段考詳解範圍：數學甲上冊（數列的極限、無窮等比級數、函數、函數的極限與連續、導數與切線）及高一高二複習（數列與級數、數據分析、排列組合與機率、三角比）

屏東高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 屏東高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 屏東高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 7 題：絕對值函數在尖點沒有切線，分段函數在接點的導數要回到定義分左右算，不能把函數值當成導數。多選第 8 題：分母趨近 0 而分子不趨近 0 的那一項極限不存在，多項式的極限才等於函數值。多選第 11 題：連續正偶數的鈍角三角形只有 4、6、8 一組，要同時檢查兩個條件。選填第 17 題：切線斜率是二次函數，最小值發生在頂點，另外還要用點在圖形上求第二個未知數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題、多重選擇題 6 題、選填題 9 題，共 20 題；原卷未印配分。卷頭印的科目是自然組數學，本站依內容歸為數學甲。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：

下列哪一個函數的定義域為所有實數？

(1) $f (x) = 4 - x^{2}$
(2) $f (x) = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2}$
(3) $f (x) = \frac{1}{x}$
(4) $f (x) = 1 0^{x}$
(5) $f (x) = lo g x$

求

n \to \infty lim \frac{4 \times 1 0 ^{n} - 3 \times 1 0 ^{2 n}}{3 \times 1 0 ^{n - 1} + 2 \times 1 0 ^{2 n - 1}} =

(1) $0$
(2) $1$
(3) $\frac{4}{3}$
(4) $\frac{3}{2}$
(5) $- 15$

若

h (x) = ∣ x^{3} ∣ + 1

，則

h^{'} (0) =

(1) $0$
(2) $1$
(3) $- 1$
(4) $2$
(5) 不存在

設數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{1} = 1

及遞迴關係式

a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{2}

，

n

為正整數，則此數列前

40

項的和為下列哪一個數？

(1) $(\frac{1}{2})^{40}$
(2) $\frac{1850}{4}$
(3) $430$
(4) $210$
(5) $60$

羽球代表隊有

7

位選手，其中甲、乙、丙是右手持拍的選手，丁、戊是左手持拍的選手，而己、庚為二刀流（即左、右持拍皆可）。現在要派出兩名選手參加雙打比賽，教練想派出一個右手持拍和一個左手持拍的選手，則教練派出選手的方法有多少種？

(1) $12$
(2) $16$
(3) $18$
(4) $21$
(5) $24$

二、多重選擇題：

已知函數

f (x) = x^{2} + 3

，

g (x) = cos x

，

h (x) = ∣ x ∣

，

k (x) = \frac{x}{∣ x ∣}

，選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 為偶函數
(2) $f (x)$ 的圖形對稱於原點
(3) $g (x)$ 的圖形對稱於原點
(4) $h (x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(5) $k (x)$ 的圖形對稱於原點。

下列選項哪些正確？

(1) 若 $f^{'} (a)$ 存在，則 $f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$
(2) $x \to 1 lim \frac{∣ x ∣ - 1}{x - 1} = 1$
(3) 若 $f (x) = ∣ x ∣$ ，則 $x$ 軸為點 $(0, f (0))$ 的切線
(4) $x \to \frac{1}{2} lim \frac{∣2 x ∣}{x}$ 不存在
(5) 若 $f (x) = {x^{2} + 2, x^{3} + 2, 當 x \geq 0 當 x < 0$ ，則 $f^{'} (0) = 2$

已知多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim f (x) = 5

，選出所有正確的選項。

(1) $x \to 1 lim (f (x) + \frac{x}{x - 1}) = 5$
(2) $x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) \cdot f ( x )}{x ^{2} - 1} = \frac{5}{2}$
(3) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = - 5$
(4) $x \to 1 lim ((x - 1) \cdot f (x)) = 0$
(5) $f (1) = 5$

