段考詳解範圍：選修數學甲上冊單元一、二（數列的極限、無窮等比級數、函數的概念、函數的極限、連續函數）

平鎮高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、多選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、選填題 15 題（每題 5 分，共 75 分），合計 100 分。第 4 題的答案照學校的標準答案 (1)(3)(4)(5)，其中選項 (5) 嚴格來說要 f(x) 是多項式函數才成立，說明寫在該題詳解。答案已與學校的標準答案逐題核對，其中 1 題加了說明。

一、單選題（3 小題，每題 5 分，共 15 分）

試問

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} - 2}{n} - \frac{n ^{2} + 3 n}{n + 1})

的值為何？

(1) $- 1$
(2) $- 2$
(3) $- 3$
(4) $- 4$
(5) 不存在

試問

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - x - 6}{∣ x ∣ - 3}

的值為何？

(1) $1$
(2) $3$
(3) $5$
(4) $7$
(5) 不存在

已知函數

y = f (x)

的圖形如圖所示：(A)

x \to 1 lim f (x) = 1

　(B)

x \to 2 lim f (x) = 0

　(C)

x \to 3 lim f (x) = 2

　(D)

x \to 4 lim f (x) = 2

　(E)

x \to 3 lim f (x) = 1

。上列 5 個極限值，正確的有哪些？

(1) AB
(2) AC
(3) AD
(4) AE
(5) DE

載入中...

二、多選題（2 小題，每題 5 分，全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個或 3 個以上得 0 分，共 10 分。）

已知函數

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 5

，選出所有正確的選項。

(1) $x \to 1 lim (\frac{f ( x )}{x - 1} + \frac{x - 1}{x}) = 5$
(2) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{2 ( x - 1 )} = 5$
(3) $x \to 1 lim (x f (x)) = 0$
(4) $x \to 1 lim f (x) = 0$
(5) 函數 $f (x)$ 在 $x = 1$ 處連續

下列敘述，請選出所有正確的選項：

(1) 若函數 $f (x) = x^{2} + 3$ ， $g (x) = x^{3} + 2$ ，則 $(g \circ f) (x)$ 為六次多項式函數
(2) 若多項式函數 $f (x)$ 滿足 $f (1) = 3$ ，則 $x \to 1 lim f (x) = 3$
(3) 無窮等比級數 $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$ 的和為 $\frac{1}{1 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}$
(4) 函數 $f (x) = x + 1$ 的反函數為 $g (x) = x - 1$
(5) 極限 $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ 不存在

三、選填題（15 題，每題 5 分，共 75 分）

求

x \to 0 lim \frac{1}{x} (\frac{1}{5 - 3 x} - \frac{1}{5}) =

____。（原卷答案格：分數，分子一格、分母兩格）

已知

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2} + bn}{n - 1} - \frac{a n ^{2} + n}{n + 3}) = 3

，求數對

(a, b) =

____。（原卷為畫卡作答的答案格）

已知首項為

2

的無窮等比級數的和為

6

，且其前

n

項的和

S_{n}

滿足

∣6 - S_{n} ∣ < \frac{1}{10000}

，則

n

的最小值為 ____。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）（原卷答案格：兩格）

已知函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - a}{x - 3}, b, 當 x \neq = 3 當 x = 3

