段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

溪湖高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 溪湖高中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 溪湖高中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要從圖形與 x 軸的交點落在 0 與 1 之間判斷 a 的正負；第 5 題要分清楚指數函數凹口向上、對數函數凹口向下；第 12 題對數方程式有兩個實數解，其中一個要在 0 與 1 之間用函數值變號找出來；第 18 題不等式要先化成同底並寫出真數條件；第 20 題要由位數寫出常用對數的範圍再相加。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（共 30 分）、填充題 15 格（共 70 分）；填充題依答對格數給分，答對 1～15 格依序得 6、12、18、24、30、35、40、45、50、55、58、61、64、67、70 分。本頁第 1～5 題為原卷單選題 1～5，第 6～20 題依序為原卷填充題 1～15；第 5 題 (E) 照卷面字面也是錯誤的敘述，本頁答案寫 (C)，見詳解。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（共 5 題，共 30 分）

已知指數函數

y = 0. 5^{x} + 1

，則下列哪個選項可以是此函數的圖形？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

如圖為函數

y = a + lo g_{b} x

之部分圖形，其中

a

，

b

皆為常數，則下列何者為真？

(A) $a < 0$ ， $b > 1$
(B) $a > 0$ ， $b > 1$
(C) $a < 0$ ， $b < 0$
(D) $a < 0$ ， $0 < b < 1$
(E) $a > 0$ ， $0 < b < 1$

載入中...

設

a > 1

，函數

y = a^{- x}

與

y = lo g_{a} x

之圖形可能是下列哪一個選項？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

研究顯示：服用某藥物後，在使用者體內的藥物殘留量隨時間呈指數型衰退。已知在服用某藥物

2

小時後，體內仍殘留有該藥物的一半劑量，試問下列哪一選項正確？

(A) 服用 $3$ 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\frac{1}{3}$ 劑量
(B) 服用 $4$ 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\frac{1}{4}$ 劑量
(C) 服用 $6$ 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\frac{1}{6}$ 劑量
(D) 服用 $8$ 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\frac{1}{8}$ 劑量
(E) 服用 $10$ 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\frac{1}{10}$ 劑量。

關於函數

f (x) = (\frac{1}{5})^{x}

，

g (x) = lo g_{5} x

，且

α

和

β

皆為正數，選出下列錯誤的選項。

(A) 函數 $f (- x)$ 和 $g (x)$ 對稱於直線 $y = x$ 。
(B) 若 $α < β$ ，則 $g (α) < g (β)$ 。
(C) 若 $α < β$ ，則 $f (\frac{α + β}{2}) > \frac{f ( α ) + f ( β )}{2}$ 。
(D) 若 $α < β$ ，則 $g (\frac{α + β}{2}) > \frac{g ( α ) + g ( β )}{2}$ 。
(E) $g (α β) = g (α + β)$ 。

二、填充題（共 15 格，共 70 分）

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則以

a

、

b

表示

lo g 72 =

____

求方程式

(\frac{5}{4})^{2 x - 5} = (0.8)^{- x + 1}

的解

x

為 ____

解方程式

lo g_{2} (2 x - 1) = lo g_{4} (x^{2} + 14 x - 26)

，則

x =

____

已知

f (x) = lo g_{5} x

，又

f (a) - f (b) = 3

，試求

\frac{a}{b} =

____

lo g_{5} 250 + lo g_{5} 10 - 2 lo g_{5} 2 + lo g_{\frac{1}{2}} 7 \times lo g_{7} 9 \times lo g_{9} 4 =

____

lo g (1 - \frac{1}{3}) + lo g (1 - \frac{1}{4}) + lo g (1 - \frac{1}{5}) + \dots\dots + lo g (1 - \frac{1}{200}) =

