段考詳解範圍：高一數學第一、二冊總複習（數與式、指數與對數、多項式函數與不等式、直線與圓、數列、數據分析、排列組合與機率、三角比）

平鎮高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 10 題的選項 (3) 不能兩邊同除，選項 (4) 多了 x 等於 3 這個解；多選第 11 題要逐一數出每種答案格式有幾個可能的答案，兩格還可以是負的一位數；選填 A（本頁第 13 題）用二項式定理只留下指數是 3 的倍數的項；選填 B（第 14 題）把圖形平移到對稱中心後代 x 等於 1；選填 E（第 17 題）是每種至少一球的分配，用隔板法。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單一選擇題 6 題（每題 5 分，不倒扣）、多重選擇題 6 題（每題全對 5 分，錯一個選項 3 分，錯兩個選項 1 分）、選填題 A 至 H 共 8 題（每題 5 分），合計 100 分；全卷畫卡作答。原卷選填題號 A～H，本頁編為第 13～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

第一部分：選擇題　壹、單一選擇題（每題 5 分，不倒扣）

下列有 5 組資料（每組均有 6 筆資料）：(1)

A

：

1, 2, 3, 4, 5, 6

　(2)

B

：

2, 3, 4, 5, 6, 7

　(3)

C

：

7, 7, 7, 7, 7, 7

　(4)

D

：

1, 1, 1, 6, 6, 6

　(5)

E

：

2, 2, 2, 12, 12, 12

。哪一組資料的標準差最大？

(1) $A$
(2) $B$
(3) $C$
(4) $D$
(5) $E$

設

a = 4 + 12

，已知

3 \approx 1.732

，求

a

的範圍？

(1) $2.5 < a < 2.6$
(2) $2.6 < a < 2.7$
(3) $2.7 < a < 2.8$
(4) $2.8 < a < 2.9$
(5) $2.9 < a < 3.0$

奧運金牌教練訓練選手會依下列的規律，選手要從

1

號位置往順時針方向開始跳動：規律 (1) 如果選手所在的位置為奇數，那麼他下一次將跳動

1

格，例如：若在

1

號則跳到

2

號。規律 (2) 如果選手所在的位置為偶數，那麼他下一次將跳動

3

格，例如：若在

2

號則跳到

5

號。請問：當此選手跳動

49

下後，他所在位置的號碼為

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

載入中...

下列哪一個數最接近

10 \times 3^{10}

？

(1) $3^{10}$
(2) $3^{11}$
(3) $3^{12}$
(4) $3^{13}$
(5) $3^{14}$

請問

lo g 0.000000123

的值介於哪兩個連續整數之間？

(1) $- 6$ 與 $- 5$ 之間
(2) $- 7$ 與 $- 6$ 之間
(3) $- 8$ 與 $- 7$ 之間
(4) $- 9$ 與 $- 8$ 之間
(5) $- 10$ 與 $- 9$ 之間

我們知道考試中經常有多重選擇題，可單選亦可複選。現有一題多重選擇題，共有

A, B, C, D, E

五個選項，給分標準為完全答對者可得

5

分，只錯一選項可得

3

分，錯兩選項可得

1

分，錯三個或三個以上得

0

分，若小齊對該題的

A

選項確定是正確答案，

B

選項確定為錯誤答案，而其他選項根本看不懂，決定這三個選項要用猜的來作答，則小齊此題所得分數的期望值最接近以下哪個選項？

(1) $2.5$
(2) $2$
(3) $1.5$
(4) $1$
(5) $0.5$

貳、多重選擇題（每題全對 5 分，錯一個選項可得 3 分，錯兩個選項可得 1 分，錯三個或三個以上不給分）

設一等差數列

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\dots, a_{19}

，此

19

項的總和為

0

，請選出正確的選項：

(1) $a_{10} = 0$
(2) $a_{8} + a_{11} < 0$
(3) 若 $a_{1} < 0$ ，則 $a_{15} > 0$
(4) 若 $a_{1} < 0$ ，則 $a_{7} > 0$
(5) 若 $a_{8} + a_{11} < 0$ ，則 $a_{1} < 0$

坐標平面上，設點

O

為原點，已知圓

Γ

：

x^{2} + y^{2} = 9

與點

P (3, 4)

，請選出正確的選項：

(1) 點 $P$ 在圓 $Γ$ 外
(2) 過點 $P$ 作圓 $Γ$ 的切線只有一條
(3) 過點 $P$ 在圓 $Γ$ 的切線方程式為 $3 x + 4 y = 9$
(4) 過點 $P$ 在圓 $Γ$ 的切線長（點 $P$ 與切點的距離）為 $4$
(5) 圓 $Γ$ 上的點離點 $P$ 最近距離為 $2$

下列哪些選項中的數為有理數？

(1) $3.12 \overline{3}$
(2) $2$
(3) $lo g 2$
(4) $sin 3 0^{\circ}$
(5) $x^{2} + x - 1 = 0$ 的實數解

下列哪些不等式與

(x - 1) (x - 2) \leq 0

有相同的解？

(1) $(1 - x) (x - 2) \leq 0$
(2) $(1 - x) (2 - x) \leq 0$
(3) $x (x - 1) \leq 2 (x - 1)$
(4) $(x - 1) (x - 2) (x - 3)^{2} \leq 0$
(5) $(x - 1) (x - 2) (x^{2} + x + 1) \leq 0$

學科能力測驗數學科的選填題每格可填的選項有

-, \pm, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

等

12

種，且分數一定要約成最簡分數，例如：不會有

\frac{18}{12}

等答案出現，一定要化成

\frac{3}{2}

才可，請選出正確的選項：（希望此題能幫助大家在學測的答對率）

(1) 若答案為 $□$ ，則猜對的機率為 $\frac{1}{10}$
(2) 若答案為 $\frac{□}{3}$ ，則猜對的機率為 $\frac{1}{5}$
(3) 若答案為 $\frac{□}{□}$ ，則猜對的機率為 $\frac{1}{46}$
(4) 若答案為 $□□$ ，則猜對的機率為 $\frac{1}{90}$
(5) 若答案為 $(□, □)$ ，則猜對的機率為 $\frac{1}{100}$

