段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

溪湖高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

是非題 10 題（每題 2 分，共 20 分）、填充題 15 題（共 80 分）；填充題依答對題數給分，答對 1～15 題依序得 7、14、21、28、35、41、47、53、59、65、68、71、74、77、80 分。本頁第 1～10 題為原卷是非題 1～10，第 11～25 題依序為原卷填充題 1～15。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、是非題（每題 2 分，共 20 分）：下列各題的敘述，正確請打「○」，錯誤請打「×」

y = lo g_{114} x

的圖形為嚴格遞增函數

y = lo g_{114} x

與

y = lo g_{\frac{1}{114}} x

的圖形對稱於直線

x = y

y = lo g_{\frac{1}{114}} x

的圖形上任取相異兩點

P

、

Q

，則直線

P Q

的斜率為正

設

a > 0

且

a \neq = 1

，則

y = lo g_{a} x

之圖形為凹口向上

將

y = lo g_{3} x

的圖形對直線

x - y = 0

對稱後的圖形和直線

y = 4

交於

A

點，則

A

點坐標為

(lo g_{3} 4, 4)

若

a > b > 1

，

x

為實數，則

a^{x} > b^{x}

設

x, y

為實數，若

(0.38)^{x} > (0.38)^{y}

，則

x < y

方程式

3^{x} + lo g_{3} x = 0

有一個實根

3^{l o g_{3} 114} = 114

指數函數

y = (0.38)^{x}

的圖形與

y = 0.38

不相交

二、填充題（共 80 分）

lo g_{114} 1 =

____

若

lo g_{\frac{1}{114}} k = - 1

，則

k =

____

若

9^{4 x - 1} = 27

，則

x =

____

若

(0.9)^{x^{2} - x} \geq (0.81)^{3}

，則

x

的範圍為 ____

若

lo g (3 x - 5) \leq 1

，則

x

的範圍為 ____

2 lo g 6 - lo g 25 - lo g 7 + lo g \frac{14}{9} - 5 lo g 2

之值為 ____

設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

，

y = 10

與

y = 5^{x}

的交點，則直線

P Q

的斜率為 ____

(lo g_{2} 25 - lo g_{0.5} 0.2) (lo g_{5} 0.5 + lo g_{0.2} 2)

之值為 ____

試求不等式

2 lo g_{0.114} (x + 2) \leq lo g_{0.114} (2 x + 12)

，則

x

的範圍為 ____

設銀行利率的算法有單利和複利兩種： (I) 單利：本利和

S =

本金

P \times (1 +

期利率

\times

期數

)

， (II) 複利：本利和

S =

本金

P \times (1 +

期利率

)^{期數}

，芳芳準備向某銀行貸款

1

百萬元當作創業基金，其年利率為

4%

，約定兩年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利（每半年複利一次）計息還款，但給芳芳創業優惠改以單利計息還款。請問在此優惠下，芳芳在兩年期滿還款時可以比一般複利計息少繳 ____ 元。（四捨五入到整數）（已知

(1.04)^{2} = 1.0816

，

(1.04)^{4} = 1.16985856

，

(1.02)^{2} = 1.0404

，

(1.02)^{4} = 1.08243216

）

根據實驗統計，某種細菌繁殖，其數量每

20

分鐘會擴增為原來的

3

倍，假設實驗室的細菌培養皿一開始有此細菌

1000

隻，若

10

小時

20

分鐘後和

10

小時後的細菌數相差數量最接近

1 0^{k}

，其中

k

為正整數，試問

k

值為 ____

已知一直角三角形的兩股長分別為

\frac{lo g 4}{lo g 3}

與

\frac{lo g 8}{lo g 9}

，若此直角三角形的周長為

lo g_{3} k

，則

k

值為 ____

設正實數

x, y, z, k

滿足

2 + lo g_{2} x = 4 + lo g_{4} y = 8 + lo g_{8} z = k

，且

x < y < z

，則

k

的範圍為 ____

已知

(\frac{1}{4})^{a} = lo g a

，

(\frac{1}{3})^{b} = lo g b

，

(\frac{1}{2})^{c} = lo g c

，則

a, b, c

三數的大小關係為 ____

>

____

>

____

已知方程式：

1 0^{x} + x - 6 = 0

的解為

α

；

lo g x + x - 6 = 0

的解為

β

，則

1 0^{α} + lo g β =

____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2×

3×

4×

5○

6×

7○

8○

9○

10×

第 11 題

0

第 12 題

114

第 13 題

\frac{5}{8}

第 14 題

- 2 \leq x \leq 3

第 15 題

\frac{5}{3} < x \leq 5

第 16 題

- 2

第 17 題

8

第 18 題

- 2

第 19 題

x \geq 2

第 20 題

2432

第 21 題

17

（若比較常用對數的遠近則為

18

）

第 22 題

64

第 23 題

k > 16

第 24 題

c > b > a

第 25 題

6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～4 題：對數函數的遞增遞減、對稱與凹口方向

第 1 題○對。底數

114 > 1

，

y = lo g_{114} x

在定義域

x > 0

上是遞增函數：

0 < x_{1} < x_{2}

時

lo g_{114} x_{1} < lo g_{114} x_{2}

。

第 2 題×錯。由換底公式

lo g_{\frac{1}{114}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{114}} = \frac{lo g x}{- lo g 114} = - lo g_{114} x

