段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的極限與連續、導數與導函數、微分公式、切線、近似值）

溪湖高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 5 題，每題 4 分，共 20 分；填充題 10 題共 13 格，依答對題數給分，最高 80 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單選題：（每題 4 分，共 20 分）

已知一皮球從

100

公尺高處落下，每次返跳的高度為前次高度的

\frac{2}{3}

，求自開始落下至皮球靜止所經過的距離為

(A) $700$ 公尺
(B) $600$ 公尺
(C) $500$ 公尺
(D) $400$ 公尺

若

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 2, 2, 6 - 3 x^{2}, x < - 1 x = - 1 x > - 1

，則

x \to - 1 lim f (x) =

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$

設

y = f (x)

之圖形如下，則下列何者錯誤？

(A) $f (1)$ 存在
(B) $x \to - 1 lim f (x)$ 存在
(C) $x \to 2 lim f (x)$ 存在
(D) $y = f (x)$ 在 $x = 4$ 點連續

載入中...

若數列

⟨ a_{n} ⟩

對每個自然數

n

符合

\frac{n ( n + 1 )}{2} < a_{n} < \frac{n ( n + 2 )}{2}

，求

n \to \infty lim \frac{a _{2 n}}{n ^{2}} =

(A) $2$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $0$
(D) $1$

已知函數

f (x) = x^{2} + ∣ x + 3∣ + ∣ x - 5∣

，試問導數

f^{'} (2)

的值為何？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

二、填充題：（答案卷所附給分表：答對題數 1～13 依序得 8、16、24、32、40、45、50、55、60、65、70、75、80 分。本頁第 6～18 題依序為原卷填充題的 1(1)、1(2)、1(3)、2、3、4、5、6、7、8、9、10(1)、10(2)）

填充第 1 題（第 6～8 題）　試求下列極限值：

(1)

n \to \infty lim \frac{1 + 3 + 5 + 7 + \dots + ( 2 n - 1 )}{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + n ^{2}} =

____。

(2)

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} - 3 n}{n + 1} - \frac{n ^{2} - 2}{n}) =

____。

(3)

x \to 0 lim \frac{x ^{2} + 3 x}{∣ x ∣} =

____。

試求

k = 1 \sum 10 \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{3} =

____。

若首項為

a

，公比為

0.01

的無窮等比級數和等於循環小數

1. \overline{3}

，則

a =

____。

已知首項為

2

的無窮等比級數的和為

6

，且其前

n

項的和

S_{n}

滿足

∣6 - S_{n} ∣ < \frac{1}{10000}

，求

n

的最小值為 ____。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

已知

n \to \infty lim (\frac{a n ^{2} + n}{n + 3} - \frac{n ^{2} + bn}{n - 1}) = 4

，求數對

(a, b) =

____。

已知

f (x)

為三次多項式，且

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 2} = 1

，

x \to - 2 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 2} = 4

，則

f (x) =

____。（可表為連乘積，無須展開）

已知函數

h (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}

，求

h^{'} (- 1) =

____。

在函數

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 15

的圖形上，已知以點

P

為切點的切線斜率為

3

，求

P

點的坐標 ____。（有兩解）

在函數

f (x) = (2 x^{3} - x + 1) (x^{2} + x - 3)^{3}

的圖形上，求以點

P (1, f (1))

為切點的切線方程式為 ____。

填充第 10 題（第 17～18 題）　設函數

f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 5 = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + a_{3} (x - 1)^{3}

。

(1) 求

(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) =

____。

(2) 求

f (0.98)

的近似值到小數點以下第二位 ____（第三位四捨五入）。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(A)

第 5 題(D)

第 6 題

0

第 7 題

- 4

第 8 題不存在

第 9 題

190

第 10 題

\frac{33}{25}

（即

1.32

）

第 11 題

28

第 12 題

(1, - 7)

第 13 題

- (x - 1) (x + 2) (x - 2)

第 14 題

0

第 15 題

(2, 1)

與

(- 1, 19)

第 16 題

y = 13 x - 15

第 17 題

(4, - 6, - 3, 2)

第 18 題

4.12

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01單選 1～5：反彈路徑、左右極限、由圖形讀極限、夾擠定理、導數

第 1 題答案 (C)。第一次落下走

100

公尺。之後每一次都是「彈上去再掉下來」，第一次彈起的高度是

100 \cdot \frac{2}{3}

，來回走

2 \cdot 100 \cdot \frac{2}{3}

；第二次來回走

2 \cdot 100 \cdot (\frac{2}{3})^{2}

；依此類推。來回的部分是首項

\frac{400}{3}

、公比

\frac{2}{3}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{400}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 400

