段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

溪湖高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

是非題 10 格（1 格 2 分，共 20 分）、填充題 13 題共 14 格（10 格內 1 格 6 分，超過 1 格 5 分，共 80 分）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、是非題（1 格 2 分）（正確的請打「○」，錯的打「×」）（本頁第 1～10 題依序為原卷是非題 (1)～(10)）

是非題甲（第 1～5 題）　下列哪個選項是正確的請打「○」，錯的打「×」。

5 0^{\circ} < 1

弳

< 6 0^{\circ}

。

廣義角

π

與

- π

互為同界角。

- 3

弳是第四象限角。

半徑為

1

，弧長為

3

的扇形之圓心角為

3

弳。

0 < sin π^{\circ} < 0.5

。

是非題乙（第 6～10 題）　關於函數

f (x) = y = 2 sin 3 x

，下列哪個選項是正確的請打「○」，錯的打「×」。

f (x)

在

x = \frac{π}{2}

時有最大值

週期為

\frac{2 π}{3}

圖形對稱於直線

x = \frac{π}{6}

f (2) > 0

圖形經過左右或上下平移後會與

y = sin 3 x

的圖形重合

二、填充題（10 格內，1 格 6 分，超過 1 格 5 分，共 80 分，全對才給分）（本頁第 11～24 題依序為原卷填充題的 1～11、12(1)、12(2)、13，即答案格 A～N）

sin \frac{2 π}{3} =

____。

- 2

弳

=

____ 度。

若一扇形的面積為

24

且弧長為

12

，則其半徑為 ____。

已知右圖為

y = a sin b x

一個週期的圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，求

a + b =

____。

載入中...

設函數

y = sin (x + \frac{π}{6})

的圖形可由

y = sin x

的圖形往右平移

h

單位後得到，且

0 < h < 2 π

，求

h

的值 ____。

已知

cos (π + θ) = \frac{3}{5}

，且

π < θ < \frac{3 π}{2}

，求

sin θ

的值 ____。

在坐標平面上，若

θ

與

- 100 0^{\circ}

為同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，求

θ

的弧度量為 ____。

求函數

y = 4 sin (3 x + \frac{π}{6}) + 2

的最小值為 ____。

在

0 \leq x \leq 4 π

範圍內，求方程式

sin x = \frac{3}{2}

，所有解的和為 ____。

求方程式

sin x = \frac{x}{5}

解的個數為 ____。

圖中

A B ⌢

和

C D ⌢

分別是兩同心圓上等圓心角的弧，若弧長

A B ⌢ = 40

公分，弧長

C D ⌢ = 100

公分，

\overline{A D} = \overline{B C} = 30

公分，則區域

A B C D

的面積為 ____ 平方公分。

載入中...

填充第 12 題（第 22～23 題）　有一直徑

40

公尺的圓形摩天輪，其中心軸高

22

公尺，逆時針方向運轉一圈需時

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，小明恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，小明離地的高度可表為

y = a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

，其中

a

、

b

都是正數。

(1) 求實數

(a, b, c)

的值為 ____。

載入中...

(2) 運轉

5

分鐘後，小明離地的高度為 ____ 公尺。

在

0 \leq x \leq 4 π

範圍內，解不等式

sin x \leq \frac{1}{2}

，答：____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2○

3×

4○

5○

6×

7○

8○

9×

10×

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

- \frac{360}{π}

第 13 題

4

第 14 題

9

第 15 題

\frac{11 π}{6}

第 16 題

- \frac{4}{5}

第 17 題

\frac{4 π}{9}

第 18 題

- 2

第 19 題

6 π

第 20 題

3

第 21 題

2100

第 22 題

(20, \frac{2 π}{15}, 22)

第 23 題

32

第 24 題

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{13 π}{6}

或

\frac{17 π}{6} \leq x \leq 4 π

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01是非 1～5（原卷是非甲 (1)～(5)）：弧度量的基本觀念

第 1 題○

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx \frac{18 0 ^{\circ}}{3.14} \approx 57. 3^{\circ}

