段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮級數與無窮等比級數、函數的概念、反函數、函數的極限、連續函數）

苑裡高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 12 題（本頁第 24 題）：根號的和沒有公式，要把每一項夾在 k 與 k+1 之間，再用夾擠定理。填充第 11 題（本頁第 23 題）：解不出精確的根，要代整數比大小，用中間值定理確定根落在 18 與 19 之間。填充第 8 題（本頁第 20 題）：等比數列收斂的公比範圍含 1 不含 −1，要解兩個分式不等式再取共同部分，容易漏掉 x 等於 −3。填充第 6 題（本頁第 18 題）：題目沒說數列收斂，要先把數列用已知極限的式子表示出來。單一選擇題第 3 題：一般項趨近 0 的級數不一定收斂。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單一選擇題 5 題，卷面註明與填充題合併計分；多重選擇題 4 題，每題 5 分，答錯一個扣 2 分，扣至 0 分為止，共 20 分；填充題 12 題共 15 格，卷面註明與單一選擇題合併計分。單一選擇題與填充題原卷未印每題（格）配分。答案已與學校公布的答案逐題核對；其中 1 題加了說明（多重選擇題第 4 題，本頁第 9 題：原檔的圖 (A) 走樣，本頁的圖 (A) 是配合學校答案重畫的示意圖）。

一、單一選擇題：與填充題合併計分

已知數列

⟨ a_{n} ⟩

會收斂至

α

，若數列

⟨ b_{n} ⟩

滿足

b_{n} = {n^{2} + a_{n}, 2 a_{n}, n < 100 n \geq 100

，則

n \to \infty lim b_{n} =

？

(A) $100$
(B) $10000 + α$
(C) $α$
(D) $2 α$
(E) 不存在

若

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

均為發散數列，

⟨ c_{n} ⟩

為收斂數列，則下列何者正確？

(A) $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 必為發散數列
(B) $⟨ a_{n} \cdot b_{n} ⟩$ 必為發散數列
(C) $⟨ a_{n} + c_{n} ⟩$ 必為發散數列
(D) $⟨ a_{n} \cdot c_{n} ⟩$ 必為發散數列
(E) $⟨ \frac{c _{n}}{a _{n}} ⟩$ 必為發散數列

下列哪一個無窮級數是收斂級數？

(A) $n = 1 \sum \infty \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{2}$
(B) $n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 n}$
(C) $n = 1 \sum \infty \frac{3 n - 1}{4 ^{n}}$
(D) $n = 1 \sum \infty (n + 1 - n)$
(E) $n = 1 \sum \infty (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \frac{3}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}})$

a = \frac{9}{10} + \frac{9}{1 0 ^{2}} + \frac{9}{1 0 ^{3}} + \dots + \frac{9}{1 0 ^{n}} + \dots

，

b = 0. \overline{9}

，

c = 1

，則下列敘述何者正確？

(A) $a < b < c$
(B) $a = b < c$
(C) $a < b = c$
(D) $b < a < c$
(E) $a = b = c$

若函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2}, k, 當 x \neq = 2 當 x = 2

為連續函數，則實數

k

之值為何？

(A) $5$
(B) $4$
(C) $3$
(D) $2$
(E) $1$

二、多重選擇題：每題 5 分（答錯一個扣 2 分，扣至 0 分為止），共 20 分

下列哪些選項的函數圖形，其

x \to 2 lim f (x)

不存在？（五個選項的圖形見附圖）

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

下列各數列何者為收斂？

(A) $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1} ⟩$
(B) $⟨ \frac{3 ^{2 n} - 5 ^{n}}{2 ^{3 n} + 6 ^{n}} ⟩$
(C) $⟨ \frac{2 ^{n}}{n !} ⟩$
(D) $⟨ \frac{n ^{2} - n}{n + 1} ⟩$
(E) $⟨ cos (nπ + \frac{π}{2}) ⟩$

設

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

為三個無窮數列，試問下列哪些選項是正確的？

(A) 若 $n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n}$ ，則 $n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = 0$ 。
(B) 若 $n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = 0$ ，則 $n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n}$ 。
(C) 若 $n \to \infty lim (a_{n} + b_{n})$ 、 $n \to \infty lim (a_{n} - b_{n})$ 的值都存在，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 都是收斂數列。
(D) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 是收斂數列， $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 是發散數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 必為發散數列。
(E) 若對於任意正整數 $n$ ，都有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，而且 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ c_{n} ⟩$ 都是收斂數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 亦為收斂數列。

