段考詳解範圍：多項式函數的微積分（函數的單調性與凹凸性、極值、反導函數與定積分、面積、函數值的平均、消費者剩餘與生產者剩餘、邊際利潤）

溪湖高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 8 分，共 16 分）、多重選擇題 2 題（每題全對得 8 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個得 3 分，共 16 分）、填充題 11 題共 14 格（共 68 分，依答對格數給分：答對 1～14 格依序得 8、16、22、28、32、36、40、44、48、52、56、60、64、68 分）。本頁第 1、2 題為原卷單選第 1、2 題，第 3、4 題為原卷多重選擇第 1、2 題，第 5～18 題依序為原卷填充格 1(1)、1(2)、2～6、7(1)、7(2)、8(1)、8(2)、9～11。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：共 16 分，每題 8 分。

關於函數

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10

，選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 在區間 $[- 1, 2]$ 上是遞增函數。
(2) $f (x)$ 在區間 $(- \infty, - 1]$ 上是嚴格遞減函數。
(3) $f (x)$ 在區間 $(3, \infty)$ 的圖形是凹口向上。
(4) $f (x)$ 在區間 $(- 1, 2)$ 的圖形是凹口向下。

如下圖所示，

R_{1}

與

R_{2}

是函數

f (x)

的圖形與

x

軸，

x = 1

及

x = 4

所圍成的二個區域。已知

R_{1}

的面積為

3

，

R_{2}

的面積為

5

，試問

\int_{1}^{4} f (x) d x

之值為何？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $4$
(4) $8$

載入中...

二、多重選擇題：共 16 分，每題全對得 8 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個得 3 分，錯三個以上或未作答得 0 分。

如下圖，為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形及通過反曲點

A

的水平切線，選出正確的選項：

(1) $a < 0$
(2) $b < 0$
(3) $c < 0$
(4) $d < 0$
(5) $b^{2} - 3 a c > 0$

載入中...

以下關於多項式函數

f (x)

的敘述，選出正確的選項：

(1) 若 $f (2)$ 是 $f (x)$ 在閉區間 $[1, 5]$ 上的最大值，則 $f^{'} (2) = 0$ 。
(2) 若 $f^{'} (3) = 0$ 且 $f^{''} (3) > 0$ ，則 $f (x)$ 在 $x = 3$ 處有極大值。
(3) 若 $f^{'} (x) > 0$ 在區間 $(1, 3)$ 上都成立，則 $f (x)$ 在區間 $(1, 3)$ 的圖形不存在反曲點。
(4) $f^{''} (3) = 0$ ，則 $(3, f (3))$ 為 $f (x)$ 圖形的反曲點。
(5) 若 $f (x)$ 為三次函數，則 $f (x)$ 的圖形必有反曲點存在。

三、填充題：共 68 分

填充第 1 題（第 5～6 題）　已知函數

f (x)

滿足

\int_{1}^{4} f (x) d x = 5

且

\int_{3}^{4} f (x) d x = 7

，求下列各式的值：

(1)

\int_{4}^{4} f (x) d x =

____

(2)

\int_{1}^{3} (2 f (x) - 4) d x =

____

已知函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 4

在

x = 1

處有極小值

1

，求實數對

(a, b) =

____

已知

R

為函數

f (x) = x^{2}

的圖形與

x

軸、

x = 1

及

x = 3

所圍成的區域，求

R

的面積為 ____

設某處在時間

t

（時）的溫度可表成函數

f (t) = - t^{2} + 6 t

（℃），

0 \leq t \leq 3

。試求在時段

0 \leq t \leq 3

內，該處的平均溫度為 ____ ℃

已知

R

為函數

f (x) = - x^{2} + 1

的圖形與

x

軸、

x = 0

及

x = 3

所圍成的區域，求

R

的面積為 ____

求定積分

\int_{- 2}^{2} ∣ x ∣ d x =

____

填充第 7 題（第 12～13 題）　在市場上，已知某商品需求量

x

件的價格為

D (x) = - 0.2 x + 50

（元），即

D (x)

