段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式與不等式、應用）

溪湖高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

是非題 10 題，共 20%；填充題 10 題共 14 格，共 80%，依答對格數給分，答對 1～14 格依序得 6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、65、70、75、80 分。本頁第 1～10 題為原卷是非題 (1)～(10)，第 11～24 題依序為原卷填充 1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、3(1)、3(2)、4～9、10(1)、10(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、是非題：正確請寫「0」，錯誤請寫「X」（20%）

是非題 1（第 1～5 題）　有關指數與對數的圖形，判斷正確或錯誤

(1)

y = lo g_{2} x

與

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

的圖形對稱於

y

軸

(2)

y = lo g_{2} x

與

y = 2^{x}

的圖形對稱於直線

x - y = 0

(3)

y = lo g_{a} x

與

x - y = 0

的圖形可能有二交點

(4)

f (x) = lo g x

的圖形凹口向上

(5) 方程式

lo g_{\frac{1}{2}} x = 2 - x

恰有二實數解

是非題 2（第 6～10 題）　判斷下列各敘述之正確或錯誤

(6)

0. 5^{0.5} > 0.5

(7)

lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}

(8)

\frac{l o g _{5} 6}{l o g _{5} 3} = lo g_{5} 6 - lo g_{5} 3

(9)

a

為實數，

lo g_{3} a^{2} = 2 lo g_{3} a

(10)

(\frac{1}{9})^{l o g_{3} \frac{1}{4}} = 16

二、填充題（80%）

填充題 1（第 11～12 題）　求下列各式的值

(1)

lo g \frac{4}{7} - \frac{4}{3} lo g 8 + \frac{2}{3} lo g 343 =

____

(2)

lo g_{3} 16 \times (lo g_{4} 9 - lo g_{8} 3) =

____

填充題 2（第 13～14 題）　解下列方程式

(1)

4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0

，得

x =

____

(2)

lo g_{3} (x + 1) + lo g_{3} 4 = lo g_{3} (x - 7)

，得

x =

____

填充題 3（第 15～16 題）　解下列不等式

(1)

(0.6)^{x^{2} - 2 x} > 0.216

，得

x

的範圍為 ____

(2)

lo g_{\frac{1}{10}} x > - 2

，得

x

的範圍為 ____

已知

a = (0.5)^{0.7}

，

b = 4 \frac{1}{8}

，

c = (\frac{1}{16})^{0.25}

，試比較

a, b, c

之大小 ____(請用

a, b, c

表示)

設

t

為不等於

0

的實數，若

y = f (x) = a^{x}

的圖形為（本站補註：下圖最上方的圖形），則下列哪些圖形可能是對數函數

y = f (x) = t lo g_{a} x

的部分圖形？ ____

載入中...

已知

f (x) = - 6 \cdot 3^{x} + 9^{x} + 5

，

0 \leq x \leq 2

，若

f (x)

的最大值

M

，最小值

m

，則數對

(M, m) =

____

設

a

、

b

為正實數，已知

lo g a = 8

、

lo g b = 10

，則

lo g (a + b)

的值最接近下列哪一個選項？ ____

(1) $9$
(2) $10$
(3) $11$
(4) $17$
(5) $18$

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，求滿足

(\frac{3}{4})^{n} < \frac{1}{1000}

的最小正整數

n =

____

郵局推出六年期儲蓄專案：一次存

10

萬元，年利率為

2.5%

，每年計息一次，可採單利或複利計息，六年後期滿一次領回本利和，小明想知道期滿後採複利計息比單利計息多領多少錢？ ____ 元。(

1.02 5^{6} \approx 1.1597

)

填充題 10（第 23～24 題）　聲音大小(單位分貝 dB)取決於聲波透過介質時所產生的壓力變化(簡稱聲壓，單位為牛頓/平方米

N / m^{2}

)，已知聲壓

x

與聲音大小

y

的關係式為

y = 10 \times lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2}

，而目前噪音管制法規範工廠的日間聲音不得超過

80

分貝。試回答下列問題：

(1) 溪湖某工廠運作時測得的聲音大小剛好是

80

分貝，則該工廠的聲壓為多少

N / m^{2}

？

(1) $0.2$
(2) $0.5$
(3) $2$
(4) $5$
(5) $20$

(2) 若工業區和住宅區的夜間噪音管制分別是

60

分貝和

40

分貝，則工業區的夜間聲壓大約是住宅區夜間聲壓的多少倍？ ____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：0＝正確、X＝錯誤（照原卷作答規定）

100

第 11 題

0

第 12 題

\frac{8}{3}

第 13 題

x = 0

或

x = 3

第 14 題

x = 15

第 15 題

- 1 < x < 3

第 16 題

0 < x < 100

第 17 題

a > b > c

第 18 題(2)(4)

第 19 題

(32, - 4)

第 20 題(2)

第 21 題

25

第 22 題

970

第 23 題(1)

第 24 題

10

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非題 (1)～(5)：指數與對數的圖形

第 1 題X

① 換底： $lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{l o g _{2} x}{l o g _{2} \frac{1}{2}} = - lo g_{2} x$ 。

② 同一個 $x$ ，兩個函數值互為相反數，例如 $(4, 2)$ 與 $(4, - 2)$ 。

③ 點 $(x, y)$ 與 $(x, - y)$ 對稱於 $x$ 軸，所以兩圖形對稱於 $x$ 軸，不是 $y$ 軸。

所以敘述錯誤。

載入中...

