段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

溪湖高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

是非題 10 題（每題 2 分，共 20 分）、填充題 14 題（共 80 分）；填充題依答對題數給分，答對 1～14 題依序得 6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、65、70、75、80 分。本頁第 1～10 題為原卷是非題 1～10，第 11～24 題依序為原卷填充題 1～14。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、是非題（每題 2 分，共 20 分）：下列各題的敘述，正確請打「○」，錯誤請打「×」

設

a > 0

且

a \neq = 1

，則

y = lo g_{a} x

之圖形為遞增函數

設

a > 0

且

a \neq = 1

，則

y = lo g_{a} x

之圖形為凹口向下

若

a > b > 0

，

x

為實數，則

a^{x} > b^{x}

將

y = lo g_{3} x

的圖形對直線

x - y = 0

對稱後的圖形和直線

y = 2

交於

A

點，則

A

點坐標為

(lo g_{3} 2, 2)

方程式

lo g_{3} x = - 5

無解

方程式

3^{x} + lo g_{2} x = 0

有一個實根

y = lo g_{2} x

與

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

的圖形對稱於直線

x = y

x

為實數，若

x^{x - 2} = 1

，則

x = 2

能找到實數

a

，使得

0.5 < 0. 5^{a} < 1

設

x, y

為實數，若

(0.5)^{x} > (0.5)^{y}

，則

x > y

二、填充題（共 80 分）

若

lo g_{\frac{1}{2}} b = - 5

，則

b =

____。

不等式

2^{x + 1} - 2^{x} > 2^{- 5}

之解為 ____

芳芳從

2, 5, 10, 20, 50, 100

這六個數字中隨機取出一數

a

，再從剩下的五個數字中隨機取出一數

b

，並計算

lo g a + lo g b

之值。假設芳芳並無計算錯誤的情形發生，試問：滿足

lo g a + lo g b = 2

的數對

(a, b)

共有 ____ 組。

設

k > 0

，若將

y = lo g_{2} x

的圖形鉛直伸縮

k

倍後可得

y = lo g x

的圖形，則

k =

____。

方程式

2 5^{x + 2} - 5^{2 x + 1} = 124

，則其解為 ____。（請化成最簡分數）

設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

，

y = 6

與

y = 3^{x}

的交點，則直線

P Q

的斜率為 ____。

(lo g_{2} 5 + lo g_{0.5} 0.2) (lo g_{0.2} 2 + lo g_{5} 0.5)

之值為 ____。

試求不等式

2 lo g_{0.3} (x + 2) \geq lo g_{0.3} (2 x + 12)

，則

x

的範圍為 ____。（全對才給分）

7^{100} + 7 \times 1 0^{84}

為 ____ 位數。（其中

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

設

x

為實數且

3^{x^{2}} = 2^{l o g_{3} 2}

，則

3^{x} =

____。（有兩解，並請化成最簡分數，全對才給分）

方程式

x + lo g_{2} (2^{x} - \frac{1}{2}) = lo g_{2} 3 - 1

，則其解為 ____。

設

f (x) = lo g_{2} x^{2}

，

g (x) = lo g_{2} x + 8 lo g_{x} 2 - 8

若

x = n

時，

f (x) \times g (x)

有最小值

m

，則

n + m

之值為 ____。

設銀行利率的算法有單利和複利兩種： (I) 單利：本利和

S = 本金 P \times (1 + 期利率 \times 期數)

，(II) 複利：本利和

S = 本金 P \times (1 + 期利率)^{期數}

，芳芳準備向某銀行貸款

3

百萬元當作創業基金，其年利率為

2%

，約定兩年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利（每半年複利一次）計息還款，但給芳芳創業優惠改以單利計息還款。請問在此優惠下，芳芳在兩年期滿還款時可以比一般複利計息少繳 ____ 元。（四捨五入到整數）（已知

(1.02)^{2} = 1.0404

，

(1.02)^{4} = 1.08243216

，

(1.01)^{2} = 1.0201

，

(1.01)^{4} = 1.04060401

）

芳芳在某茶葉專賣店購買了一款茶葉，包裝上說明泡茶水溫建議為

60 \sim 70^{\circ} C

。又根據牛頓冷卻定律，若水

x^{\circ} C

，放置在

25^{\circ} C

的室溫下經過

t

分鐘後的溫度

H^{\circ} C

，其關係式為

H = 25 + (x - 25) \times (\frac{5}{4})^{- t}

現今剛煮沸一壺水，水溫為

100^{\circ} C

，則在室溫

25^{\circ} C

下至少須放置 ____ 秒，才適合用來泡茶。（答案請取至整數位）（請注意單位）（其中

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1×

2×

3×

4○

5×

6○

7×

8×

9○

10×

第 11 題

32

第 12 題

x > - 5

第 13 題

4

第 14 題

lo g 2

第 15 題

- \frac{1}{2}

第 16 題

4

第 17 題

- 4

第 18 題

- 2 < x \leq 2

第 19 題

86

第 20 題

2

或

\frac{1}{2}

第 21 題

x = lo g_{2} 3 - 1

第 22 題

0

第 23 題

1812

第 24 題

138

（若照四捨五入或捨去取整則為

137

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：對數函數的性質、指數的大小、對稱圖形

第 1 題×錯。底數

a > 1

時

y = lo g_{a} x

遞增；

0 < a < 1

時遞減。題目沒有限制

a > 1

，例如

a = \frac{1}{2}

：

lo g_{\frac{1}{2}} 1 = 0 > lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1

