01 · 試題原卷 17 題，照原卷順序
填充題 15 題共 17 格，依答對格數給分：答對 1～17 格依序得 7、14、21、28、35、42、49、56、61、66、71、76、81、86、91、96、100 分；原卷第 6、7、11 題（本頁第 7、8、12 題）全對才給分。本頁第 1、2 題為原卷第 1 題 (1)(2)，第 3～12 題為原卷第 2～11 題，第 13、14 題為原卷第 12 題 (1)(2)，第 15～17 題為原卷第 13～15 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。
填充題
第 1 題（第 1～2 題） 已知函數 f(x) 滿足 ∫15f(x)dx=−3 且 ∫17f(x)dx=17，求
3
求 ∫−77(x9+5x5−3x3+1)dx= ____
4
已知函數 f(x)=2x+b 滿足 ∫01xf(x)dx=0，則 b= ____
5
求定積分 ∫−33(x+∣x−2∣)dx= ____
7
已知 a 為實數，且函數 f(x)=x(2x−1)(x3−8) 滿足 ∫0af′(x)dx=0，則實數 a= ____
8
求 f(x)=x3−3x+2 在區間 [−3,3] 上的極大值為 ____
9
已知 P(1,39)、Q(−2,k) 為四次函數圖形上的兩個反曲點，則 k= ____
10
已知點 P(−1,5) 為三次函數 f(x)=x3+ax2+bx+c 圖形的反曲點，且 f′(0)=−3，求數對 (a,b,c)= ____
11
已知三次函數 f(x) 在 x=−1 處有極大值 3，且點 (0,−1) 是圖形的反曲點，求 f(x)= ____
12
函數 f(x)=−x2+8x 在區間 [2,8] 內函數值的平均為 h，已知 2≤c≤8 且 f(c)=h，則 c= ____
第 12 題（第 13～14 題） 已知 R 為兩函數 f(x)=x3 與 g(x)=x 的圖形所圍成的區域，則
14
(2) R 繞 x 軸所得的旋轉體體積為 ____
15
拋物線 y=x2 與過其上一點 P(2,4) 之切線及 y 軸所圍成區域之面積為 ____。
16
已知函數 f(x)=−2x2+10 的圖形與 x 軸、x=0 及 x=2 所圍成一個封閉區域。今將區間 [0,2] 做 n 等分，將 R 分割成 n 個長條區域，並設在此分割下，長條面積的上和為 Un=3n2an2+bn+c，則數對 (a,b,c)= ____
17
已知 R 是以點 (0,4) 為圓心，半徑為 1 的上半圓弧與 x 軸、x=−1 及 x=1 所圍成的區域，求 R 繞 x 軸旋轉所得的旋轉體體積為 ____。
第 1 題0
第 2 題60
第 3 題14
第 4 題−34
第 5 題13
第 7 題0 或 21 或 2
第 8 題4 與 20（端點 x=3 也算極大點；若只計區間內部則為 4）
第 9 題條件不足，k 可為任意實數（本站計算，見詳解）
第 10 題(3, −3, 0)
第 11 題2x3−6x−1
第 12 題2 或 6
第 13 題21
第 14 題218π
第 15 題38
第 16 題(44, 24, −8)
第 17 題3100π+4π2
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01第 1～6 題（原卷第 1～5 題）：定積分的性質與計算
第 1 題上限與下限相同時，積分區間的寬度是 0，所以 ∫77f(x)dx=0。
本格與已知的兩個積分值無關。
第 2 題由區間的可加性，∫17f(x)dx=∫15f(x)dx+∫57f(x)dx，所以 ∫57f(x)dx=17−(−3)=20。再由常數倍的性質，∫573f(x)dx=3⋅20=60。
17−(−3) 是 20，不是 14；減去負數要變號。
第 3 題x9、5x5、−3x3 都是奇函數，在對稱區間 [−7,7] 上的定積分都是 0。剩下常數 1：∫−771dx=7−(−7)=14。
也可以直接找反導函數 10x10+65x6−43x4+x，代 7 與 −7 時前三項相同而抵消，只剩 7−(−7)=14。
第 4 題xf(x)=2x2+bx。∫01(2x2+bx)dx=[32x3+2bx2]01=32+2b。令它等於 0，得 b=−34。
被積分的是 x 乘 f(x)，不是 f(x) 本身；只積 f(x) 會得到 1+b=0 而算成 −1。
第 5 題拆成兩部分。∫−33xdx=0（奇函數在對稱區間）。∣x−2∣ 在 x≤2 時等於 2−x，在 x≥2 時等於 x−2：∫−32(2−x)dx=[2x−2x2]−32=2−(−221)=225，∫23(x−2)dx=[2x2−2x]23=−23−(−2)=21。合計 0+225+21=13。
