3 ^{n - 10}} = 11 2^{3} \times 202 3^{10} \times (\frac{112}{2023})^{n}

。

\frac{112}{2023}

介於

- 1

與

1

之間，

(\frac{112}{2023})^{n} \to 0

，而

11 2^{3} \times 202 3^{10}

是常數，所以極限為

0

。

指數裡的

+ 3

、

- 10

只是多乘一個固定的常數，不影響極限是

0

。

第 9 題(B) 分子、分母同除以

n^{3}

：

\frac{5 n ^{3} - 6 n + 10}{n ^{3} + 69 n ^{2} - 7} = \frac{5 - \frac{6}{n ^{2}} + \frac{10}{n ^{3}}}{1 + \frac{69}{n} - \frac{7}{n ^{3}}}

。

n \to \infty

時

\frac{6}{n ^{2}}

、

\frac{10}{n ^{3}}

、

\frac{69}{n}

、

\frac{7}{n ^{3}}

都趨近

0

，所以極限為

\frac{5 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 5

。

分子、分母次數相同時，極限就是最高次項係數的比；

69 n^{2}

的係數再大，也比不過

n^{3}

。

第 10 題(C)

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

。

x \to 1

時

x \neq = 1

，可以約去

x - 1

：

x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 2) = 3

。

第 11 題(D) 兩項各自在

x \to 2

時都沒有極限，要先通分。

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

，所以

\frac{3}{x - 2} + \frac{x - 11}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{3 ( x + 1 ) + ( x - 11 )}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{4 x - 8}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{4 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 1 )}

。約去

x - 2

後，

x \to 2 lim \frac{4}{x + 1} = \frac{4}{3}

。

不能寫成兩個極限相加：極限的加法性質要兩個極限都存在才能用。

第 12 題(E)

\frac{x ^{2} + 7}{x} = x + \frac{7}{x}

。

x

從右邊趨近

0

時，

\frac{7}{x}

是愈來愈大的正數、沒有上限；從左邊趨近

0

時，

\frac{7}{x}

是愈來愈小的負數、沒有下限。函數值不會接近任何一個定值，極限不存在。

分母趨近

0

、分子趨近

7

（不是

0

），沒有公因式可以約，極限不存在。例如

x = 0.01

時值為

700.01

，

x = - 0.01

時值為

- 700.01

。

第 13 題(F) 括號內是首項

1

、公比

- \frac{3}{2}

的等比數列前

n

項的和，

S_{n} = \frac{1 - ( - \frac{3}{2} ) ^{n}}{1 - ( - \frac{3}{2} )} = \frac{2}{5} [1 - (- \frac{3}{2})^{n}]

。公比

- \frac{3}{2} < - 1

，

(- \frac{3}{2})^{n}

正負交替而且絕對值愈來愈大，不趨近任何定值，所以

S_{n}

的極限不存在。

無窮等比級數只有在公比

r

滿足

- 1 < r < 1

時才收斂；這裡若硬套

\frac{1}{1 - r}

會得到

\frac{2}{5}

，是錯的。

先代代看：代得進去就是答案；分子分母都是 0，就因式分解（或先通分）約掉公因式；只有分母是 0，極限不存在。

04填充第 2～4 題（本頁第 14～16 題）：與極限的距離、分段函數的連續、差商的極限

第 14 題

∣ a_{n} - 0∣ = \frac{2023}{n ^{2}}

。要

\frac{2023}{n ^{2}} < \frac{1}{2024}

，即

n^{2} > 2023 \times 2024

。因為

202 3^{2} < 2023 \times 2024 < 202 4^{2}

，所以

n = 2023

時不成立、

n = 2024

時成立。又

\frac{2023}{n ^{2}}

隨

n

變大而變小，所以從第

2024

項起每一項都成立，

k

的最小值為

2024

。

(- 1)^{n}

只影響正負號，取絕對值後就不見了。

2023 \times 2024

不必乘開，夾在

202 3^{2}

與

202 4^{2}

之間就夠判斷。

第 15 題連續函數在分段點

x = 3

與

x = - 2

兩側要接起來。

x = 3

處：上段的值是

\frac{a}{3}

，中段在

x \to 3^{-}

的極限是

∣2 \times 3∣ = 6

，令

\frac{a}{3} = 6

得

a = 18

。

x = - 2

處：中段的值是

∣2 \times (- 2) ∣ = 4

，下段在

x \to - 2^{-}

的極限是

b \times (- 2)^{2} + 12 = 4 b + 12

，令

4 b + 12 = 4

得

b = - 2

。所以

(a, b) = (18, - 2)

