段考詳解範圍：極限與函數（函數的定義域、值域與合成、數列的極限、Σ 求和、無窮等比級數與循環小數、函數的極限與連續）

蘭陽女中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 蘭陽女中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 蘭陽女中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填 H（本頁第 17 題）要先看出分母也必須趨近 0，才能列出係數的關係；選填 F（第 15 題）要把 b_n 夾在兩個式子中間再用夾擠定理；選填 C（第 10 題）每往下一層三角形個數變 2 倍、每個面積變四分之一，公比是二分之一；單選第 3 題要分清楚實心點的函數值與左右極限。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 3 題、多選題 2 題、選填題 A～K 共 15 小題，全卷 20 題。選填題原卷題號是 A～K，其中 A、E 各有三小題，本頁依序編為第 6～20 題。原卷未印配分。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題全部一致。

一、單選題

設

f (x) = \frac{1}{1 - x}

，請問

f (x)

的定義域為何？

(1) ${x \in R ∣ x > 0}$
(2) ${x \in R ∣ x < 0}$
(3) ${x \in R ∣ x > 1}$
(4) ${x \in R ∣ x < 1}$
(5) ${x \in R ∣ 0 < x < 1}$

設

f (x) = x^{2} + 2 x + 2

，請問

f (x)

的值域為何？

(1) ${y \in R ∣ y \geq 0}$
(2) ${y \in R ∣ y \geq 1}$
(3) ${y \in R ∣ y \geq 2}$
(4) $R$
(5) 以上皆非

已知函數

y = f (x)

的圖形如附圖：選出所有正確的選項。

(1) $x \to 1 lim f (x)$ 不存在
(2) $x \to 2 lim f (x) = 0$
(3) $x \to 3 lim f (x) = 2$
(4) $x \to 4 lim f (x) = 2$
(5) $x \to 5 lim f (x) = 2$

載入中...

二、多選題

判斷下列各無窮數列何者為收斂數列？

(1) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$
(2) $⟨ 2 - \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(3) $⟨ π^{n} ⟩$
(4) $⟨ \frac{( - 5 ) ^{n}}{6 ^{n + 1}} ⟩$
(5) $⟨ 2 ⟩$

判斷下列各無窮級數何者為收斂級數？（各選項

Σ

下方的足標卷面印

k = 1

，而 (1)(3)(5) 的一般項卷面印作

n

次方，照卷面原樣；依題意應是同一個足標）

(1) $k = 1 \sum \infty (- 1)^{n}$
(2) $k = 1 \sum \infty 2$
(3) $k = 1 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n}$
(4) $k = 1 \sum \infty (2 k + 1)$
(5) $k = 1 \sum \infty (- \frac{2}{3})^{n}$

三、選填題

選填 A（第 6～8 題）　求下列各極限。

(1)

n \to \infty lim \frac{- 2 n ^{2} + 5}{3 n ^{2} - 1} =

____。（原卷的答案格式為分數，分子兩格、分母一格）

(2)

n \to \infty lim \frac{2 n ^{2} - n + 3}{n ^{3} + n + 1} =

____。

(3)

n \to \infty lim \frac{2 ^{n} + 3 ^{n + 2}}{2 ^{n + 1} + 3 ^{n}} =

____。

已知首項為

a

，公比為

0. \overline{12}

的無窮等比級數和為

\frac{3}{2}

，求首項

a

的值

=

____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各兩格）

如圖所示，第一層的正方形中有

1

個黑色等腰直角三角形，第二層的兩個全等正方形中各有

1

個黑色等腰直角三角形，第三層的四個全等正方形中各有

1

個黑色等腰直角三角形，……，以此類推，可得到無窮多個黑色等腰直角三角形。設第一層的黑色三角形的面積為

3

，並令

a_{n}

代表第

n

層黑色三角形面積的總和。試求所有黑色三角形面積的總和

=

____。

載入中...

k = 1 \sum 6 k (k - 2) =

____。（原卷的答案格式為兩格）

選填 E（第 12～14 題）　求下列各極限。

(1)

x \to - 1 lim (x^{2} + x - 3) =

____。（原卷的答案格式為兩格）

(2)

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} =

____。

(3)

x \to 3 lim (\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{2}{x ^{2} - 4 x + 3}) =

____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

已知對任意正整數

n

，不等式

b_{n} + \frac{2 n - 11}{n} \leq a_{n} \leq 2 b_{n}

恆成立，且

n \to \infty lim a_{n} = 4

，求

n \to \infty lim b_{n} =

____。

已知函數

f (x) = {x^{2} + 5, a x + 3, 當 x \geq 2 當 x < 2

在

x = 2

處連續，求實數

a

的值

=

____。

已知

a, b

為實數且

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + a x + b} = \frac{1}{2}

，求數對

(a, b)

