段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、收斂與發散、Σ 的公式、無窮等比級數與循環小數、夾擠定理、偶函數、高斯符號、函數的極限與連續）

臺南二中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多選題 3 題（15 分）、填充題 17 題共 18 格（85 分，依答對格數給分，對照表印在原卷的答案卷）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部相同。

一、多選題：（15 分）每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。（原卷多選題第 1～3 題，本頁編為第 1～3 題）

下列極限，何者正確？

(A) $n \to \infty lim (- \frac{1}{3})^{n} = 0$
(B) $n \to \infty lim (\frac{1}{3} (- 1)^{n}) = 0$
(C) $n \to \infty lim \frac{3 ^{n} + 1}{4 ^{n} - 1} = 0$
(D) $n \to \infty lim \frac{3 n + 1}{4 n - 1} = \frac{3}{4}$
(E) $n \to \infty lim \frac{n ^{3} + 1}{4 n - 1} = \frac{1}{4}$

下列敘述，何者正確？

(A) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，數列 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則數列 $⟨ a_{n} - b_{n} ⟩$ 為發散數列
(B) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，則數列 $⟨ \frac{1}{a _{n}} ⟩$ 為發散數列
(C) 若數列 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 與 $⟨ a_{n} - b_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ b_{n} ⟩$ 均為收斂數列
(D) 若數列 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 為收斂數列，則數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列
(E) 若數列 $⟨ ∣ a_{n} ∣ ⟩$ 為收斂數列，則數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列

若函數

f (x)

滿足

f (- x) = f (x)

，則稱

f (x)

為偶函數，選出是偶函數的選項。

(A) $f (x) = x^{4} + ∣ x ∣$
(B) $f (x) = x + \frac{1}{x}$
(C) $f (x) = sin x$
(D) $f (x) = cos x$
(E) $f (x) = x^{2} - 3 x + 5$

二、填充題：（85 分）配分依答案卷上所示。（答案卷所印：答對 1～18 格依序得 6、12、18、24、30、36、42、47、52、57、62、66、70、73、76、79、82、85 分；原卷填充題第 1～17 題共 18 格，第 17 題有 2 格，本頁編為第 4～21 題）

求

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} + 1}{n + 1} - \frac{n ^{2} + 3 n - 2}{n + 2})

的值。

求

\frac{1}{7} + \frac{5}{7 ^{2}} + \frac{19}{7 ^{3}} + \dots + \frac{3 ^{n} - 2 ^{n}}{7 ^{n}} + \dots

的值。

求

n \to \infty lim \frac{4 + 8 + 12 + \dots + 4 n}{3 n ^{2}}

的值。

試求

n \to \infty lim \frac{1 + 3 + 3 ^{2} + 3 ^{3} + \dots + 3 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n}}

．

已知圓

C_{1}

的半徑為

10

，作圓

C_{1}

的內接正方形

S_{1}

，再作正方形

S_{1}

的內切圓

C_{2}

，然後作圓

C_{2}

的內接正方形

S_{2}

，如此繼續下去，可得一系列的圓

C_{1}

，

C_{2}

，

C_{3}

，

C_{4}

，

\dots

，則所有圓的面積總和為何？

設無窮等比級數的第二項為

0.5 \overline{3}

，第三項為

0.2 \overline{6}

，則其和為何？

求

k = 1 \sum 15 k (2 k - 1)

的值。

設

⟨ a_{n} ⟩

為一等差數列。已知

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 186

，

a_{3} + a_{7} = 110

。令

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

。求極限

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{2}}

的值。（請化為最簡分數）

設

f (x)

為三次多項式且

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 3

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 0

，試求

x \to 4 lim f (x)

．

若

a

、

b

為實數，且

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} + a x + b} = 5

，求數對

(a, b)

。

已知

a, b, c

皆為實數，且

x \to 1 lim \frac{2 x ^{3} + a x ^{2} + b x - 3}{( x - 1 ) ^{2}} = c

，求序對

(a, b, c)

