段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律與指數函數、對數與對數律、指數與對數方程式與不等式、應用）

溪湖高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

卷面未印大題名稱，全卷 18 題都是填空作答，「填充題」為本站所加的題型名稱；依答對題數給分：答對 1～10 題每題 6 分，答對 11～18 題依序得 65、70、75、80、85、90、95、100 分。卷頭附參考數據 log 2 = 0.3010，log 3 = 0.4771。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

填充題

若

9^{x} = (327)^{3}

，則

x =

____。

若

3^{2 x} - 4 \times 3^{x + 1} + 3^{3} = 0

，則

x =

____。(有兩解，答案完整才給分)

1 6^{l o g_{2} 3} =

____。

lo g_{16} 8 lo g_{27} \frac{1}{9} =

____。

lo g \frac{7}{36} + 5 lo g 2 - lo g \frac{14}{25} + 2 lo g 3 =

____。

\frac{3}{lo g _{2} 10} + \frac{1}{lo g _{125} 10} =

____。

設兩直線

y = 2

和

y = 18

分別與

y = (\frac{1}{3})^{x}

的圖形交於

A

、

B

兩點，則

\overline{A B} =

____。（化成最簡根式）

將

y = 2^{x}

的圖形先向左平移

2

單位，再向上平移

3

單位而得到的圖形方程式為 ____。

已知函數

y = (\frac{1}{2})^{x + a} + b

的圖形如下，求數對

(a, b) =

____。

載入中...

試求不等式

(\frac{1}{3})^{l o g x} \geq (\frac{1}{9})

的解為 ____。

設

- 1 \leq x \leq 2

，則

f (x) = (\frac{1}{4})^{x} - (\frac{1}{2})^{x - 1}

的最大值為 ____。

已知

a

、

b

為正實數，

lo g a = 10

，

lo g b = 12

，則

lo g (a + b)

的值最接近的整數為 ____。

求滿足

(\frac{3}{4})^{n} < \frac{1}{100}

的最小正整數

n =

____。

3^{60}

乘開後為

a

位整數，最高位數字為

b

，則數對

(a, b) =

____。

心理專家以數學模式

F (t) = a (1 - 1 0^{- b t})

來描述學生經過時間

t

（星期）的學習之後所得到的學習量（或成果），這裡的常數

a

與

b

跟學生及學習的科目相關。若小明一星期可以熟背

120

個英文單字，兩星期可以熟背

180

個英文單字，則小明三星期可以熟背 ____ 個英文單字。

設年利率

1.5%

，依複利計算，則最少經過 ____ 年，本利和可大於本金的

2

倍。(取整數值，無條件進位，未滿一年以一年計之，

lo g 1.015 = 0.0065

)

某國面臨新型冠狀病毒肆虐，根據統計數據顯示染疫人數每經過 5 日變為原來的 2 倍，函數

f (t)

表示經過

t

日後的染疫人數，已知

f (0) = 50

，則經過

30

日後的染疫人數為 ____ 人。

續承上題，由於防疫措施得當，經過幾個月後，終於控制疫情，學生紛紛回到校園，為了預防新型冠狀病毒，學校固定每週使用漂白水進行消毒。漂白水剛開始噴灑時，若在

0 \sim 5

分鐘教室內空氣中每立方公尺的漂白水量

y

（毫克）與時間

t

（分鐘）成正比，

5

分鐘噴灑完後，

y

與

t

的函數關係為

y = (\frac{1}{4})^{t + k}

，其中

k

為常數，

t \geq 5

(如圖所示)。為了避免學生吸入漂白水而影響呼吸道健康，當空氣中每立方公尺的漂白水量不大於 0.0625 毫克時，學生方可進入教室。那麼從噴灑完後，至少需經過 ____ 分鐘（取到整數位），學生才能進入教室。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

\frac{15}{4}

第 2 題

1

或

2

第 3 題

81

第 4 題

- \frac{1}{2}

第 5 題

2

第 6 題

3

第 7 題

265

第 8 題

y = 2^{x + 2} + 3

第 9 題

(- 1, 1)