____

方程式

3^{x} = - x + 2

有

m

個實數解，且方程式

lo g_{3} x = x - 2

有

n

個實數解。求

(m, n) =

____

若

lo g_{3} a = 2

，

lo g_{4} b = 2

，試問

lo g_{5} (a + b) =

____

小丸子將

100

萬元以定期存款存入銀行，現行年利率為

1.38%

，每年複利計算一次，問至少 ____ 年後本利和才會超過

150

萬元。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 1.0138 \approx 0.0060

）

不等式：

3^{2 x} - 3^{x - 2} < 3^{x + 3} - 3

的解為 ____

已知

lo g_{7} (7^{x} + 49) = \frac{x}{2} + 1 + lo g_{7} 2

，則實數

x =

____

已知

a > 1

，且當

0 \leq x \leq 2

時，

y = a^{x^{2} - 3 x + 3}

的最小值為

\frac{27}{8}

，則

a =

____

試求不等式

1 - lo g_{\frac{1}{4}} (x - 1) > lo g_{2} (x - 9)

的解為 ____

將

(\frac{3}{4})^{100}

表示成小數時，小數點後第

m

位開始不為

0

，且此不為

0

的數字為

k

，求

(m, k) =

____ （

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

已知

5^{100}

為

70

位數，

1 1^{100}

為

105

位數，則

5 5^{20}

為 ____ 位數。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(D)

第 3 題(A)

第 4 題(B)

第 5 題(C)（卷面 (E) 印作

g (α β) = g (α + β)

，照字面也錯，疑為

g (α) + g (β)

之誤）

第 6 題

3 a + 2 b

第 7 題

4

第 8 題

3

第 9 題

125

第 10 題

2

第 11 題

- 2

第 12 題

(1, 2)

第 13 題

2

第 14 題

30

第 15 題

- 2 < x < 3

第 16 題

2

第 17 題

\frac{81}{16}

第 18 題

9 < x < 17

第 19 題

(13, 3)

第 20 題

35

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：指數與對數函數的圖形

第 1 題

$y = 0. 5^{x}$ 的底數 $0.5$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，是遞減函數，圖形通過 $(0, 1)$ ，以 $x$ 軸為漸近線。 $y = 0. 5^{x} + 1$ 是把它往上平移 $1$ ：仍然遞減，與 $y$ 軸交於 $(0, 2)$ （在點 $(0, 1)$ 的上方），漸近線變成直線 $y = 1$ ，圖形一直在 $y = 1$ 的上方。

(A) 通過 $(0, 1)$ 、貼近 $x$ 軸，是 $y = 0. 5^{x}$ 本身，不是。(B) 遞減、與 $y$ 軸交在 $(0, 1)$ 上方、往右貼近一條高於 $x$ 軸的水平線，符合。(C) 有鉛直漸近線 $x = 1$ ，而且往右穿過 $x$ 軸，是對數型的圖形，不是。(D)、(E) 都是遞增，不是。故選 (B)。

第 2 題

圖形由左上往右下，函數遞減，所以 $lo g_{b} x$ 遞減， $0 < b < 1$ 。

圖形與 $x$ 軸的交點在 $O$ 與 $1$ 之間（圖上看得出），設交點為 $(x_{0}, 0)$ ， $0 < x_{0} < 1$ ，則 $a + lo g_{b} x_{0} = 0$ ， $a = - lo g_{b} x_{0}$ 。底數 $0 < b < 1$ 時，真數小於 $1$ 的對數值是正數，所以 $lo g_{b} x_{0} > 0$ ， $a < 0$ 。

另一種看法： $x = 1$ 時 $y = a + lo g_{b} 1 = a$ ，圖上 $x = 1$ 的地方圖形在 $x$ 軸下方，所以 $a < 0$ 。故選 (D)。

b < 0

不能當對數的底數。

第 3 題

$a > 1$ 時， $y = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}$ 的底數介於 $0$ 與 $1$ 之間，是遞減函數，通過 $(0, 1)$ ； $y = lo g_{a} x$ 的底數大於 $1$ ，是遞增函數，通過 $(1, 0)$ ，以 $y$ 軸為漸近線。

