段考詳解範圍：直線與圓（直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線的關係）

溪湖高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

全卷 15 題填充，第 12 題分 (1)(2) 兩格，共 16 格；原卷未印大題名稱，答案卷的給分表：答對 1～16 格依序得 9、18、27、36、44、52、60、65、70、75、80、84、88、92、96、100 分。本頁第 1～11 題為原卷第 1～11 題，第 12、13 題為原卷第 12 題的 (1)(2)，第 14～16 題為原卷第 13～15 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

填充題

若

A (4, 6)

，

B (- 2, - 2)

，試求

\overline{A B}

中垂線方程式 ____ (以

a x + b y + c = 0

一般式表示) 【課本 p97】

已知過圓

C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + b = 0

上一點

(- 1, c)

的切線為

2 x + y + a = 0

，則

a + 4 b + c =

____ 【課本 p138】

已知直線

L : 3 x + y - 5 = 0

與圓

C : (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 35

相交於

A (x_{1}, y_{1})

，

B (x_{2}, y_{2})

兩點，則

x_{1} + x_{2} =

____。【課本 p135】

設圓 C 的圓心在直線

3 x - y = 1

上，又此圓通過

A (1, 0)

，

B (3, 2)

兩點，設圓 C 的方程式為

x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0

，求

(a, b, c) =

____。【課本 p147】

坐標平面上，已知直線

L : 3 x - 4 y - 14 = 0

，設點

A (3, 5)

對於直線

L

的對稱點為點

B

，則點

B

的坐標為何？____。【課本例題 p99】

設

A (0, 0)

與

B (30, 0)

，滿足

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 1

之動點 P 的軌跡方程式為一個阿波羅尼斯圓(Apollonius circle)，求此圓的標準式為 ____ 【課本 p120】

設

Γ

為坐標平面上通過

A (7, 0)

與

B (0, \frac{7}{2})

兩點的圓，試求

Γ

的半徑最小值 ____

已知點

P (a, b)

在圓

C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0

上，若

(a + 3)^{2} + (b - 5)^{2}

之最大值為

M

，最小值為

m

，試求

(M, m) =

____。【課本 p124】

設三角形

A B C

的三個頂點坐標分別為

A (- 1, 4)

，

B (3, 2)

，

C (1, 5)

，則

△ A B C

的垂心坐標為 ____。（垂心：三邊高的交點）【課本 p112，習題 5】

已知圓

C : x^{2} + y^{2} - x - 3 y - 2 = 0

，若過原點

O (0, 0)

且斜率為

m

的直線和圓

C

相交於相異兩點

A

、

B

，且弦長

\overline{A B} = 4

，則斜率

m =

____ 【課本習題 p145】

過點

P (6, - 4)

且斜率為

m

的直線與圓

C : x^{2} + y^{2} + 8 x - 10 y + 16 = 0

有兩個交點，且兩交點位於不同的象限(位於 x 軸或 y 軸的交點不在任何一象限)，求斜率

m

的範圍 ____

原卷第 12 題（第 12～13 題）　在坐標平面上過點

P (7, 5)

且與圓

C : x^{2} + (y - 1)^{2} = 1

相切的直線 L 有兩條，其中一條切線與圓 C 的切點為點

A

，則

(1)

\overline{P A} =

____

(2) 切線 L 的方程式為 ____ (兩解)。以

a x + b y + c = 0

一般式表示【課本 140】

設 R 為二元一次聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ 3 x + 4 y - 27 \leq 0 x - 1 \geq 0 7 x - 4 y - 23 \leq 0

的解所形成區域，若已知直線

y - 3 = m (x - 5)

平分區域 R 的面積，求

m

的值 ____。【課本例題 p109】

△ A B C

中，設

A (- 2, 5)

、

B (- 2, - 3)

，若過 A 點的高所在之直線與過 C 點的中線交於點

P (1, 2)

，則 C 點坐標為 ____

設觀光勝地溪湖糖廠附近有一座 POKEMON GO 道館位於圓

C : x^{2} + y^{2} + 2 y - 7 = 0

的圓心處，且圓 C 的圓周上恰有 A、B、D、E 等四座補給站，若 A、B 這兩座補給站剛好在直線

L : 3 x - 4 y = d

上，且另兩座補給站 D、E 也恰好在另一條直線

M : 3 x - 4 y = e

上，並假設 A、B、D、E 等四座補給站所在處可形成一正方形 ABDE，則

d + e =

____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

3 x + 4 y - 11 = 0

第 2 題

9

第 3 題

2

第 4 題

(- 2, - 4, 1)

第 5 題

(9, - 3)

第 6 題

(x - 40)^{2} + y^{2} = 400

第 7 題

\frac{7 5}{4}

第 8 題

(8, 2)

第 9 題

(\frac{5}{4}, \frac{11}{2})