。

各段本身在自己的範圍內都連續（

\frac{a}{x}

在

x \geq 3

時分母不為

0

），所以只要檢查兩個分段點。

第 16 題

x

接近

2

時，

x

落在

- 2 \leq x < 3

這一段而且

x > 0

，所以

f (x) = ∣2 x ∣ = 2 x

，

f (2) = 4

。

x \to 2 lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{2 x - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{2 ( x - 2 )}{x - 2} = 2

。

x = 2

不是分段點，也不是

∣2 x ∣

轉折的地方（轉折在

x = 0

），

2

的左右兩邊用的是同一個式子

2 x

，所以極限存在；這一題用不到上一題求出的

a, b

。

分段函數在分段點連續：左極限、右極限、函數值三者相等，一個分段點列一條方程式。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

北一女中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題要把方程式移項成一個函數，再代整數看正負號找出三個根各落在哪兩個整數之間；單選第 4 題要先求出直角三角形內切圓的半徑，得到相鄰兩圓的半徑比，面積比是它的平方；多選第 5 題五個選項只有 (1) 正確，選項 (2) 的常數要加無窮多次所以發散，其餘要各舉一個反例；多選第 7 題的第三個數列是兩個發散數列相加卻每一項都是零，第四個數列要先估出公比介於負一與零之間。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自北一女中 112 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：數列與函數的極限（選修數學乙上：數列的極限、Σ 與無窮等比級數、函數、函數的極限與連續）

北一女中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、單選題（24 分）｜說明：每題答對者得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者得 0 分。

首項為

1

，公比為

0. \overline{3}

的無窮等比級數和為下列哪個選項？

(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $\frac{10}{7}$
(4) $\frac{3}{4}$
(5) $3$

已知函數

f (x) = 2 x sin \frac{1}{x}

的值是介在

y = 2∣ x ∣

與

y = - 2∣ x ∣

之間，意即

- 2∣ x ∣ \leq 2 x sin \frac{1}{x} \leq 2∣ x ∣

，則

x \to 0 lim 2 x sin \frac{1}{x}

之值為下列哪個選項？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $- 2$
(4) $2$
(5) 不存在

已知方程式

(x - 10) (x - 20) (x - 30) = x

有三個實根

α, β, γ

，且三個整數

a, b, c

滿足

a < α < a + 1, b < β < b + 1, c < γ < c + 1

，則

a + b + c =

？

(1) $59$
(2) $60$
(3) $61$
(4) $62$
(5) $63$

如圖，以

\overline{A B}

為直徑的單位圓

S_{1}

內作一個內接等腰直角三角形

A B C

。在三角形

A B C

內作一內切圓

S_{2}

，並在圓

S_{2}

內作一個內接等腰直角三角形

D E F

，其中

\overline{D E}

為圓

S_{2}

的直徑；重複同樣的動作，依次可得到圓

S_{3}, S_{4}, \dots

。則所有圓面積的總和為下列哪個選項？

(1) $(2 - 1) π$
(2) $\frac{2 - 2}{2} π$
(3) $\frac{1 + 2}{2} π$
(4) $\frac{2 + 2}{2} π$
(5) 發散

載入中...

二、多選題（30 分）｜說明：每題答對者得 10 分，每題各有五個選項。每個選項 2 分，所有選項均未作答，該題以 0 分計算。

設已知

n = 1 \sum \infty a_{n}, n = 1 \sum \infty b_{n}

分別收斂至

L, M

，則下列敘述哪些正確？

(1) $n = 1 \sum \infty (5 a_{n} - 2 b_{n}) = 5 L - 2 M$
(2) $n = 1 \sum \infty (3 a_{n} - 10) = 3 L - 10$
(3) $n = 1 \sum \infty (a_{n} \times b_{n}) = L \times M$
(4) $n = 1 \sum \infty n a_{n} = L^{2}$
(5) $n = 1 \sum \infty a_{n}^{b_{n}} = L^{M}$