設

θ

是一銳角，已知

2 sin θ = cos θ

，則下列選項哪些正確？

(1) $sin θ = \frac{1}{5}$
(2) $cos θ = \frac{1}{5}$
(3) $tan θ = \frac{1}{5}$
(4) $tan θ = \frac{1}{2}$
(5) $tan θ = 5$

有

30

筆數據

(x_{i}, y_{i})

，

i = 1

，

2

，

3

，…，

30

，其平均

μ_{x} = 60

，

μ_{y} = 70

，

x

與

y

相關係數為

0.9

，且

y

對

x

的迴歸直線過點

(20, 40)

，則下列選項哪些正確？

(1) 迴歸直線的斜率為 $0.9$
(2) $x$ 的標準差大於 $y$ 的標準差
(3) 迴歸直線過點 $(30, 50)$
(4) 若 $u_{i} = 4 x_{i} + 6$ ， $v_{i} = - 6 y_{i} + 20$ （ $i = 1, 2, 3, \dots, 30$ ），則 $u$ 與 $v$ 的相關係數為 $0.9$
(5) 已知第 $31$ 筆數據 $(x_{31}, y_{31})$ 的 $x_{31} = 70$ ，若利用此 $30$ 筆數據的迴歸直線，則預測 $y_{31} = 77.5$ 。

△ A B C

為鈍角三角形，三邊長為連續正偶數，則下列選項哪些正確？

(1) 最大邊長為 $12$
(2) 最小邊長為 $8$
(3) 若最大角為 $∠ A$ ，則 $cos A = - \frac{1}{4}$
(4) 若最小角為 $∠ C$ ，則 $cos C = \frac{7}{8}$
(5) 此三角形的面積為 $35$

三、選填題：

求

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} + 1}{n} - \frac{n ^{2} - 2 n + 5}{n - 1})

的值為

◯

。

求無窮級數

\frac{2}{5} + \frac{8}{5 ^{2}} + \frac{26}{5 ^{3}} + \dots + \frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} + \dots

的和為

\frac{◯}{◯}

。

已知函數

f (x) = {x^{2} + 5, a x - 2, 當 x \geq 1 當 x < 1

在

x = 1

處連續，求實數

a

的值為

◯

。

已知對任意正整數

n \geq 4

，不等式

n^{2} \leq 2^{n}

恆成立，求

n \to \infty lim \frac{n}{2 ^{n}}

的值為

◯

。

求函數

f (x) = (1 + x) (1 - x)^{3}

的圖形上，以點

P (0, 1)

為切點的切線方程式斜率為

◯ ◯

。

已知在函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} - 5 x + b

圖形上所有切線的斜率中，以

P (- 1, 5)

為切點的切線斜率最小，求實數對

(a, b) = (◯, ◯ ◯)

。

擲兩粒公正骰子一次，觀察出現點數，則點數乘積為完全平方數的機率為

\frac{◯}{◯}

。

在

50

個數據中，其中有

10

個

1

，

15

個

- 1

，其餘為

0

。試求這群數據的標準差為

\frac{◯}{◯ ◯}

。

投擲兩顆公正的骰子，則出現點數差之絕對值的期望值為

\frac{◯ ◯}{◯ ◯}

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(5)

第 3 題(1)

第 4 題(3)

第 5 題(3)（若只數派出哪兩人是 17 種，不在選項中，見詳解）

第 6 題(1)(4)(5)

第 7 題(1)(2)

第 8 題(2)(3)(4)(5)

第 9 題(1)(4)

第 10 題(2)(5)

第 11 題(3)(4)

第 12 題

1

第 13 題

\frac{5}{4}

第 14 題

8

第 15 題

0

第 16 題

- 2

第 17 題

(3, - 2)

第 18 題

\frac{2}{9}

第 19 題

\frac{7}{10}

第 20 題

\frac{35}{18}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：定義域、數列的極限、導數的定義、等差級數、計數