為該商品的需求函數，求該商品在訂價

40

元時的：

(1) 需求量為 ____ 件。

(2) 消費者剩餘為 ____ 元。

填充第 8 題（第 14～15 題）　在市場上，已知某商品

x

件的需求函數與供給函數分別為

D (x) = - 2 x^{2} + 252

（元），

S (x) = 5 x^{2}

（元），求：

(1) 均衡點為 ____

(2) 在均衡價格的生產者剩餘為 ____

已知三次函數

f (x)

在點

(1, - 2)

處有水平切線，且

(0, 0)

是其圖形的反曲點，求

f (x) =

____

設生產

x

件產品的成本函數為

C (x) = x^{2} - 10 x + 30

（元）。若每件產品的銷售價為

90

元，則生產此產品可獲得的最大利潤為 ____ 元

設生產

x

件產品的邊際利潤函數為

f (x) = - 0.2 x + 100

（元）。若欲使產量從

10

件增加到

k

件時，增加之產品每件的平均利潤達到

95

元，則

k

值應為 ____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(1)(5)

第 5 題

0

第 6 題

- 12

第 7 題

(1, - 5)

第 8 題

\frac{26}{3}

第 9 題

6

第 10 題

\frac{22}{3}

第 11 題

4

第 12 題

50

第 13 題

250

第 14 題

(6, 180)

（均衡數量 6 件、均衡價格 180 元）

第 15 題

720

第 16 題

x^{3} - 3 x

第 17 題

2470

第 18 題

40

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1 題、多選第 1、2 題與填充 2、9（第 7、16 題）：單調性、凹向、極值與反曲點

第 1 題

答案 (3)。 $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x + 1) (x - 2)$ ， $f^{''} (x) = 12 x - 6$ 。

(1) $- 1 < x < 2$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上遞減，錯。

(2) $x < - 1$ 時 $f^{'} (x) > 0$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1]$ 上遞增，錯。

(3) $f^{''} (x) > 0$ 即 $x > \frac{1}{2}$ ，區間 $(3, \infty)$ 整段在 $x > \frac{1}{2}$ ，凹口向上，正確。

(4) 區間 $(- 1, 2)$ 中 $\frac{1}{2} < x < 2$ 的一段 $f^{''} (x) > 0$ ，凹口向上，不是整段凹口向下，錯。

反曲點在

x = \frac{1}{2}

；凹向由二階導數決定，和遞增遞減（一階導數）是兩回事。

第 3 題

答案 (2)(4)。設反曲點 $A$ 的 $x$ 坐標為 $h$ 。由圖， $A$ 在 $y$ 軸右側， $h > 0$ ；圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方。

(1) 錯誤。 由圖， $x$ 愈大圖形愈往上，三次函數的首項係數 $a > 0$ 。

(2) 正確。 $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ ，反曲點的 $x$ 坐標是 $f^{''} (x) = 0$ 的解 $h = - \frac{b}{3 a}$ 。 $h > 0$ 且 $a > 0$ ，所以 $b < 0$ 。

(3) 錯誤。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ 是開口向上的二次函數，頂點的 $x$ 坐標是 $- \frac{2 b}{6 a} = h$ ，而 $A$ 處有水平切線， $f^{'} (h) = 0$ ，所以 $f^{'} (x)$ 的最小值是 $0$ ， $f^{'} (x) \geq 0$ 且只在 $x = h$ 等於 $0$ 。 $h \neq = 0$ ，所以 $c = f^{'} (0) > 0$ 。

(4) 正確。 $d = f (0)$ 是圖形與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標，由圖在 $x$ 軸下方， $d < 0$ 。

(5) 錯誤。 由 (3)，二次函數 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ 的最小值為 $0$ ，方程式 $f^{'} (x) = 0$ 有重根，判別式 $(2 b)^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot c = 4 (b^{2} - 3 a c) = 0$ ，所以 $b^{2} - 3 a c = 0$ ，不是大於 $0$ 。

也可以把

f (x)