下列圖形何者為「

y

是

x

的函數」？（五個選項的圖形見附圖；圖 (A) 為本站重畫的示意圖，說明見詳解）

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

三、填充題：與單一選擇題合併計分

填充第 1 題（第 10～13 題）　試求下列各極限：

【填充 1-(1)】

n \to \infty lim \frac{6 n ^{2} + 5 n + 1}{n ^{2} + 3 n + 2} =

＿＿＿。

【填充 1-(2)】

n \to \infty lim (\frac{1}{2 !} + \frac{2}{3 !} + \frac{3}{4 !} + \dots + \frac{n - 1}{n !}) =

＿＿＿。

【填充 1-(3)】

n \to \infty lim \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \dots + n ^{3}}{n ^{4}} =

＿＿＿。

【填充 1-(4)】

x \to 2 lim (\frac{x ^{2}}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 3 x + 2}) =

＿＿＿。

【填充 2】設函數

f (x) = \frac{x + 3}{x + 4}

，

x \neq = - 4

，則其反函數

f^{- 1} (x) =

＿＿＿。

【填充 3】甲、乙、丙三人按甲乙丙甲乙丙…順序輪流擲二顆公正的骰子，先擲得點數和小於

5

的人獲勝，求甲獲勝的機率為＿＿＿。

【填充 4】求

1 + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + \dots + (1 + 3 + 5 + \dots + 99) =

＿＿＿。

【填充 5】一球自

20

公尺的高處落下，每次反彈高度為其落下高度的

k

倍，

0 < k < 1

。若此皮球至完全靜止時所經過的距離為

80

公尺，則

k

值為＿＿＿。

【填充 6】若數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

n \to \infty lim \frac{5 a _{n} + 1}{3 a _{n} - 2} = 2

，則

n \to \infty lim \frac{7 a _{n} + 5}{3 a _{n} - 5} =

＿＿＿。

【填充 7】若函數

f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 3 x - 4} + 9 - x^{2}

，則

f (x)

之定義域為＿＿＿。

【填充 8】設無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

，且

a_{n} = (\frac{2 x + 1}{3 x + 4})^{n}

，若

⟨ a_{n} ⟩

為收斂，則實數

x

的範圍為＿＿＿。

【填充 9】設

a, b

為實數，若

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} - a x + b} = \frac{3}{7}

，則數對

(a, b) =

＿＿＿。

【填充 10】設

f (x)

為三次多項式函數且

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 2

，則

f (3) =

＿＿＿。

【填充 11】設

x

為一正實數且滿足方程式

x^{2} \cdot 3^{x} = 3^{24}

，設

x

落在連續正整數

k

與

k + 1

之間，則

k =

＿＿＿。

【填充 12】設

a_{n} = 1 \times 3 + 2 \times 4 + 3 \times 5 + \dots + n \times (n + 2)

，

n

為正整數，試求極限

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} =

＿＿＿。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(C)

第 4 題(E)

第 5 題(A)

第 6 題(A)(B)(C)(D)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(A)(C)(D)

第 9 題(A)(C)(D)（照學校公布的答案；圖 (A) 為本站重畫的示意圖，見詳解）

第 10 題

6

第 11 題

1

第 12 題

\frac{1}{4}

第 13 題

8

第 14 題

\frac{3 - 4 x}{x - 1}

，

x \neq = 1

第 15 題

\frac{36}{91}

第 16 題

42925

第 17 題

\frac{3}{5}

第 18 題

4

第 19 題

{x \in R ∣ - 3 \leq x < - 1}

第 20 題

x > - 1

或

x \leq - 3

第 21 題

(- 3, - 10)

第 22 題

10

第 23 題

18

第 24 題

\frac{1}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇題：數列與級數的收斂、循環小數、在一點連續

