段考詳解範圍：第一、二冊複習＋極限與函數（數列的極限、函數的概念、函數的極限、連續函數）

基隆高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 小題（每格 7 分，答錯不倒扣，共 28 分）、多選題 5 小題（每格 6 分，全對得 6 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上選項或未作答者該題 0 分，共 30 分）、選填題 6 小格（每格 7 分，共 42 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題(4 小題，每格 7 分，答錯不倒扣，共 28 分)

已知函數

f (x) = 2 x - 3

，若

f (x)

與

g (x)

互為反函數，則

g (x)

為下列何者？

(A) $g (x) = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
(B) $g (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{3}$
(C) $g (x) = - 2 x + 3$
(D) $g (x) = - 3 x + 2$
(E) $g (x) = \frac{1}{2 x - 3}$

已知函數

f (x) = {x^{2} - 2, a x + 2, 當 x \geq 1 當 x < 1

在

x = 1

處連續，求實數

a

的值。

(A) $1$
(B) $2$
(C) $0$
(D) $- 3$
(E) $- 2$

求

n \to \infty lim \frac{3 ^{n} - 2 ^{n + 1}}{2 ^{n - 1} + 3 ^{n + 1}} =

(A) $0$
(B) $\frac{1}{3}$
(C) $1$
(D) $\frac{2}{3}$
(E) $\frac{3}{2}$

若函數

f (x) = \frac{∣ x ∣ - x}{x}

，則

x \to 0 lim f (x)

的值為

(A) $- 2$
(B) $0$
(C) $1$
(D) $2$
(E) 不存在

二、多選題(5 小題，每格 6 分，全對得 6 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上選項或未作答者該題 0 分，共 30 分)

下列何者表

y

是

x

的函數？（各選項的圖形見附圖）

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

已知函數

f (x) = 3 x^{4} + 5

，

g (x) = sin x

，

h (x) = x^{3} + 5

，選出正確的選項。

(A) $f (x)$ 為偶函數
(B) $f (x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(C) $g (x)$ 的圖形對稱於原點
(D) $h (x)$ 為偶函數
(E) $h (x)$ 為奇函數

函數

g (x) = a x^{2} + b x + c

的圖形如圖所示，試選出下列為正值的選項

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $b^{2} - 4 a c$
(E) $a - b + 2 c$

載入中...

如圖所示之四邊形，其四邊之直線方程式分別為

x + y = 6

，

- x + y = - 3

，

3 x + y = 3

，

x - 2 y = - 8

，若

P (a, b)

在四邊形區域內（含邊界），則下列哪些不等式恆成立？

(A) $a + b \geq 6$
(B) $- a + b \geq - 3$
(C) $3 a + b \geq 3$
(D) $a - 2 b \leq - 8$
(E) $- \frac{2}{7} \leq a \leq \frac{9}{2}$

載入中...

已知三次多項式

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 43

除以

(x + 3)^{3}

的餘式為

- 4 x - 11

，試問下列哪些選項是正確的？

(A) $a = 2$
(B) $f (x)$ 除以 $x + 3$ 的餘式為 $1$
(C) 將函數 $f (x)$ 的圖形向右平移 $3$ 單位，再向下平移 $1$ 單位，可得到 $y = 2 x^{3} - 4 x$ 的圖形
(D) 函數 $f (x)$ 圖形的對稱中心為點 $(- 3, 1)$
(E) $y = - 4 x - 11$ 為 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 附近的一次近似

三、選填題(6 小格，每格 7 分，共 42 分)｜原卷題號為 A～F（答案格編號 (10)～(20)），本頁依序編為第 10～15 題。

若

x \to 1 lim \frac{a x ^{2} + x + b}{x - 1} = 4

，則

4 a + 2 b

的值為 ____。

已知無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

中的每一項都滿足

\frac{4 n ^{2} - 2 n + 1}{2 n ^{2}} \leq c_{n} \leq \frac{4 n ^{2} + 2 n + 1}{2 n ^{2}}

，求

n \to \infty lim c_{n}

的值為 ____。

設兩變量

X

與

Y

的相關係數為

0.87

，則變數

3 X - 5

，

5 Y + 3

的相關係數為 ____。（原卷的答案格為「0.」後面填兩格）

數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{1} = 99

且

a_{n + 1} = \frac{1 + a _{n}}{1 - a _{n}}

，則

a_{2013} =

____。（原卷的答案格為兩格）

過

P (2, 3)