。總距離

= 100 + 400 = 500

公尺。

第一次只有落下、沒有上升，所以

100

只算一次；之後每個高度都要算上、下兩趟。把

100

也乘

2

會得到

600

；只算落下的路程

\frac{100}{1 - \frac{2}{3}} = 300

則少了上升的部分。

第 2 題答案 (B)。

x

從左邊靠近

- 1

時用

x^{2} + 2

：

x \to - 1^{-} lim f (x) = (- 1)^{2} + 2 = 3

。

x

從右邊靠近

- 1

時用

6 - 3 x^{2}

：

x \to - 1^{+} lim f (x) = 6 - 3 = 3

。左、右極限相等，所以

x \to - 1 lim f (x) = 3

。

f (- 1) = 2

是那一點的函數值，與極限無關；本題極限是

3

、函數值是

2

，所以

f (x)

在

x = - 1

不連續。

第 3 題答案 (C)。從圖上讀：

x

在

- 1

與

2

之間時圖形是高度

1

的水平線段，左端

(- 1, 1)

是實心點、右端

(2, 1)

是空心點；

x \geq 2

時圖形是從實心點

(2, 0)

出發、通過

(4, 1)

的斜線。(A)

x = 1

在水平線段上，

f (1) = 1

，存在，敘述正確。(B)

x

從左邊靠近

- 1

時，左邊的斜線趨近

(- 1, 1)

；從右邊靠近時在水平線段上，值是

1

。左、右極限都是

1

，極限存在，敘述正確。(C)

x

從左邊靠近

2

時趨近空心點的高度

1

；從右邊靠近時趨近實心點的高度

0

。左、右極限不相等，

x \to 2 lim f (x)

不存在，敘述錯誤。(D)

x = 4

在斜線的中間，圖形在這裡沒有斷開，

x \to 4 lim f (x) = 1 = f (4)

，連續，敘述正確。

本題要選的是「錯誤」的敘述。極限存在的條件是左極限等於右極限，與那一點是實心或空心無關。

第 4 題答案 (A)。不等式對每個自然數都成立，把

n

換成

2 n

：

\frac{2 n ( 2 n + 1 )}{2} < a_{2 n} < \frac{2 n ( 2 n + 2 )}{2}

，即

n (2 n + 1) < a_{2 n} < n (2 n + 2)

。同除以

n^{2}

（正數，不等號方向不變）：

2 + \frac{1}{n} < \frac{a _{2 n}}{n ^{2}} < 2 + \frac{2}{n}

。

n \to \infty

時左、右兩邊都趨近

2

，由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{a _{2 n}}{n ^{2}} = 2

。

分子是第

2 n

項，不是第

n

項。若沒有把

n

換成

2 n

，直接用

\frac{a _{n}}{n ^{2}}

去夾，會得到

\frac{1}{2}

。

第 5 題答案 (D)。導數

f^{'} (2)

只和

x = 2

附近的函數有關。

x

在

2

附近（例如

- 3 < x < 5

）時，

x + 3 > 0

，

x - 5 < 0

，所以

∣ x + 3∣ = x + 3

，

∣ x - 5∣ = 5 - x

，

f (x) = x^{2} + (x + 3) + (5 - x) = x^{2} + 8

。於是在這個範圍內

f^{'} (x) = 2 x

，

f^{'} (2) = 4

。

兩個絕對值在

- 3 < x < 5

之間合起來是常數

8

，對導數沒有影響。若把

∣ x - 5∣

當成

x - 5

，會得到

f^{'} (x) = 2 x + 2

而算成

6

。

極限看左右兩邊靠近時的走向；絕對值先依所在範圍去掉，再做極限或微分。

02填充 6～8（原卷填充 1）：三個基本極限

第 6 題分子是前

n

個正奇數的和：

1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = \frac{n ( 1 + ( 2 n - 1 ) )}{2} = n^{2}

。分母

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。原式

= n \to \infty lim \frac{6 n ^{2}}{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )} = n \to \infty lim \frac{6 n ^{2}}{2 n ^{3} + 3 n ^{2} + n}

。分子分母同除以

n^{3}

：

\frac{\frac{6}{n}}{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{0}{2} = 0

。

分子是

n

的二次式，分母是三次式，分母的次數較高，極限為

0

。

第 7 題兩個分式各自都愈來愈大，不能分開求極限，要先通分：

\frac{n ^{2} - 3 n}{n + 1} - \frac{n ^{2} - 2}{n} = \frac{n ( n ^{2} - 3 n ) - ( n ^{2} - 2 ) ( n + 1 )}{n ( n + 1 )}

。分子

= (n^{3} - 3 n^{2}) - (n^{3} + n^{2} - 2 n - 2) = - 4 n^{2} + 2 n + 2

。原式

= n \to \infty lim \frac{- 4 n ^{2} + 2 n + 2}{n ^{2} + n} = n \to \infty lim \frac{- 4 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n ^{2}}}{1 + \frac{1}{n}} = - 4

