段考詳解範圍：微分的應用與積分（遞增遞減、凹口方向、極值、反曲點、對稱中心、定積分、面積、旋轉體體積）

溪湖高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

一、單選題 3 題，每題 5 分，共 15 分；二、多選題 3 題，每題 7 分，共 21 分，錯 1 個選項得 4 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項以上得 0 分；三、填充題 16 小題，每小題 4 分，共 64 分。本頁第 4～6 題為原卷多選第 1～3 題，第 7～22 題依序為原卷填充題 1①②③、2、3①②③④、4、5①②、6～10。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 5 分；共 3 題；共 15 分）

函數

y = f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3

在哪個區間內為遞減？

(A) $[- 5, - 3]$
(B) $[- 3, 0]$
(C) $[0, 2]$
(D) $[2, 3]$
(E) $[3, 5]$

函數

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 2

的圖形，在哪一個區間凹口向上？

(A) $(- 5, - 3)$
(B) $(- 3, 0)$
(C) $(- 1, 2)$
(D) $(1, 3)$
(E) $(3, 5)$

已知

\int_{0}^{4} f (x) d x

為正數，試問下列哪一個選項的積分值為最大？

(A) $\int_{0}^{1} f (4 x) d x$
(B) $\int_{0}^{2} f (2 x) d x$
(C) $\int_{0}^{4} f (x) d x$
(D) $\int_{0}^{8} f (\frac{x}{2}) d x$
(E) $\int_{0}^{16} f (\frac{x}{4}) d x$

二、多選題（每題 7 分；共 3 題；共 21 分。錯 1 個選項得 4 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項以上得 0 分）

下列哪些函數在區間

[- 1, 1]

上為遞增函數？

(A) 見圖 (A)
(B) 見圖 (B)
(C) 見圖 (C)
(D) 見圖 (D)
(E) 見圖 (E)

載入中...

下圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，其中

P

為反曲點。試選出所有正確的選項：

(A) $a > 0$
(B) $b > 0$
(C) $c > 0$
(D) $d > 0$
(E) $b^{2} - 3 a c > 0$

載入中...

設函數

y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - 7

在

x = 2

處有相對極大值

13

，且圖形在

x = \frac{1}{2}

處有反曲點，則下列哪些選項是正確的？

(A) $a = - 3$
(B) $b = 2$
(C) $c = 12$
(D) 相對極小值為 $- 14$
(E) 反曲點坐標為 $(\frac{1}{2}, \frac{- 3}{2})$

三、填充題（每小題 4 分；共 16 小題；共 64 分）

填充第 1 題（第 7～9 題）　函數

f (x)

的圖形是由一個半圓及四個線段所組合而成，如下圖所示，試求：

①

\int_{- 2}^{2} f (x) d x =

____

載入中...

②

\int_{2}^{4} f (x) d x =

____

③

\int_{4}^{6} f (x) d x =

____

設

a

為實數，

f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + (a + 2) x + 6

恆為嚴格遞增函數，則

a

的範圍為 ____。

填充第 3 題（第 11～14 題）　設

y = f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4

，

x \in R

。試求：

①

y = f (x)

之相對極大點坐標為 ____。

②

y = f (x)

之相對極小點坐標為 ____。

③

y = f (x)

之反曲點坐標為 ____。

④ 若方程式

f (x) = k

有三個相異實根，則實數

k

之範圍為 ____。

試求三次多項式函數

y = f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 5

圖形的對稱中心坐標為 ____。

填充第 5 題（第 16～17 題）　設

f (x)

和

g (x)

在

[- 1, 2]

連續。已知

\int_{- 1}^{2} f (x) d x = - 3

，

\int_{- 1}^{2} g (x) d x = 7

，試求：

①

\int_{2}^{- 1} f (x) d x =

____。

②

\int_{- 1}^{2} [3 f (x) - 2 g (x)] d x =

____。

設兩函數

f (x) = - x + 8

與

g (x) = x + 2

的圖形與

x = 0

、

x = 2

所圍成的區域為

R

，試求區域

R

的面積為 ____。

試求兩拋物線

y = x^{2}

與

y = 6 x - x^{2}

所圍成區域的面積為 ____。

坐標平面上，已知函數

f (x) = 4 x^{3} + x - 2

的圖形以

A (1, 3)

為切點的切線為

L

，則以切線

L

及曲線

y = f (x)

為界所圍成區域的面積為 ____。

試求

y = \frac{x}{2}

的圖形與直線

x = 2

，

x = 6

及

x

軸所圍成區域繞

x

軸旋轉所得之旋轉體的體積為 ____。

試求

y = x^{2}

與

x = y^{2}

所圍成之區域為

R

繞

x

軸旋轉時所產生的旋轉體體積為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(E)

第 3 題(E)

第 4 題(A)(C)(D)（若「遞增」指嚴格遞增則為 (A)(C)）

第 5 題(C)(E)

第 6 題(C)(D)

第 7 題

2 π

第 8 題

- 1

第 9 題

2

第 10 題

a \geq 1

第 11 題

(- 1, \frac{17}{3})

第 12 題

(3, - 5)

