段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律與指數函數、對數與對數律、指數與對數方程式與不等式、應用）

溪湖高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 溪湖高中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 溪湖高中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題四個數要先化成同一個底數或算出大約的值再比較，負指數會把大小顛倒；第 12 題對數方程式解出兩個根，要用真數條件刪掉一個；第 16 題要用對數算 1.5 的幾次方超過一萬六千三百，答的是第幾張而不是次方數；第 20 題 bc 恰好等於十的六次方，是七位數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

填充題 18 格（每格 5 分，共 90 分）、多選題 2 題（每題全對給 5 分，錯 1 個選項給 3 分，其他給 0 分，共 10 分），合計 100 分；卷頭附參考對數值 log 1.63 ≈ 0.212，log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，log 7 ≈ 0.8451。本頁題號與原卷相同。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、填充題（每格 5 分，共 90 分）

3^{x^{2}} = 3^{4 x - 4}

，則

x

的解為 ____。

2^{\frac{x}{30}} = 1024

，則

x

的解為 ____。

4^{x} - 2^{x} - 2 = 0

，則

x

的解為 ____。

a = 0.3

b = (0.09)^{- 0.5}

c = (\frac{10}{3})^{- \frac{3}{2}}

d = 1

，比較此四數的大小關係 ____。

a = 3^{10} + 3^{11}

、

b = 3^{12} - 3^{11}

、

c = \frac{3 ^{10} + 3 ^{12}}{2}

，比較此三數的大小關係 ____。

鉛製容器中有兩種質量相同的放射性物質甲與乙，且甲的半衰期為

30

小時。已知經過

120

小時後甲的質量為乙的

4

倍，求乙的半衰期為幾小時 ____。

已知

x = lo g_{3} 5

，則

3^{2 x} =

____。

求

lo g \frac{1}{300} + lo g \frac{1}{10} + lo g 30

的值 ____。

求

lo g \frac{7}{36} + 5 lo g 2 - lo g \frac{14}{25} + 2 lo g 3

的值 ____。

求

(lo g_{2} 5) \times (lo g_{5} 8 + lo g_{25} 16)

的值 ____。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則

lo g_{3} 25 =

____。（以

a

，

b

表示）

lo g 4 + lo g (x + 1) = 2 lo g (x - 7)

，則

x

的解為 ____。

lo g (1 0^{x} + 100) = \frac{x}{2} + 1 + lo g 2

，則

x

的解為 ____。

2019 新型冠狀病毒(COVID-19)目前已知主要的傳染方式為近距離飛沫、接觸(直接或間接)傳染。醫用口罩的主要功用是阻擋使用者的飛沫傳給他人，亦能以外層 PP 防潑水材質，阻隔他人的飛沫傳到使用者的口和鼻。已知一奈米為

1 0^{- 9}

米，若某種變異 2019 新型冠狀病毒(COVID-19)的直徑為

x

米，且

lo g x = - 7.1549

，試求此病毒的直徑約為 ____ 奈米。

星星的「視星等」

y

與其「亮度」

x

之間的關係為函數

y = - \frac{5}{2} lo g (\frac{x}{a})

，其中

a

是織女星的亮度。已知觀測到某星的視星等為

2.5

，試問：該星的亮度為織女星亮度的多少倍？ ____

懷海德教授曾在《美國物理期刊》發表：「一張骨牌能推倒另一張比它大的骨牌。」探索頻道（Discovery）依此做了實驗，他們設計的骨牌如下：第

1

張骨牌的高度為

2

英吋，之後每一張骨牌的高度皆為前一張骨牌高度的

1.5

倍。在此數學模型下，從第幾張骨牌開始，骨牌的高度會超過世界第一高塔杜拜哈里發塔的高度（約

32600

英吋）？ ____

載入中...