，所以兩圖形上的點是

(x, y)

與

(x, - y)

的關係，對稱於

x

軸，不是對稱於直線

x = y

。

對稱於直線

x = y

的是

y = lo g_{114} x

與

y = 11 4^{x}

。

第 3 題×錯。底數

\frac{1}{114}

介於

0

與

1

之間，

y = lo g_{\frac{1}{114}} x

是遞減函數。取兩點

x_{1} < x_{2}

，則

y_{1} > y_{2}

，斜率

\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} < 0

，斜率為負。

例如

(1, 0)

與

(114, - 1)

都在圖形上，連線斜率

= \frac{- 1 - 0}{114 - 1} < 0

。

第 4 題×錯。凹口方向與底數有關：

a > 1

時

y = lo g_{a} x

遞增而且越來越平緩，圖形凹口向下；

0 < a < 1

時圖形凹口向上。題目沒有限制

a

的範圍，所以不一定凹口向上。

以

a = 10

檢查：

lo g 1 = 0

、

lo g 100 = 2

，中點

x = 50.5

處

lo g 50.5 \approx 1.70

，比兩端點函數值的平均

1

大，圖形在弦的上方，凹口向下。

對數函數的底數大於

1

時遞增、凹口向下；底數介於

0

與

1

之間時遞減、凹口向上。

02是非第 5～7 題：對稱於直線 y＝x、指數的大小比較

第 5 題○對。直線

x - y = 0

就是

y = x

。

y = lo g_{3} x

對

y = x

對稱，是把每一點的

x

、

y

坐標互換，得

x = lo g_{3} y

，即

y = 3^{x}

。與

y = 4

的交點滿足

3^{x} = 4

，

x = lo g_{3} 4

，所以

A (lo g_{3} 4, 4)

。

第 6 題×錯。

x

可以是零或負數。取

x = 0

：

a^{0} = b^{0} = 1

，不是

a^{x} > b^{x}

。再取

a = 3

、

b = 2

、

x = - 1

：

a^{- 1} = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} = b^{- 1}

，大小相反。

只有

x > 0

時才有

a^{x} > b^{x}

。

第 7 題○對。底數

0.38

介於

0

與

1

之間，

y = (0.38)^{x}

是遞減函數，函數值較大的那一個，指數較小。由

(0.38)^{x} > (0.38)^{y}

得

x < y

。

比較

a^{x}

與

b^{x}

要看

x

的正負；同底的指數比較要看底數是大於

1

還是小於

1

。

03是非第 8～10 題：實根個數、指數與對數互換、圖形的交點

第 8 題○對。設

f (x) = 3^{x} + lo g_{3} x

，定義域

x > 0

。

3^{x}

與

lo g_{3} x

都是遞增函數，所以

f (x)

也是遞增函數，最多只有一個實根。又

f (\frac{1}{27}) = 3^{\frac{1}{27}} - 3 < 3^{1} - 3 = 0

，

f (1) = 3 + 0 = 3 > 0

，函數值由負變正，在

\frac{1}{27}

與

1

之間有一個實根。所以恰有一個實根。

也可以看成

y = 3^{x}

與

y = - lo g_{3} x

兩圖形的交點：前者遞增、後者遞減，恰好交於一點。實根約為

0.24

。

第 9 題○對。設

t = lo g_{3} 114

，依對數的定義

3^{t} = 114

，所以

3^{l o g_{3} 114} = 114

。

第 10 題×錯。

x = 1

時

y = (0.38)^{1} = 0.38

，所以兩圖形交於點

(1, 0.38)