第 13 題

(1, \frac{1}{3})

第 14 題

- 5 < k < \frac{17}{3}

第 15 題

(- 1, 5)

第 16 題

3

第 17 題

- 23

第 18 題

8

第 19 題

9

第 20 題

27

第 21 題

\frac{52 π}{3}

第 22 題

\frac{3 π}{10}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01第 1～3 題（單選）：遞減區間、凹口方向、伸縮後的定積分

第 1 題答案 (C)。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

。當

0 \leq x \leq 2

時

f^{'} (x) \leq 0

，只在兩端點等於

0

，所以

f (x)

在

[0, 2]

上遞減；在

x \leq 0

或

x \geq 2

時

f^{'} (x) \geq 0

，函數遞增。五個區間中只有

[0, 2]

落在遞減的範圍內。

(A)(B) 在

x \leq 0

，(D)(E) 在

x \geq 2

，那裡函數都是遞增。

第 2 題答案 (E)。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x

，

f^{''} (x) = 6 x - 12

。凹口向上

⟺ f^{''} (x) > 0 ⟺ x > 2

。五個區間中只有

(3, 5)

整段都在

x > 2

內。

(D) 的

(1, 3)

跨過反曲點

x = 2

，前半段凹口向下，不算。

第 3 題答案 (E)。設

I = \int_{0}^{4} f (x) d x > 0

。

y = f (\frac{x}{2})

的圖形是把

y = f (x)

的圖形以

y

軸為基準水平伸長為

2

倍，

x

從

0

到

8

對應原來的

0

到

4

；每一小塊的寬度變為

2

倍、高度不變，所以帶正負號的面積也變為

2

倍：

\int_{0}^{8} f (\frac{x}{2}) d x = 2 I

。同理

\int_{0}^{16} f (\frac{x}{4}) d x = 4 I

，

\int_{0}^{2} f (2 x) d x = \frac{1}{2} I

（水平壓縮為一半），

\int_{0}^{1} f (4 x) d x = \frac{1}{4} I

。五個值是

\frac{1}{4} I

、

\frac{1}{2} I

、

I

、

2 I

、

4 I

，因為

I > 0

，最大的是

4 I

。

若

I

是負數，大小順序會整個反過來；題目說

I

為正數就是為了排除這種情形。

f 的導數小於等於 0 的區間遞減；二階導數大於 0 凹口向上；圖形水平伸長幾倍，定積分就變幾倍。

02第 4～6 題（多選）：看圖判斷遞增與係數、由條件決定三次函數

第 4 題

答案 (A)(C)(D)。本卷採用的定義（由填充 2 特別寫「嚴格遞增」可見）：在區間上任取 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，稱為遞增函數；都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 才稱為嚴格遞增。

(A) 正確。 圖形是往右上升的直線，在 $[- 1, 1]$ 上 $x$ 越大函數值越大。

(B) 錯誤。 在 $x = - 1$ 到 $x = 1$ 這一段，線段往右下降， $f (- 1) > f (1)$ 。

(D) 正確。 在 $[- 1, 1]$ 上是水平線段，函數值不變，任取 $x_{1} < x_{2}$ 都有 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，滿足 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，所以是遞增函數（但不是嚴格遞增）。

(E) 錯誤。 拋物線在 $x = 0$ 處最低，在 $[- 1, 0]$ 上往右下降， $f (- 1) > f (0)$ 。

本卷填充第 2 題特別用粗體寫「嚴格遞增函數」，可見本卷的「遞增」不要求嚴格，(D) 要選。若把「遞增」當成嚴格遞增，(D) 不選，答案為 (A)(C)。

第 5 題

答案 (C)(E)。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ， $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ 。

(A) 錯誤。 圖形最右邊往下延伸（ $x$ 很大時 $f (x)$ 很小），三次項係數 $a < 0$ 。

(B) 錯誤。 反曲點的 $x$ 坐標是 $f^{''} (x) = 0$ 的解 $x = - \frac{b}{3 a}$ 。圖上 $P$ 在 $y$ 軸左側，所以 $- \frac{b}{3 a} < 0$ ，即 $\frac{b}{3 a} > 0$ ， $b$ 與 $a$ 同號； $a < 0$ ，所以 $b < 0$ 。

(D) 錯誤。 $d = f (0)$ ，是圖形與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標，圖上這個交點在原點下方， $d < 0$ 。

(E) 正確。 圖形有一個相對極大和一個相對極小，表示 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ 有兩相異實根，判別式 $(2 b)^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot c = 4 (b^{2} - 3 a c) > 0$ ，所以 $b^{2} - 3 a c > 0$ 。

判斷

b

的正負要靠反曲點的位置，並且要先知道

a

的正負，不能單看圖形的某一段。

第 6 題

答案 (C)(D)。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ， $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ 。由題意：

$f^{'} (2) = 12 a + 4 b + c = 0$ ； $f (2) = 8 a + 4 b + 2 c - 7 = 13$ ，即 $4 a + 2 b + c = 10$ ； $f^{''} (\frac{1}{2}) = 3 a + 2 b = 0$ 。