所以要找「一條通過 $(0, 1)$ 的遞減指數曲線＋一條通過 $(1, 0)$ 的遞增對數曲線」：(A) 符合。(B) 指數曲線遞增，不是。(C) 指數曲線遞增、對數曲線遞減，不是。(D) 對數曲線遞減，不是。(E) 兩條都是指數曲線，沒有對數曲線，不是。故選 (A)。

看圖選函數：先看遞增或遞減決定底數，再看與坐標軸的交點、漸近線是否平移。

02單選第 4、5 題：固定倍率衰退、指數與對數函數的性質

第 4 題

每 $2$ 小時殘留量變為原來的 $\frac{1}{2}$ ，所以服用 $t$ 小時後殘留 $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}$ 。

(A) $t = 3$ ： $(\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2 2}$ ，而 $22 \neq = 3$ （ $(22)^{2} = 8 \neq = 9$ ），不是 $\frac{1}{3}$ 。(B) $t = 4$ ： $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ ，正確。(C) $t = 6$ ： $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ ，不是 $\frac{1}{6}$ 。(D) $t = 8$ ： $(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$ ，不是 $\frac{1}{8}$ 。(E) $t = 10$ ： $(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$ ，不是 $\frac{1}{10}$ 。故選 (B)。

\frac{1}{2 2} \approx 0.354

，比

\frac{1}{3}

稍大。

第 5 題

(A) $f (- x) = (\frac{1}{5})^{- x} = 5^{x}$ ， $y = 5^{x}$ 與 $y = lo g_{5} x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ ，正確。

(B) 底數 $5 > 1$ ， $g (x) = lo g_{5} x$ 遞增， $α < β$ 時 $g (α) < g (β)$ ，正確。

(C) 錯誤。由算幾不等式， $\frac{f ( α ) + f ( β )}{2} \geq f (α) f (β) = (\frac{1}{5})^{α + β} = (\frac{1}{5})^{\frac{α + β}{2}} = f (\frac{α + β}{2})$ ，且 $α < β$ 時 $f (α) \neq = f (β)$ ，等號不成立，所以 $f (\frac{α + β}{2}) < \frac{f ( α ) + f ( β )}{2}$ ，與選項的不等號相反。指數函數的圖形凹口向上，弦在圖形的上方。

(D) 由算幾不等式 $\frac{α + β}{2} > α β$ （ $α \neq = β$ ）， $g$ 遞增，所以 $g (\frac{α + β}{2}) > g (α β) = \frac{1}{2} lo g_{5} (α β) = \frac{g ( α ) + g ( β )}{2}$ ，正確。對數函數（底數大於 $1$ ）圖形凹口向下。

(E) 卷面印作 $g (α β) = g (α + β)$ 。照字面， $g$ 是一對一函數，等式成立必須 $α β = α + β$ ，一般不成立：例如 $α = β = 1$ 時左邊 $g (1) = 0$ 、右邊 $g (2) = lo g_{5} 2 \neq = 0$ 。所以照字面 (E) 也是錯誤的敘述。

本題是單選題，本頁答案寫 (C)。

(E) 若是

g (α β) = g (α) + g (β)

，由對數律

lo g_{5} (α β) = lo g_{5} α + lo g_{5} β

恆成立，是正確的敘述，全題只有 (C) 錯誤。卷面印的是

g (α + β)