？

求

x \to 0 lim \frac{∣ x - 1∣ - ∣5 x + 1∣}{x}

．

設

n

為自然數，若在兩多項式

(1 + 3 x)^{n}

和

(5 x - 2)^{n}

的展開式中，各項係數的總和依序為

a_{n}

和

b_{n}

，求

n \to \infty lim \frac{2 a _{n + 1} + 5 b _{n}}{3 a _{n} - 4 b _{n - 1}}

的值。

已知對任意正整數

n

，不等式

b_{n} + \frac{4 n + 1}{n} \leq a_{n} \leq 3 b_{n}

恆成立，且

n \to \infty lim a_{n} = 6

，求

n \to \infty lim b_{n}

的值。

已知函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + a x + b}{x + 2}, x + 5, 當 x \neq = - 2 當 x = - 2

為連續函數，求實數數對

(a, b)

？

求

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 3 x - 11 - 1}{∣ x ∣ - 2}

．

原卷填充題第 17 題（第 20～21 題）　已知租借某共乘機車

x

分鐘所需支付的租金為

f (x) = {15, 15 + 2.5 \times (- [6 - x]), 當 0 < x \leq 6 當 x > 6

元，其中符號

[]

為高斯符號，試回答下列問題。

(1) 租借

19

分

30

秒的租金為多少元？

(2) 租金

100

元最多可使用多少時間（分鐘）？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)(D)

第 2 題(A)(C)

第 3 題(A)(D)

第 4 題

- 2

第 5 題

\frac{7}{20}

第 6 題

\frac{2}{3}

第 7 題

\frac{3}{2}

第 8 題

200 π

第 9 題

\frac{32}{15}

第 10 題

2360

第 11 題

- \frac{7}{2}

第 12 題

36

第 13 題

(- 3, 2)

第 14 題

(- 7, 8, - 1)

第 15 題

- 6

第 16 題

\frac{8}{3}

第 17 題

2

第 18 題

(7, 10)

第 19 題

- 7

第 20 題

50

元

第 21 題

40

分鐘

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選題（原卷多選第 1～3 題，本頁第 1～3 題）：數列的極限、收斂與發散、偶函數

第 1 題答案 (A)(C)(D)。(A) 公比

- \frac{1}{3}

的絕對值小於

1

，

(- \frac{1}{3})^{n} \to 0

，正確。(B)

\frac{1}{3} (- 1)^{n}

的各項是

- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \dots

，在兩個數之間跳動，不趨近任何定值，數列發散，錯誤。(C) 分子分母同除以

4^{n}

：

\frac{( \frac{3}{4} ) ^{n} + ( \frac{1}{4} ) ^{n}}{1 - ( \frac{1}{4} ) ^{n}} \to \frac{0 + 0}{1 - 0} = 0

，正確。(D) 分子分母同除以

n

：

\frac{3 + \frac{1}{n}}{4 - \frac{1}{n}} \to \frac{3}{4}

，正確。(E) 分子是三次、分母是一次，同除以

n

得

\frac{n ^{2} + \frac{1}{n}}{4 - \frac{1}{n}}

，分子愈來愈大而分母趨近

4

，數列發散，極限不存在，錯誤。

(A) 與 (B) 長得很像：(A) 是整個

- \frac{1}{3}

的

n

次方，絕對值愈乘愈小；(B) 只有

- 1

在

n

次方，絕對值一直是

\frac{1}{3}

。(E) 的

\frac{1}{4}

是只看最高次項係數的結果，那個做法只在分子分母次數相同時才成立。

第 2 題答案 (A)(C)。(A) 假設

⟨ a_{n} - b_{n} ⟩

收斂，那麼

a_{n} = (a_{n} - b_{n}) + b_{n}

是兩個收斂數列的和，也會收斂，與

⟨ a_{n} ⟩

發散矛盾；所以

⟨ a_{n} - b_{n} ⟩

一定發散，正確。(B) 取

a_{n} = 1

，

⟨ a_{n} ⟩

收斂，

\frac{1}{a _{n}} = 1

也收斂，錯誤。(C)

a_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) + ( a _{n} - b _{n} )}{2}