，是遞減函數。

第 2 題×錯。凹口方向與底數有關：

a > 1

時

y = lo g_{a} x

圖形凹口向下；

0 < a < 1

時圖形凹口向上。題目沒有限制

a

的範圍，所以不一定凹口向下。

以

a = \frac{1}{2}

檢查：

x = 1

、

x = 4

的函數值是

0

、

- 2

，平均為

- 1

；中點

x = \frac{5}{2}

的函數值

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{5}{2} \approx - 1.32

，比平均小，圖形在弦的下方，凹口向上。

第 3 題×錯。

x

可以是零或負數。取

x = 0

：

a^{0} = b^{0} = 1

，不是

a^{x} > b^{x}

。再取

a = 3

、

b = 2

、

x = - 1

：

a^{- 1} = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} = b^{- 1}

，大小相反。

只有

x > 0

時才有

a^{x} > b^{x}

。

第 4 題○對。直線

x - y = 0

就是

y = x

。

y = lo g_{3} x

對

y = x

對稱，是把每一點的

x

、

y

坐標互換，得

x = lo g_{3} y

，即

y = 3^{x}

。與

y = 2

的交點滿足

3^{x} = 2

，

x = lo g_{3} 2

，所以

A (lo g_{3} 2, 2)

。

第 5 題×錯。對數值可以是負數。由對數的定義，

lo g_{3} x = - 5

即

x = 3^{- 5} = \frac{1}{243}

，這個

x

是正數，符合真數條件，所以方程式有解。

題目說「設

a > 0

且

a \neq = 1

」時，要把

a > 1

與

0 < a < 1

兩種情形都想一遍。

02是非第 6～10 題：實根個數、對稱、指數函數的單調性

第 6 題○對。設

f (x) = 3^{x} + lo g_{2} x

，定義域

x > 0

。

3^{x}

與

lo g_{2} x

都是遞增函數，所以

f (x)

也是遞增函數，最多只有一個實根。又

f (\frac{1}{8}) = 3^{\frac{1}{8}} - 3 < 3^{1} - 3 = 0

，

f (1) = 3 + 0 = 3 > 0

，函數值由負變正，在

\frac{1}{8}

與

1

之間有一個實根。所以恰有一個實根。

也可以看成

y = 3^{x}

與

y = - lo g_{2} x

兩圖形的交點：前者遞增、後者遞減，恰好交於一點。實根約為

0.36

。

第 7 題×錯。由換底公式

lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{lo g x}{- lo g 2} = - lo g_{2} x

，所以兩圖形上的點是

(x, y)

與

(x, - y)

的關係，對稱於

x

軸，不是對稱於直線

x = y

。

對稱於直線

x = y

的是

y = lo g_{2} x

與

y = 2^{x}

。

第 8 題×錯。取

x = 1

：

1^{1 - 2} = 1^{- 1} = 1

，等式成立，但

x \neq = 2

。所以由

x^{x - 2} = 1

不能推出

x = 2

。

在

x > 0

的範圍，

x^{x - 2} = 1

的解是

x = 1

或

x = 2

。

第 9 題○對。

0.5 < 0. 5^{a} < 1

就是

0. 5^{1} < 0. 5^{a} < 0. 5^{0}

。底數

0.5

介於

0

與

1

之間，

y = 0. 5^{x}

是遞減函數，所以

0 < a < 1

的

a

都符合，例如

a = \frac{1}{2}

：

0. 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \approx 0.707

，介於

0.5

與

1

之間。

第 10 題×錯。底數

0.5

介於

0

與

1

之間，

y = (0.5)^{x}

是遞減函數，函數值較大的那一個，指數較小。由

(0.5)^{x} > (0.5)^{y}

得

x < y

，不是

x > y

。

例如

(0.5)^{1} = 0.5 > (0.5)^{2} = 0.25

，而

1 < 2

。

底數介於

0

與

1

之間時，指數函數與對數函數都遞減，比較大小時不等號要反向。

03填充第 1～5 題（第 11～15 題）：對數的定義、指數方程式與不等式、圖形伸縮

第 11 題由對數的定義，

b = (\frac{1}{2})^{- 5} = 2^{5} = 32

。

第 12 題

2^{x + 1} - 2^{x} = 2 \cdot 2^{x} - 2^{x} = 2^{x}

，所以不等式變成

2^{x} > 2^{- 5}

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

遞增，所以

x > - 5

。

第 13 題

$lo g a + lo g b = lo g (ab) = 2$ ，所以 $ab = 100$ ，且 $a \neq = b$ （ $b$ 從剩下的五個數取）。

