段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的運算與反函數、函數的極限與連續、導數與導函數、微分公式、切線、一次估計）

溪湖高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 6 題，每題 5 分，共 30 分；填充題 9 題共 14 格，每格 5 分，共 70 分。本頁第 7～20 題依序為原卷填充題的 1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、2(3)、3、4、5、6(1)、6(2)、7、8、9(1)、9(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：每題 5 分，共 30 分

無窮數列

⟨ (\frac{1 - 5}{2})^{n} ⟩

的極限為

(A) $\frac{1 - 5}{2}$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $- 1$
(E) 不存在

下列何者為收斂數列？

(A) $⟨ (1.01)^{n} ⟩$
(B) $⟨ (- 1.01)^{n} ⟩$
(C) $⟨ (\frac{π}{4})^{n} ⟩$
(D) $⟨ (2)^{n} ⟩$
(E) $⟨ - \frac{3 ^{n - 1}}{2 ^{n + 1}} ⟩$

下列各無窮等比級數何者為收斂級數？

(A) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$
(B) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots$
(C) $3 + 3 + 1 + \frac{3}{3} + \dots$
(D) $1 + \frac{- 4}{3} + \frac{16}{9} + \frac{- 64}{27} + \dots$
(E) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

關於

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}})

之值為下列何者？

(A) $0$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $1$
(D) $3$
(E) 不存在

已知函數

f (x) = 1 + x

、

g (x) = 1 - x

，試選出下列正確的選項？

(A) $(f + g) (x) = 2$
(B) $(f - g) (x) = 2 x$
(C) 函數 $(f \cdot g) (x) = 1 - x^{2}$
(D) 函數 $(f \cdot g) (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ - 1 \leq x \leq 1}$
(E) 函數 $(\frac{f}{g}) (x)$ 與 $(\frac{g}{f}) (x)$ 的定義域相同

設函數

f (x) = x^{2} - 1

，下列敘述何者錯誤？

(A) 在 $f (x)$ 的圖形上，以點 $P (1, 0)$ 為切點的切線之斜率為 $f^{'} (0)$
(B) 在 $f (x)$ 的圖形上，以點 $P (1, 0)$ 為切點的切線之斜率為 $x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$
(C) $f^{'} (1) = x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1}$
(D) $f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( x ) + 1}{x}$
(E) 在 $f (x)$ 的圖形上，以點 $Q (0, - 1)$ 為切點的切線為 $y = - 1$

二、填充題：每格 5 分，共 70 分（本頁第 7～20 題）

填充第 1 題（第 7～8 題）　試求下列各式之值：

(1)

0. \overline{27} =

____。（請以最簡分數表示）

(2)

k = 1 \sum 10 (k - 2) (k + 2) =

____。（請以數字表示）

填充第 2 題（第 9～11 題）　求下列各極限：（若無極限，請寫不存在）

(1)

n \to \infty lim \frac{2 n ^{3} + 7 n ^{2} - 1}{5 n ^{3} - 2 n} =

____。

(2)

n \to \infty lim \frac{4 ^{n + 1} - 3 ^{n}}{3 ^{n + 1} - 4 ^{n}} =

____。

(3)

x \to 2 lim (\frac{x ^{2}}{x - 2} + \frac{x - 6}{x - 2}) =

____。

若函數

f (x) = {- 3 x + 5, a x^{2} + 3 a x + 6, 當 x < 1 當 x \geq 1

在

x = 1

處為連續，則實數

a =

____。

已知

x \neq = 0

，不等式

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

恆成立，求

x \to 0 lim (x cos \frac{1}{x} + 1) =

____。（若無極限，請寫不存在）

若

g (x)

為函數

f (x) = 3 x - 1

的反函數，則

g (x) =

____。

填充第 6 題（第 15～16 題）　已知函數

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 1

，則

(1)

f (x)

在

x = 2

附近的一次估計為 ____。

(2) 使用 (1)，求

f (1.99)

的近似值為 ____。

已知函數

f (x) = (x^{2} - 2 x + 1)^{10} (x - 1)^{10}

，則導數

f^{'} (2) =

____。

已知

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 4

，其中

a

、

b

為實數，求數對

(a, b) =

____。

填充第 9 題（第 19～20 題）　已知

A (0, - 3)

為函數

f (x) = x^{3} - 1

圖形外一點，直線

L

是以

B

為切點的切線且過

A

點，求

(1) 直線

L

的方程式為 ____。

(2) 切點

B

的坐標為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(C)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(D)

第 6 題(A)