，照字面 (C)、(E) 都錯；計分以任課老師的公告為準。

比較「中點的函數值」與「函數值的平均」：指數函數凹口向上（中點函數值較小），底數大於

1

的對數函數凹口向下（中點函數值較大）。

03填充第 1～4 題（第 6～9 題）：對數律、指數與對數方程式

第 6 題

72 = 2^{3} \times 3^{2}

，所以

lo g 72 = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 a + 2 b

。

第 7 題

0.8 = \frac{4}{5} = (\frac{5}{4})^{- 1}

，所以右邊

= (\frac{5}{4})^{- (- x + 1)} = (\frac{5}{4})^{x - 1}

。指數函數是一對一的，

2 x - 5 = x - 1

，

x = 4

。

第 8 題

真數條件： $2 x - 1 > 0$ 且 $x^{2} + 14 x - 26 > 0$ 。

右邊化成以 $2$ 為底： $lo g_{4} (x^{2} + 14 x - 26) = \frac{1}{2} lo g_{2} (x^{2} + 14 x - 26)$ 。原式兩邊乘以 $2$ ： $2 lo g_{2} (2 x - 1) = lo g_{2} (x^{2} + 14 x - 26)$ ，即 $lo g_{2} (2 x - 1)^{2} = lo g_{2} (x^{2} + 14 x - 26)$ ，所以 $(2 x - 1)^{2} = x^{2} + 14 x - 26$ 。

$4 x^{2} - 4 x + 1 = x^{2} + 14 x - 26$ ， $3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$ ， $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ ， $(x - 3)^{2} = 0$ ， $x = 3$ 。

檢查真數： $2 x - 1 = 5 > 0$ ， $x^{2} + 14 x - 26 = 25 > 0$ ，符合。所以 $x = 3$ 。

第 9 題

f (a) - f (b) = lo g_{5} a - lo g_{5} b = lo g_{5} \frac{a}{b} = 3

，所以

\frac{a}{b} = 5^{3} = 125

。

不同底的對數方程式先換成同底，去掉對數後別忘了回頭檢查真數條件。

04填充第 5～8 題（第 10～13 題）：對數律、換底公式、實數解個數

第 10 題

前三項： $lo g_{5} 250 + lo g_{5} 10 - 2 lo g_{5} 2 = lo g_{5} \frac{250 \times 10}{2 ^{2}} = lo g_{5} 625 = 4$ 。

後面的連乘用換底公式： $lo g_{\frac{1}{2}} 7 \times lo g_{7} 9 \times lo g_{9} 4 = \frac{lo g 7}{lo g \frac{1}{2}} \times \frac{lo g 9}{lo g 7} \times \frac{lo g 4}{lo g 9} = \frac{lo g 4}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{2 lo g 2}{- lo g 2} = - 2$ 。

所以原式 $= 4 + (- 2) = 2$ 。

第 11 題每一項

1 - \frac{1}{k} = \frac{k - 1}{k}

。由對數律，原式

= lo g (\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \dots \times \frac{199}{200})

。相鄰分子分母互相約去，乘積

= \frac{2}{200} = \frac{1}{100}

，所以原式

= lo g \frac{1}{100} = - 2

。

第 12 題

$3^{x} = - x + 2$ ：實數解是 $y = 3^{x}$ 與直線 $y = - x + 2$ 交點的 $x$ 坐標。 $y = 3^{x}$ 遞增、 $y = - x + 2$ 遞減，最多交一點；又 $x = 0$ 時 $3^{0} = 1 < 2$ ， $x = 1$ 時 $3^{1} = 3 > 1$ ，左邊減右邊由負變正，所以恰有一個交點， $m = 1$ 。

$lo g_{3} x = x - 2$ ：實數解是 $y = lo g_{3} x$ 與直線 $y = x - 2$ 的交點。設 $h (x) = lo g_{3} x - x + 2$ （ $x > 0$ ）。 $x = 3$ 時 $h (3) = 1 - 3 + 2 = 0$ ， $x = 3$ 是一個解。 $x = \frac{1}{9}$ 時 $h (\frac{1}{9}) = - 2 - \frac{1}{9} + 2 = - \frac{1}{9} < 0$ ， $x = 1$ 時 $h (1) = 0 - 1 + 2 = 1 > 0$ ，所以在 $\frac{1}{9}$ 與 $1$ 之間還有一個解。 $y = lo g_{3} x$ 的圖形凹口向下，一條直線與它最多交兩點，所以恰有兩個解， $n = 2$ 。