。

y = (0.38)^{x}

的值域是所有正數，與任何一條

y = c

（

c > 0

）都恰交於一點。

一個遞增函數最多只有一個零點，再找出函數值一正一負的兩點，就能確定恰有一個實根。

04填充第 1～3 題（第 11～13 題）：對數的定義、指數方程式

第 11 題

11 4^{0} = 1

，所以

lo g_{114} 1 = 0

。

第 12 題由對數的定義，

lo g_{\frac{1}{114}} k = - 1

表示

k = (\frac{1}{114})^{- 1} = 114

。

第 13 題化成以

3

為底：

9^{4 x - 1} = 3^{2 (4 x - 1)} = 3^{8 x - 2}

，

27 = 3^{3}

。指數函數是一對一的，所以

8 x - 2 = 3

，

x = \frac{5}{8}

。

答案卷這一格註明「化成最簡分數」。

指數方程式先化成同底，再比較指數。

05填充第 4、5 題（第 14、15 題）：指數不等式、對數不等式

第 14 題

(0.81)^{3} = ((0.9)^{2})^{3} = (0.9)^{6}

。底數

0.9

介於

0

與

1

之間，

y = (0.9)^{x}

遞減，函數值較大的指數較小，所以

(0.9)^{x^{2} - x} \geq (0.9)^{6}

等價於

x^{2} - x \leq 6

，即

x^{2} - x - 6 \leq 0

，

(x - 3) (x + 2) \leq 0

，得

- 2 \leq x \leq 3

。

底數小於

1

，比較指數時不等號要反向。

第 15 題先寫真數條件：

3 x - 5 > 0

，

x > \frac{5}{3}

。

1 = lo g 10

，底數

10 > 1

，

lo g

遞增，所以

lo g (3 x - 5) \leq lo g 10

等價於

3 x - 5 \leq 10

，

x \leq 5

。合併得

\frac{5}{3} < x \leq 5

。

只寫

x \leq 5

會漏掉真數必須是正數的條件。

解指對數不等式：化成同底、看底數決定不等號方向、對數還要加上真數條件。

06填充第 6～8 題（第 16～18 題）：對數律與換底公式

第 16 題用對數律合成一個對數：原式

= lo g \frac{6 ^{2} \times \frac{14}{9}}{25 \times 7 \times 2 ^{5}} = lo g \frac{36 \times 14}{9 \times 25 \times 7 \times 32}

。分子

36 \times 14 = 504

，分母

9 \times 25 \times 7 \times 32 = 50400

，所以原式

= lo g \frac{504}{50400} = lo g \frac{1}{100} = - 2

。

也可以全部拆成

lo g 2

、

lo g 3

、

lo g 5

、

lo g 7

：

2 lo g 2 + 2 lo g 3 - 2 lo g 5 - lo g 7 + lo g 2 + lo g 7 - 2 lo g 3 - 5 lo g 2 = - 2 lo g 2 - 2 lo g 5 = - 2

。

第 17 題

P

：

5^{x} = 2

，

x = lo g_{5} 2

，

P (lo g_{5} 2, 2)

；

Q

：

5^{x} = 10

，

x = lo g_{5} 10

，

Q (lo g_{5} 10, 10)

。斜率

= \frac{10 - 2}{lo g _{5} 10 - lo g _{5} 2} = \frac{8}{lo g _{5} \frac{10}{2}} = \frac{8}{lo g _{5} 5} = 8

。

第 18 題

第一個括號： $lo g_{2} 25 = 2 lo g_{2} 5$ ； $lo g_{0.5} 0.2 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} = \frac{lo g \frac{1}{5}}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{- lo g 5}{- lo g 2} = lo g_{2} 5$ 。所以第一個括號 $= 2 lo g_{2} 5 - lo g_{2} 5 = lo g_{2} 5$ 。

第二個括號： $lo g_{5} 0.5 = lo g_{5} \frac{1}{2} = - lo g_{5} 2$ ； $lo g_{0.2} 2 = \frac{lo g 2}{lo g \frac{1}{5}} = - lo g_{5} 2$ 。所以第二個括號 $= - 2 lo g_{5} 2$ 。

乘積 $= lo g_{2} 5 \times (- 2 lo g_{5} 2) = - 2 \times \frac{lo g 5}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 5} = - 2$ 。

底數與真數同時換成倒數時，對數值不變：

lo g_{0.5} 0.2 = lo g_{2} 5

。

底數、真數是小數或分數時，先寫成分數或倒數，再用換底公式化成同一組常用對數。

07填充第 9 題（第 19 題）：底數小於 1 的對數不等式

第 19 題真數條件：

x + 2 > 0

且

2 x + 12 > 0

，得

x > - 2

。在此條件下

2 lo g_{0.114} (x + 2) = lo g_{0.114} (x + 2)^{2}

。底數

0.114

介於

0

與

1

之間，

lo g_{0.114}

遞減，函數值較小的真數較大，所以不等式等價於

(x + 2)^{2} \geq 2 x + 12

，即

x^{2} + 2 x - 8 \geq 0

，

(x + 4) (x - 2) \geq 0

，

x \leq - 4

或

x \geq 2

。與

x > - 2

取交集得

x \geq 2

。

x \leq - 4

時真數

x + 2

是負數，對數沒有意義，要捨去。以

x = 2

檢查：兩邊都是

lo g_{0.114} 16

，等號成立。

先寫真數條件，再看底數決定不等號方向，最後兩個條件取交集。

08填充第 10、11 題（第 20、21 題）：單利與複利、細菌繁殖

第 20 題

一般複利：年利率 $4%$ 、每半年複利一次，每期利率 $2%$ ，兩年共 $4$ 期。本利和 $= 1000000 \times (1.02)^{4} = 1000000 \times 1.08243216 = 1082432.16$ （元）。

優惠單利：期利率 $4%$ 、期數 $2$ （年）。本利和 $= 1000000 \times (1 + 0.04 \times 2) = 1080000$ （元）。