，在

5 0^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間。

也可以這樣想：

6 0^{\circ} = \frac{π}{3} \approx 1.047

弳，比

1

弳略大；

5 0^{\circ} = \frac{5 π}{18} \approx 0.873

弳，比

1

弳小。

第 2 題○兩個角相差

2 π

的整數倍時，終邊相同，互為同界角。

π - (- π) = 2 π

，所以

π

與

- π

互為同界角。

兩個角的終邊都落在

x

軸的負向：一個逆時針轉半圈，一個順時針轉半圈。

第 3 題×

- 3

弳是順時針轉

3

弳。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 3 < π \approx 3.14

，順時針轉超過

\frac{π}{2}

、還不到

π

，終邊落在第三象限，不是第四象限。

換成度：

- 3

弳約

- 171. 9^{\circ}

，與

188. 1^{\circ}

是同界角，在第三象限。順時針轉時，先經過第四象限（

0

到

- \frac{π}{2}

），再進入第三象限。

第 4 題○弧長

s

、半徑

r

、圓心角

θ

（弳）的關係是

s = r θ

。

3 = 1 \times θ

，所以

θ = 3

弳。

3

弳比半圓的

π \approx 3.14

弳略小，是合理的扇形。

第 5 題○

π^{\circ}

是「

π

度」，約

3.1 4^{\circ}

，不是

π

弳。

0^{\circ} < 3.1 4^{\circ} < 3 0^{\circ}

，而銳角的正弦隨角度增加而變大，所以

sin 0^{\circ} < sin π^{\circ} < sin 3 0^{\circ}

，即

0 < sin π^{\circ} < 0.5

。

若把它看成

sin π

（弳）會得到

0

，就會誤判為錯。角的右上角有「

^{\circ}

」就是度。

sin π^{\circ}

約為

0.055

。

π 弳等於一百八十度，一弳大約五十七度；判斷象限時把 π 當成約三點一四來估，並看清楚角的單位是度還是弳。

02是非 6～10（原卷是非乙 (6)～(10)）：函數 y＝2 sin 3x 的圖形

第 6 題×

f (\frac{π}{2}) = 2 sin \frac{3 π}{2} = 2 \times (- 1) = - 2

，這是最小值，不是最大值。

最大值

2

出現在

3 x = \frac{π}{2}

，也就是

x = \frac{π}{6}

（以及每隔一個週期的位置）。

第 7 題○

y = a sin b x

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

。這裡

b = 3

，週期是

\frac{2 π}{3}

。

第 8 題○

x = \frac{π}{6}

時，

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

，是圖形的最高點。正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，所以圖形對稱於直線

x = \frac{π}{6}

。

y = sin x

的圖形對稱於直線

x = \frac{π}{2}

；把圖形水平方向縮成

\frac{1}{3}

倍，對稱軸就變成

x = \frac{π}{6}

。

第 9 題×

f (2) = 2 sin 6

，這裡的

6

是

6

弳。

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 6 < 2 π \approx 6.28

，

6

弳在第四象限，正弦是負的，所以

f (2) < 0

。

6

弳約

343. 8^{\circ}

，

sin 6 \approx - 0.279

，

f (2) \approx - 0.559

。

第 10 題×平移只改變圖形的位置，不改變形狀。

y = 2 sin 3 x

的振幅是

2

（最高點與最低點的高度差是

4

），

y = sin 3 x

的振幅是

1

（高度差是

2

），怎麼平移都不會重合。

兩者的週期相同，都是

\frac{2 π}{3}

；要重合還得把圖形上下方向縮成

\frac{1}{2}

倍，那是伸縮，不是平移。

正弦型函數的週期只看自變數的係數，振幅只看前面的係數；代數字進去時，沒有寫度的數就是弳。

03填充 11～15（原卷填充 1～5，答案格 A～E）：特殊角、弧度與度、扇形、圖形

第 11 題

\frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}

，在第二象限，正弦是正的，參考角是

6 0^{\circ}

。所以

sin \frac{2 π}{3} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。

第 12 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

