段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

溪湖高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

是非題 10 題、填充題 14 題，共 24 題；原卷未印配分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、是非題（正確的請打「○」，錯的打「×」；本頁第 1～10 題為原卷是非題 (1)～(10)，原卷未印配分）

是非題甲（第 1～5 題）　下列哪個選項是正確的請打「○」，錯的打「×」。

(1)

1.414

是一個無理數

(2)

(a + b)^{3} + (a - b)^{3} = 2 a^{3}

(3) 若

a < b

，則

\frac{2 a + b}{3} < \frac{a + 2 b}{3}

(4)

(2)^{\frac{1}{3}} = 62

(5)

7 = 1 0^{l o g 7}

是非題乙（第 6～10 題）　關於

a = 54 \times 1 0^{7}

，下列哪個選項是正確的請打「○」，錯的打「×」。

(6)

54 \times 1 0^{7}

為科學記號表示法

(7)

a

是

8

位數

(8)

a

7

個

0

(9)

a^{2}

是

18

位數

(10) 若

b = 1 0^{6}

，則

a + b

是

9

位數

二、填充題（本頁第 11～24 題依序為原卷填充題第 1～14 題，答案格 A～N；原卷未印配分）

5 + 45 - 80 =

____。

lo g \frac{1}{10000} =

____。

設

a

，

b

為實數，已知

∣2 x + a ∣ \leq b

的解為

- 8 \leq x \leq 4

，求數對

(a, b) =

____。

設

a = 2^{0.3}

；

b = 2^{0.01}

，

\frac{a}{2 b} = 2^{x}

，求

x =

____。

已知

b = lo g 3

，求

10 0^{b} + 1 0^{- b} =

____。

解

{∣ x ∣ < 2 ∣ x - 2∣ < 1

____。

設數線上兩點

A (- 1)

，

B (15)

，已知點

P (x)

在

\overline{A B}

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 4

，求

x

的值為 ____。

已知

x = 2 - 3

，求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

已知

a > 0

，

b > 0

且

ab = 72

，求

2 a + b

的最小值為 ____。

芮氏規模為地震大小的標度，芮氏規模每增加

1

，釋放的能量約變為

32

倍。已知芮氏規模

7

所釋放的能量是芮氏規模

3

的

2^{n}

倍，求

n

的值為 ____。

設

a

，

b

為循環小數，

a = 0. \overline{12}

，

b = 0. \overline{01}

，則

a + b

為下列哪個選項？答：____。　

(1) 0.13

(2) 0.1313

(3) \frac{13}{99}

(4) \frac{130}{999}

2019 年谷歌的量子 AI 實驗室負責人尼文提出了未來的量子電腦會依循著「尼文定律」：經過

1

，

2

，

3

，

\dots

，

n

個週期後，其運算速度會變成原來的

2^{2^{1}} = 2^{2}

，

2^{2^{2}} = 2^{4}

，

2^{2^{3}} = 2^{8}

，

\dots

，

2^{2^{n}}

倍。設某台量子電腦經過

9

個週期後，其運算速度變為原來的

b

倍，且

b = 1 0^{k}

，求

k

的值為 ____（四捨五入到整數位），其中

2 \approx 1 0^{0.3010}

。

若在計算器中鍵入某正整數

N

，接著連按「

x

」鍵（取正平方根）

3

次，視窗顯示得到答案為

2

，求

N =

____。

解不等式

∣2 x - 1∣ < x + 4

，得

x

的範圍為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

第 11 題

0

第 12 題

- 4

第 13 題

(4, 12)

第 14 題

- 0.71

第 15 題

\frac{28}{3}

第 16 題

1 < x < 2

第 17 題

\frac{41}{7}

第 18 題

52

第 19 題

24

第 20 題

20

第 21 題(3)

第 22 題

154

第 23 題

256

第 24 題

- 1 < x < 5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01第 1～5 題（原卷是非題甲 (1)～(5)）：實數、乘法公式、指數與對數的基本性質