寫成

a (x - h)^{3} + k

（

k

為

A

的

y

坐標）展開比較：

b = - 3 ah

、

c = 3 a h^{2}

、

d = - a h^{3} + k

，由

a > 0

、

h > 0

、

k < 0

同樣得到

b < 0

、

c > 0

、

d < 0

、

b^{2} - 3 a c = 9 a^{2} h^{2} - 9 a^{2} h^{2} = 0

。

第 4 題

答案 (1)(5)。

(1) 正確。 $x = 2$ 在區間 $[1, 5]$ 的內部， $f (2)$ 是最大值，所以在 $x = 2$ 附近 $f (x) \leq f (2)$ ， $f (2)$ 是極大值；多項式函數處處可微，在極值點的導數為 $0$ ， $f^{'} (2) = 0$ 。

(2) 錯誤。 $f^{'} (3) = 0$ 且 $f^{''} (3) > 0$ ，圖形在 $x = 3$ 附近凹口向上， $f (3)$ 是極小值，不是極大值。例如 $f (x) = (x - 3)^{2}$ 。

(3) 錯誤。 遞增的圖形仍可能改變凹向。例如 $f (x) = (x - 2)^{3} + x$ ： $f^{'} (x) = 3 (x - 2)^{2} + 1 > 0$ 處處成立，但 $f^{''} (x) = 6 (x - 2)$ 在 $x = 2$ 兩側變號， $(2, 2)$ 是反曲點，就在區間 $(1, 3)$ 內。

(4) 錯誤。 反曲點要二階導數在兩側變號。例如 $f (x) = (x - 3)^{4}$ ： $f^{''} (x) = 12 (x - 3)^{2}$ ， $f^{''} (3) = 0$ ，但兩側 $f^{''} (x) > 0$ 都是凹口向上， $(3, 0)$ 不是反曲點。

(5) 正確。 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ （ $a \neq = 0$ ）， $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ 是一次函數，在 $x = - \frac{b}{3 a}$ 兩側一定變號，所以三次函數的圖形一定有反曲點。

第 7 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ 。在 $x = 1$ 有極值， $f^{'} (1) = 3 + 2 a + b = 0$ ；極小值為 $1$ ， $f (1) = 1 + a + b + 4 = 1$ ，即 $a + b = - 4$ 。第一式寫成 $2 a + b = - 3$ ，兩式相減得 $a = 1$ ，再代回得 $b = - 5$ 。

檢查： $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 = (3 x + 5) (x - 1)$ ， $x$ 由小於 $1$ 變到大於 $1$ 時 $f^{'} (x)$ 由負變正， $x = 1$ 確實是極小值。 $(a, b) = (1, - 5)$ 。

f^{'} (1) = 0

只說明

x = 1

可能是極值，還要確認是極小值；也可以用

f^{''} (1) = 6 + 2 a = 8 > 0

確認。

第 16 題

設 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 。 $(0, 0)$ 在圖形上： $d = f (0) = 0$ 。 $(0, 0)$ 是反曲點： $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ ， $f^{''} (0) = 2 b = 0$ ， $b = 0$ 。所以 $f (x) = a x^{3} + c x$ 。

在 $(1, - 2)$ 有水平切線： $f (1) = a + c = - 2$ ， $f^{'} (1) = 3 a + c = 0$ 。相減得 $2 a = 2$ ， $a = 1$ ， $c = - 3$ 。所以 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 。

檢查：

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3

，

f^{'} (1) = 0

；

f (1) = - 2

；

f^{''} (x) = 6 x

在

x = 0

兩側變號，

(0, 0)

確實是反曲點。

遞增遞減看一階導數、凹向看二階導數；導數為零或二階導數為零都只是候選，要看兩側是否變號。

02單選第 2 題與填充 1、3、5、6（第 5、6、8、10、11 題）：定積分的性質與面積

第 2 題答案 (2)。

R_{1}

在

x

軸下方（

1 \leq x \leq 2

），那一段

f (x) \leq 0

，

\int_{1}^{2} f (x) d x = - 3

；

R_{2}

在

x

軸上方（

2 \leq x \leq 4

），

\int_{2}^{4} f (x) d x = 5

。所以

\int_{1}^{4} f (x) d x = - 3 + 5 = 2

。

面積一定是正的，定積分在

x

軸下方的部分是負的；把

3 + 5 = 8

當答案就是把兩者混在一起了。

第 5 題上限與下限相同時，積分區間沒有長度，

\int_{4}^{4} f (x) d x = 0

。

第 6 題

由區間可加性， $\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{4} f (x) d x - \int_{3}^{4} f (x) d x = 5 - 7 = - 2$ 。所以