第 1 題答案 (4)。(1) 根號裡面要

4 - x^{2} \geq 0

，定義域是

- 2 \leq x \leq 2

。(2) 分母不可為

0

，

x \neq = 2

。(3)

x \neq = 0

。(4)

1 0^{x}

對每個實數

x

都有意義，定義域是所有實數。(5) 真數要為正，

x > 0

。

(2) 約分後是

x + 2

，但約分前

x = 2

會讓分母為

0

，所以定義域要扣掉

2

；定義域看的是原來的式子。

第 2 題答案 (5)。分子分母中成長最快的是

1 0^{2 n}

，同除以

1 0^{2 n}

：分子

= \frac{4}{1 0 ^{n}} - 3

，分母

= \frac{3}{1 0 ^{n + 1}} + \frac{2}{10}

。

n \to \infty

時

\frac{4}{1 0 ^{n}} \to 0

、

\frac{3}{1 0 ^{n + 1}} \to 0

，所以極限

= \frac{- 3}{\frac{2}{10}} = - 15

。

1 0^{2 n - 1} = \frac{1 0 ^{2 n}}{10}

，分母的係數是

\frac{2}{10}

不是

2

；若漏掉這個

\frac{1}{10}

會算成

- \frac{3}{2}

。

第 3 題答案 (1)。

h (0) = 1

，用導數的定義：

h^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{h ( x ) - h ( 0 )}{x - 0} = x \to 0 lim \frac{∣ x ^{3} ∣}{x}

。因為

∣ x^{3} ∣ = x^{2} ∣ x ∣

，所以

\frac{∣ x ^{3} ∣}{x} = x ∣ x ∣

，

x \to 0

時趨近

0

，得

h^{'} (0) = 0

。

分左右看也一樣：

x > 0

時

\frac{x ^{3}}{x} = x^{2} \to 0

，

x < 0

時

\frac{- x ^{3}}{x} = - x^{2} \to 0

，左右極限相等。有絕對值不代表在那一點一定不可微分。

第 4 題答案 (3)。

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{2}

，所以

⟨ a_{n} ⟩

是首項

1

、公差

\frac{1}{2}

的等差數列。

a_{40} = 1 + 39 \times \frac{1}{2} = \frac{41}{2}

，前

40

項的和

= \frac{40 ( 1 + \frac{41}{2} )}{2} = 20 \times \frac{43}{2} = 430

。

第 5 題答案 (3)。能拿右手拍的有甲、乙、丙、己、庚共

5

人，能拿左手拍的有丁、戊、己、庚共

4

人。先選右手持拍的人、再選左手持拍的人，有

5 \times 4 = 20

種；其中右手與左手選到同一個人（己配己、庚配庚）的

2

種不合，所以共有

20 - 2 = 18

種。

分類檢查：只用右手的

3

人配只用左手的

2

人有

6

種；只用右手的配二刀流有

3 \times 2 = 6

種；二刀流配只用左手的有

2 \times 2 = 4

種；己、庚兩人同時上場，誰拿右手拍有

2

種。合計

6 + 6 + 4 + 2 = 18

。這個算法把「己右庚左」與「庚右己左」當成不同的派法；若只看派出哪兩個人，這兩種算同一種，會是

17

種，不在選項中，所以本題依選項取

18

。

指數型的極限同除以成長最快的那一項；絕對值函數在接點的導數回到定義分左右算。

02多選 6～8：函數的對稱性、導數的定義、函數的極限

第 6 題答案 (1)(4)(5)。(1)

f (- x) = (- x)^{2} + 3 = x^{2} + 3 = f (x)

，是偶函數，對。(2) 偶函數的圖形對稱於

y

軸；

f (1) = 4

，若對稱於原點應有

f (- 1) = - 4

，但

f (- 1) = 4

，錯。(3)

g (- x) = cos (- x) = cos x = g (x)

，圖形對稱於

y

軸；

g (0) = 1

，圖形過

(0, 1)

卻不過

(0, - 1)

，不對稱於原點，錯。(4)

h (- x) = ∣ - x ∣ = ∣ x ∣ = h (x)