作圓

C : x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = 0

的兩切線，切點為

A

、

B

，則

△ P A B

的外接圓方程式為

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = c

，則

a + b + c =

____。（原卷的答案格為兩格）

依農業發展條例定義，休閒農業是指利用田園景觀、自然生態及環境資源，結合農林漁牧生產、農業經營活動、農村文化及農家生活，提供國民休閒，增進國民對農業及農村之體驗為目的之農業經營。甲為了提供附近住戶有一個休閒的空間，於是規劃用總長

73

公尺的竹籬圍成一個矩形的休閒農場，其中兩邊各留寬為

4

公尺與

3

公尺不圍竹籬，預計作為出入口使用，如略圖。則此休閒農場的最大面積為 ____ 平方公尺。（原卷的答案格為三格）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(E)

第 5 題(A)(B)(D)(E)

第 6 題(A)(B)(C)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(B)(C)(E)

第 9 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 10 題

1

第 11 題

2

第 12 題

0.87

第 13 題

99

第 14 題

13

第 15 題

400

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1～4 題：反函數、連續、數列的極限、左右極限

第 1 題答案 (A)。令

y = 2 x - 3

，把

x

用

y

表示：

x = \frac{y + 3}{2}

。反函數是把這個對應倒過來，所以

g (x) = \frac{x + 3}{2} = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

。

檢查：

f (g (x)) = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) - 3 = x

，

g (f (x)) = \frac{1}{2} (2 x - 3) + \frac{3}{2} = x

。(E) 是

f (x)

的倒數，不是反函數。

第 2 題答案 (D)。

f (x)

在

x = 1

連續，表示左極限、右極限與

f (1)

三者相等。

x \geq 1

時用

x^{2} - 2

：

f (1) = 1 - 2 = - 1

，右極限也是

- 1

。

x < 1

時用

a x + 2

：左極限是

a + 2

。所以

a + 2 = - 1

，

a = - 3

。

第 3 題答案 (B)。底數最大的是

3

，分子分母同除以

3^{n}

：

\frac{3 ^{n} - 2 ^{n + 1}}{2 ^{n - 1} + 3 ^{n + 1}} = \frac{1 - 2 ( \frac{2}{3} ) ^{n}}{\frac{1}{2} ( \frac{2}{3} ) ^{n} + 3}

。

n \to \infty

時

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

，所以極限是

\frac{1 - 0}{0 + 3} = \frac{1}{3}

。

2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n}

、

2^{n - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n}

、

3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}

，先把指數拆開再同除。

第 4 題答案 (E)。

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

f (x) = \frac{x - x}{x} = 0

，所以右極限

x \to 0^{+} lim f (x) = 0

。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

f (x) = \frac{- x - x}{x} = - 2

，所以左極限

x \to 0^{-} lim f (x) = - 2

。左右極限不相等，

x \to 0 lim f (x)

不存在。

02多選第 5、6 題：函數的判斷、奇函數與偶函數

第 5 題答案 (A)(B)(D)(E)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

只對應到一個

y

；在圖上就是任何一條鉛直線與圖形最多只交於一點。(A) 三段水平線段上下錯開，在交界的

x

值，上一段的端點是空心（不包含）、下一段的端點是實心（包含），所以每個

x

只對應一個

y

，是函數。(B) 曲線雖然上下起伏，但每條鉛直線只與它交於一點，是函數。(C) 圓：圓內的鉛直線與圓交於上下兩點，一個

x

對應兩個

y

，不是函數。(D) 兩支曲線分別在

y

軸的右邊與左邊，每條鉛直線最多只交於一點（

x = 0

時沒有交點，表示

0

不在定義域內），是函數。(E) 開口向上的拋物線，每條鉛直線只交於一點，是函數。

水平線與圖形交於很多點沒有關係（例如 (B)、(E)），那只表示不同的

x

對應到同一個

y

。

第 6 題答案 (A)(B)(C)。(A)

f (- x) = 3 (- x)^{4} + 5 = 3 x^{4} + 5 = f (x)

，是偶函數，正確。(B) 偶函數的圖形對稱於

y

軸，正確。(C)

g (- x) = sin (- x) = - sin x = - g (x)

，是奇函數，圖形對稱於原點，正確。(D)

h (- x) = - x^{3} + 5

，與

h (x) = x^{3} + 5

不相等（例如

h (1) = 6

、

h (- 1) = 4

），不是偶函數，錯誤。(E)

- h (x) = - x^{3} - 5

，與

h (- x) = - x^{3} + 5

不相等（例如

h (- 1) = 4

，而

- h (1) = - 6

），不是奇函數，錯誤。

h (x)

