段考詳解範圍：高一數學複習（卷頭印範圍：第 1～5 單元；內容為數與式、直線與圓、多項式函數、數列與級數、數據分析）

基隆高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

本頁是卷頭印「高三數學乙(B)」的那一份。是非題 5 題（每題 3 分，共 15 分）、單一選擇題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、多重選擇題 2 題（每題 10 分，共 20 分）、填充題 7 題（每題 5 分，共 35 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、是非題：(對選「是」、錯選「否」；每題 3 分；共 15 分)

若

a

，

b

為無理數，則

a + b

也是無理數。

若

lo g a = 6.14

，

lo g b = 3.07

，則可知

a

是

b

的

2

倍。

數列

⟨ 2 n - 5 ⟩

的第

5

項為

5

若資料

(x, y)

的相關係數為

0.7

，則

(- 2 x + 6, - y + 100)

的相關係數仍為

0.7

。

方程式

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 16 = 0

的圖形為一圓。

二、單一選擇題：(每題 6 分；共 30 分)

已知

r, s

為實數，

r < s

，

a = \frac{r + 2 s}{3}

，

b = \frac{r + 3 s}{4}

，

c = \frac{5 r + s}{6}

，則

a, b, c

的大小依序為？

(A) $a > b > c$
(B) $c > b > a$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$

試問有多少個整數

x

滿足

3∣ x ∣ + x < 8

？

(A) $4$ 個
(B) $5$ 個
(C) $6$ 個
(D) $7$ 個

令

a = 3.0 4^{10} - 3.0 4^{9}

，

b = 3.0 4^{11} - 3.0 4^{10}

，

c = \frac{3.0 4 ^{11} - 3.0 4 ^{9}}{2}

。請選出正確的大小關係。

(A) $a > b > c$
(B) $c > b > a$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$

點

A (1, - 1)

在圓

Γ : x^{2} + y^{2} = 2

上。試問：

Γ

上除了

A

點以外，還有幾個點到直線

L : y = x

的距離，等於

A

點到

L

的距離？

(A) $1$ 個
(B) $2$ 個
(C) $3$ 個
(D) $4$ 個

設

a

，

b

，

c

都是非零的實數，且二次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

的兩根都落在

1

和

3

之間，試選出兩根必定都落在

4

和

5

之間的方程式。

(A) $a (x - 1)^{2} + b (x - 1) + c = 0$
(B) $a (x + 4)^{2} + b (x + 4) + c = 0$
(C) $a (2 x - 7)^{2} + b (2 x - 7) + c = 0$
(D) $a (\frac{x + 5}{2})^{2} + b (\frac{x + 5}{2}) + c = 0$

三、多重選擇題：(每題 10 分，共 20 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分)

下列各方程式中，請選出有實數解的選項。

(A) $∣ x - 3∣ + ∣ x ∣ = 1$
(B) $∣ x - 3∣ + ∣ x ∣ = 4$
(C) $∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = 5$
(D) $∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = 1$
(E) $∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = - 3$

下列各選項哪些正確？

(A) 水平直線的斜率為 $0$
(B) 鉛直線的斜率為 $0$
(C) $x$ 軸的方程式為 $y = 0$
(D) 設直線 $L$ ： $2 x + 3 y - 4 = 0$ ，則 $x$ 截距為 $4$
(E) 兩直線 $L_{1}$ ： $3 x + 2 y + 100 = 0$ 和 $L_{2}$ ： $2 x - 3 y + 200 = 0$ 互相垂直。

四、填充題(每題 5 分，共 35 分)

若氣象局最初發布某一颱風之暴風圈其外緣以圓方程式表示：

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 3 = 0

，因受大氣環流影響，經過數小時後颱風中心（即圓心）坐標

(h, k)

向東和向北各移動一單位（假設

x

軸正向為東方），且暴風半徑增為原來的

1.5

倍，問新暴風圈外緣之圓方程式為 ____。

多項式

f (x) = a x^{8} + b x^{6} - c x^{4} + d x - \frac{31}{2}

，已知

f (4) - f (- 4) = - 24

，則

f (8) - f (- 8) =

____。

已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為

21

，偶數項之和為

11

，則此數列之公差為 ____。

請利用公式

1^{3} + 2^{3} + \dots\dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}

，計算出

(6)^{3} + (7)^{3} + \dots\dots + (15)^{3}

之值為 ____。

坐標平面上，一圓與直線

2 x - y = - 4

以及直線

2 x - y = 6

所截的弦長皆為

10

。則此圓的面積為 ____

π

。

某數學老師計算學期成績的公式如下：五次平時考中取較好的三次之平均值占

40%

，兩次期中考各占

20%

，期末考占

20%

。某生平時考成績分別為

78

，

93

，

71

，

80

，

85

，期中考成績分別為

85

，

77

，期末考成績為

93

，則該生學期成績為 ____ 分。

已知 304 班學生的數學成績

X

與國文成績

Y

的算術平均數分別為

μ_{X} = 40

、

μ_{Y} = 60

，且其相關係數

r = 0.6

，且

Y

對

X

的最適直線通過點

(20, 35)

，若某生的數學成績為

64

分，則利用最適直線預測其國文成績為 ____ 分。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2否

3是

4是

5否

第 6 題(C)