。

兩個分式都近似於

n

，但不能寫成「

n - n = 0

」；通分後三次項消掉，留下的二次項係數比才是答案。

第 8 題分母有絕對值，分左、右兩邊看。

x > 0

時

∣ x ∣ = x

：

\frac{x ^{2} + 3 x}{x} = x + 3

，所以

x \to 0^{+} lim \frac{x ^{2} + 3 x}{∣ x ∣} = 3

。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

：

\frac{x ^{2} + 3 x}{- x} = - (x + 3)

，所以

x \to 0^{-} lim \frac{x ^{2} + 3 x}{∣ x ∣} = - 3

。左、右極限不相等，極限不存在。

只算右邊會填

3

。遇到

∣ x ∣

而

x \to 0

，一定要左右分開算。

分式型的數列極限，看分子分母最高次項；兩個都發散的式子相減要先通分。

03填充 9～12（原卷填充 2～5）：求和公式、無窮等比級數、由極限反推係數

第 9 題

(k + 1) (k + 2) = k^{2} + 3 k + 2

。

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 k = 55

，

k = 1 \sum 10 2 = 20

。所以原式

= \frac{1}{3} (385 + 3 \cdot 55 + 20) = \frac{570}{3} = 190

。

常數項

2

加了

10

次，是

20

不是

2

。

第 10 題先把循環小數化成分數：

1. \overline{3} = 1 + 0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots = 1 + \frac{0.3}{1 - 0.1} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

。公比

0.01

的絕對值小於

1

，無窮等比級數的和為

\frac{a}{1 - 0.01} = \frac{a}{0.99}

。由

\frac{a}{0.99} = \frac{4}{3}

得

a = \frac{4}{3} \cdot \frac{99}{100} = \frac{33}{25} = 1.32

。

1. \overline{3}

的循環節只有

3

這一位，也就是

1.333 \dots

。檢查：

1.32 + 0.0132 + 0.000132 + \dots = 1.333333 \dots

，相符。

第 11 題設公比為

r

。由

\frac{2}{1 - r} = 6

得

1 - r = \frac{1}{3}

，

r = \frac{2}{3}

。前

n

項的和

S_{n} = \frac{2 ( 1 - ( \frac{2}{3} ) ^{n} )}{1 - \frac{2}{3}} = 6 - 6 (\frac{2}{3})^{n}

，所以

∣6 - S_{n} ∣ = 6 (\frac{2}{3})^{n}

。條件成為

6 (\frac{2}{3})^{n} < \frac{1}{10000}

。兩邊取常用對數：

lo g 6 + n (lo g 2 - lo g 3) < - 4

。

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781

，

lo g 2 - lo g 3 \approx - 0.1761

，所以

0.7781 - 0.1761 n < - 4

，

n > \frac{4.7781}{0.1761} \approx 27.13

。

n

的最小值為

28

。

除以負數

- 0.1761

時不等號要反向。檢查：

n = 27

時

6 (\frac{2}{3})^{27} \approx 1.06 \times 1 0^{- 4}

，還沒有小於

1 0^{- 4}

；

n = 28

時約為

7.0 \times 1 0^{- 5}

，符合。

第 12 題先通分：

\frac{( a n ^{2} + n ) ( n - 1 ) - ( n ^{2} + bn ) ( n + 3 )}{( n + 3 ) ( n - 1 )}

。分子展開：

(a n^{3} - a n^{2} + n^{2} - n) - (n^{3} + 3 n^{2} + b n^{2} + 3 bn) = (a - 1) n^{3} + (- a - b - 2) n^{2} - (1 + 3 b) n

。分母

= n^{2} + 2 n - 3

是二次式。極限存在（是定數

4

），分子的三次項必須消掉：

a - 1 = 0

，

a = 1

。此時極限等於二次項係數的比：

\frac{- a - b - 2}{1} = - 3 - b = 4

，

b = - 7

。所以

(a, b) = (1, - 7)

。

若

a \neq = 1

，分子的次數比分母高，數列發散，不可能等於

4

。檢查：

a = 1

、

b = - 7

時分子為

4 n^{2} + 20 n

，

\frac{4 n ^{2} + 20 n}{n ^{2} + 2 n - 3} \to 4

。

無窮等比級數的和與前 n 項和的差，正好是首項乘公比的 n 次方再除以一減公比。

04填充 13～16（原卷填充 6～9）：待定多項式、微分公式與切線

第 13 題分母

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

。

x \to 1

與

x \to - 2

時分母都趨近

0

，而兩個極限都存在，所以分子也要趨近

0

：

f (1) = 0

，

f (- 2) = 0

，

f (x)