已知函數

f (x) = 4 - x^{2}, g (x) = x - 1

，試問下列哪些選項正確？

(1) $f (x)$ 的定義域為 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 2, x \in R}$
(2) $\frac{1}{g ( x )}$ 的定義域為 ${x ∣ 1 \leq x, x \in R}$
(3) $f (x)$ 的值域為 ${y ∣ 0 \leq y \leq 2, y \in R}$
(4) $f \circ g (x)$ 的值域為 ${y ∣ - 1 \leq y \leq 1, y \in R}$
(5) $g \circ f (x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸

已知數列

⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩, ⟨ d_{n} ⟩, ⟨ e_{n} ⟩

定義如下：

a_{n} = (\frac{- 1}{2})^{n}, b_{n} = 2^{n} a_{n}, c_{n} = b_{n} + b_{n + 1}, d_{n} = (\frac{1 - 5}{2})^{n}, e_{n} = \frac{1}{d _{n}};

其中

n

為自然數。試選出會收斂的數列。

(1) $a_{n}$
(2) $b_{n}$
(3) $c_{n}$
(4) $d_{n}$
(5) $e_{n}$

三、填充題（54 分）｜說明：每格答對得 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

填充題第 1 題（本頁第 8～13 題）（第 8～13 題）　求下列各極限值（若無極限值，答案請寫「不存在」）

(A)

n \to \infty lim \frac{11 2 ^{n + 3}}{202 3 ^{n - 10}} =

____。

(B)

n \to \infty lim \frac{5 n ^{3} - 6 n + 10}{n ^{3} + 69 n ^{2} - 7} =

____。

(C)

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1} =

____。

(D)

x \to 2 lim (\frac{3}{x - 2} + \frac{x - 11}{x ^{2} - x - 2}) =

____。

(E)

x \to 0 lim \frac{x ^{2} + 7}{x} =

____。

(F)

n \to \infty lim (1 - \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - \frac{27}{8} + \dots + (- \frac{3}{2})^{n - 1}) =

____。

已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩_{n = 1}^{\infty}

，其中

a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} \times 2023}{n ^{2}}

，若當

n \geq k

時，

∣ a_{n} - 0∣ < \frac{1}{2024}

，則此整數

k

值的最小值為 ____。

考慮函數

y = f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a}{x}, ∣2 x ∣, b x^{2} + 12, x \geq 3 - 2 \leq x < 3 x < - 2

，若已知

f (x)

是一個連續函數，則數對

(a, b) =

____。

承上，試求

x \to 2 lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} =

____。（若無極限值，答案請寫「不存在」）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(1)

第 3 題(1)

第 4 題(3)

第 5 題(1)

第 6 題(1)(3)(5)

第 7 題(1)(3)(4)

第 8 題

0

第 9 題

5

第 10 題

3

第 11 題

\frac{4}{3}

第 12 題不存在

第 13 題不存在

第 14 題

2024

第 15 題

(18, - 2)