第 7 題(B)

第 8 題(D)

第 9 題(A)

第 10 題(C)

第 11 題(B)(D)(E)

第 12 題(A)(C)(E)

第 13 題

x^{2} + (y - 3)^{2} = 18

第 14 題

- 48

第 15 題

- 2

第 16 題

14175

第 17 題

30

第 18 題

85.4

第 19 題

90

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：無理數、對數、數列的項、相關係數、圓的判別

第 1 題否錯誤。舉反例：

a = 2

，

b = - 2

都是無理數，但

a + b = 0

是有理數。所以兩個無理數的和不一定是無理數。

另一個反例：

a = 3 + 2

，

b = 3 - 2

，和是

6

。「有理數加無理數一定是無理數」才是對的。

第 2 題否錯誤。

lo g a = 6.14

表示

a = 1 0^{6.14}

，

lo g b = 3.07

表示

b = 1 0^{3.07}

。所以

a = 1 0^{6.14} = (1 0^{3.07})^{2} = b^{2}

，

a

是

b

的平方，不是

b

的

2

倍。實際上

\frac{a}{b} = 1 0^{6.14 - 3.07} = 1 0^{3.07}

，比

1000

還大。

對數值變成

2

倍，真數是變成平方。若

a

是

b

的

2

倍，對數值只會多

lo g 2 \approx 0.301

。

第 3 題是正確。一般項是

a_{n} = 2 n - 5

，代

n = 5

：

a_{5} = 2 \times 5 - 5 = 5

。

第 4 題是正確。把

x

換成

p x + q

、

y

換成

sy + t

時，加上的常數

q

、

t

不影響相關係數；

p

與

s

同號時相關係數不變，異號時變成相反數。這裡

p = - 2

、

s = - 1

都是負數，同號，所以新資料的相關係數仍是

0.7

。

只把

x

乘上負數，散布圖左右翻轉，正相關會變成負相關；

y

也乘上負數，再上下翻轉一次，又變回正相關。倍數的大小（

2

倍、

1

倍）不影響相關係數。

第 5 題否錯誤。配方：

(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 6 y + 9) = - 16 + 4 + 9

，即

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = - 3

。左邊是兩個平方的和，不可能是負數，沒有任何點滿足這個方程式，所以沒有圖形，不是圓。

配方後右邊是正數才是圓，等於

0

是一個點，負數則沒有圖形。

判斷「一定」的敘述，先找反例；圓的一般式一定要配方看右邊的正負。

02單選第 6～8 題：比較大小、絕對值不等式

第 6 題答案 (C)。兩兩相減。

b - a = \frac{r + 3 s}{4} - \frac{r + 2 s}{3} = \frac{3 ( r + 3 s ) - 4 ( r + 2 s )}{12} = \frac{s - r}{12}

，因為

r < s

，所以

b - a > 0

，

b > a

。

a - c = \frac{r + 2 s}{3} - \frac{5 r + s}{6} = \frac{2 ( r + 2 s ) - ( 5 r + s )}{6} = \frac{3 ( s - r )}{6} = \frac{s - r}{2} > 0

，

a > c

。所以

b > a > c

。

用分點的想法也可以：

a

、

b

、

c

都是

r

與

s

的加權平均，

s

所占的比例分別是

\frac{2}{3}

、

\frac{3}{4}

、

\frac{1}{6}

。

s

比較大，

s

占的比例愈高，值愈大，所以

b > a > c

。

第 7 題答案 (B)。分兩種情形。

x \geq 0

時

∣ x ∣ = x

，不等式是

4 x < 8

，

x < 2

，所以

0 \leq x < 2

。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，不等式是

- 3 x + x < 8

，

- 2 x < 8

，

x > - 4

，所以

- 4 < x < 0

。合起來是

- 4 < x < 2

，整數

x

有

- 3, - 2, - 1, 0, 1

，共

5

個。

檢查端點：

x = - 4

時

12 - 4 = 8

，不小於

8

；

x = 2

時

6 + 2 = 8

，也不小於

8

；兩個端點都不算。

第 8 題答案 (D)。三個數都提出

3.0 4^{9}

。

a = 3.0 4^{9} (3.04 - 1) = 2.04 \times 3.0 4^{9}

。

b = 3.0 4^{10} (3.04 - 1) = 2.04 \times 3.04 \times 3.0 4^{9} = 6.2016 \times 3.0 4^{9}

。

c = \frac{3.0 4 ^{9} ( 3.0 4 ^{2} - 1 )}{2} = \frac{9.2416 - 1}{2} \times 3.0 4^{9} = 4.1208 \times 3.0 4^{9}

。

3.0 4^{9} > 0

，比較前面的倍數：

6.2016 > 4.1208 > 2.04

，所以

b > c > a

。

也可以注意到

a + b = 3.0 4^{11} - 3.0 4^{9}

，所以

c = \frac{a + b}{2}

正好是

a

與

b

的平均，一定介於兩者之間；再由

b = 3.04 a > a

得

b > c > a

。

03單選第 9、10 題：圓上的點到直線的距離、代換後的根

第 9 題答案 (A)。圓心

O (0, 0)

，半徑

2

。直線

L

：

x - y = 0

通過圓心。

A

到

L

的距離是

\frac{∣1 - ( - 1 ) ∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{2}{2} = 2