對稱於

y

軸要「

x

換成

- x

」，但對數函數只在

x > 0

有定義，兩個圖形都在

y

軸右側，不可能對稱於

y

軸。

第 2 題0

① $y = 2^{x}$ 與 $y = lo g_{2} x$ 互為反函數： $y = 2^{x} ⟺ x = lo g_{2} y$ 。

② 點 $(a, b)$ 在 $y = 2^{x}$ 上，就有 $(b, a)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，例如 $(2, 4)$ 與 $(4, 2)$ 。

③ $(a, b)$ 與 $(b, a)$ 對稱於直線 $y = x$ ，也就是 $x - y = 0$ 。

所以敘述正確。

載入中...

第 3 題0

「可能」只要舉出一個底數 $a$ 就夠。

① 取 $a = 2$ ： $lo g_{2} 2 = 2$ ，所以 $(2, 2)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，也在 $y = x$ 上。

② $lo g_{2} 4 = 4$ ，所以 $(4, 4)$ 也是兩圖形的交點。

③ 兩圖形至少有兩個交點，所以「可能有二交點」成立。

所以敘述正確。

載入中...

底數不同，交點個數也不同：例如

a = 10

時

lo g x < x

恆成立，沒有交點；

0 < a < 1

時恰有一個交點。題目只問「可能」，有一個例子就成立。

第 4 題X

① 在圖形上取兩點 $(1, 0)$ 、 $(10, 1)$ ，連成一條弦。

② 弦的中點是 $(5.5, 0.5)$ ；圖形上橫坐標 $5.5$ 的點高度是 $lo g 5.5$ 。

③ $lo g 5.5 > lo g 10 = 0.5$ （因為 $5.5 > 10 \approx 3.16$ ），圖形上的點在弦的中點上方。

④ 這條弦在圖形下方；凹口向上的圖形，任一條弦都應在圖形上方，這條弦卻不是。

所以敘述錯誤。

載入中...

底數大於

1

的對數函數圖形都是凹口向下；指數函數

y = a^{x}

的圖形則是凹口向上。

第 5 題0

方程式的解，就是 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 與直線 $y = 2 - x$ 交點的 $x$ 坐標。

① $x = 4$ ： $lo g_{\frac{1}{2}} 4 = - 2$ ， $2 - 4 = - 2$ ，相等， $x = 4$ 是一解。

② $x = \frac{1}{4}$ ：左邊 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2$ ，右邊 $2 - \frac{1}{4} = 1.75$ ，左邊較大。

③ $x = \frac{1}{2}$ ：左邊 $1$ ，右邊 $1.5$ ，右邊較大。兩個圖形都是連續不斷的曲線，大小在 $\frac{1}{4}$ 與 $\frac{1}{2}$ 之間交換，所以中間還有一個交點。

④ 由圖， $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形凹口向上，直線與它最多交兩點，所以恰有二實數解。

所以敘述正確。

載入中...

另一個交點的

x

約為

0.31

，不必算出，只要知道它存在。

底數互為倒數的對數圖形對稱於 x 軸；指數與對數互為反函數，圖形對稱於 y＝x；數方程式的解，就是數兩個圖形的交點。

02是非題 (6)～(10)：指數與對數的大小與運算

第 6 題0

① $0.5 = 0. 5^{1}$ ，比較 $0. 5^{0.5}$ 與 $0. 5^{1}$ 。

② 底數 $0.5$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = 0. 5^{x}$ 是遞減函數，指數越大值越小。

③ $0.5 < 1$ ，所以 $0. 5^{0.5} > 0. 5^{1} = 0.5$ 。

所以敘述正確。

載入中...

0. 5^{0.5} = 0.5 \approx 0.707

，確實大於

0.5

。

第 7 題X

① 換成常用對數：

$lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \frac{lo g \frac{1}{2}}{lo g \frac{1}{3}} = \frac{- lo g 2}{- lo g 3} = \frac{lo g 2}{lo g 3}$

② 同理 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = \frac{l o g 3}{l o g 2}$ 。

③ $0 < lo g 2 < lo g 3$ ，所以 $\frac{l o g 2}{l o g 3} < 1 < \frac{l o g 3}{l o g 2}$ 。

④ 左邊比右邊小，題目的不等式不成立。

所以敘述錯誤。

兩者互為倒數：約為

0.631

與

1.585

。

第 8 題X

① 左邊用換底公式： $\frac{l o g _{5} 6}{l o g _{5} 3} = lo g_{3} 6$ ，大於 $1$ （因為 $6 > 3$ ）。

② 右邊用對數律： $lo g_{5} 6 - lo g_{5} 3 = lo g_{5} 2$ ，小於 $1$ （因為 $2 < 5$ ）。

③ 一個大於 $1$ 、一個小於 $1$ ，兩邊不相等。

所以敘述錯誤。

對數律是

lo g_{5} 6 - lo g_{5} 3 = lo g_{5} \frac{6}{3}

，「對數相減」對應「真數相除」；「對數相除」是換底公式，兩者不要混淆。

第 9 題X

① 對數的真數必須為正， $lo g_{3} a$ 只在 $a > 0$ 時有意義。

② 取 $a = - 1$ ：左邊 $lo g_{3} (- 1)^{2} = lo g_{3} 1 = 0$ 有意義。

③ 右邊 $2 lo g_{3} (- 1)$ 沒有意義，等式不成立。

④ 題目說 $a$ 為任意實數，有反例就不成立。

所以敘述錯誤。

對任意

a \neq = 0

，正確的寫法是

lo g_{3} a^{2} = 2 lo g_{3} ∣ a ∣

。

第 10 題0

① 底數化成 $3$ ： $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ 。

② $(\frac{1}{9})^{l o g_{3} \frac{1}{4}} = 3^{- 2 l o g_{3} \frac{1}{4}} = 3^{l o g_{3} (\frac{1}{4})^{- 2}} = 3^{l o g_{3} 16}$ 。

