段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

溪湖高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單選題 6 題（共 30 分）、填充題 13 題共 15 格（共 70 分）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單選題（共 6 題，共 30 分）（本頁第 1～6 題依序為原卷單選第 1～6 題）

試比較

sin 1

、

sin 2

、

sin 3

的大小關係。

(A) $sin 1 > sin 2 > sin 3$
(B) $sin 1 > sin 3 > sin 2$
(C) $sin 2 > sin 1 > sin 3$
(D) $sin 2 > sin 3 > sin 1$
(E) $sin 3 > sin 2 > sin 1$

如附圖，兩同心圓的半徑分別是

3

和

5

，且

A B ⌢

的長度是

5

，求陰影部分的面積是？

(A) $8$
(B) $16$
(C) $4 π$
(D) $8 π$
(E) $\frac{20 π}{3}$

載入中...

方程式

10 sin x = x

的實根個數為何？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $3$
(D) $5$
(E) $7$

下列哪一個函數的週期為

\frac{π}{3}

？

(A) $y = sin \frac{x}{3}$
(B) $y = sin 3 x$
(C) $y = 3 sin \frac{x}{3}$
(D) $y = 3 sin \frac{x}{6}$
(E) $y = 3 sin 6 x$

如圖最有可能是下列哪一個函數的圖形？

(A) $y = sin 2 x$
(B) $y = \frac{1}{2} sin 2 x$
(C) $y = 2 sin \frac{x}{2}$
(D) $y = sin \frac{x}{2}$
(E) $y = 2 sin x$

載入中...

關於函數

y = 3 sin 2 x

，則下列選項哪些正確？

(A) $- 2 \leq y \leq 2$
(B) $y = 3 sin 2 x$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時有最大值
(C) 此函數圖形的振幅為 $2$
(D) 此函數圖形的週期為 $2 π$
(E) 此函數的圖形對稱於直線 $x = \frac{3 π}{4}$

二、填充題（共 15 格，共 70 分；配分：答對 1～15 格依序得 6、12、18、24、30、35、40、45、50、55、58、61、64、67、70 分）（本頁第 7～21 題依序為原卷填充題的 1、2(1)、2(2)、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12(1)、12(2)、13）

請問：

7

弳在第 ____ 象限。

填充第 2 題（第 8～9 題）　試將以下的度數化為弳度，弳度化為度數：

(1)

39 0^{\circ} =

____ 弳。

(2)

\frac{7 π}{3}

弳

=

____ 度。

試求

20

弳的最大負同界角為 ____。

求值：

3 tan \frac{π}{3} + 22 sin \frac{5 π}{6} - 2 cos \frac{7 π}{4} =

____。

如圖為邊長

4

的正方形，今分別以

A

、

C

為圓心，正方形的邊長為半徑畫兩圓弧，則鋪色區域面積為 ____。

載入中...

如圖，一個直圓錐底圓直徑

\overline{B C} = 4

，斜高

\overline{A B} = 12

，將此直圓錐展開後得一扇形

B A D

，則此扇形

B A D

的面積為 ____。

載入中...

包裝二根半徑分別為

6

與

18

的圓柱，其截面如圖所示，求外圍粗黑線條的長度為 ____。

載入中...

已知函數

y = 5 sin (3 x + \frac{π}{6}) + 2

的最大值

M

及最小值

m

，求

M + m =

____。

若函數

f (x) = 4 sin (2 x + \frac{π}{3}) - 7

的週期為

a

，振幅為

b

，則數對

(a, b) =

____。

若

y = sin x

的圖形水平方向伸縮為

2

倍，再將圖形上所有的點向右平移

\frac{π}{3}

單位可得到

f (x) = a sin (b x - c)

的圖形，且

0 \leq c \leq π

，已知

a

，

b

均為正數，則序組

(a, b, c) =

____。

在

0 \leq x < 2 π

範圍內，則不等式

sin x \leq - \frac{2}{2}

的解為 ____。

填充第 12 題（第 19～20 題）　某遊樂園有一個圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，在摩天輪上的阿西恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，阿西離地的高度

y

（單位：公尺）可表為

y = 5 sin (\frac{2 π}{25} x - \frac{π}{2}) + 6

，試問：

(1) 摩天輪轉一圈需 ____ 分鐘。

(2) 阿西離地最高的高度為 ____ 公尺。

某公司設計 logo 如右圖，在矩形

A B C D

中，

∠ B M P = \frac{π}{3}

，以

\overline{A B}

為直徑作半圓，且

\overline{D P}

為其半圓的切線；再以

D

為圓心，

\overline{D A}

為半徑作四分之一圓交於

P

點，

M

為

\overline{A B}

的中點。已知鋪色區域的面積為

10 π - 123

，求矩形

A B C D

的周長為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(A)

第 3 題(E)

第 4 題(E)

第 5 題(B)

第 6 題(E)

第 7 題一

第 8 題

\frac{13 π}{6}

第 9 題

420

第 10 題

20 - 8 π

第 11 題

3

第 12 題

8 π - 16

第 13 題

24 π

第 14 題

28 π + 243

第 15 題

4

第 16 題

(π, 4)

第 17 題

(1, \frac{1}{2}, \frac{π}{6})