坐標平面上，設兩直線

L_{1}

：

x - 3 y = 0

，

L_{2}

：

x - y + 2 = 0

，若

L_{1}

、

L_{2}

與

x

軸正向所夾的斜角為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則下列選項哪些正確？

(1) $θ_{1} = 3 0^{\circ}$
(2) $θ_{1} = 15 0^{\circ}$
(3) $θ_{2} = 4 5^{\circ}$
(4) $θ_{2} = 13 5^{\circ}$
(5) $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 的夾角為 $3 0^{\circ}$ 或 $15 0^{\circ}$

第二部分：選填題（每題 5 分）

求

(1 + 32)^{6}

的有理數部分為 ____。

已知三次函數

y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

圖形的對稱中心為

(5, 24)

，且

y = f (x)

的圖形經平移後與函數

y = 2 x^{3} - x

的圖形重合，求

a + b + c + d =

____。

在坐標平面上

(2, 5)

處有一光源，將圓

x^{2} + (y - 2)^{2} = 4

投射到

x

軸的影長為 ____。

某機構研究六位成人的 EQ（情緒智力）測驗（

X

）與職場成就測驗（

Y

）的分數如下：

成人代號 得分 X 得分 Y A 55 B 68 C 88 D 912 E 913 F 1114

利用迴歸直線，當 EQ 測驗分數為

10

分時，預測職場成就測驗的分數為 ____。

平鎮高中王牌投手主要武器有快速直球、伸卡球、滑球、指叉球、下墜球等五種球路，已知此投手面對對方強打共投

8

球，且每種球路都有用上，求五種球路的組合數有 ____ 種。

已知圓內接四邊形

A B C D

中，

∠ A = 6 0^{\circ}

，

\overline{A B} = \overline{B C} = 6

，

\overline{A D} = 12

，求

\overline{C D} =

____。

在坐標平面上，當一個點

(x, y)

的

x

坐標與

y

坐標都是整數時，稱此點為格子點，圖示二元一次聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y \leq 6 x + y \geq 2 x \geq 0 y \geq 0

區域上的解，共有 ____ 個格子點。

世界盃足球賽共有

32

隊參與比賽，先進行分組賽，每組

4

隊共

8

組，每組的

4

隊採單循環，也就是每一隊在分組賽皆要踢

3

場，取前

2

名共

16

隊進入淘汰賽，淘汰賽採單敗淘汰制，因要有第

3

、

4

名的隊伍，所以在冠軍賽之前會有一場季軍賽（由

4

強賽落敗隊伍來比賽），請問大家世足賽共有 ____ 場比賽。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(2)

第 6 題(2)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題(1)(4)(5)

第 9 題(1)(4)

第 10 題(2)(3)(5)

第 11 題(1)(3)(5)

第 12 題(1)(3)

第 13 題

45

第 14 題

- 100

第 15 題

12

第 16 題

13

第 17 題

35

第 18 題

6

第 19 題

13

第 20 題

64

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、3 題、多選第 7 題、選填 D（第 16 題）：數列與數據分析

第 1 題答案 (5)。標準差量的是資料離平均數有多遠。

C

六筆都相同，標準差是

0

。

B

是

A

每筆加

1

，標準差與

A

相同；

A

的平均數是

3.5

，各筆與平均數的差是

\pm 0.5, \pm 1.5, \pm 2.5

，標準差

= \frac{2 ( 0.25 + 2.25 + 6.25 )}{6} = \frac{35}{12} \approx 1.71

。

D

的平均數是

3.5

，每一筆都離平均數

2.5

，標準差

= 2.5

。

E

的平均數是

7

，每一筆都離平均數

5

，標準差

= 5

。所以

E

最大。

E

的每一筆正好是

D

的

2

倍，標準差也跟著變成

2

倍；資料全部加同一個數，標準差不變。

第 3 題答案 (2)。位置繞一圈是

6

格，超過

6

就減

6

。從

1

號開始：

1

是奇數，跳

1

格到

2

；

2

是偶數，跳

3

格到

5

；

5

是奇數，到

6

；

6

是偶數，跳

3

格到

9 - 6 = 3

；

3

是奇數，到

4

；

4

是偶數，跳

3

格到

7 - 6 = 1

。所以位置依

1 \to 2 \to 5 \to 6 \to 3 \to 4 \to 1

循環，每跳

6

下回到

1

號。

49 = 6 \times 8 + 1

，跳

48

下回到

1

號，再跳

1

下到

2

號。

問的是跳「

49

下後」的位置，餘數

1

對應的是循環中跳

1

下後的

2

號，不是起點

1

號。

第 7 題答案 (1)(3)(5)。設公差為

d

。

19

項的和

= \frac{19 ( a _{1} + a _{19} )}{2} = 19 a_{10} = 0

，所以

a_{10} = 0

，各項可寫成

a_{n} = (n - 10) d

。(1) 正確。(2)

a_{8} + a_{11} = - 2 d + d = - d

，

d

是負數或

0

時不小於

0

，不一定成立，不選。(3)

a_{1} = - 9 d < 0

表示

d > 0

，所以

a_{15} = 5 d > 0

，正確。(4) 同樣

d > 0

，

a_{7} = - 3 d < 0

，錯誤。(5)

a_{8} + a_{11} = - d < 0

表示

d > 0

，所以

a_{1} = - 9 d < 0

，正確。

項數是奇數的等差數列，總和＝項數×中間項。(2) 沒有任何前提，公差的正負還不知道。

第 16 題

X

的平均數

= \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 9 + 11}{6} = 8

，

Y

的平均數

= \frac{5 + 8 + 8 + 12 + 13 + 14}{6} = 10

。各筆與平均數的差：

X

是

- 3, - 2, 0, 1, 1, 3

，

Y

是

- 5, - 2, - 2, 2, 3, 4

。兩者乘積的和

= 15 + 4 + 0 + 2 + 3 + 12 = 36

，

X

的差的平方和

= 9 + 4 + 0 + 1 + 1 + 9 = 24

。迴歸直線的斜率

= \frac{36}{24} = \frac{3}{2}

，且通過

(8, 10)