的圖形是把奇函數

y = x^{3}

向上平移

5

單位，對稱中心從原點移到

(0, 5)

，所以它既不是奇函數也不是偶函數。

03多選第 7～9 題：二次函數的圖形、不等式的區域、三次函數

第 7 題答案 (A)(C)(E)。(A) 圖形開口向上，

a > 0

，是正值。(B) 頂點在

y

軸右邊，頂點的

x

坐標

- \frac{b}{2 a} > 0

；又

a > 0

，所以

b < 0

，不是正值。(C) 圖形與

y

軸交於

(0, c)

，交點在

x

軸上方，

c > 0

，是正值。(D) 圖形與

x

軸沒有交點，方程式

a x^{2} + b x + c = 0

沒有實根，

b^{2} - 4 a c < 0

，不是正值。(E)

a > 0

、

- b > 0

、

2 c > 0

，三個正數相加，

a - b + 2 c > 0

，是正值。

(E) 也可以寫成

(a - b + c) + c = g (- 1) + g (0)

；整個圖形都在

x

軸上方，兩個函數值都是正的。

第 8 題答案 (B)(C)(E)。先求四個頂點：

3 x + y = 3

與

x - 2 y = - 8

交於

(- \frac{2}{7}, \frac{27}{7})

；

x - 2 y = - 8

與

x + y = 6

交於

(\frac{4}{3}, \frac{14}{3})

；

x + y = 6

與

- x + y = - 3

交於

(\frac{9}{2}, \frac{3}{2})

；

- x + y = - 3

與

3 x + y = 3

交於

(\frac{3}{2}, - \frac{3}{2})

。四邊形在每一條邊的同一側，拿不在那條邊上的頂點代入就知道是哪一側。(A) 把

(\frac{3}{2}, - \frac{3}{2})

代入

x + y

得

0 < 6

，區域滿足

a + b \leq 6

，不是

\geq 6

，錯誤。(B) 把

(\frac{4}{3}, \frac{14}{3})

代入

- x + y

得

\frac{10}{3} > - 3

，區域滿足

- a + b \geq - 3

，正確。(C) 把

(\frac{9}{2}, \frac{3}{2})

代入

3 x + y

得

15 > 3

，區域滿足

3 a + b \geq 3

，正確。(D) 把

(\frac{3}{2}, - \frac{3}{2})

代入

x - 2 y

得

\frac{9}{2} > - 8

，區域滿足

a - 2 b \geq - 8

，不是

\leq - 8

，錯誤。(E) 四邊形內各點的

x

坐標介於最左與最右的頂點之間，四個頂點的

x

坐標是

- \frac{2}{7}

、

\frac{4}{3}

、

\frac{9}{2}

、

\frac{3}{2}

，所以

- \frac{2}{7} \leq a \leq \frac{9}{2}

，正確。

(A)、(D) 只有在那一條邊上的點才會成立（等號），區域內其他的點都不成立，所以不是恆成立。

第 9 題答案 (A)(B)(C)(D)(E)。

f (x)

是三次式，除以三次式

(x + 3)^{3}

的商是常數，比較

x^{3}

的係數知道商就是

a

，所以

f (x) = a (x + 3)^{3} - 4 x - 11

。比較常數項：

27 a - 11 = 43

，

a = 2

，(A) 正確。把

- 4 x - 11

改寫成

- 4 (x + 3) + 1

，得

f (x) = 2 (x + 3)^{3} - 4 (x + 3) + 1

。(B) 由餘式定理，

f (x)

除以

x + 3

的餘式是

f (- 3) = 0 - 0 + 1 = 1

，正確。(C) 向右平移

3

單位是把

x

換成

x - 3

：

y = 2 x^{3} - 4 x + 1

；再向下平移

1

單位：

y = 2 x^{3} - 4 x

，正確。(D)

y = 2 x^{3} - 4 x

是奇函數，圖形的對稱中心是原點；把 (C) 的平移倒回去（向左

3

、向上

1

），

f (x)

圖形的對稱中心是

(- 3, 1)

，正確。(E)

f (x) = 2 (x + 3)^{3} - 4 (x + 3) + 1

沒有

(x + 3)^{2}

項；

x

很接近

- 3

時

(x + 3)^{3}

比

(x + 3)

小得多，留下一次以下的部分

y = - 4 (x + 3) + 1 = - 4 x - 11

，就是

f (x)