∣x−2∣ 的圖形與 x 軸在 [−3,3] 上圍出兩個三角形，面積 25⋅5=225 與 21⋅1=21，可用來檢查。
第 6 題y=4−x2 是圓 x2+y2=4 的上半部。所求是這段圓弧下方、x 從 1 到 2 的面積。設原點為 O，A(2,0)，B(1,3)，C(1,0)。∠AOB=60∘，扇形 OAB 的面積是 36060⋅π⋅22=32π。所求區域＝扇形 OAB 去掉直角三角形 OCB，三角形面積 21⋅1⋅3=23。所以定積分 =32π−23。 這個函數在本範圍找不到多項式的反導函數，要用圖形面積來算。數值約 2.0944−0.8660=1.2284。
定積分先看能不能用性質（可加性、常數倍、奇函數）化簡；根號裡是 4 減 x 平方時，改用圓面積算。
02第 7～11 題（原卷第 6～10 題）：微積分基本定理、極值與反曲點
第 7 題由微積分基本定理，∫0af′(x)dx=f(a)−f(0)。f(0)=0，所以條件就是 f(a)=0，即 a(2a−1)(a3−8)=0。a3−8=0 的實根只有 a=2。所以 a=0 或 21 或 2。
a=0 時積分的上下限相同，積分值也是 0，要算進去；答案卷此格註明全對才給分。
第 8 題f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)。x<−1 時 f′(x)>0，−1<x<1 時 f′(x)<0，x>1 時 f′(x)>0，所以 f(x) 在 x=−1 有極大值 f(−1)=−1+3+2=4，在 x=1 有極小值 f(1)=0。兩個點都在 [−3,3] 內，所以 f(x) 在 x=−1 有極大值 4。再看端點：f 在 [1,3] 遞增，x=3 的值 f(3)=20 比它左側附近區間內的值都大，是端點的極大值；f 在 [−3,−1] 也遞增，x=−3 的值 f(−3)=−16 比右側附近的值小，是極小值不是極大值。所以 [−3,3] 上的極大值為 4 與 20。
答案卷此格註明全對才給分，兩個值都要寫。若只把區間內部的點算作極值點，答案只有 4。極大值不一定是最大值：本題 20 同時是最大值，而 4 只是局部的極大。
第 9 題設四次函數為 f(x)，f′′(x) 是二次函數。P、Q 是反曲點，所以 f′′(1)=0、f′′(−2)=0，可設 f′′(x)=12m(x−1)(x+2)=12m(x2+x−2)（m=0），則 f(x)=m(x4+2x3−12x2)+px+q，其中 p、q 是任意實數（檢查：微分兩次得 m(12x2+12x−24)）。由 f(1)=39：−9m+p+q=39。而 k=f(−2)=m(16−16−48)−2p+q=−48m−2p+q。只有一個條件卻有三個未知數 m,p,q，k 無法確定。例如 m=1、p=0、q=48 時 f(x)=x4+2x3−12x2+48，得 k=0；m=1、p=48、q=0 時 f(x)=x4+2x3−12x2+48x，得 k=−144。兩個函數都在 x=1、x=−2 有反曲點（f′′ 在這兩處變號），也都通過 P(1,39)。事實上 k=39−39m−3p，p 可任取，所以 k 可以是任何實數。
題目照卷面的條件不足以定出 k，可能漏印了函數的形式或其他條件；本頁不替原卷補條件，答案寫「條件不足」。
第 10 題f′(x)=3x2+2ax+b，f′′(x)=6x+2a。P(−1,5) 是反曲點：f′′(−1)=−6+2a=0，a=3。f′(0)=b=−3。P 在圖形上：f(−1)=−1+a−b+c=−1+3+3+c=5，c=0。所以 (a,b,c)=(3,−3,0)。
檢查：f(x)=x3+3x2−3x，f(−1)=−1+3+3=5，f′(0)=−3，f′′(x)=6x+6 在 x=−1 由負變正。
第 11 題設 f(x)=ax3+bx2+cx+d，f′′(x)=6ax+2b。反曲點 (0,−1)：f′′(0)=2b=0，b=0；f(0)=d=−1。在 x=−1 有極大值 3：f′(−1)=3a+c=0，f(−1)=−a−c−1=3。由第一式 c=−3a，代入第二式 −a+3a=4，a=2，c=−6。所以 f(x)=2x3−6x−1。
檢查是極大不是極小：f′′(−1)=−12<0，x=−1 處凹口向下，是極大值；f(−1)=−2+6−1=3。
反曲點給的是 f 的二階導數等於 0，極值點給的是一階導數等於 0；別忘了點本身也在圖形上。
03第 12～15 題（原卷第 11～13 題）：平均值、面積與旋轉體
