溪湖高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (2)(4)。$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。當 $-1<x<1$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，只在兩端點 $x=\pm 1$ 等於 $0$，所以 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上嚴格遞減；當 $x<-1$ 或 $x>1$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，函數嚴格遞增。

(1) 錯誤。$[-3,0]$ 含有 $[-3,-1]$ 這段遞增的部分，例如 $f(-3)=-18<f(-1)=2$。

(2) 正確。$[-1,0]$ 包含在 $[-1,1]$ 內。

(3) 錯誤。$[0,2]$ 含有 $[1,2]$ 這段遞增的部分，例如 $f(1)=-2<f(2)=2$。

(4) 正確。$[-1,1]$ 正是嚴格遞減的區間。

(5) 錯誤。$x\ge 2$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，函數是嚴格遞增。

答案 (1)(3)。從 $1$ 到 $4$ 圖形在 $x$ 軸上方，${\int }_1^{4}f(x)dx$ 等於 $R_1$ 的面積 $7$；從 $4$ 到 $6$ 圖形在 $x$ 軸下方，${\int }_4^{6}f(x)dx$ 等於 $R_2$ 面積的相反數 $-2$。

(1) 正確。值為 $7$。

(2) 錯誤。${\int }_1^4\left(-f(x)\right)dx=-{\int }_1^{4}f(x)dx=-7$。

(3) 正確。${\int }_1^{4}3f(x)dx=3\times 7=21$。

(4) 錯誤。${\int }_1^4\left(f(x)+3\right)dx=7+{\int }_1^{4}3dx=7+9=16$。

(5) 錯誤。$R_2$ 在 $x$ 軸下方，定積分為 $-2$，不是 $2$。

答案 (2)(3)(4)(5)。

(1) 錯誤。反例：$f(x)=(x-1{)}^3$，$f^{\prime }(x)=3(x-1{)}^2$，$f^{\prime }(1)=0$；但 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=1$ 兩側都大於 $0$，$f(x)$ 一直遞增，在 $x=1$ 處沒有極值。

(2) 正確。多項式函數處處可微分，在極值點的導數必為 $0$。

(3) 正確。設 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$（$a\ne 0$），$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$ 是一次式，只在 $x=-\frac{b}{3a}$ 處變號，所以圖形恰有一個反曲點。

(4) 正確。多項式函數處處連續，在閉區間上連續的函數一定有最大值與最小值。

(5) 正確。這是二階導數判別法：$f^{\prime }(4)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(4)>0$，表示 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=4$ 附近由負變正，所以 $f(4)$ 是極小值。

由區間可加性，${\int }_1^{7}f(x)dx={\int }_1^{3}f(x)dx+{\int }_3^{7}f(x)dx$，所以

$${\int }_3^{7}f(x)dx=10-(-2)=12$$

由微積分基本定理，等式兩邊對 $x$ 微分：$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$，右邊微分得 $10x-3$，所以 $f(x)=10x-3$。

另外，代 $x=a$ 時左邊是 ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$，所以 $a$ 必須滿足 $5a^2-3a+20=0$。這個二次方程式的判別式 $(-3{)}^2-4\times 5\times 20=-391<0$，沒有實數解，也就是說卷面的條件下實數 $a$ 其實不存在。題目只問 $f(x)$，本頁照微分的結果寫 $10x-3$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。在 $x=1$ 處有極值，所以 $f^{\prime }(1)=3+2a+b=0$；極小值為 $4$，所以 $f(1)=1+a+b+7=4$，即 $a+b=-4$。由 $2a+b=-3$ 減去 $a+b=-4$ 得 $a=1$，再得 $b=-5$。

檢查：$f^{\prime }(x)=3x^2+2x-5=(3x+5)(x-1)$，在 $x=1$ 左邊為負、右邊為正，確實是極小值；$f(1)=1+1-5+7=4$。答案 $(a,b)=(1,-5)$。

$x^2+1>0$，圖形整段在 $x$ 軸上方，面積就是定積分：

$${\int }_0^3(x^2+1)dx={\left[\frac{x^3}{3}+x\right]}_0^3=9+3=12$$

$|x|$ 在 $x<0$ 時是 $-x$，在 $x\ge 0$ 時是 $x$，分段：

$${\int }_{-2}^3|x|dx={\int }_{-2}^0(-x)dx+{\int }_0^{3}xdx=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}$$

$y=\sqrt{4-x^2}$ 是圓 $x^2+y^2=4$ 的上半圓。$x$ 從 $0$ 到 $2$、$y\ge 0$ 的部分是半徑 $2$ 的四分之一圓，所以

$${\int }_0^2\sqrt{4-x^2}dx=\frac{1}{4}\times \pi \times 2^2=\pi$$

繞 $x$ 軸旋轉，在 $x$ 處的截面是半徑 $f(x)=x^2$ 的圓，面積 $\pi x^4$，所以體積

$$V=\pi {\int }_1^3{x}^{4}dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}\right]}_1^3=\pi \cdot \frac{243-1}{5}=\frac{242}{5}\pi$$

函數在 $[1,3]$ 上的平均值是定積分除以區間長度：

$${\int }_1^3(-3x^2+10x)dx={\left[-x^3+5x^2\right]}_1^3=(-27+45)-(-1+5)=14$$

所以 $h=\frac{14}{3-1}=7$。

$a>0$，$f(x)=ax$ 在 $[0,1]$ 上遞增，每一小段的最大值在右端點。分成 $n$ 等分，每段寬 $\frac{1}{n}$，第 $k$ 段右端點 $\frac{k}{n}$，上和

$$U_n=\sum _{k=1}^{n}a\cdot \frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{a}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{a(n+1)}{2n}$$

令 $\frac{a(n+1)}{2n}=\frac{2(n+1)}{n}$，得 $\frac{a}{2}=2$，$a=4$。

先求交點：$3x^3-x^2-10x=-x^2+2x$，即 $3x^3-12x=0$，$3x(x-2)(x+2)=0$，$x=-2,0,2$。

令 $h(x)=f(x)-g(x)=3x^3-12x$。在 $-2<x<0$ 時 $h(x)>0$（例如 $h(-1)=9$），在 $0<x<2$ 時 $h(x)<0$（例如 $h(1)=-9$），所以分兩段：

$${\int }_{-2}^0(3x^3-12x)dx={\left[\frac{3}{4}{x}^4-6x^2\right]}_{-2}^0=0-(12-24)=12$$

$${\int }_0^2\left(-(3x^3-12x)\right)dx=-{\left[\frac{3}{4}{x}^4-6x^2\right]}_0^2=-(12-24)=12$$

面積 $=12+12=24$。

球面 $x^2+y^2+z^2=9$ 可看成 $xy$ 平面上的圓 $x^2+y^2=9$ 繞 $x$ 軸旋轉而成。平面 $x=2$ 切下的小塊是 $2\le x\le 3$ 的部分，在 $x$ 處的截面是半徑 $\sqrt{9-x^2}$ 的圓，所以小塊體積

$$V_{\text{小}}=\pi {\int }_2^3(9-x^2)dx=\pi {\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]}_2^3=\pi \left(18-\frac{46}{3}\right)=\frac{8}{3}\pi$$

整個球的體積 $\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi$，大塊體積 $36\pi -\frac{8}{3}\pi =\frac{100}{3}\pi$。大小二塊的體積比 $=\frac{100}{3}\pi :\frac{8}{3}\pi =100:8=25:2$。