少繳 $1082432.16 - 1080000 = 2432.16$ ，四捨五入到整數為 $2432$ 元。

每半年複利一次時，期利率是年利率的一半、期數是年數的兩倍，所以用

(1.02)^{4}

，不是

(1.04)^{2}

。

第 21 題

每 $20$ 分鐘變為 $3$ 倍。 $10$ 小時 $= 600$ 分鐘 $= 30$ 個 $20$ 分鐘， $10$ 小時 $20$ 分鐘 $= 31$ 個 $20$ 分鐘。兩時刻的細菌數分別為 $1000 \times 3^{30}$ 與 $1000 \times 3^{31}$ ，相差 $1000 \times 3^{31} - 1000 \times 3^{30} = 1000 \times 3^{30} \times (3 - 1) = 2000 \times 3^{30}$ 。

取常用對數（ $lo g 2 \approx 0.3010$ 、 $lo g 3 \approx 0.4771$ ）： $lo g (2000 \times 3^{30}) = lo g 2 + 3 + 30 lo g 3 \approx 0.3010 + 3 + 14.313 = 17.614$ 。所以相差數量約為 $1 0^{17.614} \approx 4.1 \times 1 0^{17}$ 。

它介於 $1 0^{17}$ 與 $1 0^{18}$ 之間，與 $1 0^{17}$ 相差約 $3.1 \times 1 0^{17}$ ，與 $1 0^{18}$ 相差約 $5.9 \times 1 0^{17}$ ，最接近 $1 0^{17}$ ， $k = 17$ 。

題目沒有給

lo g 2

、

lo g 3

的值，這裡用常見的近似值。「最接近」本頁依兩數的實際差距判斷；若改成比較常用對數

17.614

離

17

還是

18

較近，會得到

18

。

17.614

離兩種讀法的分界（

17.5

與

lo g (5.5 \times 1 0^{17}) \approx 17.74

）都還差

0.1

以上，結論不受近似值精度影響。若任課老師採另一種讀法，以老師的講解為準。

固定倍率成長先數「經過幾個週期」；估計數量級時取常用對數，首數決定是

10

的幾次方，尾數決定前面的數字。

09填充第 12、13 題（第 22、23 題）：換底公式的應用、由大小關係求範圍

第 22 題由換底公式，

\frac{lo g 4}{lo g 3} = lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

，

\frac{lo g 8}{lo g 9} = \frac{3 lo g 2}{2 lo g 3} = \frac{3}{2} lo g_{3} 2

。設

t = lo g_{3} 2

，兩股為

2 t

與

\frac{3}{2} t

，斜邊

= 4 t^{2} + \frac{9}{4} t^{2} = \frac{25}{4} t^{2} = \frac{5}{2} t

。周長

= 2 t + \frac{3}{2} t + \frac{5}{2} t = 6 t = 6 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 2^{6} = lo g_{3} 64

，所以

k = 64

。

兩股比為

4 : 3

，是

3 : 4 : 5

的直角三角形。

第 23 題由

2 + lo g_{2} x = k

得

x = 2^{k - 2}

；由

4 + lo g_{4} y = k

得

y = 4^{k - 4} = 2^{2 k - 8}

；由

8 + lo g_{8} z = k

得

z = 8^{k - 8} = 2^{3 k - 24}

。底數

2 > 1

，

2^{t}

遞增，所以

x < y < z

等價於

k - 2 < 2 k - 8 < 3 k - 24

。由

k - 2 < 2 k - 8

得

k > 6

；由

2 k - 8 < 3 k - 24

得

k > 16

。兩者同時成立：

k > 16

。

以

k = 17

檢查：

x = 2^{15}

、

y = 2^{26}

、

z = 2^{27}

，確實

x < y < z

；

k = 16

時

y = z = 2^{24}

，不成立。

幾個不同底的對數式相等時，全部改寫成同一個底的指數，就能直接比較大小。

10填充第 14、15 題（第 24、25 題）：用圖形比較交點、對稱於 y＝x

第 24 題

三個等式的左邊都是正數，所以 $lo g a$ 、 $lo g b$ 、 $lo g c$ 都大於 $0$ ， $a, b, c$ 都大於 $1$ 。

$a$ 是遞減的 $y = (\frac{1}{4})^{x}$ 與遞增的 $y = lo g x$ 兩圖形交點的 $x$ 坐標； $b$ 、 $c$ 同理（分別換成 $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 、 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ ）。 $x > 0$ 時 $(\frac{1}{4})^{x} < (\frac{1}{3})^{x} < (\frac{1}{2})^{x}$ ，三條遞減曲線由下而上排列；越低的曲線越早碰到遞增的 $y = lo g x$ ，所以交點的 $x$ 坐標 $a < b < c$ 。

用代數說明 $a < b$ ：設 $g (x) = lo g x - (\frac{1}{4})^{x}$ ，它是遞增函數（遞增減去遞減），且 $g (a) = 0$ 。而 $g (b) = lo g b - (\frac{1}{4})^{b} = (\frac{1}{3})^{b} - (\frac{1}{4})^{b} > 0 = g (a)$ ，所以 $b > a$ 。同理 $c > b$ 。故 $c > b > a$ 。