在

x = 3

處連續，求數對

(a, b) =

____。（原卷答案格：兩個數各一格）

已知

x \to 1 lim \frac{∣3 - 3 x - x ^{2} ∣ - a}{x - 1} = b

，求數對

(a, b) =

____。（原卷答案格：兩個數各一格）

已知函數

f (x) = {x^{2} + 5, a x + 2, 當 x \geq 3 當 x < 3

在

x = 3

處連續，則實數

a

的值

=

____。（原卷答案格：一格）

已知對任意正整數

n

，不等式

b_{n} + \frac{4 n + 1}{n} \leq a_{n} \leq 3 b_{n}

恆成立，且

n \to \infty lim a_{n} = 6

，求

n \to \infty lim b_{n}

的值

=

____。（原卷答案格：一格）

已知無窮等比級數

a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{n - 1} + \dots

的和為

4

，且

a_{2} = - 3

，求

n = 1 \sum \infty a r^{2 n - 2}

的值

=

____。（原卷答案格：一格）

已知三次多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

且

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 3

，求

x \to 3 lim f (x) =

____。（原卷答案格：兩格）

已知一無窮等比級數的首項為

0. \overline{4}

，第二項為

0.0 \overline{8}

，求此級數的和

=

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各一格）

已知

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2} + 1}{n + 1} - an - b) = 2

，求數對

(a, b) =

____。（原卷為畫卡作答的答案格）

求

x \to - 1 lim \frac{( x + 2 ) ^{12} - 1}{x + 1} =

____。（原卷答案格：兩格）

已知

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - a x + b} = 4

，求數對

(a, b) =

____。（原卷答案格：兩個數各一格）

求無窮級數

\frac{3}{5} + \frac{15}{5 ^{2}} + \frac{63}{5 ^{3}} + \dots + \frac{4 ^{n} - 1}{5 ^{n}} + \dots

的和

=

____。（原卷答案格：分數，分子兩格、分母一格）

甲、乙兩人輪流投擲一粒公正骰子，約定如下：當擲出點數為質數時，此人獲勝；當擲出點數不為質數時，改由另一人投擲。已知由甲先投擲，則甲獲勝的機率

=

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各一格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(1)(3)(4)(5)（照學校的標準答案；嚴格來說 (5) 要 f 是多項式函數才成立，見詳解）

第 5 題(1)(2)(4)

第 6 題

\frac{3}{25}

第 7 題

(2, - 4)

第 8 題

28

第 9 題

(9, 6)

第 10 題

(1, 5)

第 11 題

4

第 12 題

2

第 13 題

8

第 14 題

14

第 15 題

\frac{5}{9}

第 16 題

(2, - 4)

第 17 題

12

第 18 題

(3, 2)

第 19 題

\frac{15}{4}

第 20 題

\frac{2}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～3：通分後取極限、含絕對值的極限、由圖形看極限

第 1 題答案 (2)。兩項各自都發散，先通分：

\frac{n ^{2} - 2}{n} - \frac{n ^{2} + 3 n}{n + 1} = \frac{( n ^{2} - 2 ) ( n + 1 ) - n ( n ^{2} + 3 n )}{n ( n + 1 )}

。分子

= (n^{3} + n^{2} - 2 n - 2) - (n^{3} + 3 n^{2}) = - 2 n^{2} - 2 n - 2

，所以原式

= \frac{- 2 n ^{2} - 2 n - 2}{n ^{2} + n}

。分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 2 - \frac{2}{n} - \frac{2}{n ^{2}}}{1 + \frac{1}{n}} \to - 2

。

兩項都發散時，極限的減法性質不能用，不可以寫成「無限大減無限大等於

0

」；要先合併成一個分式。

第 2 題答案 (3)。

x

在

3

附近時

x > 0

，所以

∣ x ∣ = x

，分母就是

x - 3

。分子

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

，原式

= x \to 3 lim \frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 2) = 5

。

若題目問的是

x \to - 3

，那時

∣ x ∣ = - x

，分母是

- x - 3

，而分子在

x = - 3

的值是

6

不是

0

，極限就不存在。去絕對值要看

x

靠近哪個數。

第 3 題答案 (4)。極限看的是

x

靠近那一點時圖形趨近的高度，左右兩邊要趨近同一個高度；那一點本身的函數值不影響。(A) 圖形在

x = 1

附近沒有斷開，左右都趨近高度

1

，正確。(B) 從左邊靠近

2

時圖形一路往上衝，高度超過

3

；從右邊靠近

2

時圖形在

x

軸下方，兩邊不趨近同一個高度，更不是

0

，錯誤。(C)(E) 從左邊靠近

3

時曲線趨近空心點

(3, 1)