1

弳

= \frac{180}{π}

度。

- 2

弳

= - 2 \times \frac{180}{π} = - \frac{360}{π}

度。

數值約為

- 114.6

度。

- 2

不含

π

，所以換成度之後

π

會留在分母，不要寫成

- 360

度。

第 13 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長。設半徑為

r

，

24 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 12 = 6 r

，所以

r = 4

。

此時圓心角是

\frac{12}{4} = 3

弳，小於

2 π

，扇形確實存在。

第 14 題圖形的最高點高度是

2

、最低點是

- 2

，而

a > 0

，所以振幅

a = 2

。圖形從原點出發，畫完一個週期時剛好回到

x

軸上的

\frac{2 π}{7}

，所以週期是

\frac{2 π}{7}

。

y = a sin b x

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

，由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{7}

得

b = 7

，所以

a + b = 2 + 7 = 9

。

\frac{2 π}{7}

標在一個週期的終點（圖形先上到

2

、中間穿過

x

軸、下到

- 2

、再回到

x

軸的那一點），不是中間穿過

x

軸的那一點。

第 15 題

y = sin x

的圖形往右平移

h

單位，得到

y = sin (x - h)

。要它與

y = sin (x + \frac{π}{6})

是同一個圖形。

y = sin (x + \frac{π}{6})

是

y = sin x

往左平移

\frac{π}{6}

；而正弦函數的週期是

2 π

，往左移

\frac{π}{6}

與往右移

2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}

得到的圖形相同。

0 < \frac{11 π}{6} < 2 π

符合條件，所以

h = \frac{11 π}{6}

。

檢查：

sin (x - \frac{11 π}{6}) = sin (x - \frac{11 π}{6} + 2 π) = sin (x + \frac{π}{6})

。往右平移的量在

0

到

2 π

之間只有這一個。

扇形面積等於二分之一乘半徑乘弧長；看圖求正弦型函數時，高度給振幅、走完一個波的寬度給週期；往左平移可以換成往右平移一個週期減去那個量。

04填充 16～20（原卷填充 6～10，答案格 F～J）：三角函數值、同界角、最小值、方程式

第 16 題角

π + θ

的終邊與角

θ

的終邊方向相反（多轉半圈），所以

cos (π + θ) = - cos θ

。由

- cos θ = \frac{3}{5}

得

cos θ = - \frac{3}{5}

。

sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

。又

π < θ < \frac{3 π}{2}

是第三象限角，正弦是負的，所以

sin θ = - \frac{4}{5}

。

第三象限的餘弦也是負的，與

cos θ = - \frac{3}{5}

相符。

第 17 題同界角相差

36 0^{\circ}

的整數倍。

- 100 0^{\circ} + 36 0^{\circ} \times 3 = 8 0^{\circ}

，在

0^{\circ}

與

36 0^{\circ}

之間。換成弧度：

8 0^{\circ} = 80 \times \frac{π}{180} = \frac{4 π}{9}

。

加

2

圈得

- 28 0^{\circ}

還是負的，加

3

圈才落在範圍內。題目要的是弧度量，不要寫

8 0^{\circ}

。

第 18 題不論

x

是多少，

- 1 \leq sin (3 x + \frac{π}{6}) \leq 1

，而且

- 1

取得到。所以最小值是

4 \times (- 1) + 2 = - 2

。

括號裡的

3

與

\frac{π}{6}

只影響週期與左右位置，不影響最小值。最大值是

4 + 2 = 6

。

第 19 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

（參考角

\frac{π}{3}

，在第一、二象限）。正弦函數的週期是

2 π

，所以在

2 π \leq x \leq 4 π

內的解是各加

2 π

：

\frac{7 π}{3}

與

\frac{8 π}{3}

。四個解的和

= \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} + \frac{7 π}{3} + \frac{8 π}{3} = \frac{18 π}{3} = 6 π