在

x = - 3

附近的一次近似，正確。

展開可得

f (x) = 2 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x + 43

，即

b = 18

、

c = 50

，常數項確實是

43

。

04選填第 10、11 題（原卷 A、B）：函數的極限、夾擠定理

第 10 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

a + 1 + b = 0

，

b = - a - 1

。代回分子：

a x^{2} + x - a - 1 = a (x^{2} - 1) + (x - 1) = (x - 1) (a x + a + 1)

。所以

x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( a x + a + 1 )}{x - 1} = x \to 1 lim (a x + a + 1) = 2 a + 1 = 4

，得

a = \frac{3}{2}

，

b = - \frac{5}{2}

。

4 a + 2 b = 6 - 5 = 1

。

若分子不趨近

0

，分式的絕對值會隨

x

接近

1

而無限制變大，極限不存在。

第 11 題左邊

\frac{4 n ^{2} - 2 n + 1}{2 n ^{2}} = 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2 n ^{2}}

，右邊

\frac{4 n ^{2} + 2 n + 1}{2 n ^{2}} = 2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{2 n ^{2}}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

、

\frac{1}{2 n ^{2}} \to 0

，兩邊的極限都是

2

。

c_{n}

夾在中間，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = 2

。

05選填第 12、13 題（原卷 C、D）：相關係數、遞迴數列

第 12 題把

X

換成

pX + q

、

Y

換成

r Y + s

時，

p

與

r

同號則相關係數不變，異號則變號；加減常數不影響。這裡

3 X - 5

與

5 Y + 3

的係數

3

、

5

都是正的，所以相關係數仍是

0.87

。

相關係數是用標準化後的數據算的；每個數據乘以正數再加常數，標準化後的值不變。原卷的兩個答案格依序填

8

與

7

。

第 13 題逐項算出來找規律：

a_{1} = 99

；

a_{2} = \frac{1 + 99}{1 - 99} = - \frac{50}{49}

；

a_{3} = \frac{1 - \frac{50}{49}}{1 + \frac{50}{49}} = \frac{- 1}{99} = - \frac{1}{99}

；

a_{4} = \frac{1 - \frac{1}{99}}{1 + \frac{1}{99}} = \frac{98}{100} = \frac{49}{50}

；

a_{5} = \frac{1 + \frac{49}{50}}{1 - \frac{49}{50}} = 99 = a_{1}

。之後每

4

項循環一次。

2013 = 4 \times 503 + 1

，所以

a_{2013} = a_{1} = 99

。

一般來說，

a_{n + 2} = \frac{1 + a _{n + 1}}{1 - a _{n + 1}} = \frac{( 1 - a _{n} ) + ( 1 + a _{n} )}{( 1 - a _{n} ) - ( 1 + a _{n} )} = - \frac{1}{a _{n}}

，所以

a_{n + 4} = - \frac{1}{a _{n + 2}} = a_{n}

。

06選填第 14、15 題（原卷 E、F）：切點與外接圓、二次函數的最大值

第 14 題配方：

(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

，圓心

K (4, - 3)

、半徑

5

。

\overline{P K}^{2} = (2 - 4)^{2} + (3 + 3)^{2} = 40 > 25

，

P

在圓外，可以作兩條切線。切線與過切點的半徑垂直，所以

∠ P A K = ∠ P B K = 9 0^{\circ}

；直徑所對的圓周角是直角，因此

A

、

B

都在以

\overline{P K}

為直徑的圓上，這個圓通過

P

、

A

、

B

，就是

△ P A B

的外接圓。圓心是

\overline{P K}

的中點

(\frac{2 + 4}{2}, \frac{3 - 3}{2}) = (3, 0)

，半徑的平方是

\frac{P K ^{2}}{4} = 10

。方程式為

(x - 3)^{2} + y^{2} = 10

，

a + b + c = 3 + 0 + 10 = 13

。

不必把切點

A

、

B

的坐標求出來。

第 15 題竹籬長

73

公尺，加上兩個不圍的出入口

4

公尺與

3

公尺，矩形的周長是

73 + 4 + 3 = 80

公尺，所以長與寬的和是

40

公尺。設一邊長

x

公尺，另一邊長

40 - x

公尺，面積

x (40 - x) = - x^{2} + 40 x = - (x - 20)^{2} + 400

。

x = 20

時面積最大，最大面積是

400

平方公尺。

此時兩邊都是

20

公尺，比出入口的寬度

4

公尺、

3

公尺長，留得出出入口，所以這個最大值做得到。

周長固定的矩形，長與寬相等時面積最大。

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基隆高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題左右極限不相等，極限不存在；第 8 題要先分清楚區域在每條邊的哪一側，選項 A 與 D 的不等號方向相反；第 9 題五個選項全對，關鍵是把函數改寫成以 x 加 3 為中心的形式；第 14 題兩個切點都在以圓外那一點與圓心的連線為直徑的圓上，不必求切點。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自基隆高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：第一、二冊複習＋極限與函數（數列的極限、函數的概念、函數的極限、連續函數）

