段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式與不等式、應用）

溪湖高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 28 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 28 題，照原卷順序

是非題 10 題（每題 1 分，共 10 分）、填充題 18 題（每題 5 分，共 90 分）。本頁第 1～10 題依序為原卷是非題 (1)～(10)，第 11～28 題依序為原卷填充題 1～18。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、是非題（每題一分）下列敘述對的打「○」，錯的打「×」。

指數函數

y = 5^{x}

的圖形過點

(0, 1)

。

若點

(- 100, k)

在

y = 2^{x}

的圖形上，則

k < 0

。

指數函數

y = (0.99)^{x}

的圖形與

y = 100

不相交。

0. 7^{- 8} > 0. 7^{- 9}

。

2^{l o g_{2} 3} = 3

。

lo g (5 + 9) = lo g 5 \times lo g 9

。

lo g 5 = \frac{1}{2} lo g 5

。

對數函數

y = lo g x

的圖形是凹口向下。

對數函數

y = lo g x

的圖形與指數函數

y = 1 0^{x}

的圖形對稱於直線

y = - x

。

lo g 0.9 > lo g 0.8

。

二、填充題（每題 5 分）

已知

x = lo g_{5} 7

，求

2 5^{x}

的值。

求

lo g \frac{4}{7} + \frac{1}{2} lo g 49 - \frac{4}{3} lo g 8

的值。

求

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 7 \times lo g_{7} 16

之值。

指數函數

y = a^{x}

y = b^{x}

y = 3^{x}

的圖形如下圖所示，其中

y = b^{x}

與

y = 3^{x}

的圖形對稱於

y

軸。選出所有正確的選項。

(1) $a > 1$
(2) $P$ 點坐標為 $(0, 1)$
(3) $b = - 3$
(4) $a < 3$

載入中...

解方程式

5^{x} = (\frac{5}{5})^{5}

。

解方程式

2^{2 x} - 3 (2^{x + 2}) + 27 = 0

。

解方程式

lo g (x + 3) - lo g (x - 1) = lo g 3

。

解不等式

4^{x} - 17 \times 2^{x + 1} + 64 \leq 0

。

解不等式

lo g (x - 1) + lo g (x - 3) \leq 3 lo g 2

。

比較

a = 5

b = 3125

c = 5 \times 35

三數的大小關係。

已知

f (x) = lo g_{3} x

，且

f (a) - f (b) = 5

，求

\frac{a}{b}

的值。

利用常用對數函數嚴格遞增的特性，比較

a = lo g 2

b = \frac{1}{2} lo g 5

c = 2 lo g 2

三數的大小關係。

已知服用某藥物經過

x

小時後，體內該藥物濃度降為原來的

(0.5)^{\frac{x}{16}}

，試問至少需要幾個小時，體內的藥物濃度才會降至原來的一半？

半導體產業的摩爾定律認為「積體電路板可容納的電晶體數目每兩年增加為原來的兩倍」。已知經過

t

年後，電晶體數目為原來的

a^{t}

倍，求

a

的值。

解方程式

lo g (1 0^{x} + 100) = \frac{x}{2} + 1 + lo g 2

。

二次世界大戰製造轟炸機時發現：製造第

n

架的轟炸機所需工時為

T

（年），而其中

T

與

n

之間的關係為

T = (\frac{4}{5})^{l o g_{2} n}

試問製造第

16

架轟炸機所需的時間是第

4

架的幾倍？

星星的「視星等」

y

與其「亮度」

x

之間的關係為函數

y = - \frac{5}{2} lo g (\frac{x}{a})

，其中

a

是織女星的亮度。已知觀測到某星的視星等為

- 2.5

，試問：該星的亮度為織女星亮度的多少倍？

下圖為眼睛的「亮度感覺」

y

與「照度」

x

（勒克斯）之間的關係圖；其關係為對數函數

y = \frac{a}{lo g 2} \cdot lo g x

，其中

a

是常數，且點

(10, 1)

在該函數圖形上。若想讓眼睛的亮度感覺由

2

提升為

4

，則照度須變為原照度的多少倍？

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2×

3×

4×

5○

6×

7○

8○

9×

10○

第 11 題

49

第 12 題

0

第 13 題

4

第 14 題(1)(2)

第 15 題

x = - \frac{5}{2}

第 16 題

x = lo g_{2} 3

或

x = lo g_{2} 9

第 17 題

x = 3

第 18 題

1 \leq x \leq 5

第 19 題

3 < x \leq 5

第 20 題

b > c > a

第 21 題

93

第 22 題

c > b > a

第 23 題

16

小時

第 24 題

2

第 25 題

x = 2

第 26 題

\frac{16}{25}

倍

第 27 題

10

倍

第 28 題

100

倍

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01是非 1～5（原卷是非 (1)～(5)）：指數函數的圖形與指數律