，圖形對稱於

y

軸，對。(5)

k (- x) = \frac{- x}{∣ - x ∣} = - \frac{x}{∣ x ∣} = - k (x)

（

x \neq = 0

），是奇函數，圖形對稱於原點，對。

k (x)

在

x > 0

時恆為

1

、

x < 0

時恆為

- 1

，在

x = 0

沒有定義；奇函數只要求定義域內的每個

x

都滿足

k (- x) = - k (x)

。

第 7 題答案 (1)(2)。(1) 這就是導數的定義，對。(2)

x

在

1

附近時

x > 0

，

∣ x ∣ = x

，

\frac{∣ x ∣ - 1}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} = 1

，極限為

1

，對。(3)

f (x) = ∣ x ∣

在

x = 0

：

x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣ - 0}{x} = 1

，

x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣ - 0}{x} = - 1

，左右不相等，

f^{'} (0)

不存在，圖形在

(0, 0)

是尖點，沒有切線，錯。(4)

x

在

\frac{1}{2}

附近時

x > 0

，

\frac{∣2 x ∣}{x} = \frac{2 x}{x} = 2

，極限存在且為

2

，錯。(5)

f (0) = 2

。

x \to 0^{+} lim \frac{( x ^{2} + 2 ) - 2}{x} = x \to 0^{+} lim x = 0

，

x \to 0^{-} lim \frac{( x ^{3} + 2 ) - 2}{x} = x \to 0^{-} lim x^{2} = 0

，所以

f^{'} (0) = 0

，不是

2

，錯。

(4) 若改成

x \to 0

，左右極限分別是

- 2

與

2

，才會不存在；極限只看趨近的那一點附近。(5) 的

2

是函數值

f (0)

，不是導數。

第 8 題答案 (2)(3)(4)(5)。多項式函數處處連續，所以

f (1) = x \to 1 lim f (x) = 5

。(1)

x \to 1

時

\frac{x}{x - 1}

的分子趨近

1

、分母趨近

0

，極限不存在；若整個式子的極限存在，減去

f (x)

的極限後

\frac{x}{x - 1}

的極限也要存在，矛盾，所以極限不存在，錯。(2)

x \neq = 1

時

\frac{( x - 1 ) f ( x )}{x ^{2} - 1} = \frac{f ( x )}{x + 1}

，極限

= \frac{5}{2}

，對。(3) 分母趨近

1 - 2 = - 1 \neq = 0

，極限

= \frac{5}{- 1} = - 5

，對。(4) 極限

= 0 \times 5 = 0

，對。(5) 由連續性

f (1) = 5

，對。

(5) 用到「

f (x)

是多項式」這個條件；一般的函數只知道極限是

5

，並不能推得函數值是

5

。

圖形對稱於 y 軸是偶函數、對稱於原點是奇函數；多項式函數的極限就是函數值。

03多選 9～11：三角比、迴歸直線、餘弦定理

第 9 題答案 (1)(4)。

2 sin θ = cos θ

，兩邊同除以

2 cos θ

（銳角的

cos θ > 0

）得

tan θ = \frac{1}{2}

。畫一個直角三角形，對邊

1

、鄰邊

2

，斜邊

= 1^{2} + 2^{2} = 5

，所以

sin θ = \frac{1}{5}

，

cos θ = \frac{2}{5}

。(1) 對。(2) 應為

\frac{2}{5}

，錯。(3) 錯。(4) 對。(5) 錯。

第 10 題答案 (2)(5)。

y

對

x

的迴歸直線一定通過

(μ_{x}, μ_{y}) = (60, 70)

，又過

(20, 40)

，斜率

= \frac{70 - 40}{60 - 20} = \frac{3}{4}

，直線為

y - 70 = \frac{3}{4} (x - 60)