第 18 題

\frac{5 π}{4} \leq x \leq \frac{7 π}{4}

第 19 題

25

第 20 題

11

第 21 題

12 + 83

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01單選 1～6（原卷單選 1～6）：比大小、環狀扇形、交點個數、週期與圖形

第 1 題答案 (C)。

π \approx 3.14

，所以

1

、

2

、

3

弳都在

0

與

π

之間，正弦都是正的。用

sin (π - θ) = sin θ

化成銳角：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。

0.14 < 1 < 1.14 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，而銳角的正弦隨角度增加而變大，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

，即

sin 2 > sin 1 > sin 3

。

換成度來看也一樣：

1

弳約

57. 3^{\circ}

，

2

弳約

114. 6^{\circ}

（正弦等於

sin 65. 4^{\circ}

），

3

弳約

171. 9^{\circ}

（正弦等於

sin 8. 1^{\circ}

）。

第 2 題答案 (A)。

A B ⌢

在半徑

5

的大圓上，弧長

5 = 5 θ

，圓心角

θ = 1

弳。陰影是大扇形

O A B

減去小扇形

O C D

：

\frac{1}{2} \cdot 5^{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} \cdot 1 = \frac{25}{2} - \frac{9}{2} = 8

。

弧長

5

是一個長度，不含

π

，所以圓心角

1

與面積

8

也都不含

π

。

A

、

B

在大圓上，要用半徑

5

去除弧長。

第 3 題答案 (E)。原式即

sin x = \frac{x}{10}

，實根個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{10}

的交點個數。

x = 0

是一個交點。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只可能在

- 10 \leq x \leq 10

。先看

x > 0

（

π \approx 3.14

，

2 π \approx 6.28

，

3 π \approx 9.42

）：在

0 < x \leq π

，

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

高於直線的

0.157

，

x = π

時

sin x = 0

低於直線的

0.314

，圖形由上方穿到下方，有

1

個交點；在

π < x < 2 π

，

sin x < 0

而直線為正，沒有交點；在

2 π \leq x \leq 3 π

，兩端

sin x = 0

都低於直線，中間

x = \frac{5 π}{2} \approx 7.85

時

sin x = 1

高於直線的

0.785

，所以有

2

個交點；在

3 π < x \leq 10

，

sin x < 0

，沒有交點。

x > 0

共

3

個。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個。合計

3 + 3 + 1 = 7

個。

直線在

x = 10

時高度剛好到

1

，之後就超出正弦函數的範圍。不要漏掉

x = 0

與負的那一半。

第 4 題答案 (E)。

y = a sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

，與前面的係數

a

無關。(A)

k = \frac{1}{3}

，週期

6 π

。(B)

k = 3

，週期

\frac{2 π}{3}

。(C)

k = \frac{1}{3}

，週期

6 π

。(D)

k = \frac{1}{6}

，週期

12 π

。(E)

k = 6

，週期

\frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}

。

(B) 的

x

係數是

3

，週期是

\frac{2 π}{3}

，不是

\frac{π}{3}

。

第 5 題答案 (B)。圖形過原點後先上升，下一次回到

x

軸是在

(\frac{π}{2}, 0)

，這是半個週期，所以週期是

π

（圖上到

x = π

剛好走完一個完整的波）。

y = a sin k x

的週期

\frac{2 π}{k} = π

，

k = 2

，只剩 (A)、(B)。再看高度：圖形的最高點只到

y

軸上

0

與

1

的中間，沒有碰到

1

，振幅是

\frac{1}{2}

，所以是

y = \frac{1}{2} sin 2 x

。

(A)

y = sin 2 x

的週期也是

π

，差別只在最高點要碰到

1

；(E)

y = 2 sin x

要到

x = π

才第一次回到

x

軸。

第 6 題答案 (E)。(A) 不正確：

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，所以

- 3 \leq y \leq 3

。(B) 不正確：

x = \frac{π}{2}

時

y = 3 sin π = 0

，不是最大值

3

。(C) 不正確：振幅是

3

。(D) 不正確：週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(E) 正確：

x = \frac{3 π}{4}

時

y = 3 sin \frac{3 π}{2} = - 3

，是圖形的最低點；正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，所以對稱於直線

x = \frac{3 π}{4}

。

原卷把這一題放在單選題，題幹寫「哪些正確」；五個選項裡只有 (E) 正確。最大值出現在

2 x = \frac{π}{2}

，也就是

x = \frac{π}{4}

。

弧長除以半徑就是弧度；正弦型函數的週期只看自變數的係數，振幅只看前面的係數；方程式的實根個數可以改成數兩個圖形的交點。

02填充 7～11（原卷填充 1～4）：弧度量與特殊角

第 7 題一圈是

2 π \approx 6.283

弳，

7 - 2 π \approx 0.717

，所以

7

弳與

0.717

弳是同界角。因為

0 < 0.717 < \frac{π}{2} \approx 1.571

，終邊落在第一象限。

第 8 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳。

39 0^{\circ} = 390 \times \frac{π}{180} = \frac{13 π}{6}

弳。

第 9 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{7 π}{3}

弳

= \frac{7}{3} \times 18 0^{\circ} = 42 0^{\circ}

。

第 10 題同界角相差

2 π

的整數倍，所以

20

弳的同界角是

20 - 2 k π

（

k

為整數）。要它是負的而且最大，就減去剛好超過

20

的最小那個倍數：

6 π \approx 18.85 < 20

，

8 π \approx 25.13 > 20

。所以最大負同界角是

20 - 8 π

（約

- 5.13

）弳。

20 - 6 π \approx 1.15

是最小正同界角；再減一圈才是最大負同界角。答案保留

π

，不要寫成小數。

第 11 題逐項換成度來看。

tan \frac{π}{3} = tan 6 0^{\circ} = 3

；

sin \frac{5 π}{6} = sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

；

cos \frac{7 π}{4} = cos 31 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。原式