第 10 題

0 < x \leq 100

第 11 題

0

第 12 題

12

第 13 題

17

第 14 題

(29, 4)

第 15 題

210

第 16 題

47

第 17 題

3200

第 18 題

2

分鐘（若從開始噴灑起算為

7

分鐘）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充 1～2：指數方程式

第 1 題

都化成以 $3$ 為底： $27 = (3^{3})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ ，所以 $327 = 3^{1 + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$ ， $(327)^{3} = 3^{\frac{15}{2}}$ 。

左邊 $9^{x} = 3^{2 x}$ 。指數函數是一對一的，所以 $2 x = \frac{15}{2}$ ， $x = \frac{15}{4}$ 。

檢查：

9^{\frac{15}{4}} = 3^{\frac{15}{2}}

，而

327 = 93 \approx 15.59

，

15.5 9^{3} \approx 3788

，

3^{7.5} \approx 3788

，相等。

第 2 題

$3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ 。令 $t = 3^{x}$ （ $t > 0$ ），則 $3^{2 x} = t^{2}$ ，方程式變成 $t^{2} - 12 t + 27 = 0$ ，即 $(t - 3) (t - 9) = 0$ ， $t = 3$ 或 $t = 9$ ，兩個都是正數。

$3^{x} = 3$ 得 $x = 1$ ； $3^{x} = 9$ 得 $x = 2$ 。所以 $x = 1$ 或 $2$ 。

檢查：

x = 1

時

9 - 36 + 27 = 0

；

x = 2

時

81 - 108 + 27 = 0

。

指數方程式先化成同一個底數再比較指數；出現 3 的 2x 次方與 3 的 x 次方時，令 t 等於 3 的 x 次方化成二次方程式，t 要大於 0。

02填充 3～6：對數律與換底公式

第 3 題

16 = 2^{4}

，所以

1 6^{l o g_{2} 3} = (2^{4})^{l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{4} = 3^{4} = 81

。

2^{l o g_{2} 3} = 3

：

lo g_{2} 3

就是「

2

的幾次方等於

3

」。

第 4 題

$lo g_{16} 8 = lo g_{2^{4}} 2^{3} = \frac{3}{4}$ ； $lo g_{27} \frac{1}{9} = lo g_{3^{3}} 3^{- 2} = - \frac{2}{3}$ 。

所以原式 $= \frac{3}{4} \times (- \frac{2}{3}) = - \frac{1}{2}$ 。

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

，可由換底公式

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n lo g b}{m lo g a}

得到。

第 5 題

$5 lo g 2 = lo g 32$ ， $2 lo g 3 = lo g 9$ 。原式 $= lo g (\frac{7}{36} \times 32 \div \frac{14}{25} \times 9) = lo g \frac{7 \times 32 \times 25 \times 9}{36 \times 14}$ 。

分子 $= 50400$ ，分母 $= 504$ ，所以原式 $= lo g 100 = 2$ 。

第 6 題

由換底公式， $\frac{1}{lo g _{2} 10} = lo g_{10} 2 = lo g 2$ ， $\frac{1}{lo g _{125} 10} = lo g 125$ 。

原式 $= 3 lo g 2 + lo g 125 = lo g 8 + lo g 125 = lo g 1000 = 3$ 。

lo g_{a} b

與

lo g_{b} a

互為倒數：

lo g_{a} b \times lo g_{b} a = \frac{lo g b}{lo g a} \times \frac{lo g a}{lo g b} = 1

。

對數律把積、商、次方化成和、差、倍數；底數與真數都寫成同一個數的次方時，次方可以提到前面；log 以 a 為底 b 與 log 以 b 為底 a 互為倒數。

03填充 7～9：指數函數的圖形

第 7 題

$A$ 在 $y = 2$ 上： $(\frac{1}{3})^{x} = 2$ ，即 $3^{- x} = 2$ ， $x_{A} = - lo g_{3} 2$ ， $A (- lo g_{3} 2, 2)$ 。