。

範圍是兩個週期，所以有

4

個解，不是

2

個。每一個週期內的兩個解對稱於最高點的位置，第一對的和是

π

，第二對的和是

5 π

。

第 20 題解的個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = \frac{x}{5}

的交點個數。

x = 0

是一個交點。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只可能在

- 5 \leq x \leq 5

。先看

x > 0

（

π \approx 3.14

，

2 π \approx 6.28

）：在

0 < x \leq π

，

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

高於直線的

\frac{π}{10} \approx 0.314

，

x = π

時

sin x = 0

低於直線的

0.628

，而且在

0 < x \leq \frac{π}{2}

，正弦圖形一路在直線上方（從原點出發時正弦圖形比直線陡），沒有交點；在

\frac{π}{2} \leq x \leq π

，正弦往下、直線往上，只會交一次，所以這一段有

1

個交點；在

π < x \leq 5

，

5 < 2 π

，所以

sin x < 0

而直線為正，沒有交點。

x > 0

共

1

個。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

1

個。合計

1 + 1 + 1 = 3

個。

直線在

x = 5

時高度剛好到

1

，之後就超出正弦函數的範圍；而

5

還不到

2 π

，正弦函數的第二個波峰來不及出現。不要漏掉

x = 0

與負的那一個。

多轉半圈正弦與餘弦都變號；解正弦方程式先在一個週期內找，再每次加一個週期；方程式的解的個數可以改成數兩個圖形的交點。

05填充 21～24（原卷填充 11～13，答案格 K～N）：環狀扇形、摩天輪、正弦不等式

第 21 題設共同的圓心角是

θ

弳，內圓半徑是

r

公分，則外圓半徑是

r + 30

公分。弧長等於半徑乘圓心角：

r θ = 40

，

(r + 30) θ = 100

。兩式相減得

30 θ = 60

，

θ = 2

，所以

r = 20

，外圓半徑

50

。區域

A B C D

是大扇形減去小扇形：

\frac{1}{2} \cdot 5 0^{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2 0^{2} \cdot 2 = 2500 - 400 = 2100

（平方公分）。

也可以用「扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長」：

\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 100 - \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 40 = 2500 - 400 = 2100

。結果剛好等於

\frac{1}{2} \times (40 + 100) \times 30

，和梯形面積公式的樣子相同。

第 22 題

sin

的值在

- 1

與

1

之間，而

a > 0

，所以

y

的最大值是

a + c

、最小值是

- a + c

，兩者的平均是

c

、差的一半是

a

。摩天輪的中心軸高

22

公尺、半徑

\frac{40}{2} = 20

公尺，小明最高在

22 + 20 = 42

公尺、最低在

22 - 20 = 2

公尺，所以

c = 22

，

a = 20

。轉一圈

15

分鐘就是函數的週期：

\frac{2 π}{b} = 15

，

b = \frac{2 π}{15}

。所以

(a, b, c) = (20, \frac{2 π}{15}, 22)

。

檢查：

x = 0

時

y = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 22 = 2

，是最低點，與「開始時坐在離地最近的位置」相符。題目給的

40

是直徑，振幅是半徑

20

。

第 23 題把

x = 5

代入

y = 20 sin (\frac{2 π}{15} x - \frac{π}{2}) + 22

：括號裡是

\frac{2 π}{3} - \frac{π}{2} = \frac{π}{6}

，所以

y = 20 sin \frac{π}{6} + 22 = 20 \cdot \frac{1}{2} + 22 = 32

（公尺）。

5

分鐘是三分之一圈（轉了

12 0^{\circ}

），從最低點出發已經越過中心軸的高度，所以比

22

公尺高是合理的。

第 24 題先解等式：在

0 \leq x \leq 4 π

內，

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

，以及各加

2 π

的

\frac{13 π}{6}

、

\frac{17 π}{6}

。再看

y = sin x

的圖形與水平線

y = \frac{1}{2}

：圖形在

\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}

與

\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}

這兩段高於水平線（中間分別有最高點

x = \frac{π}{2}

、

\frac{5 π}{2}

），其餘地方都不高於水平線。不等式含等號，端點要取，所以解為

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{13 π}{6}

或

\frac{17 π}{6} \leq x \leq 4 π

。

中間那一段

\frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{13 π}{6}

跨過

x = 2 π

，是連在一起的一段，不要拆開也不要漏掉。頭尾兩段要記得受範圍

0 \leq x \leq 4 π

的限制。

同圓心角的兩段弧，弧長相減等於半徑差乘圓心角；週期性模型裡，上下平移量是最高與最低的平均、振幅是兩者差的一半；解正弦不等式先解等式，再看圖形在水平線的上方還是下方。

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溪湖高中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

原卷填充第 5 題（本頁第 15 題）：往左平移六分之 π 要改寫成往右平移，答案是兩 π 減去六分之 π。原卷填充第 13 題（本頁第 24 題）：範圍是兩個週期，解有三段，中間那一段跨過兩 π。原卷填充第 10 題（本頁第 20 題）：要畫出正弦函數與直線的圖形數交點，別漏掉原點與負的那一個。原卷是非第 (5) 題（本頁第 5 題）：角的單位是度，不是弳。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