六個數中乘積為 $100$ 的兩個相異數： $2 \times 50 = 100$ 、 $5 \times 20 = 100$ ； $10 \times 10 = 100$ 但 $a$ 、 $b$ 不能相同。

$(a, b)$ 有順序，所以有 $(2, 50)$ 、 $(50, 2)$ 、 $(5, 20)$ 、 $(20, 5)$ ，共 $4$ 組。

第 14 題

鉛直伸縮 $k$ 倍後的圖形是 $y = k lo g_{2} x$ 。由換底公式， $lo g x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 10} = lo g_{2} x \times lo g 2$ （因為 $lo g_{2} 10 \times lo g 2 = 1$ ）。

所以 $k lo g_{2} x = lo g 2 \times lo g_{2} x$ 對所有 $x > 0$ 成立， $k = lo g 2$ 。

lo g 2 \approx 0.3010

，介於

0

與

1

之間，是鉛直方向壓縮。

第 15 題

$2 5^{x + 2} = 5^{2 x + 4} = 625 \cdot 5^{2 x}$ ， $5^{2 x + 1} = 5 \cdot 5^{2 x}$ 。原式變成 $625 \cdot 5^{2 x} - 5 \cdot 5^{2 x} = 620 \cdot 5^{2 x} = 124$ ，所以 $5^{2 x} = \frac{124}{620} = \frac{1}{5} = 5^{- 1}$ 。

指數函數是一對一的， $2 x = - 1$ ， $x = - \frac{1}{2}$ 。

同底的指數相加減，先提出公因式

a^{x}

再比較；

lo g a + lo g b

先用對數律合併成

lo g (ab)

。

04填充第 6～9 題（第 16～19 題）：斜率、換底公式、對數不等式、位數

第 16 題

$P$ ： $3^{x} = 2$ ， $x = lo g_{3} 2$ ， $P (lo g_{3} 2, 2)$ ； $Q$ ： $3^{x} = 6$ ， $x = lo g_{3} 6$ ， $Q (lo g_{3} 6, 6)$ 。

斜率 $= \frac{6 - 2}{lo g _{3} 6 - lo g _{3} 2} = \frac{4}{lo g _{3} \frac{6}{2}} = \frac{4}{lo g _{3} 3} = 4$ 。

第 17 題

$lo g_{0.5} 0.2 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} = \frac{lo g \frac{1}{5}}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{- lo g 5}{- lo g 2} = lo g_{2} 5$ ，所以第一個括號 $= 2 lo g_{2} 5$ 。

$lo g_{0.2} 2 = \frac{lo g 2}{lo g \frac{1}{5}} = - lo g_{5} 2$ ， $lo g_{5} 0.5 = lo g_{5} \frac{1}{2} = - lo g_{5} 2$ ，所以第二個括號 $= - 2 lo g_{5} 2$ 。

原式 $= 2 lo g_{2} 5 \times (- 2 lo g_{5} 2) = - 4 \times lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = - 4$ （因為 $lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = 1$ ）。

第 18 題

真數條件： $x + 2 > 0$ 且 $2 x + 12 > 0$ ，得 $x > - 2$ 。

左邊 $2 lo g_{0.3} (x + 2) = lo g_{0.3} (x + 2)^{2}$ ，不等式變成 $lo g_{0.3} (x + 2)^{2} \geq lo g_{0.3} (2 x + 12)$ 。底數 $0.3$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，對數函數遞減，去掉對數時不等號反向： $(x + 2)^{2} \leq 2 x + 12$ 。

$x^{2} + 4 x + 4 \leq 2 x + 12$ ， $x^{2} + 2 x - 8 \leq 0$ ， $(x + 4) (x - 2) \leq 0$ ， $- 4 \leq x \leq 2$ 。與 $x > - 2$ 取交集得 $- 2 < x \leq 2$ 。

以

x = 2

檢查：左邊

2 lo g_{0.3} 4 = lo g_{0.3} 16

，右邊

lo g_{0.3} 16

，等號成立，所以

2

在解內。

第 19 題

$lo g 7^{100} = 100 lo g 7 \approx 84.51$ ，所以 $7^{100} \approx 1 0^{0.51} \times 1 0^{84}$ 。

又 $lo g 3 \approx 0.4771 < 0.51 < 0.6020 \approx lo g 4$ ，所以 $3 < 1 0^{0.51} < 4$ ，即 $3 \times 1 0^{84} < 7^{100} < 4 \times 1 0^{84}$ 。

加上 $7 \times 1 0^{84}$ ： $10 \times 1 0^{84} < 7^{100} + 7 \times 1 0^{84} < 11 \times 1 0^{84}$ ，即 $1 0^{85} < 7^{100} + 7 \times 1 0^{84} < 1.1 \times 1 0^{85}$ ，首數是 $85$ ，所以是 $86$ 位數。