$\int_{1}^{3} (2 f (x) - 4) d x = 2 \int_{1}^{3} f (x) d x - \int_{1}^{3} 4 d x = 2 \times (- 2) - 4 \times 2 = - 12$

常數

4

在

[1, 3]

上的定積分是

4 \times (3 - 1) = 8

，不是

4

。

第 8 題

x^{2} \geq 0

，圖形在

x

軸上方，面積

= \int_{1}^{3} x^{2} d x = [\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}

。

第 10 題

$f (x) = - x^{2} + 1 = - (x + 1) (x - 1)$ ： $0 \leq x \leq 1$ 時 $f (x) \geq 0$ ，圖形在 $x$ 軸上方； $1 \leq x \leq 3$ 時 $f (x) \leq 0$ ，圖形在 $x$ 軸下方，那一段要加負號。

$\int_{0}^{1} (- x^{2} + 1) d x = [- \frac{1}{3} x^{3} + x]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$

$- \int_{1}^{3} (- x^{2} + 1) d x = [\frac{1}{3} x^{3} - x]_{1}^{3} = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{20}{3}$

面積 $= \frac{2}{3} + \frac{20}{3} = \frac{22}{3}$ 。

直接算

\int_{0}^{3} (- x^{2} + 1) d x = - 9 + 3 = - 6

是「上方面積減下方面積」，不是面積。

第 11 題

∣ x ∣

在

x \geq 0

時是

x

，在

x < 0

時是

- x

，分段積分：

\int_{- 2}^{2} ∣ x ∣ d x = \int_{- 2}^{0} (- x) d x + \int_{0}^{2} x d x = 2 + 2 = 4

。

幾何意義：

y = ∣ x ∣

在

[- 2, 2]

上與

x

軸圍成兩個直角邊都是

2

的等腰直角三角形，面積

2 \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 4

。

定積分是「有正負號的面積」；求面積前先找出圖形在 x 軸下方的區段，那一段要取負號。

03填充 4、7、8、10、11（第 9、12～15、17、18 題）：函數值的平均與經濟上的應用

第 9 題平均溫度

= \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} (- t^{2} + 6 t) d t = \frac{1}{3} [- \frac{1}{3} t^{3} + 3 t^{2}]_{0}^{3} = \frac{1}{3} (- 9 + 27) = 6

（℃）。

第 12 題訂價

40

元：

- 0.2 x + 50 = 40

，

0.2 x = 10

，

x = 50

，需求量為

50

件。

第 13 題

消費者剩餘是需求曲線 $p = D (x)$ 在價格線 $p = 40$ 上方、 $0 \leq x \leq 50$ 的部分：

$\int_{0}^{50} (D (x) - 40) d x = \int_{0}^{50} (10 - 0.2 x) d x = [10 x - 0.1 x^{2}]_{0}^{50} = 500 - 250 = 250$

消費者剩餘為 $250$ 元。

這是一個兩股為

50

與

10

的直角三角形，面積

\frac{1}{2} \times 50 \times 10 = 250

，可以互相核對。

第 14 題均衡時需求價格等於供給價格：

- 2 x^{2} + 252 = 5 x^{2}

，

7 x^{2} = 252

，

x^{2} = 36

，件數

x > 0

，

x = 6

；價格

S (6) = 5 \times 36 = 180

。均衡點為

(6, 180)

，即均衡數量

6

件、均衡價格

180

元。

第 15 題

生產者剩餘是價格線 $p = 180$ 在供給曲線 $p = S (x)$ 上方、 $0 \leq x \leq 6$ 的部分：

$\int_{0}^{6} (180 - 5 x^{2}) d x = [180 x - \frac{5}{3} x^{3}]_{0}^{6} = 1080 - 360 = 720$