，正好等於半徑。與

L

距離

2

的點，都在平行

L

的兩條直線

x - y = 2

與

x - y = - 2

上。圓心到這兩條直線的距離都是

2

，等於半徑，所以這兩條直線都與圓相切，各只有一個切點。

x - y = 2

的切點：把

y = x - 2

代入

x^{2} + y^{2} = 2

，得

2 x^{2} - 4 x + 2 = 0

，

x = 1

，就是

A (1, - 1)

。

x - y = - 2

的切點：把

y = x + 2

代入，得

2 x^{2} + 4 x + 2 = 0

，

x = - 1

，是

(- 1, 1)

。所以除了

A

以外只有

(- 1, 1)

這

1

個點。

L

通過圓心，圓上的點到

L

的距離最大就是半徑，只有在垂直

L

的那條直徑的兩個端點才達到，這兩個端點是

A

和它對圓心的對稱點

(- 1, 1)

。如果

A

到

L

的距離比半徑小，答案會變成

3

個。

第 10 題答案 (C)。設

a x^{2} + b x + c = 0

的兩根是

α

、

β

，

1 < α < 3

、

1 < β < 3

。每個選項都是把原方程式的

x

換成另一個式子，所以括號裡的式子等於

α

或

β

，也就是落在

1

和

3

之間。(A)

1 < x - 1 < 3

，得

2 < x < 4

。(B)

1 < x + 4 < 3

，得

- 3 < x < - 1

。(C)

1 < 2 x - 7 < 3

，得

8 < 2 x < 10

，

4 < x < 5

，符合。(D)

1 < \frac{x + 5}{2} < 3

，得

2 < x + 5 < 6

，

- 3 < x < 1

。只有 (C) 的兩根必定都在

4

和

5

之間。

以 (C) 為例：

2 x - 7 = α

時

x = \frac{α + 7}{2}

，

α

在

1

到

3

之間時，

x

在

4

到

5

之間。要把

1

到

3

這段長度

2

的範圍變成

4

到

5

這段長度

1

的範圍，

x

的係數一定要是

2

。

方程式裡的 x 整個換成另一個式子時，那個式子的值就是原來的根，再反過來解 x。

04多選第 11、12 題：絕對值方程式、直線的斜率與截距

第 11 題答案 (B)(D)(E)。

∣ x - 3∣

是數線上

x

到

3

的距離，

∣ x ∣

是

x

到

0

的距離，

0

與

3

相距

3

。先看距離和：

x

在

0

與

3

之間時，和恰為

3

；在外面時和大於

3

，而且可以任意大。所以

∣ x - 3∣ + ∣ x ∣

的值可以是

3

以上的任何數。(A)

1 < 3

，無解。(B)

4 \geq 3

，有解；例如

x = 3.5

：

0.5 + 3.5 = 4

。再看距離差：

x \leq 0

時

∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = (3 - x) - (- x) = 3

；

0 \leq x \leq 3

時

∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = (3 - x) - x = 3 - 2 x

，從

3

降到

- 3

；

x \geq 3

時

∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = (x - 3) - x = - 3

。所以

∣ x - 3∣ - ∣ x ∣

的值在

- 3

與

3

之間（含兩端）。(C)

5 > 3

，無解。(D)

3 - 2 x = 1

，

x = 1

，有解。(E)

x \geq 3

的每一個數都是解，有解。

(B) 的另一個解是

x = - 0.5

。(E) 有無限多個解，不是只有一個；題目只問有沒有實數解，所以要選。

第 12 題答案 (A)(C)(E)。(A) 正確：水平直線上任兩點的

y

坐標相同，斜率

\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = 0

。(B) 錯誤：鉛直線上任兩點的

x

坐標相同，斜率公式的分母是

0

，斜率不存在，不是

0

。(C) 正確：

x

軸上每一點的

y

坐標都是

0

，方程式是

y = 0

。(D) 錯誤：

x

截距是直線與

x

軸交點的

x

坐標，令

y = 0

得

2 x - 4 = 0

，

x = 2

，截距是

2

不是

4

。(E) 正確：

L_{1}

的斜率是

- \frac{3}{2}

，

L_{2}

的斜率是

\frac{2}{3}

，相乘

- \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = - 1

，所以互相垂直。

(E) 的常數項

100

、

200

只影響直線的位置，不影響斜率。(D) 的

y

截距是令

x = 0

得到的

\frac{4}{3}

，也不是

4

。

05填充第 13、14 題：圓方程式、多項式的奇數次項

第 13 題先配方求原來的圓心與半徑：

(x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) = 3 + 1 + 4

，即

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 8

。圓心

(- 1, 2)

，半徑

8 = 22

。向東移動一單位是

x

坐標加

1

，向北移動一單位是

y

坐標加

1

，新圓心是

(0, 3)