第 7 題

\frac{3}{11}

第 8 題

345

第 9 題

\frac{2}{5}

第 10 題

- 4

第 11 題

5

第 12 題

- 1

第 13 題

1

第 14 題

\frac{x + 1}{3}

第 15 題

5 + 7 (x - 2)

（即

7 x - 9

）

第 16 題

4.93

第 17 題

30

第 18 題

(2, - 3)

第 19 題

y = 3 x - 3

第 20 題

(1, 0)

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01單選 1～4：等比數列與無窮等比級數的收斂、先求和再求極限

第 1 題答案 (C)。這是公比

r = \frac{1 - 5}{2}

的等比數列。

5 \approx 2.236

，所以

r \approx - 0.618

，

- 1 < r < 1

。公比的絕對值小於

1

時，

r^{n}

趨近

0

，極限為

0

。

公比是負的，各項正負交錯，但絕對值

(0.618)^{n}

愈來愈小，仍然收斂到

0

。

第 2 題答案 (C)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。(A)

r = 1.01 > 1

，發散。(B)

r = - 1.01 < - 1

，發散。(C)

r = \frac{π}{4} \approx 0.785

，在

- 1

與

1

之間，收斂到

0

。(D)

r = 2 \approx 1.414 > 1

，發散。(E)

- \frac{3 ^{n - 1}}{2 ^{n + 1}} = - \frac{1}{6} (\frac{3}{2})^{n}

，公比

\frac{3}{2} > 1

，發散。

(A) 的公比只比

1

大一點，但

(1.01)^{n}

仍會無限增大。(E) 要先整理成

r^{n}

的常數倍再看公比。

第 3 題答案 (C)。無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是公比

- 1 < r < 1

。(A)

r = - 1

，發散。(B)

r = \frac{3}{2}

，發散。(C)

r = \frac{3}{3} \approx 0.577

，收斂。(D)

r = - \frac{4}{3}

，發散。(E)

r = 2

，發散。

數列

⟨ r^{n} ⟩

在

r = 1

時收斂，但級數在

r = 1

與

r = - 1

時都發散；(A) 的部分和在

1

、

0

之間跳動，沒有極限。(C) 的和是

\frac{3}{1 - \frac{3}{3}} = \frac{9 + 3 3}{2}

。

第 4 題答案 (B)。項數會隨

n

增加，不能逐項取極限，要先求和：

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{\frac{n ( n + 1 )}{2}}{n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}

。

n \to \infty

時趨近

\frac{1}{2}

。

每一項

\frac{k}{n ^{2}}

各自都趨近

0

，但項數有

n

項，加起來不是

0

。

等比數列看公比是否在 −1 與 1 之間（數列可以等於 1，級數不行）；項數會變多的和要先求和再取極限。

02單選 5、6：函數的四則運算與定義域、導數的定義

第 5 題答案 (D)。

f

的定義域是

x \geq - 1

，

g

的定義域是

x \leq 1

。(A)

(f + g) (x) = 1 + x + 1 - x

，根號不能直接相加；例如

x = 0

時值是

2

，不是

2

，錯。(B)

(f - g) (x) = 1 + x - 1 - x

；例如

x = 1

時值是

2

，而

2 x = 2

恰好相等，但

x = \frac{1}{2}

時左邊

= 1.5 - 0.5 \approx 0.518

，右邊

= 1

，錯。(C)

(f \cdot g) (x) = 1 + x \cdot 1 - x = 1 - x^{2}

，不是

1 - x^{2}

，錯。(D)

f \cdot g

的定義域是

f

、

g

兩個定義域的共同部分，即

- 1 \leq x \leq 1

，對。(E)

\frac{f}{g}

還要

g (x) \neq = 0

，即

x \neq = 1

，定義域是

- 1 \leq x < 1

；

\frac{g}{f}

還要

f (x) \neq = 0

，即

x \neq = - 1

，定義域是

- 1 < x \leq 1

。兩者不同，錯。

相除時，除了兩個函數都要有定義，還要把分母為

0

的點去掉。

第 6 題答案 (A)。

f^{'} (x) = 2 x

。(A) 以

P (1, 0)

為切點的切線斜率是

f^{'} (1) = 2

，不是

f^{'} (0) = 0

，敘述錯誤。(B) 這正是導數

f^{'} (1)

的定義，也就是切線斜率，敘述正確。(C)

f (1) = 0

，所以

\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = \frac{f ( x )}{x - 1}

，敘述正確。(D)

f (0) = - 1

，所以

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0 lim \frac{f ( x ) + 1}{x}

，敘述正確。(E)

f^{'} (0) = 0

，切線是過

(0, - 1)