= 3 \cdot 3 + 22 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = 3 + 2 - 2 = 3

。

15 0^{\circ}

在第二象限，正弦是正的；

31 5^{\circ}

在第四象限，餘弦是正的。

弧度與度互換只要記住 π 弳等於一百八十度；判斷象限與同界角時把 π 當成約三點一四來估。

03填充 12～14（原卷填充 5～7）：弓形、圓錐展開圖與公切線

第 12 題連

\overline{B D}

，把鋪色區域分成兩個全等的弓形。以

A

為圓心的那一塊：扇形

A B D

的半徑

4

、圓心角

\frac{π}{2}

，面積

\frac{1}{2} \cdot 4^{2} \cdot \frac{π}{2} = 4 π

；減去直角三角形

A B D

的面積

\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8

，弓形面積是

4 π - 8

。以

C

為圓心的弓形同樣是

4 π - 8

。鋪色區域面積

= 2 (4 π - 8) = 8 π - 16

。

也可以用「兩個四分之一圓的面積和減去正方形」：兩個扇形合起來蓋滿正方形，重疊的部分就是鋪色區域，

4 π + 4 π - 16 = 8 π - 16

。數值約為

9.13

。

第 13 題底圓半徑是

\frac{4}{2} = 2

。側面展開成扇形時，扇形的半徑是斜高

12

，扇形的弧長等於底圓的周長

2 π \cdot 2 = 4 π

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 π = 24 π

。

題目給的

4

是底圓的直徑，不是半徑。這個扇形的圓心角是

\frac{4 π}{12} = \frac{π}{3}

弳，用

\frac{1}{2} \cdot 1 2^{2} \cdot \frac{π}{3}

算也是

24 π

。

第 14 題由圖，兩圓外切，粗線是兩條外公切線段加上兩段圓弧。設小圓圓心

O_{1}

、大圓圓心

O_{2}

，

\overline{O_{1} O_{2}} = 6 + 18 = 24

；一條公切線分別切兩圓於

S

、

T

，則

\overline{O_{1} S}

、

\overline{O_{2} T}

都垂直於切線。過

O_{1}

作

\overline{O_{2} T}

的垂線，垂足

H

，則

O_{1} S T H

是長方形，

\overline{O_{2} H} = 18 - 6 = 12

。直角三角形

O_{1} H O_{2}

的斜邊

24

、一股

12

，所以

∠ O_{1} O_{2} H = \frac{π}{3}

，另一股

\overline{O_{1} H} = 123

，即切線段

\overline{S T} = 123

。大圓上的粗弧：兩個切點的半徑各與連心線夾

\frac{π}{3}

，朝向小圓的那一段圓心角是

\frac{2 π}{3}

，粗弧的圓心角是

2 π - \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

，弧長

18 \cdot \frac{4 π}{3} = 24 π

。小圓的半徑

\overline{O_{1} S}

與

\overline{O_{2} T}

平行，所以小圓上粗弧的圓心角是

\frac{2 π}{3}

，弧長

6 \cdot \frac{2 π}{3} = 4 π

。總長

= 24 π + 4 π + 2 \cdot 123 = 28 π + 243

。

題幹沒有寫兩圓外切，是由圖判讀（圖上兩圓相切）。兩段粗弧的圓心角合起來剛好是一圈

2 π

，但半徑不同，要分開算。數值約為

129.5

。

弓形面積等於扇形減三角形；圓錐側面展開圖的弧長就是底圓的周長；公切線的題目先連圓心到切點，找出直角三角形。

04填充 15～20（原卷填充 8～12）：正弦函數的圖形

第 15 題不論

x

是多少，

- 1 \leq sin (3 x + \frac{π}{6}) \leq 1

，而且

1

與

- 1

都取得到。所以

M = 5 \cdot 1 + 2 = 7

，

m = 5 \cdot (- 1) + 2 = - 3

，

M + m = 4

。

括號裡的

3

與

\frac{π}{6}

只影響週期與左右位置，不影響最大值與最小值。

M + m

剛好是上下平移量

2

的兩倍。

第 16 題

x

的係數是

2

，週期

a = \frac{2 π}{2} = π

。

sin

前面的係數是

4

，振幅

b = 4

（最大值

- 3

、最小值

- 11

，差的一半是

4

）。所以

(a, b) = (π, 4)