第 16 題

2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：無窮等比級數、夾擠定理、根的位置、所有圓的面積和

第 1 題答案 (2)。循環小數化成分數：

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

。公比

\frac{1}{3}

介於

- 1

與

1

之間，級數收斂，和為

\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}

。

0. \overline{3} = 0.333 \dots

本身是首項

0.3

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{1}{3}

。選項 (3) 的

\frac{10}{7}

是把公比當成

0.3

的結果。

第 2 題答案 (1)。題目已給

- 2∣ x ∣ \leq 2 x sin \frac{1}{x} \leq 2∣ x ∣

（

x \neq = 0

）。因為

x \to 0 lim (- 2∣ x ∣) = 0

且

x \to 0 lim 2∣ x ∣ = 0

，左右兩邊的極限相同，由夾擠定理，

x \to 0 lim 2 x sin \frac{1}{x} = 0

。

sin \frac{1}{x}

本身在

x \to 0

時沒有極限，不能把極限拆成

2 x

與

sin \frac{1}{x}

兩個極限相乘；要靠上下兩個都趨近

0

的函數把它夾住。

第 3 題答案 (1)。令

h (x) = (x - 10) (x - 20) (x - 30) - x

，方程式的實根就是

h (x) = 0

的實根。把整數代入看正負：

h (10) = - 10 < 0

，

h (11) = 1 \times (- 9) \times (- 19) - 11 = 160 > 0

，所以

10

與

11

之間有一根；

h (19) = 9 \times (- 1) \times (- 11) - 19 = 80 > 0

，

h (20) = - 20 < 0

，所以

19

與

20

之間有一根；

h (30) = - 30 < 0

，

h (31) = 21 \times 11 \times 1 - 31 = 200 > 0

，所以

30

與

31

之間有一根。三次方程式最多三個實根，這三個就是

α, β, γ

，故

a + b + c = 10 + 19 + 30 = 59

。

x = 10, 20, 30

時左式為

0

、右式為正，所以

h

在這三個數都是負的；再往旁邊各試一個整數就能看到變號。檢查：展開後

x^{2}

項係數為

- 60

，三根和為

60

，與

10. \dots + 19. \dots + 30. \dots

相符。

第 4 題答案 (3)。

S_{1}

是單位圓，半徑

r_{1} = 1

，

\overline{A B} = 2

，等腰直角三角形

A B C

的兩股

\overline{C A} = \overline{C B} = 2

。直角三角形的內切圓半徑＝

\frac{兩股和 - 斜邊}{2}

，所以

S_{2}

的半徑

r_{2} = \frac{2 + 2 - 2}{2} = 2 - 1

。每一步都是「以直徑為斜邊作等腰直角三角形，再作內切圓」，圖形相似，所以每次半徑都乘

2 - 1

，面積都乘

(2 - 1)^{2} = 3 - 22

。所有圓的面積成首項

π

、公比

3 - 22

的無窮等比級數，

0 < 3 - 22 < 1

，級數收斂，和為

\frac{π}{1 - ( 3 - 2 2 )} = \frac{π}{2 2 - 2} = \frac{π}{2 ( 2 - 1 )} = \frac{2 + 1}{2} π

。

內切圓半徑也可以用面積算：三角形

A B C

的面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 1

，也等於

\frac{1}{2} \times r_{2} \times (周長) = \frac{1}{2} r_{2} (2 + 22)

，得

r_{2} = \frac{1}{1 + 2} = 2 - 1

。最後一步有理化：

\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1

。

圖形一層一層縮小的題目：先求相鄰兩層的長度比，面積比是它的平方，再套無窮等比級數的和。

02多選題（第 5～7 題）：收斂級數的性質、定義域與值域、數列的收斂

第 5 題答案 (1)。(1) 對：兩個收斂級數可以逐項乘常數、逐項相減，

n = 1 \sum \infty (5 a_{n} - 2 b_{n}) = 5 n = 1 \sum \infty a_{n} - 2 n = 1 \sum \infty b_{n} = 5 L - 2 M

。(2) 錯：常數

10

要加無窮多次。前

n

項的和是

3 (a_{1} + \dots + a_{n}) - 10 n

，前一部分趨近

3 L

，後一部分

- 10 n

愈來愈小、沒有下限，級數發散。(3) 錯：取

a_{n} = b_{n} = (\frac{1}{2})^{n}

，則

L = M = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

，但

n = 1 \sum \infty a_{n} b_{n} = n = 1 \sum \infty (\frac{1}{4})^{n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3} \neq = 1