4 \times (\frac{1}{3})^{x} - (\frac{1}{9})^{x} - 3 > 0

，求

x

的解為 ____。

已知

a > 1

，且知當

0 \leq x \leq 3

時，

y = a^{x^{2} - 2 x + 3}

的最大值為

\frac{27}{8}

，則

a =

____。

二、多選題（每題全對給 5 分，錯 1 個選項給 3 分，其他給 0 分，共 10 分）

今年高二的原神，有存款五萬元，他希望上大學時可以買一臺價值

52019

元的筆電給自己，平常沒空打工賺錢的他，決定將五萬元存在銀行，兩年後領出，請問下列哪些選項，兩年後領出時，本利和會超過

52019

元。

(A) 年利率 $1.5%$ ，一年計息一次，單利計算
(B) 年利率 $2%$ ，一年計息一次，單利計算
(C) 年利率 $2%$ ，一年計息一次，複利計算
(D) 年利率 $1.5%$ ，一年計息一次，複利計算
(E) 年利率 $2%$ ，半年計息一次，複利計算。

設

a

、

b

、

c

為實數且滿足

lo g a = 1.2

、

lo g b = 2.4

、

lo g c = 3.6

，試選出正確的選項。

(A) $a$ 的整數部分是 $1$ 位數
(B) $b^{2} = a c$
(C) $300 < b < 400$
(D) $3000 < c < 4000$
(E) $b c$ 的整數部分有可能是 $6$ 位數。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

x = 2

第 2 題

x = 300

第 3 題

x = 1

第 4 題

b > d > a > c

第 5 題

b > c > a

第 6 題

20

小時

第 7 題

25

第 8 題

- 1

第 9 題

2

第 10 題

5

第 11 題

\frac{2 ( 1 - a )}{b}

第 12 題

x = 15

第 13 題

x = 2

第 14 題

70

奈米

第 15 題

\frac{1}{10}

倍

第 16 題第

25

張

第 17 題

- 1 < x < 0

第 18 題

\frac{6}{2}

第 19 題(C)(E)

第 20 題(B)(D)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充 1～3：指數方程式

第 1 題兩邊同底

3

，指數函數是一對一的，所以指數相等：

x^{2} = 4 x - 4

，即

x^{2} - 4 x + 4 = 0

，

(x - 2)^{2} = 0

，得

x = 2

。

第 2 題

1024 = 2^{10}

，所以

2^{\frac{x}{30}} = 2^{10}

，得

\frac{x}{30} = 10

，

x = 300

。

第 3 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），則

4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

，方程式變成

t^{2} - t - 2 = 0

，即

(t - 2) (t + 1) = 0

，

t = 2

或

t = - 1

。因為

t > 0

，只取

t = 2

，即

2^{x} = 2

，得

x = 1

。

t = - 1

不合：

2^{x}

一定是正數。

指數方程式先化成同底，比較指數；出現 4 的 x 次方與 2 的 x 次方時，令 t 等於 2 的 x 次方化成二次方程式，記得 t 要大於 0。

02填充 4～5：比較大小

第 4 題

都化成以 $0.3$ 為底： $a = 0.3 = (0.3)^{\frac{1}{2}}$ ； $b = (0.09)^{- 0.5} = ((0.3)^{2})^{- \frac{1}{2}} = (0.3)^{- 1}$ ； $c = (\frac{10}{3})^{- \frac{3}{2}} = ((0.3)^{- 1})^{- \frac{3}{2}} = (0.3)^{\frac{3}{2}}$ ； $d = 1 = (0.3)^{0}$ 。

底數 $0.3$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = (0.3)^{x}$ 遞減，指數越大值越小。指數由小到大是 $- 1 < 0 < \frac{1}{2} < \frac{3}{2}$ ，所以 $b > d > a > c$ 。

近似值：

b = \frac{10}{3} \approx 3.33

，

a \approx 0.548

，

c \approx 0.164

。

第 5 題

都提出 $3^{10}$ ： $a = 3^{10} (1 + 3) = 4 \cdot 3^{10}$ ； $b = 3^{11} (3 - 1) = 2 \cdot 3^{11} = 6 \cdot 3^{10}$ ； $c = \frac{3 ^{10} ( 1 + 9 )}{2} = 5 \cdot 3^{10}$ 。

$3^{10} > 0$ ，只要比較 $4$ 、 $6$ 、 $5$ ，所以 $b > c > a$ 。

比較幾個指數式的大小，先化成同一個底數比較指數（注意底數小於 1 時大小相反），或提出共同的因式再比較剩下的係數。

03填充 6：半衰期

第 6 題

設兩種物質原本的質量都是 $m$ ，乙的半衰期為 $T$ 小時。經過 $120$ 小時：甲經過 $\frac{120}{30} = 4$ 個半衰期，剩 $m (\frac{1}{2})^{4}$ ；乙剩 $m (\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}}$ 。

甲為乙的 $4$ 倍： $m (\frac{1}{2})^{4} = 4 \cdot m (\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}}$ ，即 $(\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}} = \frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{6}$ 。所以 $\frac{120}{T} = 6$ ， $T = 20$ ，乙的半衰期為 $20$ 小時。