③ 由 $a^{l o g_{a} b} = b$ ，得 $3^{l o g_{3} 16} = 16$ 。

所以敘述正確。

底數介於 0 與 1 之間時函數遞減；換底公式是對數相除，對數律是對數相減，不要混用；對數律只在真數為正時成立。

03填充 1～3：求值、方程式與不等式

第 11 題

① 每一項化成 $lo g 2$ 、 $lo g 7$ ：

$lo g \frac{4}{7} = 2 lo g 2 - lo g 7$ 。

② $\frac{4}{3} lo g 8 = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} lo g 2 = 2 lo g 2$ 。

③ $\frac{2}{3} lo g 343 = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} lo g 7 = lo g 7$ 。

④ 合起來： $(2 lo g 2 - lo g 7) - 2 lo g 2 + lo g 7 = 0$ 。

答案 0。

第 12 題

① 都換成以 $2$ 為底： $lo g_{4} 9 = \frac{l o g _{2} 9}{l o g _{2} 4} = \frac{2 l o g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ 。

② $lo g_{8} 3 = \frac{l o g _{2} 3}{l o g _{2} 8} = \frac{1}{3} lo g_{2} 3$ 。

③ 括號內 $= lo g_{2} 3 - \frac{1}{3} lo g_{2} 3 = \frac{2}{3} lo g_{2} 3$ 。

④ $lo g_{3} 16 = 4 lo g_{3} 2$ ，而 $lo g_{3} 2 \times lo g_{2} 3 = 1$ 。

⑤ 所以原式 $= 4 lo g_{3} 2 \times \frac{2}{3} lo g_{2} 3 = \frac{8}{3}$ 。

答案 $\frac{8}{3}$ 。

第 13 題

① 令 $t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ），則 $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ 。

② 方程式變成 $t^{2} - 9 t + 8 = 0$ ，即 $(t - 1) (t - 8) = 0$ 。

③ $t = 1$ 或 $t = 8$ ，兩個都是正數。

④ $2^{x} = 1$ 得 $x = 0$ ； $2^{x} = 8$ 得 $x = 3$ 。

答案 x＝0 或 x＝3。

第 14 題

① 真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $x - 7 > 0$ ，所以 $x > 7$ 。

② 右邊換成以 $3$ 為底： $lo g_{3} (x - 7) = \frac{l o g _{3} ( x - 7 )}{l o g _{3} 3} = 2 lo g_{3} (x - 7) = lo g_{3} (x - 7)^{2}$ 。

③ 左邊 $= lo g_{3} 4 (x + 1)$ ，所以 $4 (x + 1) = (x - 7)^{2}$ 。

④ 展開： $x^{2} - 18 x + 45 = 0$ ， $(x - 3) (x - 15) = 0$ ， $x = 3$ 或 $x = 15$ 。

⑤ $x = 3$ 不合真數條件，所以 $x = 15$ 。

答案 x＝15。

代回檢查：

lo g_{3} 16 + lo g_{3} 4 = lo g_{3} 64

，

lo g_{3} 8 = 2 lo g_{3} 8 = lo g_{3} 64

，相等。

第 15 題

① $0.216 = 0. 6^{3}$ ，不等式是 $(0.6)^{x^{2} - 2 x} > (0.6)^{3}$ 。

② 底數 $0.6$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，函數遞減，比較指數時不等號反向：

$x^{2} - 2 x < 3$

③ $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ， $(x + 1) (x - 3) < 0$ ，所以 $- 1 < x < 3$ 。

答案 −1＜x＜3。

載入中...

原卷印成

(0 : 6)

，依右邊

0.216 = 0. 6^{3}

讀作

0.6

。

第 16 題

① 真數條件： $x > 0$ 。

② $- 2 = lo g_{\frac{1}{10}} (\frac{1}{10})^{- 2} = lo g_{\frac{1}{10}} 100$ 。

③ 不等式是 $lo g_{\frac{1}{10}} x > lo g_{\frac{1}{10}} 100$ ；底數 $\frac{1}{10}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，函數遞減，所以 $x < 100$ 。

④ 與真數條件合起來： $0 < x < 100$ 。

答案 0＜x＜100。

載入中...

也可以換成常用對數：

lo g_{\frac{1}{10}} x = - lo g x

，不等式變成

- lo g x > - 2

，即

lo g x < 2

。

對數求值先把每一項拆成同一組質數的對數；方程式先寫真數條件、再代換或換底；底數小於 1 時不等號要反向。

04填充 4～6：比較大小、圖形判斷與最大最小值

第 17 題

① 三個數都化成以 $2$ 為底：

$a = (0.5)^{0.7} = 2^{- 0.7}$ 。

② $b = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{4}} = (2^{- 3})^{\frac{1}{4}} = 2^{- 0.75}$ 。

③ $c = (\frac{1}{16})^{0.25} = (2^{- 4})^{0.25} = 2^{- 1}$ 。

④ 底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 遞增；指數 $- 0.7 > - 0.75 > - 1$ ，所以 $a > b > c$ 。

答案 a＞b＞c。

載入中...