前兩式相減得 $8 a + 2 b = - 10$ ，再與 $3 a + 2 b = 0$ 相減得 $5 a = - 10$ ， $a = - 2$ ， $b = 3$ ， $c = 10 - 4 a - 2 b = 10 + 8 - 6 = 12$ 。所以 $f (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 7$ 。

檢查： $f^{'} (x) = - 6 x^{2} + 6 x + 12 = - 6 (x - 2) (x + 1)$ ，在 $x = 2$ 左邊為正、右邊為負，確實是相對極大， $f (2) = - 16 + 12 + 24 - 7 = 13$ 。

(A) 錯誤。 $a = - 2$ 。

(B) 錯誤。 $b = 3$ 。

(D) 正確。 $f^{'} (x)$ 在 $x = - 1$ 左邊為負、右邊為正，相對極小值為 $f (- 1) = 2 + 3 - 12 - 7 = - 14$ 。

(E) 錯誤。 $f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 6 - 7 = - \frac{1}{2}$ ，反曲點為 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ ，不是 $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ 。

反曲點也可以用「三次函數的反曲點是兩個極值點的中點」檢查：

\frac{2 + ( - 1 )}{2} = \frac{1}{2}

，

\frac{13 + ( - 14 )}{2} = - \frac{1}{2}

。

看圖判斷三次函數：右端往下則 a 小於 0；與 y 軸交點給 d；在 x 等於 0 處的升降給 c；反曲點位置給 b。

03第 7～10 題（填充第 1、2 題）：用面積算定積分、恆為嚴格遞增

第 7 題在

- 2 \leq x \leq 2

上，

f (x)

的圖形是以原點為圓心、半徑

2

的上半圓，在

x

軸上方。定積分等於半圓面積：

\frac{1}{2} \cdot π \cdot 2^{2} = 2 π

。

半圓的端點

(- 2, 0)

、

(2, 0)

與頂點

(0, 2)

都可從圖上讀出，半徑是

2

。

第 8 題在

2 \leq x \leq 4

上，圖形是

(2, 0)

到

(3, - 1)

再到

(4, 0)

的兩條線段（

(3, - 1)

到

(6, 2)

的線段斜率為

1

，與

x

軸交於

(4, 0)

），和

x

軸圍成底

2

、高

1

的三角形，在

x

軸下方。面積

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1

，取負號，定積分為

- 1

。

區域在

x

軸下方時，定積分是面積的相反數。

第 9 題在

4 \leq x \leq 6

上，圖形是

(4, 0)

到

(6, 2)

的線段，和

x

軸、直線

x = 6

圍成底

2

、高

2

的直角三角形，在

x

軸上方。定積分為

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2

。

線段過

(3, - 1)

與

(6, 2)

，斜率

\frac{2 - ( - 1 )}{6 - 3} = 1

，方程式

y = x - 4

，與

x

軸交於

x = 4

。

第 10 題

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 6 x + (a + 2)$ 。

若 $a = 0$ ： $f^{'} (x) = 6 x + 2$ ，在 $x < - \frac{1}{3}$ 時為負，函數會遞減，不合。

若 $a \neq = 0$ ： $f$ 要嚴格遞增， $f^{'} (x)$ 這個二次函數不能有取負值的地方，所以 $a > 0$ （開口向上），且判別式 $6^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot (a + 2) \leq 0$ ，即 $36 - 12 a^{2} - 24 a \leq 0$ ， $a^{2} + 2 a - 3 \geq 0$ ， $(a + 3) (a - 1) \geq 0$ ，得 $a \geq 1$ 或 $a \leq - 3$ ；配合 $a > 0$ ，得 $a \geq 1$ 。

判別式等於 $0$ （ $a = 1$ ）時， $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3 = 3 (x + 1)^{2}$ ，只有在 $x = - 1$ 這一點等於 $0$ ，其餘都大於 $0$ ；此時 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 6 = (x + 1)^{3} + 5$ ，確實是嚴格遞增。所以 $a \geq 1$ 。

導數只在個別的點等於

0

、其餘都大於

0

時，函數仍是嚴格遞增，所以

a = 1

要算進去；寫成

a > 1

會漏掉。

定積分等於帶正負號的面積：x 軸上方取正、下方取負；恆為嚴格遞增的三次函數，導數的判別式可以等於 0。

04第 11～15 題（填充第 3、4 題）：極值、反曲點、實根個數與對稱中心

第 11 題

f^{'} (x) = x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)

。

x < - 1

時

f^{'} (x) > 0

，

- 1 < x < 3

時

f^{'} (x) < 0

，

x > 3

時

f^{'} (x) > 0

，所以

x = - 1

是相對極大點。

f (- 1) = - \frac{1}{3} - 1 + 3 + 4 = \frac{17}{3}

，相對極大點為

(- 1, \frac{17}{3})

。

題目問的是「點坐標」，要寫出

x

、

y

兩個坐標。

第 12 題承上，

x = 3

是相對極小點。

f (3) = 9 - 9 - 9 + 4 = - 5

，相對極小點為

(3, - 5)