第 1 題2

1.414

是有限小數，

1.414 = \frac{1414}{1000} = \frac{707}{500}

，可以寫成兩個整數相除，所以是有理數。應打「×」。

2 = 1.41421356 \dots

才是無理數；

1.414

只是它的近似值，兩者不相等。

第 2 題2

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

，

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

，相加得

2 a^{3} + 6 a b^{2}

，比

2 a^{3}

多了

6 a b^{2}

。例如

a = b = 1

時左邊是

8

、右邊是

2

。應打「×」。

只有在

a = 0

或

b = 0

時兩邊才會相等，不是恆等式。

第 3 題1右邊減左邊：

\frac{a + 2 b}{3} - \frac{2 a + b}{3} = \frac{b - a}{3}

。因為

a < b

，所以

\frac{b - a}{3} > 0

，右邊比較大。應打「○」。

在數線上，

\frac{2 a + b}{3}

與

\frac{a + 2 b}{3}

是把

a

到

b

這一段三等分的兩個分點，前者靠近

a

、後者靠近

b

。

第 4 題1

2 = 2^{\frac{1}{2}}

，所以

(2)^{\frac{1}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6}} = 62

。應打「○」。

第 5 題1

lo g 7

的意義就是「

10

的幾次方會等於

7

」的那個次方，所以

1 0^{l o g 7} = 7

。應打「○」。

對正數

a

，

1 0^{l o g a} = a

；次方的次方是指數相乘：

(a^{r})^{s} = a^{r s}

。

02第 6～10 題（原卷是非題乙 (6)～(10)）：a＝54×10⁷ 的科學記號與位數

第 6 題2科學記號要寫成

k \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq k < 10

、

n

是整數。

54

不在

1

到

10

之間，所以

54 \times 1 0^{7}

不是科學記號；正確寫法是

5.4 \times 1 0^{8}

。應打「×」。

第 7 題2

a = 54 \times 1 0^{7} = 5.4 \times 1 0^{8}

，所以

1 0^{8} \leq a < 1 0^{9}

，

a

是

9

位數。直接寫出來是

540000000

：

54

佔

2

位，後面

7

個

0

，共

9

位。應打「×」。

第 8 題1

a = 540000000

，在

54

後面接

7

個

0

，而

5

與

4

都不是

0

，所以整個數共有

7

個

0

。應打「○」。

第 9 題1

a^{2} = 5 4^{2} \times 1 0^{14} = 2916 \times 1 0^{14} = 2.916 \times 1 0^{17}

，所以

1 0^{17} \leq a^{2} < 1 0^{18}

，是

18

位數（

2916

佔

4

位，後面

14

個

0

）。應打「○」。

9

位數的平方可能是

17

位或

18

位，要看前面的數字：這裡

5. 4^{2} = 29.16 \geq 10

，所以進到

18

位。

第 10 題1

b = 1 0^{6} = 1000000

，

a + b = 540000000 + 1000000 = 541000000 = 5.41 \times 1 0^{8}

，是

9

位數。應打「○」。

把數寫成科學記號

k \times 1 0^{n}

（

1 \leq k < 10

）後，它就是

n + 1

位數。

03第 11～15 題（原卷填充第 1～5 題）：根式、對數、絕對值與指數律

第 11 題

45 = 9 \times 5 = 35

，

80 = 16 \times 5 = 45

。原式

= 5 + 35 - 45 = 0

。

第 12 題

\frac{1}{10000} = \frac{1}{1 0 ^{4}} = 1 0^{- 4}

，所以

lo g \frac{1}{10000} = - 4

。

第 13 題

∣2 x + a ∣ \leq b

就是

- b \leq 2 x + a \leq b

，各減

a

再除以

2

：

\frac{- a - b}{2} \leq x \leq \frac{- a + b}{2}

。和

- 8 \leq x \leq 4

對照：

\frac{- a - b}{2} = - 8

，

\frac{- a + b}{2} = 4

，即

a + b = 16

，

- a + b = 8

。兩式相加得

2 b = 24

，

b = 12

，

a = 4

。驗算：

∣2 x + 4∣ \leq 12

即

- 12 \leq 2 x + 4 \leq 12

，

- 16 \leq 2 x \leq 8

，

- 8 \leq x \leq 4

。所以

(a, b) = (4, 12)