$B$ 在 $y = 18$ 上： $3^{- x} = 18$ ， $x_{B} = - lo g_{3} 18 = - (lo g_{3} 9 + lo g_{3} 2) = - 2 - lo g_{3} 2$ ， $B (- 2 - lo g_{3} 2, 18)$ 。

水平距離 $x_{A} - x_{B} = 2$ ，鉛直距離 $18 - 2 = 16$ 。

$\overline{A B} = 2^{2} + 1 6^{2} = 260 = 265$ 。

水平距離也可以直接看：

3^{- x_{B}} \div 3^{- x_{A}} = 18 \div 2 = 9 = 3^{2}

，所以

x_{A} - x_{B} = 2

。

第 8 題向左平移

2

單位：

x

換成

x + 2

，得

y = 2^{x + 2}

；再向上平移

3

單位：

y = 2^{x + 2} + 3

。

例：原圖上的點

(0, 1)

移到

(- 2, 4)

，代入

2^{- 2 + 2} + 3 = 4

，符合。

第 9 題

$(\frac{1}{2})^{x + a}$ 恆大於 $0$ ， $x$ 越大越接近 $0$ ，所以圖形的水平漸近線是 $y = b$ 。由圖，漸近線為 $y = 1$ ，所以 $b = 1$ 。

圖形過 $(0, 3)$ ： $(\frac{1}{2})^{a} + 1 = 3$ ， $(\frac{1}{2})^{a} = 2 = (\frac{1}{2})^{- 1}$ ，所以 $a = - 1$ 。

$(a, b) = (- 1, 1)$ 。

檢查：

y = (\frac{1}{2})^{x - 1} + 1

，

x = 0

時

y = 2 + 1 = 3

。

求圖形交點先把 y 值代入解出 x；平移時「左加右減」改 x、上下平移改常數項；指數函數加常數 b 後，漸近線從 x 軸移到 y 等於 b。

04填充 10～11：指數不等式與最大值

第 10 題

真數條件： $x > 0$ 。

$\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^{2}$ ，不等式變成 $(\frac{1}{3})^{l o g x} \geq (\frac{1}{3})^{2}$ 。底數 $\frac{1}{3}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = (\frac{1}{3})^{u}$ 遞減，不等號方向要反過來： $lo g x \leq 2$ ，即 $x \leq 100$ 。

與 $x > 0$ 合併： $0 < x \leq 100$ 。

例：

x = 10

時左邊

\frac{1}{3} \geq \frac{1}{9}

，成立；

x = 1000

時左邊

\frac{1}{27} < \frac{1}{9}

，不成立。

第 11 題

$(\frac{1}{4})^{x} = [(\frac{1}{2})^{x}]^{2}$ ， $(\frac{1}{2})^{x - 1} = 2 (\frac{1}{2})^{x}$ 。令 $t = (\frac{1}{2})^{x}$ ，則 $f (x) = t^{2} - 2 t = (t - 1)^{2} - 1$ 。

$y = (\frac{1}{2})^{x}$ 遞減， $- 1 \leq x \leq 2$ 時 $\frac{1}{4} \leq t \leq 2$ 。

$(t - 1)^{2} - 1$ 在 $\frac{1}{4} \leq t \leq 2$ 上，離 $t = 1$ 越遠越大： $t = 2$ 時為 $1 - 1 = 0$ ， $t = \frac{1}{4}$ 時為 $\frac{9}{16} - 1 = - \frac{7}{16}$ 。所以最大值為 $0$ （在 $t = 2$ ，即 $x = - 1$ 時）。

檢查：

f (- 1) = 4 - (\frac{1}{2})^{- 2} = 4 - 4 = 0

。

指數或對數不等式先寫定義條件，底數小於 1 時不等號反向；兩項指數的和差，令 t 為較小底數的 x 次方化成二次函數，先求 t 的範圍再配方。

05填充 12～14：常用對數的應用

第 12 題

$a = 1 0^{10}$ ， $b = 1 0^{12}$ ，所以 $a + b = 1 0^{12} + 1 0^{10} = 1 0^{12} \times 1.01$ 。