：

y - 10 = \frac{3}{2} (x - 8)

。代

x = 10

得

y = 10 + 3 = 13

。

迴歸直線一定通過兩個平均數所成的點

(8, 10)

。

會循環的過程先把一輪列完再用餘數；項數為奇數的等差數列用中間項；迴歸直線過平均數的點，斜率是「差的乘積和」除以「X 的差的平方和」。

02單選第 2、4、5 題、多選第 9 題：數與式、指數與對數

第 2 題答案 (3)。

12 = 23

，所以

a = 4 + 23

。找兩個數相加是

4

、相乘是

3

：

3

與

1

，

4 + 23 = (3 + 1)^{2}

，故

a = 3 + 1 \approx 2.732

，在

2.7

與

2.8

之間。

第 4 題答案 (3)。都用

3^{10}

當單位：

3^{11} = 3 \times 3^{10}

，

3^{12} = 9 \times 3^{10}

，

3^{13} = 27 \times 3^{10}

，

3^{14} = 81 \times 3^{10}

。

10 \times 3^{10}

與它們的差依序是

9

、

7

、

1

、

17

、

71

個

3^{10}

，與

3^{12}

的差最小。

第 5 題答案 (2)。小數點後有

6

個

0

才出現

1

，所以

0.000000123 = 1.23 \times 1 0^{- 7}

，介於

1 0^{- 7}

與

1 0^{- 6}

之間：

1 0^{- 7} < 0.000000123 < 1 0^{- 6}

。常用對數是遞增的，

lo g 1 0^{- 7} = - 7

、

lo g 1 0^{- 6} = - 6

，所以

lo g 0.000000123

在

- 7

與

- 6

之間。

也可以寫成

lo g (1.23 \times 1 0^{- 7}) = - 7 + lo g 1.23

，而

0 < lo g 1.23 < 1

。

第 9 題答案 (1)(4)。(1) 循環小數都能化成分數，是有理數。(2)

2

是無理數。(3) 若

lo g 2 = \frac{p}{q}

（

p, q

為正整數），則

1 0^{p} = 2^{q}

，左邊有質因數

5

、右邊沒有，矛盾，所以

lo g 2

是無理數。(4)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，是有理數。(5)

x = \frac{- 1 \pm 5}{2}

，兩個解都含

5

，是無理數。

雙重根號先把裡面配成完全平方；很大或很小的數先寫成科學記號再取對數。

03單選第 6 題、多選第 11 題、選填 A、E、H（第 13、17、20 題）：排列組合與機率

第 6 題答案 (2)。

A

、

B

兩個選項一定作對，剩下

C, D, E

三個選項各自猜對的機率是

\frac{1}{2}

，共

2^{3} = 8

種等機率的情形。三個全對（錯

0

個）有

1

種，得

5

分；錯

1

個有

3

種，得

3

分；錯

2

個有

3

種，得

1

分；錯

3

個有

1

種，得

0

分。期望值

= \frac{1 \times 5 + 3 \times 3 + 3 \times 1 + 1 \times 0}{8} = \frac{17}{8} = 2.125

，最接近

2

。

第 11 題答案 (1)(3)(5)。算出每種格式有幾個可能的答案，猜對的機率就是它的倒數。(1) 只有一格，只能是

0

到

9

，共

10

個，機率

\frac{1}{10}

，正確。(2) 分母是

3

的最簡分數，分子只能是

1, 2, 4, 5, 7, 8

，共

6

個，機率是

\frac{1}{6}

，不是

\frac{1}{5}

，錯誤。(3) 分子、分母各一格的最簡分數：分母不會是

1

（那就不寫成分數），分母為

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

時，與它互質的分子（

1

到

9

）依序有

5, 6, 5, 8, 3, 8, 5, 6

個，共

46

個，機率

\frac{1}{46}

，正確。(4) 兩格除了

10

到

99

這

90

個二位數，第一格還可以填負號，

- 1

到

- 9

又有

9

個，可能的答案超過

90

個，機率小於

\frac{1}{90}

，錯誤。(5) 兩個坐標各一格，各有

0

到

9

共

10

種，

10 \times 10 = 100

個，機率

\frac{1}{100}

，正確。

(3) 的分子不會是

0

（答案是

0

時不寫成分數）。(4) 若把第一格填

\pm

的

\pm 1

到

\pm 9

也算進去，可能的答案更多，結論相同。

第 13 題由二項式定理，

(1 + 32)^{6}

的各項是

C_{k}^{6} (32)^{k}

，

k = 0, 1, \dots, 6

。

(32)^{k}

只有在

k

是

3

的倍數時才是有理數：

k = 0

得

1

；

k = 3

得

C_{3}^{6} \times 2 = 40

；

k = 6

得

C_{6}^{6} \times 2^{2} = 4

。有理數部分

= 1 + 40 + 4 = 45

。

其餘四項合起來是

3632 + 2734

，都不是有理數。

第 17 題「組合數」只看每種球路各投幾球，不管先後順序。把

8

顆球排成一列，球與球之間有

7

個空隙，選

4

個放隔板分成

5

段（每段至少

1

球），由左到右依序是五種球路的球數，共

C_{4}^{7} = 35

種。

檢查：

8

球分成五個正整數，球數的搭配只有

4, 1, 1, 1, 1

、

3, 2, 1, 1, 1

、

2, 2, 2, 1, 1

三種，分給五種球路的方法數依序是

5

、

5 \times 4 = 20

、

C_{3}^{5} = 10

，合計

35

。

第 20 題分組賽：每組

4

隊單循環，任兩隊比一場，

C_{2}^{4} = 6

場，

8

組共

48

場。淘汰賽：

16

隊單敗淘汰，

16

強

8

場、

8

強

4

場、

4

強

2

場、冠軍賽

1

場，共

15

場，再加季軍賽

1

場，是

16

場。全部

48 + 16 = 64

場。

單敗淘汰每場淘汰一隊，

16

隊要淘汰

15

隊才剩冠軍，所以是

15

場。分組賽也可以用「每隊踢

3

場、每場有兩隊」算：

\frac{32 \times 3}{2} = 48

。

計數題先決定「什麼算一種」：只看各有幾個是組合，每種至少一個的分配用隔板法。

04多選第 10 題、選填 B（第 14 題）：多項式函數與不等式

第 10 題答案 (2)(3)(5)。原不等式的解是

1 \leq x \leq 2

。(1)