，

b_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) - ( a _{n} - b _{n} )}{2}

，都是收斂數列經加減與乘常數得到的，所以都收斂，正確。(D) 取

a_{n} = (- 1)^{n}

，

a_{n}^{2} = 1

收斂，但

⟨ a_{n} ⟩

是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，發散，錯誤。(E) 同樣取

a_{n} = (- 1)^{n}

，

∣ a_{n} ∣ = 1

收斂，但

⟨ a_{n} ⟩

發散，錯誤。

收斂數列的和、差、常數倍仍然收斂，(A)(C) 都是把要判斷的數列寫成已知收斂數列的加減。平方與絕對值會把正負號的資訊丟掉，所以 (D)(E) 反推不回去。

第 3 題答案 (A)(D)。(A)

f (- x) = (- x)^{4} + ∣ - x ∣ = x^{4} + ∣ x ∣ = f (x)

，是偶函數。(B)

f (- x) = - x - \frac{1}{x} = - f (x)

，是奇函數；例如

f (1) = 2

、

f (- 1) = - 2

，兩者不相等，不是偶函數。(C)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數；例如

sin 9 0^{\circ} = 1

、

sin (- 9 0^{\circ}) = - 1

，兩者不相等，不是偶函數。(D)

cos (- x) = cos x

，是偶函數。(E)

f (1) = ∣1 - 3 + 5∣ = 3

，

f (- 1) = ∣1 + 3 + 5∣ = 9

，兩者不相等，不是偶函數。

要說明「不是偶函數」，找到一個

x

使

f (- x) \neq = f (x)

就夠了。(E) 雖然外面有絕對值，但裡面的

- 3 x

讓

x

與

- x

代入後的值不同。

判斷「一定成立」的敘述：成立的要說出理由，不成立的舉一個反例；正負交錯的數列是最常用的反例。

02填充題（原卷填充第 1、3、4、8 題，本頁第 4、6、7、11 題）：數列的極限

第 4 題兩個分式各自都愈來愈大，不能分開取極限，要先通分。分子：

(n^{2} + 1) (n + 2) - (n^{2} + 3 n - 2) (n + 1) = (n^{3} + 2 n^{2} + n + 2) - (n^{3} + 4 n^{2} + n - 2) = - 2 n^{2} + 4

。所以原式

= \frac{- 2 n ^{2} + 4}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{- 2 n ^{2} + 4}{n ^{2} + 3 n + 2}

，分子分母同除以

n^{2}

得

\frac{- 2 + \frac{4}{n ^{2}}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n ^{2}}}

，極限為

- 2

。

也可以先各自做除法：

\frac{n ^{2} + 1}{n + 1} = n - 1 + \frac{2}{n + 1}

，

\frac{n ^{2} + 3 n - 2}{n + 2} = n + 1 - \frac{4}{n + 2}

，相減得

- 2 + \frac{2}{n + 1} + \frac{4}{n + 2}

，極限為

- 2

。

第 6 題分子

= 4 (1 + 2 + 3 + \dots + n) = 4 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = 2 n (n + 1)

。原式

= \frac{2 n ( n + 1 )}{3 n ^{2}} = \frac{2 n + 2}{3 n} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 n}

，

n \to \infty

時極限為

\frac{2}{3}

。

分子的項數隨

n

增加，不能一項一項分別取極限；要先求和寫成

n

的式子。

第 7 題分子是首項

1

、公比

3

、共

n + 1

項的等比級數：

1 + 3 + \dots + 3^{n} = \frac{3 ^{n + 1} - 1}{3 - 1} = \frac{3 \cdot 3 ^{n} - 1}{2}