$lo g (a + b) = 12 + lo g 1.01$ 。因為 $1 < 1.01 < 10$ ，所以 $0 < lo g 1.01 < \frac{1}{2}$ ， $12 < lo g (a + b) < 12.5$ ，最接近的整數為 $12$ 。

實際上

lo g 1.01 \approx 0.0043

，

lo g (a + b) \approx 12.0043

。

第 13 題

兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，大小關係不變）： $n lo g \frac{3}{4} < lo g \frac{1}{100} = - 2$ 。

$lo g \frac{3}{4} = lo g 3 - 2 lo g 2 \approx 0.4771 - 0.6020 = - 0.1249 < 0$ 。兩邊同除以負數，不等號反向： $n > \frac{- 2}{- 0.1249} = \frac{2}{0.1249} \approx 16.01$ 。

所以最小正整數 $n = 17$ 。

實際數值：

(\frac{3}{4})^{16} \approx 0.01002

，比

\frac{1}{100}

大一點點；

(\frac{3}{4})^{17} \approx 0.00752 < \frac{1}{100}

。

第 14 題

$lo g 3^{60} = 60 lo g 3 \approx 60 \times 0.4771 = 28.626$ 。

整數部分是 $28$ ，所以 $3^{60} = 1 0^{28} \times 1 0^{0.626}$ ，是 $29$ 位整數， $a = 29$ 。

最高位數字看 $1 0^{0.626}$ ： $lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020 < 0.626$ ， $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990 > 0.626$ ，所以 $4 < 1 0^{0.626} < 5$ ，最高位數字 $b = 4$ 。

$(a, b) = (29, 4)$ 。

實際上

3^{60} \approx 4.239 \times 1 0^{28}

。

常用對數的整數部分決定位數（整數部分加 1），小數部分拿 log 2、log 3 等湊出的值比較，決定最高位數字；解指數不等式取對數時，除以負的對數值要變號。

06填充 15～17：指數模型

第 15 題

令 $r = 1 0^{- b}$ ，則 $F (t) = a (1 - r^{t})$ 。

$F (1) = a (1 - r) = 120$ ， $F (2) = a (1 - r^{2}) = a (1 - r) (1 + r) = 180$ 。

兩式相除： $1 + r = \frac{180}{120} = \frac{3}{2}$ ， $r = \frac{1}{2}$ ；代回 $a \times \frac{1}{2} = 120$ ， $a = 240$ 。

$F (3) = 240 (1 - \frac{1}{8}) = 240 \times \frac{7}{8} = 210$ 。小明三星期可以熟背 $210$ 個英文單字。

r = 1 0^{- b} = \frac{1}{2}

表示

b = lo g 2 \approx 0.301

；第三星期只多背

30

個，學習量逐週增加得越來越少，最多接近

a = 240

。

第 16 題

本金 $P$ ， $n$ 年後本利和 $P \times 1.01 5^{n}$ 。要 $P \times 1.01 5^{n} > 2 P$ ，即 $1.01 5^{n} > 2$ 。

兩邊取常用對數： $n lo g 1.015 > lo g 2$ ， $0.0065 n > 0.3010$ ， $n > \frac{0.3010}{0.0065} \approx 46.3$ 。

無條件進位，最少經過 $47$ 年。

實際數值：

1.01 5^{46} \approx 1.983 < 2

，

1.01 5^{47} \approx 2.013 > 2

。

第 17 題

每經過 $5$ 日變為原來的 $2$ 倍，所以 $f (t) = 50 \times 2^{\frac{t}{5}}$ 。

$f (30) = 50 \times 2^{\frac{30}{5}} = 50 \times 2^{6} = 50 \times 64 = 3200$ 人。

兩個條件含同一個未知係數時，相除消去它；複利 n 年是乘 n 次（1＋利率）；每 T 天變 2 倍就是 2 的 T 分之 t 次方。

07填充 18：漂白水量

第 18 題

由圖， $t = 5$ （噴灑完）時漂白水量為 $1$ 毫克。代入 $y = (\frac{1}{4})^{t + k}$ ： $(\frac{1}{4})^{5 + k} = 1 = (\frac{1}{4})^{0}$ ，所以 $k = - 5$ ， $y = (\frac{1}{4})^{t - 5}$ （ $t \geq 5$ ）。