第 18 題

① $y = a^{x}$ 的圖形遞增，所以 $a > 1$ ， $y = lo g_{a} x$ 遞增、通過 $(1, 0)$ 。

② $t > 0$ 時， $y = t lo g_{a} x$ 仍然遞增，只在 $x > 0$ 有圖形、通過 $(1, 0)$ ，是 (4) 的樣子。

③ $t < 0$ 時，圖形上下翻轉，變成遞減、通過 $(1, 0)$ ，是 (2) 的樣子。

④ (1)、(3) 在 $x \leq 0$ 也有圖形，而且不與 $x$ 軸相交，不是對數函數的圖形。

答案 (2)(4)。

載入中...

第 19 題

① 令 $t = 3^{x}$ ， $9^{x} = t^{2}$ ， $f (x) = t^{2} - 6 t + 5 = (t - 3)^{2} - 4$ 。

② $0 \leq x \leq 2$ ， $y = 3^{x}$ 遞增，所以 $3^{0} \leq t \leq 3^{2}$ ，即 $1 \leq t \leq 9$ 。

③ 頂點 $t = 3$ 在範圍內，最小值 $m = - 4$ （此時 $x = 1$ ）。

④ 離頂點最遠的端點是 $t = 9$ ： $(9 - 3)^{2} - 4 = 32$ ；另一端 $t = 1$ 只有 $0$ 。所以最大值 $M = 32$ （此時 $x = 2$ ）。

答案 (M, m)＝(32, −4)。

載入中...

比大小先化成同底，再看底數決定遞增或遞減；指數代換成二次函數時，新變數的範圍要先求出來。

05填充 7～9：常用對數的應用

第 20 題

① $lo g a = 8$ 、 $lo g b = 10$ ，所以 $a = 1 0^{8}$ ， $b = 1 0^{10}$ 。

② $a + b = 1 0^{8} + 1 0^{10} = 1 0^{10} \times 1.01$ 。

③ $lo g (a + b) = 10 + lo g 1.01$ ； $1.01$ 只比 $1$ 大一點點，所以 $lo g 1.01$ 只比 $0$ 大一點點。

④ 所以 $lo g (a + b)$ 只比 $10$ 大一點點，最接近 $10$ 。

答案 (2)。

lo g 1.01 \approx 0.0043

。常見錯誤是

lo g a + lo g b = 18

，那是

lo g (ab)

，不是

lo g (a + b)

。

第 21 題

① 兩邊取常用對數： $n lo g \frac{3}{4} < lo g \frac{1}{1000} = - 3$ 。

② $lo g \frac{3}{4} = lo g 3 - 2 lo g 2 = 0.4771 - 0.6020 = - 0.1249$ 。

③ $- 0.1249 n < - 3$ ，兩邊除以負數，不等號反向：

$n > \frac{3}{0.1249} \approx 24.02$

④ 最小正整數 $n = 25$ 。

答案 25。

載入中...

n = 24

時

24 \times 0.1249 = 2.9976

，還不到

3

，所以

24

剛好差一點；用更精確的值也是

(\frac{3}{4})^{24} \approx 0.00100

，略大於

\frac{1}{1000}

。

第 22 題

① 單利：每年利息都是 $100000 \times 2.5% = 2500$ 元，六年共 $15000$ 元，本利和 $115000$ 元。

② 複利：本利和 $100000 \times 1.02 5^{6} \approx 100000 \times 1.1597 = 115970$ 元。

③ 相差 $115970 - 115000 = 970$ 元。

答案 970 元。

log(a＋b) 不是 log a＋log b，要先提出較大的那一項；取對數後除以負數不等號要反向；複利是乘 n 次，單利是加 n 次。

06填充 10：分貝與聲壓

第 23 題

① 聲壓 $x > 0$ ，由對數律，關係式可寫成

$y = 10 lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2} = 20 lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}}$

② $y = 80$ ： $20 lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 80$ ， $lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 4$ 。

③ $\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 1 0^{4}$ ， $x = 2 \times 1 0^{- 5} \times 1 0^{4} = 0.2$ 。

答案 (1)。

本頁把平方讀成括號內整個真數的平方（

lo g

的真數是

(\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2}

）；這也是常用的分貝公式。若讀成整個

lo g

值再平方，算出的聲壓不在任何選項中。

第 24 題

① 設工業區、住宅區的聲壓為 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 。

② 兩式相減： $60 - 40 = 20 lo g \frac{x _{1}}{2 \times 1 0 ^{- 5}} - 20 lo g \frac{x _{2}}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 20 lo g \frac{x _{1}}{x _{2}}$ 。

③ $20 lo g \frac{x _{1}}{x _{2}} = 20$ ， $lo g \frac{x _{1}}{x _{2}} = 1$ ， $\frac{x _{1}}{x _{2}} = 10$ 。

答案 10 倍。

聲音每多

20

分貝，聲壓變成

10

倍；每多

10

分貝，聲壓變成

10

倍。

對數模型問「幾倍」時，把兩個式子相減，常數項自動消掉，剩下的就是倍數的對數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