故 $(m, n) = (1, 2)$ 。

畫圖看：

y = lo g_{3} x

在

x

很接近

0

時往下趨近負無限大，比直線低；到

x = 1

時比直線高；到

x = 3

時又一樣高；之後對數增加得比直線慢，一直在直線下方。兩個交點約為

x \approx 0.13

與

x = 3

。

第 13 題

lo g_{3} a = 2

，

a = 3^{2} = 9

；

lo g_{4} b = 2

，

b = 4^{2} = 16

。

a + b = 25 = 5^{2}

，所以

lo g_{5} (a + b) = lo g_{5} 25 = 2

。

連乘的對數（換底後）會首尾相消；判斷實數解個數就畫兩個圖形看交點，再用函數值變號確認。

05填充第 9～12 題（第 14～17 題）：複利、指數不等式、指對數方程式、極值

第 14 題

$n$ 年後本利和為 $100 \times (1.0138)^{n}$ 萬元。要 $100 \times (1.0138)^{n} > 150$ ，即 $(1.0138)^{n} > 1.5$ 。兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，不等號方向不變）： $n lo g 1.0138 > lo g 1.5 = lo g 3 - lo g 2 \approx 0.4771 - 0.3010 = 0.1761$ 。

$0.0060 n > 0.1761$ ， $n > 29.35$ ，所以至少 $30$ 年。

檢查：

29 \times 0.0060 = 0.174 < 0.1761

，

30 \times 0.0060 = 0.18 > 0.1761

。

第 15 題

設 $t = 3^{x}$ ， $t > 0$ 。 $3^{2 x} = t^{2}$ ， $3^{x - 2} = \frac{t}{9}$ ， $3^{x + 3} = 27 t$ 。不等式變成 $t^{2} - \frac{t}{9} < 27 t - 3$ ，兩邊乘以 $9$ ： $9 t^{2} - t < 243 t - 27$ ， $9 t^{2} - 244 t + 27 < 0$ ， $(9 t - 1) (t - 27) < 0$ ，得 $\frac{1}{9} < t < 27$ 。

即 $3^{- 2} < 3^{x} < 3^{3}$ ，底數 $3 > 1$ ，所以 $- 2 < x < 3$ 。

第 16 題

右邊寫成一個對數： $\frac{x}{2} + 1 + lo g_{7} 2 = lo g_{7} 7^{\frac{x}{2}} + lo g_{7} 7 + lo g_{7} 2 = lo g_{7} (14 \cdot 7^{\frac{x}{2}})$ 。所以 $7^{x} + 49 = 14 \cdot 7^{\frac{x}{2}}$ 。

設 $u = 7^{\frac{x}{2}} > 0$ ，則 $7^{x} = u^{2}$ ： $u^{2} - 14 u + 49 = 0$ ， $(u - 7)^{2} = 0$ ， $u = 7$ 。 $7^{\frac{x}{2}} = 7$ ， $x = 2$ 。

檢查：左邊

lo g_{7} (49 + 49) = lo g_{7} 98

，右邊

1 + 1 + lo g_{7} 2 = lo g_{7} (49 \times 2) = lo g_{7} 98

，相等。

第 17 題

指數 $x^{2} - 3 x + 3 = (x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{3}{4}$ ，在 $0 \leq x \leq 2$ 上， $x = \frac{3}{2}$ 時有最小值 $\frac{3}{4}$ （ $\frac{3}{2}$ 在區間內）。

$a > 1$ 時 $y = a^{t}$ 遞增，指數最小時 $y$ 最小，所以 $y$ 的最小值為 $a^{\frac{3}{4}} = \frac{27}{8}$ 。

$a = (\frac{27}{8})^{\frac{4}{3}} = ((\frac{3}{2})^{3})^{\frac{4}{3}} = (\frac{3}{2})^{4} = \frac{81}{16}$ 。