有因式

(x - 1) (x + 2)

。

f (x)

是三次，設

f (x) = (x - 1) (x + 2) (a x + b)

，則

\frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 2} = a x + b

（

x \neq = 1

、

x \neq = - 2

）。

x \to 1

：

a + b = 1

；

x \to - 2

：

- 2 a + b = 4

。兩式相減得

3 a = - 3

，

a = - 1

，

b = 2

。所以

f (x) = (x - 1) (x + 2) (- x + 2) = - (x - 1) (x + 2) (x - 2)

。

展開是

- x^{3} + x^{2} + 4 x - 4

。寫成

(x - 1) (x + 2) (2 - x)

也是同一個答案。

第 14 題用商的微分公式：

h^{'} (x) = \frac{( x ) ^{'} ( x ^{2} + 1 ) - x ( x ^{2} + 1 ) ^{'}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

。

h^{'} (- 1) = \frac{1 - 1}{4} = 0

。

分子的順序是「分子的微分乘分母，減去分子乘分母的微分」，兩項不能對調。

第 15 題

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 9

。切線斜率為

3

：

6 x^{2} - 6 x - 9 = 3

，

6 x^{2} - 6 x - 12 = 0

，

x^{2} - x - 2 = 0

，

(x - 2) (x + 1) = 0

，

x = 2

或

x = - 1

。

f (2) = 16 - 12 - 18 + 15 = 1

；

f (- 1) = - 2 - 3 + 9 + 15 = 19

。所以

P

點的坐標為

(2, 1)

或

(- 1, 19)

。

求出

x

坐標後要代回原來的

f (x)

求

y

坐標，不是代回

f^{'} (x)

。

第 16 題令

u (x) = 2 x^{3} - x + 1

，

v (x) = (x^{2} + x - 3)^{3}

，

f (x) = u (x) v (x)

。

u (1) = 2

，

v (1) = (- 1)^{3} = - 1

，所以

f (1) = - 2

，切點為

(1, - 2)

。

u^{'} (x) = 6 x^{2} - 1

，

u^{'} (1) = 5

。由連鎖律，

v^{'} (x) = 3 (x^{2} + x - 3)^{2} (2 x + 1)

，

v^{'} (1) = 3 \cdot (- 1)^{2} \cdot 3 = 9

。由積的微分公式，

f^{'} (1) = u^{'} (1) v (1) + u (1) v^{'} (1) = 5 \cdot (- 1) + 2 \cdot 9 = 13

。切線：

y - (- 2) = 13 (x - 1)

，即

y = 13 x - 15

。

(x^{2} + x - 3)^{3}

微分時，括號裡的

x^{2} + x - 3

還要再微分一次，乘上

2 x + 1

；漏掉會得到

f^{'} (1) = 1

。

切線問題先求切點與導數，再用點斜式寫出直線。

05填充 17、18（原卷填充 10）：以 x−1 的乘冪展開與近似值

第 17 題用綜合除法連續除以

x - 1

。第一次：係數

2, - 9, 6, 5

除以

x - 1

，商的係數為

2, - 7, - 1

，餘數

4

，所以

a_{0} = 4

。第二次：

2, - 7, - 1

除以

x - 1

，商

2, - 5

，餘數

- 6

，所以

a_{1} = - 6

。第三次：

2, - 5

除以

x - 1

，商

2

，餘數

- 3

，所以

a_{2} = - 3

，

a_{3} = 2

。

(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (4, - 6, - 3, 2)

。

用導數檢查：

a_{0} = f (1) = 2 - 9 + 6 + 5 = 4

；

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 6

，

a_{1} = f^{'} (1) = - 6

；

f^{''} (x) = 12 x - 18

，

a_{2} = \frac{f ^{''} ( 1 )}{2} = - 3

；

a_{3}

等於最高次項係數

2

。

第 18 題

x = 0.98

時

x - 1 = - 0.02

，代入上一格的式子：

f (0.98) = 4 - 6 (- 0.02) - 3 (- 0.02)^{2} + 2 (- 0.02)^{3} = 4 + 0.12 - 0.0012 - 0.000016 = 4.118784

。四捨五入到小數點以下第二位，得

4.12

。

(x - 1)^{2}

、

(x - 1)^{3}

兩項合起來只有

- 0.001216

，不影響小數第二位，所以只用前兩項

4 - 6 (x - 1)

（在

x = 1

附近的一次估計）也得到

4.12

。

多項式改寫成 x−1 的乘冪後，x 靠近 1 時高次項很小，前面幾項就是好的近似。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