。

+ \frac{π}{3}

是左右平移，

- 7

是上下平移，都不改變週期與振幅。振幅一定是正的，不是

- 7

也不是最大值

- 3

。

第 17 題水平方向伸縮為

2

倍：圖形上每一點的

x

坐標變成

2

倍，把

x

換成

\frac{x}{2}

，得

y = sin \frac{x}{2}

（週期由

2 π

變成

4 π

）。再向右平移

\frac{π}{3}

：把

x

換成

x - \frac{π}{3}

，得

y = sin \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3}) = sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})

。與

a sin (b x - c)

比較：

a = 1

，

b = \frac{1}{2}

，

c = \frac{π}{6}

，且

0 \leq \frac{π}{6} \leq π

符合條件。

向右平移時是把

x

整個換成

x - \frac{π}{3}

，所以括號裡減的是

\frac{1}{2} \times \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

，不是

\frac{π}{3}

。水平方向放大成

2

倍時

x

的係數是

\frac{1}{2}

，不是

2

；若把伸縮讀反、寫成

sin 2 x

，會得到

(1, 2, \frac{2 π}{3})

，這組的

c

也在

0

到

π

之間，題目的條件擋不掉，要特別留意。

第 18 題在

0 \leq x < 2 π

內，

sin x = - \frac{2}{2}

的解是

x = \frac{5 π}{4}

與

\frac{7 π}{4}

（參考角

\frac{π}{4}

，在第三、四象限）。

y = sin x

的圖形在這兩點之間落在直線

y = - \frac{2}{2}

的下方（中間

x = \frac{3 π}{2}

處

sin x = - 1

），其餘地方都在直線上方。不等式含等號，端點要取，所以解為

\frac{5 π}{4} \leq x \leq \frac{7 π}{4}

。

第 19 題轉一圈所需的時間就是函數的週期。

x

的係數是

\frac{2 π}{25}

，週期

= 2 π \div \frac{2 π}{25} = 25

（分鐘）。

檢查：

x = 0

時

y = 5 sin (- \frac{π}{2}) + 6 = 1

，是最低點，與「開始時坐在離地最近的位置」相符；

x = 25

時括號裡是

\frac{3 π}{2}

，又回到最低點。

第 20 題

sin

的值最大是

1

，所以最高的高度是

5 \cdot 1 + 6 = 11

（公尺），發生在

\frac{2 π}{25} x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

，即

x = 12.5

分鐘，剛好轉了半圈。

最低是

5 \cdot (- 1) + 6 = 1

公尺，摩天輪的直徑是

11 - 1 = 10

公尺。

最大值與最小值只看振幅與上下平移；先伸縮再平移時，平移量要加在自變數上；週期性模型的「一圈」就是週期。

05填充 21（原卷填充 13）：切線、兩個扇形與由面積反求邊長

第 21 題設半圓的半徑

\overline{M A} = \overline{M P} = r

。

\overline{D A} ⊥ \overline{A B}

，所以

\overline{D A}

也是半圓的切線（切點

A

）；從

D

到半圓的兩條切線段等長，

\overline{D P} = \overline{D A}

，而且

\overline{M A} ⊥ \overline{D A}

、

\overline{M P} ⊥ \overline{D P}

，

△ D A M

與

△ D P M

全等。

∠ A M P = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

，所以

∠ A M D = \frac{π}{3}

，

\overline{D A} = r tan \frac{π}{3} = 3 r

，

∠ A D M = \frac{π}{6}

，

∠ A D P = \frac{π}{3}

。鋪色區域由半圓上的弧

A P

與四分之一圓上的弧

A P

圍成。扇形

M A P

（半徑

r

、圓心角

\frac{2 π}{3}

）面積

\frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{π r ^{2}}{3}

；扇形

D A P

（半徑

3 r

、圓心角

\frac{π}{3}

）面積

\frac{1}{2} \cdot 3 r^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π r ^{2}}{2}

。兩個扇形合起來剛好蓋住四邊形

D A M P

，其中鋪色區域被算了兩次，所以鋪色面積

=

兩扇形面積和

-

四邊形面積。四邊形

D A M P

是兩個全等的直角三角形，面積

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot r \cdot 3 r = 3 r^{2}

。鋪色面積

= \frac{π r ^{2}}{3} + \frac{π r ^{2}}{2} - 3 r^{2} = (\frac{5 π}{6} - 3) r^{2}

。令它等於

10 π - 123 = 12 (\frac{5 π}{6} - 3)

，得

r^{2} = 12

，

r = 23

。所以

\overline{A B} = 2 r = 43

，

\overline{D A} = 3 r = 6

，周長

= 2 (43 + 6) = 12 + 83

。

∠ B M P

是

\overline{M P}

與

\overline{M B}

的夾角，扇形

M A P

用的是它的補角

\frac{2 π}{3}

。兩個扇形的半徑與圓心角都不一樣，要分別算。周長的數值約為

25.86

。

圓外一點到圓的兩條切線段等長，圓心與切點的連線垂直於切線；兩個扇形重疊的部分等於兩扇形面積和減去它們合起來蓋住的四邊形。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

溪湖高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

原卷填充第 13 題（本頁第 21 題）：要先看出 DA 也是半圓的切線，才能得到兩個扇形的圓心角，再由面積反求半徑。原卷填充第 7 題（本頁第 14 題）：兩段圓弧的圓心角不同，還要加上兩條切線段。原卷單選第 3 題（本頁第 3 題）：要畫出正弦函數與直線的圖形數交點，別漏掉原點與負的那一半。原卷填充第 3 題（本頁第 10 題）：最大負同界角是減八 π，不是減六 π。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