實際上

7^{100} \approx 3.23 \times 1 0^{84}

，相加約

1.02 \times 1 0^{85}

。只看

7^{100}

是

85

位數，加上

7 \times 1 0^{84}

後進位成

86

位數。

對數不等式先寫真數條件；底數小於

1

時去掉對數要把不等號反向。位數看首數，兩數相加時要先夾出前一項的範圍。

05填充第 10～12 題（第 20～22 題）：取對數解方程式、代換成二次式、極值

第 20 題

兩邊取以 $3$ 為底的對數： $x^{2} = lo g_{3} (2^{l o g_{3} 2}) = lo g_{3} 2 \times lo g_{3} 2 = (lo g_{3} 2)^{2}$ ，所以 $x = lo g_{3} 2$ 或 $x = - lo g_{3} 2$ 。

$x = lo g_{3} 2$ 時 $3^{x} = 2$ ； $x = - lo g_{3} 2$ 時 $3^{x} = 3^{- l o g_{3} 2} = \frac{1}{2}$ 。所以 $3^{x} = 2$ 或 $\frac{1}{2}$ 。

第 21 題

真數條件： $2^{x} - \frac{1}{2} > 0$ 。

把 $x$ 寫成 $lo g_{2} 2^{x}$ ，左邊 $= lo g_{2} (2^{x} (2^{x} - \frac{1}{2}))$ ；右邊 $= lo g_{2} 3 - lo g_{2} 2 = lo g_{2} \frac{3}{2}$ 。所以 $2^{x} (2^{x} - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$ 。

設 $t = 2^{x} > 0$ ： $t^{2} - \frac{1}{2} t - \frac{3}{2} = 0$ ， $2 t^{2} - t - 3 = 0$ ， $(2 t - 3) (t + 1) = 0$ ， $t = \frac{3}{2}$ 或 $t = - 1$ （不合， $t > 0$ ）。

$t = \frac{3}{2}$ 時 $2^{x} - \frac{1}{2} = 1 > 0$ ，符合真數條件。 $2^{x} = \frac{3}{2}$ ， $x = lo g_{2} \frac{3}{2} = lo g_{2} 3 - 1$ 。

lo g_{2} 3 - 1 \approx 0.585

。答案也可以寫成

lo g_{2} \frac{3}{2}

。

第 22 題

$g (x)$ 中有 $lo g_{2} x$ 與 $lo g_{x} 2$ ，所以 $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 。此時 $f (x) = lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ 。

設 $t = lo g_{2} x$ （ $t \neq = 0$ ），由換底公式 $lo g_{x} 2 = \frac{1}{t}$ ，所以 $g (x) = t + \frac{8}{t} - 8$ 。

$f (x) \times g (x) = 2 t (t + \frac{8}{t} - 8) = 2 t^{2} - 16 t + 16 = 2 (t - 4)^{2} - 16$ 。

$t = 4$ 時有最小值 $- 16$ ，此時 $lo g_{2} x = 4$ ， $x = 16$ 。所以 $n = 16$ ， $m = - 16$ ， $n + m = 0$ 。

t = 4 \neq = 0

，對應的

x = 16

在定義域內。

含

lo g_{a} x

與

lo g_{x} a

的式子，設

t = lo g_{a} x

，用

lo g_{x} a = \frac{1}{t}

化成

t

的式子；對數方程式化成二次式後別忘了檢查真數條件。

06填充第 13、14 題（第 23、24 題）：單利與複利、牛頓冷卻定律

第 23 題

本金 $P = 3000000$ 元。

單利（以年計）：年利率 $2%$ ，兩年，本利和 $S = 3000000 \times (1 + 0.02 \times 2) = 3000000 \times 1.04 = 3120000$ 元。

複利（每半年複利一次）：期利率 $\frac{2%}{2} = 1%$ ，兩年共 $4$ 期，本利和 $S = 3000000 \times (1.01)^{4} = 3000000 \times 1.04060401 = 3121812.03$ 元。

相差 $3121812.03 - 3120000 = 1812.03$ ，四捨五入到整數為 $1812$ 元。

單利若也以半年為一期計算：

3000000 \times (1 + 0.01 \times 4)

，結果相同。題目附的

(1.02)^{2}

、

(1.02)^{4}

是每年複利或期利率

2%

時才用得到，本題用不到。

第 24 題

$x = 100$ ： $H = 25 + 75 (\frac{5}{4})^{- t} = 25 + 75 (\frac{4}{5})^{t}$ ，隨 $t$ 增加而遞減。要適合泡茶，水溫要降到 $70^{\circ} C$ 以下（還不會低於 $60^{\circ} C$ ）：

$25 + 75 (\frac{4}{5})^{t} \leq 70$ ， $(\frac{4}{5})^{t} \leq \frac{45}{75} = \frac{3}{5}$ 。

兩邊取常用對數： $t lo g 0.8 \leq lo g 0.6$ 。 $lo g 0.8 = 3 lo g 2 - 1 \approx - 0.0970$ 是負數，兩邊除以它不等號反向：