第 1 題○

x = 0

時

y = 5^{0} = 1

，所以圖形過點

(0, 1)

。

任何底數

a > 0

、

a \neq = 1

的指數函數

y = a^{x}

都過

(0, 1)

。

第 2 題×

k = 2^{- 100} = \frac{1}{2 ^{100}}

，是一個很小的正數，所以

k > 0

，不是

k < 0

。

指數函數的函數值一定是正數，圖形全部在

x

軸上方。

第 3 題×

y = (0.99)^{x}

的底數介於

0

與

1

之間，圖形遞減，函數值可以取到所有正數。

100

是正數，所以存在

x

使

(0.99)^{x} = 100

，圖形與

y = 100

有一個交點。

這個交點在

x

很負的地方：

x = lo g_{0.99} 100

，約為

- 458.2

。

第 4 題×底數

0.7

介於

0

與

1

之間，

y = 0. 7^{x}

遞減：指數越大，值越小。

- 8 > - 9

，所以

0. 7^{- 8} < 0. 7^{- 9}

。

也可以改寫成

0. 7^{- 8} = (\frac{10}{7})^{8}

、

0. 7^{- 9} = (\frac{10}{7})^{9}

，底數大於

1

，指數

9

的比較大。

第 5 題○設

lo g_{2} 3 = t

，依對數的定義

2^{t} = 3

，所以

2^{l o g_{2} 3} = 3

。

指數函數的值恆為正、值域是所有正數；底數小於 1 時，指數越大值越小。

02是非 6～10（原卷是非 (6)～(10)）：對數律與對數函數的圖形

第 6 題×對數律是

lo g 5 + lo g 9 = lo g (5 \times 9) = lo g 45

，沒有「和的對數等於對數的積」這條。實際上

lo g (5 + 9) = lo g 14

，而

lo g 14 > lo g 10 = 1

；

lo g 5 < 1

、

lo g 9 < 1

，所以

lo g 5 \times lo g 9 < 1

，兩邊不相等。

lo g 14 \approx 1.146

，

lo g 5 \times lo g 9 \approx 0.699 \times 0.954 \approx 0.667

。

第 7 題○

5 = 5^{\frac{1}{2}}

，由對數律

lo g M^{r} = r lo g M

，得

lo g 5 = \frac{1}{2} lo g 5

。

第 8 題○

y = lo g x

的圖形隨

x

增加而上升，但上升得越來越慢：例如

x

從

1

到

10

上升

1

，從

10

到

100

也只上升

1

。圖形上任取兩點連成線段，線段都在圖形下方，所以凹口向下。

例：

\frac{lo g 1 + lo g 100}{2} = 1

，而中點

x = \frac{1 + 100}{2} = 50.5

的函數值

lo g 50.5 > 1

，圖形在弦的上方。

第 9 題×

y = lo g x

與

y = 1 0^{x}

互為反函數：點

(p, q)

在

y = 1 0^{x}

上，則

(q, p)

在

y = lo g x

上。兩圖形對稱於直線

y = x

，不是

y = - x

。

對稱於

y = - x

的話，

(1, 10)

的對稱點是

(- 10, - 1)

，但

y = lo g x

在

x \leq 0

沒有定義。

第 10 題○底數

10 > 1

，

y = lo g x

嚴格遞增。

0.9 > 0.8

，所以

lo g 0.9 > lo g 0.8

。

兩者都是負數，但

lo g 0.9

比較接近

0

。

對數律只把積、商、次方化成和、差、倍數，沒有和的對數公式；指數與對數函數的圖形對稱於直線 y＝x。

03填充 11～14（原卷填充 1～4）：對數律、換底公式、指數函數的圖形

第 11 題由

x = lo g_{5} 7

得

5^{x} = 7

。

2 5^{x} = (5^{2})^{x} = (5^{x})^{2} = 7^{2} = 49

。

第 12 題

\frac{1}{2} lo g 49 = lo g 4 9^{\frac{1}{2}} = lo g 7

；

lo g 8 = lo g 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g 2

，所以

\frac{4}{3} lo g 8 = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} lo g 2 = 2 lo g 2 = lo g 4

。原式

= lo g \frac{4}{7} + lo g 7 - lo g 4 = lo g (\frac{4}{7} \times 7 \div 4) = lo g 1 = 0

。

第 13 題用換底公式都換成常用對數：原式

= \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 7}{lo g 3} \times \frac{lo g 16}{lo g 7} = \frac{lo g 16}{lo g 2} = lo g_{2} 16 = 4