溪湖高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單選題 6 題（共 30 分）、填充題 13 題共 15 格（共 70 分）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單選題（共 6 題，共 30 分）（本頁第 1～6 題依序為原卷單選第 1～6 題）

試比較

sin 1

、

sin 2

、

sin 3

的大小關係。

(A) $sin 1 > sin 2 > sin 3$
(B) $sin 1 > sin 3 > sin 2$
(C) $sin 2 > sin 1 > sin 3$
(D) $sin 2 > sin 3 > sin 1$
(E) $sin 3 > sin 2 > sin 1$

如附圖，兩同心圓的半徑分別是

3

和

5

，且

A B ⌢

的長度是

5

，求陰影部分的面積是？

(A) $8$
(B) $16$
(C) $4 π$
(D) $8 π$
(E) $\frac{20 π}{3}$

載入中...

方程式

10 sin x = x

的實根個數為何？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $3$
(D) $5$
(E) $7$

下列哪一個函數的週期為

\frac{π}{3}

？

(A) $y = sin \frac{x}{3}$
(B) $y = sin 3 x$
(C) $y = 3 sin \frac{x}{3}$
(D) $y = 3 sin \frac{x}{6}$
(E) $y = 3 sin 6 x$

如圖最有可能是下列哪一個函數的圖形？

(A) $y = sin 2 x$
(B) $y = \frac{1}{2} sin 2 x$
(C) $y = 2 sin \frac{x}{2}$
(D) $y = sin \frac{x}{2}$
(E) $y = 2 sin x$

載入中...

關於函數

y = 3 sin 2 x

，則下列選項哪些正確？

(A) $- 2 \leq y \leq 2$
(B) $y = 3 sin 2 x$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時有最大值
(C) 此函數圖形的振幅為 $2$
(D) 此函數圖形的週期為 $2 π$
(E) 此函數的圖形對稱於直線 $x = \frac{3 π}{4}$

請問：

7

弳在第 ____ 象限。

填充第 2 題（第 8～9 題）　試將以下的度數化為弳度，弳度化為度數：

(1)

39 0^{\circ} =

____ 弳。

(2)

\frac{7 π}{3}

弳

=

____ 度。

試求

20

弳的最大負同界角為 ____。

求值：

3 tan \frac{π}{3} + 22 sin \frac{5 π}{6} - 2 cos \frac{7 π}{4} =

____。

如圖為邊長

4

的正方形，今分別以

A

、

C

為圓心，正方形的邊長為半徑畫兩圓弧，則鋪色區域面積為 ____。

載入中...

如圖，一個直圓錐底圓直徑

\overline{B C} = 4

，斜高

\overline{A B} = 12

，將此直圓錐展開後得一扇形

B A D

，則此扇形

B A D

的面積為 ____。

載入中...

包裝二根半徑分別為

6

與

18

的圓柱，其截面如圖所示，求外圍粗黑線條的長度為 ____。

載入中...

已知函數

y = 5 sin (3 x + \frac{π}{6}) + 2

的最大值

M

及最小值

m

，求

M + m =

____。

若函數

f (x) = 4 sin (2 x + \frac{π}{3}) - 7

的週期為

a

，振幅為

b

，則數對

(a, b) =

____。

若

y = sin x

的圖形水平方向伸縮為

2

倍，再將圖形上所有的點向右平移

\frac{π}{3}

單位可得到

f (x) = a sin (b x - c)

的圖形，且

0 \leq c \leq π

，已知

a

，

b

均為正數，則序組

(a, b, c) =

____。

在

0 \leq x < 2 π

範圍內，則不等式

sin x \leq - \frac{2}{2}

的解為 ____。

填充第 12 題（第 19～20 題）　某遊樂園有一個圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，在摩天輪上的阿西恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，阿西離地的高度

y

（單位：公尺）可表為

y = 5 sin (\frac{2 π}{25} x - \frac{π}{2}) + 6

，試問：

(1) 摩天輪轉一圈需 ____ 分鐘。

(2) 阿西離地最高的高度為 ____ 公尺。

某公司設計 logo 如右圖，在矩形

A B C D

中，

∠ B M P = \frac{π}{3}

，以

\overline{A B}

為直徑作半圓，且

\overline{D P}

為其半圓的切線；再以

D

為圓心，

\overline{D A}

為半徑作四分之一圓交於

P

點，

M

為

\overline{A B}

的中點。已知鋪色區域的面積為

10 π - 123

，求矩形

A B C D

的周長為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(A)

第 3 題(E)

第 4 題(E)

第 5 題(B)

第 6 題(E)

第 7 題一

第 8 題

\frac{13 π}{6}

第 9 題

420

第 10 題

20 - 8 π

第 11 題

3

第 12 題

8 π - 16

第 13 題

24 π

第 14 題

28 π + 243

第 15 題

4

第 16 題

(π, 4)

第 17 題

(1, \frac{1}{2}, \frac{π}{6})