。(1) 斜率是

\frac{3}{4}

，錯。(2) 斜率

= r \cdot \frac{σ _{y}}{σ _{x}}

，所以

0.9 \cdot \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{3}{4}

，

\frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{5}{6} < 1

，

σ_{x} > σ_{y}

，對。(3)

x = 30

時

y = 70 + \frac{3}{4} (30 - 60) = 47.5

，不是

50

，錯。(4)

u = 4 x + 6

的係數為正、

v = - 6 y + 20

的係數為負，兩個係數異號，相關係數變號，為

- 0.9

，錯。(5)

x = 70

時

y = 70 + \frac{3}{4} (70 - 60) = 77.5

，對。

相關係數

0.9

不是斜率；斜率還要乘上兩個標準差的比。

第 11 題答案 (3)(4)。設三邊長為

2 k - 2

、

2 k

、

2 k + 2

（

k

為整數，

k \geq 2

）。能構成三角形：

(2 k - 2) + 2 k > 2 k + 2

，得

k > 2

。最大邊

2 k + 2

的對角是鈍角：

(2 k - 2)^{2} + (2 k)^{2} < (2 k + 2)^{2}

，展開得

8 k^{2} - 8 k + 4 < 4 k^{2} + 8 k + 4

，即

4 k^{2} < 16 k

，

k < 4

。所以

k = 3

，三邊長為

4

、

6

、

8

。(1) 最大邊長是

8

，錯。(2) 最小邊長是

4

，錯。(3) 最大角對最大邊

8

：

cos A = \frac{4 ^{2} + 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{- 12}{48} = - \frac{1}{4}

，對。(4) 最小角對最小邊

4

：

cos C = \frac{6 ^{2} + 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{84}{96} = \frac{7}{8}

，對。(5)

sin A = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{4}

，面積

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{15}{4} = 315

，不是

35

，錯。

k = 2

時三邊為

2

、

4

、

6

，

2 + 4 = 6

不能構成三角形；

k = 4

時三邊為

6

、

8

、

10

，是直角三角形。兩個條件都要用到。

迴歸直線必過兩個平均數所成的點；鈍角三角形要同時檢查能構成三角形與最大邊平方大於另兩邊平方和。

04選填 12～15：數列的極限、無窮等比級數、連續、夾擠定理

第 12 題兩項各自都會無限變大，不能分開取極限，要先通分：

\frac{n ^{2} + 1}{n} - \frac{n ^{2} - 2 n + 5}{n - 1} = \frac{( n ^{2} + 1 ) ( n - 1 ) - n ( n ^{2} - 2 n + 5 )}{n ( n - 1 )}

。分子

= (n^{3} - n^{2} + n - 1) - (n^{3} - 2 n^{2} + 5 n) = n^{2} - 4 n - 1

，所以原式

= \frac{n ^{2} - 4 n - 1}{n ^{2} - n}

。分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{1 - \frac{4}{n} - \frac{1}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n}} \to \frac{1}{1} = 1

。

第 13 題一般項

\frac{3 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = (\frac{3}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}

，是兩個公比絕對值都小於

1

的等比數列的差，兩個無窮等比級數都收斂，可以分開求和：

\frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} - \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

。

檢查前幾項：

n = 1, 2, 3

時

3^{n} - 1 = 2, 8, 26

，與題目列出的分子相符。

第 14 題在

x = 1

連續，要左極限、右極限與函數值三者相等。

f (1) = 1^{2} + 5 = 6

，

x \to 1^{+} lim f (x) = 6

，

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{-} lim (a x - 2) = a - 2

。所以

a - 2 = 6

，

a = 8

。

第 15 題

n \geq 4

時

n^{2} \leq 2^{n}

，取倒數得

\frac{1}{2 ^{n}} \leq \frac{1}{n ^{2}}

，兩邊同乘正數

n

：

0 < \frac{n}{2 ^{n}} \leq \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n}