的值

=

____。（原卷的答案格式：

a

一格、

b

兩格）

已知三次多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = - 2

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 3

，求

f (3) =

____。

求極限

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x - 2}{∣ x ∣ - 1} =

____。

已知函數

f (x) = 2 x + 3

與

g (x) = x^{2} - 1

，求合成函數

(f \circ g) (x) =

____

x^{2} +

____

x +

____。（三格各填一個數）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(5)

第 4 題(2)(4)(5)

第 5 題(3)(5)

第 6 題

- \frac{2}{3}

第 7 題

0

第 8 題

9

第 9 題

\frac{29}{22}

第 10 題

6

第 11 題

49

第 12 題

- 3

第 13 題

6

第 14 題

\frac{1}{2}

第 15 題

2

第 16 題

3

第 17 題

(2, - 3)

第 18 題

8

第 19 題

3

第 20 題

2 x^{2} + 1

（三格依序填

2

、

0

、

1

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：定義域與值域

第 1 題答案 (4)。根號裡面要大於或等於

0

，所以

1 - x \geq 0

；又

1 - x

在分母，不可為

0

，所以

1 - x \neq = 0

。兩個條件合起來是

1 - x > 0

，即

x < 1

。定義域是

{x \in R ∣ x < 1}

。

選項 (5) 多加了

x > 0

的限制，但例如

x = - 3

時

f (- 3) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

有意義，負數也在定義域裡。

第 2 題答案 (2)。配方：

f (x) = x^{2} + 2 x + 2 = (x + 1)^{2} + 1

。因為

(x + 1)^{2} \geq 0

，所以

f (x) \geq 1

，等號在

x = - 1

時成立；而

(x + 1)^{2}

可以是任何不小於

0

的數，所以每一個

y \geq 1

都取得到。值域是

{y \in R ∣ y \geq 1}

。

選項 (3) 的

2

是常數項，也就是

f (0)

，不是最小值；最小值要配方後才看得出來。

02單選第 3 題：由圖形讀極限

第 3 題答案 (5)。先讀圖（實心點是函數值，空心點表示那一點不在圖形上）。在

x = 1

：曲線連續地通過實心點

(1, 1)

，左右兩邊都靠近

1

，極限是

1

。在

x = 2

：左邊的曲線一直往上衝，右邊的曲線從下方很低的地方出發，兩邊沒有靠近同一個數。在

x = 3

：左邊的曲線走向空心點

(3, 1)

，右邊的線段也從空心點

(3, 1)

出發，左右極限都是

1

；另有實心點

(3, 2)

，所以

f (3) = 2

。在

x = 4

：左邊的線段走到實心點

(4, 2)

，左極限是

2

；右邊的線段從空心點

(4, 1)

出發，右極限是

1

。在

x = 5

：右邊那條線段從

(4, 1)

以斜率

1

往右上，經過

(5, 2)

，在那裡沒有斷開。逐項判斷：(1) 在

1

的極限存在（等於

1

），錯。(2) 在

2

的左右兩邊不靠近同一個數，極限不存在，更不會是

0

，錯。(3) 在

3

的極限是

1

，

2

是函數值

f (3)

，錯。(4) 在

4

的左極限

2

、右極限

1

不相等，極限不存在，錯。(5) 在

5

的極限是

2

，正確。

這一題卷面排在單選題，題幹寫「選出所有正確的選項」；五個選項中只有 (5) 正確，與學校答案相同。極限只看

x

靠近那一點時函數值往哪裡去，和那一點本身的函數值無關，選項 (3) 就是把兩者弄混。

讀圖求極限：分別看左邊、右邊的圖形走向哪個高度，兩邊相同極限才存在；實心點只決定函數值。

03多選第 4、5 題：數列與級數的收斂、發散

第 4 題答案 (2)(4)(5)。(1)

(- 1)^{n}

的值是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，在兩個數之間跳動，不會趨近一個定數，發散。(2) 當

n \to \infty

時

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，所以

2 - \frac{1}{n ^{2}} \to 2

，收斂。(3)

π > 1

，

π^{n}

無限制地變大，發散。(4)

\frac{( - 5 ) ^{n}}{6 ^{n + 1}} = \frac{1}{6} (- \frac{5}{6})^{n}

，公比

- \frac{5}{6}

的絕對值小於

1

，所以趨近

0

，收斂。(5) 每一項都是

2

，收斂到

2

。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。選項 (4) 要先把

6^{n + 1}

拆成

6 \times 6^{n}

，才看得出公比。

第 5 題答案 (3)(5)。把各選項的一般項與足標看成同一個文字來判斷。(1) 部分和依序是

- 1, 0, - 1, 0, \dots

，不趨近一個定數，發散。(2) 前

n

項的和是

2 n

，無限制地變大，發散。(3) 首項

\frac{1}{2}

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，

∣ r ∣ < 1

，收斂，和為

\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

。(4) 一般項

2 k + 1

愈來愈大，部分和無限制地變大，發散。(5) 首項

- \frac{2}{3}

、公比

- \frac{2}{3}

，

∣ r ∣ < 1

，收斂，和為

\frac{- \frac{2}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = - \frac{2}{5}