。

也可以從數線看：解的中點是

- 2

、半徑是

6

，即

∣ x + 2∣ \leq 6

，兩邊乘以

2

得

∣2 x + 4∣ \leq 12

。

第 14 題

\frac{a}{2 b} = \frac{2 ^{0.3}}{2 ^{1} \times 2 ^{0.01}} = 2^{0.3 - 1 - 0.01} = 2^{- 0.71}

，所以

x = - 0.71

。

分母的

2

是

2^{1}

，指數也要減掉

1

；容易只算成

0.3 - 0.01 = 0.29

。

第 15 題

b = lo g 3

表示

1 0^{b} = 3

。

10 0^{b} = (1 0^{2})^{b} = (1 0^{b})^{2} = 3^{2} = 9

；

1 0^{- b} = \frac{1}{1 0 ^{b}} = \frac{1}{3}

。所以

10 0^{b} + 1 0^{- b} = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}

。

看到

b = lo g 3

，先翻成

1 0^{b} = 3

，再把要求的式子都改寫成

1 0^{b}

的次方。

04第 16～20 題（原卷填充第 6～10 題）：聯立不等式、分點、乘法公式、算幾不等式與指數

第 16 題

∣ x ∣ < 2

的解是

- 2 < x < 2

。

∣ x - 2∣ < 1

的解是

- 1 < x - 2 < 1

，即

1 < x < 3

。兩個條件要同時成立，取共同的部分：

1 < x < 2

。

聯立是取「兩者都成立」的範圍（交集），不是把兩段合起來。

第 17 題

P

在

\overline{A B}

上，且

\overline{A P} : \overline{P B} = 3 : 4

。由分點公式，

x = \frac{4 \times ( - 1 ) + 3 \times 15}{3 + 4} = \frac{41}{7}

。也可以這樣算：

\overline{A B} = 15 - (- 1) = 16

，

\overline{A P} = 16 \times \frac{3}{7} = \frac{48}{7}

，

x = - 1 + \frac{48}{7} = \frac{41}{7}

。

分點公式是「交叉相乘」：靠近

A

的那一段是

3

，

A

的坐標要乘另一段的

4

。

第 18 題先求倒數：

\frac{1}{x} = \frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = \frac{2 + 3}{4 - 3} = 2 + 3

。所以

x + \frac{1}{x} = 4

。用公式

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

，取

p = x

、

q = \frac{1}{x}

，

pq = 1

：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 4^{3} - 3 \times 1 \times 4 = 64 - 12 = 52

。

第 19 題

2 a

與

b

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 a + b}{2} \geq 2 a \cdot b = 2 \times 72 = 144 = 12