$t \geq \frac{lo g 0.6}{lo g 0.8}$

$lo g 0.6 = lo g 2 + lo g 3 - 1 \approx - 0.2219$ ，所以 $t \geq \frac{0.2219}{0.0970} \approx 2.2876$ 分鐘。

換成秒： $2.2876 \times 60 \approx 137.26$ 秒。 $137$ 秒時水溫還高於 $70^{\circ} C$ ，所以至少須放置 $138$ 秒。

題目寫「取至整數位」，若照四捨五入或捨去取整則為

137

秒；本頁依「至少」取不小於所需時間的整數

138

秒。放置

138

秒時水溫約

69.9^{\circ} C

，在

60

到

70

之間。

應用題先列出不等式，取常用對數時注意除以負數要反向；最後看清楚題目要的單位。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

溪湖高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 8 題要想到底數為 1 時任何次方都等於 1；第 19 題要先用常用對數夾出前一項的大小，加上後一項後才看得出位數；第 22 題要把兩個函數都寫成以 2 為底的對數，再看成二次函數配方；第 24 題要把不等式化成常用對數來解，最後記得分鐘換成秒。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

溪湖高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、是非題（每題 2 分，共 20 分）：下列各題的敘述，正確請打「○」，錯誤請打「×」

設

a > 0

且

a \neq = 1

，則

y = lo g_{a} x

之圖形為遞增函數

設

a > 0

且

a \neq = 1

，則

y = lo g_{a} x

之圖形為凹口向下

若

a > b > 0

，

x

為實數，則

a^{x} > b^{x}

將

y = lo g_{3} x

的圖形對直線

x - y = 0

對稱後的圖形和直線

y = 2

交於

A

點，則

A

點坐標為

(lo g_{3} 2, 2)

方程式

lo g_{3} x = - 5

無解

方程式

3^{x} + lo g_{2} x = 0

有一個實根

y = lo g_{2} x

與

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

的圖形對稱於直線

x = y

x

為實數，若

x^{x - 2} = 1

，則

x = 2

能找到實數

a

，使得

0.5 < 0. 5^{a} < 1

設

x, y

為實數，若

(0.5)^{x} > (0.5)^{y}

，則

x > y

二、填充題（共 80 分）

若

lo g_{\frac{1}{2}} b = - 5

，則

b =

____。

不等式

2^{x + 1} - 2^{x} > 2^{- 5}

之解為 ____

芳芳從

2, 5, 10, 20, 50, 100

這六個數字中隨機取出一數

a

，再從剩下的五個數字中隨機取出一數

b

，並計算

lo g a + lo g b

之值。假設芳芳並無計算錯誤的情形發生，試問：滿足

lo g a + lo g b = 2

的數對

(a, b)

共有 ____ 組。

設

k > 0

，若將

y = lo g_{2} x

的圖形鉛直伸縮

k

倍後可得

y = lo g x

的圖形，則

k =

____。

方程式

2 5^{x + 2} - 5^{2 x + 1} = 124

，則其解為 ____。（請化成最簡分數）

設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

，

y = 6

與

y = 3^{x}

的交點，則直線

P Q

的斜率為 ____。

(lo g_{2} 5 + lo g_{0.5} 0.2) (lo g_{0.2} 2 + lo g_{5} 0.5)

之值為 ____。

試求不等式

2 lo g_{0.3} (x + 2) \geq lo g_{0.3} (2 x + 12)

，則

x

的範圍為 ____。（全對才給分）

7^{100} + 7 \times 1 0^{84}

為 ____ 位數。（其中

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

設

x

為實數且

3^{x^{2}} = 2^{l o g_{3} 2}

，則

3^{x} =

____。（有兩解，並請化成最簡分數，全對才給分）

方程式

x + lo g_{2} (2^{x} - \frac{1}{2}) = lo g_{2} 3 - 1

，則其解為 ____。

設

f (x) = lo g_{2} x^{2}

，

g (x) = lo g_{2} x + 8 lo g_{x} 2 - 8

若

x = n

時，

f (x) \times g (x)

有最小值

m

，則

n + m

之值為 ____。

設銀行利率的算法有單利和複利兩種： (I) 單利：本利和

S = 本金 P \times (1 + 期利率 \times 期數)