的水平線

y = - 1

，敘述正確。

本題要選的是「錯誤」的敘述。切線斜率要代切點的

x

坐標，不是代

y

坐標。

函數相加減乘除，定義域取共同部分，相除再去掉分母為 0 的點；導數 f′(a) 是 x 趨近 a 時割線斜率的極限。

03填充 7、8（原卷填充 1）：循環小數、求和公式

第 7 題循環節是

27

兩位：

0. \overline{27} = 0.27 + 0.0027 + 0.000027 + \dots

，是首項

0.27

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.27}{1 - 0.01} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}

。

題目要求最簡分數，

\frac{27}{99}

要約分。檢查：

3 \div 11 = 0.2727 \dots

。

第 8 題

(k - 2) (k + 2) = k^{2} - 4

。

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 4 = 40

。所以原式

= 385 - 40 = 345

。

常數

4

加了

10

次，要減

40

，不是減

4

。

循環小數就是無窮等比級數，公比由循環節的位數決定。

04填充 9～11（原卷填充 2）：三個極限

第 9 題分子分母同除以最高次項

n^{3}

：

\frac{2 + \frac{7}{n} - \frac{1}{n ^{3}}}{5 - \frac{2}{n ^{2}}}

。

n \to \infty

時

\frac{7}{n}

、

\frac{1}{n ^{3}}

、

\frac{2}{n ^{2}}

都趨近

0

，極限為

\frac{2}{5}

。

分子分母同次，極限等於最高次項係數的比。

第 10 題分子分母同除以底數最大的

4^{n}

：分子

\frac{4 ^{n + 1} - 3 ^{n}}{4 ^{n}} = 4 - (\frac{3}{4})^{n}

，分母

\frac{3 ^{n + 1} - 4 ^{n}}{4 ^{n}} = 3 (\frac{3}{4})^{n} - 1

。

(\frac{3}{4})^{n} \to 0

，所以極限為

\frac{4 - 0}{0 - 1} = - 4

。

4^{n + 1} = 4 \cdot 4^{n}

，除以

4^{n}

後留下

4

；分母的

- 4^{n}

除完是

- 1

，負號別漏掉。

第 11 題兩個分式在

x \to 2

時分母都趨近

0

，不能分開求。分母相同，直接相加：

\frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2} = \frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{x - 2} = x + 3

（

x \neq = 2

）。所以極限為

2 + 3 = 5

。

分開看時兩項各自都沒有極限，但合併後分子也趨近

0

，可以約去

x - 2

。

多項式型同除以最高次項，指數型同除以底數最大的那一項；分母趨近 0 時先合併、因式分解再約分。

05填充 12～14（原卷填充 3～5）：連續、夾擠定理、反函數

第 12 題在

x = 1

連續，要左極限、右極限與

f (1)

三者相等。左極限用

- 3 x + 5

：

x \to 1^{-} lim f (x) = - 3 + 5 = 2

。右極限與

f (1)

用

a x^{2} + 3 a x + 6

：

a + 3 a + 6 = 4 a + 6

。由

4 a + 6 = 2

得

a = - 1

。

檢查：

a = - 1

時

x \geq 1

的式子是

- x^{2} - 3 x + 6

，在

x = 1

的值是

2

，與左邊接上。

第 13 題

x \neq = 0

時

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

，各邊同乘

∣ x ∣

（正數）得

- ∣ x ∣ \leq ∣ x ∣ cos \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

，而

x cos \frac{1}{x}

等於

∣ x ∣ cos \frac{1}{x}

或它的相反數，所以

- ∣ x ∣ \leq x cos \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

。

x \to 0

時

- ∣ x ∣

與

∣ x ∣

都趨近

0

，由夾擠定理，

x \to 0 lim x cos \frac{1}{x} = 0

。所以原式

= 0 + 1 = 1

。

cos \frac{1}{x}

本身在

x \to 0

時來回振盪、沒有極限，所以不能寫成「

0

乘以某個極限」；要靠夾擠定理。乘的是

∣ x ∣

而不是

x

，因為

x

為負時不等號方向會反過來。

第 14 題令

y = 3 x - 1

，解出

x = \frac{y + 1}{3}

。把

x

、

y

對調，得反函數

g (x) = \frac{x + 1}{3}

。

檢查：

f (g (x)) = 3 \cdot \frac{x + 1}{3} - 1 = x

。反函數不是倒數

\frac{1}{3 x - 1}

。

連續是左極限、右極限、函數值三者相等；有界的量乘上趨近 0 的量，用夾擠定理得 0。

06填充 15～18（原卷填充 6～8）：一次估計、連鎖律、由極限反推係數

第 15 題

f (x)