檢查：

120

小時是乙的

6

個半衰期，乙剩

\frac{m}{64}

；甲剩

\frac{m}{16}

，正好是乙的

4

倍。

半衰期為 T 時，經過 t 時間剩下原來的二分之一的 T 分之 t 次方；兩者相比時把剩下的量寫成同底的次方。

04填充 7～11：對數律與換底公式

第 7 題由

x = lo g_{3} 5

得

3^{x} = 5

。

3^{2 x} = (3^{x})^{2} = 5^{2} = 25

。

第 8 題由對數律，原式

= lo g (\frac{1}{300} \times \frac{1}{10} \times 30) = lo g \frac{30}{3000} = lo g \frac{1}{100} = lo g \frac{1}{10} = - 1

。

第 9 題

$5 lo g 2 = lo g 32$ ， $2 lo g 3 = lo g 9$ 。原式 $= lo g (\frac{7}{36} \times 32 \div \frac{14}{25} \times 9) = lo g \frac{7 \times 32 \times 25 \times 9}{36 \times 14}$ 。

分子 $= 50400$ ，分母 $= 504$ ，所以原式 $= lo g 100 = 2$ 。

第 10 題

$lo g_{5} 8 = lo g_{5} 2^{3} = 3 lo g_{5} 2$ ； $lo g_{25} 16 = lo g_{5^{2}} 2^{4} = \frac{4}{2} lo g_{5} 2 = 2 lo g_{5} 2$ 。括號內 $= 5 lo g_{5} 2$ 。

所以原式 $= lo g_{2} 5 \times 5 lo g_{5} 2 = 5 \times (lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2) = 5 \times 1 = 5$ 。

lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = \frac{lo g 5}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 5} = 1

。

第 11 題換底：

lo g_{3} 25 = \frac{lo g 25}{lo g 3} = \frac{2 lo g 5}{lo g 3}

。又

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 = 1 - a

，所以

lo g_{3} 25 = \frac{2 ( 1 - a )}{b}

。

用參考值檢查：

\frac{2 ( 1 - 0.3010 )}{0.4771} \approx 2.930

，而

3^{2.930} \approx 25

。

對數律把積、商、次方化成和、差、倍數；不同底數的對數用換底公式統一成常用對數，log 5 要寫成 1 減 log 2。

05填充 12～13：對數方程式

第 12 題

真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $x - 7 > 0$ ，即 $x > 7$ 。

由對數律， $lo g [4 (x + 1)] = lo g (x - 7)^{2}$ ，所以 $4 (x + 1) = (x - 7)^{2}$ ， $4 x + 4 = x^{2} - 14 x + 49$ ， $x^{2} - 18 x + 45 = 0$ ， $(x - 3) (x - 15) = 0$ ， $x = 3$ 或 $x = 15$ 。

$x = 3$ 不滿足 $x > 7$ （ $lo g (3 - 7)$ 沒有意義），所以只取 $x = 15$ 。

檢查：左邊

lo g 4 + lo g 16 = lo g 64

；右邊

2 lo g 8 = lo g 64

，相等。

第 13 題

右邊 $= lo g 1 0^{\frac{x}{2}} + lo g 10 + lo g 2 = lo g (20 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}})$ 。所以 $1 0^{x} + 100 = 20 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}}$ 。

令 $t = 1 0^{\frac{x}{2}}$ （ $t > 0$ ），則 $1 0^{x} = t^{2}$ ，方程式變成 $t^{2} - 20 t + 100 = 0$ ，即 $(t - 10)^{2} = 0$ ， $t = 10$ 。 $1 0^{\frac{x}{2}} = 10$ ，得 $x = 2$ 。

檢查：左邊

lo g (100 + 100) = lo g 200

；右邊

1 + 1 + lo g 2 = lo g 200

，相等。

對數方程式先寫真數條件，用對數律化成兩邊各一個對數再比較真數；解出來要回頭刪掉不合真數條件的根。

06填充 14～16：常用對數的應用

第 14 題

$lo g x = - 7.1549 = 0.8451 - 8$ 。由參考值 $lo g 7 \approx 0.8451$ ，得 $x \approx 7 \times 1 0^{- 8}$ 米。

一奈米為 $1 0^{- 9}$ 米，所以直徑約為 $\frac{7 \times 1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{- 9}} = 7 \times 10 = 70$ 奈米。