第 1 題答案 (D)。數列的極限只看

n

很大以後的項，前面有限多項不影響。當

n \geq 100

時

b_{n} = 2 a_{n}

，所以

n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim 2 a_{n} = 2 α

。

第一列的條件是

n < 100

，只有前

99

項。這些項再大也只有有限多項，與極限無關。

第 2 題答案 (C)。(A) 錯：取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，兩個都發散，但

a_{n} + b_{n} = 0

收斂。(B) 錯：取

a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n}

，兩個都發散，但

a_{n} \cdot b_{n} = 1

收斂。(C) 對：假設

⟨ a_{n} + c_{n} ⟩

收斂，因為

⟨ c_{n} ⟩

收斂，兩個收斂數列相減仍收斂，

a_{n} = (a_{n} + c_{n}) - c_{n}

就會收斂，與

⟨ a_{n} ⟩

發散矛盾，所以

⟨ a_{n} + c_{n} ⟩

必發散。(D) 錯：取

c_{n} = 0

，則

a_{n} \cdot c_{n} = 0

收斂。(E) 錯：取

a_{n} = n

、

c_{n} = 0

，則

\frac{c _{n}}{a _{n}} = 0

收斂。

第 3 題答案 (C)。(A) 一般項依序是

0, 1, 0, 1, \dots

，不趨近

0

，級數發散。(B)

\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots)

，括號內

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}

、

\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{2}

、……，每一組都超過

\frac{1}{2}

，部分和可以無限增大，發散。(C) 設部分和

S_{n} = \frac{2}{4} + \frac{5}{4 ^{2}} + \dots + \frac{3 n - 1}{4 ^{n}}

，則

\frac{1}{4} S_{n} = \frac{2}{4 ^{2}} + \dots + \frac{3 n - 4}{4 ^{n}} + \frac{3 n - 1}{4 ^{n + 1}}

，相減得

\frac{3}{4} S_{n} = \frac{2}{4} + 3 (\frac{1}{4 ^{2}} + \dots + \frac{1}{4 ^{n}}) - \frac{3 n - 1}{4 ^{n + 1}} = \frac{3}{4} - \frac{3 ( n + 1 )}{4 ^{n + 1}}

，所以

S_{n} = 1 - \frac{n + 1}{4 ^{n}}

。因為

2^{n} \geq n

，

0 < \frac{n + 1}{4 ^{n}} \leq \frac{2 n}{4 ^{n}} \leq \frac{2}{2 ^{n}}

，右邊趨近

0

，由夾擠定理

\frac{n + 1}{4 ^{n}} \to 0

，所以

S_{n} \to 1

，收斂。(D) 部分和前後相消：

S_{n} = n + 1 - 1

，會無限增大，發散。(E) 一般項

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} \to \frac{1}{2} \neq = 0

，發散。

(D) 的一般項

n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n}

會趨近

0

，級數仍然發散；一般項趨近

0

不代表級數收斂。

第 4 題答案 (E)。

a

是首項

\frac{9}{10}

、公比

\frac{1}{10}

的無窮等比級數，

a = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = 1

。

b = 0. \overline{9} = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots

就是同一個級數，所以

b = 1

。因此

a = b = c = 1

。

第 5 題答案 (A)。

x \neq = 2

時

\frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{x - 2} = x + 3

，所以

x \to 2 lim f (x) = 5

。在

x = 2

連續要

f (2) = x \to 2 lim f (x)

，即

k = 5

。

數列的極限只看後面的項；級數收斂與否看部分和，一般項不趨近 0 就一定發散。

02多重選擇題：由圖形看極限、數列的斂散、極限的性質、函數圖形

第 6 題答案 (A)(B)(C)(D)。

x \to 2 lim f (x)

存在，要

x

從左、右兩邊接近

2

時函數值接近同一個數；

x = 2

那一點本身的函數值不影響。(A) 不存在：左邊接近較高的端點、右邊接近較低的空心點，左、右極限不相等。(B) 不存在：左、右兩段接近的高度仍然不同，中間那個實心點只是

f (2)

。(C) 不存在：左邊接近空心點的高度，右邊的圖形沿虛線

x = 2

無限上升。(D) 不存在：兩邊都沿虛線

x = 2

無限上升，函數值不接近任何一個實數。(E) 存在：兩邊都接近空心點的高度，雖然

f (2)

是上方的實心點，極限仍存在。

(D) 兩邊都無限增大，高中課本把這種情形也歸為極限不存在。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。(A) 收斂：

- \frac{1}{n + 1} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1} \leq \frac{1}{n + 1}

，兩邊都趨近

0

，由夾擠定理極限為

0

。(B) 發散：

\frac{9 ^{n} - 5 ^{n}}{8 ^{n} + 6 ^{n}}

分子、分母同除以

8^{n}

得

\frac{( \frac{9}{8} ) ^{n} - ( \frac{5}{8} ) ^{n}}{1 + ( \frac{6}{8} ) ^{n}}

，分母趨近

1

，分子因

\frac{9}{8} > 1

而無限增大。(C) 收斂：

n \geq 3

時

\frac{2 ^{n}}{n !} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{3} \dots \frac{2}{n} \leq 2 (\frac{2}{3})^{n - 2}