。

前一個的真數與後一個的底數相同時可以連續約掉，剩下

lo g_{2} 16

。

第 14 題

(1) 正確。 圖上 $y = a^{x}$ 隨 $x$ 增加而上升，是遞增函數，所以 $a > 1$ 。

(2) 正確。 $P$ 是三個圖形的共同交點。所有指數函數在 $x = 0$ 時函數值都是 $1$ ，三個圖形都過 $(0, 1)$ ，所以 $P$ 的坐標是 $(0, 1)$ 。

(3) 錯誤。 $y = b^{x}$ 與 $y = 3^{x}$ 對稱於 $y$ 軸，所以 $b^{x} = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ ， $b = \frac{1}{3}$ 。指數函數的底數必須是正數， $b = - 3$ 不可能。

(4) 錯誤。 在 $y$ 軸右側（ $x > 0$ ）， $y = a^{x}$ 的圖形在 $y = 3^{x}$ 的上方，例如 $x = 1$ 時 $a^{1} > 3^{1}$ ，所以 $a > 3$ 。

底數大於

1

時，底數越大，圖形在

x > 0

的部分越陡、越高；在

x < 0

的部分越貼近

x

軸。

換底公式把連乘的對數鏈約成一個；看指數函數的圖形，先看遞增遞減判斷底數和 1 的大小，再看 x 大於 0 時誰在上面判斷底數大小。

04填充 15～19（原卷填充 5～9）：指數、對數方程式與不等式

第 15 題

\frac{5}{5} = \frac{5 ^{\frac{1}{2}}}{5 ^{1}} = 5^{- \frac{1}{2}}

，所以右邊

= (5^{- \frac{1}{2}})^{5} = 5^{- \frac{5}{2}}

。

5^{x} = 5^{- \frac{5}{2}}

，指數函數是一對一的，得

x = - \frac{5}{2}

。

第 16 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），則

2^{2 x} = t^{2}

，

2^{x + 2} = 4 t

。方程式變成

t^{2} - 12 t + 27 = 0

，即

(t - 3) (t - 9) = 0

，

t = 3

或

t = 9

，兩個都是正數。

2^{x} = 3

得

x = lo g_{2} 3

；

2^{x} = 9

得

x = lo g_{2} 9

。

lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3

，寫哪一種都可以。

第 17 題真數條件：

x + 3 > 0

且

x - 1 > 0

，即

x > 1

。由對數律，

lo g \frac{x + 3}{x - 1} = lo g 3

，所以

\frac{x + 3}{x - 1} = 3

，

x + 3 = 3 x - 3

，

x = 3

。

3 > 1

符合真數條件，所以

x = 3

。

第 18 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），則

4^{x} = t^{2}

，

2^{x + 1} = 2 t

。不等式變成

t^{2} - 34 t + 64 \leq 0

，即

(t - 2) (t - 32) \leq 0

，所以

2 \leq t \leq 32

，也就是

2^{1} \leq 2^{x} \leq 2^{5}

。底數

2 > 1

，指數函數遞增，所以

1 \leq x \leq 5

。

17 \times 2^{x + 1}

要寫成

17 \times 2 \times 2^{x} = 34 t

，不是

17 t

。

第 19 題真數條件：

x - 1 > 0

且

x - 3 > 0

，即

x > 3

。原式化成

lo g [(x - 1) (x - 3)] \leq lo g 2^{3} = lo g 8

。常用對數遞增，所以

(x - 1) (x - 3) \leq 8

，

x^{2} - 4 x - 5 \leq 0

，

(x + 1) (x - 5) \leq 0

，

- 1 \leq x \leq 5

。和真數條件

x > 3

取交集，得

3 < x \leq 5

。

若忘了真數條件，會把

- 1 \leq x \leq 3

也寫進去，但那些

x

讓

lo g (x - 3)