把負的對數值寫成「小數部分介於

0

與

1

之間＋整數」：

- 7.1549 = 0.8451 + (- 8)

，小數部分決定有效數字，整數部分決定

10

的次方。

第 15 題把

y = 2.5

代入：

2.5 = - \frac{5}{2} lo g \frac{x}{a}

，所以

lo g \frac{x}{a} = - 1

，

\frac{x}{a} = 1 0^{- 1} = \frac{1}{10}

。該星的亮度為織女星亮度的

\frac{1}{10}

倍。

視星等是正數，比織女星（視星等

0

）暗。

第 16 題

第 $n$ 張骨牌的高度為 $2 \times 1. 5^{n - 1}$ 英吋（等比數列，公比 $1.5$ ）。要 $2 \times 1. 5^{n - 1} > 32600$ ，即 $1. 5^{n - 1} > 16300$ 。

兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，大小關係不變）： $(n - 1) lo g 1.5 > lo g 16300$ 。 $lo g 1.5 = lo g \frac{3}{2} = lo g 3 - lo g 2 \approx 0.4771 - 0.3010 = 0.1761$ ； $lo g 16300 = lo g (1.63 \times 1 0^{4}) = 4 + lo g 1.63 \approx 4.212$ 。

所以 $n - 1 > \frac{4.212}{0.1761} \approx 23.9$ ， $n - 1$ 是整數，最小為 $24$ ， $n = 25$ ：從第 $25$ 張骨牌開始，高度超過 $32600$ 英吋。

實際數值：第

24

張高

2 \times 1. 5^{23} \approx 22445

英吋，第

25

張高

2 \times 1. 5^{24} \approx 33668

英吋。

由 log x 求 x 時把對數值拆成整數加上 0 到 1 之間的小數；問「幾次方會超過」時兩邊取常用對數，再取不小於所得的最小整數。

07填充 17～18：指數不等式與最大值

第 17 題

令 $t = (\frac{1}{3})^{x}$ （ $t > 0$ ），則 $(\frac{1}{9})^{x} = t^{2}$ 。不等式變成 $4 t - t^{2} - 3 > 0$ ，即 $t^{2} - 4 t + 3 < 0$ ， $(t - 1) (t - 3) < 0$ ， $1 < t < 3$ 。

也就是 $(\frac{1}{3})^{0} < (\frac{1}{3})^{x} < (\frac{1}{3})^{- 1}$ 。底數 $\frac{1}{3}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 遞減，不等號方向要反過來： $- 1 < x < 0$ 。

例：

x = - \frac{1}{2}

時

t = 3

，

43 - 3 - 3 \approx 0.93 > 0

，成立。

第 18 題

指數部分 $x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} + 2$ 。在 $0 \leq x \leq 3$ 上， $x = 1$ 時最小為 $2$ ， $x = 3$ 時最大為 $(3 - 1)^{2} + 2 = 6$ （ $x = 0$ 時只有 $3$ ）。

$a > 1$ ， $y = a^{u}$ 隨 $u$ 增加而遞增，所以指數最大時 $y$ 最大： $a^{6} = \frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^{3}$ 。所以 $a^{2} = \frac{3}{2}$ ，又 $a > 1$ ，得 $a = \frac{3}{2} = \frac{6}{2}$ 。

\frac{6}{2} \approx 1.225 > 1

，符合條件。

指數不等式化成二次不等式後，還原時看底數：底數小於 1 不等號要反過來；求指數函數的最大值，先求指數部分的範圍。

08多選 19～20：利息與常用對數的應用

第 19 題

本金 $50000$ 元，兩年後本利和：

(A) 錯誤。 單利： $50000 \times (1 + 2 \times 0.015) = 51500$ ，沒有超過 $52019$ 。

(B) 錯誤。 單利： $50000 \times (1 + 2 \times 0.02) = 52000$ ，比 $52019$ 少 $19$ 元。

(D) 錯誤。 複利： $50000 \times 1.01 5^{2} = 50000 \times 1.030225 = 51511.25$ ，沒有超過。

(E) 正確。 半年計息一次，每期利率 $1%$ ，兩年共 $4$ 期： $50000 \times 1.0 1^{4} = 50000 \times 1.04060401 \approx 52030.2$ ，超過 $52019$ 。