，從右邊靠近

3

時斜線段也從空心點

(3, 1)

出發，左右極限都是

1

，所以

x \to 3 lim f (x) = 1

：(E) 正確、(C) 錯誤。實心點

(3, 2)

只表示

f (3) = 2

。(D) 從左邊靠近

4

時斜線段趨近實心點

(4, 2)

，左極限是

2

；從右邊靠近

4

時另一條斜線段趨近空心點

(4, 1)

，右極限是

1

；左右不相等，極限不存在，錯誤。正確的是 A、E。

f (3) = 2

當成極限，(D) 只看了左邊。這兩個是最常見的誤選。

極限看的是靠近那一點時的趨勢，不是那一點的函數值；兩項都發散時先合併再取極限。

02多選 4～5：極限的運算性質、連續、合成函數與反函數

第 4 題答案 (1)(3)(4)(5)（照學校的標準答案；嚴格來說 (5) 要

f (x)

是多項式函數才成立，說明在後面）。(1)

x \to 1 lim \frac{x - 1}{x} = \frac{0}{1} = 0

，兩個極限都存在，和的極限

= 5 + 0 = 5

，對。(2)

\frac{f ( x )}{2 ( x - 1 )} = \frac{1}{2} \cdot \frac{f ( x )}{x - 1} \to \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}

，不是

5

，錯。(4)

x \neq = 1

時

f (x) = \frac{f ( x )}{x - 1} \cdot (x - 1)

，兩個因式的極限都存在，所以

x \to 1 lim f (x) = 5 \cdot 0 = 0

，對。(3)

x \to 1 lim (x f (x)) = 1 \cdot 0 = 0

，對。(5) 有兩種看法。學校的標準答案把 (5) 算正確：把

f (x)

看成多項式函數，多項式函數處處連續，

f (1) = x \to 1 lim f (x) = 0

，在

x = 1

連續。但卷面只印「函數」，沒有說是多項式函數。在

x = 1

連續的意思是

f (1)

有定義，而且

x \to 1 lim f (x) = f (1)

；已知條件是

x \to 1

的極限，只和

x \neq = 1

的函數值有關，沒有提到

f (1)

。例如

f (x) = {5 (x - 1), 1, x \neq = 1 x = 1

滿足題目的條件，但

x \to 1 lim f (x) = 0 \neq = f (1)

，在

x = 1

不連續。所以只照卷面的文字，(5) 不一定成立，嚴格的答案是 (1)(3)(4)。

本頁答案照學校的標準答案寫 (1)(3)(4)(5)；與嚴格推論差在選項 (5)。極限存在不等於連續，還要多檢查一件事：那一點的函數值是否等於極限值。題目若寫明是多項式函數，(5) 一定要選。

第 5 題答案 (1)(2)(4)。(1)

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = (x^{2} + 3)^{3} + 2

，展開後最高次項是

x^{6}

，是六次多項式函數，對。(2) 多項式函數在每一點都連續，所以

x \to 1 lim f (x) = f (1) = 3

，對。(3) 公比是

- 1

。無窮等比級數只有在公比的絕對值小於

1

時才收斂，才能用

\frac{a}{1 - r}

；這個級數的部分和是

1, 0, 1, 0, \dots

，不趨近單一的數，級數發散，沒有和，錯。(4) 令

y = x + 1

，則

x = y - 1

，反函數為

g (x) = x - 1

；檢查

g (f (x)) = (x + 1) - 1 = x

，對。(5)

x \neq = 1

時

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1

，

x \to 1

時趨近

2

，極限存在，錯。

(3) 代公式前要先檢查公比。(5) 分母趨近

0

不代表極限不存在，分子也趨近

0

時要先約分。

極限的四則運算只有在各個極限都存在時才能拆開；極限存在和連續是兩件事，連續還要求函數值等於極限值。

03選填 6～10：約去公因式、由極限求係數、部分和、連續的條件

第 6 題先把括號裡通分：

\frac{1}{5 - 3 x} - \frac{1}{5} = \frac{5 - ( 5 - 3 x )}{5 ( 5 - 3 x )} = \frac{3 x}{5 ( 5 - 3 x )}