，(II) 複利：本利和

S = 本金 P \times (1 + 期利率)^{期數}

，芳芳準備向某銀行貸款

3

百萬元當作創業基金，其年利率為

2%

(1.02)^{2} = 1.0404

，

(1.02)^{4} = 1.08243216

，

(1.01)^{2} = 1.0201

，

(1.01)^{4} = 1.04060401

）

芳芳在某茶葉專賣店購買了一款茶葉，包裝上說明泡茶水溫建議為

60 \sim 70^{\circ} C

。又根據牛頓冷卻定律，若水

x^{\circ} C

，放置在

25^{\circ} C

的室溫下經過

t

分鐘後的溫度

H^{\circ} C

，其關係式為

H = 25 + (x - 25) \times (\frac{5}{4})^{- t}

現今剛煮沸一壺水，水溫為

100^{\circ} C

，則在室溫

25^{\circ} C

下至少須放置 ____ 秒，才適合用來泡茶。（答案請取至整數位）（請注意單位）（其中

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1×

2×

3×

4○

5×

6○

7×

8×

9○

10×

第 11 題

32

第 12 題

x > - 5

第 13 題

4

第 14 題

lo g 2

第 15 題

- \frac{1}{2}

第 16 題

4

第 17 題

- 4

第 18 題

- 2 < x \leq 2

第 19 題

86

第 20 題

2

或

\frac{1}{2}

第 21 題

x = lo g_{2} 3 - 1

第 22 題

0

第 23 題

1812

第 24 題

138

（若照四捨五入或捨去取整則為

137

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：對數函數的性質、指數的大小、對稱圖形

第 1 題×錯。底數

a > 1

時

y = lo g_{a} x

遞增；

0 < a < 1

時遞減。題目沒有限制

a > 1

，例如

a = \frac{1}{2}

：

lo g_{\frac{1}{2}} 1 = 0 > lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1

，是遞減函數。

第 2 題×錯。凹口方向與底數有關：

a > 1

時

y = lo g_{a} x

圖形凹口向下；

0 < a < 1

時圖形凹口向上。題目沒有限制

a

的範圍，所以不一定凹口向下。

以

a = \frac{1}{2}

檢查：

x = 1

、

x = 4

的函數值是

0

、

- 2

，平均為

- 1

；中點

x = \frac{5}{2}

的函數值

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{5}{2} \approx - 1.32

，比平均小，圖形在弦的下方，凹口向上。

第 3 題×錯。

x

可以是零或負數。取

x = 0

：

a^{0} = b^{0} = 1

，不是

a^{x} > b^{x}

。再取

a = 3

、

b = 2

、

x = - 1

：

a^{- 1} = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} = b^{- 1}

，大小相反。

只有

x > 0

時才有

a^{x} > b^{x}

。

第 4 題○對。直線

x - y = 0

就是

y = x

。

y = lo g_{3} x

對

y = x

對稱，是把每一點的

x

、

y

坐標互換，得

x = lo g_{3} y

，即

y = 3^{x}

。與

y = 2

的交點滿足

3^{x} = 2

，

x = lo g_{3} 2

，所以

A (lo g_{3} 2, 2)

。

第 5 題×錯。對數值可以是負數。由對數的定義，

lo g_{3} x = - 5

即

x = 3^{- 5} = \frac{1}{243}

，這個

x

是正數，符合真數條件，所以方程式有解。

題目說「設

a > 0

且

a \neq = 1

」時，要把

a > 1

與

0 < a < 1

兩種情形都想一遍。

02是非第 6～10 題：實根個數、對稱、指數函數的單調性

第 6 題○對。設

f (x) = 3^{x} + lo g_{2} x

，定義域

x > 0

。

3^{x}

與

lo g_{2} x

都是遞增函數，所以

f (x)

也是遞增函數，最多只有一個實根。又

f (\frac{1}{8}) = 3^{\frac{1}{8}} - 3 < 3^{1} - 3 = 0

，

f (1) = 3 + 0 = 3 > 0

，函數值由負變正，在

\frac{1}{8}

與

1

之間有一個實根。所以恰有一個實根。

也可以看成

y = 3^{x}

與

y = - lo g_{2} x

兩圖形的交點：前者遞增、後者遞減，恰好交於一點。實根約為

0.36

。

第 7 題×錯。由換底公式

lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{lo g x}{- lo g 2} = - lo g_{2} x

，所以兩圖形上的點是

(x, y)

與

(x, - y)

的關係，對稱於

x

軸，不是對稱於直線

x = y

。

對稱於直線

x = y

的是

y = lo g_{2} x

與

y = 2^{x}

。

第 8 題×錯。取

x = 1

：

1^{1 - 2} = 1^{- 1} = 1

，等式成立，但

x \neq = 2

。所以由

x^{x - 2} = 1

不能推出

x = 2

。

在

x > 0

的範圍，

x^{x - 2} = 1

的解是

x = 1

或

x = 2

。

第 9 題○對。

0.5 < 0. 5^{a} < 1

就是

0. 5^{1} < 0. 5^{a} < 0. 5^{0}

。底數

0.5

介於

0

與

1

之間，

y = 0. 5^{x}

是遞減函數，所以

0 < a < 1

的

a

都符合，例如

a = \frac{1}{2}

：

0. 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \approx 0.707

，介於

0.5

與

1

之間。

第 10 題×錯。底數

0.5

介於

0

與

1

之間，

y = (0.5)^{x}

是遞減函數，函數值較大的那一個，指數較小。由

(0.5)^{x} > (0.5)^{y}

得

x < y

，不是

x > y

。

例如

(0.5)^{1} = 0.5 > (0.5)^{2} = 0.25

，而

1 < 2

。

底數介於

0

與

1

之間時，指數函數與對數函數都遞減，比較大小時不等號要反向。

03填充第 1～5 題（第 11～15 題）：對數的定義、指數方程式與不等式、圖形伸縮

第 11 題由對數的定義，

b = (\frac{1}{2})^{- 5} = 2^{5} = 32

。

第 12 題

2^{x + 1} - 2^{x} = 2 \cdot 2^{x} - 2^{x} = 2^{x}

，所以不等式變成

2^{x} > 2^{- 5}

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

遞增，所以

x > - 5

。

第 13 題

$lo g a + lo g b = lo g (ab) = 2$ ，所以 $ab = 100$ ，且 $a \neq = b$ （ $b$ 從剩下的五個數取）。