第 18 題

\frac{5 π}{4} \leq x \leq \frac{7 π}{4}

第 19 題

25

第 20 題

11

第 21 題

12 + 83

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6（原卷單選 1～6）：比大小、環狀扇形、交點個數、週期與圖形

第 1 題答案 (C)。

π \approx 3.14

，所以

1

、

2

、

3

弳都在

0

與

π

之間，正弦都是正的。用

sin (π - θ) = sin θ

化成銳角：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。

0.14 < 1 < 1.14 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，而銳角的正弦隨角度增加而變大，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

，即

sin 2 > sin 1 > sin 3

。

換成度來看也一樣：

1

弳約

57. 3^{\circ}

，

2

弳約

114. 6^{\circ}

（正弦等於

sin 65. 4^{\circ}

），

3

弳約

171. 9^{\circ}

（正弦等於

sin 8. 1^{\circ}

）。

第 2 題答案 (A)。

A B ⌢

在半徑

5

的大圓上，弧長

5 = 5 θ

，圓心角

θ = 1

弳。陰影是大扇形

O A B

減去小扇形

O C D

：

\frac{1}{2} \cdot 5^{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} \cdot 1 = \frac{25}{2} - \frac{9}{2} = 8

。

弧長

5

是一個長度，不含

π

，所以圓心角

1

與面積

8

也都不含

π

。

A

、

B

在大圓上，要用半徑

5

去除弧長。

第 3 題答案 (E)。原式即

sin x = \frac{x}{10}

，實根個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{10}

的交點個數。

x = 0

是一個交點。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只可能在

- 10 \leq x \leq 10

。先看

x > 0

（

π \approx 3.14

，

2 π \approx 6.28

，

3 π \approx 9.42

）：在

0 < x \leq π

，

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

高於直線的

0.157

，

x = π

時

sin x = 0

低於直線的

0.314

，圖形由上方穿到下方，有

1

個交點；在

π < x < 2 π

，

sin x < 0

而直線為正，沒有交點；在

2 π \leq x \leq 3 π

，兩端

sin x = 0

都低於直線，中間

x = \frac{5 π}{2} \approx 7.85

時

sin x = 1

高於直線的

0.785

，所以有

2

個交點；在

3 π < x \leq 10

，

sin x < 0

，沒有交點。

x > 0

共

3

個。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個。合計

3 + 3 + 1 = 7

個。

直線在

x = 10

時高度剛好到

1

，之後就超出正弦函數的範圍。不要漏掉

x = 0

與負的那一半。

第 4 題答案 (E)。

y = a sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

，與前面的係數

a

無關。(A)

k = \frac{1}{3}

，週期

6 π

。(B)

k = 3

，週期

\frac{2 π}{3}

。(C)

k = \frac{1}{3}

，週期

6 π

。(D)

k = \frac{1}{6}

，週期

12 π

。(E)

k = 6

，週期

\frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}

。

(B) 的

x

係數是

3

，週期是

\frac{2 π}{3}

，不是

\frac{π}{3}

。

第 5 題答案 (B)。圖形過原點後先上升，下一次回到

x

軸是在

(\frac{π}{2}, 0)

，這是半個週期，所以週期是

π

（圖上到

x = π

剛好走完一個完整的波）。

y = a sin k x

的週期

\frac{2 π}{k} = π

，

k = 2

，只剩 (A)、(B)。再看高度：圖形的最高點只到

y

軸上

0

與

1

的中間，沒有碰到

1

，振幅是

\frac{1}{2}

，所以是

y = \frac{1}{2} sin 2 x

。

(A)

y = sin 2 x

的週期也是

π

，差別只在最高點要碰到

1

；(E)

y = 2 sin x

要到

x = π

才第一次回到

x

軸。

第 6 題答案 (E)。(A) 不正確：

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，所以

- 3 \leq y \leq 3

。(B) 不正確：

x = \frac{π}{2}

時

y = 3 sin π = 0

，不是最大值

3

。(C) 不正確：振幅是

3

。(D) 不正確：週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(E) 正確：

x = \frac{3 π}{4}

時

y = 3 sin \frac{3 π}{2} = - 3

，是圖形的最低點；正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，所以對稱於直線

x = \frac{3 π}{4}

。

原卷把這一題放在單選題，題幹寫「哪些正確」；五個選項裡只有 (E) 正確。最大值出現在

2 x = \frac{π}{2}

，也就是

x = \frac{π}{4}

。

弧長除以半徑就是弧度；正弦型函數的週期只看自變數的係數，振幅只看前面的係數；方程式的實根個數可以改成數兩個圖形的交點。

02填充 7～11（原卷填充 1～4）：弧度量與特殊角

第 7 題一圈是

2 π \approx 6.283

弳，

7 - 2 π \approx 0.717

，所以

7

弳與

0.717

弳是同界角。因為

0 < 0.717 < \frac{π}{2} \approx 1.571

，終邊落在第一象限。

第 8 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳。

39 0^{\circ} = 390 \times \frac{π}{180} = \frac{13 π}{6}

弳。

第 9 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{7 π}{3}

弳

= \frac{7}{3} \times 18 0^{\circ} = 42 0^{\circ}

。

第 10 題同界角相差

2 π

的整數倍，所以

20

弳的同界角是

20 - 2 k π

（

k

為整數）。要它是負的而且最大，就減去剛好超過

20

的最小那個倍數：

6 π \approx 18.85 < 20

，

8 π \approx 25.13 > 20

。所以最大負同界角是

20 - 8 π

（約

- 5.13

）弳。

20 - 6 π \approx 1.15

是最小正同界角；再減一圈才是最大負同界角。答案保留

π

，不要寫成小數。

第 11 題逐項換成度來看。

tan \frac{π}{3} = tan 6 0^{\circ} = 3

；

sin \frac{5 π}{6} = sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

；

cos \frac{7 π}{4} = cos 31 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。原式