。新半徑是

1.5 \times 22 = 32

，半徑的平方是

18

。新的圓方程式是

x^{2} + (y - 3)^{2} = 18

。

半徑變成

1.5

倍，方程式右邊的數是半徑的平方，要乘

1. 5^{2} = 2.25

：

8 \times 2.25 = 18

，不是

8 \times 1.5 = 12

。展開寫成

x^{2} + y^{2} - 6 y - 9 = 0

也是同一個圓。

第 14 題把

x

換成

- x

：偶數次項

a x^{8}

、

b x^{6}

、

- c x^{4}

與常數項

- \frac{31}{2}

都不變，只有

d x

變成

- d x

。所以

f (x) - f (- x) = d x - (- d x) = 2 d x

。代

x = 4

：

f (4) - f (- 4) = 8 d = - 24

，得

d = - 3

。代

x = 8

：

f (8) - f (- 8) = 16 d = 16 \times (- 3) = - 48

。

a

、

b

、

c

與常數項在相減時全部消掉，所以求不出來也不需要求。

f (8) - f (- 8)

是

f (4) - f (- 4)

的

2

倍，因為兩者都只跟

x

成正比。

06填充第 15、16 題：等差數列、立方和

第 15 題設十項為

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}

，公差為

d

。奇數項是

a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}, a_{9}

，偶數項是

a_{2}, a_{4}, a_{6}, a_{8}, a_{10}

，各有

5

項，而且每個偶數項都比前一個奇數項多

d

：

a_{2} - a_{1} = a_{4} - a_{3} = \dots = a_{10} - a_{9} = d

。所以偶數項之和減去奇數項之和等於

5 d

：

5 d = 11 - 21 = - 10

，

d = - 2

。

檢查：奇數項之和

5 a_{1} + (0 + 2 + 4 + 6 + 8) d = 5 a_{1} + 20 d = 21

，代

d = - 2

得

a_{1} = \frac{61}{5}

；偶數項之和

5 a_{1} + 25 d = 61 - 50 = 11

，與題目相符。

第 16 題所求等於「

1^{3}

加到

1 5^{3}

」減去「

1^{3}

加到

5^{3}

」。代公式：

1^{3} + 2^{3} + \dots + 1 5^{3} = (\frac{15 \times 16}{2})^{2} = 12 0^{2} = 14400

；

1^{3} + 2^{3} + \dots + 5^{3} = (\frac{5 \times 6}{2})^{2} = 1 5^{2} = 225

。所以

6^{3} + 7^{3} + \dots + 1 5^{3} = 14400 - 225 = 14175

。

要減掉的是前

5

項（到

5^{3}

），不是前

6

項；

6^{3}

是所求的第一項，要留著。

07填充第 17 題：兩條平行線截出等長的弦

第 17 題兩條直線

2 x - y + 4 = 0

與

2 x - y - 6 = 0

的斜率相同，互相平行，距離是

\frac{∣4 - ( - 6 ) ∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{10}{5} = 25

。設圓的半徑為

r

，圓心到一條弦的距離（弦心距）為

d

，弦長的一半是

5

，則

d^{2} + 5^{2} = r^{2}

。兩條弦一樣長，所以圓心到兩條直線的距離相等；圓心到兩條平行線等距，只可能在兩線的正中間，

d = \frac{2 5}{2} = 5

。於是

r^{2} = (5)^{2} + 5^{2} = 30

，圓的面積是

π r^{2} = 30 π

，空格填

30

。

圓心若在兩條平行線的同一側，到兩線的距離會差

25

，不可能相等，所以圓心一定在兩線之間。題目沒有給圓心的位置，圓心可以是正中間那條直線

2 x - y = 1

上的任何一點，面積都一樣。

弦長的一半、弦心距、半徑構成直角三角形；等長的弦到圓心的距離相等。

08填充第 18、19 題：加權平均、最適直線

第 18 題五次平時考

78, 93, 71, 80, 85

中較好的三次是

93, 85, 80

，平均

\frac{93 + 85 + 80}{3} = \frac{258}{3} = 86

。學期成績

= 86 \times 0.4 + 85 \times 0.2 + 77 \times 0.2 + 93 \times 0.2 = 34.4 + 17 + 15.4 + 18.6 = 85.4

（分）。

四個比例

40% + 20% + 20% + 20% = 100%

。後三項比例相同，可以合起來算：

(85 + 77 + 93) \times 0.2 = 255 \times 0.2 = 51

，再加

34.4

。

第 19 題

Y

對

X

的最適直線一定通過

(μ_{X}, μ_{Y}) = (40, 60)

。題目又說它通過

(20, 35)

，兩點決定一條直線：斜率

= \frac{60 - 35}{40 - 20} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}

，方程式是

y - 60 = \frac{5}{4} (x - 40)

。代

x = 64

：

y = 60 + \frac{5}{4} \times 24 = 60 + 30 = 90

。預測國文成績為

90

分。

相關係數

r = 0.6

在這一題用不到。最適直線的斜率是

r \times \frac{σ _{Y}}{σ _{X}}

，由斜率

\frac{5}{4}

可以反推

\frac{σ _{Y}}{σ _{X}} = \frac{25}{12}

，但題目沒有問。

最適直線一定通過兩個平均數所成的點，再知道一點或斜率就能寫出方程式。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

基隆高中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題兩個變數都乘上負數，相關係數的正負號變兩次，結果不變；第 9 題直線通過圓心，圓上與它距離等於半徑的點只有兩個，扣掉 A 點自己剩一個；第 10 題要把括號裡的式子整個當成原方程式的根，再解出 x 的範圍；第 17 題兩條弦一樣長，圓心到兩條平行線的距離就相等；第 19 題最適直線一定通過兩個平均數所成的點，題目給的相關係數用不到。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自基隆高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：高一數學複習（卷頭印範圍：第 1～5 單元；內容為數與式、直線與圓、多項式函數、數列與級數、數據分析）