要 $y \leq 0.0625 = \frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^{2}$ ： $(\frac{1}{4})^{t - 5} \leq (\frac{1}{4})^{2}$ 。底數 $\frac{1}{4}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，函數遞減，不等號反向： $t - 5 \geq 2$ ， $t \geq 7$ 。

題目問「從噴灑完後」至少需經過幾分鐘：噴灑完是 $t = 5$ ，所以至少再經過 $7 - 5 = 2$ 分鐘。

若把題目理解成從開始噴灑起算，答案是

t = 7

分鐘；本頁照題目字面「從噴灑完後」起算，答

2

分鐘。

0 \sim 5

分鐘這段的漂白水量由

0

增加到

1

，不影響本題。

由圖上已知點求出式子中的常數，再把「不大於某值」化成同底的指數不等式；底數小於 1 時不等號反向，最後看清楚題目從哪個時間點起算。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題兩個交點高度相差 16、水平距離是 log 以 3 為底 9 等於 2，要用兩點距離公式；第 11 題令 t 為二分之一的 x 次方，先求 t 的範圍再求二次式的最大值；第 15 題兩個條件相除消去 a 求出十的負 b 次方；第 18 題先由圖讀出 t 等於 5 時漂白水量為 1 求出 k，問的是噴灑完後再經過幾分鐘。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

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數學試題、答案與詳解

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

填充題

若

9^{x} = (327)^{3}

，則

x =

____。

若

3^{2 x} - 4 \times 3^{x + 1} + 3^{3} = 0

，則

x =

____。(有兩解，答案完整才給分)

1 6^{l o g_{2} 3} =

____。

lo g_{16} 8 lo g_{27} \frac{1}{9} =

____。

lo g \frac{7}{36} + 5 lo g 2 - lo g \frac{14}{25} + 2 lo g 3 =

____。

\frac{3}{lo g _{2} 10} + \frac{1}{lo g _{125} 10} =

____。

設兩直線

y = 2

和

y = 18

分別與

y = (\frac{1}{3})^{x}

的圖形交於

A

、

B

兩點，則

\overline{A B} =

____。（化成最簡根式）

將

y = 2^{x}

的圖形先向左平移

2

單位，再向上平移

3

單位而得到的圖形方程式為 ____。

已知函數

y = (\frac{1}{2})^{x + a} + b

的圖形如下，求數對

(a, b) =

____。

載入中...

試求不等式

(\frac{1}{3})^{l o g x} \geq (\frac{1}{9})

的解為 ____。

設

- 1 \leq x \leq 2

，則

f (x) = (\frac{1}{4})^{x} - (\frac{1}{2})^{x - 1}

的最大值為 ____。

已知

a

、

b

為正實數，

lo g a = 10

，

lo g b = 12

，則

lo g (a + b)

的值最接近的整數為 ____。

求滿足

(\frac{3}{4})^{n} < \frac{1}{100}

的最小正整數

n =

____。

3^{60}

乘開後為

a

位整數，最高位數字為

b

，則數對

(a, b) =

____。

心理專家以數學模式

F (t) = a (1 - 1 0^{- b t})

來描述學生經過時間

t

（星期）的學習之後所得到的學習量（或成果），這裡的常數

a

與

b

跟學生及學習的科目相關。若小明一星期可以熟背

120

個英文單字，兩星期可以熟背

180

個英文單字，則小明三星期可以熟背 ____ 個英文單字。

設年利率

1.5%

，依複利計算，則最少經過 ____ 年，本利和可大於本金的

2

倍。(取整數值，無條件進位，未滿一年以一年計之，

lo g 1.015 = 0.0065

)

某國面臨新型冠狀病毒肆虐，根據統計數據顯示染疫人數每經過 5 日變為原來的 2 倍，函數

f (t)