六個數中乘積為 $100$ 的兩個相異數： $2 \times 50 = 100$ 、 $5 \times 20 = 100$ ； $10 \times 10 = 100$ 但 $a$ 、 $b$ 不能相同。

$(a, b)$ 有順序，所以有 $(2, 50)$ 、 $(50, 2)$ 、 $(5, 20)$ 、 $(20, 5)$ ，共 $4$ 組。

第 14 題

鉛直伸縮 $k$ 倍後的圖形是 $y = k lo g_{2} x$ 。由換底公式， $lo g x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 10} = lo g_{2} x \times lo g 2$ （因為 $lo g_{2} 10 \times lo g 2 = 1$ ）。

所以 $k lo g_{2} x = lo g 2 \times lo g_{2} x$ 對所有 $x > 0$ 成立， $k = lo g 2$ 。

lo g 2 \approx 0.3010

，介於

0

與

1

之間，是鉛直方向壓縮。

第 15 題

指數函數是一對一的， $2 x = - 1$ ， $x = - \frac{1}{2}$ 。

同底的指數相加減，先提出公因式

a^{x}

再比較；

lo g a + lo g b

先用對數律合併成

lo g (ab)

。

04填充第 6～9 題（第 16～19 題）：斜率、換底公式、對數不等式、位數

第 16 題

$P$ ： $3^{x} = 2$ ， $x = lo g_{3} 2$ ， $P (lo g_{3} 2, 2)$ ； $Q$ ： $3^{x} = 6$ ， $x = lo g_{3} 6$ ， $Q (lo g_{3} 6, 6)$ 。

斜率 $= \frac{6 - 2}{lo g _{3} 6 - lo g _{3} 2} = \frac{4}{lo g _{3} \frac{6}{2}} = \frac{4}{lo g _{3} 3} = 4$ 。

第 17 題

$lo g_{0.5} 0.2 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} = \frac{lo g \frac{1}{5}}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{- lo g 5}{- lo g 2} = lo g_{2} 5$ ，所以第一個括號 $= 2 lo g_{2} 5$ 。

$lo g_{0.2} 2 = \frac{lo g 2}{lo g \frac{1}{5}} = - lo g_{5} 2$ ， $lo g_{5} 0.5 = lo g_{5} \frac{1}{2} = - lo g_{5} 2$ ，所以第二個括號 $= - 2 lo g_{5} 2$ 。

原式 $= 2 lo g_{2} 5 \times (- 2 lo g_{5} 2) = - 4 \times lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = - 4$ （因為 $lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = 1$ ）。

第 18 題

真數條件： $x + 2 > 0$ 且 $2 x + 12 > 0$ ，得 $x > - 2$ 。

$x^{2} + 4 x + 4 \leq 2 x + 12$ ， $x^{2} + 2 x - 8 \leq 0$ ， $(x + 4) (x - 2) \leq 0$ ， $- 4 \leq x \leq 2$ 。與 $x > - 2$ 取交集得 $- 2 < x \leq 2$ 。

以

x = 2

檢查：左邊

2 lo g_{0.3} 4 = lo g_{0.3} 16

，右邊

lo g_{0.3} 16

，等號成立，所以

2

在解內。

第 19 題

$lo g 7^{100} = 100 lo g 7 \approx 84.51$ ，所以 $7^{100} \approx 1 0^{0.51} \times 1 0^{84}$ 。

又 $lo g 3 \approx 0.4771 < 0.51 < 0.6020 \approx lo g 4$ ，所以 $3 < 1 0^{0.51} < 4$ ，即 $3 \times 1 0^{84} < 7^{100} < 4 \times 1 0^{84}$ 。

實際上

7^{100} \approx 3.23 \times 1 0^{84}

，相加約

1.02 \times 1 0^{85}

。只看

7^{100}

是

85

位數，加上

7 \times 1 0^{84}

後進位成

86

位數。

對數不等式先寫真數條件；底數小於

1

時去掉對數要把不等號反向。位數看首數，兩數相加時要先夾出前一項的範圍。

05填充第 10～12 題（第 20～22 題）：取對數解方程式、代換成二次式、極值

第 20 題

兩邊取以 $3$ 為底的對數： $x^{2} = lo g_{3} (2^{l o g_{3} 2}) = lo g_{3} 2 \times lo g_{3} 2 = (lo g_{3} 2)^{2}$ ，所以 $x = lo g_{3} 2$ 或 $x = - lo g_{3} 2$ 。