。

f^{'}

在

x = 3

由負變正，是極小。

第 13 題

f^{''} (x) = 2 x - 2

，在

x = 1

等於

0

且由負變正。

f (1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 + 4 = \frac{1}{3}

，反曲點為

(1, \frac{1}{3})

。

檢查：反曲點是兩個極值點的中點，

\frac{- 1 + 3}{2} = 1

，

\frac{1}{2} (\frac{17}{3} - 5) = \frac{1}{3}

。

第 14 題

f (x) = k

的實根就是

y = f (x)

與水平線

y = k

的交點的

x

坐標。三次函數圖形先升到極大值

\frac{17}{3}

、降到極小值

- 5

、再上升，水平線介於兩個極值之間時才會與圖形交於三點。所以

- 5 < k < \frac{17}{3}

。

k

等於極大值或極小值時，水平線與圖形相切，只有兩個相異實根，所以兩端不能取等號。

第 15 題三次函數圖形的對稱中心就是反曲點。

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x + 2

，

f^{''} (x) = 6 x + 6

，

f^{''} (x) = 0

得

x = - 1

。

f (- 1) = - 1 + 3 - 2 + 5 = 5

，對稱中心為

(- 1, 5)

。

也可以用

x = - \frac{b}{3 a} = - \frac{3}{3} = - 1

直接找出對稱中心的

x

坐標。

一階導數變號找極值，二階導數變號找反曲點；三次函數的反曲點就是對稱中心，也是兩極值點的中點。

05第 16～20 題（填充第 5～8 題）：定積分的性質與面積

第 16 題上下限交換，定積分變號：

\int_{2}^{- 1} f (x) d x = - \int_{- 1}^{2} f (x) d x = - (- 3) = 3

。

不要漏掉變號：答案是

3

，不是

- 3

。

第 17 題由定積分的線性性質，

\int_{- 1}^{2} [3 f (x) - 2 g (x)] d x = 3 \int_{- 1}^{2} f (x) d x - 2 \int_{- 1}^{2} g (x) d x = 3 \cdot (- 3) - 2 \cdot 7 = - 23

。

常數倍可以提出積分號外，和差可以分開積分。

第 18 題在

0 \leq x \leq 2

上，

f (x) - g (x) = (- x + 8) - (x + 2) = 6 - 2 x

，在

x = 2

時等於

2

，整段都大於

0

，所以

f

的圖形在上方。面積

\int_{0}^{2} (6 - 2 x) d x = [6 x - x^{2}]_{0}^{2} = 12 - 4 = 8

。

兩直線交於

x = 3

，不在

[0, 2]

內，所以不必分段。區域是梯形，上底

6

、下底

2

、高

2

，面積

\frac{( 6 + 2 ) \cdot 2}{2} = 8

，可用來檢查。

第 19 題交點：

x^{2} = 6 x - x^{2}

，

2 x^{2} - 6 x = 0

，

x = 0

或

3

。在

0 \leq x \leq 3

上，

(6 x - x^{2}) - x^{2} = 6 x - 2 x^{2} = 2 x (3 - x) \geq 0

。面積

\int_{0}^{3} (6 x - 2 x^{2}) d x = [3 x^{2} - \frac{2}{3} x^{3}]_{0}^{3} = 27 - 18 = 9

。

被積函數是上面的曲線減下面的曲線，交點就是積分的上下限。

第 20 題

$f (1) = 4 + 1 - 2 = 3$ ， $A$ 在圖形上。 $f^{'} (x) = 12 x^{2} + 1$ ，切線斜率 $f^{'} (1) = 13$ ，切線 $L$ ： $y - 3 = 13 (x - 1)$ ，即 $y = 13 x - 10$ 。

求曲線與切線的交點： $f (x) - (13 x - 10) = 4 x^{3} - 12 x + 8 = 4 (x^{3} - 3 x + 2) = 4 (x - 1)^{2} (x + 2)$ ，交點的 $x$ 坐標為 $1$ （切點）與 $- 2$ 。在 $- 2 \leq x \leq 1$ 上 $4 (x - 1)^{2} (x + 2) \geq 0$ ，曲線在切線上方。

面積 $\int_{- 2}^{1} (4 x^{3} - 12 x + 8) d x = [x^{4} - 6 x^{2} + 8 x]_{- 2}^{1} = (1 - 6 + 8) - (16 - 24 - 16) = 3 - (- 24) = 27$ 。

因為切點是重根，

x^{3} - 3 x + 2

一定有

(x - 1)^{2}

的因式，用綜合除法可得另一個因式

x + 2

。

兩曲線所圍的面積：先求交點當上下限，再積上面減下面；切線與曲線相交時，切點是重根。

06第 21、22 題（填充第 9、10 題）：旋轉體體積

第 21 題區域在

x

軸上方，繞

x

軸旋轉時，每個截面是半徑

\frac{x}{2}

的圓。體積

= π \int_{2}^{6} (\frac{x}{2})^{2} d x = \frac{π}{4} [\frac{x ^{3}}{3}]_{2}^{6} = \frac{π}{4} \cdot \frac{216 - 8}{3} = \frac{52 π}{3}