溪湖高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題：第一次落下只算一趟，之後每次反彈都要算上下兩趟。單選第 4 題：分子是第 2n 項，要先把不等式裡的 n 換成 2n。填充第 1 題第 (3) 小題（本頁第 8 題）：分母有絕對值，左右極限一正一負，極限不存在。填充第 4 題（本頁第 11 題）：取對數後除以負數，不等號要反向，n 取大於 27.13 的最小整數。填充第 9 題（本頁第 16 題）：積的微分裡還有連鎖律，括號內要再微分一次。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的極限與連續、導數與導函數、微分公式、切線、近似值）

溪湖高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 5 題，每題 4 分，共 20 分；填充題 10 題共 13 格，依答對題數給分，最高 80 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單選題：（每題 4 分，共 20 分）

已知一皮球從

100

公尺高處落下，每次返跳的高度為前次高度的

\frac{2}{3}

，求自開始落下至皮球靜止所經過的距離為

(A) $700$ 公尺
(B) $600$ 公尺
(C) $500$ 公尺
(D) $400$ 公尺

若

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 2, 2, 6 - 3 x^{2}, x < - 1 x = - 1 x > - 1

，則

x \to - 1 lim f (x) =

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$

設

y = f (x)

之圖形如下，則下列何者錯誤？

(A) $f (1)$ 存在
(B) $x \to - 1 lim f (x)$ 存在
(C) $x \to 2 lim f (x)$ 存在
(D) $y = f (x)$ 在 $x = 4$ 點連續

載入中...

若數列

⟨ a_{n} ⟩

對每個自然數

n

符合

\frac{n ( n + 1 )}{2} < a_{n} < \frac{n ( n + 2 )}{2}

，求

n \to \infty lim \frac{a _{2 n}}{n ^{2}} =

(A) $2$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $0$
(D) $1$

已知函數

f (x) = x^{2} + ∣ x + 3∣ + ∣ x - 5∣

，試問導數

f^{'} (2)

的值為何？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

填充第 1 題（第 6～8 題）　試求下列極限值：

(1)

n \to \infty lim \frac{1 + 3 + 5 + 7 + \dots + ( 2 n - 1 )}{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + n ^{2}} =

____。

(2)

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} - 3 n}{n + 1} - \frac{n ^{2} - 2}{n}) =

____。

(3)

x \to 0 lim \frac{x ^{2} + 3 x}{∣ x ∣} =

____。

試求

k = 1 \sum 10 \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{3} =

____。

若首項為

a

，公比為

0.01

的無窮等比級數和等於循環小數

1. \overline{3}

，則

a =

____。

已知首項為

2

的無窮等比級數的和為

6

，且其前

n

項的和

S_{n}

滿足

∣6 - S_{n} ∣ < \frac{1}{10000}

，求

n

的最小值為 ____。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

已知

n \to \infty lim (\frac{a n ^{2} + n}{n + 3} - \frac{n ^{2} + bn}{n - 1}) = 4

，求數對

(a, b) =

____。

已知

f (x)

為三次多項式，且

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 2} = 1

，

x \to - 2 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 2} = 4

，則

f (x) =

____。（可表為連乘積，無須展開）

已知函數

h (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}

，求

h^{'} (- 1) =

____。

在函數

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 15

的圖形上，已知以點

P

為切點的切線斜率為

3

，求

P

點的坐標 ____。（有兩解）

在函數

f (x) = (2 x^{3} - x + 1) (x^{2} + x - 3)^{3}

的圖形上，求以點

P (1, f (1))

為切點的切線方程式為 ____。

填充第 10 題（第 17～18 題）　設函數

f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 5 = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + a_{3} (x - 1)^{3}

。

(1) 求

(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) =

____。

(2) 求

f (0.98)

的近似值到小數點以下第二位 ____（第三位四捨五入）。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(A)

第 5 題(D)

第 6 題

0

第 7 題

- 4

第 8 題不存在

第 9 題

190

第 10 題

\frac{33}{25}

（即

1.32

）

第 11 題

28

第 12 題

(1, - 7)

第 13 題

- (x - 1) (x + 2) (x - 2)

第 14 題

0

第 15 題

(2, 1)

與

(- 1, 19)

第 16 題

y = 13 x - 15

第 17 題

(4, - 6, - 3, 2)

第 18 題

4.12

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～5：反彈路徑、左右極限、由圖形讀極限、夾擠定理、導數

第 1 題答案 (C)。第一次落下走

100

公尺。之後每一次都是「彈上去再掉下來」，第一次彈起的高度是

100 \cdot \frac{2}{3}

，來回走

2 \cdot 100 \cdot \frac{2}{3}

；第二次來回走

2 \cdot 100 \cdot (\frac{2}{3})^{2}

；依此類推。來回的部分是首項

\frac{400}{3}

、公比

\frac{2}{3}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{400}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 400