第 12 題h=8−21∫28(−x2+8x)dx=61[−3x3+4x2]28。x=8 時為 −3512+256=3256；x=2 時為 −38+16=340。相減得 72，所以 h=672=12。解 −c2+8c=12：c2−8c+12=0，(c−2)(c−6)=0，c=2 或 6，兩個都在 [2,8] 內。
c=2 是區間的端點，題目寫 2≤c≤8，所以要算進去；答案卷此格註明全對才給分。
第 13 題x3=x 得 x(x−1)(x+1)=0，交點 x=−1,0,1。0≤x≤1 時 x≥x3；−1≤x≤0 時 x3≥x。兩塊對原點對稱，面積相同。∫01(x−x3)dx=21−41=41，所以 R 的面積 =2⋅41=21。
直接算 ∫−11(x−x3)dx 會得到 0，因為兩塊一正一負抵消；面積要分段取正值。
第 14 題先看 0≤x≤1 的那一塊：它在 x 軸上方，夾在 y=x3（下）與 y=x（上）之間，繞 x 軸旋轉得到中空的旋轉體，體積 =π∫01(x2−x6)dx=π(31−71)=214π。−1≤x≤0 的那一塊在 x 軸下方，夾在 y=x 與 y=x3 之間，到 x 軸的距離分別是 ∣x∣ 與 ∣x3∣，旋轉後體積同樣是 π∫−10(x2−x6)dx=214π。兩塊的 x 範圍不重疊，所以總體積 =218π。
中空旋轉體的體積是「外半徑平方減內半徑平方」，不是「外半徑減內半徑」再平方；寫成 π∫01(x−x3)2dx 會算錯。
第 15 題y=x2 的導數是 2x，在 P(2,4) 的切線斜率為 4，切線為 y−4=4(x−2)，即 y=4x−4。拋物線在切線上方（x2−(4x−4)=(x−2)2≥0），區域的 x 範圍是 y 軸 x=0 到切點 x=2。面積 =∫02(x2−4x+4)dx=[3x3−2x2+4x]02=38−8+8=38。
被積函數是 (x−2)2，也可以寫成 [3(x−2)3]02=0−(−38)=38。
面積要分段取上減下，正負不可互相抵消；旋轉體用外半徑平方減內半徑平方。
04第 16、17 題（原卷第 14、15 題）：上和與旋轉體體積
第 16 題f(x)=−2x2+10 在 [0,2] 上遞減，且 f(2)=2>0，圖形都在 x 軸上方。分成 n 等分，每段寬 n2，第 k 段是 [n2(k−1),n2k]。遞減函數在每段的最大值在左端點，所以上和 Un=k=1∑nf(n2(k−1))⋅n2=n2j=0∑n−1(10−n28j2)。j=0∑n−1j2=6(n−1)n(2n−1)，所以 Un=20−n316⋅6(n−1)n(2n−1)=20−3n28(2n2−3n+1)=3n260n2−16n2+24n−8=3n244n2+24n−8。所以 (a,b,c)=(44,24,−8)。
遞減函數的上和取左端點；取右端點得到的是下和。檢查：n→∞ 時 Un→344，正好是 ∫02(−2x2+10)dx=−316+20=344；n=1 時 U1=f(0)⋅2=20，而 344+24−8=20，相符。題中的 R 指上述封閉區域。
第 17 題上半圓弧是 y=4+1−x2（−1≤x≤1），整段在 x 軸上方，所以旋轉體是實心的，體積 =π∫−11(4+1−x2)2dx=π∫−11(16+81−x2+1−x2)dx。其中 ∫−11(17−x2)dx=34−32=3100；∫−111−x2dx 是半徑 1 的半圓面積 2π，乘 8 得 4π。所以體積 =π(3100+4π)=3100π+4π2。 區域是從
x 軸一直到圓弧，不是只有半圓本身，所以半徑是
4+1−x2。數值約
104.72+39.48=144.20。
上和取每段的最大值：遞增取右端點、遞減取左端點；根號裡是 1 減 x 平方的積分用半圓面積。
同一次段考的其他學校
同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
溪湖高中 113 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
溪湖高中 113 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？
第 9 題（原卷第 8 題）：照卷面的條件無法定出 k，本頁寫條件不足並舉兩個例子。第 8 題（原卷第 7 題）：端點 x 等於 3 的值 20 也是極大值，要和 4 一起寫。第 7 題（原卷第 6 題）：a 等於 0 也成立，三個值都要寫。第 13、14 題（原卷第 12 題）：面積要分段取正值，旋轉體用外半徑平方減內半徑平方。第 16 題（原卷第 14 題）：遞減函數的上和取左端點。詳解逐題寫在本頁。
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