01 · 試題原卷 18 題，照原卷順序
單選題 6 題（每題 5 分，共 30 分）、填充題 9 題共 12 格（共 70 分，依答對格數給分：答對 1～12 格依序得 8、16、22、28、34、40、45、50、55、60、65、70 分）。本頁第 1～6 題為原卷單選第 1～6 題，第 7～18 題依序為原卷填充格 (1)～(12)，即填充 1～4、5(1)、5(2)、6、7、8(1)、8(2)、9(1)、9(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。
一、單選題：（每題 5 分）
1
函數 f(x)=3x4−8x3+5 在下列哪一個區間上為遞增函數？- (A) [0,2]
- (B) [1,3]
- (C) [2,4]
- (D) [0,3]
- (E) [−2,5]
2
關於函數 f(x)=x3−6x2+5 圖形的凹向，下列哪一個區間是凹口向上？- (A) (−5,−3)
- (B) (−3,−1)
- (C) (−1,1)
- (D) (1,3)
- (E) (3,5)
3
下列何者是多項式函數 −3x2+4x+2 的一個反導函數？- (A) 3x2−4x+2
- (B) −31x2+41x−21
- (C) −6x+4
- (D) −x3+2x2+2x
- (E) −3x3+4x2−2x+c（c 為任意常數）
4
已知函數 f(x) 滿足 ∫02f(x)dx=2 且 ∫24f(x)dx=4，選出下列正確的選項。- (A) ∫03f(x)dx+∫34f(x)dx=6
- (B) ∫01f(x)dx+∫14f(x)dx 的值無法算出
- (C) ∫02f(x)dx=2∫01f(x)dx
- (D) ∫24f(x)dx=2∫12f(x)dx
- (E) ∫24f(x)dx−∫02f(x)dx=∫04f(x)dx
5
下圖是多項式函數 f(x) 在閉區間 [−4,4] 的圖形，關於 f(x) 的極大值中之最小的值為 a，而極小值中之最大的值為 b，則 a−b 為下列何者？- (A) 6
- (B) 2
- (C) −1
- (D) −2
- (E) −3
6
已知 ∫−21(3x2−2x+c)dx=6，則實數 c 的值為何？- (A) −9
- (B) −6
- (C) −3
- (D) −2
- (E) −1
二、填充題：
7
已知函數 f(x)=x4−6x2+5 的其中一個反曲點為 (−1,0)，則另一個反曲點的坐標為 ____。
8
設函數 f(x)=−x2+10x，則 f(x) 在區間 [3,6] 內函數值的平均為何？____
9
已知 F(x) 為 f(x)=4x−3 的一個反導函數且 F(−1)=0，則 F(1) 的值為下列何者？____
10
已知函數 f(x)=−x4+6x2 在閉區間 [−2,3] 上的最大值與最小值依序為 M 與 m，則數對 (M,m)= ____。
填充第 5 題（第 11～12 題） 銷售量為 x 單位時，利潤函數為 f(x)=−0.1x3+120x−200（元），則當利潤達到最大時，求
13
求 ∫23(x2+3x+1)dx+∫23(2x2−3x+3)dx 的值 ____。
14
已知函數 f(x)=x(x−2) 則 f(x) 的圖形與 x 軸、x=0 及 x=2 所圍成的區域面積為 ____。
填充第 8 題（第 15～16 題） 設某日自 0 時到 6 時之間，甲地在時間 t（時）的溫度可表成函數 f(t)=−21t2+2t+6（℃），0≤t≤6。
15
(1) 求甲地在 0 時到 6 時之間的平均溫度為 ____（℃）。
16
(2) 已知在 0 時到 6 時之間，時間 t0（時）的溫度恰好等於平均溫度，且 t0>0 則 t0 的值為 ____（時）。
填充第 9 題（第 17～18 題） 設生產 x 件產品的邊際利潤函數為 f(x)=0.9x2+200（元）。當產量從 10 件增加到 40 件時，求
17
(1) 增加這 30 件產品所增加的利潤為 ____（元）。
18
(2) 增加這 30 件產品每件的平均利潤 ____（元）。
第 1 題(C)
第 2 題(E)
第 3 題(D)
第 4 題(A)
第 5 題(B)（若把區間端點也算作極值，答案為 (C)）
第 6 題(D)
第 7 題(1,0)
第 8 題24
第 9 題−6
第 10 題(9,−27)
第 11 題20
第 12 題1400
第 13 題23
第 14 題34
第 15 題6
第 16 題4
第 17 題24900
第 18 題830
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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01單選第 1、2 題與填充 1（第 7 題）：遞增區間、凹向、反曲點