同樣年利率

2%

：單利

52000

＜一年複利

52020

＜半年複利約

52030

，計息次數越多本利和越大。

第 20 題

(A) 錯誤。 $lo g a = 1.2$ ， $1 \leq 1.2 < 2$ ，所以 $10 \leq a < 100$ ， $a$ 的整數部分是 $2$ 位數。

(B) 正確。 $lo g b^{2} = 2 lo g b = 4.8$ ； $lo g (a c) = lo g a + lo g c = 1.2 + 3.6 = 4.8$ 。兩者的對數相等，所以 $b^{2} = a c$ 。

(C) 錯誤。 $lo g b = 2.4 = 2 + 0.4$ 。 $lo g 3 \approx 0.4771 > 0.4$ ，所以 $b < 300$ 。又 $lo g 2 \approx 0.3010 < 0.4$ ，所以 $200 < b < 300$ ，不在 $300$ 與 $400$ 之間。

(D) 正確。 $lo g c = 3.6 = 3 + 0.6$ 。 $lo g 3 \approx 0.4771 < 0.6$ ； $lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020 > 0.6$ 。所以 $3000 < c < 4000$ 。

(E) 錯誤。 $lo g (b c) = 2.4 + 3.6 = 6$ ，所以 $b c = 1 0^{6} = 1000000$ ，恰好是 $7$ 位數，不可能是 $6$ 位數。

近似值：

a \approx 15.8

，

b \approx 251.2

，

c \approx 3981

。

單利只算本金的利息，複利利上加利；由常用對數判斷位數時，看對數值的整數部分，判斷範圍時拿小數部分和 log 2、log 3 比較。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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第 4 題四個數要先化成同一個底數或算出大約的值再比較，負指數會把大小顛倒；第 12 題對數方程式解出兩個根，要用真數條件刪掉一個；第 16 題要用對數算 1.5 的幾次方超過一萬六千三百，答的是第幾張而不是次方數；第 20 題 bc 恰好等於十的六次方，是七位數。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律與指數函數、對數與對數律、指數與對數方程式與不等式、應用）

溪湖高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、填充題（每格 5 分，共 90 分）

3^{x^{2}} = 3^{4 x - 4}

，則

x

的解為 ____。

2^{\frac{x}{30}} = 1024

，則

x

的解為 ____。

4^{x} - 2^{x} - 2 = 0

，則

x

的解為 ____。

a = 0.3

b = (0.09)^{- 0.5}

c = (\frac{10}{3})^{- \frac{3}{2}}

d = 1

，比較此四數的大小關係 ____。

a = 3^{10} + 3^{11}

、

b = 3^{12} - 3^{11}

、

c = \frac{3 ^{10} + 3 ^{12}}{2}

，比較此三數的大小關係 ____。

鉛製容器中有兩種質量相同的放射性物質甲與乙，且甲的半衰期為

30

小時。已知經過

120

小時後甲的質量為乙的

4

倍，求乙的半衰期為幾小時 ____。

已知

x = lo g_{3} 5

，則

3^{2 x} =

____。

求

lo g \frac{1}{300} + lo g \frac{1}{10} + lo g 30

的值 ____。

求

lo g \frac{7}{36} + 5 lo g 2 - lo g \frac{14}{25} + 2 lo g 3

的值 ____。

求

(lo g_{2} 5) \times (lo g_{5} 8 + lo g_{25} 16)

的值 ____。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則

lo g_{3} 25 =

____。（以

a

，

b

表示）

lo g 4 + lo g (x + 1) = 2 lo g (x - 7)

，則

x

的解為 ____。

lo g (1 0^{x} + 100) = \frac{x}{2} + 1 + lo g 2

，則

x

的解為 ____。

1 0^{- 9}

米，若某種變異 2019 新型冠狀病毒(COVID-19)的直徑為

x

米，且

lo g x = - 7.1549

，試求此病毒的直徑約為 ____ 奈米。

星星的「視星等」

y

與其「亮度」

x

之間的關係為函數

y = - \frac{5}{2} lo g (\frac{x}{a})

，其中

a

是織女星的亮度。已知觀測到某星的視星等為

2.5

，試問：該星的亮度為織女星亮度的多少倍？ ____

懷海德教授曾在《美國物理期刊》發表：「一張骨牌能推倒另一張比它大的骨牌。」探索頻道（Discovery）依此做了實驗，他們設計的骨牌如下：第

1

張骨牌的高度為

2

英吋，之後每一張骨牌的高度皆為前一張骨牌高度的

1.5

倍。在此數學模型下，從第幾張骨牌開始，骨牌的高度會超過世界第一高塔杜拜哈里發塔的高度（約

32600

英吋）？ ____

載入中...