。

無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是

∣ r ∣ < 1

，比等比數列的條件少了

r = 1

：選項 (2) 可看成公比

1

的等比級數，數列

⟨ 2 ⟩

收斂（第 4 題選項 (5)），級數卻發散。卷面 (1)(3)(5) 的

Σ

下方印

k = 1

、一般項印

n

次方；若照字面把

n

當成與

k

無關的固定數，每一項都是同一個不為

0

的常數，五個級數都會發散，題目就沒有答案，所以應是足標的文字不一致。

04選填 A、F（第 6～8、15 題）：數列的極限、夾擠定理

第 6 題答案

- \frac{2}{3}

。分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 2 n ^{2} + 5}{3 n ^{2} - 1} = \frac{- 2 + \frac{5}{n ^{2}}}{3 - \frac{1}{n ^{2}}}

。當

n \to \infty

時

\frac{5}{n ^{2}} \to 0

、

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，所以極限是

\frac{- 2}{3} = - \frac{2}{3}

。

第 7 題答案

0

。分子分母同除以分母的最高次

n^{3}

：

\frac{2 n ^{2} - n + 3}{n ^{3} + n + 1} = \frac{\frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2}} + \frac{3}{n ^{3}}}{1 + \frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{n ^{3}}}

。當

n \to \infty

時分子趨近

0

、分母趨近

1

，所以極限是

0

。

第 8 題答案

9

。先把指數拆開：

3^{n + 2} = 9 \times 3^{n}

、

2^{n + 1} = 2 \times 2^{n}

。分子分母同除以底數最大的

3^{n}

：

\frac{2 ^{n} + 9 \times 3 ^{n}}{2 \times 2 ^{n} + 3 ^{n}} = \frac{( \frac{2}{3} ) ^{n} + 9}{2 ( \frac{2}{3} ) ^{n} + 1}

。當

n \to \infty

時

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

，所以極限是

\frac{0 + 9}{0 + 1} = 9

。

第 15 題答案

2

。把

b_{n}

夾在中間。由右半

a_{n} \leq 2 b_{n}

得

b_{n} \geq \frac{a _{n}}{2}

；由左半

b_{n} + \frac{2 n - 11}{n} \leq a_{n}

得

b_{n} \leq a_{n} - \frac{2 n - 11}{n}

。所以

\frac{a _{n}}{2} \leq b_{n} \leq a_{n} - (2 - \frac{11}{n})

。當

n \to \infty

時，左邊

\to \frac{4}{2} = 2

，右邊

\to 4 - 2 = 2

。兩邊的極限相同，由夾擠定理，

n \to \infty lim b_{n} = 2

。

題目沒有先說

⟨ b_{n} ⟩

收斂，所以不宜直接對原不等式兩邊取極限；先把

b_{n}

夾在兩個已知會收斂的式子中間，再用夾擠定理。

分式型的數列極限：多項式同除以分母的最高次，指數型同除以底數最大的那一項。

05選填 B、C、D（第 9～11 題）：循環小數、無窮等比級數、Σ 求和

第 9 題答案

\frac{29}{22}

。先把公比化成分數：循環節是

12

兩位，

0. \overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}

。公比的絕對值小於

1

，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - r}

。由

\frac{a}{1 - \frac{4}{33}} = \frac{3}{2}

得

a = \frac{3}{2} \times \frac{29}{33} = \frac{29}{22}

。

0. \overline{12} = 0.121212 \dots

是首項

0.12

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.12}{0.99} = \frac{12}{99}

。

第 10 題答案

6

。設第一層正方形的邊長是

s

。黑色三角形以正方形的一邊為底、以正方形的中心為頂點，底是

s

、高是

\frac{s}{2}

，面積

\frac{1}{2} \times s \times \frac{s}{2} = \frac{s ^{2}}{4}

，也就是正方形面積的

\frac{1}{4}

。所以第一層正方形的面積是

12

，

a_{1} = 3

。第二層的正方形邊長是

\frac{s}{2}

，每個面積

\frac{12}{4} = 3

，每個黑色三角形面積

\frac{3}{4}

，兩個合計

a_{2} = \frac{3}{2}

。每往下一層，正方形的個數變成

2

倍，每個黑色三角形的面積變成

\frac{1}{4}

，所以

a_{n + 1} = 2 \times \frac{1}{4} \times a_{n} = \frac{1}{2} a_{n}

。

⟨ a_{n} ⟩

是首項

3

、公比

\frac{1}{2}

的等比數列，總和是

\frac{3}{1 - \frac{1}{2}} = 6

。

檢查：第三層有

4

個邊長

\frac{s}{4}

的正方形，每個黑色三角形面積

\frac{3}{16}

，合計

a_{3} = \frac{3}{4}

，確實是

a_{2}

的一半。

第 11 題答案

49

。

k = 1 \sum 6 k (k - 2) = k = 1 \sum 6 k^{2} - 2 k = 1 \sum 6 k = \frac{6 \times 7 \times 13}{6} - 2 \times \frac{6 \times 7}{2} = 91 - 42 = 49