含

a^{2 x}

與

a^{x}

的式子，設

t = a^{x}

（記得

t > 0

）化成二次式；指數是二次式時先配方找指數的極值。

06填充第 13～15 題（第 18～20 題）：對數不等式、首數與尾數、位數

第 18 題

真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $x - 9 > 0$ ，得 $x > 9$ 。

換成以 $2$ 為底： $lo g_{\frac{1}{4}} (x - 1) = \frac{lo g _{2} ( x - 1 )}{lo g _{2} \frac{1}{4}} = - \frac{1}{2} lo g_{2} (x - 1)$ 。不等式變成 $1 + \frac{1}{2} lo g_{2} (x - 1) > lo g_{2} (x - 9)$ ，兩邊乘以 $2$ ： $2 + lo g_{2} (x - 1) > 2 lo g_{2} (x - 9)$ ，即 $lo g_{2} (4 (x - 1)) > lo g_{2} (x - 9)^{2}$ 。

底數 $2 > 1$ ，所以 $4 (x - 1) > (x - 9)^{2}$ ， $x^{2} - 22 x + 85 < 0$ ， $(x - 5) (x - 17) < 0$ ， $5 < x < 17$ 。與 $x > 9$ 取交集得 $9 < x < 17$ 。

以

x = 17

檢查：左邊

1 - lo g_{\frac{1}{4}} 16 = 1 - (- 2) = 3

，右邊

lo g_{2} 8 = 3

，等號成立，所以

17

不在解內。

第 19 題

$lo g (\frac{3}{4})^{100} = 100 (lo g 3 - 2 lo g 2) \approx 100 (0.4771 - 0.6020) = - 12.49$ 。

寫成首數加尾數： $- 12.49 = - 13 + 0.51$ ，所以 $(\frac{3}{4})^{100} = 1 0^{0.51} \times 1 0^{- 13}$ 。 $1 0^{- 13}$ 表示小數點後第 $13$ 位開始不為 $0$ ， $m = 13$ 。

又 $lo g 3 \approx 0.4771 < 0.51 < 0.6020 \approx lo g 4$ ，所以 $3 < 1 0^{0.51} < 4$ ，第一個不為 $0$ 的數字是 $3$ ， $k = 3$ 。故 $(m, k) = (13, 3)$ 。

尾數要取

0

到

1

之間的數：

- 12.49

的首數是

- 13

，不是

- 12

。

第 20 題

$5^{100}$ 為 $70$ 位數，所以 $1 0^{69} \leq 5^{100} < 1 0^{70}$ ，取常用對數得 $69 \leq 100 lo g 5 < 70$ ， $0.69 \leq lo g 5 < 0.70$ 。

$1 1^{100}$ 為 $105$ 位數，所以 $104 \leq 100 lo g 11 < 105$ ， $1.04 \leq lo g 11 < 1.05$ 。

$lo g 5 5^{20} = 20 (lo g 5 + lo g 11)$ ，而 $1.73 \leq lo g 5 + lo g 11 < 1.75$ ，所以 $34.6 \leq lo g 5 5^{20} < 35$ ，即 $1 0^{34.6} \leq 5 5^{20} < 1 0^{35}$ ， $5 5^{20}$ 的首數是 $34$ ，為 $35$ 位數。

實際上

lo g 5 \approx 0.6990

、

lo g 11 \approx 1.0414

，

20 \times 1.7404 \approx 34.81

，結論相同。

N

是幾位數、小數點後第幾位不為

0

，都看

lo g N

的首數；第一個不為

0

的數字看尾數。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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第 2 題要從圖形與 x 軸的交點落在 0 與 1 之間判斷 a 的正負；第 5 題要分清楚指數函數凹口向上、對數函數凹口向下；第 12 題對數方程式有兩個實數解，其中一個要在 0 與 1 之間用函數值變號找出來；第 18 題不等式要先化成同底並寫出真數條件；第 20 題要由位數寫出常用對數的範圍再相加。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

溪湖高中 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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03填充第 1～4 題（第 6～9 題）：對數律、指數與對數方程式

04填充第 5～8 題（第 10～13 題）：對數律、換底公式、實數解個數

05填充第 9～12 題（第 14～17 題）：複利、指數不等式、指對數方程式、極值

06填充第 13～15 題（第 18～20 題）：對數不等式、首數與尾數、位數

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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