溪湖高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、是非題（1 格 2 分）（正確的請打「○」，錯的打「×」）（本頁第 1～10 題依序為原卷是非題 (1)～(10)）

是非題甲（第 1～5 題）　下列哪個選項是正確的請打「○」，錯的打「×」。

5 0^{\circ} < 1

弳

< 6 0^{\circ}

。

廣義角

π

與

- π

互為同界角。

- 3

弳是第四象限角。

半徑為

1

，弧長為

3

的扇形之圓心角為

3

弳。

0 < sin π^{\circ} < 0.5

。

是非題乙（第 6～10 題）　關於函數

f (x) = y = 2 sin 3 x

，下列哪個選項是正確的請打「○」，錯的打「×」。

f (x)

在

x = \frac{π}{2}

時有最大值

週期為

\frac{2 π}{3}

圖形對稱於直線

x = \frac{π}{6}

f (2) > 0

圖形經過左右或上下平移後會與

y = sin 3 x

的圖形重合

二、填充題（10 格內，1 格 6 分，超過 1 格 5 分，共 80 分，全對才給分）（本頁第 11～24 題依序為原卷填充題的 1～11、12(1)、12(2)、13，即答案格 A～N）

sin \frac{2 π}{3} =

____。

- 2

弳

=

____ 度。

若一扇形的面積為

24

且弧長為

12

，則其半徑為 ____。

已知右圖為

y = a sin b x

一個週期的圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，求

a + b =

____。

載入中...

設函數

y = sin (x + \frac{π}{6})

的圖形可由

y = sin x

的圖形往右平移

h

單位後得到，且

0 < h < 2 π

，求

h

的值 ____。

已知

cos (π + θ) = \frac{3}{5}

，且

π < θ < \frac{3 π}{2}

，求

sin θ

的值 ____。

在坐標平面上，若

θ

與

- 100 0^{\circ}

為同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，求

θ

的弧度量為 ____。

求函數

y = 4 sin (3 x + \frac{π}{6}) + 2

的最小值為 ____。

在

0 \leq x \leq 4 π

範圍內，求方程式

sin x = \frac{3}{2}

，所有解的和為 ____。

求方程式

sin x = \frac{x}{5}

解的個數為 ____。

圖中

A B ⌢

和

C D ⌢

分別是兩同心圓上等圓心角的弧，若弧長

A B ⌢ = 40

公分，弧長

C D ⌢ = 100

公分，

\overline{A D} = \overline{B C} = 30

公分，則區域

A B C D

的面積為 ____ 平方公分。

載入中...

填充第 12 題（第 22～23 題）　有一直徑

40

公尺的圓形摩天輪，其中心軸高

22

公尺，逆時針方向運轉一圈需時

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，小明恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，小明離地的高度可表為

y = a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

，其中

a

、

b

都是正數。

(1) 求實數

(a, b, c)

的值為 ____。

載入中...

(2) 運轉

5

分鐘後，小明離地的高度為 ____ 公尺。

在

0 \leq x \leq 4 π

範圍內，解不等式

sin x \leq \frac{1}{2}

，答：____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2○

3×

4○

5○

6×

7○

8○

9×

10×

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

- \frac{360}{π}

第 13 題

4

第 14 題

9

第 15 題

\frac{11 π}{6}

第 16 題

- \frac{4}{5}

第 17 題

\frac{4 π}{9}

第 18 題

- 2

第 19 題

6 π

第 20 題

3

第 21 題

2100

第 22 題

(20, \frac{2 π}{15}, 22)

第 23 題

32

第 24 題

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{13 π}{6}

或

\frac{17 π}{6} \leq x \leq 4 π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01是非 1～5（原卷是非甲 (1)～(5)）：弧度量的基本觀念

第 1 題○

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx \frac{18 0 ^{\circ}}{3.14} \approx 57. 3^{\circ}