基隆高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、是非題：(對選「是」、錯選「否」；每題 3 分；共 15 分)

若

a

，

b

為無理數，則

a + b

也是無理數。

若

lo g a = 6.14

，

lo g b = 3.07

，則可知

a

是

b

的

2

倍。

數列

⟨ 2 n - 5 ⟩

的第

5

項為

5

若資料

(x, y)

的相關係數為

0.7

，則

(- 2 x + 6, - y + 100)

的相關係數仍為

0.7

。

方程式

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 16 = 0

的圖形為一圓。

二、單一選擇題：(每題 6 分；共 30 分)

已知

r, s

為實數，

r < s

，

a = \frac{r + 2 s}{3}

，

b = \frac{r + 3 s}{4}

，

c = \frac{5 r + s}{6}

，則

a, b, c

的大小依序為？

(A) $a > b > c$
(B) $c > b > a$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$

試問有多少個整數

x

滿足

3∣ x ∣ + x < 8

？

(A) $4$ 個
(B) $5$ 個
(C) $6$ 個
(D) $7$ 個

令

a = 3.0 4^{10} - 3.0 4^{9}

，

b = 3.0 4^{11} - 3.0 4^{10}

，

c = \frac{3.0 4 ^{11} - 3.0 4 ^{9}}{2}

。請選出正確的大小關係。

(A) $a > b > c$
(B) $c > b > a$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$

點

A (1, - 1)

在圓

Γ : x^{2} + y^{2} = 2

上。試問：

Γ

上除了

A

點以外，還有幾個點到直線

L : y = x

的距離，等於

A

點到

L

的距離？

(A) $1$ 個
(B) $2$ 個
(C) $3$ 個
(D) $4$ 個

設

a

，

b

，

c

都是非零的實數，且二次方程式

a x^{2} + b x + c = 0

的兩根都落在

1

和

3

之間，試選出兩根必定都落在

4

和

5

之間的方程式。

(A) $a (x - 1)^{2} + b (x - 1) + c = 0$
(B) $a (x + 4)^{2} + b (x + 4) + c = 0$
(C) $a (2 x - 7)^{2} + b (2 x - 7) + c = 0$
(D) $a (\frac{x + 5}{2})^{2} + b (\frac{x + 5}{2}) + c = 0$

三、多重選擇題：(每題 10 分，共 20 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分)

下列各方程式中，請選出有實數解的選項。

(A) $∣ x - 3∣ + ∣ x ∣ = 1$
(B) $∣ x - 3∣ + ∣ x ∣ = 4$
(C) $∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = 5$
(D) $∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = 1$
(E) $∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = - 3$

下列各選項哪些正確？

(A) 水平直線的斜率為 $0$
(B) 鉛直線的斜率為 $0$
(C) $x$ 軸的方程式為 $y = 0$
(D) 設直線 $L$ ： $2 x + 3 y - 4 = 0$ ，則 $x$ 截距為 $4$
(E) 兩直線 $L_{1}$ ： $3 x + 2 y + 100 = 0$ 和 $L_{2}$ ： $2 x - 3 y + 200 = 0$ 互相垂直。

四、填充題(每題 5 分，共 35 分)

若氣象局最初發布某一颱風之暴風圈其外緣以圓方程式表示：

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 3 = 0

，因受大氣環流影響，經過數小時後颱風中心（即圓心）坐標

(h, k)

向東和向北各移動一單位（假設

x

軸正向為東方），且暴風半徑增為原來的

1.5

倍，問新暴風圈外緣之圓方程式為 ____。

多項式

f (x) = a x^{8} + b x^{6} - c x^{4} + d x - \frac{31}{2}

，已知

f (4) - f (- 4) = - 24

，則

f (8) - f (- 8) =

____。

已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為

21

，偶數項之和為

11

，則此數列之公差為 ____。

請利用公式

1^{3} + 2^{3} + \dots\dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}

，計算出

(6)^{3} + (7)^{3} + \dots\dots + (15)^{3}

之值為 ____。

坐標平面上，一圓與直線

2 x - y = - 4

以及直線

2 x - y = 6

所截的弦長皆為

10

。則此圓的面積為 ____

π

。

某數學老師計算學期成績的公式如下：五次平時考中取較好的三次之平均值占

40%

，兩次期中考各占

20%

，期末考占

20%

。某生平時考成績分別為

78

，

93

，

71

，

80

，

85

，期中考成績分別為

85

，

77

，期末考成績為

93

，則該生學期成績為 ____ 分。

已知 304 班學生的數學成績

X

與國文成績

Y

的算術平均數分別為

μ_{X} = 40

、

μ_{Y} = 60

，且其相關係數

r = 0.6

，且

Y

對

X

的最適直線通過點

(20, 35)

，若某生的數學成績為

64

分，則利用最適直線預測其國文成績為 ____ 分。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2否

3是

4是

5否

第 6 題(C)

第 7 題(B)

第 8 題(D)

第 9 題(A)

第 10 題(C)

第 11 題(B)(D)(E)