生產者剩餘為 $720$ （元）。

消費者剩餘用「需求曲線減價格」，生產者剩餘用「價格減供給曲線」，兩者不要對調。本題的消費者剩餘是

\int_{0}^{6} (- 2 x^{2} + 252 - 180) d x = 288

，與所求不同。

第 17 題利潤

P (x) = 90 x - C (x) = 90 x - (x^{2} - 10 x + 30) = - x^{2} + 100 x - 30

。

P^{'} (x) = - 2 x + 100

，

x < 50

時

P^{'} (x) > 0

、

x > 50

時

P^{'} (x) < 0

，所以

x = 50

時利潤最大：

P (50) = - 2500 + 5000 - 30 = 2470

（元）。

利潤是「收入減成本」，收入是

90 x

；只看成本函數的最低點

x = 5

是錯的。

第 18 題

邊際利潤是利潤函數的導函數，產量從 $10$ 件增加到 $k$ 件增加的利潤是 $\int_{10}^{k} (- 0.2 x + 100) d x = [- 0.1 x^{2} + 100 x]_{10}^{k} = - 0.1 (k^{2} - 100) + 100 (k - 10)$ 。

增加的 $k - 10$ 件每件的平均利潤：

$\frac{- 0.1 ( k - 10 ) ( k + 10 ) + 100 ( k - 10 )}{k - 10} = - 0.1 (k + 10) + 100$

令它等於 $95$ ： $0.1 (k + 10) = 5$ ， $k + 10 = 50$ ， $k = 40$ 。

檢查：

\int_{10}^{40} (- 0.2 x + 100) d x = (- 160 + 4000) - (- 10 + 1000) = 2850

，

2850 \div 30 = 95

。

函數值的平均＝定積分除以區間長；消費者剩餘、生產者剩餘都是兩條線之間的面積，先畫出誰在上方。

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多選第 1 題要由反曲點的位置與水平切線同時判斷各係數，最容易把最後一項的等號看成大於；多選第 2 題的導數為零或二階導數為零都只是候選，要用反例檢查；填充第 5 題（本頁第 10 題）的圖形有一段在 x 軸下方，直接積分會得到負數；填充第 8 題（本頁第 15 題）的生產者剩餘要用價格減供給函數，不要和消費者剩餘對調。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高三

溪湖高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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一、單選題：共 16 分，每題 8 分。

關於函數

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10

，選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 在區間 $[- 1, 2]$ 上是遞增函數。
(2) $f (x)$ 在區間 $(- \infty, - 1]$ 上是嚴格遞減函數。
(3) $f (x)$ 在區間 $(3, \infty)$ 的圖形是凹口向上。
(4) $f (x)$ 在區間 $(- 1, 2)$ 的圖形是凹口向下。

如下圖所示，

R_{1}

與

R_{2}

是函數

f (x)

的圖形與

x

軸，

x = 1

及

x = 4

所圍成的二個區域。已知

R_{1}

的面積為

3

，

R_{2}

的面積為

5

，試問

\int_{1}^{4} f (x) d x

之值為何？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $4$
(4) $8$

載入中...

二、多重選擇題：共 16 分，每題全對得 8 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個得 3 分，錯三個以上或未作答得 0 分。

如下圖，為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形及通過反曲點

A

的水平切線，選出正確的選項：

(1) $a < 0$
(2) $b < 0$
(3) $c < 0$
(4) $d < 0$
(5) $b^{2} - 3 a c > 0$

載入中...

以下關於多項式函數

f (x)

的敘述，選出正確的選項：

(1) 若 $f (2)$ 是 $f (x)$ 在閉區間 $[1, 5]$ 上的最大值，則 $f^{'} (2) = 0$ 。
(2) 若 $f^{'} (3) = 0$ 且 $f^{''} (3) > 0$ ，則 $f (x)$ 在 $x = 3$ 處有極大值。
(3) 若 $f^{'} (x) > 0$ 在區間 $(1, 3)$ 上都成立，則 $f (x)$ 在區間 $(1, 3)$ 的圖形不存在反曲點。
(4) $f^{''} (3) = 0$ ，則 $(3, f (3))$ 為 $f (x)$ 圖形的反曲點。
(5) 若 $f (x)$ 為三次函數，則 $f (x)$ 的圖形必有反曲點存在。