表示經過

t

日後的染疫人數，已知

f (0) = 50

，則經過

30

日後的染疫人數為 ____ 人。

0 \sim 5

分鐘教室內空氣中每立方公尺的漂白水量

y

（毫克）與時間

t

（分鐘）成正比，

5

分鐘噴灑完後，

y

與

t

的函數關係為

y = (\frac{1}{4})^{t + k}

，其中

k

為常數，

t \geq 5

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

\frac{15}{4}

第 2 題

1

或

2

第 3 題

81

第 4 題

- \frac{1}{2}

第 5 題

2

第 6 題

3

第 7 題

265

第 8 題

y = 2^{x + 2} + 3

第 9 題

(- 1, 1)

第 10 題

0 < x \leq 100

第 11 題

0

第 12 題

12

第 13 題

17

第 14 題

(29, 4)

第 15 題

210

第 16 題

47

第 17 題

3200

第 18 題

2

分鐘（若從開始噴灑起算為

7

分鐘）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充 1～2：指數方程式

第 1 題

都化成以 $3$ 為底： $27 = (3^{3})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ ，所以 $327 = 3^{1 + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$ ， $(327)^{3} = 3^{\frac{15}{2}}$ 。

左邊 $9^{x} = 3^{2 x}$ 。指數函數是一對一的，所以 $2 x = \frac{15}{2}$ ， $x = \frac{15}{4}$ 。

檢查：

9^{\frac{15}{4}} = 3^{\frac{15}{2}}

，而

327 = 93 \approx 15.59

，

15.5 9^{3} \approx 3788

，

3^{7.5} \approx 3788

，相等。

第 2 題

$3^{x} = 3$ 得 $x = 1$ ； $3^{x} = 9$ 得 $x = 2$ 。所以 $x = 1$ 或 $2$ 。

檢查：

x = 1

時

9 - 36 + 27 = 0

；

x = 2

時

81 - 108 + 27 = 0

。

指數方程式先化成同一個底數再比較指數；出現 3 的 2x 次方與 3 的 x 次方時，令 t 等於 3 的 x 次方化成二次方程式，t 要大於 0。

02填充 3～6：對數律與換底公式

第 3 題

16 = 2^{4}

，所以

1 6^{l o g_{2} 3} = (2^{4})^{l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{4} = 3^{4} = 81

。

2^{l o g_{2} 3} = 3

：

lo g_{2} 3

就是「

2

的幾次方等於

3

」。

第 4 題

$lo g_{16} 8 = lo g_{2^{4}} 2^{3} = \frac{3}{4}$ ； $lo g_{27} \frac{1}{9} = lo g_{3^{3}} 3^{- 2} = - \frac{2}{3}$ 。

所以原式 $= \frac{3}{4} \times (- \frac{2}{3}) = - \frac{1}{2}$ 。

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

，可由換底公式

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n lo g b}{m lo g a}

得到。

第 5 題

$5 lo g 2 = lo g 32$ ， $2 lo g 3 = lo g 9$ 。原式 $= lo g (\frac{7}{36} \times 32 \div \frac{14}{25} \times 9) = lo g \frac{7 \times 32 \times 25 \times 9}{36 \times 14}$ 。

分子 $= 50400$ ，分母 $= 504$ ，所以原式 $= lo g 100 = 2$ 。

第 6 題

由換底公式， $\frac{1}{lo g _{2} 10} = lo g_{10} 2 = lo g 2$ ， $\frac{1}{lo g _{125} 10} = lo g 125$ 。

原式 $= 3 lo g 2 + lo g 125 = lo g 8 + lo g 125 = lo g 1000 = 3$ 。

lo g_{a} b

與

lo g_{b} a

互為倒數：

lo g_{a} b \times lo g_{b} a = \frac{lo g b}{lo g a} \times \frac{lo g a}{lo g b} = 1

。

對數律把積、商、次方化成和、差、倍數；底數與真數都寫成同一個數的次方時，次方可以提到前面；log 以 a 為底 b 與 log 以 b 為底 a 互為倒數。

03填充 7～9：指數函數的圖形

第 7 題

$A$ 在 $y = 2$ 上： $(\frac{1}{3})^{x} = 2$ ，即 $3^{- x} = 2$ ， $x_{A} = - lo g_{3} 2$ ， $A (- lo g_{3} 2, 2)$ 。