沒有意義。

指數方程式與不等式先化成同底，或令 t 等於 2 的 x 次方化成二次式；對數方程式與不等式一定先寫真數條件，最後取交集。

05填充 20～22（原卷填充 10～12）：比較大小與對數函數

第 20 題都化成以

5

為底：

a = 5 = 5^{\frac{1}{2}}

；

b = 3125 = 3 5^{3} = 5

；

c = 5 \times 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}

。底數

5 > 1

，指數越大值越大，而

1 > \frac{2}{3} > \frac{1}{2}

，所以

b > c > a

。

近似值：

a \approx 2.236

，

c \approx 2.924

，

b = 5

。

第 21 題

f (a) - f (b) = lo g_{3} a - lo g_{3} b = lo g_{3} \frac{a}{b} = 5

，所以

\frac{a}{b} = (3)^{5} = 3^{\frac{5}{2}} = 93

。

第 22 題把三數都寫成一個對數：

a = lo g 2

；

b = \frac{1}{2} lo g 5 = lo g 5

；

c = 2 lo g 2 = lo g 4

。常用對數嚴格遞增，只要比較真數：

4 < 5

，所以

2 < 5

；又

5 < 16 = 4

。得

2 < 5 < 4

，所以

lo g 2 < lo g 5 < lo g 4

，即

c > b > a

。

近似值：

a \approx 0.301

，

b \approx 0.349

，

c \approx 0.602

。

比較幾個根式或對數的大小，先化成同底的指數或同底的對數，再用遞增性質比較指數或真數。

06填充 23～28（原卷填充 13～18）：指數與對數的應用

第 23 題濃度降為原來的一半，就是

(0.5)^{\frac{x}{16}} = \frac{1}{2} = (0.5)^{1}

，所以

\frac{x}{16} = 1

，

x = 16

。底數

0.5

小於

1

，

(0.5)^{\frac{x}{16}}

隨

x

增加而遞減，

x < 16

時濃度還高於一半，所以至少需要

16

小時。

16

小時就是這個藥物的半衰期。

第 24 題每兩年變為兩倍，所以

t = 2

時是原來的

2

倍：

a^{2} = 2

。

a

是指數函數的底數，

a > 0

，所以

a = 2

。

檢查：

t = 4

時

(2)^{4} = 4

，四年變四倍，符合每兩年加倍。

第 25 題右邊

= lo g 1 0^{\frac{x}{2}} + lo g 10 + lo g 2 = lo g (20 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}})

。所以

1 0^{x} + 100 = 20 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}}

。令

t = 1 0^{\frac{x}{2}}

（

t > 0

），則

1 0^{x} = t^{2}

，方程式變成

t^{2} - 20 t + 100 = 0

，即

(t - 10)^{2} = 0

，

t = 10

。

1 0^{\frac{x}{2}} = 10

，得

x = 2

。

檢查：左邊

lo g (100 + 100) = lo g 200

；右邊

1 + 1 + lo g 2 = lo g 200

，相等。

第 26 題

T (16) = (\frac{4}{5})^{l o g_{2} 16} = (\frac{4}{5})^{4}

，

T (4) = (\frac{4}{5})^{l o g_{2} 4} = (\frac{4}{5})^{2}

。所以

\frac{T ( 16 )}{T ( 4 )} = (\frac{4}{5})^{4 - 2} = (\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}

，第

16

架所需時間是第

4

架的

\frac{16}{25}

倍。

倍數小於

1

：越後面製造，所需時間越短。

第 27 題把

y = - 2.5

代入：

- 2.5 = - \frac{5}{2} lo g \frac{x}{a}

，所以

lo g \frac{x}{a} = 1

，

\frac{x}{a} = 10

。該星的亮度是織女星的

10

倍。

視星等越小（越負）的星越亮。

第 28 題點

(10, 1)

在圖形上：

1 = \frac{a}{lo g 2} \cdot lo g 10 = \frac{a}{lo g 2}

，所以

a = lo g 2

，函數是

y = lo g x

。設原照度為

x_{1}

，亮度感覺

2

：

lo g x_{1} = 2

，

x_{1} = 100

；提升後照度為

x_{2}

，亮度感覺

4

：

lo g x_{2} = 4

，

x_{2} = 10000

。

\frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{10000}{100} = 100

，照度須變為原照度的

100

倍。

也可以直接相減：

lo g x_{2} - lo g x_{1} = 4 - 2 = 2

，所以

lo g \frac{x _{2}}{x _{1}} = 2

，

\frac{x _{2}}{x _{1}} = 1 0^{2} = 100

。

應用題先把題意翻成指數或對數的等式；問「幾倍」時，兩個狀態的對數相減就是倍數的對數。

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常見問題

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本頁列出全部 28 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要知道底數小於 1 的指數函數值域仍是所有正數，所以一定會碰到 y＝100；第 4 題底數小於 1 時指數大的反而小；第 19 題對數不等式要先寫真數條件，解出來要和真數條件取交集；第 20 題要先把三個數都化成五的分數次方再比較；第 25 題要令十的二分之 x 次方為新變數，化成完全平方。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數方程式與不等式、應用）

溪湖高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 28 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 28 題，照原卷順序

一、是非題（每題一分）下列敘述對的打「○」，錯的打「×」。

指數函數

y = 5^{x}

的圖形過點

(0, 1)