三數約為

a \approx 1.40

、

b \approx 1.53

、

c \approx 1.87

。

第 25 題

$α$ 滿足 $1 0^{α} = 6 - α$ ，是 $y = 1 0^{x}$ 與直線 $y = 6 - x$ 交點的 $x$ 坐標，交點為 $(α, 6 - α)$ 。 $β$ 滿足 $lo g β = 6 - β$ ，是 $y = lo g x$ 與直線 $y = 6 - x$ 交點的 $x$ 坐標。

$y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$ ，直線 $y = 6 - x$ 對直線 $y = x$ 對稱後仍是它自己。所以點 $(α, 6 - α)$ 對 $y = x$ 的對稱點 $(6 - α, α)$ 同時在 $y = lo g x$ 與 $y = 6 - x$ 上。 $lo g x + x - 6$ 是遞增函數，交點只有一個，所以 $β = 6 - α$ ，即 $α + β = 6$ 。

所求 $= 1 0^{α} + lo g β = (6 - α) + (6 - β) = 12 - (α + β) = 6$ 。

也可以這樣看：

1 0^{α} = 6 - α = β

，所以

lo g β = α

，所求

= β + α = 6

。數值上

α \approx 0.72

、

β \approx 5.28

。

指數與對數方程式解不出來時，把解看成圖形交點，再利用

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

對稱於直線

y = x

。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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常見問題

溪湖高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 6 題要想到指數可以是零或負數，不等號不一定成立；第 19 題對數的底數小於 1，去掉對數時不等號要反向，還要記得真數條件；第 21 題要先算出兩個時間點相差的倍數，再用常用對數估計大小；第 24 題三個方程式各自看成遞減的指數圖形與遞增的對數圖形的交點，再比較交點的位置。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

溪湖高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

一、是非題（每題 2 分，共 20 分）：下列各題的敘述，正確請打「○」，錯誤請打「×」

y = lo g_{114} x

的圖形為嚴格遞增函數

y = lo g_{114} x

與

y = lo g_{\frac{1}{114}} x

的圖形對稱於直線

x = y

y = lo g_{\frac{1}{114}} x

的圖形上任取相異兩點

P

、

Q

，則直線

P Q

的斜率為正

設

a > 0

且

a \neq = 1

，則

y = lo g_{a} x

之圖形為凹口向上

將

y = lo g_{3} x

的圖形對直線

x - y = 0

對稱後的圖形和直線

y = 4

交於

A

點，則

A

點坐標為

(lo g_{3} 4, 4)

若

a > b > 1

，

x

為實數，則

a^{x} > b^{x}

設

x, y

為實數，若

(0.38)^{x} > (0.38)^{y}

，則

x < y

方程式

3^{x} + lo g_{3} x = 0

有一個實根

3^{l o g_{3} 114} = 114

指數函數

y = (0.38)^{x}

的圖形與

y = 0.38

不相交

二、填充題（共 80 分）

lo g_{114} 1 =

____

若

lo g_{\frac{1}{114}} k = - 1

，則

k =

____

若

9^{4 x - 1} = 27

，則

x =

____

若

(0.9)^{x^{2} - x} \geq (0.81)^{3}

，則

x

的範圍為 ____

若

lo g (3 x - 5) \leq 1

，則

x

的範圍為 ____

2 lo g 6 - lo g 25 - lo g 7 + lo g \frac{14}{9} - 5 lo g 2

之值為 ____

設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

，

y = 10

與

y = 5^{x}

的交點，則直線

P Q

的斜率為 ____

(lo g_{2} 25 - lo g_{0.5} 0.2) (lo g_{5} 0.5 + lo g_{0.2} 2)

之值為 ____

試求不等式

2 lo g_{0.114} (x + 2) \leq lo g_{0.114} (2 x + 12)

，則

x

的範圍為 ____

設銀行利率的算法有單利和複利兩種： (I) 單利：本利和

S =

本金

P \times (1 +

期利率

\times

期數

)