溪湖高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要自己找出一個底數讓對數圖形與直線 y＝x 交兩點，例如底數取根號 2；第 5 題對數圖形與直線各自遞減，要靠圖形與代入找出兩個交點；第 18 題先由指數圖形遞增看出底數大於 1，再分 t 為正、為負兩種情形；第 21 題四分之三的對數是負的，除過去不等號要反向，而且 24 次方剛好差一點不夠。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式與不等式、應用）

溪湖高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、是非題：正確請寫「0」，錯誤請寫「X」（20%）

是非題 1（第 1～5 題）　有關指數與對數的圖形，判斷正確或錯誤

(1)

y = lo g_{2} x

與

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

的圖形對稱於

y

軸

(2)

y = lo g_{2} x

與

y = 2^{x}

的圖形對稱於直線

x - y = 0

(3)

y = lo g_{a} x

與

x - y = 0

的圖形可能有二交點

(4)

f (x) = lo g x

的圖形凹口向上

(5) 方程式

lo g_{\frac{1}{2}} x = 2 - x

恰有二實數解

是非題 2（第 6～10 題）　判斷下列各敘述之正確或錯誤

(6)

0. 5^{0.5} > 0.5

(7)

lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}

(8)

\frac{l o g _{5} 6}{l o g _{5} 3} = lo g_{5} 6 - lo g_{5} 3

(9)

a

為實數，

lo g_{3} a^{2} = 2 lo g_{3} a

(10)

(\frac{1}{9})^{l o g_{3} \frac{1}{4}} = 16

二、填充題（80%）

填充題 1（第 11～12 題）　求下列各式的值

(1)

lo g \frac{4}{7} - \frac{4}{3} lo g 8 + \frac{2}{3} lo g 343 =

____

(2)

lo g_{3} 16 \times (lo g_{4} 9 - lo g_{8} 3) =

____

填充題 2（第 13～14 題）　解下列方程式

(1)

4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 8 = 0

，得

x =

____

(2)

lo g_{3} (x + 1) + lo g_{3} 4 = lo g_{3} (x - 7)

，得

x =

____

填充題 3（第 15～16 題）　解下列不等式

(1)

(0.6)^{x^{2} - 2 x} > 0.216

，得

x

的範圍為 ____

(2)

lo g_{\frac{1}{10}} x > - 2

，得

x

的範圍為 ____

已知

a = (0.5)^{0.7}

，

b = 4 \frac{1}{8}

，

c = (\frac{1}{16})^{0.25}

，試比較

a, b, c

之大小 ____(請用

a, b, c

表示)

設

t

為不等於

0

的實數，若

y = f (x) = a^{x}

的圖形為（本站補註：下圖最上方的圖形），則下列哪些圖形可能是對數函數

y = f (x) = t lo g_{a} x

的部分圖形？ ____

載入中...

已知

f (x) = - 6 \cdot 3^{x} + 9^{x} + 5

，

0 \leq x \leq 2

，若

f (x)

的最大值

M

，最小值

m

，則數對

(M, m) =

____

設

a

、

b

為正實數，已知

lo g a = 8

、

lo g b = 10

，則

lo g (a + b)

的值最接近下列哪一個選項？ ____

(1) $9$
(2) $10$
(3) $11$
(4) $17$
(5) $18$

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，求滿足

(\frac{3}{4})^{n} < \frac{1}{1000}

的最小正整數

n =

____

郵局推出六年期儲蓄專案：一次存

10

萬元，年利率為

2.5%

，每年計息一次，可採單利或複利計息，六年後期滿一次領回本利和，小明想知道期滿後採複利計息比單利計息多領多少錢？ ____ 元。(

1.02 5^{6} \approx 1.1597

)

填充題 10（第 23～24 題）　聲音大小(單位分貝 dB)取決於聲波透過介質時所產生的壓力變化(簡稱聲壓，單位為牛頓/平方米

N / m^{2}

)，已知聲壓

x

與聲音大小

y

的關係式為

y = 10 \times lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2}

，而目前噪音管制法規範工廠的日間聲音不得超過

80

分貝。試回答下列問題：

(1) 溪湖某工廠運作時測得的聲音大小剛好是

80

分貝，則該工廠的聲壓為多少

N / m^{2}

？

(1) $0.2$
(2) $0.5$
(3) $2$
(4) $5$
(5) $20$

(2) 若工業區和住宅區的夜間噪音管制分別是

60

分貝和

40

分貝，則工業區的夜間聲壓大約是住宅區夜間聲壓的多少倍？ ____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：0＝正確、X＝錯誤（照原卷作答規定）

100

第 11 題

0

第 12 題

\frac{8}{3}

第 13 題

x = 0

或

x = 3

第 14 題

x = 15

第 15 題

- 1 < x < 3

第 16 題

0 < x < 100

第 17 題

a > b > c

第 18 題(2)(4)

第 19 題

(32, - 4)

第 20 題(2)

第 21 題

25

第 22 題

970

第 23 題(1)

第 24 題

10

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非題 (1)～(5)：指數與對數的圖形

第 1 題X

① 換底： $lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{l o g _{2} x}{l o g _{2} \frac{1}{2}} = - lo g_{2} x$ 。

② 同一個 $x$ ，兩個函數值互為相反數，例如 $(4, 2)$ 與 $(4, - 2)$ 。

③ 點 $(x, y)$ 與 $(x, - y)$ 對稱於 $x$ 軸，所以兩圖形對稱於 $x$ 軸，不是 $y$ 軸。

所以敘述錯誤。

載入中...