第 10 題

1

或

- 7

第 11 題

- 2 < m < - 1

第 12 題

8

第 13 題

3 x - 4 y - 1 = 0

，

5 x - 12 y + 25 = 0

第 14 題

\frac{1}{2}

第 15 題

(4, 3)

第 16 題

8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題（原卷第 1～4 題）：中垂線、圓上一點的切線、交點橫坐標和、求圓方程式

第 1 題

\overline{A B}

的中點是

(\frac{4 - 2}{2}, \frac{6 - 2}{2}) = (1, 2)

。

\overline{A B}

的斜率

\frac{- 2 - 6}{- 2 - 4} = \frac{4}{3}

，中垂線與它垂直，斜率是

- \frac{3}{4}

。中垂線

y - 2 = - \frac{3}{4} (x - 1)

，兩邊乘

4

：

4 y - 8 = - 3 x + 3

，即

3 x + 4 y - 11 = 0

。

檢查：

A

到直線的距離

\frac{∣12 + 24 - 11∣}{5} = 5

，

B

到直線的距離

\frac{∣ - 6 - 8 - 11∣}{5} = 5

，相等。

第 2 題配方：

(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 13 - b

，圓心

O^{'} (2, 3)

。切線與過切點的半徑垂直。切線

2 x + y + a = 0

的斜率是

- 2

，所以半徑的斜率是

\frac{1}{2}

：

\frac{c - 3}{- 1 - 2} = \frac{1}{2}

，得

c = \frac{3}{2}

。切點

(- 1, \frac{3}{2})

在切線上：

- 2 + \frac{3}{2} + a = 0

，

a = \frac{1}{2}

。切點也在圓上：

1 + \frac{9}{4} + 4 - 9 + b = 0

，

b = \frac{7}{4}

。所以

a + 4 b + c = \frac{1}{2} + 7 + \frac{3}{2} = 9

。

驗算：半徑平方

13 - b = \frac{45}{4}

；圓心到切線的距離

\frac{4 + 3 + \frac{1}{2}}{5} = \frac{15}{2 5}

，平方也是

\frac{45}{4}

，確實相切。

第 3 題由

L

得

y = 5 - 3 x

，代入圓：

(x + 2)^{2} + (4 - 3 x)^{2} = 35

，展開

x^{2} + 4 x + 4 + 9 x^{2} - 24 x + 16 = 35

，即

10 x^{2} - 20 x - 15 = 0

，也就是

2 x^{2} - 4 x - 3 = 0

。判別式

16 + 24 > 0

，有兩個交點，

x_{1}

、

x_{2}

是這個方程式的兩根，由根與係數的關係

x_{1} + x_{2} = \frac{4}{2} = 2

。

第 4 題圓心到

A

、

B

等距，所以在

\overline{A B}

的中垂線上。

\overline{A B}

中點

(2, 1)

，斜率

\frac{2 - 0}{3 - 1} = 1

，中垂線斜率

- 1

：

y - 1 = - (x - 2)

，即

x + y = 3

。與

3 x - y = 1

聯立：相加得

4 x = 4

，

x = 1

，

y = 2

，圓心

(1, 2)

。半徑平方

= (1 - 1)^{2} + (0 - 2)^{2} = 4

。圓為

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4

，展開

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0

，所以

(a, b, c) = (- 2, - 4, 1)

。

驗算：

B (3, 2)

代入

9 + 4 - 6 - 8 + 1 = 0

。

切線與過切點的半徑垂直；圓心一定在任一條弦的中垂線上。

02第 5～8 題（原卷第 5～8 題）：對稱點、阿波羅尼斯圓、半徑最小值、距離極值

第 5 題

L

的斜率是

\frac{3}{4}

，直線

A B

與

L

垂直，斜率

- \frac{4}{3}

：

y - 5 = - \frac{4}{3} (x - 3)

，即

4 x + 3 y = 27

。與

L : 3 x - 4 y = 14

聯立求垂足：第一式乘

4

、第二式乘

3

相加，

25 x = 150

，

x = 6

，

y = 1

。垂足

(6, 1)

是

\overline{A B}

的中點，所以

B = (2 \times 6 - 3, 2 \times 1 - 5) = (9, - 3)

。

驗算：

(9, - 3)

與

(3, 5)

連線斜率

\frac{- 8}{6} = - \frac{4}{3}

，與

L

的斜率

\frac{3}{4}

相乘為

- 1

；中點

(6, 1)

代入

18 - 4 - 14 = 0

。

第 6 題設

P (x, y)

。

\overline{P A} = 2 \overline{P B}

，兩邊平方：

x^{2} + y^{2} = 4 [(x - 30)^{2} + y^{2}]

。整理：

3 x^{2} + 3 y^{2} - 240 x + 3600 = 0

，即

x^{2} + y^{2} - 80 x + 1200 = 0

。配方：

(x - 40)^{2} + y^{2} = 1600 - 1200 = 400

。

圓心

(40, 0)

、半徑

20

。驗算：

x

軸上的

(20, 0)