，所以

2 a + b \geq 24

。等號在

2 a = b

時成立：代入

ab = 72

得

2 a^{2} = 72

，

a = 6

，

b = 12

，確實都是正數。所以最小值是

24

。

用算幾不等式的兩項要取

2 a

和

b

（它們的乘積

2 ab

是定值），而且要檢查等號成立的

a

、

b

存在。

第 20 題規模從

3

到

7

增加了

4

，每增加

1

能量變為

32

倍，所以能量是

3 2^{4}

倍。

32 = 2^{5}

，

3 2^{4} = (2^{5})^{4} = 2^{20}

，所以

n = 20

。

每增加

1

是「乘以

32

」，增加

4

是連乘

4

次，不是

32 \times 4

。

x

與

\frac{1}{x}

相乘是

1

，所以只要知道

x + \frac{1}{x}

，平方和、立方和都可以用乘法公式求出來。

05第 21～24 題（原卷填充第 11～14 題）：循環小數、對數的應用、方根與絕對值不等式

第 21 題循環節兩位的純循環小數：

a = 0. \overline{12} = \frac{12}{99}

，

b = 0. \overline{01} = \frac{1}{99}

。

a + b = \frac{13}{99}

，選 (3)。其他選項：

\frac{13}{99} = 0. \overline{13} = 0.131313 \dots

，不等於有限小數

0.13

或

0.1313

；

\frac{130}{999} = 0. \overline{130} = 0.130130 \dots

，也不相等。

0. \overline{13}

與

0.13

、

0.1313

不相等：後兩個是有限小數，後面沒有再循環下去。

第 22 題經過

9

個週期，

b = 2^{2^{9}} = 2^{512}

。把

2 \approx 1 0^{0.3010}

代入：

b \approx (1 0^{0.3010})^{512} = 1 0^{0.3010 \times 512} = 1 0^{154.112}

。所以

k \approx 154.112

，四捨五入到整數位是

154

。

2^{2^{9}}

是先算上面的

2^{9} = 512

，再算

2^{512}

；不是

(2^{2})^{9} = 2^{18}

。題目的例子

2^{2^{3}} = 2^{8}

就是這個算法。

第 23 題開一次平方根就是

\frac{1}{2}

次方，連開

3

次是

N^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = N^{\frac{1}{8}}

。由

N^{\frac{1}{8}} = 2

得

N = 2^{8} = 256

。倒推驗算：

256 = 16

，

16 = 4

，

4 = 2

。

也可以直接倒著平方回去：

2 \to 4 \to 16 \to 256

。

第 24 題左邊

∣2 x - 1∣ \geq 0

，所以不等式要成立，右邊必須

x + 4 > 0

。在這個前提下，

∣2 x - 1∣ < x + 4

就是

- (x + 4) < 2 x - 1 < x + 4

。左半：

- x - 4 < 2 x - 1

，

- 3 < 3 x

，

x > - 1

。右半：

2 x - 1 < x + 4

，

x < 5

。兩者同時成立：

- 1 < x < 5

。檢查前提：在這個範圍內

x + 4 > 3 > 0

，前提成立，所以解就是

- 1 < x < 5

。

也可以分段討論：

x \geq \frac{1}{2}

時

2 x - 1 < x + 4

得

x < 5

，即

\frac{1}{2} \leq x < 5

；

x < \frac{1}{2}

時

- (2 x - 1) < x + 4

得

x > - 1

，即

- 1 < x < \frac{1}{2}

。合起來是

- 1 < x < 5

。

∣ A ∣ < B

可以直接寫成

- B < A < B

，兩邊的不等式都要成立。

同一次段考的其他學校

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溪湖高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

是非題乙的第 7 題與第 9 題（本頁第 7、9 題）要先把五十四乘以十的七次方改寫成五點四乘以十的八次方，才看得出是九位數，平方之後是十八位數。原卷填充第 4 題（本頁第 14 題）分母的二也是二的一次方，指數要再減一。原卷填充第 12 題（本頁第 22 題）二的二的九次方要先算上面的五百一十二，再乘以零點三零一。原卷填充第 14 題（本頁第 24 題）右邊含有 x，要把兩邊的不等式都解出來再取共同範圍。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

是非題 10 題、填充題 14 題，共 24 題；原卷未印配分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、是非題（正確的請打「○」，錯的打「×」；本頁第 1～10 題為原卷是非題 (1)～(10)，原卷未印配分）

是非題甲（第 1～5 題）　下列哪個選項是正確的請打「○」，錯的打「×」。

(1)

1.414

是一個無理數

(2)

(a + b)^{3} + (a - b)^{3} = 2 a^{3}

(3) 若

a < b

，則

\frac{2 a + b}{3} < \frac{a + 2 b}{3}

(4)

(2)^{\frac{1}{3}} = 62

(5)

7 = 1 0^{l o g 7}

是非題乙（第 6～10 題）　關於

a = 54 \times 1 0^{7}

，下列哪個選項是正確的請打「○」，錯的打「×」。

(6)

54 \times 1 0^{7}

為科學記號表示法

(7)

a

是

8

位數

(8)

a

7

個

0

(9)

a^{2}

是

18

位數

(10) 若

b = 1 0^{6}

，則

a + b

是

9

位數

二、填充題（本頁第 11～24 題依序為原卷填充題第 1～14 題，答案格 A～N；原卷未印配分）

5 + 45 - 80 =

____。

lo g \frac{1}{10000} =

____。

設

a

，

b

為實數，已知

∣2 x + a ∣ \leq b

的解為

- 8 \leq x \leq 4

，求數對

(a, b) =

____。

設

a = 2^{0.3}

；

b = 2^{0.01}

，

\frac{a}{2 b} = 2^{x}

，求

x =

____。

已知

b = lo g 3

，求

10 0^{b} + 1 0^{- b} =

____。

解

{∣ x ∣ < 2 ∣ x - 2∣ < 1

____。

設數線上兩點

A (- 1)

，

B (15)