。(4) 錯：取

a_{1} = 1

、

a_{2} = - 1

、其餘各項都是

0

，則

L = 0

，但

n = 1 \sum \infty n a_{n} = 1 \times 1 + 2 \times (- 1) = - 1 \neq = 0 = L^{2}

。(5) 錯：取

a_{n} = b_{n} = (\frac{1}{2})^{n}

，則

L^{M} = 1

；但第一項

a_{1}^{b_{1}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{2}

，第二項

a_{2}^{b_{2}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{2}

，前兩項的和已是

2 > 1

，而每一項都是正的，總和不可能是

1

。

Σ 只有「乘常數」與「加減」可以拆開；相乘、乘上

n

、取次方都不能逐項搬到總和上。(2) 要小心

n = 1 \sum \infty 10

不是

10

。

第 6 題答案 (1)(3)(5)。(1) 對：根號內要

4 - x^{2} \geq 0

，即

- 2 \leq x \leq 2

。(2) 錯：

\frac{1}{g ( x )} = \frac{1}{x - 1}

只要分母不為

0

，定義域是

{x ∣ x \neq = 1, x \in R}

；例如

x = 0

時值為

- 1

，有定義。(3) 對：

- 2 \leq x \leq 2

時

0 \leq 4 - x^{2} \leq 4

，所以

0 \leq 4 - x^{2} \leq 2

，而且

x = \pm 2

時取到

0

、

x = 0

時取到

2

，中間的值也都取得到。(4) 錯：

f \circ g (x) = f (x - 1) = 4 - (x - 1)^{2}

，定義域是

- 2 \leq x - 1 \leq 2

即

- 1 \leq x \leq 3

，值域和

f

一樣是

{y ∣ 0 \leq y \leq 2}

；根號的值不會是負的，而且

x = 1

時值為

2 > 1

。(5) 對：

g \circ f (x) = g (f (x)) = 4 - x^{2} - 1

，定義域

- 2 \leq x \leq 2

左右對稱，且把

x

換成

- x

後

4 - (- x)^{2} - 1 = 4 - x^{2} - 1

不變，所以圖形對稱於

y

軸。

(4) 的範圍裡有負數，根號的值不可能是負的，光看這一點就知道不對。

f \circ g (x)

是先算

g

再代進

f

，

g \circ f (x)

是先算

f

再代進

g

，兩者不同。

第 7 題答案 (1)(3)(4)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

- 1 < r \leq 1

時收斂，其餘發散。(1) 收斂：公比

- \frac{1}{2}

介於

- 1

與

1

之間，

a_{n} \to 0

。(2) 發散：

b_{n} = 2^{n} (- \frac{1}{2})^{n} = (- 1)^{n}

，在

- 1

與

1

之間跳動，不趨近一個定值。(3) 收斂：

c_{n} = (- 1)^{n} + (- 1)^{n + 1} = (- 1)^{n} (1 + (- 1)) = 0

，每一項都是

0

，收斂到

0

。(4) 收斂：因為

2 < 5 < 3

，所以

- 1 < \frac{1 - 5}{2} < - \frac{1}{2}

，公比介於

- 1

與

1

之間，

d_{n} \to 0

。(5) 發散：

e_{n} = (\frac{2}{1 - 5})^{n}

，而

\frac{2}{1 - 5} = \frac{2 ( 1 + 5 )}{1 - 5} = - \frac{1 + 5}{2} < - 1

，公比小於

- 1

，數列發散。

兩個發散的數列相加可能收斂：

⟨ b_{n} ⟩

與

⟨ b_{n + 1} ⟩

都發散，但相加後每一項都互相抵消。

d_{n} \to 0

時，它的倒數

e_{n}

的絕對值會愈來愈大。

要否定「對所有收斂級數都成立」的敘述，舉一個反例就夠；最順手的反例是公比二分之一的等比級數。

03填充第 1 題 (A)～(F)（本頁第 8～13 題）：六個極限

第 8 題(A)

\frac{11 2 ^{n + 3}}{202 3 ^{n - 10}} = 11 2^{3} \times 202 3^{10} \times (\frac{112}{2023})^{n}

。

\frac{112}{2023}

介於

- 1

與

1

之間，

(\frac{112}{2023})^{n} \to 0

，而

11 2^{3} \times 202 3^{10}

是常數，所以極限為

0

。

指數裡的

+ 3

、

- 10

只是多乘一個固定的常數，不影響極限是

0

。

第 9 題(B) 分子、分母同除以

n^{3}

：

\frac{5 n ^{3} - 6 n + 10}{n ^{3} + 69 n ^{2} - 7} = \frac{5 - \frac{6}{n ^{2}} + \frac{10}{n ^{3}}}{1 + \frac{69}{n} - \frac{7}{n ^{3}}}

。

n \to \infty

時

\frac{6}{n ^{2}}

、

\frac{10}{n ^{3}}

、

\frac{69}{n}

、

\frac{7}{n ^{3}}

都趨近

0

，所以極限為

\frac{5 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 5

。

分子、分母次數相同時，極限就是最高次項係數的比；

69 n^{2}

的係數再大，也比不過

n^{3}

。

第 10 題(C)

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

。

x \to 1

時

x \neq = 1

，可以約去

x - 1

：

x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 2) = 3

。

第 11 題(D) 兩項各自在

x \to 2

時都沒有極限，要先通分。

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

，所以

\frac{3}{x - 2} + \frac{x - 11}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{3 ( x + 1 ) + ( x - 11 )}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{4 x - 8}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{4 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 1 )}