，在

5 0^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間。

也可以這樣想：

6 0^{\circ} = \frac{π}{3} \approx 1.047

弳，比

1

弳略大；

5 0^{\circ} = \frac{5 π}{18} \approx 0.873

弳，比

1

弳小。

第 2 題○兩個角相差

2 π

的整數倍時，終邊相同，互為同界角。

π - (- π) = 2 π

，所以

π

與

- π

互為同界角。

兩個角的終邊都落在

x

軸的負向：一個逆時針轉半圈，一個順時針轉半圈。

第 3 題×

- 3

弳是順時針轉

3

弳。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 3 < π \approx 3.14

，順時針轉超過

\frac{π}{2}

、還不到

π

，終邊落在第三象限，不是第四象限。

換成度：

- 3

弳約

- 171. 9^{\circ}

，與

188. 1^{\circ}

是同界角，在第三象限。順時針轉時，先經過第四象限（

0

到

- \frac{π}{2}

），再進入第三象限。

第 4 題○弧長

s

、半徑

r

、圓心角

θ

（弳）的關係是

s = r θ

。

3 = 1 \times θ

，所以

θ = 3

弳。

3

弳比半圓的

π \approx 3.14

弳略小，是合理的扇形。

第 5 題○

π^{\circ}

是「

π

度」，約

3.1 4^{\circ}

，不是

π

弳。

0^{\circ} < 3.1 4^{\circ} < 3 0^{\circ}

，而銳角的正弦隨角度增加而變大，所以

sin 0^{\circ} < sin π^{\circ} < sin 3 0^{\circ}

，即

0 < sin π^{\circ} < 0.5

。

若把它看成

sin π

（弳）會得到

0

，就會誤判為錯。角的右上角有「

^{\circ}

」就是度。

sin π^{\circ}

約為

0.055

。

π 弳等於一百八十度，一弳大約五十七度；判斷象限時把 π 當成約三點一四來估，並看清楚角的單位是度還是弳。

02是非 6～10（原卷是非乙 (6)～(10)）：函數 y＝2 sin 3x 的圖形

第 6 題×

f (\frac{π}{2}) = 2 sin \frac{3 π}{2} = 2 \times (- 1) = - 2

，這是最小值，不是最大值。

最大值

2

出現在

3 x = \frac{π}{2}

，也就是

x = \frac{π}{6}

（以及每隔一個週期的位置）。

第 7 題○

y = a sin b x

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

。這裡

b = 3

，週期是

\frac{2 π}{3}

。

第 8 題○

x = \frac{π}{6}

時，

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

，是圖形的最高點。正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，所以圖形對稱於直線

x = \frac{π}{6}

。

y = sin x

的圖形對稱於直線

x = \frac{π}{2}

；把圖形水平方向縮成

\frac{1}{3}

倍，對稱軸就變成

x = \frac{π}{6}

。

第 9 題×

f (2) = 2 sin 6

，這裡的

6

是

6

弳。

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 6 < 2 π \approx 6.28

，

6

弳在第四象限，正弦是負的，所以

f (2) < 0

。

6

弳約

343. 8^{\circ}

，

sin 6 \approx - 0.279

，

f (2) \approx - 0.559

。

第 10 題×平移只改變圖形的位置，不改變形狀。

y = 2 sin 3 x

的振幅是

2

（最高點與最低點的高度差是

4

），

y = sin 3 x

的振幅是

1

（高度差是

2

），怎麼平移都不會重合。

兩者的週期相同，都是

\frac{2 π}{3}

；要重合還得把圖形上下方向縮成

\frac{1}{2}

倍，那是伸縮，不是平移。

正弦型函數的週期只看自變數的係數，振幅只看前面的係數；代數字進去時，沒有寫度的數就是弳。

03填充 11～15（原卷填充 1～5，答案格 A～E）：特殊角、弧度與度、扇形、圖形

第 11 題

\frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}

，在第二象限，正弦是正的，參考角是

6 0^{\circ}

。所以

sin \frac{2 π}{3} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。