，已知點

P (x)

在

\overline{A B}

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 4

，求

x

的值為 ____。

已知

x = 2 - 3

，求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

已知

a > 0

，

b > 0

且

ab = 72

，求

2 a + b

的最小值為 ____。

芮氏規模為地震大小的標度，芮氏規模每增加

1

，釋放的能量約變為

32

倍。已知芮氏規模

7

所釋放的能量是芮氏規模

3

的

2^{n}

倍，求

n

的值為 ____。

設

a

，

b

為循環小數，

a = 0. \overline{12}

，

b = 0. \overline{01}

，則

a + b

為下列哪個選項？答：____。　

(1) 0.13

(2) 0.1313

(3) \frac{13}{99}

(4) \frac{130}{999}

2019 年谷歌的量子 AI 實驗室負責人尼文提出了未來的量子電腦會依循著「尼文定律」：經過

1

，

2

，

3

，

\dots

，

n

個週期後，其運算速度會變成原來的

2^{2^{1}} = 2^{2}

，

2^{2^{2}} = 2^{4}

，

2^{2^{3}} = 2^{8}

，

\dots

，

2^{2^{n}}

倍。設某台量子電腦經過

9

個週期後，其運算速度變為原來的

b

倍，且

b = 1 0^{k}

，求

k

的值為 ____（四捨五入到整數位），其中

2 \approx 1 0^{0.3010}

。

若在計算器中鍵入某正整數

N

，接著連按「

x

」鍵（取正平方根）

3

次，視窗顯示得到答案為

2

，求

N =

____。

解不等式

∣2 x - 1∣ < x + 4

，得

x

的範圍為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

第 11 題

0

第 12 題

- 4

第 13 題

(4, 12)

第 14 題

- 0.71

第 15 題

\frac{28}{3}

第 16 題

1 < x < 2

第 17 題

\frac{41}{7}

第 18 題

52

第 19 題

24

第 20 題

20

第 21 題(3)

第 22 題

154

第 23 題

256

第 24 題

- 1 < x < 5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題（原卷是非題甲 (1)～(5)）：實數、乘法公式、指數與對數的基本性質