。約去

x - 2

後，

x \to 2 lim \frac{4}{x + 1} = \frac{4}{3}

。

不能寫成兩個極限相加：極限的加法性質要兩個極限都存在才能用。

第 12 題(E)

\frac{x ^{2} + 7}{x} = x + \frac{7}{x}

。

x

從右邊趨近

0

時，

\frac{7}{x}

是愈來愈大的正數、沒有上限；從左邊趨近

0

時，

\frac{7}{x}

是愈來愈小的負數、沒有下限。函數值不會接近任何一個定值，極限不存在。

分母趨近

0

、分子趨近

7

（不是

0

），沒有公因式可以約，極限不存在。例如

x = 0.01

時值為

700.01

，

x = - 0.01

時值為

- 700.01

。

第 13 題(F) 括號內是首項

1

、公比

- \frac{3}{2}

的等比數列前

n

項的和，

S_{n} = \frac{1 - ( - \frac{3}{2} ) ^{n}}{1 - ( - \frac{3}{2} )} = \frac{2}{5} [1 - (- \frac{3}{2})^{n}]

。公比

- \frac{3}{2} < - 1

，

(- \frac{3}{2})^{n}

正負交替而且絕對值愈來愈大，不趨近任何定值，所以

S_{n}

的極限不存在。

無窮等比級數只有在公比

r

滿足

- 1 < r < 1

時才收斂；這裡若硬套

\frac{1}{1 - r}

會得到

\frac{2}{5}

，是錯的。

先代代看：代得進去就是答案；分子分母都是 0，就因式分解（或先通分）約掉公因式；只有分母是 0，極限不存在。

04填充第 2～4 題（本頁第 14～16 題）：與極限的距離、分段函數的連續、差商的極限

第 14 題

∣ a_{n} - 0∣ = \frac{2023}{n ^{2}}

。要

\frac{2023}{n ^{2}} < \frac{1}{2024}

，即

n^{2} > 2023 \times 2024

。因為

202 3^{2} < 2023 \times 2024 < 202 4^{2}

，所以

n = 2023

時不成立、

n = 2024

時成立。又

\frac{2023}{n ^{2}}

隨

n

變大而變小，所以從第

2024

項起每一項都成立，

k

的最小值為

2024

。

(- 1)^{n}

只影響正負號，取絕對值後就不見了。

2023 \times 2024

不必乘開，夾在

202 3^{2}

與

202 4^{2}

之間就夠判斷。

第 15 題連續函數在分段點

x = 3

與

x = - 2

兩側要接起來。

x = 3

處：上段的值是

\frac{a}{3}

，中段在

x \to 3^{-}

的極限是

∣2 \times 3∣ = 6

，令

\frac{a}{3} = 6

得

a = 18

。

x = - 2

處：中段的值是

∣2 \times (- 2) ∣ = 4

，下段在

x \to - 2^{-}

的極限是

b \times (- 2)^{2} + 12 = 4 b + 12

，令

4 b + 12 = 4

得

b = - 2

。所以

(a, b) = (18, - 2)

。

各段本身在自己的範圍內都連續（

\frac{a}{x}

在

x \geq 3

時分母不為

0

），所以只要檢查兩個分段點。

第 16 題

x

接近

2

時，

x

落在

- 2 \leq x < 3

這一段而且

x > 0

，所以

f (x) = ∣2 x ∣ = 2 x

，

f (2) = 4

。

x \to 2 lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{2 x - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{2 ( x - 2 )}{x - 2} = 2

。

x = 2

不是分段點，也不是

∣2 x ∣

轉折的地方（轉折在

x = 0

），

2

的左右兩邊用的是同一個式子

2 x

，所以極限存在；這一題用不到上一題求出的

a, b

。

分段函數在分段點連續：左極限、右極限、函數值三者相等，一個分段點列一條方程式。

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02多選題（第 5～7 題）：收斂級數的性質、定義域與值域、數列的收斂

03填充第 1 題 (A)～(F)（本頁第 8～13 題）：六個極限

04填充第 2～4 題（本頁第 14～16 題）：與極限的距離、分段函數的連續、差商的極限

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北一女中 112 上
高三第一次段考
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