4 \times (\frac{1}{3})^{x} - (\frac{1}{9})^{x} - 3 > 0

，求

x

的解為 ____。

已知

a > 1

，且知當

0 \leq x \leq 3

時，

y = a^{x^{2} - 2 x + 3}

的最大值為

\frac{27}{8}

，則

a =

____。

二、多選題（每題全對給 5 分，錯 1 個選項給 3 分，其他給 0 分，共 10 分）

今年高二的原神，有存款五萬元，他希望上大學時可以買一臺價值

52019

元的筆電給自己，平常沒空打工賺錢的他，決定將五萬元存在銀行，兩年後領出，請問下列哪些選項，兩年後領出時，本利和會超過

52019

元。

(A) 年利率 $1.5%$ ，一年計息一次，單利計算
(B) 年利率 $2%$ ，一年計息一次，單利計算
(C) 年利率 $2%$ ，一年計息一次，複利計算
(D) 年利率 $1.5%$ ，一年計息一次，複利計算
(E) 年利率 $2%$ ，半年計息一次，複利計算。

設

a

、

b

、

c

為實數且滿足

lo g a = 1.2

、

lo g b = 2.4

、

lo g c = 3.6

，試選出正確的選項。

(A) $a$ 的整數部分是 $1$ 位數
(B) $b^{2} = a c$
(C) $300 < b < 400$
(D) $3000 < c < 4000$
(E) $b c$ 的整數部分有可能是 $6$ 位數。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

x = 2

第 2 題

x = 300

第 3 題

x = 1

第 4 題

b > d > a > c

第 5 題

b > c > a

第 6 題

20

小時

第 7 題

25

第 8 題

- 1

第 9 題

2

第 10 題

5

第 11 題

\frac{2 ( 1 - a )}{b}

第 12 題

x = 15

第 13 題

x = 2

第 14 題

70

奈米

第 15 題

\frac{1}{10}

倍

第 16 題第

25

張

第 17 題

- 1 < x < 0

第 18 題

\frac{6}{2}

第 19 題(C)(E)

第 20 題(B)(D)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充 1～3：指數方程式

第 1 題兩邊同底

3

，指數函數是一對一的，所以指數相等：

x^{2} = 4 x - 4

，即

x^{2} - 4 x + 4 = 0

，

(x - 2)^{2} = 0

，得

x = 2

。

第 2 題

1024 = 2^{10}

，所以

2^{\frac{x}{30}} = 2^{10}

，得

\frac{x}{30} = 10

，

x = 300

。

第 3 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），則

4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

，方程式變成

t^{2} - t - 2 = 0

，即

(t - 2) (t + 1) = 0

，

t = 2

或

t = - 1

。因為

t > 0

，只取

t = 2

，即

2^{x} = 2

，得

x = 1

。

t = - 1

不合：

2^{x}

一定是正數。

指數方程式先化成同底，比較指數；出現 4 的 x 次方與 2 的 x 次方時，令 t 等於 2 的 x 次方化成二次方程式，記得 t 要大於 0。

02填充 4～5：比較大小

第 4 題

底數 $0.3$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = (0.3)^{x}$ 遞減，指數越大值越小。指數由小到大是 $- 1 < 0 < \frac{1}{2} < \frac{3}{2}$ ，所以 $b > d > a > c$ 。

近似值：

b = \frac{10}{3} \approx 3.33

，

a \approx 0.548

，

c \approx 0.164

。

第 5 題

都提出 $3^{10}$ ： $a = 3^{10} (1 + 3) = 4 \cdot 3^{10}$ ； $b = 3^{11} (3 - 1) = 2 \cdot 3^{11} = 6 \cdot 3^{10}$ ； $c = \frac{3 ^{10} ( 1 + 9 )}{2} = 5 \cdot 3^{10}$ 。