第 1 題2

1.414

是有限小數，

1.414 = \frac{1414}{1000} = \frac{707}{500}

，可以寫成兩個整數相除，所以是有理數。應打「×」。

2 = 1.41421356 \dots

才是無理數；

1.414

只是它的近似值，兩者不相等。

第 2 題2

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

，

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

，相加得

2 a^{3} + 6 a b^{2}

，比

2 a^{3}

多了

6 a b^{2}

。例如

a = b = 1

時左邊是

8

、右邊是

2

。應打「×」。

只有在

a = 0

或

b = 0

時兩邊才會相等，不是恆等式。

第 3 題1右邊減左邊：

\frac{a + 2 b}{3} - \frac{2 a + b}{3} = \frac{b - a}{3}

。因為

a < b

，所以

\frac{b - a}{3} > 0

，右邊比較大。應打「○」。

在數線上，

\frac{2 a + b}{3}

與

\frac{a + 2 b}{3}

是把

a

到

b

這一段三等分的兩個分點，前者靠近

a

、後者靠近

b

。

第 4 題1

2 = 2^{\frac{1}{2}}

，所以

(2)^{\frac{1}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6}} = 62

。應打「○」。

第 5 題1

lo g 7

的意義就是「

10

的幾次方會等於

7

」的那個次方，所以

1 0^{l o g 7} = 7

。應打「○」。

對正數

a

，

1 0^{l o g a} = a

；次方的次方是指數相乘：

(a^{r})^{s} = a^{r s}

。

02第 6～10 題（原卷是非題乙 (6)～(10)）：a＝54×10⁷ 的科學記號與位數

第 6 題2科學記號要寫成

k \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq k < 10

、

n

是整數。

54

不在

1

到

10

之間，所以

54 \times 1 0^{7}

不是科學記號；正確寫法是

5.4 \times 1 0^{8}

。應打「×」。

第 7 題2

a = 54 \times 1 0^{7} = 5.4 \times 1 0^{8}

，所以

1 0^{8} \leq a < 1 0^{9}

，

a

是

9

位數。直接寫出來是

540000000

：

54

佔

2

位，後面

7

個

0

，共

9

位。應打「×」。

第 8 題1

a = 540000000

，在

54

後面接

7

個

0

，而

5

與

4

都不是

0

，所以整個數共有

7

個

0

。應打「○」。

第 9 題1

a^{2} = 5 4^{2} \times 1 0^{14} = 2916 \times 1 0^{14} = 2.916 \times 1 0^{17}

，所以

1 0^{17} \leq a^{2} < 1 0^{18}

，是

18

位數（

2916

佔

4

位，後面

14

個

0

）。應打「○」。

9

位數的平方可能是

17

位或

18

位，要看前面的數字：這裡

5. 4^{2} = 29.16 \geq 10

，所以進到

18

位。

第 10 題1

b = 1 0^{6} = 1000000

，

a + b = 540000000 + 1000000 = 541000000 = 5.41 \times 1 0^{8}

，是

9

位數。應打「○」。

把數寫成科學記號

k \times 1 0^{n}

（

1 \leq k < 10

）後，它就是

n + 1

位數。

03第 11～15 題（原卷填充第 1～5 題）：根式、對數、絕對值與指數律

第 11 題

45 = 9 \times 5 = 35

，

80 = 16 \times 5 = 45

。原式

= 5 + 35 - 45 = 0

。

第 12 題

\frac{1}{10000} = \frac{1}{1 0 ^{4}} = 1 0^{- 4}

，所以

lo g \frac{1}{10000} = - 4

。

第 13 題

∣2 x + a ∣ \leq b

就是

- b \leq 2 x + a \leq b

，各減

a

再除以

2

：

\frac{- a - b}{2} \leq x \leq \frac{- a + b}{2}

。和

- 8 \leq x \leq 4

對照：

\frac{- a - b}{2} = - 8

，

\frac{- a + b}{2} = 4

，即

a + b = 16

，

- a + b = 8

。兩式相加得

2 b = 24

，

b = 12

，

a = 4

。驗算：

∣2 x + 4∣ \leq 12

即

- 12 \leq 2 x + 4 \leq 12

，

- 16 \leq 2 x \leq 8

，

- 8 \leq x \leq 4

。所以

(a, b) = (4, 12)

。

也可以從數線看：解的中點是

- 2

、半徑是

6

，即

∣ x + 2∣ \leq 6

，兩邊乘以

2

得

∣2 x + 4∣ \leq 12

。

第 14 題

\frac{a}{2 b} = \frac{2 ^{0.3}}{2 ^{1} \times 2 ^{0.01}} = 2^{0.3 - 1 - 0.01} = 2^{- 0.71}

，所以

x = - 0.71

。

分母的

2

是

2^{1}

，指數也要減掉

1

；容易只算成

0.3 - 0.01 = 0.29

。

第 15 題

b = lo g 3

表示

1 0^{b} = 3

。

10 0^{b} = (1 0^{2})^{b} = (1 0^{b})^{2} = 3^{2} = 9

；

1 0^{- b} = \frac{1}{1 0 ^{b}} = \frac{1}{3}

。所以

10 0^{b} + 1 0^{- b} = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}

。

看到

b = lo g 3

，先翻成

1 0^{b} = 3

，再把要求的式子都改寫成

1 0^{b}

的次方。

04第 16～20 題（原卷填充第 6～10 題）：聯立不等式、分點、乘法公式、算幾不等式與指數

第 16 題

∣ x ∣ < 2

的解是

- 2 < x < 2

。

∣ x - 2∣ < 1

的解是

- 1 < x - 2 < 1

，即

1 < x < 3

。兩個條件要同時成立，取共同的部分：

1 < x < 2

。

聯立是取「兩者都成立」的範圍（交集），不是把兩段合起來。

第 17 題

P

在

\overline{A B}

上，且

\overline{A P} : \overline{P B} = 3 : 4

。由分點公式，

x = \frac{4 \times ( - 1 ) + 3 \times 15}{3 + 4} = \frac{41}{7}

。也可以這樣算：

\overline{A B} = 15 - (- 1) = 16

，

\overline{A P} = 16 \times \frac{3}{7} = \frac{48}{7}

，

x = - 1 + \frac{48}{7} = \frac{41}{7}

。

分點公式是「交叉相乘」：靠近

A

的那一段是

3

，

A

的坐標要乘另一段的

4

。

第 18 題先求倒數：

\frac{1}{x} = \frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = \frac{2 + 3}{4 - 3} = 2 + 3