。

項數只有

6

項，也可以直接列出來相加：

- 1 + 0 + 3 + 8 + 15 + 24 = 49

。

圖形題先算出前兩、三層的面積，確認公比，再用無窮等比級數的和公式（首項除以 1 減公比）。

06選填 E、J（第 12～14、19 題）：函數的極限

第 12 題答案

- 3

。多項式函數的極限可以直接代入：

(- 1)^{2} + (- 1) - 3 = - 3

。

第 13 題答案

6

。代入

x = 3

分子分母都是

0

，先分解：

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

。當

x \neq = 3

時原式

= x + 3

，所以極限是

3 + 3 = 6

。

第 14 題答案

\frac{1}{2}

。兩個分式在

x \to 3

時各自都沒有極限，不能分開算，要先通分。

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

，所以原式

= \frac{( x - 4 ) ( x - 1 ) + 2}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 1 ) ( x - 3 )}

。當

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{x - 2}{x - 1}

，極限是

\frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}

。

第 19 題答案

3

。

x

靠近

1

時

x

是正數，所以

∣ x ∣ = x

，分母就是

x - 1

。分子

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

，當

x \neq = 1

時原式

= x + 2

，極限是

1 + 2 = 3

。

絕對值要看

x

靠近的那個數附近的正負：這裡靠近的是

1

，左右兩邊都是正數，不必分兩邊討論。

07選填 G、H、I（第 16～18 題）：連續、由極限反求係數

第 16 題答案

3

。在

x = 2

連續的條件是

x \to 2 lim f (x) = f (2)

。函數值用

x \geq 2

的式子：

f (2) = 2^{2} + 5 = 9

，右極限也是

9

。左極限用

x < 2

的式子：

x \to 2^{-} lim (a x + 3) = 2 a + 3

。由

2 a + 3 = 9

得

a = 3

。

第 17 題答案

(2, - 3)

。當

x \to 1

時分子

x^{2} - 1 \to 0

。如果分母的極限

1 + a + b

不是

0

，整個分式的極限就是

0

，不會是

\frac{1}{2}

；所以

1 + a + b = 0

，即

b = - 1 - a

。此時分母

x^{2} + a x - 1 - a = (x - 1) (x + 1 + a)

，分子

= (x - 1) (x + 1)

，約去

x - 1

得

\frac{x + 1}{x + 1 + a}

，當

x \to 1

時趨近

\frac{2}{2 + a}

。由

\frac{2}{2 + a} = \frac{1}{2}

得

a = 2

，於是

b = - 3

。

檢查：

a = 2

、

b = - 3

時分母是

x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (x + 3)

，原式約分後是

\frac{x + 1}{x + 3}

，在

x \to 1

時趨近

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

。

第 18 題答案

8

。當

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

而極限存在，所以分子也要趨近

0

；

f (x)

是多項式，

x \to 1 lim f (x) = f (1)

，因此

f (1) = 0

。同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次式且有因式

x - 1

與

x - 2

，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。第一個條件：

\frac{f ( x )}{x - 1} = (x - 2) (p x + q)

，在

x \to 1

時趨近

- (p + q) = - 2

，得

p + q = 2

。第二個條件：

\frac{f ( x )}{x - 2} = (x - 1) (p x + q)

，在

x \to 2

時趨近

2 p + q = 3

。兩式相減得

p = 1

，於是

q = 1

。所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (x + 1)

，

f (3) = 2 \times 1 \times 4 = 8

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0；這個條件先用來求係數或找出公因式，約分之後再代入。

08選填 K（第 20 題）：合成函數

第 20 題答案

2 x^{2} + 1

，三格依序填

2

、

0

、

1

。

(f \circ g) (x) = f (g (x))

，把

g (x) = x^{2} - 1

整個代進

f

的

x

：

f (x^{2} - 1) = 2 (x^{2} - 1) + 3 = 2 x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 0 x + 1

。

順序不可顛倒：

(g \circ f) (x) = g (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} - 1 = 4 x^{2} + 12 x + 8