$3^{10} > 0$ ，只要比較 $4$ 、 $6$ 、 $5$ ，所以 $b > c > a$ 。

比較幾個指數式的大小，先化成同一個底數比較指數（注意底數小於 1 時大小相反），或提出共同的因式再比較剩下的係數。

03填充 6：半衰期

第 6 題

檢查：

120

小時是乙的

6

個半衰期，乙剩

\frac{m}{64}

；甲剩

\frac{m}{16}

，正好是乙的

4

倍。

半衰期為 T 時，經過 t 時間剩下原來的二分之一的 T 分之 t 次方；兩者相比時把剩下的量寫成同底的次方。

04填充 7～11：對數律與換底公式

第 7 題由

x = lo g_{3} 5

得

3^{x} = 5

。

3^{2 x} = (3^{x})^{2} = 5^{2} = 25

。

第 8 題由對數律，原式

= lo g (\frac{1}{300} \times \frac{1}{10} \times 30) = lo g \frac{30}{3000} = lo g \frac{1}{100} = lo g \frac{1}{10} = - 1

。

第 9 題

$5 lo g 2 = lo g 32$ ， $2 lo g 3 = lo g 9$ 。原式 $= lo g (\frac{7}{36} \times 32 \div \frac{14}{25} \times 9) = lo g \frac{7 \times 32 \times 25 \times 9}{36 \times 14}$ 。

分子 $= 50400$ ，分母 $= 504$ ，所以原式 $= lo g 100 = 2$ 。

第 10 題

$lo g_{5} 8 = lo g_{5} 2^{3} = 3 lo g_{5} 2$ ； $lo g_{25} 16 = lo g_{5^{2}} 2^{4} = \frac{4}{2} lo g_{5} 2 = 2 lo g_{5} 2$ 。括號內 $= 5 lo g_{5} 2$ 。

所以原式 $= lo g_{2} 5 \times 5 lo g_{5} 2 = 5 \times (lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2) = 5 \times 1 = 5$ 。

lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = \frac{lo g 5}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 5} = 1

。

第 11 題換底：

lo g_{3} 25 = \frac{lo g 25}{lo g 3} = \frac{2 lo g 5}{lo g 3}

。又

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 = 1 - a

，所以

lo g_{3} 25 = \frac{2 ( 1 - a )}{b}

。

用參考值檢查：

\frac{2 ( 1 - 0.3010 )}{0.4771} \approx 2.930

，而

3^{2.930} \approx 25

。

對數律把積、商、次方化成和、差、倍數；不同底數的對數用換底公式統一成常用對數，log 5 要寫成 1 減 log 2。

05填充 12～13：對數方程式

第 12 題

真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $x - 7 > 0$ ，即 $x > 7$ 。

$x = 3$ 不滿足 $x > 7$ （ $lo g (3 - 7)$ 沒有意義），所以只取 $x = 15$ 。

檢查：左邊

lo g 4 + lo g 16 = lo g 64

；右邊

2 lo g 8 = lo g 64

，相等。

第 13 題

右邊 $= lo g 1 0^{\frac{x}{2}} + lo g 10 + lo g 2 = lo g (20 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}})$ 。所以 $1 0^{x} + 100 = 20 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}}$ 。

令 $t = 1 0^{\frac{x}{2}}$ （ $t > 0$ ），則 $1 0^{x} = t^{2}$ ，方程式變成 $t^{2} - 20 t + 100 = 0$ ，即 $(t - 10)^{2} = 0$ ， $t = 10$ 。 $1 0^{\frac{x}{2}} = 10$ ，得 $x = 2$ 。

檢查：左邊

lo g (100 + 100) = lo g 200

；右邊

1 + 1 + lo g 2 = lo g 200

，相等。

對數方程式先寫真數條件，用對數律化成兩邊各一個對數再比較真數；解出來要回頭刪掉不合真數條件的根。

06填充 14～16：常用對數的應用

第 14 題

$lo g x = - 7.1549 = 0.8451 - 8$ 。由參考值 $lo g 7 \approx 0.8451$ ，得 $x \approx 7 \times 1 0^{- 8}$ 米。

一奈米為 $1 0^{- 9}$ 米，所以直徑約為 $\frac{7 \times 1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{- 9}} = 7 \times 10 = 70$ 奈米。

把負的對數值寫成「小數部分介於

0

與

1

之間＋整數」：

- 7.1549 = 0.8451 + (- 8)

，小數部分決定有效數字，整數部分決定

10

的次方。

第 15 題把

y = 2.5

代入：

2.5 = - \frac{5}{2} lo g \frac{x}{a}

，所以

lo g \frac{x}{a} = - 1

，

\frac{x}{a} = 1 0^{- 1} = \frac{1}{10}

。該星的亮度為織女星亮度的

\frac{1}{10}

倍。

視星等是正數，比織女星（視星等

0

）暗。

第 16 題

第 $n$ 張骨牌的高度為 $2 \times 1. 5^{n - 1}$ 英吋（等比數列，公比 $1.5$ ）。要 $2 \times 1. 5^{n - 1} > 32600$ ，即 $1. 5^{n - 1} > 16300$ 。