(1 - x) (x - 2) = - (x - 1) (x - 2) \leq 0

，即

(x - 1) (x - 2) \geq 0

，解是

x \leq 1

或

x \geq 2

，不同。(2)

(1 - x) (2 - x) = (x - 1) (x - 2)

，與原式完全相同。(3) 移項得

x (x - 1) - 2 (x - 1) = (x - 1) (x - 2) \leq 0

，相同。(4)

(x - 3)^{2} \geq 0

，

x \neq = 3

時可以約去，得

1 \leq x \leq 2

；但

x = 3

時左邊等於

0

，也是解，所以解是

1 \leq x \leq 2

或

x = 3

，不同。(5)

x^{2} + x + 1

的判別式

= 1 - 4 < 0

且首項係數為正，恆為正數，約去後就是

(x - 1) (x - 2) \leq 0

，相同。

(3) 不可以兩邊同除以

x - 1

，因為不知道它的正負；要移項後提出公因式。(4) 有等號的不等式，平方因式等於

0

的那個點要另外放回去。

第 14 題圖形平移不改變形狀，

y = 2 x^{3} - x

的對稱中心是原點；把它平移到對稱中心在

(5, 24)

，就是

f (x) = 2 (x - 5)^{3} - (x - 5) + 24

。

a + b + c + d

就是

f (1)

：

f (1) = 2 \times (- 4)^{3} - (- 4) + 24 = - 128 + 4 + 24 = - 100

。

展開來看：

f (x) = 2 x^{3} - 30 x^{2} + 149 x - 221

，

2 - 30 + 149 - 221 = - 100

。求係數和不必展開，代

x = 1

即可。

05多選第 8、12 題、選填 C、F、G（第 15、18、19 題）：直線、圓與三角比

第 8 題答案 (1)(4)(5)。圓心

O (0, 0)

、半徑

3

，

\overline{O P} = 3^{2} + 4^{2} = 5

。(1)

5 > 3

，

P

在圓外，正確。(2) 過圓外一點可以作兩條切線，錯誤。(3) 把

P (3, 4)

代入

3 x + 4 y

得

25 \neq = 9

，這條直線根本不通過

P

，錯誤。(4) 切線與過切點的半徑垂直，切線長

= \overline{O P}^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 4

，正確。(5) 最近的點在線段

O P

上，距離

= 5 - 3 = 2

，正確。

過

P

的兩條切線是

x = 3

與

7 x - 24 y + 75 = 0

。「

x_{0} x + y_{0} y = r^{2}

」這個式子只有在

(x_{0}, y_{0})

是圓上的點時才是切線。

第 12 題答案 (1)(3)。

L_{1}

：

y = \frac{1}{3} x

，斜率

\frac{1}{3} = tan 3 0^{\circ}

，斜角

θ_{1} = 3 0^{\circ}

。

L_{2}

：

y = x + 2

，斜率

1 = tan 4 5^{\circ}

，斜角

θ_{2} = 4 5^{\circ}

。所以 (1)(3) 正確，(2)(4) 錯誤。(5) 兩直線的夾角是斜角的差

4 5^{\circ} - 3 0^{\circ} = 1 5^{\circ}

，另一個是

16 5^{\circ}

，不是

3 0^{\circ}

或

15 0^{\circ}

，錯誤。

斜率是正的，斜角是銳角；

15 0^{\circ}

、

13 5^{\circ}

是斜率為負的直線。

第 15 題圓心

(0, 2)

、半徑

2

，圓與

x

軸相切、最高點高度是

4

，光源

(2, 5)

在圓的右上方。影子的兩端是從光源作圓的兩條切線與

x

軸的交點。第一條：直線

x = 2

到圓心的距離是

2

，等於半徑，是切線，交

x

軸於

(2, 0)

。第二條：設為

y - 5 = m (x - 2)

，即

m x - y + 5 - 2 m = 0

，圓心到它的距離

\frac{∣ - 2 + 5 - 2 m ∣}{m ^{2} + 1} = 2

，平方得

9 - 12 m + 4 m^{2} = 4 m^{2} + 4

，

m = \frac{5}{12}

。令

y = 0

：

- 5 = \frac{5}{12} (x - 2)

，

x = - 10

。影子從

x = - 10

到

x = 2

，長度

12

。

設斜率只解出一條切線時，另一條就是沒有斜率的鉛直線，要自己補上。

第 18 題連

\overline{B D}

。在三角形

A B D

用餘弦定理：

\overline{B D}^{2} = 6^{2} + 1 2^{2} - 2 \times 6 \times 12 \times cos 6 0^{\circ} = 36 + 144 - 72 = 108

。圓內接四邊形的對角互補，

∠ C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

。設

\overline{C D} = x

，在三角形

B C D

：

108 = 6^{2} + x^{2} - 2 \times 6 \times x \times cos 12 0^{\circ} = 36 + x^{2} + 6 x

，即

x^{2} + 6 x - 72 = 0

，

(x + 12) (x - 6) = 0

，取正的

x = 6

。

第 19 題由

2 x + y \leq 6

與

y \geq 0

得

x \leq 3

，所以

x

只能是

0, 1, 2, 3

，

y

要滿足

2 - x \leq y \leq 6 - 2 x

且

y \geq 0

。

x = 0

：

2 \leq y \leq 6

，有

5

個。

x = 1

：

1 \leq y \leq 4

，有

4

個。

x = 2

：

0 \leq y \leq 2

，有

3

個。

x = 3

：

y = 0

，有

1

個。共

5 + 4 + 3 + 1 = 13

個。

邊界上的點都算（不等式有等號）。

圓的切線用「圓心到直線的距離等於半徑」，解出的條數不夠就補鉛直線；圓內接四邊形用對角互補，兩個三角形共用一條對角線。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