， (II) 複利：本利和

S =

本金

P \times (1 +

期利率

)^{期數}

，芳芳準備向某銀行貸款

1

百萬元當作創業基金，其年利率為

4%

(1.04)^{2} = 1.0816

，

(1.04)^{4} = 1.16985856

，

(1.02)^{2} = 1.0404

，

(1.02)^{4} = 1.08243216

）

根據實驗統計，某種細菌繁殖，其數量每

20

分鐘會擴增為原來的

3

倍，假設實驗室的細菌培養皿一開始有此細菌

1000

隻，若

10

小時

20

分鐘後和

10

小時後的細菌數相差數量最接近

1 0^{k}

，其中

k

為正整數，試問

k

值為 ____

已知一直角三角形的兩股長分別為

\frac{lo g 4}{lo g 3}

與

\frac{lo g 8}{lo g 9}

，若此直角三角形的周長為

lo g_{3} k

，則

k

值為 ____

設正實數

x, y, z, k

滿足

2 + lo g_{2} x = 4 + lo g_{4} y = 8 + lo g_{8} z = k

，且

x < y < z

，則

k

的範圍為 ____

已知

(\frac{1}{4})^{a} = lo g a

，

(\frac{1}{3})^{b} = lo g b

，

(\frac{1}{2})^{c} = lo g c

，則

a, b, c

三數的大小關係為 ____

>

____

>

____

已知方程式：

1 0^{x} + x - 6 = 0

的解為

α

；

lo g x + x - 6 = 0

的解為

β

，則

1 0^{α} + lo g β =

____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2×

3×

4×

5○

6×

7○

8○

9○

10×

第 11 題

0

第 12 題

114

第 13 題

\frac{5}{8}

第 14 題

- 2 \leq x \leq 3

第 15 題

\frac{5}{3} < x \leq 5

第 16 題

- 2

第 17 題

8

第 18 題

- 2

第 19 題

x \geq 2

第 20 題

2432

第 21 題

17

（若比較常用對數的遠近則為

18

）

第 22 題

64

第 23 題

k > 16

第 24 題

c > b > a

第 25 題

6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～4 題：對數函數的遞增遞減、對稱與凹口方向

第 1 題○對。底數

114 > 1

，

y = lo g_{114} x

在定義域

x > 0

上是遞增函數：

0 < x_{1} < x_{2}

時

lo g_{114} x_{1} < lo g_{114} x_{2}

。

第 2 題×錯。由換底公式

lo g_{\frac{1}{114}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{114}} = \frac{lo g x}{- lo g 114} = - lo g_{114} x

，所以兩圖形上的點是

(x, y)

與

(x, - y)

的關係，對稱於

x

軸，不是對稱於直線

x = y

。

對稱於直線

x = y

的是

y = lo g_{114} x

與

y = 11 4^{x}

。

第 3 題×錯。底數

\frac{1}{114}

介於

0

與

1

之間，

y = lo g_{\frac{1}{114}} x

是遞減函數。取兩點

x_{1} < x_{2}

，則

y_{1} > y_{2}

，斜率

\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} < 0

，斜率為負。

例如

(1, 0)

與

(114, - 1)

都在圖形上，連線斜率

= \frac{- 1 - 0}{114 - 1} < 0

。

第 4 題×錯。凹口方向與底數有關：

a > 1

時

y = lo g_{a} x

遞增而且越來越平緩，圖形凹口向下；

0 < a < 1

時圖形凹口向上。題目沒有限制

a

的範圍，所以不一定凹口向上。

以

a = 10

檢查：

lo g 1 = 0

、

lo g 100 = 2

，中點

x = 50.5

處

lo g 50.5 \approx 1.70

，比兩端點函數值的平均

1

大，圖形在弦的上方，凹口向下。

對數函數的底數大於

1

時遞增、凹口向下；底數介於

0

與

1

之間時遞減、凹口向上。

02是非第 5～7 題：對稱於直線 y＝x、指數的大小比較

第 5 題○對。直線

x - y = 0

就是

y = x

。

y = lo g_{3} x

對

y = x

對稱，是把每一點的

x

、

y

坐標互換，得

x = lo g_{3} y

，即

y = 3^{x}

。與

y = 4

的交點滿足

3^{x} = 4

，

x = lo g_{3} 4

，所以

A (lo g_{3} 4, 4)

。

第 6 題×錯。

x

可以是零或負數。取

x = 0

：

a^{0} = b^{0} = 1

，不是

a^{x} > b^{x}

。再取

a = 3

、

b = 2

、

x = - 1

：

a^{- 1} = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} = b^{- 1}

，大小相反。

只有

x > 0

時才有

a^{x} > b^{x}

。

第 7 題○對。底數

0.38

介於

0

與

1

之間，

y = (0.38)^{x}

是遞減函數，函數值較大的那一個，指數較小。由

(0.38)^{x} > (0.38)^{y}

得

x < y

。

比較

a^{x}

與

b^{x}

要看

x

的正負；同底的指數比較要看底數是大於

1

還是小於

1

。

03是非第 8～10 題：實根個數、指數與對數互換、圖形的交點

第 8 題○對。設

f (x) = 3^{x} + lo g_{3} x

，定義域

x > 0

。

3^{x}

與

lo g_{3} x

都是遞增函數，所以

f (x)

也是遞增函數，最多只有一個實根。又

f (\frac{1}{27}) = 3^{\frac{1}{27}} - 3 < 3^{1} - 3 = 0

，

f (1) = 3 + 0 = 3 > 0

，函數值由負變正，在

\frac{1}{27}

與

1

之間有一個實根。所以恰有一個實根。

也可以看成

y = 3^{x}

與

y = - lo g_{3} x

兩圖形的交點：前者遞增、後者遞減，恰好交於一點。實根約為

0.24

。

第 9 題○對。設

t = lo g_{3} 114

，依對數的定義

3^{t} = 114

，所以

3^{l o g_{3} 114} = 114

。

第 10 題×錯。

x = 1

時

y = (0.38)^{1} = 0.38

，所以兩圖形交於點

(1, 0.38)