，是另一個函數。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

蘭陽女中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填 H（本頁第 17 題）要先看出分母也必須趨近 0，才能列出係數的關係；選填 F（第 15 題）要把 b_n 夾在兩個式子中間再用夾擠定理；選填 C（第 10 題）每往下一層三角形個數變 2 倍、每個面積變四分之一，公比是二分之一；單選第 3 題要分清楚實心點的函數值與左右極限。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘭陽女中 112 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（函數的定義域、值域與合成、數列的極限、Σ 求和、無窮等比級數與循環小數、函數的極限與連續）

蘭陽女中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題

設

f (x) = \frac{1}{1 - x}

，請問

f (x)

的定義域為何？

(1) ${x \in R ∣ x > 0}$
(2) ${x \in R ∣ x < 0}$
(3) ${x \in R ∣ x > 1}$
(4) ${x \in R ∣ x < 1}$
(5) ${x \in R ∣ 0 < x < 1}$

設

f (x) = x^{2} + 2 x + 2

，請問

f (x)

的值域為何？

(1) ${y \in R ∣ y \geq 0}$
(2) ${y \in R ∣ y \geq 1}$
(3) ${y \in R ∣ y \geq 2}$
(4) $R$
(5) 以上皆非

已知函數

y = f (x)

的圖形如附圖：選出所有正確的選項。

(1) $x \to 1 lim f (x)$ 不存在
(2) $x \to 2 lim f (x) = 0$
(3) $x \to 3 lim f (x) = 2$
(4) $x \to 4 lim f (x) = 2$
(5) $x \to 5 lim f (x) = 2$

載入中...

二、多選題

判斷下列各無窮數列何者為收斂數列？

(1) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$
(2) $⟨ 2 - \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(3) $⟨ π^{n} ⟩$
(4) $⟨ \frac{( - 5 ) ^{n}}{6 ^{n + 1}} ⟩$
(5) $⟨ 2 ⟩$

判斷下列各無窮級數何者為收斂級數？（各選項

Σ

下方的足標卷面印

k = 1

，而 (1)(3)(5) 的一般項卷面印作

n

次方，照卷面原樣；依題意應是同一個足標）

(1) $k = 1 \sum \infty (- 1)^{n}$
(2) $k = 1 \sum \infty 2$
(3) $k = 1 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n}$
(4) $k = 1 \sum \infty (2 k + 1)$
(5) $k = 1 \sum \infty (- \frac{2}{3})^{n}$

三、選填題

選填 A（第 6～8 題）　求下列各極限。

(1)

n \to \infty lim \frac{- 2 n ^{2} + 5}{3 n ^{2} - 1} =

____。（原卷的答案格式為分數，分子兩格、分母一格）

(2)

n \to \infty lim \frac{2 n ^{2} - n + 3}{n ^{3} + n + 1} =

____。

(3)

n \to \infty lim \frac{2 ^{n} + 3 ^{n + 2}}{2 ^{n + 1} + 3 ^{n}} =

____。

已知首項為

a

，公比為

0. \overline{12}

的無窮等比級數和為

\frac{3}{2}

，求首項

a

的值

=

____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各兩格）

如圖所示，第一層的正方形中有

1

個黑色等腰直角三角形，第二層的兩個全等正方形中各有

1

個黑色等腰直角三角形，第三層的四個全等正方形中各有

1

個黑色等腰直角三角形，……，以此類推，可得到無窮多個黑色等腰直角三角形。設第一層的黑色三角形的面積為

3

，並令

a_{n}

代表第

n

層黑色三角形面積的總和。試求所有黑色三角形面積的總和

=

____。

載入中...

k = 1 \sum 6 k (k - 2) =

____。（原卷的答案格式為兩格）

選填 E（第 12～14 題）　求下列各極限。

(1)

x \to - 1 lim (x^{2} + x - 3) =

____。（原卷的答案格式為兩格）

(2)

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} =

____。

(3)

x \to 3 lim (\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{2}{x ^{2} - 4 x + 3}) =

____。（原卷的答案格式為分數，分子、分母各一格）

已知對任意正整數

n

，不等式

b_{n} + \frac{2 n - 11}{n} \leq a_{n} \leq 2 b_{n}

恆成立，且

n \to \infty lim a_{n} = 4

，求

n \to \infty lim b_{n} =

____。

已知函數

f (x) = {x^{2} + 5, a x + 3, 當 x \geq 2 當 x < 2

在

x = 2

處連續，求實數

a

的值

=

____。

已知

a, b

為實數且

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + a x + b} = \frac{1}{2}

，求數對

(a, b)

的值

=

____。（原卷的答案格式：

a

一格、

b

兩格）

已知三次多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = - 2

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 3

，求

f (3) =

____。

求極限

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x - 2}{∣ x ∣ - 1} =

____。

已知函數

f (x) = 2 x + 3

與

g (x) = x^{2} - 1

，求合成函數

(f \circ g) (x) =

____

x^{2} +

____

x +

____。（三格各填一個數）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(5)

第 4 題(2)(4)(5)