在

x = 2

附近的一次估計是

f (2) + f^{'} (2) (x - 2)

。

f (2) = 8 - 8 + 6 - 1 = 5

。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 3

，

f^{'} (2) = 12 - 8 + 3 = 7

。所以一次估計為

5 + 7 (x - 2)

，展開是

7 x - 9

。

一次估計就是函數圖形在

(2, 5)

的切線

y = 7 x - 9

。

第 16 題把

x = 1.99

代入上一格：

x - 2 = - 0.01

，

f (1.99) \approx 5 + 7 \cdot (- 0.01) = 4.93

。

實際值

f (1.99) = 4.930399

，一次估計的誤差約

0.0004

。

第 17 題先化簡：

x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}

，所以

f (x) = ((x - 1)^{2})^{10} (x - 1)^{10} = (x - 1)^{20} (x - 1)^{10} = (x - 1)^{30}

。由連鎖律，

f^{'} (x) = 30 (x - 1)^{29} \cdot 1

，

f^{'} (2) = 30 \cdot 1^{29} = 30

。

不化簡、直接用積的微分公式也可以：

f^{'} (x) = 10 (x^{2} - 2 x + 1)^{9} (2 x - 2) (x - 1)^{10} + (x^{2} - 2 x + 1)^{10} \cdot 10 (x - 1)^{9}

，代

x = 2

得

10 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 10 \cdot 1 = 30

。只用導數的定義也算得出來：化簡成

(x - 1)^{30}

後

f (2) = 1

，令

t = x - 1

，則

f^{'} (2) = x \to 2 lim \frac{( x - 1 ) ^{30} - 1}{x - 2} = t \to 1 lim \frac{t ^{30} - 1}{t - 1} = t \to 1 lim (t^{29} + t^{28} + \dots + t + 1) = 30

（共

30

項，每項趨近

1

）。

第 18 題

x \to 1

時分母趨近

0

，而極限存在，所以分子也要趨近

0

：

1 + a + b = 0

，

b = - 1 - a

。代回分子：

x^{2} + a x - 1 - a = (x^{2} - 1) + a (x - 1) = (x - 1) (x + 1 + a)

。約去

x - 1

後，極限

= 1 + 1 + a = 2 + a = 4

，所以

a = 2

，

b = - 3

。

(a, b) = (2, - 3)

。

檢查：

\frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 3 )}{x - 1} = x + 3 \to 4

。

x 靠近 a 時，f(x) 約等於 f(a) 加上 f′(a) 乘以 (x−a)。

07填充 19、20（原卷填充 9）：過曲線外一點的切線

第 19 題

A

不在圖形上（

f (0) = - 1 \neq = - 3

），要先設切點。設切點

B (t, t^{3} - 1)

。

f^{'} (x) = 3 x^{2}

，切線斜率為

3 t^{2}

，切線為

y - (t^{3} - 1) = 3 t^{2} (x - t)

。切線過

A (0, - 3)

，代入：

- 3 - (t^{3} - 1) = 3 t^{2} (0 - t)

，即

- 2 - t^{3} = - 3 t^{3}

，

2 t^{3} = 2

，

t = 1

。斜率

3 t^{2} = 3

，直線

L

過

A (0, - 3)

，方程式為

y = 3 x - 3

。

不可以把

A

當切點而用

f^{'} (0) = 0

寫成

y = - 3

；

A

不在曲線上。

t^{3} = 1

的實數解只有

t = 1

，所以切線只有一條。

第 20 題由上一格

t = 1

，切點

B (1, 1^{3} - 1) = (1, 0)

。

檢查：

(1, 0)

在

y = 3 x - 3

上，且

f^{'} (1) = 3

等於直線的斜率。

過曲線外一點求切線：先設切點，寫出切線，再把外面那一點代進去解切點。

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單選第 5 題：兩個函數相除時，定義域還要去掉分母為 0 的點，所以兩個商的定義域不同。單選第 6 題：要選的是錯誤的敘述，切線斜率要代切點的 x 坐標。填充第 2 題第 (2) 小題（本頁第 10 題）：同除以 4 的 n 次方後分母剩下負 1，答案是負的。填充第 4 題（本頁第 13 題）：餘弦那一項本身沒有極限，要用夾擠定理。填充第 9 題（本頁第 19、20 題）：A 點不在曲線上，要先設切點再代入。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的運算與反函數、函數的極限與連續、導數與導函數、微分公式、切線、一次估計）