。

y = (0.38)^{x}

的值域是所有正數，與任何一條

y = c

（

c > 0

）都恰交於一點。

一個遞增函數最多只有一個零點，再找出函數值一正一負的兩點，就能確定恰有一個實根。

04填充第 1～3 題（第 11～13 題）：對數的定義、指數方程式

第 11 題

11 4^{0} = 1

，所以

lo g_{114} 1 = 0

。

第 12 題由對數的定義，

lo g_{\frac{1}{114}} k = - 1

表示

k = (\frac{1}{114})^{- 1} = 114

。

第 13 題化成以

3

為底：

9^{4 x - 1} = 3^{2 (4 x - 1)} = 3^{8 x - 2}

，

27 = 3^{3}

。指數函數是一對一的，所以

8 x - 2 = 3

，

x = \frac{5}{8}

。

答案卷這一格註明「化成最簡分數」。

指數方程式先化成同底，再比較指數。

05填充第 4、5 題（第 14、15 題）：指數不等式、對數不等式

第 14 題

(0.81)^{3} = ((0.9)^{2})^{3} = (0.9)^{6}

。底數

0.9

介於

0

與

1

之間，

y = (0.9)^{x}

遞減，函數值較大的指數較小，所以

(0.9)^{x^{2} - x} \geq (0.9)^{6}

等價於

x^{2} - x \leq 6

，即

x^{2} - x - 6 \leq 0

，

(x - 3) (x + 2) \leq 0

，得

- 2 \leq x \leq 3

。

底數小於

1

，比較指數時不等號要反向。

第 15 題先寫真數條件：

3 x - 5 > 0

，

x > \frac{5}{3}

。

1 = lo g 10

，底數

10 > 1

，

lo g

遞增，所以

lo g (3 x - 5) \leq lo g 10

等價於

3 x - 5 \leq 10

，

x \leq 5

。合併得

\frac{5}{3} < x \leq 5

。

只寫

x \leq 5

會漏掉真數必須是正數的條件。

解指對數不等式：化成同底、看底數決定不等號方向、對數還要加上真數條件。

06填充第 6～8 題（第 16～18 題）：對數律與換底公式

第 16 題用對數律合成一個對數：原式

= lo g \frac{6 ^{2} \times \frac{14}{9}}{25 \times 7 \times 2 ^{5}} = lo g \frac{36 \times 14}{9 \times 25 \times 7 \times 32}

。分子

36 \times 14 = 504

，分母

9 \times 25 \times 7 \times 32 = 50400

，所以原式

= lo g \frac{504}{50400} = lo g \frac{1}{100} = - 2

。

也可以全部拆成

lo g 2

、

lo g 3

、

lo g 5

、

lo g 7

：

2 lo g 2 + 2 lo g 3 - 2 lo g 5 - lo g 7 + lo g 2 + lo g 7 - 2 lo g 3 - 5 lo g 2 = - 2 lo g 2 - 2 lo g 5 = - 2

。

第 17 題

P

：

5^{x} = 2

，

x = lo g_{5} 2

，

P (lo g_{5} 2, 2)

；

Q

：

5^{x} = 10

，

x = lo g_{5} 10

，

Q (lo g_{5} 10, 10)

。斜率

= \frac{10 - 2}{lo g _{5} 10 - lo g _{5} 2} = \frac{8}{lo g _{5} \frac{10}{2}} = \frac{8}{lo g _{5} 5} = 8

。

第 18 題

第二個括號： $lo g_{5} 0.5 = lo g_{5} \frac{1}{2} = - lo g_{5} 2$ ； $lo g_{0.2} 2 = \frac{lo g 2}{lo g \frac{1}{5}} = - lo g_{5} 2$ 。所以第二個括號 $= - 2 lo g_{5} 2$ 。

乘積 $= lo g_{2} 5 \times (- 2 lo g_{5} 2) = - 2 \times \frac{lo g 5}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 5} = - 2$ 。

底數與真數同時換成倒數時，對數值不變：

lo g_{0.5} 0.2 = lo g_{2} 5

。

底數、真數是小數或分數時，先寫成分數或倒數，再用換底公式化成同一組常用對數。

07填充第 9 題（第 19 題）：底數小於 1 的對數不等式

第 19 題真數條件：

x + 2 > 0

且

2 x + 12 > 0

，得

x > - 2

。在此條件下

2 lo g_{0.114} (x + 2) = lo g_{0.114} (x + 2)^{2}

。底數

0.114

介於

0

與

1

之間，

lo g_{0.114}

遞減，函數值較小的真數較大，所以不等式等價於

(x + 2)^{2} \geq 2 x + 12

，即

x^{2} + 2 x - 8 \geq 0

，

(x + 4) (x - 2) \geq 0

，

x \leq - 4

或

x \geq 2

。與

x > - 2

取交集得

x \geq 2

。

x \leq - 4

時真數

x + 2

是負數，對數沒有意義，要捨去。以

x = 2

檢查：兩邊都是

lo g_{0.114} 16

，等號成立。

先寫真數條件，再看底數決定不等號方向，最後兩個條件取交集。

08填充第 10、11 題（第 20、21 題）：單利與複利、細菌繁殖

第 20 題

一般複利：年利率 $4%$ 、每半年複利一次，每期利率 $2%$ ，兩年共 $4$ 期。本利和 $= 1000000 \times (1.02)^{4} = 1000000 \times 1.08243216 = 1082432.16$ （元）。