第 12 題(A)(C)(E)

第 13 題

x^{2} + (y - 3)^{2} = 18

第 14 題

- 48

第 15 題

- 2

第 16 題

14175

第 17 題

30

第 18 題

85.4

第 19 題

90

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：無理數、對數、數列的項、相關係數、圓的判別

第 1 題否錯誤。舉反例：

a = 2

，

b = - 2

都是無理數，但

a + b = 0

是有理數。所以兩個無理數的和不一定是無理數。

另一個反例：

a = 3 + 2

，

b = 3 - 2

，和是

6

。「有理數加無理數一定是無理數」才是對的。

第 2 題否錯誤。

lo g a = 6.14

表示

a = 1 0^{6.14}

，

lo g b = 3.07

表示

b = 1 0^{3.07}

。所以

a = 1 0^{6.14} = (1 0^{3.07})^{2} = b^{2}

，

a

是

b

的平方，不是

b

的

2

倍。實際上

\frac{a}{b} = 1 0^{6.14 - 3.07} = 1 0^{3.07}

，比

1000

還大。

對數值變成

2

倍，真數是變成平方。若

a

是

b

的

2

倍，對數值只會多

lo g 2 \approx 0.301

。

第 3 題是正確。一般項是

a_{n} = 2 n - 5

，代

n = 5

：

a_{5} = 2 \times 5 - 5 = 5

。

第 4 題是正確。把

x

換成

p x + q

、

y

換成

sy + t

時，加上的常數

q

、

t

不影響相關係數；

p

與

s

同號時相關係數不變，異號時變成相反數。這裡

p = - 2

、

s = - 1

都是負數，同號，所以新資料的相關係數仍是

0.7

。

只把

x

乘上負數，散布圖左右翻轉，正相關會變成負相關；

y

也乘上負數，再上下翻轉一次，又變回正相關。倍數的大小（

2

倍、

1

倍）不影響相關係數。

第 5 題否錯誤。配方：

(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 6 y + 9) = - 16 + 4 + 9

，即

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = - 3

。左邊是兩個平方的和，不可能是負數，沒有任何點滿足這個方程式，所以沒有圖形，不是圓。

配方後右邊是正數才是圓，等於

0

是一個點，負數則沒有圖形。

判斷「一定」的敘述，先找反例；圓的一般式一定要配方看右邊的正負。

02單選第 6～8 題：比較大小、絕對值不等式

第 6 題答案 (C)。兩兩相減。

b - a = \frac{r + 3 s}{4} - \frac{r + 2 s}{3} = \frac{3 ( r + 3 s ) - 4 ( r + 2 s )}{12} = \frac{s - r}{12}

，因為

r < s

，所以

b - a > 0

，

b > a

。

a - c = \frac{r + 2 s}{3} - \frac{5 r + s}{6} = \frac{2 ( r + 2 s ) - ( 5 r + s )}{6} = \frac{3 ( s - r )}{6} = \frac{s - r}{2} > 0

，

a > c

。所以

b > a > c

。

用分點的想法也可以：

a

、

b

、

c

都是

r

與

s

的加權平均，

s

所占的比例分別是

\frac{2}{3}

、

\frac{3}{4}

、

\frac{1}{6}

。

s

比較大，

s

占的比例愈高，值愈大，所以

b > a > c

。

第 7 題答案 (B)。分兩種情形。

x \geq 0

時

∣ x ∣ = x

，不等式是

4 x < 8

，

x < 2

，所以

0 \leq x < 2

。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，不等式是

- 3 x + x < 8

，

- 2 x < 8

，

x > - 4

，所以

- 4 < x < 0

。合起來是

- 4 < x < 2

，整數

x

有

- 3, - 2, - 1, 0, 1

，共

5

個。

檢查端點：

x = - 4

時

12 - 4 = 8

，不小於

8

；

x = 2

時

6 + 2 = 8

，也不小於

8

；兩個端點都不算。

第 8 題答案 (D)。三個數都提出

3.0 4^{9}

。

a = 3.0 4^{9} (3.04 - 1) = 2.04 \times 3.0 4^{9}

。

b = 3.0 4^{10} (3.04 - 1) = 2.04 \times 3.04 \times 3.0 4^{9} = 6.2016 \times 3.0 4^{9}

。

c = \frac{3.0 4 ^{9} ( 3.0 4 ^{2} - 1 )}{2} = \frac{9.2416 - 1}{2} \times 3.0 4^{9} = 4.1208 \times 3.0 4^{9}

。

3.0 4^{9} > 0

，比較前面的倍數：

6.2016 > 4.1208 > 2.04

，所以

b > c > a

。

也可以注意到

a + b = 3.0 4^{11} - 3.0 4^{9}

，所以

c = \frac{a + b}{2}

正好是

a

與

b

的平均，一定介於兩者之間；再由

b = 3.04 a > a

得

b > c > a

。

03單選第 9、10 題：圓上的點到直線的距離、代換後的根

第 9 題答案 (A)。圓心

O (0, 0)

，半徑

2

。直線

L

：

x - y = 0

通過圓心。

A

到

L

的距離是

\frac{∣1 - ( - 1 ) ∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{2}{2} = 2