，又

\frac{2 ^{n}}{n !} > 0

，右邊趨近

0

，由夾擠定理極限為

0

。(D) 發散：

\frac{n ^{2} - n}{n + 1} = n - 2 + \frac{2}{n + 1}

，會無限增大。(E) 收斂：

nπ + \frac{π}{2}

是

\frac{π}{2}

的奇數倍，餘弦值恆為

0

，這是常數數列

0, 0, 0, \dots

。

第 8 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：等式表示兩個極限都存在而且相等，設為

L

，則

n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = L - L = 0

。(B) 錯：取

a_{n} = b_{n} = n

，則

a_{n} - b_{n} = 0

，但兩個數列都發散，極限不存在。(C) 對：

a_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) + ( a _{n} - b _{n} )}{2}

、

b_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) - ( a _{n} - b _{n} )}{2}

，都是收斂數列的和、差再乘以常數，所以都收斂。(D) 對：假設

⟨ b_{n} ⟩

收斂，則

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

是兩個收斂數列的和，也收斂，與已知矛盾。(E) 錯：取

a_{n} = - 1

、

c_{n} = 1

、

b_{n} = (- 1)^{n}

，滿足

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

，

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

都收斂，但

⟨ b_{n} ⟩

發散。

(E) 少了「兩邊的極限相等」這個條件；夾擠定理要

n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n}

才能用。

第 9 題答案 (A)(C)(D)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

至多對應一個

y

；在圖形上就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。(A) 曲線由左到右先下降再上升，沒有往回彎，每條鉛直線至多交一點，是。(B) 心形：穿過圖形內部的鉛直線與它交於兩點，不是。(C) 波浪形曲線由左到右一路前進，每條鉛直線至多交一點，是。(D) 階梯形折線的每一段不是水平就是斜向右上，沒有鉛直的線段，每條鉛直線至多交一點，是。(E) 左右來回彎的曲線：鉛直線可以與它交於三點，不是。

我們取得的電子檔裡，圖 (A) 是兩段弧線，照檔案畫出來兩段弧互相交叉、左右範圍重疊，與學校公布的答案不合，推測是檔案轉存時走樣，原圖無法還原。本頁依學校公布的答案，把它重畫成一條先下降再上升的曲線。若你手上的原卷印出來的 (A) 是兩段上下重疊或交叉的弧線，那麼一條鉛直線會與它交於兩點，(A) 就不是函數圖形。

極限存在要左、右兩邊接近同一個數；判斷圖形是不是函數，用鉛直線去掃。

03填充第 1 題：四個極限

第 10 題答案

6

。分子、分母同除以

n^{2}

：

\frac{6 + \frac{5}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n ^{2}}} \to \frac{6}{1} = 6

。

第 11 題答案

1

。把一般項拆開：

\frac{k - 1}{k !} = \frac{k}{k !} - \frac{1}{k !} = \frac{1}{( k - 1 )!} - \frac{1}{k !}

。所以

\frac{1}{2 !} + \frac{2}{3 !} + \dots + \frac{n - 1}{n !} = (\frac{1}{1 !} - \frac{1}{2 !}) + (\frac{1}{2 !} - \frac{1}{3 !}) + \dots + (\frac{1}{( n - 1 )!} - \frac{1}{n !}) = 1 - \frac{1}{n !}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n !} \to 0

，極限為

1

。

第 12 題答案

\frac{1}{4}

。

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}

，所以原式

= \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4 n ^{4}} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n})^{2} \to \frac{1}{4}

。

第 13 題答案

8

。兩項在

x \to 2

時各自的極限都不存在，先通分。

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

，原式

= \frac{x ^{2} ( x - 1 ) - 4}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x ^{3} - x ^{2} - 4}{( x - 1 ) ( x - 2 )}

。分子代

x = 2

得

0

，有因式

x - 2

：

x^{3} - x^{2} - 4 = (x - 2) (x^{2} + x + 2)