優惠單利：期利率 $4%$ 、期數 $2$ （年）。本利和 $= 1000000 \times (1 + 0.04 \times 2) = 1080000$ （元）。

少繳 $1082432.16 - 1080000 = 2432.16$ ，四捨五入到整數為 $2432$ 元。

每半年複利一次時，期利率是年利率的一半、期數是年數的兩倍，所以用

(1.02)^{4}

，不是

(1.04)^{2}

。

第 21 題

它介於 $1 0^{17}$ 與 $1 0^{18}$ 之間，與 $1 0^{17}$ 相差約 $3.1 \times 1 0^{17}$ ，與 $1 0^{18}$ 相差約 $5.9 \times 1 0^{17}$ ，最接近 $1 0^{17}$ ， $k = 17$ 。

題目沒有給

lo g 2

、

lo g 3

的值，這裡用常見的近似值。「最接近」本頁依兩數的實際差距判斷；若改成比較常用對數

17.614

離

17

還是

18

較近，會得到

18

。

17.614

離兩種讀法的分界（

17.5

與

lo g (5.5 \times 1 0^{17}) \approx 17.74

）都還差

0.1

以上，結論不受近似值精度影響。若任課老師採另一種讀法，以老師的講解為準。

固定倍率成長先數「經過幾個週期」；估計數量級時取常用對數，首數決定是

10

的幾次方，尾數決定前面的數字。

09填充第 12、13 題（第 22、23 題）：換底公式的應用、由大小關係求範圍

第 22 題由換底公式，

\frac{lo g 4}{lo g 3} = lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

，

\frac{lo g 8}{lo g 9} = \frac{3 lo g 2}{2 lo g 3} = \frac{3}{2} lo g_{3} 2

。設

t = lo g_{3} 2

，兩股為

2 t

與

\frac{3}{2} t

，斜邊

= 4 t^{2} + \frac{9}{4} t^{2} = \frac{25}{4} t^{2} = \frac{5}{2} t

。周長

= 2 t + \frac{3}{2} t + \frac{5}{2} t = 6 t = 6 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 2^{6} = lo g_{3} 64

，所以

k = 64

。

兩股比為

4 : 3

，是

3 : 4 : 5

的直角三角形。

第 23 題由

2 + lo g_{2} x = k

得

x = 2^{k - 2}

；由

4 + lo g_{4} y = k

得

y = 4^{k - 4} = 2^{2 k - 8}

；由

8 + lo g_{8} z = k

得

z = 8^{k - 8} = 2^{3 k - 24}

。底數

2 > 1

，

2^{t}

遞增，所以

x < y < z

等價於

k - 2 < 2 k - 8 < 3 k - 24

。由

k - 2 < 2 k - 8

得

k > 6

；由

2 k - 8 < 3 k - 24

得

k > 16

。兩者同時成立：

k > 16

。

以

k = 17

檢查：

x = 2^{15}

、

y = 2^{26}

、

z = 2^{27}

，確實

x < y < z

；

k = 16

時

y = z = 2^{24}

，不成立。

幾個不同底的對數式相等時，全部改寫成同一個底的指數，就能直接比較大小。

10填充第 14、15 題（第 24、25 題）：用圖形比較交點、對稱於 y＝x

第 24 題

三個等式的左邊都是正數，所以 $lo g a$ 、 $lo g b$ 、 $lo g c$ 都大於 $0$ ， $a, b, c$ 都大於 $1$ 。

三數約為

a \approx 1.40

、

b \approx 1.53

、

c \approx 1.87

。

第 25 題

所求 $= 1 0^{α} + lo g β = (6 - α) + (6 - β) = 12 - (α + β) = 6$ 。

也可以這樣看：

1 0^{α} = 6 - α = β

，所以

lo g β = α

，所求

= β + α = 6

。數值上

α \approx 0.72

、

β \approx 5.28

。

指數與對數方程式解不出來時，把解看成圖形交點，再利用

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

對稱於直線

y = x

。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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01是非第 1～4 題：對數函數的遞增遞減、對稱與凹口方向

02是非第 5～7 題：對稱於直線 y＝x、指數的大小比較

03是非第 8～10 題：實根個數、指數與對數互換、圖形的交點

04填充第 1～3 題（第 11～13 題）：對數的定義、指數方程式

05填充第 4、5 題（第 14、15 題）：指數不等式、對數不等式

06填充第 6～8 題（第 16～18 題）：對數律與換底公式

07填充第 9 題（第 19 題）：底數小於 1 的對數不等式

08填充第 10、11 題（第 20、21 題）：單利與複利、細菌繁殖

09填充第 12、13 題（第 22、23 題）：換底公式的應用、由大小關係求範圍

10填充第 14、15 題（第 24、25 題）：用圖形比較交點、對稱於 y＝x

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08填充第 10、11 題（第 20、21 題）：單利與複利、細菌繁殖

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高二第二次段考
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