$x = lo g_{3} 2$ 時 $3^{x} = 2$ ； $x = - lo g_{3} 2$ 時 $3^{x} = 3^{- l o g_{3} 2} = \frac{1}{2}$ 。所以 $3^{x} = 2$ 或 $\frac{1}{2}$ 。

第 21 題

真數條件： $2^{x} - \frac{1}{2} > 0$ 。

設 $t = 2^{x} > 0$ ： $t^{2} - \frac{1}{2} t - \frac{3}{2} = 0$ ， $2 t^{2} - t - 3 = 0$ ， $(2 t - 3) (t + 1) = 0$ ， $t = \frac{3}{2}$ 或 $t = - 1$ （不合， $t > 0$ ）。

$t = \frac{3}{2}$ 時 $2^{x} - \frac{1}{2} = 1 > 0$ ，符合真數條件。 $2^{x} = \frac{3}{2}$ ， $x = lo g_{2} \frac{3}{2} = lo g_{2} 3 - 1$ 。

lo g_{2} 3 - 1 \approx 0.585

。答案也可以寫成

lo g_{2} \frac{3}{2}

。

第 22 題

$g (x)$ 中有 $lo g_{2} x$ 與 $lo g_{x} 2$ ，所以 $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 。此時 $f (x) = lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ 。

設 $t = lo g_{2} x$ （ $t \neq = 0$ ），由換底公式 $lo g_{x} 2 = \frac{1}{t}$ ，所以 $g (x) = t + \frac{8}{t} - 8$ 。

$f (x) \times g (x) = 2 t (t + \frac{8}{t} - 8) = 2 t^{2} - 16 t + 16 = 2 (t - 4)^{2} - 16$ 。

$t = 4$ 時有最小值 $- 16$ ，此時 $lo g_{2} x = 4$ ， $x = 16$ 。所以 $n = 16$ ， $m = - 16$ ， $n + m = 0$ 。

t = 4 \neq = 0

，對應的

x = 16

在定義域內。

含

lo g_{a} x

與

lo g_{x} a

的式子，設

t = lo g_{a} x

，用

lo g_{x} a = \frac{1}{t}

化成

t

的式子；對數方程式化成二次式後別忘了檢查真數條件。

06填充第 13、14 題（第 23、24 題）：單利與複利、牛頓冷卻定律

第 23 題

本金 $P = 3000000$ 元。

單利（以年計）：年利率 $2%$ ，兩年，本利和 $S = 3000000 \times (1 + 0.02 \times 2) = 3000000 \times 1.04 = 3120000$ 元。

複利（每半年複利一次）：期利率 $\frac{2%}{2} = 1%$ ，兩年共 $4$ 期，本利和 $S = 3000000 \times (1.01)^{4} = 3000000 \times 1.04060401 = 3121812.03$ 元。

相差 $3121812.03 - 3120000 = 1812.03$ ，四捨五入到整數為 $1812$ 元。

單利若也以半年為一期計算：

3000000 \times (1 + 0.01 \times 4)

，結果相同。題目附的

(1.02)^{2}

、

(1.02)^{4}

是每年複利或期利率

2%

時才用得到，本題用不到。

第 24 題

$25 + 75 (\frac{4}{5})^{t} \leq 70$ ， $(\frac{4}{5})^{t} \leq \frac{45}{75} = \frac{3}{5}$ 。

兩邊取常用對數： $t lo g 0.8 \leq lo g 0.6$ 。 $lo g 0.8 = 3 lo g 2 - 1 \approx - 0.0970$ 是負數，兩邊除以它不等號反向：

$t \geq \frac{lo g 0.6}{lo g 0.8}$

$lo g 0.6 = lo g 2 + lo g 3 - 1 \approx - 0.2219$ ，所以 $t \geq \frac{0.2219}{0.0970} \approx 2.2876$ 分鐘。

換成秒： $2.2876 \times 60 \approx 137.26$ 秒。 $137$ 秒時水溫還高於 $70^{\circ} C$ ，所以至少須放置 $138$ 秒。

題目寫「取至整數位」，若照四捨五入或捨去取整則為

137

秒；本頁依「至少」取不小於所需時間的整數

138

秒。放置

138

秒時水溫約

69.9^{\circ} C

，在

60

到

70

之間。

應用題先列出不等式，取常用對數時注意除以負數要反向；最後看清楚題目要的單位。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

溪湖高中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01是非第 1～5 題：對數函數的性質、指數的大小、對稱圖形

02是非第 6～10 題：實根個數、對稱、指數函數的單調性

03填充第 1～5 題（第 11～15 題）：對數的定義、指數方程式與不等式、圖形伸縮

04填充第 6～9 題（第 16～19 題）：斜率、換底公式、對數不等式、位數

05填充第 10～12 題（第 20～22 題）：取對數解方程式、代換成二次式、極值

06填充第 13、14 題（第 23、24 題）：單利與複利、牛頓冷卻定律

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05填充第 10～12 題（第 20～22 題）：取對數解方程式、代換成二次式、極值

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溪湖高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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