到

A

、

B

距離

20

、

10

；

(60, 0)

到

A

、

B

距離

60

、

30

，比值都是

2 : 1

，而且都在這個圓上。

第 7 題

\overline{A B}

是圓

Γ

的一條弦，弦長不超過直徑，所以半徑

r \geq \frac{A B}{2}

；當

\overline{A B}

恰為直徑（圓心是

\overline{A B}

中點）時等號成立。

\overline{A B} = 7^{2} + (\frac{7}{2})^{2} = \frac{245}{4} = \frac{7 5}{2}

，所以半徑最小值是

\frac{7 5}{4}

。

第 8 題

(a + 3)^{2} + (b - 5)^{2}

是圓上的點

P

到

Q (- 3, 5)

的距離。圓配方：

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9

，圓心

O^{'} (1, 2)

，半徑

3

。

\overline{O^{'} Q} = 4^{2} + 3^{2} = 5 > 3

，

Q

在圓外。

P

在直線

O^{'} Q

與圓的兩個交點時分別最遠、最近：

M = 5 + 3 = 8

，

m = 5 - 3 = 2

。所以

(M, m) = (8, 2)

。

由三角形兩邊之和大於第三邊、兩邊之差小於第三邊：

5 - 3 \leq \overline{P Q} \leq 5 + 3

，等號在

P

、

O^{'}

、

Q

共線時成立。

圓上的點到圓外一點

Q

的距離介於「圓心到

Q

的距離減半徑」與「加半徑」之間。

03第 9～11 題（原卷第 9～11 題）：垂心、弦長、交點所在象限

第 9 題

\overline{B C}

的斜率

\frac{5 - 2}{1 - 3} = - \frac{3}{2}

，過

A

的高斜率

\frac{2}{3}

：

y - 4 = \frac{2}{3} (x + 1)

，即

- 2 x + 3 y = 14

。

\overline{A C}

的斜率

\frac{5 - 4}{1 + 1} = \frac{1}{2}

，過

B

的高斜率

- 2

：

y - 2 = - 2 (x - 3)

，即

2 x + y = 8

。兩式相加：

4 y = 22

，

y = \frac{11}{2}

，

x = \frac{8 - \frac{11}{2}}{2} = \frac{5}{4}

。垂心為

(\frac{5}{4}, \frac{11}{2})

。

驗算第三條高：

\overline{A B}

的斜率

- \frac{1}{2}

，垂心

H

與

C

連線的斜率

\frac{\frac{11}{2} - 5}{\frac{5}{4} - 1} = 2

，相乘為

- 1

，確實垂直。

第 10 題配方：

(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 2 = \frac{9}{2}

。半弦長

2

，所以圓心到直線的距離

d

滿足

d^{2} = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}

。直線

y = m x

即

m x - y = 0

：

d = \frac{\frac{m}{2} - \frac{3}{2}}{m ^{2} + 1}

，平方得

\frac{( m - 3 ) ^{2}}{4 ( m ^{2} + 1 )} = \frac{1}{2}

，

(m - 3)^{2} = 2 m^{2} + 2

，

m^{2} + 6 m - 7 = 0

，

(m + 7) (m - 1) = 0

，

m = 1

或

m = - 7

。

原點代入圓的左邊得

- 2 < 0

，原點在圓內，過原點的直線都和圓交於相異兩點，兩個值都合。

第 11 題配方：

(x + 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 25

，圓心

(- 4, 5)

，半徑

5

。圓心到

x

軸的距離是

5

，圓與

x

軸切於

(- 4, 0)

，其餘的點都在

x

軸上方；圓與

y

軸：令

x = 0

，

y^{2} - 10 y + 16 = 0

，

y = 2

或

8

。所以圓上不在坐標軸上的點，只會在第一象限（

x > 0

的那一小段弧）或第二象限。兩交點在不同象限

⟺

一個交點

x > 0

、一個

x < 0

，也就是兩交點連成的弦在圓內穿過

y

軸，穿過的位置在

(0, 2)

與

(0, 8)

之間（不含端點）。反過來，直線若在這兩點之間穿過

y

軸，穿過的點在圓內，兩交點分在

y

軸兩側。直線

y + 4 = m (x - 6)

的

y

截距是

- 4 - 6 m

，所以

2 < - 4 - 6 m < 8

，

6 < - 6 m < 12

，

- 2 < m < - 1

。

端點不取：

m = - 1

或

- 2

時有一個交點是

(0, 2)

或

(0, 8)

，在

y

軸上，不屬於任何象限。另外，過

P

與切點

(- 4, 0)

的直線斜率是

- \frac{2}{5}

，不在範圍內，不必另外排除。

弦長題先求弦心距：

d^{2} = r^{2} - (\frac{弦長}{2})^{2}

，再用點到直線距離公式列式。

04第 12～14 題（原卷第 12、13 題）：切線長與切線方程式、平分區域面積

第 12 題圓心

O^{'} (0, 1)