溪湖高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題：每題 5 分，共 30 分

無窮數列

⟨ (\frac{1 - 5}{2})^{n} ⟩

的極限為

(A) $\frac{1 - 5}{2}$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $- 1$
(E) 不存在

下列何者為收斂數列？

(A) $⟨ (1.01)^{n} ⟩$
(B) $⟨ (- 1.01)^{n} ⟩$
(C) $⟨ (\frac{π}{4})^{n} ⟩$
(D) $⟨ (2)^{n} ⟩$
(E) $⟨ - \frac{3 ^{n - 1}}{2 ^{n + 1}} ⟩$

下列各無窮等比級數何者為收斂級數？

(A) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$
(B) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots$
(C) $3 + 3 + 1 + \frac{3}{3} + \dots$
(D) $1 + \frac{- 4}{3} + \frac{16}{9} + \frac{- 64}{27} + \dots$
(E) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$

關於

n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}})

之值為下列何者？

(A) $0$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $1$
(D) $3$
(E) 不存在

已知函數

f (x) = 1 + x

、

g (x) = 1 - x

，試選出下列正確的選項？

(A) $(f + g) (x) = 2$
(B) $(f - g) (x) = 2 x$
(C) 函數 $(f \cdot g) (x) = 1 - x^{2}$
(D) 函數 $(f \cdot g) (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ - 1 \leq x \leq 1}$
(E) 函數 $(\frac{f}{g}) (x)$ 與 $(\frac{g}{f}) (x)$ 的定義域相同

設函數

f (x) = x^{2} - 1

，下列敘述何者錯誤？

(A) 在 $f (x)$ 的圖形上，以點 $P (1, 0)$ 為切點的切線之斜率為 $f^{'} (0)$
(B) 在 $f (x)$ 的圖形上，以點 $P (1, 0)$ 為切點的切線之斜率為 $x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$
(C) $f^{'} (1) = x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1}$
(D) $f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( x ) + 1}{x}$
(E) 在 $f (x)$ 的圖形上，以點 $Q (0, - 1)$ 為切點的切線為 $y = - 1$

二、填充題：每格 5 分，共 70 分（本頁第 7～20 題）

填充第 1 題（第 7～8 題）　試求下列各式之值：

(1)

0. \overline{27} =

____。（請以最簡分數表示）

(2)

k = 1 \sum 10 (k - 2) (k + 2) =

____。（請以數字表示）

填充第 2 題（第 9～11 題）　求下列各極限：（若無極限，請寫不存在）

(1)

n \to \infty lim \frac{2 n ^{3} + 7 n ^{2} - 1}{5 n ^{3} - 2 n} =

____。

(2)

n \to \infty lim \frac{4 ^{n + 1} - 3 ^{n}}{3 ^{n + 1} - 4 ^{n}} =

____。

(3)

x \to 2 lim (\frac{x ^{2}}{x - 2} + \frac{x - 6}{x - 2}) =

____。

若函數

f (x) = {- 3 x + 5, a x^{2} + 3 a x + 6, 當 x < 1 當 x \geq 1

在

x = 1

處為連續，則實數

a =

____。

已知

x \neq = 0

，不等式

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

恆成立，求

x \to 0 lim (x cos \frac{1}{x} + 1) =

____。（若無極限，請寫不存在）

若

g (x)

為函數

f (x) = 3 x - 1

的反函數，則

g (x) =

____。

填充第 6 題（第 15～16 題）　已知函數

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 1

，則

(1)

f (x)

在

x = 2

附近的一次估計為 ____。

(2) 使用 (1)，求

f (1.99)

的近似值為 ____。

已知函數

f (x) = (x^{2} - 2 x + 1)^{10} (x - 1)^{10}

，則導數

f^{'} (2) =

____。

已知

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 4

，其中

a

、

b

為實數，求數對

(a, b) =

____。

填充第 9 題（第 19～20 題）　已知

A (0, - 3)

為函數

f (x) = x^{3} - 1

圖形外一點，直線

L

是以

B

為切點的切線且過

A

點，求

(1) 直線

L

的方程式為 ____。

(2) 切點

B

的坐標為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(C)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(D)

第 6 題(A)

第 7 題

\frac{3}{11}

第 8 題

345

第 9 題

\frac{2}{5}

第 10 題

- 4

第 11 題

5

第 12 題

- 1

第 13 題

1

第 14 題

\frac{x + 1}{3}

第 15 題

5 + 7 (x - 2)

（即

7 x - 9

）

第 16 題

4.93

第 17 題

30

第 18 題

(2, - 3)

