溪湖高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (E)。$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$。$x=0$ 有極值，$f^{\prime }(0)=c=0$；$x=-2$ 有極值，$f^{\prime }(-2)=12a-4b=0$，得 $b=3a$。又 $f(0)=d=-1$，$f(-2)=-8a+4b+d=-8a+12a-1=4a-1=3$，得 $a=1$，$b=3$。所以 $f(x)=x^3+3x^2-1$，$f^{\prime }(x)=3x(x+2)$，確實在 $x=-2$ 有極大、在 $x=0$ 有極小。

(A) 錯誤。 三次函數 $x\to +\infty$ 時 $f(x)$ 沒有上限，例如 $f(2)=19>3$，所以 $3$ 不是最大值。

(B) 錯誤。 $x\to -\infty$ 時 $f(x)$ 沒有下限，例如 $f(-4)=-17<-1$。

(C) 錯誤。 $b=3>0$。

(D) 錯誤。 $d=f(0)=-1$。

(E) 正確。 $f^{\prime \prime }(x)=6x+6$，$f^{\prime \prime }(-1)=0$。

答案 (B)。$f^{\prime }(x)=2x^3-6x-4=2(x^3-3x-2)$。已知 $f^{\prime }(-1)=0$，所以 $x+1$ 是因式：$x^3-3x-2=(x+1)(x^2-x-2)=(x+1{)}^2(x-2)$，於是 $f^{\prime }(x)=2(x+1{)}^2(x-2)$。$(x+1{)}^2\ge 0$，所以 $x<2$ 時 $f^{\prime }(x)\le 0$（只在 $x=-1$ 等於 $0$），$x>2$ 時 $f^{\prime }(x)>0$。圖形在 $x<2$ 一路遞減，中途在 $x=-1$ 處切線水平（變平一下但仍往下走），到 $x=2$ 才有唯一的極小值，之後遞增。符合的是左側先出現一段平台、最低點在右邊的圖 (B)。

圖 (A) 的平台在最低點右邊，那是遞增途中變平，與 $f^{\prime }$ 的正負不合；圖 (C)(D)(E) 都有兩個極小、一個極大，需要 $f^{\prime }$ 變號三次，但本題的 $f^{\prime }$ 只在 $x=2$ 變號一次。

答案 (D)。$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+b$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax$。表中 $f^{\prime }(\pm 1)=0$，得 $3a+b=0$，$b=-3a$；表中 $x<0$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$，即 $6ax<0$，所以 $a>0$。又 $f(1)=a+b-2=-2a-2=-4$，$a=1$，$b=-3$，$f(x)=x^3-3x-2$。檢查：$f(-1)=0$，$f(0)=-2$，與表相符。

(A) 錯誤。 $a=1>0$。

(B) 錯誤。 $b=-3<0$。

(C) 錯誤。 表中 $-1<x<0$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，函數在 $[-1,0]$ 遞減。

(D) 正確。 $x>0$ 時 $f^{\prime \prime }(x)=6x>0$，所以在 $[0,+\infty )$ 圖形凹口向上（端點 $x=0$ 處 $f^{\prime \prime }(0)=0$ 不影響：$f^{\prime }(x)=3x^2-3$ 在 $[0,+\infty )$ 上嚴格遞增，所以含端點 0 的整段都凹口向上。）

(E) 錯誤。 反曲點是凹口方向改變的點。$f^{\prime \prime }(x)=6x$ 只在 $x=0$ 變號，反曲點只有 $(0,-2)$；$(-1,0)$ 與 $(1,-4)$ 是 $f^{\prime }(x)=0$ 的點，分別是極大點與極小點。

答案 (D)。$f(x)=x^3+1$ 在 $[0,1]$ 上遞增。把 $[0,1]$ 等分成 $n$ 段，第 $k$ 段是 $\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$，寬 $\frac{1}{n}$。遞增函數在每段的最大值在右端點、最小值在左端點，所以 $$U_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\left({\left(\frac{k}{n}\right)}^3+1\right),L_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\left({\left(\frac{k-1}{n}\right)}^3+1\right)$$

(A) 錯誤。 $U_1=f(1)=2$，$U_2=\frac{1}{2}\left(f\left(\frac{1}{2}\right)+f(1)\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{8}+2\right)=\frac{25}{16}$，$n$ 變大 $U_n$ 反而變小。

(B) 錯誤。 $L_1=f(0)=1$，$L_2=\frac{1}{2}\left(f(0)+f\left(\frac{1}{2}\right)\right)=\frac{17}{16}$，$n$ 變小 $L_n$ 反而變小。

(C) 錯誤。 每一段的最大值都不小於最小值，所以 $U_n\ge L_n$；本題 $U_n-L_n=\frac{1}{n}(f(1)-f(0))=\frac{1}{n}>0$，不可能相等，更不可能更小。

(D) 正確。 就是上面 $U_n$ 取 $k=1$ 到 $n$ 的展開。

(E) 錯誤。 $L_n$ 的第一項是 $k=1$ 的左端點 $x=0$：$\frac{1}{n}\left(0^3+1\right)=\frac{1}{n}$，選項從 ${\left(\frac{1}{n}\right)}^3$ 開始寫，漏了這一項，所以它等於 $L_n-\frac{1}{n}$。

$f(x)=x\left(x^2-x-2\right)=x(x-2)(x+1)$，與 $x$ 軸交於 $x=-1$、$0$、$2$。$-1<x<0$ 時 $f(x)>0$，$0<x<2$ 時 $f(x)<0$。令 $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2$。

${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=F(0)-F(-1)=0-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1\right)=\frac{5}{12}$；

${\int }_0^{2}f(x)dx=F(2)-F(0)=4-\frac{8}{3}-4=-\frac{8}{3}$。

面積 $=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}=\frac{37}{12}$。

在 $[0,8]$ 上分段：$0\le x\le 4$ 時 $f(x)=(4-x)+(6-x)=10-2x$；$4\le x\le 6$ 時 $f(x)=(x-4)+(6-x)=2$；$6\le x\le 8$ 時 $f(x)=(x-4)+(x-6)=2x-10$。

${\int }_0^4(10-2x)dx=40-16=24$，${\int }_4^{6}2dx=4$，${\int }_6^8(2x-10)dx=(64-36)-20=8$。合計 $24+4+8=36$。

$-1\le x\le 1$ 時 $-x^2+2\ge x^2\ge 0$，區域整個在 $x$ 軸上方，繞 $x$ 軸的截面是外半徑 $2-x^2$、內半徑 $x^2$ 的圓環。

體積 $=\pi {\int }_{-1}^1\left[{\left(2-x^2\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2\right]dx=\pi {\int }_{-1}^1\left(4-4x^2\right)dx=\pi {\left[4x-\frac{4x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\pi \left(\frac{8}{3}+\frac{8}{3}\right)=\frac{16\pi }{3}$。