基隆高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、單選題(4 小題，每格 7 分，答錯不倒扣，共 28 分)

已知函數

f (x) = 2 x - 3

，若

f (x)

與

g (x)

互為反函數，則

g (x)

為下列何者？

(A) $g (x) = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
(B) $g (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{3}$
(C) $g (x) = - 2 x + 3$
(D) $g (x) = - 3 x + 2$
(E) $g (x) = \frac{1}{2 x - 3}$

已知函數

f (x) = {x^{2} - 2, a x + 2, 當 x \geq 1 當 x < 1

在

x = 1

處連續，求實數

a

的值。

(A) $1$
(B) $2$
(C) $0$
(D) $- 3$
(E) $- 2$

求

n \to \infty lim \frac{3 ^{n} - 2 ^{n + 1}}{2 ^{n - 1} + 3 ^{n + 1}} =

(A) $0$
(B) $\frac{1}{3}$
(C) $1$
(D) $\frac{2}{3}$
(E) $\frac{3}{2}$

若函數

f (x) = \frac{∣ x ∣ - x}{x}

，則

x \to 0 lim f (x)

的值為

(A) $- 2$
(B) $0$
(C) $1$
(D) $2$
(E) 不存在

二、多選題(5 小題，每格 6 分，全對得 6 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上選項或未作答者該題 0 分，共 30 分)

下列何者表

y

是

x

的函數？（各選項的圖形見附圖）

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

已知函數

f (x) = 3 x^{4} + 5

，

g (x) = sin x

，

h (x) = x^{3} + 5

，選出正確的選項。

(A) $f (x)$ 為偶函數
(B) $f (x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(C) $g (x)$ 的圖形對稱於原點
(D) $h (x)$ 為偶函數
(E) $h (x)$ 為奇函數

函數

g (x) = a x^{2} + b x + c

的圖形如圖所示，試選出下列為正值的選項

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $b^{2} - 4 a c$
(E) $a - b + 2 c$

載入中...

如圖所示之四邊形，其四邊之直線方程式分別為

x + y = 6

，

- x + y = - 3

，

3 x + y = 3

，

x - 2 y = - 8

，若

P (a, b)

在四邊形區域內（含邊界），則下列哪些不等式恆成立？

(A) $a + b \geq 6$
(B) $- a + b \geq - 3$
(C) $3 a + b \geq 3$
(D) $a - 2 b \leq - 8$
(E) $- \frac{2}{7} \leq a \leq \frac{9}{2}$

載入中...

已知三次多項式

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 43

除以

(x + 3)^{3}

的餘式為

- 4 x - 11

，試問下列哪些選項是正確的？

(A) $a = 2$
(B) $f (x)$ 除以 $x + 3$ 的餘式為 $1$
(C) 將函數 $f (x)$ 的圖形向右平移 $3$ 單位，再向下平移 $1$ 單位，可得到 $y = 2 x^{3} - 4 x$ 的圖形
(D) 函數 $f (x)$ 圖形的對稱中心為點 $(- 3, 1)$
(E) $y = - 4 x - 11$ 為 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 附近的一次近似

三、選填題(6 小格，每格 7 分，共 42 分)｜原卷題號為 A～F（答案格編號 (10)～(20)），本頁依序編為第 10～15 題。

若

x \to 1 lim \frac{a x ^{2} + x + b}{x - 1} = 4

，則

4 a + 2 b

的值為 ____。

已知無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

中的每一項都滿足

\frac{4 n ^{2} - 2 n + 1}{2 n ^{2}} \leq c_{n} \leq \frac{4 n ^{2} + 2 n + 1}{2 n ^{2}}

，求

n \to \infty lim c_{n}

的值為 ____。

設兩變量

X

與

Y

的相關係數為

0.87

，則變數

3 X - 5

，

5 Y + 3

的相關係數為 ____。（原卷的答案格為「0.」後面填兩格）

數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{1} = 99

且

a_{n + 1} = \frac{1 + a _{n}}{1 - a _{n}}

，則

a_{2013} =

____。（原卷的答案格為兩格）

過

P (2, 3)