。原式

= \frac{3 \cdot 3 ^{n} - 1}{2 ( 2 ^{n} + 3 ^{n} )}

，分子分母同除以

3^{n}

：

\frac{3 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{2 [ ( \frac{2}{3} ) ^{n} + 1 ]}

。

(\frac{1}{3})^{n} \to 0

、

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

，極限為

\frac{3}{2}

。

分子從

3^{0} = 1

加到

3^{n}

，共有

n + 1

項，不是

n

項。

第 11 題等差數列中

a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}

，所以

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 3 a_{4} = 186

，

a_{4} = 62

。又

a_{3} + a_{7} = 2 a_{5} = 110

，

a_{5} = 55

。公差

d = a_{5} - a_{4} = - 7

，首項

a_{1} = a_{4} - 3 d = 62 + 21 = 83

。

S_{n} = \frac{n [ 2 \times 83 + ( n - 1 ) ( - 7 ) ]}{2} = \frac{n ( 173 - 7 n )}{2}

，所以

\frac{S _{n}}{n ^{2}} = \frac{173 - 7 n}{2 n} = \frac{173}{2 n} - \frac{7}{2}

，

n \to \infty

時極限為

- \frac{7}{2}

。

檢查：數列是

83, 76, 69, 62, 55, 48, 41, \dots

；

76 + 62 + 48 = 186

，

69 + 41 = 110

。等差數列的

S_{n}

是

n

的二次式，

n^{2}

的係數是公差的一半，所以這個極限就是

\frac{d}{2}

。

求數列的極限前先整理：分式相減先通分，項數會變的和先求和，再同除以最高次或最大的底數。

03填充題（原卷填充第 2、5、6、7 題，本頁第 5、8、9、10 題）：Σ 與無窮等比級數

第 5 題第

n

項

\frac{3 ^{n} - 2 ^{n}}{7 ^{n}} = (\frac{3}{7})^{n} - (\frac{2}{7})^{n}

。

(\frac{3}{7})^{n}

是首項

\frac{3}{7}

、公比

\frac{3}{7}

的等比數列，無窮級數的和為

\frac{\frac{3}{7}}{1 - \frac{3}{7}} = \frac{3}{4}

；

(\frac{2}{7})^{n}

是首項

\frac{2}{7}

、公比

\frac{2}{7}

，和為

\frac{\frac{2}{7}}{1 - \frac{2}{7}} = \frac{2}{5}

。兩個級數都收斂，所以原級數的和為

\frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{15 - 8}{20} = \frac{7}{20}

。

前三項對一下：

\frac{3 - 2}{7} = \frac{1}{7}

，

\frac{9 - 4}{49} = \frac{5}{49}

，

\frac{27 - 8}{343} = \frac{19}{343}

，與題目一致。原級數本身不是等比級數（

\frac{1}{7}, \frac{5}{49}, \frac{19}{343}

的比不固定），要拆開才能用公式。

第 8 題圓

C_{1}

的半徑是

10

。內接正方形

S_{1}

的對角線是圓的直徑

20

，邊長為

\frac{20}{2} = 102

。

S_{1}

的內切圓

C_{2}

的直徑等於

S_{1}

的邊長，半徑為

52

。所以每個圓的半徑是前一個的

\frac{5 2}{10} = \frac{2}{2}

倍，面積是前一個的

(\frac{2}{2})^{2} = \frac{1}{2}

倍。圓的面積依序為

100 π, 50 π, 25 π, \dots

，是首項

100 π

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，總和為

\frac{100 π}{1 - \frac{1}{2}} = 200 π

。

題目問的是所有圓的面積，不含正方形。面積的公比是半徑比的平方

\frac{1}{2}

，不是

\frac{2}{2}

。

第 9 題先把循環小數化成分數。

0.5 \overline{3} = 0.5 + 0.0 \overline{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}

；

0.2 \overline{6} = 0.2 + 0.0 \overline{6} = \frac{1}{5} + \frac{2}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}