三、填充題：共 68 分

填充第 1 題（第 5～6 題）　已知函數

f (x)

滿足

\int_{1}^{4} f (x) d x = 5

且

\int_{3}^{4} f (x) d x = 7

，求下列各式的值：

(1)

\int_{4}^{4} f (x) d x =

____

(2)

\int_{1}^{3} (2 f (x) - 4) d x =

____

已知函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 4

在

x = 1

處有極小值

1

，求實數對

(a, b) =

____

已知

R

為函數

f (x) = x^{2}

的圖形與

x

軸、

x = 1

及

x = 3

所圍成的區域，求

R

的面積為 ____

設某處在時間

t

（時）的溫度可表成函數

f (t) = - t^{2} + 6 t

（℃），

0 \leq t \leq 3

。試求在時段

0 \leq t \leq 3

內，該處的平均溫度為 ____ ℃

已知

R

為函數

f (x) = - x^{2} + 1

的圖形與

x

軸、

x = 0

及

x = 3

所圍成的區域，求

R

的面積為 ____

求定積分

\int_{- 2}^{2} ∣ x ∣ d x =

____

填充第 7 題（第 12～13 題）　在市場上，已知某商品需求量

x

件的價格為

D (x) = - 0.2 x + 50

（元），即

D (x)

為該商品的需求函數，求該商品在訂價

40

元時的：

(1) 需求量為 ____ 件。

(2) 消費者剩餘為 ____ 元。

填充第 8 題（第 14～15 題）　在市場上，已知某商品

x

件的需求函數與供給函數分別為

D (x) = - 2 x^{2} + 252

（元），

S (x) = 5 x^{2}

（元），求：

(1) 均衡點為 ____

(2) 在均衡價格的生產者剩餘為 ____

已知三次函數

f (x)

在點

(1, - 2)

處有水平切線，且

(0, 0)

是其圖形的反曲點，求

f (x) =

____

設生產

x

件產品的成本函數為

C (x) = x^{2} - 10 x + 30

（元）。若每件產品的銷售價為

90

元，則生產此產品可獲得的最大利潤為 ____ 元

設生產

x

件產品的邊際利潤函數為

f (x) = - 0.2 x + 100

（元）。若欲使產量從

10

件增加到

k

件時，增加之產品每件的平均利潤達到

95

元，則

k

值應為 ____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(1)(5)

第 5 題

0

第 6 題

- 12

第 7 題

(1, - 5)

第 8 題

\frac{26}{3}

第 9 題

6

第 10 題

\frac{22}{3}

第 11 題

4

第 12 題

50

第 13 題

250

第 14 題

(6, 180)

（均衡數量 6 件、均衡價格 180 元）

第 15 題

720

第 16 題

x^{3} - 3 x

第 17 題

2470

第 18 題

40

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1 題、多選第 1、2 題與填充 2、9（第 7、16 題）：單調性、凹向、極值與反曲點

第 1 題

答案 (3)。 $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x + 1) (x - 2)$ ， $f^{''} (x) = 12 x - 6$ 。

(1) $- 1 < x < 2$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上遞減，錯。

(2) $x < - 1$ 時 $f^{'} (x) > 0$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1]$ 上遞增，錯。

(3) $f^{''} (x) > 0$ 即 $x > \frac{1}{2}$ ，區間 $(3, \infty)$ 整段在 $x > \frac{1}{2}$ ，凹口向上，正確。

(4) 區間 $(- 1, 2)$ 中 $\frac{1}{2} < x < 2$ 的一段 $f^{''} (x) > 0$ ，凹口向上，不是整段凹口向下，錯。

反曲點在

x = \frac{1}{2}

；凹向由二階導數決定，和遞增遞減（一階導數）是兩回事。

第 3 題

答案 (2)(4)。設反曲點 $A$ 的 $x$ 坐標為 $h$ 。由圖， $A$ 在 $y$ 軸右側， $h > 0$ ；圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方。