第 19 題

y = 3 x - 3

第 20 題

(1, 0)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：等比數列與無窮等比級數的收斂、先求和再求極限

第 1 題答案 (C)。這是公比

r = \frac{1 - 5}{2}

的等比數列。

5 \approx 2.236

，所以

r \approx - 0.618

，

- 1 < r < 1

。公比的絕對值小於

1

時，

r^{n}

趨近

0

，極限為

0

。

公比是負的，各項正負交錯，但絕對值

(0.618)^{n}

愈來愈小，仍然收斂到

0

。

第 2 題答案 (C)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。(A)

r = 1.01 > 1

，發散。(B)

r = - 1.01 < - 1

，發散。(C)

r = \frac{π}{4} \approx 0.785

，在

- 1

與

1

之間，收斂到

0

。(D)

r = 2 \approx 1.414 > 1

，發散。(E)

- \frac{3 ^{n - 1}}{2 ^{n + 1}} = - \frac{1}{6} (\frac{3}{2})^{n}

，公比

\frac{3}{2} > 1

，發散。

(A) 的公比只比

1

大一點，但

(1.01)^{n}

仍會無限增大。(E) 要先整理成

r^{n}

的常數倍再看公比。

第 3 題答案 (C)。無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是公比

- 1 < r < 1

。(A)

r = - 1

，發散。(B)

r = \frac{3}{2}

，發散。(C)

r = \frac{3}{3} \approx 0.577

，收斂。(D)

r = - \frac{4}{3}

，發散。(E)

r = 2

，發散。

數列

⟨ r^{n} ⟩

在

r = 1

時收斂，但級數在

r = 1

與

r = - 1

時都發散；(A) 的部分和在

1

、

0

之間跳動，沒有極限。(C) 的和是

\frac{3}{1 - \frac{3}{3}} = \frac{9 + 3 3}{2}

。

第 4 題答案 (B)。項數會隨

n

增加，不能逐項取極限，要先求和：

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{\frac{n ( n + 1 )}{2}}{n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}

。

n \to \infty

時趨近

\frac{1}{2}

。

每一項

\frac{k}{n ^{2}}

各自都趨近

0

，但項數有

n

項，加起來不是

0

。

等比數列看公比是否在 −1 與 1 之間（數列可以等於 1，級數不行）；項數會變多的和要先求和再取極限。

02單選 5、6：函數的四則運算與定義域、導數的定義

第 5 題答案 (D)。

f

的定義域是

x \geq - 1

，

g

的定義域是

x \leq 1

。(A)

(f + g) (x) = 1 + x + 1 - x

，根號不能直接相加；例如

x = 0

時值是

2

，不是

2

，錯。(B)

(f - g) (x) = 1 + x - 1 - x

；例如

x = 1

時值是

2

，而

2 x = 2

恰好相等，但

x = \frac{1}{2}

時左邊

= 1.5 - 0.5 \approx 0.518

，右邊

= 1

，錯。(C)

(f \cdot g) (x) = 1 + x \cdot 1 - x = 1 - x^{2}

，不是

1 - x^{2}

，錯。(D)

f \cdot g

的定義域是

f

、

g

兩個定義域的共同部分，即

- 1 \leq x \leq 1

，對。(E)

\frac{f}{g}

還要

g (x) \neq = 0

，即

x \neq = 1

，定義域是

- 1 \leq x < 1

；

\frac{g}{f}

還要

f (x) \neq = 0

，即

x \neq = - 1

，定義域是

- 1 < x \leq 1

。兩者不同，錯。

相除時，除了兩個函數都要有定義，還要把分母為

0

的點去掉。

第 6 題答案 (A)。

f^{'} (x) = 2 x

。(A) 以

P (1, 0)

為切點的切線斜率是

f^{'} (1) = 2

，不是

f^{'} (0) = 0

，敘述錯誤。(B) 這正是導數

f^{'} (1)

的定義，也就是切線斜率，敘述正確。(C)

f (1) = 0

，所以

\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = \frac{f ( x )}{x - 1}

，敘述正確。(D)

f (0) = - 1

，所以

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0 lim \frac{f ( x ) + 1}{x}

，敘述正確。(E)

f^{'} (0) = 0

，切線是過

(0, - 1)

的水平線

y = - 1

，敘述正確。

本題要選的是「錯誤」的敘述。切線斜率要代切點的

x

坐標，不是代

y

坐標。

函數相加減乘除，定義域取共同部分，相除再去掉分母為 0 的點；導數 f′(a) 是 x 趨近 a 時割線斜率的極限。

03填充 7、8（原卷填充 1）：循環小數、求和公式

第 7 題循環節是

27

兩位：

0. \overline{27} = 0.27 + 0.0027 + 0.000027 + \dots

，是首項

0.27

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.27}{1 - 0.01} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}