對稱於

y

軸要「

x

換成

- x

」，但對數函數只在

x > 0

有定義，兩個圖形都在

y

軸右側，不可能對稱於

y

軸。

第 2 題0

① $y = 2^{x}$ 與 $y = lo g_{2} x$ 互為反函數： $y = 2^{x} ⟺ x = lo g_{2} y$ 。

② 點 $(a, b)$ 在 $y = 2^{x}$ 上，就有 $(b, a)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，例如 $(2, 4)$ 與 $(4, 2)$ 。

③ $(a, b)$ 與 $(b, a)$ 對稱於直線 $y = x$ ，也就是 $x - y = 0$ 。

所以敘述正確。

載入中...

第 3 題0

「可能」只要舉出一個底數 $a$ 就夠。

① 取 $a = 2$ ： $lo g_{2} 2 = 2$ ，所以 $(2, 2)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，也在 $y = x$ 上。

② $lo g_{2} 4 = 4$ ，所以 $(4, 4)$ 也是兩圖形的交點。

③ 兩圖形至少有兩個交點，所以「可能有二交點」成立。

所以敘述正確。

載入中...

底數不同，交點個數也不同：例如

a = 10

時

lo g x < x

恆成立，沒有交點；

0 < a < 1

時恰有一個交點。題目只問「可能」，有一個例子就成立。

第 4 題X

① 在圖形上取兩點 $(1, 0)$ 、 $(10, 1)$ ，連成一條弦。

② 弦的中點是 $(5.5, 0.5)$ ；圖形上橫坐標 $5.5$ 的點高度是 $lo g 5.5$ 。

③ $lo g 5.5 > lo g 10 = 0.5$ （因為 $5.5 > 10 \approx 3.16$ ），圖形上的點在弦的中點上方。

④ 這條弦在圖形下方；凹口向上的圖形，任一條弦都應在圖形上方，這條弦卻不是。

所以敘述錯誤。

載入中...

底數大於

1

的對數函數圖形都是凹口向下；指數函數

y = a^{x}

的圖形則是凹口向上。

第 5 題0

方程式的解，就是 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 與直線 $y = 2 - x$ 交點的 $x$ 坐標。

① $x = 4$ ： $lo g_{\frac{1}{2}} 4 = - 2$ ， $2 - 4 = - 2$ ，相等， $x = 4$ 是一解。

② $x = \frac{1}{4}$ ：左邊 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2$ ，右邊 $2 - \frac{1}{4} = 1.75$ ，左邊較大。

④ 由圖， $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形凹口向上，直線與它最多交兩點，所以恰有二實數解。

所以敘述正確。

載入中...

另一個交點的

x

約為

0.31

，不必算出，只要知道它存在。

底數互為倒數的對數圖形對稱於 x 軸；指數與對數互為反函數，圖形對稱於 y＝x；數方程式的解，就是數兩個圖形的交點。

02是非題 (6)～(10)：指數與對數的大小與運算

第 6 題0

① $0.5 = 0. 5^{1}$ ，比較 $0. 5^{0.5}$ 與 $0. 5^{1}$ 。

② 底數 $0.5$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = 0. 5^{x}$ 是遞減函數，指數越大值越小。

③ $0.5 < 1$ ，所以 $0. 5^{0.5} > 0. 5^{1} = 0.5$ 。

所以敘述正確。

載入中...

0. 5^{0.5} = 0.5 \approx 0.707

，確實大於

0.5

。

第 7 題X

① 換成常用對數：

$lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \frac{lo g \frac{1}{2}}{lo g \frac{1}{3}} = \frac{- lo g 2}{- lo g 3} = \frac{lo g 2}{lo g 3}$

② 同理 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = \frac{l o g 3}{l o g 2}$ 。

③ $0 < lo g 2 < lo g 3$ ，所以 $\frac{l o g 2}{l o g 3} < 1 < \frac{l o g 3}{l o g 2}$ 。

④ 左邊比右邊小，題目的不等式不成立。

所以敘述錯誤。

兩者互為倒數：約為

0.631

與

1.585

。

第 8 題X

① 左邊用換底公式： $\frac{l o g _{5} 6}{l o g _{5} 3} = lo g_{3} 6$ ，大於 $1$ （因為 $6 > 3$ ）。

② 右邊用對數律： $lo g_{5} 6 - lo g_{5} 3 = lo g_{5} 2$ ，小於 $1$ （因為 $2 < 5$ ）。

③ 一個大於 $1$ 、一個小於 $1$ ，兩邊不相等。

所以敘述錯誤。

對數律是

lo g_{5} 6 - lo g_{5} 3 = lo g_{5} \frac{6}{3}

，「對數相減」對應「真數相除」；「對數相除」是換底公式，兩者不要混淆。

第 9 題X

① 對數的真數必須為正， $lo g_{3} a$ 只在 $a > 0$ 時有意義。

② 取 $a = - 1$ ：左邊 $lo g_{3} (- 1)^{2} = lo g_{3} 1 = 0$ 有意義。

③ 右邊 $2 lo g_{3} (- 1)$ 沒有意義，等式不成立。

④ 題目說 $a$ 為任意實數，有反例就不成立。

所以敘述錯誤。

對任意

a \neq = 0

，正確的寫法是

lo g_{3} a^{2} = 2 lo g_{3} ∣ a ∣

。

第 10 題0

① 底數化成 $3$ ： $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ 。

② $(\frac{1}{9})^{l o g_{3} \frac{1}{4}} = 3^{- 2 l o g_{3} \frac{1}{4}} = 3^{l o g_{3} (\frac{1}{4})^{- 2}} = 3^{l o g_{3} 16}$ 。