作圓

C : x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = 0

的兩切線，切點為

A

、

B

，則

△ P A B

的外接圓方程式為

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = c

，則

a + b + c =

____。（原卷的答案格為兩格）

73

公尺的竹籬圍成一個矩形的休閒農場，其中兩邊各留寬為

4

公尺與

3

公尺不圍竹籬，預計作為出入口使用，如略圖。則此休閒農場的最大面積為 ____ 平方公尺。（原卷的答案格為三格）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(E)

第 5 題(A)(B)(D)(E)

第 6 題(A)(B)(C)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(B)(C)(E)

第 9 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 10 題

1

第 11 題

2

第 12 題

0.87

第 13 題

99

第 14 題

13

第 15 題

400

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1～4 題：反函數、連續、數列的極限、左右極限

第 1 題答案 (A)。令

y = 2 x - 3

，把

x

用

y

表示：

x = \frac{y + 3}{2}

。反函數是把這個對應倒過來，所以

g (x) = \frac{x + 3}{2} = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

。

檢查：

f (g (x)) = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) - 3 = x

，

g (f (x)) = \frac{1}{2} (2 x - 3) + \frac{3}{2} = x

。(E) 是

f (x)

的倒數，不是反函數。

第 2 題答案 (D)。

f (x)

在

x = 1

連續，表示左極限、右極限與

f (1)

三者相等。

x \geq 1

時用

x^{2} - 2

：

f (1) = 1 - 2 = - 1

，右極限也是

- 1

。

x < 1

時用

a x + 2

：左極限是

a + 2

。所以

a + 2 = - 1

，

a = - 3

。

第 3 題答案 (B)。底數最大的是

3

，分子分母同除以

3^{n}

：

\frac{3 ^{n} - 2 ^{n + 1}}{2 ^{n - 1} + 3 ^{n + 1}} = \frac{1 - 2 ( \frac{2}{3} ) ^{n}}{\frac{1}{2} ( \frac{2}{3} ) ^{n} + 3}

。

n \to \infty

時

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

，所以極限是

\frac{1 - 0}{0 + 3} = \frac{1}{3}

。

2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n}

、

2^{n - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n}

、

3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}

，先把指數拆開再同除。

第 4 題答案 (E)。

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

f (x) = \frac{x - x}{x} = 0

，所以右極限

x \to 0^{+} lim f (x) = 0

。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

f (x) = \frac{- x - x}{x} = - 2

，所以左極限

x \to 0^{-} lim f (x) = - 2

。左右極限不相等，

x \to 0 lim f (x)

不存在。

02多選第 5、6 題：函數的判斷、奇函數與偶函數

第 5 題答案 (A)(B)(D)(E)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

只對應到一個

y

；在圖上就是任何一條鉛直線與圖形最多只交於一點。(A) 三段水平線段上下錯開，在交界的

x

值，上一段的端點是空心（不包含）、下一段的端點是實心（包含），所以每個

x

只對應一個

y

，是函數。(B) 曲線雖然上下起伏，但每條鉛直線只與它交於一點，是函數。(C) 圓：圓內的鉛直線與圓交於上下兩點，一個

x

對應兩個

y

，不是函數。(D) 兩支曲線分別在

y

軸的右邊與左邊，每條鉛直線最多只交於一點（

x = 0

時沒有交點，表示

0

不在定義域內），是函數。(E) 開口向上的拋物線，每條鉛直線只交於一點，是函數。

水平線與圖形交於很多點沒有關係（例如 (B)、(E)），那只表示不同的

x

對應到同一個

y

。

第 6 題答案 (A)(B)(C)。(A)

f (- x) = 3 (- x)^{4} + 5 = 3 x^{4} + 5 = f (x)

，是偶函數，正確。(B) 偶函數的圖形對稱於

y

軸，正確。(C)

g (- x) = sin (- x) = - sin x = - g (x)

，是奇函數，圖形對稱於原點，正確。(D)

h (- x) = - x^{3} + 5

，與

h (x) = x^{3} + 5

不相等（例如

h (1) = 6

、

h (- 1) = 4

），不是偶函數，錯誤。(E)

- h (x) = - x^{3} - 5

，與

h (- x) = - x^{3} + 5

不相等（例如

h (- 1) = 4

，而

- h (1) = - 6

），不是奇函數，錯誤。

h (x)

的圖形是把奇函數

y = x^{3}

向上平移

5

單位，對稱中心從原點移到

(0, 5)