。所以

x + \frac{1}{x} = 4

。用公式

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

，取

p = x

、

q = \frac{1}{x}

，

pq = 1

：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 4^{3} - 3 \times 1 \times 4 = 64 - 12 = 52

。

第 19 題

2 a

與

b

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 a + b}{2} \geq 2 a \cdot b = 2 \times 72 = 144 = 12

，所以

2 a + b \geq 24

。等號在

2 a = b

時成立：代入

ab = 72

得

2 a^{2} = 72

，

a = 6

，

b = 12

，確實都是正數。所以最小值是

24

。

用算幾不等式的兩項要取

2 a

和

b

（它們的乘積

2 ab

是定值），而且要檢查等號成立的

a

、

b

存在。

第 20 題規模從

3

到

7

增加了

4

，每增加

1

能量變為

32

倍，所以能量是

3 2^{4}

倍。

32 = 2^{5}

，

3 2^{4} = (2^{5})^{4} = 2^{20}

，所以

n = 20

。

每增加

1

是「乘以

32

」，增加

4

是連乘

4

次，不是

32 \times 4

。

x

與

\frac{1}{x}

相乘是

1

，所以只要知道

x + \frac{1}{x}

，平方和、立方和都可以用乘法公式求出來。

05第 21～24 題（原卷填充第 11～14 題）：循環小數、對數的應用、方根與絕對值不等式

第 21 題循環節兩位的純循環小數：

a = 0. \overline{12} = \frac{12}{99}

，

b = 0. \overline{01} = \frac{1}{99}

。

a + b = \frac{13}{99}

，選 (3)。其他選項：

\frac{13}{99} = 0. \overline{13} = 0.131313 \dots

，不等於有限小數

0.13

或

0.1313

；

\frac{130}{999} = 0. \overline{130} = 0.130130 \dots

，也不相等。

0. \overline{13}

與

0.13

、

0.1313

不相等：後兩個是有限小數，後面沒有再循環下去。

第 22 題經過

9

個週期，

b = 2^{2^{9}} = 2^{512}

。把

2 \approx 1 0^{0.3010}

代入：

b \approx (1 0^{0.3010})^{512} = 1 0^{0.3010 \times 512} = 1 0^{154.112}

。所以

k \approx 154.112

，四捨五入到整數位是

154

。

2^{2^{9}}

是先算上面的

2^{9} = 512

，再算

2^{512}

；不是

(2^{2})^{9} = 2^{18}

。題目的例子

2^{2^{3}} = 2^{8}

就是這個算法。

第 23 題開一次平方根就是

\frac{1}{2}

次方，連開

3

次是

N^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = N^{\frac{1}{8}}

。由

N^{\frac{1}{8}} = 2

得

N = 2^{8} = 256

。倒推驗算：

256 = 16

，

16 = 4

，

4 = 2

。

也可以直接倒著平方回去：

2 \to 4 \to 16 \to 256

。

第 24 題左邊

∣2 x - 1∣ \geq 0

，所以不等式要成立，右邊必須

x + 4 > 0

。在這個前提下，

∣2 x - 1∣ < x + 4

就是

- (x + 4) < 2 x - 1 < x + 4

。左半：

- x - 4 < 2 x - 1

，

- 3 < 3 x

，

x > - 1

。右半：

2 x - 1 < x + 4

，

x < 5

。兩者同時成立：

- 1 < x < 5

。檢查前提：在這個範圍內

x + 4 > 3 > 0

，前提成立，所以解就是

- 1 < x < 5

。

也可以分段討論：

x \geq \frac{1}{2}

時

2 x - 1 < x + 4

得

x < 5

，即

\frac{1}{2} \leq x < 5

；

x < \frac{1}{2}

時

- (2 x - 1) < x + 4

得

x > - 1

，即

- 1 < x < \frac{1}{2}

。合起來是

- 1 < x < 5

。

∣ A ∣ < B

可以直接寫成

- B < A < B

，兩邊的不等式都要成立。

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