(1) 錯誤。 由圖， $x$ 愈大圖形愈往上，三次函數的首項係數 $a > 0$ 。

(2) 正確。 $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ ，反曲點的 $x$ 坐標是 $f^{''} (x) = 0$ 的解 $h = - \frac{b}{3 a}$ 。 $h > 0$ 且 $a > 0$ ，所以 $b < 0$ 。

(4) 正確。 $d = f (0)$ 是圖形與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標，由圖在 $x$ 軸下方， $d < 0$ 。

也可以把

f (x)

寫成

a (x - h)^{3} + k

（

k

為

A

的

y

坐標）展開比較：

b = - 3 ah

、

c = 3 a h^{2}

、

d = - a h^{3} + k

，由

a > 0

、

h > 0

、

k < 0

同樣得到

b < 0

、

c > 0

、

d < 0

、

b^{2} - 3 a c = 9 a^{2} h^{2} - 9 a^{2} h^{2} = 0

。

第 4 題

答案 (1)(5)。

(2) 錯誤。 $f^{'} (3) = 0$ 且 $f^{''} (3) > 0$ ，圖形在 $x = 3$ 附近凹口向上， $f (3)$ 是極小值，不是極大值。例如 $f (x) = (x - 3)^{2}$ 。

第 7 題

檢查： $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 = (3 x + 5) (x - 1)$ ， $x$ 由小於 $1$ 變到大於 $1$ 時 $f^{'} (x)$ 由負變正， $x = 1$ 確實是極小值。 $(a, b) = (1, - 5)$ 。

f^{'} (1) = 0

只說明

x = 1

可能是極值，還要確認是極小值；也可以用

f^{''} (1) = 6 + 2 a = 8 > 0

確認。

第 16 題

在 $(1, - 2)$ 有水平切線： $f (1) = a + c = - 2$ ， $f^{'} (1) = 3 a + c = 0$ 。相減得 $2 a = 2$ ， $a = 1$ ， $c = - 3$ 。所以 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 。

檢查：

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3

，

f^{'} (1) = 0

；

f (1) = - 2

；

f^{''} (x) = 6 x

在

x = 0

兩側變號，

(0, 0)

確實是反曲點。

遞增遞減看一階導數、凹向看二階導數；導數為零或二階導數為零都只是候選，要看兩側是否變號。

02單選第 2 題與填充 1、3、5、6（第 5、6、8、10、11 題）：定積分的性質與面積

第 2 題答案 (2)。

R_{1}

在

x

軸下方（

1 \leq x \leq 2

），那一段

f (x) \leq 0

，

\int_{1}^{2} f (x) d x = - 3

；

R_{2}

在

x

軸上方（

2 \leq x \leq 4

），

\int_{2}^{4} f (x) d x = 5

。所以

\int_{1}^{4} f (x) d x = - 3 + 5 = 2

。

面積一定是正的，定積分在

x

軸下方的部分是負的；把

3 + 5 = 8

當答案就是把兩者混在一起了。

第 5 題上限與下限相同時，積分區間沒有長度，

\int_{4}^{4} f (x) d x = 0

。

第 6 題

由區間可加性， $\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{4} f (x) d x - \int_{3}^{4} f (x) d x = 5 - 7 = - 2$ 。所以

$\int_{1}^{3} (2 f (x) - 4) d x = 2 \int_{1}^{3} f (x) d x - \int_{1}^{3} 4 d x = 2 \times (- 2) - 4 \times 2 = - 12$

常數

4

在

[1, 3]

上的定積分是

4 \times (3 - 1) = 8

，不是

4

。

第 8 題

x^{2} \geq 0

，圖形在

x

軸上方，面積

= \int_{1}^{3} x^{2} d x = [\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}

。

第 10 題

$\int_{0}^{1} (- x^{2} + 1) d x = [- \frac{1}{3} x^{3} + x]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$

$- \int_{1}^{3} (- x^{2} + 1) d x = [\frac{1}{3} x^{3} - x]_{1}^{3} = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{20}{3}$