第 12 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

1

弳

= \frac{180}{π}

度。

- 2

弳

= - 2 \times \frac{180}{π} = - \frac{360}{π}

度。

數值約為

- 114.6

度。

- 2

不含

π

，所以換成度之後

π

會留在分母，不要寫成

- 360

度。

第 13 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長。設半徑為

r

，

24 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 12 = 6 r

，所以

r = 4

。

此時圓心角是

\frac{12}{4} = 3

弳，小於

2 π

，扇形確實存在。

第 14 題圖形的最高點高度是

2

、最低點是

- 2

，而

a > 0

，所以振幅

a = 2

。圖形從原點出發，畫完一個週期時剛好回到

x

軸上的

\frac{2 π}{7}

，所以週期是

\frac{2 π}{7}

。

y = a sin b x

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

，由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{7}

得

b = 7

，所以

a + b = 2 + 7 = 9

。

\frac{2 π}{7}

標在一個週期的終點（圖形先上到

2

、中間穿過

x

軸、下到

- 2

、再回到

x

軸的那一點），不是中間穿過

x

軸的那一點。

第 15 題

y = sin x

的圖形往右平移

h

單位，得到

y = sin (x - h)

。要它與

y = sin (x + \frac{π}{6})

是同一個圖形。

y = sin (x + \frac{π}{6})

是

y = sin x

往左平移

\frac{π}{6}

；而正弦函數的週期是

2 π

，往左移

\frac{π}{6}

與往右移

2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}

得到的圖形相同。

0 < \frac{11 π}{6} < 2 π

符合條件，所以

h = \frac{11 π}{6}

。

檢查：

sin (x - \frac{11 π}{6}) = sin (x - \frac{11 π}{6} + 2 π) = sin (x + \frac{π}{6})

。往右平移的量在

0

到

2 π

之間只有這一個。

04填充 16～20（原卷填充 6～10，答案格 F～J）：三角函數值、同界角、最小值、方程式

第 16 題角

π + θ

的終邊與角

θ

的終邊方向相反（多轉半圈），所以

cos (π + θ) = - cos θ

。由

- cos θ = \frac{3}{5}

得

cos θ = - \frac{3}{5}

。

sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

。又

π < θ < \frac{3 π}{2}

是第三象限角，正弦是負的，所以

sin θ = - \frac{4}{5}

。

第三象限的餘弦也是負的，與

cos θ = - \frac{3}{5}

相符。

第 17 題同界角相差

36 0^{\circ}

的整數倍。

- 100 0^{\circ} + 36 0^{\circ} \times 3 = 8 0^{\circ}

，在

0^{\circ}

與

36 0^{\circ}

之間。換成弧度：

8 0^{\circ} = 80 \times \frac{π}{180} = \frac{4 π}{9}

。

加

2

圈得

- 28 0^{\circ}

還是負的，加

3

圈才落在範圍內。題目要的是弧度量，不要寫

8 0^{\circ}

。

第 18 題不論

x

是多少，

- 1 \leq sin (3 x + \frac{π}{6}) \leq 1

，而且

- 1

取得到。所以最小值是

4 \times (- 1) + 2 = - 2

。

括號裡的

3

與

\frac{π}{6}

只影響週期與左右位置，不影響最小值。最大值是

4 + 2 = 6

。

第 19 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

（參考角

\frac{π}{3}

，在第一、二象限）。正弦函數的週期是

2 π

，所以在

2 π \leq x \leq 4 π

內的解是各加

2 π

：

\frac{7 π}{3}

與

\frac{8 π}{3}

。四個解的和

= \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} + \frac{7 π}{3} + \frac{8 π}{3} = \frac{18 π}{3} = 6 π