。而

n \to \infty lim 0 = 0

、

n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

，由夾擠定理得

n \to \infty lim \frac{n}{2 ^{n}} = 0

。

題目給的不等式就是提示：把要求的數列夾在兩個極限相同的數列之間。

兩個都發散的式子相減先通分；夾擠定理要找到上下兩個極限相同的數列。

05選填 16～17：切線斜率

第 16 題先確認

f (0) = 1 \cdot 1 = 1

，

P (0, 1)

在圖形上。把

f (x)

展開：

(1 - x)^{3} = 1 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3}

，

f (x) = (1 + x) (1 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3}) = 1 - 2 x + 2 x^{3} - x^{4}

。微分得

f^{'} (x) = - 2 + 6 x^{2} - 4 x^{3}

，切線斜率

= f^{'} (0) = - 2

。

若學過乘積與連鎖律的微分公式，也可以不展開：

f^{'} (x) = (1 - x)^{3} + (1 + x) \cdot 3 (1 - x)^{2} \cdot (- 1)

，

f^{'} (0) = 1 - 3 = - 2

，結果相同。

第 17 題切線斜率是

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x - 5

，這是開口向上的二次函數，配方得

f^{'} (x) = 3 (x + \frac{a}{3})^{2} - \frac{a ^{2}}{3} - 5

，在

x = - \frac{a}{3}

時最小。題目說切點

P

的

x

坐標

- 1

處斜率最小，所以

- \frac{a}{3} = - 1

，

a = 3

。又

P (- 1, 5)

在圖形上：

f (- 1) = - 1 + 3 + 5 + b = 7 + b = 5

，得

b = - 2

。所以

(a, b) = (3, - 2)

。

這題有兩個條件：斜率最小決定

a

，點在圖形上決定

b

；

b

不影響斜率，只能靠

f (- 1) = 5

求。

切線斜率就是導數；三次函數的切線斜率是二次函數，最小值用配方找。

06選填 18～20：機率、標準差、期望值

第 18 題兩粒骰子共

6 \times 6 = 36

種等機會的結果。兩個點數相同時乘積是完全平方數，有

(1, 1), (2, 2), \dots, (6, 6)

共

6

種。點數不同時，乘積在

2

到

30

之間，其中的完全平方數只有

4, 9, 16, 25

：

4 = 1 \times 4

，

9

、

25

無法寫成兩個不同點數的乘積，

16 = 2 \times 8

的

8

超過骰子的點數，所以只有

(1, 4)

、

(4, 1)

共

2

種。機率

= \frac{6 + 2}{36} = \frac{2}{9}

。

容易漏掉

(1, 4)

與

(4, 1)

：乘積

4

也是完全平方數。

第 19 題

0

的個數是

50 - 10 - 15 = 25

。平均數

μ = \frac{10 \times 1 + 15 \times ( - 1 ) + 25 \times 0}{50} = - \frac{1}{10}

。各數平方的平均

= \frac{10 \times 1 + 15 \times 1 + 25 \times 0}{50} = \frac{1}{2}

。變異數

= \frac{1}{2} - (- \frac{1}{10})^{2} = \frac{50}{100} - \frac{1}{100} = \frac{49}{100}

，標準差

= \frac{7}{10}

。

平均數不是

0

，不可以直接把平方的平均開根號；要減去平均數的平方。

第 20 題兩顆骰子共

36

種等機會的結果。點數差的絕對值為

0

的有

6

種，為

1

的有

10

種，為

2

的有

8

種，為

3

的有

6

種，為

4

的有

4

種，為

5

的有

2

種（合計

36

種）。期望值

= \frac{0 \times 6 + 1 \times 10 + 2 \times 8 + 3 \times 6 + 4 \times 4 + 5 \times 2}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18}

。

差的絕對值為

d

（

d \geq 1

）時，較小的點數可以是

1

到

6 - d

，兩顆骰子再對調，共

2 (6 - d)

種；

d = 0

時不能對調，只有

6

種。

標準差是平方的平均減去平均的平方再開根號；骰子的機率把 36 種結果依條件分類數清楚。

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