所以 $n - 1 > \frac{4.212}{0.1761} \approx 23.9$ ， $n - 1$ 是整數，最小為 $24$ ， $n = 25$ ：從第 $25$ 張骨牌開始，高度超過 $32600$ 英吋。

實際數值：第

24

張高

2 \times 1. 5^{23} \approx 22445

英吋，第

25

張高

2 \times 1. 5^{24} \approx 33668

英吋。

由 log x 求 x 時把對數值拆成整數加上 0 到 1 之間的小數；問「幾次方會超過」時兩邊取常用對數，再取不小於所得的最小整數。

07填充 17～18：指數不等式與最大值

第 17 題

令 $t = (\frac{1}{3})^{x}$ （ $t > 0$ ），則 $(\frac{1}{9})^{x} = t^{2}$ 。不等式變成 $4 t - t^{2} - 3 > 0$ ，即 $t^{2} - 4 t + 3 < 0$ ， $(t - 1) (t - 3) < 0$ ， $1 < t < 3$ 。

例：

x = - \frac{1}{2}

時

t = 3

，

43 - 3 - 3 \approx 0.93 > 0

，成立。

第 18 題

指數部分 $x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} + 2$ 。在 $0 \leq x \leq 3$ 上， $x = 1$ 時最小為 $2$ ， $x = 3$ 時最大為 $(3 - 1)^{2} + 2 = 6$ （ $x = 0$ 時只有 $3$ ）。

\frac{6}{2} \approx 1.225 > 1

，符合條件。

指數不等式化成二次不等式後，還原時看底數：底數小於 1 不等號要反過來；求指數函數的最大值，先求指數部分的範圍。

08多選 19～20：利息與常用對數的應用

第 19 題

本金 $50000$ 元，兩年後本利和：

(A) 錯誤。 單利： $50000 \times (1 + 2 \times 0.015) = 51500$ ，沒有超過 $52019$ 。

(B) 錯誤。 單利： $50000 \times (1 + 2 \times 0.02) = 52000$ ，比 $52019$ 少 $19$ 元。

(D) 錯誤。 複利： $50000 \times 1.01 5^{2} = 50000 \times 1.030225 = 51511.25$ ，沒有超過。

(E) 正確。 半年計息一次，每期利率 $1%$ ，兩年共 $4$ 期： $50000 \times 1.0 1^{4} = 50000 \times 1.04060401 \approx 52030.2$ ，超過 $52019$ 。

同樣年利率

2%

：單利

52000

＜一年複利

52020

＜半年複利約

52030

，計息次數越多本利和越大。

第 20 題

(A) 錯誤。 $lo g a = 1.2$ ， $1 \leq 1.2 < 2$ ，所以 $10 \leq a < 100$ ， $a$ 的整數部分是 $2$ 位數。

(B) 正確。 $lo g b^{2} = 2 lo g b = 4.8$ ； $lo g (a c) = lo g a + lo g c = 1.2 + 3.6 = 4.8$ 。兩者的對數相等，所以 $b^{2} = a c$ 。

(C) 錯誤。 $lo g b = 2.4 = 2 + 0.4$ 。 $lo g 3 \approx 0.4771 > 0.4$ ，所以 $b < 300$ 。又 $lo g 2 \approx 0.3010 < 0.4$ ，所以 $200 < b < 300$ ，不在 $300$ 與 $400$ 之間。

(D) 正確。 $lo g c = 3.6 = 3 + 0.6$ 。 $lo g 3 \approx 0.4771 < 0.6$ ； $lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020 > 0.6$ 。所以 $3000 < c < 4000$ 。

(E) 錯誤。 $lo g (b c) = 2.4 + 3.6 = 6$ ，所以 $b c = 1 0^{6} = 1000000$ ，恰好是 $7$ 位數，不可能是 $6$ 位數。

近似值：

a \approx 15.8

，

b \approx 251.2

，

c \approx 3981

。

單利只算本金的利息，複利利上加利；由常用對數判斷位數時，看對數值的整數部分，判斷範圍時拿小數部分和 log 2、log 3 比較。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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06填充 14～16：常用對數的應用

07填充 17～18：指數不等式與最大值

08多選 19～20：利息與常用對數的應用

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