，正好等於半徑。與

L

距離

2

的點，都在平行

L

的兩條直線

x - y = 2

與

x - y = - 2

上。圓心到這兩條直線的距離都是

2

，等於半徑，所以這兩條直線都與圓相切，各只有一個切點。

x - y = 2

的切點：把

y = x - 2

代入

x^{2} + y^{2} = 2

，得

2 x^{2} - 4 x + 2 = 0

，

x = 1

，就是

A (1, - 1)

。

x - y = - 2

的切點：把

y = x + 2

代入，得

2 x^{2} + 4 x + 2 = 0

，

x = - 1

，是

(- 1, 1)

。所以除了

A

以外只有

(- 1, 1)

這

1

個點。

L

通過圓心，圓上的點到

L

的距離最大就是半徑，只有在垂直

L

的那條直徑的兩個端點才達到，這兩個端點是

A

和它對圓心的對稱點

(- 1, 1)

。如果

A

到

L

的距離比半徑小，答案會變成

3

個。

第 10 題答案 (C)。設

a x^{2} + b x + c = 0

的兩根是

α

、

β

，

1 < α < 3

、

1 < β < 3

。每個選項都是把原方程式的

x

換成另一個式子，所以括號裡的式子等於

α

或

β

，也就是落在

1

和

3

之間。(A)

1 < x - 1 < 3

，得

2 < x < 4

。(B)

1 < x + 4 < 3

，得

- 3 < x < - 1

。(C)

1 < 2 x - 7 < 3

，得

8 < 2 x < 10

，

4 < x < 5

，符合。(D)

1 < \frac{x + 5}{2} < 3

，得

2 < x + 5 < 6

，

- 3 < x < 1

。只有 (C) 的兩根必定都在

4

和

5

之間。

以 (C) 為例：

2 x - 7 = α

時

x = \frac{α + 7}{2}

，

α

在

1

到

3

之間時，

x

在

4

到

5

之間。要把

1

到

3

這段長度

2

的範圍變成

4

到

5

這段長度

1

的範圍，

x

的係數一定要是

2

。

方程式裡的 x 整個換成另一個式子時，那個式子的值就是原來的根，再反過來解 x。

04多選第 11、12 題：絕對值方程式、直線的斜率與截距

第 11 題答案 (B)(D)(E)。

∣ x - 3∣

是數線上

x

到

3

的距離，

∣ x ∣

是

x

到

0

的距離，

0

與

3

相距

3

。先看距離和：

x

在

0

與

3

之間時，和恰為

3

；在外面時和大於

3

，而且可以任意大。所以

∣ x - 3∣ + ∣ x ∣

的值可以是

3

以上的任何數。(A)

1 < 3

，無解。(B)

4 \geq 3

，有解；例如

x = 3.5

：

0.5 + 3.5 = 4

。再看距離差：

x \leq 0

時

∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = (3 - x) - (- x) = 3

；

0 \leq x \leq 3

時

∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = (3 - x) - x = 3 - 2 x

，從

3

降到

- 3

；

x \geq 3

時

∣ x - 3∣ - ∣ x ∣ = (x - 3) - x = - 3

。所以

∣ x - 3∣ - ∣ x ∣

的值在

- 3

與

3

之間（含兩端）。(C)

5 > 3

，無解。(D)

3 - 2 x = 1

，

x = 1

，有解。(E)

x \geq 3

的每一個數都是解，有解。

(B) 的另一個解是

x = - 0.5

。(E) 有無限多個解，不是只有一個；題目只問有沒有實數解，所以要選。

第 12 題答案 (A)(C)(E)。(A) 正確：水平直線上任兩點的

y

坐標相同，斜率

\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = 0

。(B) 錯誤：鉛直線上任兩點的

x

坐標相同，斜率公式的分母是

0

，斜率不存在，不是

0

。(C) 正確：

x

軸上每一點的

y

坐標都是

0

，方程式是

y = 0

。(D) 錯誤：

x

截距是直線與

x

軸交點的

x

坐標，令

y = 0

得

2 x - 4 = 0

，

x = 2

，截距是

2

不是

4

。(E) 正確：

L_{1}

的斜率是

- \frac{3}{2}

，

L_{2}

的斜率是

\frac{2}{3}

，相乘

- \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = - 1

，所以互相垂直。

(E) 的常數項

100

、

200

只影響直線的位置，不影響斜率。(D) 的

y

截距是令

x = 0

得到的

\frac{4}{3}

，也不是

4

。

05填充第 13、14 題：圓方程式、多項式的奇數次項

第 13 題先配方求原來的圓心與半徑：

(x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) = 3 + 1 + 4

，即

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 8

。圓心

(- 1, 2)

，半徑

8 = 22

。向東移動一單位是

x

坐標加

1

，向北移動一單位是

y

坐標加

1

，新圓心是

(0, 3)