，所以它既不是奇函數也不是偶函數。

03多選第 7～9 題：二次函數的圖形、不等式的區域、三次函數

第 7 題答案 (A)(C)(E)。(A) 圖形開口向上，

a > 0

，是正值。(B) 頂點在

y

軸右邊，頂點的

x

坐標

- \frac{b}{2 a} > 0

；又

a > 0

，所以

b < 0

，不是正值。(C) 圖形與

y

軸交於

(0, c)

，交點在

x

軸上方，

c > 0

，是正值。(D) 圖形與

x

軸沒有交點，方程式

a x^{2} + b x + c = 0

沒有實根，

b^{2} - 4 a c < 0

，不是正值。(E)

a > 0

、

- b > 0

、

2 c > 0

，三個正數相加，

a - b + 2 c > 0

，是正值。

(E) 也可以寫成

(a - b + c) + c = g (- 1) + g (0)

；整個圖形都在

x

軸上方，兩個函數值都是正的。

第 8 題答案 (B)(C)(E)。先求四個頂點：

3 x + y = 3

與

x - 2 y = - 8

交於

(- \frac{2}{7}, \frac{27}{7})

；

x - 2 y = - 8

與

x + y = 6

交於

(\frac{4}{3}, \frac{14}{3})

；

x + y = 6

與

- x + y = - 3

交於

(\frac{9}{2}, \frac{3}{2})

；

- x + y = - 3

與

3 x + y = 3

交於

(\frac{3}{2}, - \frac{3}{2})

。四邊形在每一條邊的同一側，拿不在那條邊上的頂點代入就知道是哪一側。(A) 把

(\frac{3}{2}, - \frac{3}{2})

代入

x + y

得

0 < 6

，區域滿足

a + b \leq 6

，不是

\geq 6

，錯誤。(B) 把

(\frac{4}{3}, \frac{14}{3})

代入

- x + y

得

\frac{10}{3} > - 3

，區域滿足

- a + b \geq - 3

，正確。(C) 把

(\frac{9}{2}, \frac{3}{2})

代入

3 x + y

得

15 > 3

，區域滿足

3 a + b \geq 3

，正確。(D) 把

(\frac{3}{2}, - \frac{3}{2})

代入

x - 2 y

得

\frac{9}{2} > - 8

，區域滿足

a - 2 b \geq - 8

，不是

\leq - 8

，錯誤。(E) 四邊形內各點的

x

坐標介於最左與最右的頂點之間，四個頂點的

x

坐標是

- \frac{2}{7}

、

\frac{4}{3}

、

\frac{9}{2}

、

\frac{3}{2}

，所以

- \frac{2}{7} \leq a \leq \frac{9}{2}

，正確。

(A)、(D) 只有在那一條邊上的點才會成立（等號），區域內其他的點都不成立，所以不是恆成立。

第 9 題答案 (A)(B)(C)(D)(E)。

f (x)

是三次式，除以三次式

(x + 3)^{3}

的商是常數，比較

x^{3}

的係數知道商就是

a

，所以

f (x) = a (x + 3)^{3} - 4 x - 11

。比較常數項：

27 a - 11 = 43

，

a = 2

，(A) 正確。把

- 4 x - 11

改寫成

- 4 (x + 3) + 1

，得

f (x) = 2 (x + 3)^{3} - 4 (x + 3) + 1

。(B) 由餘式定理，

f (x)

除以

x + 3

的餘式是

f (- 3) = 0 - 0 + 1 = 1

，正確。(C) 向右平移

3

單位是把

x

換成

x - 3

：

y = 2 x^{3} - 4 x + 1

；再向下平移

1

單位：

y = 2 x^{3} - 4 x

，正確。(D)

y = 2 x^{3} - 4 x

是奇函數，圖形的對稱中心是原點；把 (C) 的平移倒回去（向左

3

、向上

1

），

f (x)

圖形的對稱中心是

(- 3, 1)

，正確。(E)

f (x) = 2 (x + 3)^{3} - 4 (x + 3) + 1

沒有

(x + 3)^{2}

項；

x

很接近

- 3

時

(x + 3)^{3}

比

(x + 3)

小得多，留下一次以下的部分

y = - 4 (x + 3) + 1 = - 4 x - 11

，就是

f (x)

在

x = - 3

附近的一次近似，正確。

展開可得

f (x) = 2 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x + 43

，即

b = 18

、

c = 50

，常數項確實是

43

。

04選填第 10、11 題（原卷 A、B）：函數的極限、夾擠定理

第 10 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

a + 1 + b = 0

，

b = - a - 1

。代回分子：

a x^{2} + x - a - 1 = a (x^{2} - 1) + (x - 1) = (x - 1) (a x + a + 1)