，半徑

1

。切線與半徑

\overline{O^{'} A}

垂直，

△ P A O^{'}

是直角三角形：

\overline{P A}^{2} = \overline{P O^{'}}^{2} - 1^{2} = (7^{2} + 4^{2}) - 1 = 64

，

\overline{P A} = 8

。

第 13 題過

P

的鉛直線

x = 7

與圓心距離

7 \neq = 1

，不是切線，所以設切線

y - 5 = k (x - 7)

，即

k x - y + 5 - 7 k = 0

。圓心

(0, 1)

到切線的距離等於半徑：

\frac{∣ - 1 + 5 - 7 k ∣}{k ^{2} + 1} = 1

，平方得

(4 - 7 k)^{2} = k^{2} + 1

，

48 k^{2} - 56 k + 15 = 0

，

(4 k - 3) (12 k - 5) = 0

，

k = \frac{3}{4}

或

\frac{5}{12}

。

k = \frac{3}{4}

：

4 y - 20 = 3 x - 21

，即

3 x - 4 y - 1 = 0

；

k = \frac{5}{12}

：

12 y - 60 = 5 x - 35

，即

5 x - 12 y + 25 = 0

。

驗算：圓心到

3 x - 4 y - 1 = 0

的距離

\frac{∣0 - 4 - 1∣}{5} = 1

，到

5 x - 12 y + 25 = 0

的距離

\frac{∣0 - 12 + 25∣}{13} = 1

。

第 14 題三條邊界線兩兩求交點：

x = 1

與

3 x + 4 y = 27

交於

(1, 6)

；

x = 1

與

7 x - 4 y = 23

交於

(1, - 4)

；

3 x + 4 y = 27

與

7 x - 4 y = 23

相加得

10 x = 50

，交於

(5, 3)

。區域 R 是以這三點為頂點的三角形。直線

y - 3 = m (x - 5)

通過頂點

(5, 3)

，要平分面積就要通過對邊的中點（兩個三角形同高、底相等）。對邊兩端

(1, 6)

、

(1, - 4)

的中點是

(1, 1)

，所以

m = \frac{3 - 1}{5 - 1} = \frac{1}{2}

。

過三角形頂點平分面積的直線，一定通過對邊的中點。

05第 15～16 題（原卷第 14、15 題）：高與中線、圓內接正方形

第 15 題過

C

的中線通過

\overline{A B}

的中點

N (- 2, 1)

，又通過

P (1, 2)

，斜率

\frac{2 - 1}{1 + 2} = \frac{1}{3}

，方程式

y - 1 = \frac{1}{3} (x + 2)

，

C

在這條線上。過

A

的高通過

A (- 2, 5)

與

P (1, 2)

，斜率

\frac{2 - 5}{1 + 2} = - 1

，它與

\overline{B C}

垂直，所以

\overline{B C}

的斜率是

1

：

C

在

y + 3 = x + 2

，即

y = x - 1

上。聯立

y = x - 1

與

y - 1 = \frac{1}{3} (x + 2)

：

x - 2 = \frac{x + 2}{3}

，

3 x - 6 = x + 2

，

x = 4

，

y = 3

。

C (4, 3)

。

驗算：

C (4, 3)

時中線斜率

\frac{3 - 1}{4 + 2} = \frac{1}{3}

，

\overline{B C}

的斜率

\frac{3 + 3}{4 + 2} = 1

，與

A P

的斜率

- 1

相乘為

- 1

。

第 16 題配方：

x^{2} + (y + 1)^{2} = 8

，圓心

(0, - 1)

，半徑

22

。正方形

A B D E

內接於圓，對角線是直徑

42

，邊長

= \frac{4 2}{2} = 4

。

\overline{A B}

在

L

上、

\overline{D E}

在

M

上，是正方形的一組對邊，兩線平行且距離

4

，圓心在正中間，到

L

、

M

的距離都是

2

。圓心代入

3 x - 4 y

得

4

，所以

\frac{∣4 - d ∣}{5} = 2

、

\frac{∣4 - e ∣}{5} = 2

，

d

、

e

是

4 + 10 = 14

與

4 - 10 = - 6

兩個值（

L

、

M

是不同的兩條線，各取一個）。

d + e = 14 + (- 6) = 8

。

驗算：弦心距

2

、半徑

22

，半弦長

8 - 4 = 2

，弦長

4

恰等於兩線距離，四個交點確實圍成正方形。

圓內接正方形的對角線是直徑；兩條平行的對邊到圓心的距離都是邊長的一半。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《直線與圓》單元冊 02・高一上

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常見問題

溪湖高中 112 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 112 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

原卷第 11 題（本頁第 11 題）要先看出圓切 x 軸、與 y 軸交於兩點，兩交點在不同象限就是直線在圓內穿過 y 軸，端點落在 y 軸上要排除。原卷第 2 題（本頁第 2 題）要用切線與半徑垂直先求出切點，再分別算 a、b、c。原卷第 12 題第 (2) 格兩條切線都要寫。原卷第 13 題（本頁第 14 題）要看出直線通過三角形的頂點，只要再過對邊中點。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：直線與圓（直線方程式、二元一次不等式、圓方程式、圓與直線的關係）