。

x \neq = 2

時約去

x - 2

得

\frac{x ^{2} + x + 2}{x - 1}

，代入

x = 2

：

\frac{8}{1} = 8

。

和式的極限先把和求出來（公式或拆項相消）再取極限，不能一項一項分開取。

04填充第 2～5 題：反函數、無窮等比級數的應用、Σ

第 14 題答案

f^{- 1} (x) = \frac{3 - 4 x}{x - 1}

，

x \neq = 1

。令

y = \frac{x + 3}{x + 4}

，則

y (x + 4) = x + 3

，

x y - x = 3 - 4 y

，

x = \frac{3 - 4 y}{y - 1}

（

y \neq = 1

）。把

x

、

y

對調，得

f^{- 1} (x) = \frac{3 - 4 x}{x - 1}

，

x \neq = 1

。

f (x) = 1 - \frac{1}{x + 4}

的函數值不會等於

1

，所以反函數的定義域是

x \neq = 1

。

第 15 題答案

\frac{36}{91}

。兩顆骰子點數和小於

5

（和為

2

、

3

、

4

）的情形有

1 + 2 + 3 = 6

種，擲一次成功的機率

p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

，失敗的機率

\frac{5}{6}

。甲在第

1

、

4

、

7

、… 次擲，甲在第

3 m + 1

次獲勝，表示前

3 m

次都失敗、這一次成功，機率為

(\frac{5}{6})^{3 m} \cdot \frac{1}{6}

。甲獲勝的機率

= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{3} + \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{6} + \dots = \frac{\frac{1}{6}}{1 - \frac{125}{216}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{216}{91} = \frac{36}{91}

。

第 16 題答案

42925

。前

k

個正奇數的和

1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1) = k^{2}

。最後一個括號加到

99 = 2 \cdot 50 - 1

，所以共有

50

個括號，原式

= 1^{2} + 2^{2} + \dots + 5 0^{2} = \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6} = 42925

。

第 17 題答案

\frac{3}{5}

。球先落下

20

公尺，之後每次彈起再落下：第一次彈起

20 k

、落下

20 k

，第二次彈起

20 k^{2}

、落下

20 k^{2}

，……。總距離

= 20 + 2 (20 k + 20 k^{2} + 20 k^{3} + \dots) = 20 + \frac{40 k}{1 - k}

。令它等於

80

：

\frac{40 k}{1 - k} = 60

，

40 k = 60 - 60 k

，

k = \frac{3}{5}

。

除了第一次落下之外，每一段高度都走上、下兩趟，所以等比級數要乘以

2

。

輪流進行、反覆彈跳這類一直重複下去的情境，把每一輪列出來就是無窮等比級數。

05填充第 6～8 題：反求數列的極限、定義域、等比數列的收斂條件

第 18 題答案

4

。令

b_{n} = \frac{5 a _{n} + 1}{3 a _{n} - 2}

，已知

n \to \infty lim b_{n} = 2

。把

a_{n}

用

b_{n}

表示：

b_{n} (3 a_{n} - 2) = 5 a_{n} + 1

，

a_{n} (3 b_{n} - 5) = 2 b_{n} + 1

，

a_{n} = \frac{2 b _{n} + 1}{3 b _{n} - 5}

。分母的極限

3 \cdot 2 - 5 = 1 \neq = 0

，所以

n \to \infty lim a_{n} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{1} = 5

。於是

n \to \infty lim \frac{7 a _{n} + 5}{3 a _{n} - 5} = \frac{7 \cdot 5 + 5}{3 \cdot 5 - 5} = \frac{40}{10} = 4

。

題目沒有說

⟨ a_{n} ⟩

收斂，不能直接設

n \to \infty lim a_{n} = L

代入；先用

b_{n}

表示

a_{n}

，才知道

⟨ a_{n} ⟩

確實收斂到

5

。

第 19 題答案

{x \in R ∣ - 3 \leq x < - 1}

。第一項的根號在分母，要

x^{2} - 3 x - 4 > 0

，即

(x - 4) (x + 1) > 0

，

x < - 1

或

x > 4

。第二項要

9 - x^{2} \geq 0

，即

- 3 \leq x \leq 3

。兩者同時成立：

- 3 \leq x < - 1

。

第 20 題答案

x > - 1

或

x \leq - 3

。

⟨ a_{n} ⟩

是公比

r = \frac{2 x + 1}{3 x + 4}

的等比數列，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。①

r \leq 1

：

\frac{2 x + 1}{3 x + 4} - 1 = \frac{- x - 3}{3 x + 4} \leq 0

，即

\frac{x + 3}{3 x + 4} \geq 0

，得

x \leq - 3

或

x > - \frac{4}{3}

。②

r > - 1

：

\frac{2 x + 1}{3 x + 4} + 1 = \frac{5 x + 5}{3 x + 4} > 0

，得

x < - \frac{4}{3}

或

x > - 1

。取 ①② 的共同部分：

x \leq - 3

或

x > - 1

。

r = 1

時是常數數列，也收斂，所以

x = - 3

要算進去；

r = - 1

（

x = - 1

）時數列在

- 1

、

1

之間跳動，發散。

等比數列收斂的條件是公比大於 −1 且小於等於 1，等號只有 1 那一邊成立。

06填充第 9～12 題：由極限求係數、中間值定理、夾擠定理

第 21 題答案

(a, b) = (- 3, - 10)

