01 · 試題原卷 17 題，照原卷順序
卷面未印大題名稱，全卷 16 題都是填空作答，第 16 題分 (1)(2) 兩格，共 17 格，「填充題」為本站所加的題型名稱；答案卷的給分表：答對 1～16 格每格 6 分，答對 17 格得 100 分，第 16 題 (2) 要寫出計算過程，否則不計分。本頁第 1～15 題為原卷第 1～15 題，第 16、17 題為原卷第 16 題的 (1)(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。
填充題
1
如圖，設 A(1,2)，B(4,0)，C(5,3) 為坐標平面上三點，且直線 AB、直線 BC、直線 AC 的斜率分別為 m1，m2，m3。下列那一項是正確的。____
(1) m1>0 (2) m2<0 (3) m1m2m3<0 (4) m1+m2+m3<0 (5) m3<m2<m1。 2
求斜率為 2 且 y 截距為 −3 的直線方程式 ____
3
將直線 x+2y−5=0 往下平移 4 單位，和將直線 x+2y−5=0 往左平移 k 單位會得同一直線，求 k= ____。
4
如圖，已知點 A(3,8) 在直線 L:ax+y+c=0 上，點 B(5,9) 為 L 外一點，使得 AB⊥L，求 a+c= ____ 5
如圖，在筆直道路上有學校 S 及小鎮 A，而小鎮 B 不在此道路上。為了要在這條道路上蓋一家超級市場，使其與 A,B 兩小鎮等距離，將此區域設定成一個坐標平面，學校與二個小鎮的坐標分別為 S(−2,2)，A(18,6)，B(6,14)。若該超級市場的坐標為 (a,b)，則 a+b= ____ 6
已知 A(−2,3)，B(6,−3)，求以 AB 為直徑的圓方程式 ____
7
已知圓 C:x2+y2+4x−2y−4=0，圓心為 (h,k)，半徑為 r，則 h+k+r= ____
8
已知 A(0,0)，B(8,0) 及 P(x,y) 三點滿足 PA=3PB，求所有 P 點所成圖形的方程式 ____
9
已知圓 C:x2+y2+2x+k=0 與直線 L:x+y=0 不相交，求實數 k 的範圍 ____
10
已知圓 C:(x−2)2+(y−3)2=25 與直線 L:3x−4y+21=0 交於 A，B 兩相異點，求 AB= ____
11
已知圓 C:x2+y2+ax+by+14=0 與直線 L:x−2y+c=0 相切於點 P(5,1)，求 a+b+c= ____
12
在坐標平面上 A(6,1) 處有一光源，將圓 (x−3)2+y2=5 投射到 y 軸上，求其在 y 軸上的影子長= ____
13
有一半徑為 2 的圓 C 與直線 L:4x−3y=0 相切，若圓 C 的圓心在直線 L 的右側，則與直線 L 平行且與圓 C 相切的另一條直線方程式為 ____
14
坐標平面上的圓 C:(x−7)2+(y−8)2=9 上，有 ____ 個點與原點的距離正好是整數值。
15
地面上甲、乙兩人從同一地點同時開始移動。甲以每秒 3 公尺向東等速移動，乙以每秒 4 公尺向北等速移動。在移動不久之後，他們互望的視線被一圓柱體建築物阻擋了 5 秒後才又相見。此圓柱體建築物底圓的直徑為 ____ 公尺。
原卷第 16 題（第 16～17 題） 總統為一國之首，出訪時身邊隨扈組成的維安小組安全防護非常重要，以總統為圓心由內而外分為三層防護，分別為：國安局組成的侍衛組、憲兵組成的內衛區、最外層則是警方中衛區。為達絕對萬全，需於面臨攻擊威脅時，第一時間發覺並制伏威脅，所以任何角度都需要有人觀察警戒，而一般人的立體視野角度約僅 140∘，所以要構成 360∘ 的環狀警戒，最少需要 3 名隨扈人員相互搭配而成，試回答下列問題：
16
(1) 假設由國安局組成的侍衛組 A 隨扈在點 (−4,6)、B 隨扈在點 (3,5)、C 隨扈在點 (−1,−3)，則三名隨扈所形成的最內層圓形絕對保護區的圓心坐標 ____
17
(2) 當有不明物體進入絕對保護區時，會引起隨扈注意，並立即隔離或驅趕。
若有一名民眾拿著紅色雷射筆沿著 3x+4y−50=0 的直線方向射去，請問會不會驚動隨扈人員而遭到驅趕嗎？
(請寫出計算過程、理由，否則不予計分)
第 1 題(3)
第 2 題y=2x−3
第 3 題8
第 4 題−12
第 5 題12
第 6 題(x−2)2+y2=25
第 7 題2
第 8 題(x−9)2+y2=9
第 9 題21<k<1
第 10 題8
第 11 題−19
第 12 題15
第 13 題4x−3y−20=0
第 14 題12
第 15 題12
第 16 題(−1,2)
第 17 題不會（圓心到直線的距離 9 大於半徑 5）
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01第 1～5 題：斜率、直線方程式與平移、垂直、中垂線
第 1 題m1=4−10−2=−32，m2=5−43−0=3，m3=5−13−2=41。