。

若點

(- 100, k)

在

y = 2^{x}

的圖形上，則

k < 0

。

指數函數

y = (0.99)^{x}

的圖形與

y = 100

不相交。

0. 7^{- 8} > 0. 7^{- 9}

。

2^{l o g_{2} 3} = 3

。

lo g (5 + 9) = lo g 5 \times lo g 9

。

lo g 5 = \frac{1}{2} lo g 5

。

對數函數

y = lo g x

的圖形是凹口向下。

對數函數

y = lo g x

的圖形與指數函數

y = 1 0^{x}

的圖形對稱於直線

y = - x

。

lo g 0.9 > lo g 0.8

。

二、填充題（每題 5 分）

已知

x = lo g_{5} 7

，求

2 5^{x}

的值。

求

lo g \frac{4}{7} + \frac{1}{2} lo g 49 - \frac{4}{3} lo g 8

的值。

求

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 7 \times lo g_{7} 16

之值。

指數函數

y = a^{x}

y = b^{x}

y = 3^{x}

的圖形如下圖所示，其中

y = b^{x}

與

y = 3^{x}

的圖形對稱於

y

軸。選出所有正確的選項。

(1) $a > 1$
(2) $P$ 點坐標為 $(0, 1)$
(3) $b = - 3$
(4) $a < 3$

載入中...

解方程式

5^{x} = (\frac{5}{5})^{5}

。

解方程式

2^{2 x} - 3 (2^{x + 2}) + 27 = 0

。

解方程式

lo g (x + 3) - lo g (x - 1) = lo g 3

。

解不等式

4^{x} - 17 \times 2^{x + 1} + 64 \leq 0

。

解不等式

lo g (x - 1) + lo g (x - 3) \leq 3 lo g 2

。

比較

a = 5

b = 3125

c = 5 \times 35

三數的大小關係。

已知

f (x) = lo g_{3} x

，且

f (a) - f (b) = 5

，求

\frac{a}{b}

的值。

利用常用對數函數嚴格遞增的特性，比較

a = lo g 2

b = \frac{1}{2} lo g 5

c = 2 lo g 2

三數的大小關係。

已知服用某藥物經過

x

小時後，體內該藥物濃度降為原來的

(0.5)^{\frac{x}{16}}

，試問至少需要幾個小時，體內的藥物濃度才會降至原來的一半？

半導體產業的摩爾定律認為「積體電路板可容納的電晶體數目每兩年增加為原來的兩倍」。已知經過

t

年後，電晶體數目為原來的

a^{t}

倍，求

a

的值。

解方程式

lo g (1 0^{x} + 100) = \frac{x}{2} + 1 + lo g 2

。

二次世界大戰製造轟炸機時發現：製造第

n

架的轟炸機所需工時為

T

（年），而其中

T

與

n

之間的關係為

T = (\frac{4}{5})^{l o g_{2} n}

試問製造第

16

架轟炸機所需的時間是第

4

架的幾倍？

星星的「視星等」

y

與其「亮度」

x

之間的關係為函數

y = - \frac{5}{2} lo g (\frac{x}{a})

，其中

a

是織女星的亮度。已知觀測到某星的視星等為

- 2.5

，試問：該星的亮度為織女星亮度的多少倍？

下圖為眼睛的「亮度感覺」

y

與「照度」

x

（勒克斯）之間的關係圖；其關係為對數函數

y = \frac{a}{lo g 2} \cdot lo g x

，其中

a

是常數，且點

(10, 1)

在該函數圖形上。若想讓眼睛的亮度感覺由

2

提升為

4

，則照度須變為原照度的多少倍？

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2×

3×

4×

5○

6×

7○

8○

9×

10○

第 11 題

49

第 12 題

0

第 13 題

4

第 14 題(1)(2)

第 15 題

x = - \frac{5}{2}

第 16 題

x = lo g_{2} 3

或

x = lo g_{2} 9

第 17 題

x = 3

第 18 題

1 \leq x \leq 5

第 19 題

3 < x \leq 5

第 20 題

b > c > a

第 21 題

93

第 22 題

c > b > a

第 23 題

16

小時

第 24 題

2

第 25 題

x = 2

第 26 題

\frac{16}{25}

倍

第 27 題

10

倍

第 28 題

100

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5（原卷是非 (1)～(5)）：指數函數的圖形與指數律

第 1 題○

x = 0

時

y = 5^{0} = 1

，所以圖形過點

(0, 1)

。

任何底數

a > 0

、

a \neq = 1

的指數函數

y = a^{x}

都過

(0, 1)