。總距離

= 100 + 400 = 500

公尺。

第一次只有落下、沒有上升，所以

100

只算一次；之後每個高度都要算上、下兩趟。把

100

也乘

2

會得到

600

；只算落下的路程

\frac{100}{1 - \frac{2}{3}} = 300

則少了上升的部分。

第 2 題答案 (B)。

x

從左邊靠近

- 1

時用

x^{2} + 2

：

x \to - 1^{-} lim f (x) = (- 1)^{2} + 2 = 3

。

x

從右邊靠近

- 1

時用

6 - 3 x^{2}

：

x \to - 1^{+} lim f (x) = 6 - 3 = 3

。左、右極限相等，所以

x \to - 1 lim f (x) = 3

。

f (- 1) = 2

是那一點的函數值，與極限無關；本題極限是

3

、函數值是

2

，所以

f (x)

在

x = - 1

不連續。

第 3 題答案 (C)。從圖上讀：

x

在

- 1

與

2

之間時圖形是高度

1

的水平線段，左端

(- 1, 1)

是實心點、右端

(2, 1)

是空心點；

x \geq 2

時圖形是從實心點

(2, 0)

出發、通過

(4, 1)

的斜線。(A)

x = 1

在水平線段上，

f (1) = 1

，存在，敘述正確。(B)

x

從左邊靠近

- 1

時，左邊的斜線趨近

(- 1, 1)

；從右邊靠近時在水平線段上，值是

1

。左、右極限都是

1

，極限存在，敘述正確。(C)

x

從左邊靠近

2

時趨近空心點的高度

1

；從右邊靠近時趨近實心點的高度

0

。左、右極限不相等，

x \to 2 lim f (x)

不存在，敘述錯誤。(D)

x = 4

在斜線的中間，圖形在這裡沒有斷開，

x \to 4 lim f (x) = 1 = f (4)

，連續，敘述正確。

本題要選的是「錯誤」的敘述。極限存在的條件是左極限等於右極限，與那一點是實心或空心無關。

第 4 題答案 (A)。不等式對每個自然數都成立，把

n

換成

2 n

：

\frac{2 n ( 2 n + 1 )}{2} < a_{2 n} < \frac{2 n ( 2 n + 2 )}{2}

，即

n (2 n + 1) < a_{2 n} < n (2 n + 2)

。同除以

n^{2}

（正數，不等號方向不變）：

2 + \frac{1}{n} < \frac{a _{2 n}}{n ^{2}} < 2 + \frac{2}{n}

。

n \to \infty

時左、右兩邊都趨近

2

，由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{a _{2 n}}{n ^{2}} = 2

。

分子是第

2 n

項，不是第

n

項。若沒有把

n

換成

2 n

，直接用

\frac{a _{n}}{n ^{2}}

去夾，會得到

\frac{1}{2}

。

第 5 題答案 (D)。導數

f^{'} (2)

只和

x = 2

附近的函數有關。

x

在

2

附近（例如

- 3 < x < 5

）時，

x + 3 > 0

，

x - 5 < 0

，所以

∣ x + 3∣ = x + 3

，

∣ x - 5∣ = 5 - x

，

f (x) = x^{2} + (x + 3) + (5 - x) = x^{2} + 8

。於是在這個範圍內

f^{'} (x) = 2 x

，

f^{'} (2) = 4

。

兩個絕對值在

- 3 < x < 5

之間合起來是常數

8

，對導數沒有影響。若把

∣ x - 5∣

當成

x - 5

，會得到

f^{'} (x) = 2 x + 2

而算成

6

。

極限看左右兩邊靠近時的走向；絕對值先依所在範圍去掉，再做極限或微分。

02填充 6～8（原卷填充 1）：三個基本極限

第 6 題分子是前

n

個正奇數的和：

1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = \frac{n ( 1 + ( 2 n - 1 ) )}{2} = n^{2}

。分母

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。原式

= n \to \infty lim \frac{6 n ^{2}}{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )} = n \to \infty lim \frac{6 n ^{2}}{2 n ^{3} + 3 n ^{2} + n}

。分子分母同除以

n^{3}

：

\frac{\frac{6}{n}}{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{0}{2} = 0

。

分子是

n

的二次式，分母是三次式，分母的次數較高，極限為

0

。

第 7 題兩個分式各自都愈來愈大，不能分開求極限，要先通分：

\frac{n ^{2} - 3 n}{n + 1} - \frac{n ^{2} - 2}{n} = \frac{n ( n ^{2} - 3 n ) - ( n ^{2} - 2 ) ( n + 1 )}{n ( n + 1 )}

。分子

= (n^{3} - 3 n^{2}) - (n^{3} + n^{2} - 2 n - 2) = - 4 n^{2} + 2 n + 2

。原式

= n \to \infty lim \frac{- 4 n ^{2} + 2 n + 2}{n ^{2} + n} = n \to \infty lim \frac{- 4 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n ^{2}}}{1 + \frac{1}{n}} = - 4