溪湖高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

填充題

若

A (4, 6)

，

B (- 2, - 2)

，試求

\overline{A B}

中垂線方程式 ____ (以

a x + b y + c = 0

一般式表示) 【課本 p97】

已知過圓

C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + b = 0

上一點

(- 1, c)

的切線為

2 x + y + a = 0

，則

a + 4 b + c =

____ 【課本 p138】

已知直線

L : 3 x + y - 5 = 0

與圓

C : (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 35

相交於

A (x_{1}, y_{1})

，

B (x_{2}, y_{2})

兩點，則

x_{1} + x_{2} =

____。【課本 p135】

設圓 C 的圓心在直線

3 x - y = 1

上，又此圓通過

A (1, 0)

，

B (3, 2)

兩點，設圓 C 的方程式為

x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0

，求

(a, b, c) =

____。【課本 p147】

坐標平面上，已知直線

L : 3 x - 4 y - 14 = 0

，設點

A (3, 5)

對於直線

L

的對稱點為點

B

，則點

B

的坐標為何？____。【課本例題 p99】

設

A (0, 0)

與

B (30, 0)

，滿足

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 1

之動點 P 的軌跡方程式為一個阿波羅尼斯圓(Apollonius circle)，求此圓的標準式為 ____ 【課本 p120】

設

Γ

為坐標平面上通過

A (7, 0)

與

B (0, \frac{7}{2})

兩點的圓，試求

Γ

的半徑最小值 ____

已知點

P (a, b)

在圓

C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0

上，若

(a + 3)^{2} + (b - 5)^{2}

之最大值為

M

，最小值為

m

，試求

(M, m) =

____。【課本 p124】

設三角形

A B C

的三個頂點坐標分別為

A (- 1, 4)

，

B (3, 2)

，

C (1, 5)

，則

△ A B C

的垂心坐標為 ____。（垂心：三邊高的交點）【課本 p112，習題 5】

已知圓

C : x^{2} + y^{2} - x - 3 y - 2 = 0

，若過原點

O (0, 0)

且斜率為

m

的直線和圓

C

相交於相異兩點

A

、

B

，且弦長

\overline{A B} = 4

，則斜率

m =

____ 【課本習題 p145】

過點

P (6, - 4)

且斜率為

m

的直線與圓

C : x^{2} + y^{2} + 8 x - 10 y + 16 = 0

有兩個交點，且兩交點位於不同的象限(位於 x 軸或 y 軸的交點不在任何一象限)，求斜率

m

的範圍 ____

原卷第 12 題（第 12～13 題）　在坐標平面上過點

P (7, 5)

且與圓

C : x^{2} + (y - 1)^{2} = 1

相切的直線 L 有兩條，其中一條切線與圓 C 的切點為點

A

，則

(1)

\overline{P A} =

____

(2) 切線 L 的方程式為 ____ (兩解)。以

a x + b y + c = 0

一般式表示【課本 140】

設 R 為二元一次聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ 3 x + 4 y - 27 \leq 0 x - 1 \geq 0 7 x - 4 y - 23 \leq 0

的解所形成區域，若已知直線

y - 3 = m (x - 5)

平分區域 R 的面積，求

m

的值 ____。【課本例題 p109】

△ A B C

中，設

A (- 2, 5)

、

B (- 2, - 3)

，若過 A 點的高所在之直線與過 C 點的中線交於點

P (1, 2)

，則 C 點坐標為 ____

設觀光勝地溪湖糖廠附近有一座 POKEMON GO 道館位於圓

C : x^{2} + y^{2} + 2 y - 7 = 0

的圓心處，且圓 C 的圓周上恰有 A、B、D、E 等四座補給站，若 A、B 這兩座補給站剛好在直線

L : 3 x - 4 y = d

上，且另兩座補給站 D、E 也恰好在另一條直線

M : 3 x - 4 y = e

上，並假設 A、B、D、E 等四座補給站所在處可形成一正方形 ABDE，則

d + e =

____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

3 x + 4 y - 11 = 0

第 2 題

9

第 3 題

2

第 4 題

(- 2, - 4, 1)

第 5 題

(9, - 3)

第 6 題

(x - 40)^{2} + y^{2} = 400

第 7 題

\frac{7 5}{4}

第 8 題

(8, 2)

第 9 題

(\frac{5}{4}, \frac{11}{2})

第 10 題

1

或

- 7

第 11 題

- 2 < m < - 1

第 12 題

8

第 13 題

3 x - 4 y - 1 = 0

，

5 x - 12 y + 25 = 0

第 14 題

\frac{1}{2}

第 15 題

(4, 3)

第 16 題

8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01第 1～4 題（原卷第 1～4 題）：中垂線、圓上一點的切線、交點橫坐標和、求圓方程式