。

題目要求最簡分數，

\frac{27}{99}

要約分。檢查：

3 \div 11 = 0.2727 \dots

。

第 8 題

(k - 2) (k + 2) = k^{2} - 4

。

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 4 = 40

。所以原式

= 385 - 40 = 345

。

常數

4

加了

10

次，要減

40

，不是減

4

。

循環小數就是無窮等比級數，公比由循環節的位數決定。

04填充 9～11（原卷填充 2）：三個極限

第 9 題分子分母同除以最高次項

n^{3}

：

\frac{2 + \frac{7}{n} - \frac{1}{n ^{3}}}{5 - \frac{2}{n ^{2}}}

。

n \to \infty

時

\frac{7}{n}

、

\frac{1}{n ^{3}}

、

\frac{2}{n ^{2}}

都趨近

0

，極限為

\frac{2}{5}

。

分子分母同次，極限等於最高次項係數的比。

第 10 題分子分母同除以底數最大的

4^{n}

：分子

\frac{4 ^{n + 1} - 3 ^{n}}{4 ^{n}} = 4 - (\frac{3}{4})^{n}

，分母

\frac{3 ^{n + 1} - 4 ^{n}}{4 ^{n}} = 3 (\frac{3}{4})^{n} - 1

。

(\frac{3}{4})^{n} \to 0

，所以極限為

\frac{4 - 0}{0 - 1} = - 4

。

4^{n + 1} = 4 \cdot 4^{n}

，除以

4^{n}

後留下

4

；分母的

- 4^{n}

除完是

- 1

，負號別漏掉。

第 11 題兩個分式在

x \to 2

時分母都趨近

0

，不能分開求。分母相同，直接相加：

\frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2} = \frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{x - 2} = x + 3

（

x \neq = 2

）。所以極限為

2 + 3 = 5

。

分開看時兩項各自都沒有極限，但合併後分子也趨近

0

，可以約去

x - 2

。

多項式型同除以最高次項，指數型同除以底數最大的那一項；分母趨近 0 時先合併、因式分解再約分。

05填充 12～14（原卷填充 3～5）：連續、夾擠定理、反函數

第 12 題在

x = 1

連續，要左極限、右極限與

f (1)

三者相等。左極限用

- 3 x + 5

：

x \to 1^{-} lim f (x) = - 3 + 5 = 2

。右極限與

f (1)

用

a x^{2} + 3 a x + 6

：

a + 3 a + 6 = 4 a + 6

。由

4 a + 6 = 2

得

a = - 1

。

檢查：

a = - 1

時

x \geq 1

的式子是

- x^{2} - 3 x + 6

，在

x = 1

的值是

2

，與左邊接上。

第 13 題

x \neq = 0

時

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

，各邊同乘

∣ x ∣

（正數）得

- ∣ x ∣ \leq ∣ x ∣ cos \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

，而

x cos \frac{1}{x}

等於

∣ x ∣ cos \frac{1}{x}

或它的相反數，所以

- ∣ x ∣ \leq x cos \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

。

x \to 0

時

- ∣ x ∣

與

∣ x ∣

都趨近

0

，由夾擠定理，

x \to 0 lim x cos \frac{1}{x} = 0

。所以原式

= 0 + 1 = 1

。

cos \frac{1}{x}

本身在

x \to 0

時來回振盪、沒有極限，所以不能寫成「

0

乘以某個極限」；要靠夾擠定理。乘的是

∣ x ∣

而不是

x

，因為

x

為負時不等號方向會反過來。

第 14 題令

y = 3 x - 1

，解出

x = \frac{y + 1}{3}

。把

x

、

y

對調，得反函數

g (x) = \frac{x + 1}{3}

。

檢查：

f (g (x)) = 3 \cdot \frac{x + 1}{3} - 1 = x

。反函數不是倒數

\frac{1}{3 x - 1}

。

連續是左極限、右極限、函數值三者相等；有界的量乘上趨近 0 的量，用夾擠定理得 0。

06填充 15～18（原卷填充 6～8）：一次估計、連鎖律、由極限反推係數

第 15 題

f (x)

在

x = 2

附近的一次估計是

f (2) + f^{'} (2) (x - 2)