第 5 題(3)(5)

第 6 題

- \frac{2}{3}

第 7 題

0

第 8 題

9

第 9 題

\frac{29}{22}

第 10 題

6

第 11 題

49

第 12 題

- 3

第 13 題

6

第 14 題

\frac{1}{2}

第 15 題

2

第 16 題

3

第 17 題

(2, - 3)

第 18 題

8

第 19 題

3

第 20 題

2 x^{2} + 1

（三格依序填

2

、

0

、

1

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：定義域與值域

第 1 題答案 (4)。根號裡面要大於或等於

0

，所以

1 - x \geq 0

；又

1 - x

在分母，不可為

0

，所以

1 - x \neq = 0

。兩個條件合起來是

1 - x > 0

，即

x < 1

。定義域是

{x \in R ∣ x < 1}

。

選項 (5) 多加了

x > 0

的限制，但例如

x = - 3

時

f (- 3) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

有意義，負數也在定義域裡。

第 2 題答案 (2)。配方：

f (x) = x^{2} + 2 x + 2 = (x + 1)^{2} + 1

。因為

(x + 1)^{2} \geq 0

，所以

f (x) \geq 1

，等號在

x = - 1

時成立；而

(x + 1)^{2}

可以是任何不小於

0

的數，所以每一個

y \geq 1

都取得到。值域是

{y \in R ∣ y \geq 1}

。

選項 (3) 的

2

是常數項，也就是

f (0)

，不是最小值；最小值要配方後才看得出來。

02單選第 3 題：由圖形讀極限

第 3 題答案 (5)。先讀圖（實心點是函數值，空心點表示那一點不在圖形上）。在

x = 1

：曲線連續地通過實心點

(1, 1)

，左右兩邊都靠近

1

，極限是

1

。在

x = 2

：左邊的曲線一直往上衝，右邊的曲線從下方很低的地方出發，兩邊沒有靠近同一個數。在

x = 3

：左邊的曲線走向空心點

(3, 1)

，右邊的線段也從空心點

(3, 1)

出發，左右極限都是

1

；另有實心點

(3, 2)

，所以

f (3) = 2

。在

x = 4

：左邊的線段走到實心點

(4, 2)

，左極限是

2

；右邊的線段從空心點

(4, 1)

出發，右極限是

1

。在

x = 5

：右邊那條線段從

(4, 1)

以斜率

1

往右上，經過

(5, 2)

，在那裡沒有斷開。逐項判斷：(1) 在

1

的極限存在（等於

1

），錯。(2) 在

2

的左右兩邊不靠近同一個數，極限不存在，更不會是

0

，錯。(3) 在

3

的極限是

1

，

2

是函數值

f (3)

，錯。(4) 在

4

的左極限

2

、右極限

1

不相等，極限不存在，錯。(5) 在

5

的極限是

2

，正確。

這一題卷面排在單選題，題幹寫「選出所有正確的選項」；五個選項中只有 (5) 正確，與學校答案相同。極限只看

x

靠近那一點時函數值往哪裡去，和那一點本身的函數值無關，選項 (3) 就是把兩者弄混。

讀圖求極限：分別看左邊、右邊的圖形走向哪個高度，兩邊相同極限才存在；實心點只決定函數值。

03多選第 4、5 題：數列與級數的收斂、發散

第 4 題答案 (2)(4)(5)。(1)

(- 1)^{n}

的值是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，在兩個數之間跳動，不會趨近一個定數，發散。(2) 當

n \to \infty

時

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，所以

2 - \frac{1}{n ^{2}} \to 2

，收斂。(3)

π > 1

，

π^{n}

無限制地變大，發散。(4)

\frac{( - 5 ) ^{n}}{6 ^{n + 1}} = \frac{1}{6} (- \frac{5}{6})^{n}

，公比

- \frac{5}{6}

的絕對值小於

1

，所以趨近

0

，收斂。(5) 每一項都是

2

，收斂到

2

。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。選項 (4) 要先把

6^{n + 1}

拆成

6 \times 6^{n}

，才看得出公比。

第 5 題答案 (3)(5)。把各選項的一般項與足標看成同一個文字來判斷。(1) 部分和依序是

- 1, 0, - 1, 0, \dots

，不趨近一個定數，發散。(2) 前

n

項的和是

2 n

，無限制地變大，發散。(3) 首項

\frac{1}{2}

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，

∣ r ∣ < 1

，收斂，和為

\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

。(4) 一般項

2 k + 1

愈來愈大，部分和無限制地變大，發散。(5) 首項

- \frac{2}{3}

、公比

- \frac{2}{3}

，

∣ r ∣ < 1

，收斂，和為

\frac{- \frac{2}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = - \frac{2}{5}