第 1 題

\overline{A B}

的中點是

(\frac{4 - 2}{2}, \frac{6 - 2}{2}) = (1, 2)

。

\overline{A B}

的斜率

\frac{- 2 - 6}{- 2 - 4} = \frac{4}{3}

，中垂線與它垂直，斜率是

- \frac{3}{4}

。中垂線

y - 2 = - \frac{3}{4} (x - 1)

，兩邊乘

4

：

4 y - 8 = - 3 x + 3

，即

3 x + 4 y - 11 = 0

。

檢查：

A

到直線的距離

\frac{∣12 + 24 - 11∣}{5} = 5

，

B

到直線的距離

\frac{∣ - 6 - 8 - 11∣}{5} = 5

，相等。

第 2 題配方：

(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 13 - b

，圓心

O^{'} (2, 3)

。切線與過切點的半徑垂直。切線

2 x + y + a = 0

的斜率是

- 2

，所以半徑的斜率是

\frac{1}{2}

：

\frac{c - 3}{- 1 - 2} = \frac{1}{2}

，得

c = \frac{3}{2}

。切點

(- 1, \frac{3}{2})

在切線上：

- 2 + \frac{3}{2} + a = 0

，

a = \frac{1}{2}

。切點也在圓上：

1 + \frac{9}{4} + 4 - 9 + b = 0

，

b = \frac{7}{4}

。所以

a + 4 b + c = \frac{1}{2} + 7 + \frac{3}{2} = 9

。

驗算：半徑平方

13 - b = \frac{45}{4}

；圓心到切線的距離

\frac{4 + 3 + \frac{1}{2}}{5} = \frac{15}{2 5}

，平方也是

\frac{45}{4}

，確實相切。

第 3 題由

L

得

y = 5 - 3 x

，代入圓：

(x + 2)^{2} + (4 - 3 x)^{2} = 35

，展開

x^{2} + 4 x + 4 + 9 x^{2} - 24 x + 16 = 35

，即

10 x^{2} - 20 x - 15 = 0

，也就是

2 x^{2} - 4 x - 3 = 0

。判別式

16 + 24 > 0

，有兩個交點，

x_{1}

、

x_{2}

是這個方程式的兩根，由根與係數的關係

x_{1} + x_{2} = \frac{4}{2} = 2

。

第 4 題圓心到

A

、

B

等距，所以在

\overline{A B}

的中垂線上。

\overline{A B}

中點

(2, 1)

，斜率

\frac{2 - 0}{3 - 1} = 1

，中垂線斜率

- 1

：

y - 1 = - (x - 2)

，即

x + y = 3

。與

3 x - y = 1

聯立：相加得

4 x = 4

，

x = 1

，

y = 2

，圓心

(1, 2)

。半徑平方

= (1 - 1)^{2} + (0 - 2)^{2} = 4

。圓為

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4

，展開

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0

，所以

(a, b, c) = (- 2, - 4, 1)

。

驗算：

B (3, 2)

代入

9 + 4 - 6 - 8 + 1 = 0

。

切線與過切點的半徑垂直；圓心一定在任一條弦的中垂線上。

02第 5～8 題（原卷第 5～8 題）：對稱點、阿波羅尼斯圓、半徑最小值、距離極值

第 5 題

L

的斜率是

\frac{3}{4}

，直線

A B

與

L

垂直，斜率

- \frac{4}{3}

：

y - 5 = - \frac{4}{3} (x - 3)

，即

4 x + 3 y = 27

。與

L : 3 x - 4 y = 14

聯立求垂足：第一式乘

4

、第二式乘

3

相加，

25 x = 150

，

x = 6

，

y = 1

。垂足

(6, 1)

是

\overline{A B}

的中點，所以

B = (2 \times 6 - 3, 2 \times 1 - 5) = (9, - 3)

。

驗算：

(9, - 3)

與

(3, 5)

連線斜率

\frac{- 8}{6} = - \frac{4}{3}

，與

L

的斜率

\frac{3}{4}

相乘為

- 1

；中點

(6, 1)

代入

18 - 4 - 14 = 0

。

第 6 題設

P (x, y)

。

\overline{P A} = 2 \overline{P B}

，兩邊平方：

x^{2} + y^{2} = 4 [(x - 30)^{2} + y^{2}]

。整理：

3 x^{2} + 3 y^{2} - 240 x + 3600 = 0

，即

x^{2} + y^{2} - 80 x + 1200 = 0

。配方：

(x - 40)^{2} + y^{2} = 1600 - 1200 = 400

。

圓心

(40, 0)

、半徑

20

。驗算：

x

軸上的

(20, 0)

到

A

、

B

距離

20

、

10

；

(60, 0)