第 1 題答案 (C)。f′(x)=12x3−24x2=12x2(x−2)。x2≥0，所以 f′(x) 的正負由 x−2 決定：x>2 時 f′(x)>0，x<2 時 f′(x)≤0（只在 x=0 等於 0）。因此 f(x) 在 [2,∞) 上遞增、在 (−∞,2] 上遞減。五個區間中只有 (C) [2,4] 整段落在 x≥2。(A) [0,2] 整段遞減；(B) [1,3]、(D) [0,3]、(E) [−2,5] 都含有 x<2 的一段，在那一段遞減，所以在整個區間上不是遞增函數。
x=0 雖然 f′(0)=0，但兩側 f′(x) 都小於 0，函數在 x=0 前後一直遞減，x=0 不是極值點。
第 2 題答案 (E)。f′(x)=3x2−12x，f′′(x)=6x−12。凹口向上要 f′′(x)>0，即 x>2。五個區間中只有 (E) (3,5) 整段在 x>2。(A)(B)(C) 整段在 x<2，凹口向下；(D) (1,3) 跨過 x=2，左半段凹口向下，不是整段凹口向上。
x=2 是二階導數變號的地方，點 (2,f(2))=(2,−11) 是反曲點。
第 7 題f′(x)=4x3−12x，f′′(x)=12x2−12=12(x+1)(x−1)。f′′(x) 在 x=−1 與 x=1 兩側都變號，所以兩個反曲點的 x 坐標是 −1 與 1。另一個是 x=1：f(1)=1−6+5=0，反曲點為 (1,0)。
f(x) 只含偶次方，是偶函數，圖形對稱於 y 軸，所以由 (−1,0) 也能直接看出另一個是 (1,0)。
遞增遞減看一階導數的正負，凹向看二階導數的正負；題目問「在整個區間上」時，區間內每一段都要符合。
02單選第 5 題與填充 4、5（第 10～12 題）：極值、最大最小值、最佳化
第 5 題答案 (B)。極大值、極小值是「和附近比較」的大小：在 c 左右兩側附近的函數值都不超過 f(c)，f(c) 是極大值；都不小於 f(c)，是極小值。由圖，區間內部的轉折點有五個：(−3,1)、(0,−1)、(2,2) 是由升轉降，極大值為 1、−1、2；(−2,−3)、(1,−4) 是由降轉升，極小值為 −3、−4。極大值中最小的是 a=−1，極小值中最大的是 b=−3，a−b=−1−(−3)=2，選 (B)。
極大值不一定比別處的函數值大：本題的極大值 −1 比 (2,2)、(−3,1) 的函數值都小，它只是在 x=0 附近最大。另一種讀法：若把區間端點也算進來（x=−4 右側附近的值都大於 0，x=4 左側附近的值都大於 −2，兩個端點都會算成極小值），極小值變成 0、−3、−4、−2，b=0，a−b=−1，選 (C)。本頁採端點不算極值的讀法：極值要和左右兩側附近的函數值比較；本題 f(x) 是多項式函數，圖只畫出 [−4,4] 這一段，x=−4 左側、x=4 右側的圖形看不到，兩端點是否為極值無法判斷。
第 10 題閉區間上的最大最小值，要比較區間內 f′(x)=0 的點與兩個端點。f′(x)=−4x3+12x=−4x(x2−3)，在 [−2,3] 內 f′(x)=0 的點是 x=−3、0、3。計算函數值：f(−3)=−9+18=9，f(0)=0，f(3)=9，端點 f(−2)=−16+24=8，f(3)=−81+54=−27。最大值 M=9，最小值 m=−27，(M,m)=(9,−27)。 最小值出現在端點 x=3；只比較 f′(x)=0 的點會誤以為最小值是 0。
第 11 題f′(x)=−0.3x2+120=−0.3(x2−400)=−0.3(x−20)(x+20)。銷售量 x≥0：0≤x<20 時 f′(x)>0，利潤遞增；x>20 時 f′(x)<0，利潤遞減。所以 x=20 時利潤最大，銷售量為 20 單位。
第 12 題f(20)=−0.1×203+120×20−200=−800+2400−200=1400，最大利潤是 1400 元。
也可以用二階導數確認：f′′(x)=−0.6x，f′′(20)=−12<0，x=20 是極大值；又 x≥0 時只有這一個臨界點，所以它也是最大值。
極值只和附近比較，最大最小值要和整個區間比較；閉區間上一定要把端點的函數值一起算。
03單選第 3、4、6 題與填充 3（第 9 題）：反導函數與定積分的性質
第 3 題答案 (D)。F(x) 是 f(x) 的反導函數，就是 F′(x)=f(x)；逐項微分檢查：(A) (3x2−4x+2)′=6x−4，不對。(B) (−31x2+41x−21)′=−32x+41，不對。(C) (−6x+4)′=−6，不對；−6x+4 其實是 −3x2+4x+2 的導函數，方向弄反了。(D) (−x3+2x2+2x)′=−3x2+4x+2，正確。(E) (−3x3+4x2−2x+c)′=−9x2+8x−2，不對。
由公式求：∫(−3x2+4x+2)dx=−x3+2x2+2x+C，取 C=0 就是 (D)。
第 4 題答案 (A)。由區間可加性，∫04f(x)dx=∫02f(x)dx+∫24f(x)dx=2+4=6。(A) ∫03f(x)dx+∫34f(x)dx=∫04f(x)dx=6，正確。(B) 同理等於 ∫04f(x)dx=6，可以算出，錯。(C)(D) 題目沒有給 [0,1]、[1,2] 上的積分，一般不成立。舉例：f(x)=21x+21 滿足 ∫02f(x)dx=2、∫24f(x)dx=4，但 ∫01f(x)dx=43，2×43=2；∫12f(x)dx=45，2×45=4。(E) 左邊 4−2=2，右邊是 6，錯。