。乘上

\frac{1}{x}

後約去

x

（

x \neq = 0

）：

\frac{3}{5 ( 5 - 3 x )}

。

x \to 0

時趨近

\frac{3}{5 \cdot 5} = \frac{3}{25}

。

第 7 題通分：分母

(n - 1) (n + 3)

是二次式，分子

= (2 n^{2} + bn) (n + 3) - (a n^{2} + n) (n - 1) = (2 - a) n^{3} + (a + b + 5) n^{2} + (3 b + 1) n

。極限是有限的數

3

，分子不可以比分母高次，所以

n^{3}

的係數

2 - a = 0

，

a = 2

。這時分子分母都是二次，極限等於

n^{2}

的係數比：

\frac{a + b + 5}{1} = b + 7 = 3

，得

b = - 4

。所以

(a, b) = (2, - 4)

。

展開時

- (a n^{2} + n) (n - 1) = - a n^{3} + a n^{2} - n^{2} + n

，中間兩項的正負號容易寫錯。

第 8 題設公比為

r

。和

\frac{2}{1 - r} = 6

，得

1 - r = \frac{1}{3}

，

r = \frac{2}{3}

。前

n

項的和

S_{n} = \frac{2 [ 1 - ( \frac{2}{3} ) ^{n} ]}{1 - \frac{2}{3}} = 6 - 6 (\frac{2}{3})^{n}

，所以

∣6 - S_{n} ∣ = 6 (\frac{2}{3})^{n}

。條件是

6 (\frac{2}{3})^{n} < 1 0^{- 4}

。兩邊取常用對數：

lo g 6 + n (lo g 2 - lo g 3) < - 4

。

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781

，

lo g 2 - lo g 3 \approx - 0.1761

，所以

0.7781 - 0.1761 n < - 4

，

n > \frac{4.7781}{0.1761} \approx 27.1

。

n

的最小值為

28

。

除以

- 0.1761

（或把它移項）時不等號方向要注意；

n = 27

時

6 (\frac{2}{3})^{27} \approx 1.06 \times 1 0^{- 4}

，還差一點，所以是

28

不是

27

。

第 9 題在

x = 3

連續，表示

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - a}{x - 3} = f (3) = b

。

x \to 3

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

9 - a = 0

，

a = 9

。此時

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3

（

x \neq = 3

），極限為

6

，所以

b = 6

。

(a, b) = (9, 6)

。

第 10 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

∣3 - 3 - 1∣ - a = 1 - a = 0

，

a = 1

。接著去絕對值：

x = 1

時

3 - 3 x - x^{2} = - 1 < 0

，所以

x

在

1

附近時

∣3 - 3 x - x^{2} ∣ = x^{2} + 3 x - 3

。分子

= x^{2} + 3 x - 3 - 1 = x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)

，極限

= x \to 1 lim (x + 4) = 5

，

b = 5

。

(a, b) = (1, 5)

。

去絕對值前先把

x = 1

代進絕對值裡面看正負。若直接把絕對值拿掉，分子會變成

2 - 3 x - x^{2}

，在

x = 1

是

- 2

，就做不下去。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0，這個條件先拿來求一個未知數。

04選填 11～15：分段函數的連續、夾擠定理、無窮等比級數

第 11 題

f (3) = 3^{2} + 5 = 14

，右極限

x \to 3^{+} lim (x^{2} + 5) = 14

，左極限

x \to 3^{-} lim (a x + 2) = 3 a + 2

。在

x = 3

連續，左極限要等於右極限也等於

f (3)