到

A

、

B

距離

60

、

30

，比值都是

2 : 1

，而且都在這個圓上。

第 7 題

\overline{A B}

是圓

Γ

的一條弦，弦長不超過直徑，所以半徑

r \geq \frac{A B}{2}

；當

\overline{A B}

恰為直徑（圓心是

\overline{A B}

中點）時等號成立。

\overline{A B} = 7^{2} + (\frac{7}{2})^{2} = \frac{245}{4} = \frac{7 5}{2}

，所以半徑最小值是

\frac{7 5}{4}

。

第 8 題

(a + 3)^{2} + (b - 5)^{2}

是圓上的點

P

到

Q (- 3, 5)

的距離。圓配方：

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9

，圓心

O^{'} (1, 2)

，半徑

3

。

\overline{O^{'} Q} = 4^{2} + 3^{2} = 5 > 3

，

Q

在圓外。

P

在直線

O^{'} Q

與圓的兩個交點時分別最遠、最近：

M = 5 + 3 = 8

，

m = 5 - 3 = 2

。所以

(M, m) = (8, 2)

。

由三角形兩邊之和大於第三邊、兩邊之差小於第三邊：

5 - 3 \leq \overline{P Q} \leq 5 + 3

，等號在

P

、

O^{'}

、

Q

共線時成立。

圓上的點到圓外一點

Q

的距離介於「圓心到

Q

的距離減半徑」與「加半徑」之間。

03第 9～11 題（原卷第 9～11 題）：垂心、弦長、交點所在象限

第 9 題

\overline{B C}

的斜率

\frac{5 - 2}{1 - 3} = - \frac{3}{2}

，過

A

的高斜率

\frac{2}{3}

：

y - 4 = \frac{2}{3} (x + 1)

，即

- 2 x + 3 y = 14

。

\overline{A C}

的斜率

\frac{5 - 4}{1 + 1} = \frac{1}{2}

，過

B

的高斜率

- 2

：

y - 2 = - 2 (x - 3)

，即

2 x + y = 8

。兩式相加：

4 y = 22

，

y = \frac{11}{2}

，

x = \frac{8 - \frac{11}{2}}{2} = \frac{5}{4}

。垂心為

(\frac{5}{4}, \frac{11}{2})

。

驗算第三條高：

\overline{A B}

的斜率

- \frac{1}{2}

，垂心

H

與

C

連線的斜率

\frac{\frac{11}{2} - 5}{\frac{5}{4} - 1} = 2

，相乘為

- 1

，確實垂直。

第 10 題配方：

(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 2 = \frac{9}{2}

。半弦長

2

，所以圓心到直線的距離

d

滿足

d^{2} = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}

。直線

y = m x

即

m x - y = 0

：

d = \frac{\frac{m}{2} - \frac{3}{2}}{m ^{2} + 1}

，平方得

\frac{( m - 3 ) ^{2}}{4 ( m ^{2} + 1 )} = \frac{1}{2}

，

(m - 3)^{2} = 2 m^{2} + 2

，

m^{2} + 6 m - 7 = 0

，

(m + 7) (m - 1) = 0

，

m = 1

或

m = - 7

。

原點代入圓的左邊得

- 2 < 0

，原點在圓內，過原點的直線都和圓交於相異兩點，兩個值都合。

第 11 題配方：

(x + 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 25

，圓心

(- 4, 5)

，半徑

5

。圓心到

x

軸的距離是

5

，圓與

x

軸切於

(- 4, 0)

，其餘的點都在

x

軸上方；圓與

y

軸：令

x = 0

，

y^{2} - 10 y + 16 = 0

，

y = 2

或

8

。所以圓上不在坐標軸上的點，只會在第一象限（

x > 0

的那一小段弧）或第二象限。兩交點在不同象限

⟺

一個交點

x > 0

、一個

x < 0

，也就是兩交點連成的弦在圓內穿過

y

軸，穿過的位置在

(0, 2)

與

(0, 8)

之間（不含端點）。反過來，直線若在這兩點之間穿過

y

軸，穿過的點在圓內，兩交點分在

y

軸兩側。直線

y + 4 = m (x - 6)

的

y

截距是

- 4 - 6 m

，所以

2 < - 4 - 6 m < 8

，

6 < - 6 m < 12

，

- 2 < m < - 1

。

端點不取：

m = - 1

或

- 2

時有一個交點是

(0, 2)

或

(0, 8)

，在

y

軸上，不屬於任何象限。另外，過

P

與切點

(- 4, 0)

的直線斜率是

- \frac{2}{5}

，不在範圍內，不必另外排除。

弦長題先求弦心距：

d^{2} = r^{2} - (\frac{弦長}{2})^{2}

，再用點到直線距離公式列式。

04第 12～14 題（原卷第 12、13 題）：切線長與切線方程式、平分區域面積

第 12 題圓心

O^{'} (0, 1)

，半徑

1

。切線與半徑

\overline{O^{'} A}

垂直，

△ P A O^{'}

是直角三角形：

\overline{P A}^{2} = \overline{P O^{'}}^{2} - 1^{2} = (7^{2} + 4^{2}) - 1 = 64

，

\overline{P A} = 8

。

第 13 題過

P

的鉛直線

x = 7

與圓心距離

7 \neq = 1

，不是切線，所以設切線

y - 5 = k (x - 7)