= 3 \cdot 3 + 22 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = 3 + 2 - 2 = 3

。

15 0^{\circ}

在第二象限，正弦是正的；

31 5^{\circ}

在第四象限，餘弦是正的。

弧度與度互換只要記住 π 弳等於一百八十度；判斷象限與同界角時把 π 當成約三點一四來估。

03填充 12～14（原卷填充 5～7）：弓形、圓錐展開圖與公切線

第 12 題連

\overline{B D}

，把鋪色區域分成兩個全等的弓形。以

A

為圓心的那一塊：扇形

A B D

的半徑

4

、圓心角

\frac{π}{2}

，面積

\frac{1}{2} \cdot 4^{2} \cdot \frac{π}{2} = 4 π

；減去直角三角形

A B D

的面積

\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8

，弓形面積是

4 π - 8

。以

C

為圓心的弓形同樣是

4 π - 8

。鋪色區域面積

= 2 (4 π - 8) = 8 π - 16

。

也可以用「兩個四分之一圓的面積和減去正方形」：兩個扇形合起來蓋滿正方形，重疊的部分就是鋪色區域，

4 π + 4 π - 16 = 8 π - 16

。數值約為

9.13

。

第 13 題底圓半徑是

\frac{4}{2} = 2

。側面展開成扇形時，扇形的半徑是斜高

12

，扇形的弧長等於底圓的周長

2 π \cdot 2 = 4 π

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 π = 24 π

。

題目給的

4

是底圓的直徑，不是半徑。這個扇形的圓心角是

\frac{4 π}{12} = \frac{π}{3}

弳，用

\frac{1}{2} \cdot 1 2^{2} \cdot \frac{π}{3}

算也是

24 π

。

第 14 題由圖，兩圓外切，粗線是兩條外公切線段加上兩段圓弧。設小圓圓心

O_{1}

、大圓圓心

O_{2}

，

\overline{O_{1} O_{2}} = 6 + 18 = 24

；一條公切線分別切兩圓於

S

、

T

，則

\overline{O_{1} S}

、

\overline{O_{2} T}

都垂直於切線。過

O_{1}

作

\overline{O_{2} T}

的垂線，垂足

H

，則

O_{1} S T H

是長方形，

\overline{O_{2} H} = 18 - 6 = 12

。直角三角形

O_{1} H O_{2}

的斜邊

24

、一股

12

，所以

∠ O_{1} O_{2} H = \frac{π}{3}

，另一股

\overline{O_{1} H} = 123

，即切線段

\overline{S T} = 123

。大圓上的粗弧：兩個切點的半徑各與連心線夾

\frac{π}{3}

，朝向小圓的那一段圓心角是

\frac{2 π}{3}

，粗弧的圓心角是

2 π - \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

，弧長

18 \cdot \frac{4 π}{3} = 24 π

。小圓的半徑

\overline{O_{1} S}

與

\overline{O_{2} T}

平行，所以小圓上粗弧的圓心角是

\frac{2 π}{3}

，弧長

6 \cdot \frac{2 π}{3} = 4 π

。總長

= 24 π + 4 π + 2 \cdot 123 = 28 π + 243

。

題幹沒有寫兩圓外切，是由圖判讀（圖上兩圓相切）。兩段粗弧的圓心角合起來剛好是一圈

2 π

，但半徑不同，要分開算。數值約為

129.5

。

弓形面積等於扇形減三角形；圓錐側面展開圖的弧長就是底圓的周長；公切線的題目先連圓心到切點，找出直角三角形。

04填充 15～20（原卷填充 8～12）：正弦函數的圖形

第 15 題不論

x

是多少，

- 1 \leq sin (3 x + \frac{π}{6}) \leq 1

，而且

1

與

- 1

都取得到。所以

M = 5 \cdot 1 + 2 = 7

，

m = 5 \cdot (- 1) + 2 = - 3

，

M + m = 4

。

括號裡的

3

與

\frac{π}{6}

只影響週期與左右位置，不影響最大值與最小值。

M + m

剛好是上下平移量

2

的兩倍。

第 16 題

x

的係數是

2

，週期

a = \frac{2 π}{2} = π

。

sin

前面的係數是

4

，振幅

b = 4

（最大值

- 3

、最小值

- 11

，差的一半是

4

）。所以

(a, b) = (π, 4)