(1) m1=−32<0，錯。(2) m2=3>0，錯。(3) m1m2m3=−32×3×41=−21<0，對。(4) m1+m2+m3=−32+3+41=1231>0，錯。(5) 三者由小到大是 m1<m3<m2，錯。所以選 (3)。
看圖也能判斷：直線 AB 往右下（斜率負），BC 往右上而且最陡，AC 往右上但平緩。
第 2 題斜截式 y=mx+b，m=2、b=−3，得 y=2x−3，也可寫成 2x−y−3=0。
第 3 題往下平移 4 單位：把 y 換成 y+4，得 x+2(y+4)−5=0，即 x+2y+3=0。往左平移 k 單位：把 x 換成 x+k，得 (x+k)+2y−5=0，即 x+2y+k−5=0。兩條是同一直線，k−5=3，k=8。
驗算：原直線上的點 (5,0) 往下移 4 到 (5,−4)，代入 x+2y+3=0 得 5−8+3=0；(5,0) 往左移 8 到 (−3,0)，代入也是 −3+0+3=0。
第 4 題AB 的斜率 5−39−8=21，L 與 AB 垂直，所以 L 的斜率是 −2。L:ax+y+c=0 即 y=−ax−c，斜率 −a=−2，a=2。A(3,8) 在 L 上：2×3+8+c=0，c=−14。所以 a+c=2+(−14)=−12。
第 5 題道路是直線 SA：斜率 18−(−2)6−2=51，方程式 y−2=51(x+2)，即 x−5y+12=0。
與 A、B 等距離的點在 AB 的中垂線上。AB 的中點是 (12,10)，斜率 6−1814−6=−32，中垂線斜率 23：y−10=23(x−12)，即 3x−2y−16=0。
聯立：由 x=5y−12 代入 3x−2y=16，15y−36−2y=16，y=4，x=8。超級市場在 (8,4)，a+b=12。
驗算：(8,4) 到 A 的距離平方 102+22=104，到 B 的距離平方 22+102=104。
互相垂直的兩直線（都不是鉛直線）斜率相乘等於 −1；與兩點等距離的點都在這兩點的中垂線上。
02第 6～8 題：圓方程式
第 6 題圓心是 AB 的中點 (2−2+6,23−3)=(2,0)，直徑 AB=82+62=10，半徑 5。圓方程式 (x−2)2+y2=25，也可寫成 x2+y2−4x−21=0。 第 7 題配方：(x2+4x+4)+(y2−2y+1)=4+4+1，即 (x+2)2+(y−1)2=9。圓心 (−2,1)，半徑 3。h+k+r=−2+1+3=2。
第 8 題PA2=9PB2：x2+y2=9[(x−8)2+y2]，展開 x2+y2=9x2−144x+576+9y2，整理 8x2+8y2−144x+576=0，同除以 8：x2+y2−18x+72=0。配方得 (x−9)2+y2=9，是圓心 (9,0)、半徑 3 的圓。
驗算：(6,0) 在圓上，PA=6、PB=2；(12,0) 在圓上，PA=12、PB=4，都是 3 倍。
一般式先配方成標準式，圓心與半徑就讀得出來。
03第 9～11 題：圓與直線的位置關係、弦長、切點
第 9 題配方：(x+1)2+y2=1−k。要是一個圓，1−k>0，即 k<1；圓心 (−1,0)，半徑 1−k。
圓心到 L:x+y=0 的距離 2∣−1+0∣=21。不相交要距離大於半徑：1−k<21，平方 1−k<21，k>21。合起來 21<k<1。
k=1 時圖形只剩一點 (−1,0)，k>1 時沒有圖形，都不是題目說的圓，所以上界取 k<1。
第 10 題圓心 (2,3)，半徑 5。弦心距 d=32+42∣3×2−4×3+21∣=515=3。半弦長 52−32=4，所以 AB=8。 第 11 題P(5,1) 在 L 上：5−2+c=0，c=−3。
P 在圓上：25+1+5a+b+14=0，即 5a+b=−40。
圓心 O′(−2a,−2b)，切線與半徑 O′P 垂直。L 的斜率 21，所以直線 O′P 的斜率是 −2，方程式 y−1=−2(x−5)，即 y=−2x+11。圓心在這條線上：−2b=−2(−2a)+11，即 b=−2a−22。代入 5a+b=−40：3a−22=−40，a=−6，b=−10。
a+b+c=−6−10−3=−19。
驗算：圓為
(x−3)2+(y−5)2=20，圓心
(3,5) 到
L:x−2y−3=0 的距離
5∣3−10−3∣=510=25，等於半徑，確實相切。
判斷圓與直線的關係，比較「圓心到直線的距離」與半徑；相切時切點與圓心的連線垂直切線。
04第 12～15 題：切線、平行切線與圓的應用
第 12 題影子的兩端是過光源 A 的兩條切線與 y 軸的交點。圓心 (3,0)，半徑 5。A 到圓心的距離 9+1=10>5，A 在圓外。
過 A 的鉛直線 x=6 到圓心的距離 3>5，不是切線，所以設切線 y−1=m(x−6)，即 mx−y+1−6m=0。圓心到切線的距離等於半徑：m2+1∣3m+1−6m∣=5，平方得 (1−3m)2=5(m2+1)，4m2−6m−4=0，2m2−3m−2=0，(2m+1)(m−2)=0，m=2 或 −21。
令 x=0：y=1−6m。m=2 時 y=−11；m=−21 時 y=4。影子是 y 軸上從 −11 到 4 的線段，長 4−(−11)=15。