。

兩個分式都近似於

n

，但不能寫成「

n - n = 0

」；通分後三次項消掉，留下的二次項係數比才是答案。

第 8 題分母有絕對值，分左、右兩邊看。

x > 0

時

∣ x ∣ = x

：

\frac{x ^{2} + 3 x}{x} = x + 3

，所以

x \to 0^{+} lim \frac{x ^{2} + 3 x}{∣ x ∣} = 3

。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

：

\frac{x ^{2} + 3 x}{- x} = - (x + 3)

，所以

x \to 0^{-} lim \frac{x ^{2} + 3 x}{∣ x ∣} = - 3

。左、右極限不相等，極限不存在。

只算右邊會填

3

。遇到

∣ x ∣

而

x \to 0

，一定要左右分開算。

分式型的數列極限，看分子分母最高次項；兩個都發散的式子相減要先通分。

03填充 9～12（原卷填充 2～5）：求和公式、無窮等比級數、由極限反推係數

第 9 題

(k + 1) (k + 2) = k^{2} + 3 k + 2

。

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 k = 55

，

k = 1 \sum 10 2 = 20

。所以原式

= \frac{1}{3} (385 + 3 \cdot 55 + 20) = \frac{570}{3} = 190

。

常數項

2

加了

10

次，是

20

不是

2

。

第 10 題先把循環小數化成分數：

1. \overline{3} = 1 + 0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots = 1 + \frac{0.3}{1 - 0.1} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

。公比

0.01

的絕對值小於

1

，無窮等比級數的和為

\frac{a}{1 - 0.01} = \frac{a}{0.99}

。由

\frac{a}{0.99} = \frac{4}{3}

得

a = \frac{4}{3} \cdot \frac{99}{100} = \frac{33}{25} = 1.32

。

1. \overline{3}

的循環節只有

3

這一位，也就是

1.333 \dots

。檢查：

1.32 + 0.0132 + 0.000132 + \dots = 1.333333 \dots

，相符。

第 11 題設公比為

r

。由

\frac{2}{1 - r} = 6

得

1 - r = \frac{1}{3}

，

r = \frac{2}{3}

。前

n

項的和

S_{n} = \frac{2 ( 1 - ( \frac{2}{3} ) ^{n} )}{1 - \frac{2}{3}} = 6 - 6 (\frac{2}{3})^{n}

，所以

∣6 - S_{n} ∣ = 6 (\frac{2}{3})^{n}

。條件成為

6 (\frac{2}{3})^{n} < \frac{1}{10000}

。兩邊取常用對數：

lo g 6 + n (lo g 2 - lo g 3) < - 4

。

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781

，

lo g 2 - lo g 3 \approx - 0.1761

，所以

0.7781 - 0.1761 n < - 4

，

n > \frac{4.7781}{0.1761} \approx 27.13

。

n

的最小值為

28

。

除以負數

- 0.1761

時不等號要反向。檢查：

n = 27

時

6 (\frac{2}{3})^{27} \approx 1.06 \times 1 0^{- 4}

，還沒有小於

1 0^{- 4}

；

n = 28

時約為

7.0 \times 1 0^{- 5}

，符合。

第 12 題先通分：

\frac{( a n ^{2} + n ) ( n - 1 ) - ( n ^{2} + bn ) ( n + 3 )}{( n + 3 ) ( n - 1 )}

。分子展開：

(a n^{3} - a n^{2} + n^{2} - n) - (n^{3} + 3 n^{2} + b n^{2} + 3 bn) = (a - 1) n^{3} + (- a - b - 2) n^{2} - (1 + 3 b) n

。分母

= n^{2} + 2 n - 3

是二次式。極限存在（是定數

4

），分子的三次項必須消掉：

a - 1 = 0

，

a = 1

。此時極限等於二次項係數的比：

\frac{- a - b - 2}{1} = - 3 - b = 4

，

b = - 7

。所以

(a, b) = (1, - 7)

。

若

a \neq = 1

，分子的次數比分母高，數列發散，不可能等於

4

。檢查：

a = 1

、

b = - 7

時分子為

4 n^{2} + 20 n

，

\frac{4 n ^{2} + 20 n}{n ^{2} + 2 n - 3} \to 4

。

無窮等比級數的和與前 n 項和的差，正好是首項乘公比的 n 次方再除以一減公比。

04填充 13～16（原卷填充 6～9）：待定多項式、微分公式與切線

第 13 題分母

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

。

x \to 1

與

x \to - 2

時分母都趨近

0

，而兩個極限都存在，所以分子也要趨近

0

：

f (1) = 0

，

f (- 2) = 0

，

f (x)

有因式

(x - 1) (x + 2)