。

旋轉體是圓錐臺，也可以用公式

\frac{π h}{3} (r_{1}^{2} + r_{1} r_{2} + r_{2}^{2}) = \frac{4 π}{3} (1 + 3 + 9) = \frac{52 π}{3}

檢查（

h = 4

，

r_{1} = 1

，

r_{2} = 3

）。

第 22 題

x = y^{2}

在第一象限的部分是

y = x

。兩曲線交於

(0, 0)

與

(1, 1)

，在

0 \leq x \leq 1

上

x \geq x^{2} \geq 0

。區域

R

繞

x

軸旋轉得到中空的旋轉體，外半徑

x

、內半徑

x^{2}

。體積

= π \int_{0}^{1} (x - x^{4}) d x = π (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) = \frac{3 π}{10}

。

中空旋轉體是「外半徑平方減內半徑平方」，不是

(x - x^{2})^{2}

。

x = y^{2}

的下半支

y = - x

與

y = x^{2}

只交於原點，不圍出別的區域。

繞 x 軸旋轉：實心用半徑平方，中空用外半徑平方減內半徑平方，再乘以圓周率積分。

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常見問題

溪湖高中 112 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 112 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題（多選第 1 題）：在區間上是水平線段的 (D) 依本卷採用的定義也算遞增，若當成嚴格遞增就不選。第 10 題（填充第 2 題）：a 等於 1 時導數只在一點為 0，仍是嚴格遞增，要算進去。第 5 題（多選第 2 題）：b 的正負要靠反曲點位置並配合 a 小於 0 判斷。第 20 題（填充第 8 題）：切點是重根，先因式分解找另一個交點。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自溪湖高中 112 學年度上學期高三第二次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：微分的應用與積分（遞增遞減、凹口方向、極值、反曲點、對稱中心、定積分、面積、旋轉體體積）

溪湖高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

一、單選題（每題 5 分；共 3 題；共 15 分）

函數

y = f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3

在哪個區間內為遞減？

(A) $[- 5, - 3]$
(B) $[- 3, 0]$
(C) $[0, 2]$
(D) $[2, 3]$
(E) $[3, 5]$

函數

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 2

的圖形，在哪一個區間凹口向上？

(A) $(- 5, - 3)$
(B) $(- 3, 0)$
(C) $(- 1, 2)$
(D) $(1, 3)$
(E) $(3, 5)$

已知

\int_{0}^{4} f (x) d x

為正數，試問下列哪一個選項的積分值為最大？

(A) $\int_{0}^{1} f (4 x) d x$
(B) $\int_{0}^{2} f (2 x) d x$
(C) $\int_{0}^{4} f (x) d x$
(D) $\int_{0}^{8} f (\frac{x}{2}) d x$
(E) $\int_{0}^{16} f (\frac{x}{4}) d x$

二、多選題（每題 7 分；共 3 題；共 21 分。錯 1 個選項得 4 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項以上得 0 分）

下列哪些函數在區間

[- 1, 1]

上為遞增函數？

(A) 見圖 (A)
(B) 見圖 (B)
(C) 見圖 (C)
(D) 見圖 (D)
(E) 見圖 (E)

載入中...

下圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，其中

P

為反曲點。試選出所有正確的選項：

(A) $a > 0$
(B) $b > 0$
(C) $c > 0$
(D) $d > 0$
(E) $b^{2} - 3 a c > 0$

載入中...

設函數

y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - 7

在

x = 2

處有相對極大值

13

，且圖形在

x = \frac{1}{2}

處有反曲點，則下列哪些選項是正確的？

(A) $a = - 3$
(B) $b = 2$
(C) $c = 12$
(D) 相對極小值為 $- 14$
(E) 反曲點坐標為 $(\frac{1}{2}, \frac{- 3}{2})$

三、填充題（每小題 4 分；共 16 小題；共 64 分）

填充第 1 題（第 7～9 題）　函數

f (x)

的圖形是由一個半圓及四個線段所組合而成，如下圖所示，試求：

①

\int_{- 2}^{2} f (x) d x =

____

載入中...

②

\int_{2}^{4} f (x) d x =

____

③

\int_{4}^{6} f (x) d x =

____

設

a

為實數，

f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + (a + 2) x + 6

恆為嚴格遞增函數，則

a

的範圍為 ____。

填充第 3 題（第 11～14 題）　設

y = f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4

，

x \in R

。試求：

①

y = f (x)

之相對極大點坐標為 ____。

②

y = f (x)

之相對極小點坐標為 ____。

③

y = f (x)

之反曲點坐標為 ____。

④ 若方程式

f (x) = k

有三個相異實根，則實數

k

之範圍為 ____。

試求三次多項式函數

y = f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 5

圖形的對稱中心坐標為 ____。

填充第 5 題（第 16～17 題）　設

f (x)

和

g (x)

在

[- 1, 2]