。

+ \frac{π}{3}

是左右平移，

- 7

是上下平移，都不改變週期與振幅。振幅一定是正的，不是

- 7

也不是最大值

- 3

。

第 17 題水平方向伸縮為

2

倍：圖形上每一點的

x

坐標變成

2

倍，把

x

換成

\frac{x}{2}

，得

y = sin \frac{x}{2}

（週期由

2 π

變成

4 π

）。再向右平移

\frac{π}{3}

：把

x

換成

x - \frac{π}{3}

，得

y = sin \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3}) = sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})

。與

a sin (b x - c)

比較：

a = 1

，

b = \frac{1}{2}

，

c = \frac{π}{6}

，且

0 \leq \frac{π}{6} \leq π

符合條件。

向右平移時是把

x

整個換成

x - \frac{π}{3}

，所以括號裡減的是

\frac{1}{2} \times \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

，不是

\frac{π}{3}

。水平方向放大成

2

倍時

x

的係數是

\frac{1}{2}

，不是

2

；若把伸縮讀反、寫成

sin 2 x

，會得到

(1, 2, \frac{2 π}{3})

，這組的

c

也在

0

到

π

之間，題目的條件擋不掉，要特別留意。

第 18 題在

0 \leq x < 2 π

內，

sin x = - \frac{2}{2}

的解是

x = \frac{5 π}{4}

與

\frac{7 π}{4}

（參考角

\frac{π}{4}

，在第三、四象限）。

y = sin x

的圖形在這兩點之間落在直線

y = - \frac{2}{2}

的下方（中間

x = \frac{3 π}{2}

處

sin x = - 1

），其餘地方都在直線上方。不等式含等號，端點要取，所以解為

\frac{5 π}{4} \leq x \leq \frac{7 π}{4}

。

第 19 題轉一圈所需的時間就是函數的週期。

x

的係數是

\frac{2 π}{25}

，週期

= 2 π \div \frac{2 π}{25} = 25

（分鐘）。

檢查：

x = 0

時

y = 5 sin (- \frac{π}{2}) + 6 = 1

，是最低點，與「開始時坐在離地最近的位置」相符；

x = 25

時括號裡是

\frac{3 π}{2}

，又回到最低點。

第 20 題

sin

的值最大是

1

，所以最高的高度是

5 \cdot 1 + 6 = 11

（公尺），發生在

\frac{2 π}{25} x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

，即

x = 12.5

分鐘，剛好轉了半圈。

最低是

5 \cdot (- 1) + 6 = 1

公尺，摩天輪的直徑是

11 - 1 = 10

公尺。

最大值與最小值只看振幅與上下平移；先伸縮再平移時，平移量要加在自變數上；週期性模型的「一圈」就是週期。

05填充 21（原卷填充 13）：切線、兩個扇形與由面積反求邊長

第 21 題設半圓的半徑

\overline{M A} = \overline{M P} = r

。

\overline{D A} ⊥ \overline{A B}

，所以

\overline{D A}

也是半圓的切線（切點

A

）；從

D

到半圓的兩條切線段等長，

\overline{D P} = \overline{D A}

，而且

\overline{M A} ⊥ \overline{D A}

、

\overline{M P} ⊥ \overline{D P}

，

△ D A M

與

△ D P M

全等。

∠ A M P = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

，所以

∠ A M D = \frac{π}{3}

，

\overline{D A} = r tan \frac{π}{3} = 3 r

，

∠ A D M = \frac{π}{6}

，

∠ A D P = \frac{π}{3}

。鋪色區域由半圓上的弧

A P

與四分之一圓上的弧

A P

圍成。扇形

M A P

（半徑

r

、圓心角

\frac{2 π}{3}

）面積

\frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{π r ^{2}}{3}

；扇形

D A P

（半徑

3 r

、圓心角

\frac{π}{3}

）面積

\frac{1}{2} \cdot 3 r^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π r ^{2}}{2}

。兩個扇形合起來剛好蓋住四邊形

D A M P

，其中鋪色區域被算了兩次，所以鋪色面積

=

兩扇形面積和

-

四邊形面積。四邊形

D A M P

是兩個全等的直角三角形，面積

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot r \cdot 3 r = 3 r^{2}

。鋪色面積

= \frac{π r ^{2}}{3} + \frac{π r ^{2}}{2} - 3 r^{2} = (\frac{5 π}{6} - 3) r^{2}

。令它等於

10 π - 123 = 12 (\frac{5 π}{6} - 3)

，得

r^{2} = 12

，

r = 23

。所以

\overline{A B} = 2 r = 43

，

\overline{D A} = 3 r = 6

，周長

= 2 (43 + 6) = 12 + 83

。

∠ B M P

是

\overline{M P}

與

\overline{M B}

的夾角，扇形

M A P

用的是它的補角

\frac{2 π}{3}

。兩個扇形的半徑與圓心角都不一樣，要分別算。周長的數值約為

25.86

。

圓外一點到圓的兩條切線段等長，圓心與切點的連線垂直於切線；兩個扇形重疊的部分等於兩扇形面積和減去它們合起來蓋住的四邊形。

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02填充 7～11（原卷填充 1～4）：弧度量與特殊角

03填充 12～14（原卷填充 5～7）：弓形、圓錐展開圖與公切線

04填充 15～20（原卷填充 8～12）：正弦函數的圖形

05填充 21（原卷填充 13）：切線、兩個扇形與由面積反求邊長

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