平鎮高中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 10 題的選項 (3) 不能兩邊同除，選項 (4) 多了 x 等於 3 這個解；多選第 11 題要逐一數出每種答案格式有幾個可能的答案，兩格還可以是負的一位數；選填 A（本頁第 13 題）用二項式定理只留下指數是 3 的倍數的項；選填 B（第 14 題）把圖形平移到對稱中心後代 x 等於 1；選填 E（第 17 題）是每種至少一球的分配，用隔板法。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：高一數學第一、二冊總複習（數與式、指數與對數、多項式函數與不等式、直線與圓、數列、數據分析、排列組合與機率、三角比）

平鎮高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

第一部分：選擇題　壹、單一選擇題（每題 5 分，不倒扣）

下列有 5 組資料（每組均有 6 筆資料）：(1)

A

：

1, 2, 3, 4, 5, 6

　(2)

B

：

2, 3, 4, 5, 6, 7

　(3)

C

：

7, 7, 7, 7, 7, 7

　(4)

D

：

1, 1, 1, 6, 6, 6

　(5)

E

：

2, 2, 2, 12, 12, 12

。哪一組資料的標準差最大？

(1) $A$
(2) $B$
(3) $C$
(4) $D$
(5) $E$

設

a = 4 + 12

，已知

3 \approx 1.732

，求

a

的範圍？

(1) $2.5 < a < 2.6$
(2) $2.6 < a < 2.7$
(3) $2.7 < a < 2.8$
(4) $2.8 < a < 2.9$
(5) $2.9 < a < 3.0$

奧運金牌教練訓練選手會依下列的規律，選手要從

1

號位置往順時針方向開始跳動：規律 (1) 如果選手所在的位置為奇數，那麼他下一次將跳動

1

格，例如：若在

1

號則跳到

2

號。規律 (2) 如果選手所在的位置為偶數，那麼他下一次將跳動

3

格，例如：若在

2

號則跳到

5

號。請問：當此選手跳動

49

下後，他所在位置的號碼為

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

載入中...

下列哪一個數最接近

10 \times 3^{10}

？

(1) $3^{10}$
(2) $3^{11}$
(3) $3^{12}$
(4) $3^{13}$
(5) $3^{14}$

請問

lo g 0.000000123

的值介於哪兩個連續整數之間？

(1) $- 6$ 與 $- 5$ 之間
(2) $- 7$ 與 $- 6$ 之間
(3) $- 8$ 與 $- 7$ 之間
(4) $- 9$ 與 $- 8$ 之間
(5) $- 10$ 與 $- 9$ 之間

我們知道考試中經常有多重選擇題，可單選亦可複選。現有一題多重選擇題，共有

A, B, C, D, E

五個選項，給分標準為完全答對者可得

5

分，只錯一選項可得

3

分，錯兩選項可得

1

分，錯三個或三個以上得

0

分，若小齊對該題的

A

選項確定是正確答案，

B

選項確定為錯誤答案，而其他選項根本看不懂，決定這三個選項要用猜的來作答，則小齊此題所得分數的期望值最接近以下哪個選項？

(1) $2.5$
(2) $2$
(3) $1.5$
(4) $1$
(5) $0.5$

貳、多重選擇題（每題全對 5 分，錯一個選項可得 3 分，錯兩個選項可得 1 分，錯三個或三個以上不給分）

設一等差數列

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\dots, a_{19}

，此

19

項的總和為

0

，請選出正確的選項：

(1) $a_{10} = 0$
(2) $a_{8} + a_{11} < 0$
(3) 若 $a_{1} < 0$ ，則 $a_{15} > 0$
(4) 若 $a_{1} < 0$ ，則 $a_{7} > 0$
(5) 若 $a_{8} + a_{11} < 0$ ，則 $a_{1} < 0$

坐標平面上，設點

O

為原點，已知圓

Γ

：

x^{2} + y^{2} = 9

與點

P (3, 4)

，請選出正確的選項：

(1) 點 $P$ 在圓 $Γ$ 外
(2) 過點 $P$ 作圓 $Γ$ 的切線只有一條
(3) 過點 $P$ 在圓 $Γ$ 的切線方程式為 $3 x + 4 y = 9$
(4) 過點 $P$ 在圓 $Γ$ 的切線長（點 $P$ 與切點的距離）為 $4$
(5) 圓 $Γ$ 上的點離點 $P$ 最近距離為 $2$

下列哪些選項中的數為有理數？

(1) $3.12 \overline{3}$
(2) $2$
(3) $lo g 2$
(4) $sin 3 0^{\circ}$
(5) $x^{2} + x - 1 = 0$ 的實數解

下列哪些不等式與

(x - 1) (x - 2) \leq 0

有相同的解？

(1) $(1 - x) (x - 2) \leq 0$
(2) $(1 - x) (2 - x) \leq 0$
(3) $x (x - 1) \leq 2 (x - 1)$
(4) $(x - 1) (x - 2) (x - 3)^{2} \leq 0$
(5) $(x - 1) (x - 2) (x^{2} + x + 1) \leq 0$

學科能力測驗數學科的選填題每格可填的選項有

-, \pm, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

等

12

種，且分數一定要約成最簡分數，例如：不會有

\frac{18}{12}

等答案出現，一定要化成

\frac{3}{2}

才可，請選出正確的選項：（希望此題能幫助大家在學測的答對率）

(1) 若答案為 $□$ ，則猜對的機率為 $\frac{1}{10}$
(2) 若答案為 $\frac{□}{3}$ ，則猜對的機率為 $\frac{1}{5}$
(3) 若答案為 $\frac{□}{□}$ ，則猜對的機率為 $\frac{1}{46}$
(4) 若答案為 $□□$ ，則猜對的機率為 $\frac{1}{90}$
(5) 若答案為 $(□, □)$ ，則猜對的機率為 $\frac{1}{100}$