。公比

r = \frac{4}{15} \div \frac{8}{15} = \frac{1}{2}

，首項

a_{1} = \frac{8}{15} \div \frac{1}{2} = \frac{16}{15}

。公比的絕對值小於

1

，級數收斂，和為

\frac{\frac{16}{15}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{32}{15}

。

循環節只有最後一位：

0.5 \overline{3} = 0.5333 \dots

，

0.2 \overline{6} = 0.2666 \dots

。

0.0 \overline{3}

是

0. \overline{3} = \frac{1}{3}

的十分之一，即

\frac{1}{30}

。題目給的是第二項，求和時的首項要再往前推一項。

第 10 題

k (2 k - 1) = 2 k^{2} - k

，所以

k = 1 \sum 15 k (2 k - 1) = 2 k = 1 \sum 15 k^{2} - k = 1 \sum 15 k

。

k = 1 \sum 15 k^{2} = \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 1240

，

k = 1 \sum 15 k = \frac{15 \times 16}{2} = 120

。所求

= 2 \times 1240 - 120 = 2360

。

平方和公式是

\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

，

n = 15

時最後一個因數是

2 \times 15 + 1 = 31

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用「首項除以（1 減公比）」；不是等比的級數先拆成幾個等比級數。

04填充題（原卷填充第 9、10、11 題，本頁第 12～14 題）：分母趨近 0 的極限

第 12 題

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

，而

\frac{f ( x )}{x - 1}

的極限存在，所以分子也要趨近

0

：

f (1) = 0

，

f (x)

有因式

x - 1

。同理由第二個極限，

f (2) = 0

，

f (x)

有因式

x - 2

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。第二個條件：

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = x \to 2 lim (x - 1) (p x + q) = 2 p + q = 0

。第一個條件：

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = x \to 1 lim (x - 2) (p x + q) = - (p + q) = 3

，即

p + q = - 3

。兩式相減得

p = 3

，

q = - 6

。所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 6) = 3 (x - 1) (x - 2)^{2}

。多項式函數是連續函數，

x \to 4 lim f (x) = f (4) = 3 \times 3 \times 2^{2} = 36

。

第二個極限等於

0

，表示約去一個

x - 2

之後，剩下的式子在

x = 2

還是

0

，所以

f (x)

有因式

(x - 2)^{2}

。

第 13 題

x \to 2

時分子

x^{2} + x - 6 \to 4 + 2 - 6 = 0

。如果分母不趨近

0

，極限就會是

0

，不會是

5

；所以分母也要趨近

0

：

4 + 2 a + b = 0

，分母有因式

x - 2

，設

x^{2} + a x + b = (x - 2) (x - k)

。分子

x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)

。

x \to 2

時

x \neq = 2

，約去

x - 2

：原式

= \frac{x + 3}{x - k}

，極限為

\frac{5}{2 - k} = 5

，所以

2 - k = 1

，

k = 1

。分母

= (x - 2) (x - 1) = x^{2} - 3 x + 2

，

(a, b) = (- 3, 2)

。

檢查：

\frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{( x - 2 ) ( x - 1 )} = \frac{x + 3}{x - 1}

，

x \to 2

時為

\frac{5}{1} = 5

。

第 14 題

x \to 1

時分母

(x - 1)^{2} \to 0

，極限要存在，分子必須能約掉整個

(x - 1)^{2}

，也就是分子有因式

(x - 1)^{2}

。分子是三次式、首項係數

2

，設

2 x^{3} + a x^{2} + b x - 3 = (x - 1)^{2} (2 x + k)

。右邊展開：

(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + k) = 2 x^{3} + (k - 4) x^{2} + (2 - 2 k) x + k

。比較常數項得

k = - 3

，所以

a = k - 4 = - 7

，

b = 2 - 2 k = 8

。約去

(x - 1)^{2}

後原式

= 2 x - 3

，

c = x \to 1 lim (2 x - 3) = - 1

。

(a, b, c) = (- 7, 8, - 1)