連續。已知

\int_{- 1}^{2} f (x) d x = - 3

，

\int_{- 1}^{2} g (x) d x = 7

，試求：

①

\int_{2}^{- 1} f (x) d x =

____。

②

\int_{- 1}^{2} [3 f (x) - 2 g (x)] d x =

____。

設兩函數

f (x) = - x + 8

與

g (x) = x + 2

的圖形與

x = 0

、

x = 2

所圍成的區域為

R

，試求區域

R

的面積為 ____。

試求兩拋物線

y = x^{2}

與

y = 6 x - x^{2}

所圍成區域的面積為 ____。

坐標平面上，已知函數

f (x) = 4 x^{3} + x - 2

的圖形以

A (1, 3)

為切點的切線為

L

，則以切線

L

及曲線

y = f (x)

為界所圍成區域的面積為 ____。

試求

y = \frac{x}{2}

的圖形與直線

x = 2

，

x = 6

及

x

軸所圍成區域繞

x

軸旋轉所得之旋轉體的體積為 ____。

試求

y = x^{2}

與

x = y^{2}

所圍成之區域為

R

繞

x

軸旋轉時所產生的旋轉體體積為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(E)

第 3 題(E)

第 4 題(A)(C)(D)（若「遞增」指嚴格遞增則為 (A)(C)）

第 5 題(C)(E)

第 6 題(C)(D)

第 7 題

2 π

第 8 題

- 1

第 9 題

2

第 10 題

a \geq 1

第 11 題

(- 1, \frac{17}{3})

第 12 題

(3, - 5)

第 13 題

(1, \frac{1}{3})

第 14 題

- 5 < k < \frac{17}{3}

第 15 題

(- 1, 5)

第 16 題

3

第 17 題

- 23

第 18 題

8

第 19 題

9

第 20 題

27

第 21 題

\frac{52 π}{3}

第 22 題

\frac{3 π}{10}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～3 題（單選）：遞減區間、凹口方向、伸縮後的定積分

第 1 題答案 (C)。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

。當

0 \leq x \leq 2

時

f^{'} (x) \leq 0

，只在兩端點等於

0

，所以

f (x)

在

[0, 2]

上遞減；在

x \leq 0

或

x \geq 2

時

f^{'} (x) \geq 0

，函數遞增。五個區間中只有

[0, 2]

落在遞減的範圍內。

(A)(B) 在

x \leq 0

，(D)(E) 在

x \geq 2

，那裡函數都是遞增。

第 2 題答案 (E)。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x

，

f^{''} (x) = 6 x - 12

。凹口向上

⟺ f^{''} (x) > 0 ⟺ x > 2

。五個區間中只有

(3, 5)

整段都在

x > 2

內。

(D) 的

(1, 3)

跨過反曲點

x = 2

，前半段凹口向下，不算。

第 3 題答案 (E)。設

I = \int_{0}^{4} f (x) d x > 0

。

y = f (\frac{x}{2})

的圖形是把

y = f (x)

的圖形以

y

軸為基準水平伸長為

2

倍，

x

從

0

到

8

對應原來的

0

到

4

；每一小塊的寬度變為

2

倍、高度不變，所以帶正負號的面積也變為

2

倍：

\int_{0}^{8} f (\frac{x}{2}) d x = 2 I

。同理

\int_{0}^{16} f (\frac{x}{4}) d x = 4 I

，

\int_{0}^{2} f (2 x) d x = \frac{1}{2} I

（水平壓縮為一半），

\int_{0}^{1} f (4 x) d x = \frac{1}{4} I

。五個值是

\frac{1}{4} I

、

\frac{1}{2} I

、

I

、

2 I

、

4 I

，因為

I > 0

，最大的是

4 I

。

若

I

是負數，大小順序會整個反過來；題目說

I

為正數就是為了排除這種情形。

f 的導數小於等於 0 的區間遞減；二階導數大於 0 凹口向上；圖形水平伸長幾倍，定積分就變幾倍。

02第 4～6 題（多選）：看圖判斷遞增與係數、由條件決定三次函數

第 4 題

(A) 正確。 圖形是往右上升的直線，在 $[- 1, 1]$ 上 $x$ 越大函數值越大。

(B) 錯誤。 在 $x = - 1$ 到 $x = 1$ 這一段，線段往右下降， $f (- 1) > f (1)$ 。

(E) 錯誤。 拋物線在 $x = 0$ 處最低，在 $[- 1, 0]$ 上往右下降， $f (- 1) > f (0)$ 。

本卷填充第 2 題特別用粗體寫「嚴格遞增函數」，可見本卷的「遞增」不要求嚴格，(D) 要選。若把「遞增」當成嚴格遞增，(D) 不選，答案為 (A)(C)。

第 5 題

答案 (C)(E)。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ， $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ 。

(A) 錯誤。 圖形最右邊往下延伸（ $x$ 很大時 $f (x)$ 很小），三次項係數 $a < 0$ 。

(D) 錯誤。 $d = f (0)$ ，是圖形與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標，圖上這個交點在原點下方， $d < 0$ 。

判斷

b

的正負要靠反曲點的位置，並且要先知道

a

的正負，不能單看圖形的某一段。

第 6 題

答案 (C)(D)。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ， $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ 。由題意：