$B$ 在 $y = 18$ 上： $3^{- x} = 18$ ， $x_{B} = - lo g_{3} 18 = - (lo g_{3} 9 + lo g_{3} 2) = - 2 - lo g_{3} 2$ ， $B (- 2 - lo g_{3} 2, 18)$ 。

水平距離 $x_{A} - x_{B} = 2$ ，鉛直距離 $18 - 2 = 16$ 。

$\overline{A B} = 2^{2} + 1 6^{2} = 260 = 265$ 。

水平距離也可以直接看：

3^{- x_{B}} \div 3^{- x_{A}} = 18 \div 2 = 9 = 3^{2}

，所以

x_{A} - x_{B} = 2

。

第 8 題向左平移

2

單位：

x

換成

x + 2

，得

y = 2^{x + 2}

；再向上平移

3

單位：

y = 2^{x + 2} + 3

。

例：原圖上的點

(0, 1)

移到

(- 2, 4)

，代入

2^{- 2 + 2} + 3 = 4

，符合。

第 9 題

$(\frac{1}{2})^{x + a}$ 恆大於 $0$ ， $x$ 越大越接近 $0$ ，所以圖形的水平漸近線是 $y = b$ 。由圖，漸近線為 $y = 1$ ，所以 $b = 1$ 。

圖形過 $(0, 3)$ ： $(\frac{1}{2})^{a} + 1 = 3$ ， $(\frac{1}{2})^{a} = 2 = (\frac{1}{2})^{- 1}$ ，所以 $a = - 1$ 。

$(a, b) = (- 1, 1)$ 。

檢查：

y = (\frac{1}{2})^{x - 1} + 1

，

x = 0

時

y = 2 + 1 = 3

。

求圖形交點先把 y 值代入解出 x；平移時「左加右減」改 x、上下平移改常數項；指數函數加常數 b 後，漸近線從 x 軸移到 y 等於 b。

04填充 10～11：指數不等式與最大值

第 10 題

真數條件： $x > 0$ 。

與 $x > 0$ 合併： $0 < x \leq 100$ 。

例：

x = 10

時左邊

\frac{1}{3} \geq \frac{1}{9}

，成立；

x = 1000

時左邊

\frac{1}{27} < \frac{1}{9}

，不成立。

第 11 題

$(\frac{1}{4})^{x} = [(\frac{1}{2})^{x}]^{2}$ ， $(\frac{1}{2})^{x - 1} = 2 (\frac{1}{2})^{x}$ 。令 $t = (\frac{1}{2})^{x}$ ，則 $f (x) = t^{2} - 2 t = (t - 1)^{2} - 1$ 。

$y = (\frac{1}{2})^{x}$ 遞減， $- 1 \leq x \leq 2$ 時 $\frac{1}{4} \leq t \leq 2$ 。

檢查：

f (- 1) = 4 - (\frac{1}{2})^{- 2} = 4 - 4 = 0

。

指數或對數不等式先寫定義條件，底數小於 1 時不等號反向；兩項指數的和差，令 t 為較小底數的 x 次方化成二次函數，先求 t 的範圍再配方。

05填充 12～14：常用對數的應用

第 12 題

$a = 1 0^{10}$ ， $b = 1 0^{12}$ ，所以 $a + b = 1 0^{12} + 1 0^{10} = 1 0^{12} \times 1.01$ 。

$lo g (a + b) = 12 + lo g 1.01$ 。因為 $1 < 1.01 < 10$ ，所以 $0 < lo g 1.01 < \frac{1}{2}$ ， $12 < lo g (a + b) < 12.5$ ，最接近的整數為 $12$ 。

實際上

lo g 1.01 \approx 0.0043

，

lo g (a + b) \approx 12.0043

。

第 13 題

兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，大小關係不變）： $n lo g \frac{3}{4} < lo g \frac{1}{100} = - 2$ 。