。

範圍是兩個週期，所以有

4

個解，不是

2

個。每一個週期內的兩個解對稱於最高點的位置，第一對的和是

π

，第二對的和是

5 π

。

第 20 題解的個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = \frac{x}{5}

的交點個數。

x = 0

是一個交點。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只可能在

- 5 \leq x \leq 5

。先看

x > 0

（

π \approx 3.14

，

2 π \approx 6.28

）：在

0 < x \leq π

，

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

高於直線的

\frac{π}{10} \approx 0.314

，

x = π

時

sin x = 0

低於直線的

0.628

，而且在

0 < x \leq \frac{π}{2}

，正弦圖形一路在直線上方（從原點出發時正弦圖形比直線陡），沒有交點；在

\frac{π}{2} \leq x \leq π

，正弦往下、直線往上，只會交一次，所以這一段有

1

個交點；在

π < x \leq 5

，

5 < 2 π

，所以

sin x < 0

而直線為正，沒有交點。

x > 0

共

1

個。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

1

個。合計

1 + 1 + 1 = 3

個。

直線在

x = 5

時高度剛好到

1

，之後就超出正弦函數的範圍；而

5

還不到

2 π

，正弦函數的第二個波峰來不及出現。不要漏掉

x = 0

與負的那一個。

多轉半圈正弦與餘弦都變號；解正弦方程式先在一個週期內找，再每次加一個週期；方程式的解的個數可以改成數兩個圖形的交點。

05填充 21～24（原卷填充 11～13，答案格 K～N）：環狀扇形、摩天輪、正弦不等式

第 21 題設共同的圓心角是

θ

弳，內圓半徑是

r

公分，則外圓半徑是

r + 30

公分。弧長等於半徑乘圓心角：

r θ = 40

，

(r + 30) θ = 100

。兩式相減得

30 θ = 60

，

θ = 2

，所以

r = 20

，外圓半徑

50

。區域

A B C D

是大扇形減去小扇形：

\frac{1}{2} \cdot 5 0^{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2 0^{2} \cdot 2 = 2500 - 400 = 2100

（平方公分）。

也可以用「扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長」：

\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 100 - \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 40 = 2500 - 400 = 2100

。結果剛好等於

\frac{1}{2} \times (40 + 100) \times 30

，和梯形面積公式的樣子相同。

第 22 題

sin

的值在

- 1

與

1

之間，而

a > 0

，所以

y

的最大值是

a + c

、最小值是

- a + c

，兩者的平均是

c

、差的一半是

a

。摩天輪的中心軸高

22

公尺、半徑

\frac{40}{2} = 20

公尺，小明最高在

22 + 20 = 42

公尺、最低在

22 - 20 = 2

公尺，所以

c = 22

，

a = 20

。轉一圈

15

分鐘就是函數的週期：

\frac{2 π}{b} = 15

，

b = \frac{2 π}{15}

。所以

(a, b, c) = (20, \frac{2 π}{15}, 22)

。

檢查：

x = 0

時

y = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 22 = 2

，是最低點，與「開始時坐在離地最近的位置」相符。題目給的

40

是直徑，振幅是半徑

20

。

第 23 題把

x = 5

代入

y = 20 sin (\frac{2 π}{15} x - \frac{π}{2}) + 22

：括號裡是

\frac{2 π}{3} - \frac{π}{2} = \frac{π}{6}

，所以

y = 20 sin \frac{π}{6} + 22 = 20 \cdot \frac{1}{2} + 22 = 32

（公尺）。

5

分鐘是三分之一圈（轉了

12 0^{\circ}

），從最低點出發已經越過中心軸的高度，所以比

22

公尺高是合理的。

第 24 題先解等式：在

0 \leq x \leq 4 π

內，

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

，以及各加

2 π

的

\frac{13 π}{6}

、

\frac{17 π}{6}

。再看

y = sin x

的圖形與水平線

y = \frac{1}{2}

：圖形在

\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}

與

\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}

這兩段高於水平線（中間分別有最高點

x = \frac{π}{2}

、

\frac{5 π}{2}

），其餘地方都不高於水平線。不等式含等號，端點要取，所以解為

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{13 π}{6}

或

\frac{17 π}{6} \leq x \leq 4 π

。

中間那一段

\frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{13 π}{6}

跨過

x = 2 π

，是連在一起的一段，不要拆開也不要漏掉。頭尾兩段要記得受範圍

0 \leq x \leq 4 π

的限制。

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題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

溪湖高中 112 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 24 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01是非 1～5（原卷是非甲 (1)～(5)）：弧度量的基本觀念

02是非 6～10（原卷是非乙 (6)～(10)）：函數 y＝2 sin 3x 的圖形

03填充 11～15（原卷填充 1～5，答案格 A～E）：特殊角、弧度與度、扇形、圖形

04填充 16～20（原卷填充 6～10，答案格 F～J）：三角函數值、同界角、最小值、方程式

05填充 21～24（原卷填充 11～13，答案格 K～N）：環狀扇形、摩天輪、正弦不等式

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溪湖高中 112 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 112 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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溪湖高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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