$f^{'} (2) = 12 a + 4 b + c = 0$ ； $f (2) = 8 a + 4 b + 2 c - 7 = 13$ ，即 $4 a + 2 b + c = 10$ ； $f^{''} (\frac{1}{2}) = 3 a + 2 b = 0$ 。

檢查： $f^{'} (x) = - 6 x^{2} + 6 x + 12 = - 6 (x - 2) (x + 1)$ ，在 $x = 2$ 左邊為正、右邊為負，確實是相對極大， $f (2) = - 16 + 12 + 24 - 7 = 13$ 。

(A) 錯誤。 $a = - 2$ 。

(B) 錯誤。 $b = 3$ 。

(D) 正確。 $f^{'} (x)$ 在 $x = - 1$ 左邊為負、右邊為正，相對極小值為 $f (- 1) = 2 + 3 - 12 - 7 = - 14$ 。

(E) 錯誤。 $f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 6 - 7 = - \frac{1}{2}$ ，反曲點為 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ ，不是 $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ 。

反曲點也可以用「三次函數的反曲點是兩個極值點的中點」檢查：

\frac{2 + ( - 1 )}{2} = \frac{1}{2}

，

\frac{13 + ( - 14 )}{2} = - \frac{1}{2}

。

看圖判斷三次函數：右端往下則 a 小於 0；與 y 軸交點給 d；在 x 等於 0 處的升降給 c；反曲點位置給 b。

03第 7～10 題（填充第 1、2 題）：用面積算定積分、恆為嚴格遞增

第 7 題在

- 2 \leq x \leq 2

上，

f (x)

的圖形是以原點為圓心、半徑

2

的上半圓，在

x

軸上方。定積分等於半圓面積：

\frac{1}{2} \cdot π \cdot 2^{2} = 2 π

。

半圓的端點

(- 2, 0)

、

(2, 0)

與頂點

(0, 2)

都可從圖上讀出，半徑是

2

。

第 8 題在

2 \leq x \leq 4

上，圖形是

(2, 0)

到

(3, - 1)

再到

(4, 0)

的兩條線段（

(3, - 1)

到

(6, 2)

的線段斜率為

1

，與

x

軸交於

(4, 0)

），和

x

軸圍成底

2

、高

1

的三角形，在

x

軸下方。面積

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1

，取負號，定積分為

- 1

。

區域在

x

軸下方時，定積分是面積的相反數。

第 9 題在

4 \leq x \leq 6

上，圖形是

(4, 0)

到

(6, 2)

的線段，和

x

軸、直線

x = 6

圍成底

2

、高

2

的直角三角形，在

x

軸上方。定積分為

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2

。

線段過

(3, - 1)

與

(6, 2)

，斜率

\frac{2 - ( - 1 )}{6 - 3} = 1

，方程式

y = x - 4

，與

x

軸交於

x = 4

。

第 10 題

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 6 x + (a + 2)$ 。

若 $a = 0$ ： $f^{'} (x) = 6 x + 2$ ，在 $x < - \frac{1}{3}$ 時為負，函數會遞減，不合。

導數只在個別的點等於

0

、其餘都大於

0

時，函數仍是嚴格遞增，所以

a = 1

要算進去；寫成

a > 1

會漏掉。

定積分等於帶正負號的面積：x 軸上方取正、下方取負；恆為嚴格遞增的三次函數，導數的判別式可以等於 0。

04第 11～15 題（填充第 3、4 題）：極值、反曲點、實根個數與對稱中心

第 11 題

f^{'} (x) = x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)

。

x < - 1

時

f^{'} (x) > 0

，

- 1 < x < 3

時

f^{'} (x) < 0

，

x > 3

時

f^{'} (x) > 0

，所以

x = - 1

是相對極大點。

f (- 1) = - \frac{1}{3} - 1 + 3 + 4 = \frac{17}{3}

，相對極大點為

(- 1, \frac{17}{3})

。

題目問的是「點坐標」，要寫出

x

、

y

兩個坐標。

第 12 題承上，

x = 3

是相對極小點。

f (3) = 9 - 9 - 9 + 4 = - 5

，相對極小點為

(3, - 5)

。

f^{'}

在

x = 3

由負變正，是極小。

第 13 題

f^{''} (x) = 2 x - 2

，在

x = 1

等於

0

且由負變正。

f (1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 + 4 = \frac{1}{3}

，反曲點為

(1, \frac{1}{3})

。

檢查：反曲點是兩個極值點的中點，

\frac{- 1 + 3}{2} = 1

，

\frac{1}{2} (\frac{17}{3} - 5) = \frac{1}{3}

。

第 14 題

f (x) = k

的實根就是

y = f (x)

與水平線

y = k

的交點的

x

坐標。三次函數圖形先升到極大值

\frac{17}{3}

、降到極小值

- 5

、再上升，水平線介於兩個極值之間時才會與圖形交於三點。所以

- 5 < k < \frac{17}{3}

。

k

等於極大值或極小值時，水平線與圖形相切，只有兩個相異實根，所以兩端不能取等號。

第 15 題三次函數圖形的對稱中心就是反曲點。

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x + 2

，

f^{''} (x) = 6 x + 6

，

f^{''} (x) = 0

得

x = - 1

。

f (- 1) = - 1 + 3 - 2 + 5 = 5

，對稱中心為

(- 1, 5)