坐標平面上，設兩直線

L_{1}

：

x - 3 y = 0

，

L_{2}

：

x - y + 2 = 0

，若

L_{1}

、

L_{2}

與

x

軸正向所夾的斜角為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則下列選項哪些正確？

(1) $θ_{1} = 3 0^{\circ}$
(2) $θ_{1} = 15 0^{\circ}$
(3) $θ_{2} = 4 5^{\circ}$
(4) $θ_{2} = 13 5^{\circ}$
(5) $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 的夾角為 $3 0^{\circ}$ 或 $15 0^{\circ}$

第二部分：選填題（每題 5 分）

求

(1 + 32)^{6}

的有理數部分為 ____。

已知三次函數

y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

圖形的對稱中心為

(5, 24)

，且

y = f (x)

的圖形經平移後與函數

y = 2 x^{3} - x

的圖形重合，求

a + b + c + d =

____。

在坐標平面上

(2, 5)

處有一光源，將圓

x^{2} + (y - 2)^{2} = 4

投射到

x

軸的影長為 ____。

某機構研究六位成人的 EQ（情緒智力）測驗（

X

）與職場成就測驗（

Y

）的分數如下：

成人代號 得分 X 得分 Y A 55 B 68 C 88 D 912 E 913 F 1114

利用迴歸直線，當 EQ 測驗分數為

10

分時，預測職場成就測驗的分數為 ____。

平鎮高中王牌投手主要武器有快速直球、伸卡球、滑球、指叉球、下墜球等五種球路，已知此投手面對對方強打共投

8

球，且每種球路都有用上，求五種球路的組合數有 ____ 種。

已知圓內接四邊形

A B C D

中，

∠ A = 6 0^{\circ}

，

\overline{A B} = \overline{B C} = 6

，

\overline{A D} = 12

，求

\overline{C D} =

____。

在坐標平面上，當一個點

(x, y)

的

x

坐標與

y

坐標都是整數時，稱此點為格子點，圖示二元一次聯立不等式

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y \leq 6 x + y \geq 2 x \geq 0 y \geq 0

區域上的解，共有 ____ 個格子點。

世界盃足球賽共有

32

隊參與比賽，先進行分組賽，每組

4

隊共

8

組，每組的

4

隊採單循環，也就是每一隊在分組賽皆要踢

3

場，取前

2

名共

16

隊進入淘汰賽，淘汰賽採單敗淘汰制，因要有第

3

、

4

名的隊伍，所以在冠軍賽之前會有一場季軍賽（由

4

強賽落敗隊伍來比賽），請問大家世足賽共有 ____ 場比賽。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(3)

第 5 題(2)

第 6 題(2)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題(1)(4)(5)

第 9 題(1)(4)

第 10 題(2)(3)(5)

第 11 題(1)(3)(5)

第 12 題(1)(3)

第 13 題

45

第 14 題

- 100

第 15 題

12

第 16 題

13

第 17 題

35

第 18 題

6

第 19 題

13

第 20 題

64

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、3 題、多選第 7 題、選填 D（第 16 題）：數列與數據分析

第 1 題答案 (5)。標準差量的是資料離平均數有多遠。

C

六筆都相同，標準差是

0

。

B

是

A

每筆加

1

，標準差與

A

相同；

A

的平均數是

3.5

，各筆與平均數的差是

\pm 0.5, \pm 1.5, \pm 2.5

，標準差

= \frac{2 ( 0.25 + 2.25 + 6.25 )}{6} = \frac{35}{12} \approx 1.71

。

D

的平均數是

3.5

，每一筆都離平均數

2.5

，標準差

= 2.5

。

E

的平均數是

7

，每一筆都離平均數

5

，標準差

= 5

。所以

E

最大。

E

的每一筆正好是

D

的

2

倍，標準差也跟著變成

2

倍；資料全部加同一個數，標準差不變。

第 3 題答案 (2)。位置繞一圈是

6

格，超過

6

就減

6

。從

1

號開始：

1

是奇數，跳

1

格到

2

；

2

是偶數，跳

3

格到

5

；

5

是奇數，到

6

；

6

是偶數，跳

3

格到

9 - 6 = 3

；

3

是奇數，到

4

；

4

是偶數，跳

3

格到

7 - 6 = 1

。所以位置依

1 \to 2 \to 5 \to 6 \to 3 \to 4 \to 1

循環，每跳

6

下回到

1

號。

49 = 6 \times 8 + 1

，跳

48

下回到

1

號，再跳

1

下到

2

號。

問的是跳「

49

下後」的位置，餘數

1

對應的是循環中跳

1

下後的

2

號，不是起點

1

號。

第 7 題答案 (1)(3)(5)。設公差為

d

。

19

項的和

= \frac{19 ( a _{1} + a _{19} )}{2} = 19 a_{10} = 0

，所以

a_{10} = 0

，各項可寫成

a_{n} = (n - 10) d

。(1) 正確。(2)

a_{8} + a_{11} = - 2 d + d = - d

，

d

是負數或

0

時不小於

0

，不一定成立，不選。(3)

a_{1} = - 9 d < 0

表示

d > 0

，所以

a_{15} = 5 d > 0

，正確。(4) 同樣

d > 0

，

a_{7} = - 3 d < 0

，錯誤。(5)

a_{8} + a_{11} = - d < 0

表示

d > 0

，所以

a_{1} = - 9 d < 0

，正確。

項數是奇數的等差數列，總和＝項數×中間項。(2) 沒有任何前提，公差的正負還不知道。

第 16 題

X

的平均數

= \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 9 + 11}{6} = 8

，

Y

的平均數

= \frac{5 + 8 + 8 + 12 + 13 + 14}{6} = 10

。各筆與平均數的差：

X

是

- 3, - 2, 0, 1, 1, 3

，

Y

是

- 5, - 2, - 2, 2, 3, 4

。兩者乘積的和

= 15 + 4 + 0 + 2 + 3 + 12 = 36

，

X

的差的平方和

= 9 + 4 + 0 + 1 + 1 + 9 = 24

。迴歸直線的斜率

= \frac{36}{24} = \frac{3}{2}

，且通過

(8, 10)