。

也可以分兩次做：分子在

x = 1

要為

0

，得

a + b = 1

；約去一個

x - 1

之後，分母仍趨近

0

，新的分子在

x = 1

還要為

0

，再得一個條件。分母的因式有幾次，這個條件就要用幾次。

分式的極限存在而分母趨近 0，分子也要趨近 0；分子趨近 0 而極限不為 0，分母也要趨近 0。

05填充題（原卷填充第 12、15、16 題，本頁第 15、18、19 題）：絕對值的極限、連續

第 15 題極限只看

x

在

0

附近的情形。

x

在

0

附近時，

x - 1

在

- 1

附近，是負數，

∣ x - 1∣ = 1 - x

；

5 x + 1

在

1

附近，是正數，

∣5 x + 1∣ = 5 x + 1

。分子

= (1 - x) - (5 x + 1) = - 6 x

，原式

= \frac{- 6 x}{x} = - 6

（

x \neq = 0

），極限為

- 6

。

去絕對值看的是絕對值裡面的式子在

x = 0

附近的正負，不是看

x

本身的正負；這題兩個絕對值在

0

的左右兩邊都不變號，不必分左右極限。

第 18 題

x \neq = - 2

時

f (x)

是分式，分母不為

0

，都連續；只要在

x = - 2

連續即可，也就是

x \to - 2 lim f (x) = f (- 2)

。由第二個式子，

f (- 2) = - 2 + 5 = 3

。

x \to - 2

時分母

x + 2 \to 0

，極限要存在，分子也要趨近

0

，所以分子有因式

x + 2

，設

x^{2} + a x + b = (x + 2) (x + k)

。約去

x + 2

後為

x + k

，極限是

- 2 + k = 3

，

k = 5

。分子

= (x + 2) (x + 5) = x^{2} + 7 x + 10

，

(a, b) = (7, 10)

。

第二個式子

x + 5

只在

x = - 2

這一點使用，它給的是函數值

f (- 2) = 3

。巧的是約分後

x \neq = - 2

時

f (x)

也等於

x + 5

，整個函數就是

y = x + 5

。

第 19 題

x

在

2

附近時，

x^{2} + 3 x - 11

在

4 + 6 - 11 = - 1

附近，是負數，所以

x^{2} + 3 x - 11 = - x^{2} - 3 x + 11

；

x

是正數，

∣ x ∣ = x

。分子

= - x^{2} - 3 x + 11 - 1 = - (x^{2} + 3 x - 10) = - (x + 5) (x - 2)

，分母

= x - 2

。

x \to 2

時

x \neq = 2

，約去

x - 2

：原式

= - (x + 5)

，極限為

- 7

。

如果把絕對值直接拿掉（當成正的），分子會是

x^{2} + 3 x - 12

，在

x = 2

是

- 2

，不是

0

，就約不掉了；先代

x = 2

看絕對值裡面的正負。

06填充題（原卷填充第 13、14 題，本頁第 16、17 題）：係數和、夾擠定理

第 16 題多項式各項係數的總和，等於把

x = 1

代入的值：

a_{n} = (1 + 3)^{n} = 4^{n}

，

b_{n} = (5 - 2)^{n} = 3^{n}

。所以原式

= \frac{2 \cdot 4 ^{n + 1} + 5 \cdot 3 ^{n}}{3 \cdot 4 ^{n} - 4 \cdot 3 ^{n - 1}} = \frac{8 \cdot 4 ^{n} + 5 \cdot 3 ^{n}}{3 \cdot 4 ^{n} - \frac{4}{3} \cdot 3 ^{n}}