圓整個在直線
x=0 與
x=6 之間（
3+5<6，
3−5>0），所以光線被圓擋住後才到
y 軸，影子就是兩條切線之間那段。
第 13 題與 L 平行的直線寫成 4x−3y=t。圓 C 夾在 L 與另一條切線之間，兩線的距離等於直徑 4：42+32∣t−0∣=4，t=±20。
圓心在 L 的右側：在 L 右側的點（例如 (1,0)）代入 4x−3y 得正數，所以右側是 4x−3y>0，另一條切線也在右側，取 t=20。答 4x−3y−20=0。
L 的斜率 34>0，向右移動 x 變大、4x−3y 變大，所以右側是 4x−3y>0 那一邊。
第 14 題圓心 (7,8) 到原點的距離 49+64=113，半徑 3。圓上的點到原點的距離，最小 113−3，最大 113+3，介於中間的每個值都恰好在圓上取到兩次（以原點為圓心、這個長度為半徑的圓與圓 C 交於兩點）。
10<113<11（100<113<121），且 10.52=110.25<113，所以 10.5<113<11，得 7.5<113−3<8，13.5<113+3<14。範圍內的整數是 8,9,10,11,12,13，共 6 個，都不是端點，各對應 2 個點，共 12 個點。
第 15 題以出發點為原點，東為 x 軸正向、北為 y 軸正向。t 秒時甲在 (3t,0)、乙在 (0,4t)，視線是直線 3tx+4ty=1，即 4x+3y=12t。
不同時刻的視線都與 4x+3y=0 平行，原點到視線的距離是 512t，所以視線每秒往外平移 512 公尺。視線被擋住是它與建築物的底圓相交的時候：從視線碰到圓的一側（相切）開始，到離開圓的另一側（再相切）為止，兩條切線互相平行，距離等於直徑。所以直徑 =512×5=12 公尺。
互望的視線其實是甲、乙之間的線段。建築物在兩人移動路線之間（第一象限內、不壓到兩條路），所以直線與底圓相交時，交到的那段弦就落在甲、乙之間的線段上，等同線段被擋；用直線來算是嚴密的。
兩條平行切線之間的距離等於直徑；一族平行線掃過圓，從相切到再相切移動的距離就是直徑。
05第 16～17 題（原卷第 16 題）：三角形的外接圓與圓、直線的關係
第 16 題三名隨扈都在保護區的圓周上，圓心到 A、B、C 等距離，就是三角形 ABC 的外心。設圓心 (x,y)。
到 A、B 等距離：(x+4)2+(y−6)2=(x−3)2+(y−5)2，展開整理 14x−2y+18=0，即 7x−y+9=0。
到 B、C 等距離：(x−3)2+(y−5)2=(x+1)2+(y+3)2，展開整理 −8x−16y+24=0，即 x+2y=3。
聯立：y=7x+9 代入得 15x+18=3，x=−1，y=2。圓心 (−1,2)。
三邊平方 AB2=50、BC2=80、CA2=90，50+80>90，三角形是銳角三角形，外接圓也就是能把三人圍住的最小圓。
第 17 題由 (1)，保護區的圓心 (−1,2)，半徑 =(3+1)2+(5−2)2=5（到 A、C 也是 9+16=5、0+25=5）。
雷射光沿直線 3x+4y−50=0 前進。圓心到這條直線的距離 32+42∣3×(−1)+4×2−50∣=545=9。
9>5，直線與保護區的圓不相交，雷射光不會進入絕對保護區，所以不會驚動隨扈人員。
與三點等距離的點是外心，用兩條中垂線（兩組等距離方程式）聯立求出。
這一章的單元冊
每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。
同一次段考的其他學校
同樣是高一第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
溪湖高中 111 上 高一第二次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
溪湖高中 111 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？
第 15 題要看出不同時刻的視線互相平行，原點到視線的距離每秒增加五分之十二公尺，被擋住的五秒正好是平行線從一側相切掃到另一側相切，移動距離就是直徑。第 14 題要用圓上的點到原點的距離範圍，每個中間的整數距離都對應兩個點。第 11 題要同時用切點在圓上、在切線上、半徑垂直切線三個條件。第 9 題別忘了 k 小於 1 才是圓。詳解逐題寫在本頁。
我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？
可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。
這份段考卷可以下載列印嗎？
可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。
題目取自溪湖高中 111 學年度上學期 高一第二次段考 數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。