檢查舉例：∫02(21x+21)dx=[41x2+21x]02=1+1=2，∫24(21x+21)dx=(4+2)−(1+1)=4。
第 6 題答案 (D)。∫−21(3x2−2x+c)dx=[x3−x2+cx]−21=(1−1+c)−(−8−4−2c)=3c+12。由 3c+12=6 得 c=−2。
代下限 x=−2 時，(−2)3=−8、−(−2)2=−4、c×(−2)=−2c，三項都是負的，相減時整個變號。
第 9 題反導函數 F(x)=∫(4x−3)dx=2x2−3x+C。由 F(−1)=2+3+C=0 得 C=−5，所以 F(x)=2x2−3x−5，F(1)=2−3−5=−6。
也可以用微積分基本定理：F(1)−F(−1)=∫−11(4x−3)dx=[2x2−3x]−11=(−1)−5=−6，所以 F(1)=0+(−6)=−6。卷面寫『下列何者』但沒有印選項，本題直接填 F(1) 的值。
判斷反導函數就把它微分回去；定積分只能把相鄰區間接起來，不能把區間對半拆成兩倍。
04填充 6、7（第 13、14 題）：定積分的計算與面積
第 13 題兩個定積分的區間都是 [2,3]，可以合併成一個：被積分函數相加 (x2+3x+1)+(2x2−3x+3)=3x2+4。所以原式 =∫23(3x2+4)dx=[x3+4x]23=(27+12)−(8+8)=23。
分開算也可以：∫23(x2+3x+1)dx=319+215+1=689，∫23(2x2−3x+3)dx=338−215+3=649，和為 6138=23。合併後 3x 與 −3x 相消，計算短很多。
第 14 題f(x)=x(x−2) 在 0<x<2 時 x>0、x−2<0，所以 f(x)<0，圖形在 x 軸下方。面積要取正值：面積 =−∫02(x2−2x)dx=−[31x3−x2]02=−(38−4)=34。
直接算 ∫02x(x−2)dx 會得到 −34；面積不會是負的，在 x 軸下方的部分要加負號。
同一區間的定積分可以先把被積分函數相加；求面積前先看圖形在 x 軸上方還是下方。
05填充 2、8、9（第 8、15～18 題）：函數值的平均與總變化量
第 8 題f(x) 在 [a,b] 上函數值的平均是 b−a1∫abf(x)dx。這裡 ∫36(−x2+10x)dx=[−31x3+5x2]36=(−72+180)−(−9+45)=108−36=72，區間長 6−3=3，平均為 72÷3=24。
不是把兩端點的函數值相加除以 2：f(3)=21、f(6)=24，兩者平均是 22.5，與答案不同。
第 15 題平均溫度 =6−01∫06(−21t2+2t+6)dt。∫06(−21t2+2t+6)dt=[−61t3+t2+6t]06=−36+36+36=36，平均溫度為 36÷6=6（℃）。
第 16 題溫度等於平均溫度：−21t02+2t0+6=6，即 −21t02+2t0=0，t0(−21t0+2)=0，得 t0=0 或 t0=4。題目限定 t0>0，所以 t0=4（時）。
t0=4 在 0≤t≤6 內；題目加上 t0>0 就是要排除 t0=0 這個解。
第 17 題邊際利潤是利潤函數的導函數，所以產量從 10 件增加到 40 件時，利潤的增加量（總變化量）是邊際利潤在 [10,40] 上的定積分：∫1040(0.9x2+200)dx=[0.3x3+200x]1040=(19200+8000)−(300+2000)=24900（元）。
第 18 題增加的 30 件共增加利潤 24900 元，每件的平均利潤為 24900÷30=830（元）。
這也就是邊際利潤函數在 [10,40] 上函數值的平均：40−101∫1040(0.9x2+200)dx=830。
函數值的平均＝定積分除以區間長；由邊際函數求某段的增加量，就是在那一段上做定積分。
同一次段考的其他學校
同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
溪湖高中 114 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
溪湖高中 114 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？
單選第 5 題要分清楚極大值、極小值與區間端點，極大值只是和附近比較最大；填充第 4 題（本頁第 10 題）的最小值出現在區間端點，只比較導數為零的點會漏掉；填充第 7 題（本頁第 14 題）的圖形在 x 軸下方，直接積分會得到負數；填充第 2 題（本頁第 8 題）的平均要用定積分除以區間長，不是兩端點函數值的平均。詳解逐題寫在本頁。
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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。
題目取自溪湖高中 114 學年度上學期 高三第二次段考 數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。