。

第 2 題×

k = 2^{- 100} = \frac{1}{2 ^{100}}

，是一個很小的正數，所以

k > 0

，不是

k < 0

。

指數函數的函數值一定是正數，圖形全部在

x

軸上方。

第 3 題×

y = (0.99)^{x}

的底數介於

0

與

1

之間，圖形遞減，函數值可以取到所有正數。

100

是正數，所以存在

x

使

(0.99)^{x} = 100

，圖形與

y = 100

有一個交點。

這個交點在

x

很負的地方：

x = lo g_{0.99} 100

，約為

- 458.2

。

第 4 題×底數

0.7

介於

0

與

1

之間，

y = 0. 7^{x}

遞減：指數越大，值越小。

- 8 > - 9

，所以

0. 7^{- 8} < 0. 7^{- 9}

。

也可以改寫成

0. 7^{- 8} = (\frac{10}{7})^{8}

、

0. 7^{- 9} = (\frac{10}{7})^{9}

，底數大於

1

，指數

9

的比較大。

第 5 題○設

lo g_{2} 3 = t

，依對數的定義

2^{t} = 3

，所以

2^{l o g_{2} 3} = 3

。

指數函數的值恆為正、值域是所有正數；底數小於 1 時，指數越大值越小。

02是非 6～10（原卷是非 (6)～(10)）：對數律與對數函數的圖形

第 6 題×對數律是

lo g 5 + lo g 9 = lo g (5 \times 9) = lo g 45

，沒有「和的對數等於對數的積」這條。實際上

lo g (5 + 9) = lo g 14

，而

lo g 14 > lo g 10 = 1

；

lo g 5 < 1

、

lo g 9 < 1

，所以

lo g 5 \times lo g 9 < 1

，兩邊不相等。

lo g 14 \approx 1.146

，

lo g 5 \times lo g 9 \approx 0.699 \times 0.954 \approx 0.667

。

第 7 題○

5 = 5^{\frac{1}{2}}

，由對數律

lo g M^{r} = r lo g M

，得

lo g 5 = \frac{1}{2} lo g 5

。

第 8 題○

y = lo g x

的圖形隨

x

增加而上升，但上升得越來越慢：例如

x

從

1

到

10

上升

1

，從

10

到

100

也只上升

1

。圖形上任取兩點連成線段，線段都在圖形下方，所以凹口向下。

例：

\frac{lo g 1 + lo g 100}{2} = 1

，而中點

x = \frac{1 + 100}{2} = 50.5

的函數值

lo g 50.5 > 1

，圖形在弦的上方。

第 9 題×

y = lo g x

與

y = 1 0^{x}

互為反函數：點

(p, q)

在

y = 1 0^{x}

上，則

(q, p)

在

y = lo g x

上。兩圖形對稱於直線

y = x

，不是

y = - x

。

對稱於

y = - x

的話，

(1, 10)

的對稱點是

(- 10, - 1)

，但

y = lo g x

在

x \leq 0

沒有定義。

第 10 題○底數

10 > 1

，

y = lo g x

嚴格遞增。

0.9 > 0.8

，所以

lo g 0.9 > lo g 0.8

。

兩者都是負數，但

lo g 0.9

比較接近

0

。

對數律只把積、商、次方化成和、差、倍數，沒有和的對數公式；指數與對數函數的圖形對稱於直線 y＝x。

03填充 11～14（原卷填充 1～4）：對數律、換底公式、指數函數的圖形

第 11 題由

x = lo g_{5} 7

得

5^{x} = 7

。

2 5^{x} = (5^{2})^{x} = (5^{x})^{2} = 7^{2} = 49

。

第 12 題

\frac{1}{2} lo g 49 = lo g 4 9^{\frac{1}{2}} = lo g 7

；

lo g 8 = lo g 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g 2

，所以

\frac{4}{3} lo g 8 = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} lo g 2 = 2 lo g 2 = lo g 4

。原式

= lo g \frac{4}{7} + lo g 7 - lo g 4 = lo g (\frac{4}{7} \times 7 \div 4) = lo g 1 = 0

。

第 13 題用換底公式都換成常用對數：原式

= \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 7}{lo g 3} \times \frac{lo g 16}{lo g 7} = \frac{lo g 16}{lo g 2} = lo g_{2} 16 = 4

。

前一個的真數與後一個的底數相同時可以連續約掉，剩下

lo g_{2} 16

。

第 14 題

(1) 正確。 圖上 $y = a^{x}$ 隨 $x$ 增加而上升，是遞增函數，所以 $a > 1$ 。

(2) 正確。 $P$ 是三個圖形的共同交點。所有指數函數在 $x = 0$ 時函數值都是 $1$ ，三個圖形都過 $(0, 1)$ ，所以 $P$ 的坐標是 $(0, 1)$ 。