：

3 a + 2 = 14

，

a = 4

。

第 12 題把

b_{n}

夾起來。由右邊的不等式

a_{n} \leq 3 b_{n}

得

b_{n} \geq \frac{a _{n}}{3}

；由左邊的不等式得

b_{n} \leq a_{n} - \frac{4 n + 1}{n}

。所以

\frac{a _{n}}{3} \leq b_{n} \leq a_{n} - (4 + \frac{1}{n})

。

n \to \infty

時，左邊趨近

\frac{6}{3} = 2

，右邊趨近

6 - 4 = 2

。兩邊的極限都是

2

，由夾擠定理，

n \to \infty lim b_{n} = 2

。

題目沒有先說

⟨ b_{n} ⟩

收斂，所以不能直接對不等式兩邊取極限；要先把

b_{n}

單獨夾在中間，再用夾擠定理。

第 13 題第二項

a_{2} = a r = - 3

，級數和

\frac{a}{1 - r} = 4

（要收斂，所以

∣ r ∣ < 1

）。由和得

a = 4 (1 - r)

，代入

a r = - 3

：

4 r (1 - r) = - 3

，

4 r^{2} - 4 r - 3 = 0

，

(2 r - 3) (2 r + 1) = 0

，

r = \frac{3}{2}

或

- \frac{1}{2}

。

∣ r ∣ < 1

，所以

r = - \frac{1}{2}

，

a = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6

。所求

n = 1 \sum \infty a r^{2 n - 2} = a + a r^{2} + a r^{4} + \dots

是首項

a = 6

、公比

r^{2} = \frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{6}{1 - \frac{1}{4}} = 8

。

r = \frac{3}{2}

要捨去：公比的絕對值大於

1

，原級數不會有和。所求的級數是原級數的第

1, 3, 5, \dots

項。

第 14 題

x \to 1

與

x \to 2

時分母趨近

0

而極限存在，所以

f (1) = 0

、

f (2) = 0

，

f (x)

有因式

(x - 1) (x - 2)

。

f (x)

是三次，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (a x + b)

。

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = (1 - 2) (a + b) = - (a + b) = 1

，得

a + b = - 1

；

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = (2 - 1) (2 a + b) = 2 a + b = 3

。兩式相減得

a = 4

，

b = - 5

，

f (x) = (x - 1) (x - 2) (4 x - 5)

。多項式函數連續，

x \to 3 lim f (x) = f (3) = 2 \cdot 1 \cdot 7 = 14

。

第 15 題先把循環小數化成分數：

0. \overline{4} = \frac{4}{9}

；

0.0 \overline{8} = \frac{1}{10} \times 0. \overline{8} = \frac{1}{10} \times \frac{8}{9} = \frac{4}{45}

。公比

r = \frac{4}{45} \div \frac{4}{9} = \frac{1}{5}

，絕對值小於

1

，級數收斂。和

= \frac{\frac{4}{9}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{4}{9} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{9}

。

第二項的循環節只有

8

，小數點後第一位的

0

不循環，是

0.0888 \dots

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1；求出兩個公比時，不合的那個要捨去。

05選填 16～20：由極限求係數、高次式的極限、級數的和與機率

第 16 題通分：

\frac{2 n ^{2} + 1}{n + 1} - an - b = \frac{2 n ^{2} + 1 - ( an + b ) ( n + 1 )}{n + 1} = \frac{( 2 - a ) n ^{2} - ( a + b ) n + ( 1 - b )}{n + 1}

。分母是一次式，極限是有限的數

2

，分子不可以比分母高次，所以

2 - a = 0

，

a = 2

。這時極限等於

n

的係數比：

- (a + b) = - (2 + b) = 2

，得

b = - 4

。

(a, b) = (2, - 4)