。分子

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

在

x \to 2

時趨近

0

。若分母不趨近

0

，極限會是

0

而不是

\frac{3}{7}

，所以分母在

x = 2

也要是

0

：

4 - 2 a + b = 0

，

b = 2 a - 4

。此時

x^{2} - a x + 2 a - 4 = (x - 2) (x + 2 - a)

，

x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{( x - 2 ) ( x + 2 - a )} = \frac{3}{4 - a} = \frac{3}{7}

，得

a = - 3

，

b = 2 (- 3) - 4 = - 10

。

檢查：分母

x^{2} + 3 x - 10 = (x - 2) (x + 5)

，極限

\frac{2 + 1}{2 + 5} = \frac{3}{7}

。

第 22 題答案

10

。

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

而極限存在，所以

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。第一個條件：

x \to 1 lim (x - 2) (p x + q) = - (p + q) = 1

，

p + q = - 1

。第二個條件：

x \to 2 lim (x - 1) (p x + q) = 2 p + q = 2

。解得

p = 3

、

q = - 4

，

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x - 4)

，

f (3) = 2 \cdot 1 \cdot 5 = 10

。

第 23 題答案

18

。令

g (x) = x^{2} \cdot 3^{x}

。

x > 0

時

x^{2}

與

3^{x}

都是正的而且都遞增，所以

g (x)

遞增，方程式

g (x) = 3^{24}

至多一個正根。

g (18) = 1 8^{2} \cdot 3^{18} = 4 \cdot 3^{4} \cdot 3^{18} = 4 \cdot 3^{22}

，而

3^{24} = 9 \cdot 3^{22}

，所以

g (18) < 3^{24}

。

g (19) = 361 \cdot 3^{19}

，而

3^{24} = 243 \cdot 3^{19}

，所以

g (19) > 3^{24}

。

g (x)

是連續函數，由中間值定理，根在

18

與

19

之間，

k = 18

。

怎麼想到

18

：若沒有

x^{2}

，

3^{x} = 3^{24}

的解是

24

；

x^{2}

大約是幾百，相當於

3^{5}

、

3^{6}

左右，所以從

24

往下扣五、六，試

18

、

19

。

第 24 題答案

\frac{1}{2}

。對每個正整數

k

，

k^{2} < k (k + 2) < (k + 1)^{2}

，所以

k < k (k + 2) < k + 1

。把

k = 1, 2, \dots, n

加起來：

\frac{n ( n + 1 )}{2} < a_{n} < \frac{n ( n + 1 )}{2} + n = \frac{n ( n + 3 )}{2}

。同除以

n^{2}

：

\frac{n + 1}{2 n} < \frac{a _{n}}{n ^{2}} < \frac{n + 3}{2 n}

。左、右兩邊的極限都是

\frac{1}{2}

，由夾擠定理

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{2}

。

和求不出來時，把每一項夾在兩個好算的量之間，兩邊的極限相同就用夾擠定理。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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苑裡高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 12 題（本頁第 24 題）：根號的和沒有公式，要把每一項夾在 k 與 k+1 之間，再用夾擠定理。填充第 11 題（本頁第 23 題）：解不出精確的根，要代整數比大小，用中間值定理確定根落在 18 與 19 之間。填充第 8 題（本頁第 20 題）：等比數列收斂的公比範圍含 1 不含 −1，要解兩個分式不等式再取共同部分，容易漏掉 x 等於 −3。填充第 6 題（本頁第 18 題）：題目沒說數列收斂，要先把數列用已知極限的式子表示出來。單一選擇題第 3 題：一般項趨近 0 的級數不一定收斂。詳解逐題寫在本頁。

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03填充第 1 題：四個極限

04填充第 2～5 題：反函數、無窮等比級數的應用、Σ

05填充第 6～8 題：反求數列的極限、定義域、等比數列的收斂條件

06填充第 9～12 題：由極限求係數、中間值定理、夾擠定理

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