(3) 錯誤。 $y = b^{x}$ 與 $y = 3^{x}$ 對稱於 $y$ 軸，所以 $b^{x} = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ ， $b = \frac{1}{3}$ 。指數函數的底數必須是正數， $b = - 3$ 不可能。

(4) 錯誤。 在 $y$ 軸右側（ $x > 0$ ）， $y = a^{x}$ 的圖形在 $y = 3^{x}$ 的上方，例如 $x = 1$ 時 $a^{1} > 3^{1}$ ，所以 $a > 3$ 。

底數大於

1

時，底數越大，圖形在

x > 0

的部分越陡、越高；在

x < 0

的部分越貼近

x

軸。

換底公式把連乘的對數鏈約成一個；看指數函數的圖形，先看遞增遞減判斷底數和 1 的大小，再看 x 大於 0 時誰在上面判斷底數大小。

04填充 15～19（原卷填充 5～9）：指數、對數方程式與不等式

第 15 題

\frac{5}{5} = \frac{5 ^{\frac{1}{2}}}{5 ^{1}} = 5^{- \frac{1}{2}}

，所以右邊

= (5^{- \frac{1}{2}})^{5} = 5^{- \frac{5}{2}}

。

5^{x} = 5^{- \frac{5}{2}}

，指數函數是一對一的，得

x = - \frac{5}{2}

。

第 16 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），則

2^{2 x} = t^{2}

，

2^{x + 2} = 4 t

。方程式變成

t^{2} - 12 t + 27 = 0

，即

(t - 3) (t - 9) = 0

，

t = 3

或

t = 9

，兩個都是正數。

2^{x} = 3

得

x = lo g_{2} 3

；

2^{x} = 9

得

x = lo g_{2} 9

。

lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3

，寫哪一種都可以。

第 17 題真數條件：

x + 3 > 0

且

x - 1 > 0

，即

x > 1

。由對數律，

lo g \frac{x + 3}{x - 1} = lo g 3

，所以

\frac{x + 3}{x - 1} = 3

，

x + 3 = 3 x - 3

，

x = 3

。

3 > 1

符合真數條件，所以

x = 3

。

第 18 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），則

4^{x} = t^{2}

，

2^{x + 1} = 2 t

。不等式變成

t^{2} - 34 t + 64 \leq 0

，即

(t - 2) (t - 32) \leq 0

，所以

2 \leq t \leq 32

，也就是

2^{1} \leq 2^{x} \leq 2^{5}

。底數

2 > 1

，指數函數遞增，所以

1 \leq x \leq 5

。

17 \times 2^{x + 1}

要寫成

17 \times 2 \times 2^{x} = 34 t

，不是

17 t

。

第 19 題真數條件：

x - 1 > 0

且

x - 3 > 0

，即

x > 3

。原式化成

lo g [(x - 1) (x - 3)] \leq lo g 2^{3} = lo g 8

。常用對數遞增，所以

(x - 1) (x - 3) \leq 8

，

x^{2} - 4 x - 5 \leq 0

，

(x + 1) (x - 5) \leq 0

，

- 1 \leq x \leq 5

。和真數條件

x > 3

取交集，得

3 < x \leq 5

。

若忘了真數條件，會把

- 1 \leq x \leq 3

也寫進去，但那些

x

讓

lo g (x - 3)