，即

k x - y + 5 - 7 k = 0

。圓心

(0, 1)

到切線的距離等於半徑：

\frac{∣ - 1 + 5 - 7 k ∣}{k ^{2} + 1} = 1

，平方得

(4 - 7 k)^{2} = k^{2} + 1

，

48 k^{2} - 56 k + 15 = 0

，

(4 k - 3) (12 k - 5) = 0

，

k = \frac{3}{4}

或

\frac{5}{12}

。

k = \frac{3}{4}

：

4 y - 20 = 3 x - 21

，即

3 x - 4 y - 1 = 0

；

k = \frac{5}{12}

：

12 y - 60 = 5 x - 35

，即

5 x - 12 y + 25 = 0

。

驗算：圓心到

3 x - 4 y - 1 = 0

的距離

\frac{∣0 - 4 - 1∣}{5} = 1

，到

5 x - 12 y + 25 = 0

的距離

\frac{∣0 - 12 + 25∣}{13} = 1

。

第 14 題三條邊界線兩兩求交點：

x = 1

與

3 x + 4 y = 27

交於

(1, 6)

；

x = 1

與

7 x - 4 y = 23

交於

(1, - 4)

；

3 x + 4 y = 27

與

7 x - 4 y = 23

相加得

10 x = 50

，交於

(5, 3)

。區域 R 是以這三點為頂點的三角形。直線

y - 3 = m (x - 5)

通過頂點

(5, 3)

，要平分面積就要通過對邊的中點（兩個三角形同高、底相等）。對邊兩端

(1, 6)

、

(1, - 4)

的中點是

(1, 1)

，所以

m = \frac{3 - 1}{5 - 1} = \frac{1}{2}

。

過三角形頂點平分面積的直線，一定通過對邊的中點。

05第 15～16 題（原卷第 14、15 題）：高與中線、圓內接正方形

第 15 題過

C

的中線通過

\overline{A B}

的中點

N (- 2, 1)

，又通過

P (1, 2)

，斜率

\frac{2 - 1}{1 + 2} = \frac{1}{3}

，方程式

y - 1 = \frac{1}{3} (x + 2)

，

C

在這條線上。過

A

的高通過

A (- 2, 5)

與

P (1, 2)

，斜率

\frac{2 - 5}{1 + 2} = - 1

，它與

\overline{B C}

垂直，所以

\overline{B C}

的斜率是

1

：

C

在

y + 3 = x + 2

，即

y = x - 1

上。聯立

y = x - 1

與

y - 1 = \frac{1}{3} (x + 2)

：

x - 2 = \frac{x + 2}{3}

，

3 x - 6 = x + 2

，

x = 4

，

y = 3

。

C (4, 3)

。

驗算：

C (4, 3)

時中線斜率

\frac{3 - 1}{4 + 2} = \frac{1}{3}

，

\overline{B C}

的斜率

\frac{3 + 3}{4 + 2} = 1

，與

A P

的斜率

- 1

相乘為

- 1

。

第 16 題配方：

x^{2} + (y + 1)^{2} = 8

，圓心

(0, - 1)

，半徑

22

。正方形

A B D E

內接於圓，對角線是直徑

42

，邊長

= \frac{4 2}{2} = 4

。

\overline{A B}

在

L

上、

\overline{D E}

在

M

上，是正方形的一組對邊，兩線平行且距離

4

，圓心在正中間，到

L

、

M

的距離都是

2

。圓心代入

3 x - 4 y

得

4

，所以

\frac{∣4 - d ∣}{5} = 2

、

\frac{∣4 - e ∣}{5} = 2

，

d

、

e

是

4 + 10 = 14

與

4 - 10 = - 6

兩個值（

L

、

M

是不同的兩條線，各取一個）。

d + e = 14 + (- 6) = 8

。

驗算：弦心距

2

、半徑

22

，半弦長

8 - 4 = 2

，弦長

4

恰等於兩線距離，四個交點確實圍成正方形。

圓內接正方形的對角線是直徑；兩條平行的對邊到圓心的距離都是邊長的一半。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《直線與圓》單元冊 02・高一上

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溪湖高中 112 上高一第二次段考數學試題、答案與詳解

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01第 1～4 題（原卷第 1～4 題）：中垂線、圓上一點的切線、交點橫坐標和、求圓方程式

02第 5～8 題（原卷第 5～8 題）：對稱點、阿波羅尼斯圓、半徑最小值、距離極值

03第 9～11 題（原卷第 9～11 題）：垂心、弦長、交點所在象限

04第 12～14 題（原卷第 12、13 題）：切線長與切線方程式、平分區域面積

05第 15～16 題（原卷第 14、15 題）：高與中線、圓內接正方形

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高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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