：

y - 10 = \frac{3}{2} (x - 8)

。代

x = 10

得

y = 10 + 3 = 13

。

迴歸直線一定通過兩個平均數所成的點

(8, 10)

。

會循環的過程先把一輪列完再用餘數；項數為奇數的等差數列用中間項；迴歸直線過平均數的點，斜率是「差的乘積和」除以「X 的差的平方和」。

02單選第 2、4、5 題、多選第 9 題：數與式、指數與對數

第 2 題答案 (3)。

12 = 23

，所以

a = 4 + 23

。找兩個數相加是

4

、相乘是

3

：

3

與

1

，

4 + 23 = (3 + 1)^{2}

，故

a = 3 + 1 \approx 2.732

，在

2.7

與

2.8

之間。

第 4 題答案 (3)。都用

3^{10}

當單位：

3^{11} = 3 \times 3^{10}

，

3^{12} = 9 \times 3^{10}

，

3^{13} = 27 \times 3^{10}

，

3^{14} = 81 \times 3^{10}

。

10 \times 3^{10}

與它們的差依序是

9

、

7

、

1

、

17

、

71

個

3^{10}

，與

3^{12}

的差最小。

第 5 題答案 (2)。小數點後有

6

個

0

才出現

1

，所以

0.000000123 = 1.23 \times 1 0^{- 7}

，介於

1 0^{- 7}

與

1 0^{- 6}

之間：

1 0^{- 7} < 0.000000123 < 1 0^{- 6}

。常用對數是遞增的，

lo g 1 0^{- 7} = - 7

、

lo g 1 0^{- 6} = - 6

，所以

lo g 0.000000123

在

- 7

與

- 6

之間。

也可以寫成

lo g (1.23 \times 1 0^{- 7}) = - 7 + lo g 1.23

，而

0 < lo g 1.23 < 1

。

第 9 題答案 (1)(4)。(1) 循環小數都能化成分數，是有理數。(2)

2

是無理數。(3) 若

lo g 2 = \frac{p}{q}

（

p, q

為正整數），則

1 0^{p} = 2^{q}

，左邊有質因數

5

、右邊沒有，矛盾，所以

lo g 2

是無理數。(4)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，是有理數。(5)

x = \frac{- 1 \pm 5}{2}

，兩個解都含

5

，是無理數。

雙重根號先把裡面配成完全平方；很大或很小的數先寫成科學記號再取對數。

03單選第 6 題、多選第 11 題、選填 A、E、H（第 13、17、20 題）：排列組合與機率

第 6 題答案 (2)。

A

、

B

兩個選項一定作對，剩下

C, D, E

三個選項各自猜對的機率是

\frac{1}{2}

，共

2^{3} = 8

種等機率的情形。三個全對（錯

0

個）有

1

種，得

5

分；錯

1

個有

3

種，得

3

分；錯

2

個有

3

種，得

1

分；錯

3

個有

1

種，得

0

分。期望值

= \frac{1 \times 5 + 3 \times 3 + 3 \times 1 + 1 \times 0}{8} = \frac{17}{8} = 2.125

，最接近

2

。

第 11 題答案 (1)(3)(5)。算出每種格式有幾個可能的答案，猜對的機率就是它的倒數。(1) 只有一格，只能是

0

到

9

，共

10

個，機率

\frac{1}{10}

，正確。(2) 分母是

3

的最簡分數，分子只能是

1, 2, 4, 5, 7, 8

，共

6

個，機率是

\frac{1}{6}

，不是

\frac{1}{5}

，錯誤。(3) 分子、分母各一格的最簡分數：分母不會是

1

（那就不寫成分數），分母為

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

時，與它互質的分子（

1

到

9

）依序有

5, 6, 5, 8, 3, 8, 5, 6

個，共

46

個，機率

\frac{1}{46}

，正確。(4) 兩格除了

10

到

99

這

90

個二位數，第一格還可以填負號，

- 1

到

- 9

又有

9

個，可能的答案超過

90

個，機率小於

\frac{1}{90}

，錯誤。(5) 兩個坐標各一格，各有

0

到

9

共

10

種，

10 \times 10 = 100

個，機率

\frac{1}{100}

，正確。

(3) 的分子不會是

0

（答案是

0

時不寫成分數）。(4) 若把第一格填

\pm

的

\pm 1

到

\pm 9

也算進去，可能的答案更多，結論相同。

第 13 題由二項式定理，

(1 + 32)^{6}

的各項是

C_{k}^{6} (32)^{k}

，

k = 0, 1, \dots, 6

。

(32)^{k}

只有在

k

是

3

的倍數時才是有理數：

k = 0

得

1

；

k = 3

得

C_{3}^{6} \times 2 = 40

；

k = 6

得

C_{6}^{6} \times 2^{2} = 4

。有理數部分

= 1 + 40 + 4 = 45

。

其餘四項合起來是

3632 + 2734

，都不是有理數。

第 17 題「組合數」只看每種球路各投幾球，不管先後順序。把

8

顆球排成一列，球與球之間有

7

個空隙，選

4

個放隔板分成

5

段（每段至少

1

球），由左到右依序是五種球路的球數，共

C_{4}^{7} = 35

種。

檢查：

8

球分成五個正整數，球數的搭配只有

4, 1, 1, 1, 1

、

3, 2, 1, 1, 1

、

2, 2, 2, 1, 1

三種，分給五種球路的方法數依序是

5

、

5 \times 4 = 20

、

C_{3}^{5} = 10

，合計

35

。

第 20 題分組賽：每組

4

隊單循環，任兩隊比一場，

C_{2}^{4} = 6

場，

8

組共

48

場。淘汰賽：

16

隊單敗淘汰，

16

強

8

場、

8

強

4

場、

4

強

2

場、冠軍賽

1

場，共

15

場，再加季軍賽

1

場，是

16

場。全部

48 + 16 = 64

場。

單敗淘汰每場淘汰一隊，

16

隊要淘汰

15

隊才剩冠軍，所以是

15

場。分組賽也可以用「每隊踢

3

場、每場有兩隊」算：

\frac{32 \times 3}{2} = 48

。

計數題先決定「什麼算一種」：只看各有幾個是組合，每種至少一個的分配用隔板法。

04多選第 10 題、選填 B（第 14 題）：多項式函數與不等式

第 10 題答案 (2)(3)(5)。原不等式的解是

1 \leq x \leq 2

。(1)