沒有意義。

指數方程式與不等式先化成同底，或令 t 等於 2 的 x 次方化成二次式；對數方程式與不等式一定先寫真數條件，最後取交集。

05填充 20～22（原卷填充 10～12）：比較大小與對數函數

第 20 題都化成以

5

為底：

a = 5 = 5^{\frac{1}{2}}

；

b = 3125 = 3 5^{3} = 5

；

c = 5 \times 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}

。底數

5 > 1

，指數越大值越大，而

1 > \frac{2}{3} > \frac{1}{2}

，所以

b > c > a

。

近似值：

a \approx 2.236

，

c \approx 2.924

，

b = 5

。

第 21 題

f (a) - f (b) = lo g_{3} a - lo g_{3} b = lo g_{3} \frac{a}{b} = 5

，所以

\frac{a}{b} = (3)^{5} = 3^{\frac{5}{2}} = 93

。

第 22 題把三數都寫成一個對數：

a = lo g 2

；

b = \frac{1}{2} lo g 5 = lo g 5

；

c = 2 lo g 2 = lo g 4

。常用對數嚴格遞增，只要比較真數：

4 < 5

，所以

2 < 5

；又

5 < 16 = 4

。得

2 < 5 < 4

，所以

lo g 2 < lo g 5 < lo g 4

，即

c > b > a

。

近似值：

a \approx 0.301

，

b \approx 0.349

，

c \approx 0.602

。

比較幾個根式或對數的大小，先化成同底的指數或同底的對數，再用遞增性質比較指數或真數。

06填充 23～28（原卷填充 13～18）：指數與對數的應用

第 23 題濃度降為原來的一半，就是

(0.5)^{\frac{x}{16}} = \frac{1}{2} = (0.5)^{1}

，所以

\frac{x}{16} = 1

，

x = 16

。底數

0.5

小於

1

，

(0.5)^{\frac{x}{16}}

隨

x

增加而遞減，

x < 16

時濃度還高於一半，所以至少需要

16

小時。

16

小時就是這個藥物的半衰期。

第 24 題每兩年變為兩倍，所以

t = 2

時是原來的

2

倍：

a^{2} = 2

。

a

是指數函數的底數，

a > 0

，所以

a = 2

。

檢查：

t = 4

時

(2)^{4} = 4

，四年變四倍，符合每兩年加倍。

第 25 題右邊

= lo g 1 0^{\frac{x}{2}} + lo g 10 + lo g 2 = lo g (20 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}})

。所以

1 0^{x} + 100 = 20 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}}

。令

t = 1 0^{\frac{x}{2}}

（

t > 0

），則

1 0^{x} = t^{2}

，方程式變成

t^{2} - 20 t + 100 = 0

，即

(t - 10)^{2} = 0

，

t = 10

。

1 0^{\frac{x}{2}} = 10

，得

x = 2

。

檢查：左邊

lo g (100 + 100) = lo g 200

；右邊

1 + 1 + lo g 2 = lo g 200

，相等。

第 26 題

T (16) = (\frac{4}{5})^{l o g_{2} 16} = (\frac{4}{5})^{4}

，

T (4) = (\frac{4}{5})^{l o g_{2} 4} = (\frac{4}{5})^{2}

。所以

\frac{T ( 16 )}{T ( 4 )} = (\frac{4}{5})^{4 - 2} = (\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}

，第

16

架所需時間是第

4

架的

\frac{16}{25}

倍。

倍數小於

1

：越後面製造，所需時間越短。

第 27 題把

y = - 2.5

代入：

- 2.5 = - \frac{5}{2} lo g \frac{x}{a}

，所以

lo g \frac{x}{a} = 1

，

\frac{x}{a} = 10

。該星的亮度是織女星的

10

倍。

視星等越小（越負）的星越亮。

第 28 題點

(10, 1)

在圖形上：

1 = \frac{a}{lo g 2} \cdot lo g 10 = \frac{a}{lo g 2}

，所以

a = lo g 2

，函數是

y = lo g x

。設原照度為

x_{1}

，亮度感覺

2

：

lo g x_{1} = 2

，

x_{1} = 100

；提升後照度為

x_{2}

，亮度感覺

4

：

lo g x_{2} = 4

，

x_{2} = 10000

。

\frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{10000}{100} = 100

，照度須變為原照度的

100

倍。

也可以直接相減：

lo g x_{2} - lo g x_{1} = 4 - 2 = 2

，所以

lo g \frac{x _{2}}{x _{1}} = 2

，

\frac{x _{2}}{x _{1}} = 1 0^{2} = 100

。

應用題先把題意翻成指數或對數的等式；問「幾倍」時，兩個狀態的對數相減就是倍數的對數。

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01是非 1～5（原卷是非 (1)～(5)）：指數函數的圖形與指數律

02是非 6～10（原卷是非 (6)～(10)）：對數律與對數函數的圖形

03填充 11～14（原卷填充 1～4）：對數律、換底公式、指數函數的圖形

04填充 15～19（原卷填充 5～9）：指數、對數方程式與不等式

05填充 20～22（原卷填充 10～12）：比較大小與對數函數

06填充 23～28（原卷填充 13～18）：指數與對數的應用

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溪湖高中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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溪湖高中 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 28 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01是非 1～5（原卷是非 (1)～(5)）：指數函數的圖形與指數律

02是非 6～10（原卷是非 (6)～(10)）：對數律與對數函數的圖形

03填充 11～14（原卷填充 1～4）：對數律、換底公式、指數函數的圖形

04填充 15～19（原卷填充 5～9）：指數、對數方程式與不等式

05填充 20～22（原卷填充 10～12）：比較大小與對數函數

06填充 23～28（原卷填充 13～18）：指數與對數的應用

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溪湖高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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高二第二次段考
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