。

無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是

∣ r ∣ < 1

，比等比數列的條件少了

r = 1

：選項 (2) 可看成公比

1

的等比級數，數列

⟨ 2 ⟩

收斂（第 4 題選項 (5)），級數卻發散。卷面 (1)(3)(5) 的

Σ

下方印

k = 1

、一般項印

n

次方；若照字面把

n

當成與

k

無關的固定數，每一項都是同一個不為

0

的常數，五個級數都會發散，題目就沒有答案，所以應是足標的文字不一致。

04選填 A、F（第 6～8、15 題）：數列的極限、夾擠定理

第 6 題答案

- \frac{2}{3}

。分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 2 n ^{2} + 5}{3 n ^{2} - 1} = \frac{- 2 + \frac{5}{n ^{2}}}{3 - \frac{1}{n ^{2}}}

。當

n \to \infty

時

\frac{5}{n ^{2}} \to 0

、

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

，所以極限是

\frac{- 2}{3} = - \frac{2}{3}

。

第 7 題答案

0

。分子分母同除以分母的最高次

n^{3}

：

\frac{2 n ^{2} - n + 3}{n ^{3} + n + 1} = \frac{\frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2}} + \frac{3}{n ^{3}}}{1 + \frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{n ^{3}}}

。當

n \to \infty

時分子趨近

0

、分母趨近

1

，所以極限是

0

。

第 8 題答案

9

。先把指數拆開：

3^{n + 2} = 9 \times 3^{n}

、

2^{n + 1} = 2 \times 2^{n}

。分子分母同除以底數最大的

3^{n}

：

\frac{2 ^{n} + 9 \times 3 ^{n}}{2 \times 2 ^{n} + 3 ^{n}} = \frac{( \frac{2}{3} ) ^{n} + 9}{2 ( \frac{2}{3} ) ^{n} + 1}

。當

n \to \infty

時

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

，所以極限是

\frac{0 + 9}{0 + 1} = 9

。

第 15 題答案

2

。把

b_{n}

夾在中間。由右半

a_{n} \leq 2 b_{n}

得

b_{n} \geq \frac{a _{n}}{2}

；由左半

b_{n} + \frac{2 n - 11}{n} \leq a_{n}

得

b_{n} \leq a_{n} - \frac{2 n - 11}{n}

。所以

\frac{a _{n}}{2} \leq b_{n} \leq a_{n} - (2 - \frac{11}{n})

。當

n \to \infty

時，左邊

\to \frac{4}{2} = 2

，右邊

\to 4 - 2 = 2

。兩邊的極限相同，由夾擠定理，

n \to \infty lim b_{n} = 2

。

題目沒有先說

⟨ b_{n} ⟩

收斂，所以不宜直接對原不等式兩邊取極限；先把

b_{n}

夾在兩個已知會收斂的式子中間，再用夾擠定理。

分式型的數列極限：多項式同除以分母的最高次，指數型同除以底數最大的那一項。

05選填 B、C、D（第 9～11 題）：循環小數、無窮等比級數、Σ 求和

第 9 題答案

\frac{29}{22}

。先把公比化成分數：循環節是

12

兩位，

0. \overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}

。公比的絕對值小於

1

，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - r}

。由

\frac{a}{1 - \frac{4}{33}} = \frac{3}{2}

得

a = \frac{3}{2} \times \frac{29}{33} = \frac{29}{22}

。

0. \overline{12} = 0.121212 \dots

是首項

0.12

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.12}{0.99} = \frac{12}{99}

。

第 10 題答案

6

。設第一層正方形的邊長是

s

。黑色三角形以正方形的一邊為底、以正方形的中心為頂點，底是

s

、高是

\frac{s}{2}

，面積

\frac{1}{2} \times s \times \frac{s}{2} = \frac{s ^{2}}{4}

，也就是正方形面積的

\frac{1}{4}

。所以第一層正方形的面積是

12

，

a_{1} = 3

。第二層的正方形邊長是

\frac{s}{2}

，每個面積

\frac{12}{4} = 3

，每個黑色三角形面積

\frac{3}{4}

，兩個合計

a_{2} = \frac{3}{2}

。每往下一層，正方形的個數變成

2

倍，每個黑色三角形的面積變成

\frac{1}{4}

，所以

a_{n + 1} = 2 \times \frac{1}{4} \times a_{n} = \frac{1}{2} a_{n}

。

⟨ a_{n} ⟩

是首項

3

、公比

\frac{1}{2}

的等比數列，總和是

\frac{3}{1 - \frac{1}{2}} = 6

。

檢查：第三層有

4

個邊長

\frac{s}{4}

的正方形，每個黑色三角形面積

\frac{3}{16}

，合計

a_{3} = \frac{3}{4}

，確實是

a_{2}

的一半。

第 11 題答案

49

。

k = 1 \sum 6 k (k - 2) = k = 1 \sum 6 k^{2} - 2 k = 1 \sum 6 k = \frac{6 \times 7 \times 13}{6} - 2 \times \frac{6 \times 7}{2} = 91 - 42 = 49