。

也可以用

x = - \frac{b}{3 a} = - \frac{3}{3} = - 1

直接找出對稱中心的

x

坐標。

一階導數變號找極值，二階導數變號找反曲點；三次函數的反曲點就是對稱中心，也是兩極值點的中點。

05第 16～20 題（填充第 5～8 題）：定積分的性質與面積

第 16 題上下限交換，定積分變號：

\int_{2}^{- 1} f (x) d x = - \int_{- 1}^{2} f (x) d x = - (- 3) = 3

。

不要漏掉變號：答案是

3

，不是

- 3

。

第 17 題由定積分的線性性質，

\int_{- 1}^{2} [3 f (x) - 2 g (x)] d x = 3 \int_{- 1}^{2} f (x) d x - 2 \int_{- 1}^{2} g (x) d x = 3 \cdot (- 3) - 2 \cdot 7 = - 23

。

常數倍可以提出積分號外，和差可以分開積分。

第 18 題在

0 \leq x \leq 2

上，

f (x) - g (x) = (- x + 8) - (x + 2) = 6 - 2 x

，在

x = 2

時等於

2

，整段都大於

0

，所以

f

的圖形在上方。面積

\int_{0}^{2} (6 - 2 x) d x = [6 x - x^{2}]_{0}^{2} = 12 - 4 = 8

。

兩直線交於

x = 3

，不在

[0, 2]

內，所以不必分段。區域是梯形，上底

6

、下底

2

、高

2

，面積

\frac{( 6 + 2 ) \cdot 2}{2} = 8

，可用來檢查。

第 19 題交點：

x^{2} = 6 x - x^{2}

，

2 x^{2} - 6 x = 0

，

x = 0

或

3

。在

0 \leq x \leq 3

上，

(6 x - x^{2}) - x^{2} = 6 x - 2 x^{2} = 2 x (3 - x) \geq 0

。面積

\int_{0}^{3} (6 x - 2 x^{2}) d x = [3 x^{2} - \frac{2}{3} x^{3}]_{0}^{3} = 27 - 18 = 9

。

被積函數是上面的曲線減下面的曲線，交點就是積分的上下限。

第 20 題

$f (1) = 4 + 1 - 2 = 3$ ， $A$ 在圖形上。 $f^{'} (x) = 12 x^{2} + 1$ ，切線斜率 $f^{'} (1) = 13$ ，切線 $L$ ： $y - 3 = 13 (x - 1)$ ，即 $y = 13 x - 10$ 。

面積 $\int_{- 2}^{1} (4 x^{3} - 12 x + 8) d x = [x^{4} - 6 x^{2} + 8 x]_{- 2}^{1} = (1 - 6 + 8) - (16 - 24 - 16) = 3 - (- 24) = 27$ 。

因為切點是重根，

x^{3} - 3 x + 2

一定有

(x - 1)^{2}

的因式，用綜合除法可得另一個因式

x + 2

。

兩曲線所圍的面積：先求交點當上下限，再積上面減下面；切線與曲線相交時，切點是重根。

06第 21、22 題（填充第 9、10 題）：旋轉體體積

第 21 題區域在

x

軸上方，繞

x

軸旋轉時，每個截面是半徑

\frac{x}{2}

的圓。體積

= π \int_{2}^{6} (\frac{x}{2})^{2} d x = \frac{π}{4} [\frac{x ^{3}}{3}]_{2}^{6} = \frac{π}{4} \cdot \frac{216 - 8}{3} = \frac{52 π}{3}

。

旋轉體是圓錐臺，也可以用公式

\frac{π h}{3} (r_{1}^{2} + r_{1} r_{2} + r_{2}^{2}) = \frac{4 π}{3} (1 + 3 + 9) = \frac{52 π}{3}

檢查（

h = 4

，

r_{1} = 1

，

r_{2} = 3

）。

第 22 題

x = y^{2}

在第一象限的部分是

y = x

。兩曲線交於

(0, 0)

與

(1, 1)

，在

0 \leq x \leq 1

上

x \geq x^{2} \geq 0

。區域

R

繞

x

軸旋轉得到中空的旋轉體，外半徑

x

、內半徑

x^{2}

。體積

= π \int_{0}^{1} (x - x^{4}) d x = π (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) = \frac{3 π}{10}

。

中空旋轉體是「外半徑平方減內半徑平方」，不是

(x - x^{2})^{2}

。

x = y^{2}

的下半支

y = - x

與

y = x^{2}

只交於原點，不圍出別的區域。

繞 x 軸旋轉：實心用半徑平方，中空用外半徑平方減內半徑平方，再乘以圓周率積分。

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03第 7～10 題（填充第 1、2 題）：用面積算定積分、恆為嚴格遞增

04第 11～15 題（填充第 3、4 題）：極值、反曲點、實根個數與對稱中心

05第 16～20 題（填充第 5～8 題）：定積分的性質與面積

06第 21、22 題（填充第 9、10 題）：旋轉體體積

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高三第二次段考
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