。

第 17 題令

t = x + 2

，

x \to - 1

時

t \to 1

，而

x + 1 = t - 1

，原式

= t \to 1 lim \frac{t ^{12} - 1}{t - 1}

。

t^{12} - 1 = (t - 1) (t^{11} + t^{10} + \dots + t + 1)

，約去

t - 1

後是

t^{11} + t^{10} + \dots + t + 1

，共

12

項。

t \to 1

時每一項都趨近

1

，極限為

12

。

t^{11} + t^{10} + \dots + t + 1

從

t^{11}

到

t^{0}

共

12

項，不是

11

項。

第 18 題

x \to 2

時分子趨近

0

。若分母不趨近

0

，極限會是

0

，不是

4

；所以分母也要趨近

0

：

4 - 2 a + b = 0

，

b = 2 a - 4

。分母

x^{2} - a x + 2 a - 4 = (x - 2) (x - a + 2)

，分子

= (x - 2) (x + 2)

，約去

x - 2

：

x \to 2 lim \frac{x + 2}{x - a + 2} = \frac{4}{4 - a} = 4

，得

4 - a = 1

，

a = 3

，

b = 2

。

(a, b) = (3, 2)

。

驗算：分母

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

，原式

= \frac{x + 2}{x - 1} \to \frac{4}{1} = 4

。

第 19 題一般項

\frac{4 ^{n} - 1}{5 ^{n}} = (\frac{4}{5})^{n} - (\frac{1}{5})^{n}

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{4}{5}

、

\frac{1}{5}

的絕對值都小於

1

，各自收斂，可以分開求和：

n = 1 \sum \infty (\frac{4}{5})^{n} = \frac{\frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = 4

，

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{5})^{n} = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}

。所求

= 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

。

前三項

\frac{3}{5}

、

\frac{15}{25}

、

\frac{63}{125}

的分子正是

4 - 1

、

4^{2} - 1

、

4^{3} - 1

；原級數本身不是等比級數，要拆開才能套公式。

第 20 題骰子的點數中質數是

2

、

3

、

5

，擲一次出現質數的機率是

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

，不是質數的機率也是

\frac{1}{2}

。甲在第

1, 3, 5, \dots

次投擲。甲在第

1

次就獲勝的機率是

\frac{1}{2}

；在第

3

次獲勝，要前兩次都不是質數、第

3

次是質數，機率

(\frac{1}{2})^{2} \cdot \frac{1}{2}

；在第

5

次獲勝的機率是

(\frac{1}{2})^{4} \cdot \frac{1}{2}

；依此類推。甲獲勝的機率

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4})^{2} + \dots

，是首項

\frac{1}{2}

、公比

\frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3}

。

1

不是質數。同樣算乙獲勝的機率是

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \dots = \frac{1}{3}

，兩人相加為

1

。

一般項能拆成幾個等比數列的和，就各自求和再相加；輪流進行的遊戲，把某一方在各輪獲勝的機率列出來就是等比級數。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題：除以 2 倍的那個極限是二分之五不是 5，而在 x 等於 1 連續還需要函數值等於極限值，這一點題目沒有給，學校的標準答案是把 f 看成多項式函數而算它正確。選填第 8 題：部分和與 6 的差是 6 乘三分之二的 n 次方，取對數後 n 要大於 27.1，答案是 28 不是 27。選填第 12 題：要先把 b 的第 n 項單獨夾在兩個式子中間，再用夾擠定理。選填第 13 題：解出兩個公比，其中二分之三要捨去。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自平鎮高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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02多選 4～5：極限的運算性質、連續、合成函數與反函數

03選填 6～10：約去公因式、由極限求係數、部分和、連續的條件

04選填 11～15：分段函數的連續、夾擠定理、無窮等比級數

05選填 16～20：由極限求係數、高次式的極限、級數的和與機率

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平鎮高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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