。

項數只有

6

項，也可以直接列出來相加：

- 1 + 0 + 3 + 8 + 15 + 24 = 49

。

圖形題先算出前兩、三層的面積，確認公比，再用無窮等比級數的和公式（首項除以 1 減公比）。

06選填 E、J（第 12～14、19 題）：函數的極限

第 12 題答案

- 3

。多項式函數的極限可以直接代入：

(- 1)^{2} + (- 1) - 3 = - 3

。

第 13 題答案

6

。代入

x = 3

分子分母都是

0

，先分解：

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

。當

x \neq = 3

時原式

= x + 3

，所以極限是

3 + 3 = 6

。

第 14 題答案

\frac{1}{2}

。兩個分式在

x \to 3

時各自都沒有極限，不能分開算，要先通分。

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

，所以原式

= \frac{( x - 4 ) ( x - 1 ) + 2}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 1 ) ( x - 3 )}

。當

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{x - 2}{x - 1}

，極限是

\frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}

。

第 19 題答案

3

。

x

靠近

1

時

x

是正數，所以

∣ x ∣ = x

，分母就是

x - 1

。分子

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

，當

x \neq = 1

時原式

= x + 2

，極限是

1 + 2 = 3

。

絕對值要看

x

靠近的那個數附近的正負：這裡靠近的是

1

，左右兩邊都是正數，不必分兩邊討論。

07選填 G、H、I（第 16～18 題）：連續、由極限反求係數

第 16 題答案

3

。在

x = 2

連續的條件是

x \to 2 lim f (x) = f (2)

。函數值用

x \geq 2

的式子：

f (2) = 2^{2} + 5 = 9

，右極限也是

9

。左極限用

x < 2

的式子：

x \to 2^{-} lim (a x + 3) = 2 a + 3

。由

2 a + 3 = 9

得

a = 3

。

第 17 題答案

(2, - 3)

。當

x \to 1

時分子

x^{2} - 1 \to 0

。如果分母的極限

1 + a + b

不是

0

，整個分式的極限就是

0

，不會是

\frac{1}{2}

；所以

1 + a + b = 0

，即

b = - 1 - a

。此時分母

x^{2} + a x - 1 - a = (x - 1) (x + 1 + a)

，分子

= (x - 1) (x + 1)

，約去

x - 1

得

\frac{x + 1}{x + 1 + a}

，當

x \to 1

時趨近

\frac{2}{2 + a}

。由

\frac{2}{2 + a} = \frac{1}{2}

得

a = 2

，於是

b = - 3

。

檢查：

a = 2

、

b = - 3

時分母是

x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (x + 3)

，原式約分後是

\frac{x + 1}{x + 3}

，在

x \to 1

時趨近

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

。

第 18 題答案

8

。當

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

而極限存在，所以分子也要趨近

0

；

f (x)

是多項式，

x \to 1 lim f (x) = f (1)

，因此

f (1) = 0

。同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次式且有因式

x - 1

與

x - 2

，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。第一個條件：

\frac{f ( x )}{x - 1} = (x - 2) (p x + q)

，在

x \to 1

時趨近

- (p + q) = - 2

，得

p + q = 2

。第二個條件：

\frac{f ( x )}{x - 2} = (x - 1) (p x + q)

，在

x \to 2

時趨近

2 p + q = 3

。兩式相減得

p = 1

，於是

q = 1

。所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (x + 1)

，

f (3) = 2 \times 1 \times 4 = 8

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0；這個條件先用來求係數或找出公因式，約分之後再代入。

08選填 K（第 20 題）：合成函數

第 20 題答案

2 x^{2} + 1

，三格依序填

2

、

0

、

1

。

(f \circ g) (x) = f (g (x))

，把

g (x) = x^{2} - 1

整個代進

f

的

x

：

f (x^{2} - 1) = 2 (x^{2} - 1) + 3 = 2 x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 0 x + 1

。

順序不可顛倒：

(g \circ f) (x) = g (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} - 1 = 4 x^{2} + 12 x + 8

，是另一個函數。

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蘭陽女中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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02單選第 3 題：由圖形讀極限

03多選第 4、5 題：數列與級數的收斂、發散

04選填 A、F（第 6～8、15 題）：數列的極限、夾擠定理

05選填 B、C、D（第 9～11 題）：循環小數、無窮等比級數、Σ 求和

06選填 E、J（第 12～14、19 題）：函數的極限

07選填 G、H、I（第 16～18 題）：連續、由極限反求係數

08選填 K（第 20 題）：合成函數

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蘭陽女中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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