(1 - x) (x - 2) = - (x - 1) (x - 2) \leq 0

，即

(x - 1) (x - 2) \geq 0

，解是

x \leq 1

或

x \geq 2

，不同。(2)

(1 - x) (2 - x) = (x - 1) (x - 2)

，與原式完全相同。(3) 移項得

x (x - 1) - 2 (x - 1) = (x - 1) (x - 2) \leq 0

，相同。(4)

(x - 3)^{2} \geq 0

，

x \neq = 3

時可以約去，得

1 \leq x \leq 2

；但

x = 3

時左邊等於

0

，也是解，所以解是

1 \leq x \leq 2

或

x = 3

，不同。(5)

x^{2} + x + 1

的判別式

= 1 - 4 < 0

且首項係數為正，恆為正數，約去後就是

(x - 1) (x - 2) \leq 0

，相同。

(3) 不可以兩邊同除以

x - 1

，因為不知道它的正負；要移項後提出公因式。(4) 有等號的不等式，平方因式等於

0

的那個點要另外放回去。

第 14 題圖形平移不改變形狀，

y = 2 x^{3} - x

的對稱中心是原點；把它平移到對稱中心在

(5, 24)

，就是

f (x) = 2 (x - 5)^{3} - (x - 5) + 24

。

a + b + c + d

就是

f (1)

：

f (1) = 2 \times (- 4)^{3} - (- 4) + 24 = - 128 + 4 + 24 = - 100

。

展開來看：

f (x) = 2 x^{3} - 30 x^{2} + 149 x - 221

，

2 - 30 + 149 - 221 = - 100

。求係數和不必展開，代

x = 1

即可。

05多選第 8、12 題、選填 C、F、G（第 15、18、19 題）：直線、圓與三角比

第 8 題答案 (1)(4)(5)。圓心

O (0, 0)

、半徑

3

，

\overline{O P} = 3^{2} + 4^{2} = 5

。(1)

5 > 3

，

P

在圓外，正確。(2) 過圓外一點可以作兩條切線，錯誤。(3) 把

P (3, 4)

代入

3 x + 4 y

得

25 \neq = 9

，這條直線根本不通過

P

，錯誤。(4) 切線與過切點的半徑垂直，切線長

= \overline{O P}^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 4

，正確。(5) 最近的點在線段

O P

上，距離

= 5 - 3 = 2

，正確。

過

P

的兩條切線是

x = 3

與

7 x - 24 y + 75 = 0

。「

x_{0} x + y_{0} y = r^{2}

」這個式子只有在

(x_{0}, y_{0})

是圓上的點時才是切線。

第 12 題答案 (1)(3)。

L_{1}

：

y = \frac{1}{3} x

，斜率

\frac{1}{3} = tan 3 0^{\circ}

，斜角

θ_{1} = 3 0^{\circ}

。

L_{2}

：

y = x + 2

，斜率

1 = tan 4 5^{\circ}

，斜角

θ_{2} = 4 5^{\circ}

。所以 (1)(3) 正確，(2)(4) 錯誤。(5) 兩直線的夾角是斜角的差

4 5^{\circ} - 3 0^{\circ} = 1 5^{\circ}

，另一個是

16 5^{\circ}

，不是

3 0^{\circ}

或

15 0^{\circ}

，錯誤。

斜率是正的，斜角是銳角；

15 0^{\circ}

、

13 5^{\circ}

是斜率為負的直線。

第 15 題圓心

(0, 2)

、半徑

2

，圓與

x

軸相切、最高點高度是

4

，光源

(2, 5)

在圓的右上方。影子的兩端是從光源作圓的兩條切線與

x

軸的交點。第一條：直線

x = 2

到圓心的距離是

2

，等於半徑，是切線，交

x

軸於

(2, 0)

。第二條：設為

y - 5 = m (x - 2)

，即

m x - y + 5 - 2 m = 0

，圓心到它的距離

\frac{∣ - 2 + 5 - 2 m ∣}{m ^{2} + 1} = 2

，平方得

9 - 12 m + 4 m^{2} = 4 m^{2} + 4

，

m = \frac{5}{12}

。令

y = 0

：

- 5 = \frac{5}{12} (x - 2)

，

x = - 10

。影子從

x = - 10

到

x = 2

，長度

12

。

設斜率只解出一條切線時，另一條就是沒有斜率的鉛直線，要自己補上。

第 18 題連

\overline{B D}

。在三角形

A B D

用餘弦定理：

\overline{B D}^{2} = 6^{2} + 1 2^{2} - 2 \times 6 \times 12 \times cos 6 0^{\circ} = 36 + 144 - 72 = 108

。圓內接四邊形的對角互補，

∠ C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

。設

\overline{C D} = x

，在三角形

B C D

：

108 = 6^{2} + x^{2} - 2 \times 6 \times x \times cos 12 0^{\circ} = 36 + x^{2} + 6 x

，即

x^{2} + 6 x - 72 = 0

，

(x + 12) (x - 6) = 0

，取正的

x = 6

。

第 19 題由

2 x + y \leq 6

與

y \geq 0

得

x \leq 3

，所以

x

只能是

0, 1, 2, 3

，

y

要滿足

2 - x \leq y \leq 6 - 2 x

且

y \geq 0

。

x = 0

：

2 \leq y \leq 6

，有

5

個。

x = 1

：

1 \leq y \leq 4

，有

4

個。

x = 2

：

0 \leq y \leq 2

，有

3

個。

x = 3

：

y = 0

，有

1

個。共

5 + 4 + 3 + 1 = 13

個。

邊界上的點都算（不等式有等號）。

圓的切線用「圓心到直線的距離等於半徑」，解出的條數不夠就補鉛直線；圓內接四邊形用對角互補，兩個三角形共用一條對角線。

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