。

f (x)

是三次，設

f (x) = (x - 1) (x + 2) (a x + b)

，則

\frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 2} = a x + b

（

x \neq = 1

、

x \neq = - 2

）。

x \to 1

：

a + b = 1

；

x \to - 2

：

- 2 a + b = 4

。兩式相減得

3 a = - 3

，

a = - 1

，

b = 2

。所以

f (x) = (x - 1) (x + 2) (- x + 2) = - (x - 1) (x + 2) (x - 2)

。

展開是

- x^{3} + x^{2} + 4 x - 4

。寫成

(x - 1) (x + 2) (2 - x)

也是同一個答案。

第 14 題用商的微分公式：

h^{'} (x) = \frac{( x ) ^{'} ( x ^{2} + 1 ) - x ( x ^{2} + 1 ) ^{'}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

。

h^{'} (- 1) = \frac{1 - 1}{4} = 0

。

分子的順序是「分子的微分乘分母，減去分子乘分母的微分」，兩項不能對調。

第 15 題

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 9

。切線斜率為

3

：

6 x^{2} - 6 x - 9 = 3

，

6 x^{2} - 6 x - 12 = 0

，

x^{2} - x - 2 = 0

，

(x - 2) (x + 1) = 0

，

x = 2

或

x = - 1

。

f (2) = 16 - 12 - 18 + 15 = 1

；

f (- 1) = - 2 - 3 + 9 + 15 = 19

。所以

P

點的坐標為

(2, 1)

或

(- 1, 19)

。

求出

x

坐標後要代回原來的

f (x)

求

y

坐標，不是代回

f^{'} (x)

。

第 16 題令

u (x) = 2 x^{3} - x + 1

，

v (x) = (x^{2} + x - 3)^{3}

，

f (x) = u (x) v (x)

。

u (1) = 2

，

v (1) = (- 1)^{3} = - 1

，所以

f (1) = - 2

，切點為

(1, - 2)

。

u^{'} (x) = 6 x^{2} - 1

，

u^{'} (1) = 5

。由連鎖律，

v^{'} (x) = 3 (x^{2} + x - 3)^{2} (2 x + 1)

，

v^{'} (1) = 3 \cdot (- 1)^{2} \cdot 3 = 9

。由積的微分公式，

f^{'} (1) = u^{'} (1) v (1) + u (1) v^{'} (1) = 5 \cdot (- 1) + 2 \cdot 9 = 13

。切線：

y - (- 2) = 13 (x - 1)

，即

y = 13 x - 15

。

(x^{2} + x - 3)^{3}

微分時，括號裡的

x^{2} + x - 3

還要再微分一次，乘上

2 x + 1

；漏掉會得到

f^{'} (1) = 1

。

切線問題先求切點與導數，再用點斜式寫出直線。

05填充 17、18（原卷填充 10）：以 x−1 的乘冪展開與近似值

第 17 題用綜合除法連續除以

x - 1

。第一次：係數

2, - 9, 6, 5

除以

x - 1

，商的係數為

2, - 7, - 1

，餘數

4

，所以

a_{0} = 4

。第二次：

2, - 7, - 1

除以

x - 1

，商

2, - 5

，餘數

- 6

，所以

a_{1} = - 6

。第三次：

2, - 5

除以

x - 1

，商

2

，餘數

- 3

，所以

a_{2} = - 3

，

a_{3} = 2

。

(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (4, - 6, - 3, 2)

。

用導數檢查：

a_{0} = f (1) = 2 - 9 + 6 + 5 = 4

；

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 6

，

a_{1} = f^{'} (1) = - 6

；

f^{''} (x) = 12 x - 18

，

a_{2} = \frac{f ^{''} ( 1 )}{2} = - 3

；

a_{3}

等於最高次項係數

2

。

第 18 題

x = 0.98

時

x - 1 = - 0.02

，代入上一格的式子：

f (0.98) = 4 - 6 (- 0.02) - 3 (- 0.02)^{2} + 2 (- 0.02)^{3} = 4 + 0.12 - 0.0012 - 0.000016 = 4.118784

。四捨五入到小數點以下第二位，得

4.12

。

(x - 1)^{2}

、

(x - 1)^{3}

兩項合起來只有

- 0.001216

，不影響小數第二位，所以只用前兩項

4 - 6 (x - 1)

（在

x = 1

附近的一次估計）也得到

4.12

。

多項式改寫成 x−1 的乘冪後，x 靠近 1 時高次項很小，前面幾項就是好的近似。

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02填充 6～8（原卷填充 1）：三個基本極限

03填充 9～12（原卷填充 2～5）：求和公式、無窮等比級數、由極限反推係數

04填充 13～16（原卷填充 6～9）：待定多項式、微分公式與切線

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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