。

f (2) = 8 - 8 + 6 - 1 = 5

。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 3

，

f^{'} (2) = 12 - 8 + 3 = 7

。所以一次估計為

5 + 7 (x - 2)

，展開是

7 x - 9

。

一次估計就是函數圖形在

(2, 5)

的切線

y = 7 x - 9

。

第 16 題把

x = 1.99

代入上一格：

x - 2 = - 0.01

，

f (1.99) \approx 5 + 7 \cdot (- 0.01) = 4.93

。

實際值

f (1.99) = 4.930399

，一次估計的誤差約

0.0004

。

第 17 題先化簡：

x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}

，所以

f (x) = ((x - 1)^{2})^{10} (x - 1)^{10} = (x - 1)^{20} (x - 1)^{10} = (x - 1)^{30}

。由連鎖律，

f^{'} (x) = 30 (x - 1)^{29} \cdot 1

，

f^{'} (2) = 30 \cdot 1^{29} = 30

。

不化簡、直接用積的微分公式也可以：

f^{'} (x) = 10 (x^{2} - 2 x + 1)^{9} (2 x - 2) (x - 1)^{10} + (x^{2} - 2 x + 1)^{10} \cdot 10 (x - 1)^{9}

，代

x = 2

得

10 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 10 \cdot 1 = 30

。只用導數的定義也算得出來：化簡成

(x - 1)^{30}

後

f (2) = 1

，令

t = x - 1

，則

f^{'} (2) = x \to 2 lim \frac{( x - 1 ) ^{30} - 1}{x - 2} = t \to 1 lim \frac{t ^{30} - 1}{t - 1} = t \to 1 lim (t^{29} + t^{28} + \dots + t + 1) = 30

（共

30

項，每項趨近

1

）。

第 18 題

x \to 1

時分母趨近

0

，而極限存在，所以分子也要趨近

0

：

1 + a + b = 0

，

b = - 1 - a

。代回分子：

x^{2} + a x - 1 - a = (x^{2} - 1) + a (x - 1) = (x - 1) (x + 1 + a)

。約去

x - 1

後，極限

= 1 + 1 + a = 2 + a = 4

，所以

a = 2

，

b = - 3

。

(a, b) = (2, - 3)

。

檢查：

\frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 3 )}{x - 1} = x + 3 \to 4

。

x 靠近 a 時，f(x) 約等於 f(a) 加上 f′(a) 乘以 (x−a)。

07填充 19、20（原卷填充 9）：過曲線外一點的切線

第 19 題

A

不在圖形上（

f (0) = - 1 \neq = - 3

），要先設切點。設切點

B (t, t^{3} - 1)

。

f^{'} (x) = 3 x^{2}

，切線斜率為

3 t^{2}

，切線為

y - (t^{3} - 1) = 3 t^{2} (x - t)

。切線過

A (0, - 3)

，代入：

- 3 - (t^{3} - 1) = 3 t^{2} (0 - t)

，即

- 2 - t^{3} = - 3 t^{3}

，

2 t^{3} = 2

，

t = 1

。斜率

3 t^{2} = 3

，直線

L

過

A (0, - 3)

，方程式為

y = 3 x - 3

。

不可以把

A

當切點而用

f^{'} (0) = 0

寫成

y = - 3

；

A

不在曲線上。

t^{3} = 1

的實數解只有

t = 1

，所以切線只有一條。

第 20 題由上一格

t = 1

，切點

B (1, 1^{3} - 1) = (1, 0)

。

檢查：

(1, 0)

在

y = 3 x - 3

上，且

f^{'} (1) = 3

等於直線的斜率。

過曲線外一點求切線：先設切點，寫出切線，再把外面那一點代進去解切點。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：等比數列與無窮等比級數的收斂、先求和再求極限

02單選 5、6：函數的四則運算與定義域、導數的定義

03填充 7、8（原卷填充 1）：循環小數、求和公式

04填充 9～11（原卷填充 2）：三個極限

05填充 12～14（原卷填充 3～5）：連續、夾擠定理、反函數

06填充 15～18（原卷填充 6～8）：一次估計、連鎖律、由極限反推係數

07填充 19、20（原卷填充 9）：過曲線外一點的切線

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溪湖高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

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03填充 7、8（原卷填充 1）：循環小數、求和公式

04填充 9～11（原卷填充 2）：三個極限

05填充 12～14（原卷填充 3～5）：連續、夾擠定理、反函數

06填充 15～18（原卷填充 6～8）：一次估計、連鎖律、由極限反推係數

07填充 19、20（原卷填充 9）：過曲線外一點的切線

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溪湖高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

溪湖高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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溪湖高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？