③ 由 $a^{l o g_{a} b} = b$ ，得 $3^{l o g_{3} 16} = 16$ 。

所以敘述正確。

底數介於 0 與 1 之間時函數遞減；換底公式是對數相除，對數律是對數相減，不要混用；對數律只在真數為正時成立。

03填充 1～3：求值、方程式與不等式

第 11 題

① 每一項化成 $lo g 2$ 、 $lo g 7$ ：

$lo g \frac{4}{7} = 2 lo g 2 - lo g 7$ 。

② $\frac{4}{3} lo g 8 = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} lo g 2 = 2 lo g 2$ 。

③ $\frac{2}{3} lo g 343 = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} lo g 7 = lo g 7$ 。

④ 合起來： $(2 lo g 2 - lo g 7) - 2 lo g 2 + lo g 7 = 0$ 。

答案 0。

第 12 題

① 都換成以 $2$ 為底： $lo g_{4} 9 = \frac{l o g _{2} 9}{l o g _{2} 4} = \frac{2 l o g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ 。

② $lo g_{8} 3 = \frac{l o g _{2} 3}{l o g _{2} 8} = \frac{1}{3} lo g_{2} 3$ 。

③ 括號內 $= lo g_{2} 3 - \frac{1}{3} lo g_{2} 3 = \frac{2}{3} lo g_{2} 3$ 。

④ $lo g_{3} 16 = 4 lo g_{3} 2$ ，而 $lo g_{3} 2 \times lo g_{2} 3 = 1$ 。

⑤ 所以原式 $= 4 lo g_{3} 2 \times \frac{2}{3} lo g_{2} 3 = \frac{8}{3}$ 。

答案 $\frac{8}{3}$ 。

第 13 題

① 令 $t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ），則 $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ 。

② 方程式變成 $t^{2} - 9 t + 8 = 0$ ，即 $(t - 1) (t - 8) = 0$ 。

③ $t = 1$ 或 $t = 8$ ，兩個都是正數。

④ $2^{x} = 1$ 得 $x = 0$ ； $2^{x} = 8$ 得 $x = 3$ 。

答案 x＝0 或 x＝3。

第 14 題

① 真數條件： $x + 1 > 0$ 且 $x - 7 > 0$ ，所以 $x > 7$ 。

② 右邊換成以 $3$ 為底： $lo g_{3} (x - 7) = \frac{l o g _{3} ( x - 7 )}{l o g _{3} 3} = 2 lo g_{3} (x - 7) = lo g_{3} (x - 7)^{2}$ 。

③ 左邊 $= lo g_{3} 4 (x + 1)$ ，所以 $4 (x + 1) = (x - 7)^{2}$ 。

④ 展開： $x^{2} - 18 x + 45 = 0$ ， $(x - 3) (x - 15) = 0$ ， $x = 3$ 或 $x = 15$ 。

⑤ $x = 3$ 不合真數條件，所以 $x = 15$ 。

答案 x＝15。

代回檢查：

lo g_{3} 16 + lo g_{3} 4 = lo g_{3} 64

，

lo g_{3} 8 = 2 lo g_{3} 8 = lo g_{3} 64

，相等。

第 15 題

① $0.216 = 0. 6^{3}$ ，不等式是 $(0.6)^{x^{2} - 2 x} > (0.6)^{3}$ 。

② 底數 $0.6$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，函數遞減，比較指數時不等號反向：

$x^{2} - 2 x < 3$

③ $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ， $(x + 1) (x - 3) < 0$ ，所以 $- 1 < x < 3$ 。

答案 −1＜x＜3。

載入中...

原卷印成

(0 : 6)

，依右邊

0.216 = 0. 6^{3}

讀作

0.6

。

第 16 題

① 真數條件： $x > 0$ 。

② $- 2 = lo g_{\frac{1}{10}} (\frac{1}{10})^{- 2} = lo g_{\frac{1}{10}} 100$ 。

③ 不等式是 $lo g_{\frac{1}{10}} x > lo g_{\frac{1}{10}} 100$ ；底數 $\frac{1}{10}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，函數遞減，所以 $x < 100$ 。

④ 與真數條件合起來： $0 < x < 100$ 。

答案 0＜x＜100。

載入中...

也可以換成常用對數：

lo g_{\frac{1}{10}} x = - lo g x

，不等式變成

- lo g x > - 2

，即

lo g x < 2

。

對數求值先把每一項拆成同一組質數的對數；方程式先寫真數條件、再代換或換底；底數小於 1 時不等號要反向。

04填充 4～6：比較大小、圖形判斷與最大最小值

第 17 題

① 三個數都化成以 $2$ 為底：

$a = (0.5)^{0.7} = 2^{- 0.7}$ 。

② $b = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{4}} = (2^{- 3})^{\frac{1}{4}} = 2^{- 0.75}$ 。

③ $c = (\frac{1}{16})^{0.25} = (2^{- 4})^{0.25} = 2^{- 1}$ 。

④ 底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 遞增；指數 $- 0.7 > - 0.75 > - 1$ ，所以 $a > b > c$ 。

答案 a＞b＞c。

載入中...