面積 $= \frac{2}{3} + \frac{20}{3} = \frac{22}{3}$ 。

直接算

\int_{0}^{3} (- x^{2} + 1) d x = - 9 + 3 = - 6

是「上方面積減下方面積」，不是面積。

第 11 題

∣ x ∣

在

x \geq 0

時是

x

，在

x < 0

時是

- x

，分段積分：

\int_{- 2}^{2} ∣ x ∣ d x = \int_{- 2}^{0} (- x) d x + \int_{0}^{2} x d x = 2 + 2 = 4

。

幾何意義：

y = ∣ x ∣

在

[- 2, 2]

上與

x

軸圍成兩個直角邊都是

2

的等腰直角三角形，面積

2 \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 4

。

定積分是「有正負號的面積」；求面積前先找出圖形在 x 軸下方的區段，那一段要取負號。

03填充 4、7、8、10、11（第 9、12～15、17、18 題）：函數值的平均與經濟上的應用

第 9 題平均溫度

= \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} (- t^{2} + 6 t) d t = \frac{1}{3} [- \frac{1}{3} t^{3} + 3 t^{2}]_{0}^{3} = \frac{1}{3} (- 9 + 27) = 6

（℃）。

第 12 題訂價

40

元：

- 0.2 x + 50 = 40

，

0.2 x = 10

，

x = 50

，需求量為

50

件。

第 13 題

消費者剩餘是需求曲線 $p = D (x)$ 在價格線 $p = 40$ 上方、 $0 \leq x \leq 50$ 的部分：

$\int_{0}^{50} (D (x) - 40) d x = \int_{0}^{50} (10 - 0.2 x) d x = [10 x - 0.1 x^{2}]_{0}^{50} = 500 - 250 = 250$

消費者剩餘為 $250$ 元。

這是一個兩股為

50

與

10

的直角三角形，面積

\frac{1}{2} \times 50 \times 10 = 250

，可以互相核對。

第 14 題均衡時需求價格等於供給價格：

- 2 x^{2} + 252 = 5 x^{2}

，

7 x^{2} = 252

，

x^{2} = 36

，件數

x > 0

，

x = 6

；價格

S (6) = 5 \times 36 = 180

。均衡點為

(6, 180)

，即均衡數量

6

件、均衡價格

180

元。

第 15 題

生產者剩餘是價格線 $p = 180$ 在供給曲線 $p = S (x)$ 上方、 $0 \leq x \leq 6$ 的部分：

$\int_{0}^{6} (180 - 5 x^{2}) d x = [180 x - \frac{5}{3} x^{3}]_{0}^{6} = 1080 - 360 = 720$

生產者剩餘為 $720$ （元）。

消費者剩餘用「需求曲線減價格」，生產者剩餘用「價格減供給曲線」，兩者不要對調。本題的消費者剩餘是

\int_{0}^{6} (- 2 x^{2} + 252 - 180) d x = 288

，與所求不同。

第 17 題利潤

P (x) = 90 x - C (x) = 90 x - (x^{2} - 10 x + 30) = - x^{2} + 100 x - 30

。

P^{'} (x) = - 2 x + 100

，

x < 50

時

P^{'} (x) > 0

、

x > 50

時

P^{'} (x) < 0

，所以

x = 50

時利潤最大：

P (50) = - 2500 + 5000 - 30 = 2470

（元）。

利潤是「收入減成本」，收入是

90 x

；只看成本函數的最低點

x = 5

是錯的。

第 18 題

增加的 $k - 10$ 件每件的平均利潤：

$\frac{- 0.1 ( k - 10 ) ( k + 10 ) + 100 ( k - 10 )}{k - 10} = - 0.1 (k + 10) + 100$

令它等於 $95$ ： $0.1 (k + 10) = 5$ ， $k + 10 = 50$ ， $k = 40$ 。

檢查：

\int_{10}^{40} (- 0.2 x + 100) d x = (- 160 + 4000) - (- 10 + 1000) = 2850

，

2850 \div 30 = 95

。

函數值的平均＝定積分除以區間長；消費者剩餘、生產者剩餘都是兩條線之間的面積，先畫出誰在上方。

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