。所以

x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( a x + a + 1 )}{x - 1} = x \to 1 lim (a x + a + 1) = 2 a + 1 = 4

，得

a = \frac{3}{2}

，

b = - \frac{5}{2}

。

4 a + 2 b = 6 - 5 = 1

。

若分子不趨近

0

，分式的絕對值會隨

x

接近

1

而無限制變大，極限不存在。

第 11 題左邊

\frac{4 n ^{2} - 2 n + 1}{2 n ^{2}} = 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2 n ^{2}}

，右邊

\frac{4 n ^{2} + 2 n + 1}{2 n ^{2}} = 2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{2 n ^{2}}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

、

\frac{1}{2 n ^{2}} \to 0

，兩邊的極限都是

2

。

c_{n}

夾在中間，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = 2

。

05選填第 12、13 題（原卷 C、D）：相關係數、遞迴數列

第 12 題把

X

換成

pX + q

、

Y

換成

r Y + s

時，

p

與

r

同號則相關係數不變，異號則變號；加減常數不影響。這裡

3 X - 5

與

5 Y + 3

的係數

3

、

5

都是正的，所以相關係數仍是

0.87

。

相關係數是用標準化後的數據算的；每個數據乘以正數再加常數，標準化後的值不變。原卷的兩個答案格依序填

8

與

7

。

第 13 題逐項算出來找規律：

a_{1} = 99

；

a_{2} = \frac{1 + 99}{1 - 99} = - \frac{50}{49}

；

a_{3} = \frac{1 - \frac{50}{49}}{1 + \frac{50}{49}} = \frac{- 1}{99} = - \frac{1}{99}

；

a_{4} = \frac{1 - \frac{1}{99}}{1 + \frac{1}{99}} = \frac{98}{100} = \frac{49}{50}

；

a_{5} = \frac{1 + \frac{49}{50}}{1 - \frac{49}{50}} = 99 = a_{1}

。之後每

4

項循環一次。

2013 = 4 \times 503 + 1

，所以

a_{2013} = a_{1} = 99

。

一般來說，

a_{n + 2} = \frac{1 + a _{n + 1}}{1 - a _{n + 1}} = \frac{( 1 - a _{n} ) + ( 1 + a _{n} )}{( 1 - a _{n} ) - ( 1 + a _{n} )} = - \frac{1}{a _{n}}

，所以

a_{n + 4} = - \frac{1}{a _{n + 2}} = a_{n}

。

06選填第 14、15 題（原卷 E、F）：切點與外接圓、二次函數的最大值

第 14 題配方：

(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

，圓心

K (4, - 3)

、半徑

5

。

\overline{P K}^{2} = (2 - 4)^{2} + (3 + 3)^{2} = 40 > 25

，

P

在圓外，可以作兩條切線。切線與過切點的半徑垂直，所以

∠ P A K = ∠ P B K = 9 0^{\circ}

；直徑所對的圓周角是直角，因此

A

、

B

都在以

\overline{P K}

為直徑的圓上，這個圓通過

P

、

A

、

B

，就是

△ P A B

的外接圓。圓心是

\overline{P K}

的中點

(\frac{2 + 4}{2}, \frac{3 - 3}{2}) = (3, 0)

，半徑的平方是

\frac{P K ^{2}}{4} = 10

。方程式為

(x - 3)^{2} + y^{2} = 10

，

a + b + c = 3 + 0 + 10 = 13

。

不必把切點

A

、

B

的坐標求出來。

第 15 題竹籬長

73

公尺，加上兩個不圍的出入口

4

公尺與

3

公尺，矩形的周長是

73 + 4 + 3 = 80

公尺，所以長與寬的和是

40

公尺。設一邊長

x

公尺，另一邊長

40 - x

公尺，面積

x (40 - x) = - x^{2} + 40 x = - (x - 20)^{2} + 400

。

x = 20

時面積最大，最大面積是

400

平方公尺。

此時兩邊都是

20

公尺，比出入口的寬度

4

公尺、

3

公尺長，留得出出入口，所以這個最大值做得到。

周長固定的矩形，長與寬相等時面積最大。

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02多選第 5、6 題：函數的判斷、奇函數與偶函數

03多選第 7～9 題：二次函數的圖形、不等式的區域、三次函數

04選填第 10、11 題（原卷 A、B）：函數的極限、夾擠定理

05選填第 12、13 題（原卷 C、D）：相關係數、遞迴數列

06選填第 14、15 題（原卷 E、F）：切點與外接圓、二次函數的最大值

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基隆高中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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基隆高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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