。分子分母同除以

4^{n}

：

\frac{8 + 5 ( \frac{3}{4} ) ^{n}}{3 - \frac{4}{3} ( \frac{3}{4} ) ^{n}}

，

(\frac{3}{4})^{n} \to 0

，極限為

\frac{8}{3}

。

足標不一樣要先化成同一個次方：

4^{n + 1} = 4 \cdot 4^{n}

，

3^{n - 1} = \frac{1}{3} \cdot 3^{n}

。

第 17 題題目沒有說

⟨ b_{n} ⟩

收斂，所以先把

b_{n}

夾在兩個已知極限的數列之間。由右邊的不等式

a_{n} \leq 3 b_{n}

得

b_{n} \geq \frac{a _{n}}{3}

；由左邊的不等式得

b_{n} \leq a_{n} - \frac{4 n + 1}{n}

。所以

\frac{a _{n}}{3} \leq b_{n} \leq a_{n} - \frac{4 n + 1}{n}

。

n \to \infty

時，

\frac{a _{n}}{3} \to \frac{6}{3} = 2

；

\frac{4 n + 1}{n} = 4 + \frac{1}{n} \to 4

，所以

a_{n} - \frac{4 n + 1}{n} \to 6 - 4 = 2

。兩邊的極限都是

2

，由夾擠定理，

n \to \infty lim b_{n} = 2

。

這題被夾的是

b_{n}

，不是中間的

a_{n}

；要把不等式改寫成

b_{n}

在中間的樣子。

07填充題（原卷填充第 17 題，本頁第 20、21 題）：共乘機車租金與高斯符號

第 20 題

[t]

表示不超過

t

的最大整數。

19

分

30

秒是

x = 19.5

分鐘，

x > 6

，用第二個式子：

6 - x = - 13.5

，不超過

- 13.5

的最大整數是

- 14

，所以

[6 - x] = - 14

，

- [6 - x] = 14

。租金

f (19.5) = 15 + 2.5 \times 14 = 15 + 35 = 50

元。

負數取高斯符號要往更小的方向取：

[- 13.5] = - 14

，不是

- 13

。意思是超過

6

分鐘的

13.5

分鐘，未滿

1

分鐘的部分也算

1

分鐘，共計

14

分鐘、每分鐘

2.5

元。

第 21 題

100 > 15

，所以用第二個式子。令

k = - [6 - x]

（

k

是整數），租金

15 + 2.5 k \leq 100

，得

k \leq 34

，最多計

34

分鐘。

k = 34

時

[6 - x] = - 34

，由高斯符號的定義

- 34 \leq 6 - x < - 33

，各項減

6

再乘以

- 1

（不等號反向）：

39 < x \leq 40

。所以最多可使用

40

分鐘，此時租金

15 + 2.5 \times 34 = 100

元，剛好用完。

x = 40

時

[6 - 40] = [- 34] = - 34

，租金

100

元；只要超過

40

分鐘一點點，

[6 - x]

就變成

- 35

，租金跳到

102.5

元。

高斯符號先算出括號裡的數，再取不超過它的最大整數（本身是整數就取它自己）；負數特別容易取錯。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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原卷多選第 2 題要對每個敘述說出理由或舉反例，正負交錯的數列可以否定平方與絕對值那兩個選項；原卷填充第 9 題第二個極限等於零，代表三次式有二重因式；原卷填充第 14 題被夾的是另一個數列，要先把不等式改寫；原卷填充第 16 題與第 17 題要先看絕對值或高斯符號裡面的數是正是負，負數取高斯符號要往更小的整數取。詳解逐題寫在本頁。

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臺南二中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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03填充題（原卷填充第 2、5、6、7 題，本頁第 5、8、9、10 題）：Σ 與無窮等比級數

04填充題（原卷填充第 9、10、11 題，本頁第 12～14 題）：分母趨近 0 的極限

05填充題（原卷填充第 12、15、16 題，本頁第 15、18、19 題）：絕對值的極限、連續

06填充題（原卷填充第 13、14 題，本頁第 16、17 題）：係數和、夾擠定理

07填充題（原卷填充第 17 題，本頁第 20、21 題）：共乘機車租金與高斯符號

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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