。新半徑是

1.5 \times 22 = 32

，半徑的平方是

18

。新的圓方程式是

x^{2} + (y - 3)^{2} = 18

。

半徑變成

1.5

倍，方程式右邊的數是半徑的平方，要乘

1. 5^{2} = 2.25

：

8 \times 2.25 = 18

，不是

8 \times 1.5 = 12

。展開寫成

x^{2} + y^{2} - 6 y - 9 = 0

也是同一個圓。

第 14 題把

x

換成

- x

：偶數次項

a x^{8}

、

b x^{6}

、

- c x^{4}

與常數項

- \frac{31}{2}

都不變，只有

d x

變成

- d x

。所以

f (x) - f (- x) = d x - (- d x) = 2 d x

。代

x = 4

：

f (4) - f (- 4) = 8 d = - 24

，得

d = - 3

。代

x = 8

：

f (8) - f (- 8) = 16 d = 16 \times (- 3) = - 48

。

a

、

b

、

c

與常數項在相減時全部消掉，所以求不出來也不需要求。

f (8) - f (- 8)

是

f (4) - f (- 4)

的

2

倍，因為兩者都只跟

x

成正比。

06填充第 15、16 題：等差數列、立方和

第 15 題設十項為

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}

，公差為

d

。奇數項是

a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}, a_{9}

，偶數項是

a_{2}, a_{4}, a_{6}, a_{8}, a_{10}

，各有

5

項，而且每個偶數項都比前一個奇數項多

d

：

a_{2} - a_{1} = a_{4} - a_{3} = \dots = a_{10} - a_{9} = d

。所以偶數項之和減去奇數項之和等於

5 d

：

5 d = 11 - 21 = - 10

，

d = - 2

。

檢查：奇數項之和

5 a_{1} + (0 + 2 + 4 + 6 + 8) d = 5 a_{1} + 20 d = 21

，代

d = - 2

得

a_{1} = \frac{61}{5}

；偶數項之和

5 a_{1} + 25 d = 61 - 50 = 11

，與題目相符。

第 16 題所求等於「

1^{3}

加到

1 5^{3}

」減去「

1^{3}

加到

5^{3}

」。代公式：

1^{3} + 2^{3} + \dots + 1 5^{3} = (\frac{15 \times 16}{2})^{2} = 12 0^{2} = 14400

；

1^{3} + 2^{3} + \dots + 5^{3} = (\frac{5 \times 6}{2})^{2} = 1 5^{2} = 225

。所以

6^{3} + 7^{3} + \dots + 1 5^{3} = 14400 - 225 = 14175

。

要減掉的是前

5

項（到

5^{3}

），不是前

6

項；

6^{3}

是所求的第一項，要留著。

07填充第 17 題：兩條平行線截出等長的弦

第 17 題兩條直線

2 x - y + 4 = 0

與

2 x - y - 6 = 0

的斜率相同，互相平行，距離是

\frac{∣4 - ( - 6 ) ∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{10}{5} = 25

。設圓的半徑為

r

，圓心到一條弦的距離（弦心距）為

d

，弦長的一半是

5

，則

d^{2} + 5^{2} = r^{2}

。兩條弦一樣長，所以圓心到兩條直線的距離相等；圓心到兩條平行線等距，只可能在兩線的正中間，

d = \frac{2 5}{2} = 5

。於是

r^{2} = (5)^{2} + 5^{2} = 30

，圓的面積是

π r^{2} = 30 π

，空格填

30

。

圓心若在兩條平行線的同一側，到兩線的距離會差

25

，不可能相等，所以圓心一定在兩線之間。題目沒有給圓心的位置，圓心可以是正中間那條直線

2 x - y = 1

上的任何一點，面積都一樣。

弦長的一半、弦心距、半徑構成直角三角形；等長的弦到圓心的距離相等。

08填充第 18、19 題：加權平均、最適直線

第 18 題五次平時考

78, 93, 71, 80, 85

中較好的三次是

93, 85, 80

，平均

\frac{93 + 85 + 80}{3} = \frac{258}{3} = 86

。學期成績

= 86 \times 0.4 + 85 \times 0.2 + 77 \times 0.2 + 93 \times 0.2 = 34.4 + 17 + 15.4 + 18.6 = 85.4

（分）。

四個比例

40% + 20% + 20% + 20% = 100%

。後三項比例相同，可以合起來算：

(85 + 77 + 93) \times 0.2 = 255 \times 0.2 = 51

，再加

34.4

。

第 19 題

Y

對

X

的最適直線一定通過

(μ_{X}, μ_{Y}) = (40, 60)

。題目又說它通過

(20, 35)

，兩點決定一條直線：斜率

= \frac{60 - 35}{40 - 20} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}

，方程式是

y - 60 = \frac{5}{4} (x - 40)

。代

x = 64

：

y = 60 + \frac{5}{4} \times 24 = 60 + 30 = 90

。預測國文成績為

90

分。

相關係數

r = 0.6

在這一題用不到。最適直線的斜率是

r \times \frac{σ _{Y}}{σ _{X}}

，由斜率

\frac{5}{4}

可以反推

\frac{σ _{Y}}{σ _{X}} = \frac{25}{12}

，但題目沒有問。

最適直線一定通過兩個平均數所成的點，再知道一點或斜率就能寫出方程式。

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02單選第 6～8 題：比較大小、絕對值不等式

03單選第 9、10 題：圓上的點到直線的距離、代換後的根

04多選第 11、12 題：絕對值方程式、直線的斜率與截距

05填充第 13、14 題：圓方程式、多項式的奇數次項

06填充第 15、16 題：等差數列、立方和

07填充第 17 題：兩條平行線截出等長的弦

08填充第 18、19 題：加權平均、最適直線

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高三第一次段考
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