$lo g \frac{3}{4} = lo g 3 - 2 lo g 2 \approx 0.4771 - 0.6020 = - 0.1249 < 0$ 。兩邊同除以負數，不等號反向： $n > \frac{- 2}{- 0.1249} = \frac{2}{0.1249} \approx 16.01$ 。

所以最小正整數 $n = 17$ 。

實際數值：

(\frac{3}{4})^{16} \approx 0.01002

，比

\frac{1}{100}

大一點點；

(\frac{3}{4})^{17} \approx 0.00752 < \frac{1}{100}

。

第 14 題

$lo g 3^{60} = 60 lo g 3 \approx 60 \times 0.4771 = 28.626$ 。

整數部分是 $28$ ，所以 $3^{60} = 1 0^{28} \times 1 0^{0.626}$ ，是 $29$ 位整數， $a = 29$ 。

最高位數字看 $1 0^{0.626}$ ： $lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020 < 0.626$ ， $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990 > 0.626$ ，所以 $4 < 1 0^{0.626} < 5$ ，最高位數字 $b = 4$ 。

$(a, b) = (29, 4)$ 。

實際上

3^{60} \approx 4.239 \times 1 0^{28}

。

06填充 15～17：指數模型

第 15 題

令 $r = 1 0^{- b}$ ，則 $F (t) = a (1 - r^{t})$ 。

$F (1) = a (1 - r) = 120$ ， $F (2) = a (1 - r^{2}) = a (1 - r) (1 + r) = 180$ 。

兩式相除： $1 + r = \frac{180}{120} = \frac{3}{2}$ ， $r = \frac{1}{2}$ ；代回 $a \times \frac{1}{2} = 120$ ， $a = 240$ 。

$F (3) = 240 (1 - \frac{1}{8}) = 240 \times \frac{7}{8} = 210$ 。小明三星期可以熟背 $210$ 個英文單字。

r = 1 0^{- b} = \frac{1}{2}

表示

b = lo g 2 \approx 0.301

；第三星期只多背

30

個，學習量逐週增加得越來越少，最多接近

a = 240

。

第 16 題

本金 $P$ ， $n$ 年後本利和 $P \times 1.01 5^{n}$ 。要 $P \times 1.01 5^{n} > 2 P$ ，即 $1.01 5^{n} > 2$ 。

兩邊取常用對數： $n lo g 1.015 > lo g 2$ ， $0.0065 n > 0.3010$ ， $n > \frac{0.3010}{0.0065} \approx 46.3$ 。

無條件進位，最少經過 $47$ 年。

實際數值：

1.01 5^{46} \approx 1.983 < 2

，

1.01 5^{47} \approx 2.013 > 2

。

第 17 題

每經過 $5$ 日變為原來的 $2$ 倍，所以 $f (t) = 50 \times 2^{\frac{t}{5}}$ 。

$f (30) = 50 \times 2^{\frac{30}{5}} = 50 \times 2^{6} = 50 \times 64 = 3200$ 人。

兩個條件含同一個未知係數時，相除消去它；複利 n 年是乘 n 次（1＋利率）；每 T 天變 2 倍就是 2 的 T 分之 t 次方。

07填充 18：漂白水量

第 18 題

題目問「從噴灑完後」至少需經過幾分鐘：噴灑完是 $t = 5$ ，所以至少再經過 $7 - 5 = 2$ 分鐘。

若把題目理解成從開始噴灑起算，答案是

t = 7

分鐘；本頁照題目字面「從噴灑完後」起算，答

2

分鐘。

0 \sim 5

分鐘這段的漂白水量由

0

增加到

1

，不影響本題。

由圖上已知點求出式子中的常數，再把「不大於某值」化成同底的指數不等式；底數小於 1 時不等號反向，最後看清楚題目從哪個時間點起算。

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溪湖高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

溪湖高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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04填充 10～11：指數不等式與最大值

05填充 12～14：常用對數的應用

06填充 15～17：指數模型

07填充 18：漂白水量

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溪湖高中 111 上
高二第二次段考
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