第 18 題

① $y = a^{x}$ 的圖形遞增，所以 $a > 1$ ， $y = lo g_{a} x$ 遞增、通過 $(1, 0)$ 。

② $t > 0$ 時， $y = t lo g_{a} x$ 仍然遞增，只在 $x > 0$ 有圖形、通過 $(1, 0)$ ，是 (4) 的樣子。

③ $t < 0$ 時，圖形上下翻轉，變成遞減、通過 $(1, 0)$ ，是 (2) 的樣子。

④ (1)、(3) 在 $x \leq 0$ 也有圖形，而且不與 $x$ 軸相交，不是對數函數的圖形。

答案 (2)(4)。

載入中...

第 19 題

① 令 $t = 3^{x}$ ， $9^{x} = t^{2}$ ， $f (x) = t^{2} - 6 t + 5 = (t - 3)^{2} - 4$ 。

② $0 \leq x \leq 2$ ， $y = 3^{x}$ 遞增，所以 $3^{0} \leq t \leq 3^{2}$ ，即 $1 \leq t \leq 9$ 。

③ 頂點 $t = 3$ 在範圍內，最小值 $m = - 4$ （此時 $x = 1$ ）。

④ 離頂點最遠的端點是 $t = 9$ ： $(9 - 3)^{2} - 4 = 32$ ；另一端 $t = 1$ 只有 $0$ 。所以最大值 $M = 32$ （此時 $x = 2$ ）。

答案 (M, m)＝(32, −4)。

載入中...

比大小先化成同底，再看底數決定遞增或遞減；指數代換成二次函數時，新變數的範圍要先求出來。

05填充 7～9：常用對數的應用

第 20 題

① $lo g a = 8$ 、 $lo g b = 10$ ，所以 $a = 1 0^{8}$ ， $b = 1 0^{10}$ 。

② $a + b = 1 0^{8} + 1 0^{10} = 1 0^{10} \times 1.01$ 。

③ $lo g (a + b) = 10 + lo g 1.01$ ； $1.01$ 只比 $1$ 大一點點，所以 $lo g 1.01$ 只比 $0$ 大一點點。

④ 所以 $lo g (a + b)$ 只比 $10$ 大一點點，最接近 $10$ 。

答案 (2)。

lo g 1.01 \approx 0.0043

。常見錯誤是

lo g a + lo g b = 18

，那是

lo g (ab)

，不是

lo g (a + b)

。

第 21 題

① 兩邊取常用對數： $n lo g \frac{3}{4} < lo g \frac{1}{1000} = - 3$ 。

② $lo g \frac{3}{4} = lo g 3 - 2 lo g 2 = 0.4771 - 0.6020 = - 0.1249$ 。

③ $- 0.1249 n < - 3$ ，兩邊除以負數，不等號反向：

$n > \frac{3}{0.1249} \approx 24.02$

④ 最小正整數 $n = 25$ 。

答案 25。

載入中...

n = 24

時

24 \times 0.1249 = 2.9976

，還不到

3

，所以

24

剛好差一點；用更精確的值也是

(\frac{3}{4})^{24} \approx 0.00100

，略大於

\frac{1}{1000}

。

第 22 題

① 單利：每年利息都是 $100000 \times 2.5% = 2500$ 元，六年共 $15000$ 元，本利和 $115000$ 元。

② 複利：本利和 $100000 \times 1.02 5^{6} \approx 100000 \times 1.1597 = 115970$ 元。

③ 相差 $115970 - 115000 = 970$ 元。

答案 970 元。

log(a＋b) 不是 log a＋log b，要先提出較大的那一項；取對數後除以負數不等號要反向；複利是乘 n 次，單利是加 n 次。

06填充 10：分貝與聲壓

第 23 題

① 聲壓 $x > 0$ ，由對數律，關係式可寫成

$y = 10 lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2} = 20 lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}}$

② $y = 80$ ： $20 lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 80$ ， $lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 4$ 。

③ $\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 1 0^{4}$ ， $x = 2 \times 1 0^{- 5} \times 1 0^{4} = 0.2$ 。

答案 (1)。

本頁把平方讀成括號內整個真數的平方（

lo g

的真數是

(\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2}

）；這也是常用的分貝公式。若讀成整個

lo g

值再平方，算出的聲壓不在任何選項中。

第 24 題

① 設工業區、住宅區的聲壓為 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 。

② 兩式相減： $60 - 40 = 20 lo g \frac{x _{1}}{2 \times 1 0 ^{- 5}} - 20 lo g \frac{x _{2}}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 20 lo g \frac{x _{1}}{x _{2}}$ 。

③ $20 lo g \frac{x _{1}}{x _{2}} = 20$ ， $lo g \frac{x _{1}}{x _{2}} = 1$ ， $\frac{x _{1}}{x _{2}} = 10$ 。

答案 10 倍。

聲音每多

20

分貝，聲壓變成

10

倍；每多

10

分貝，聲壓變成

10

倍。

對數模型問「幾倍」時，把兩個式子相減，常數項自動消掉，剩下的就是倍數的對數。

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03填充 1～3：求值、方程式與不等式

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05填充 7～9：常用對數的應用

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