段考詳解範圍：複數與多項式方程式（複數平面、極式、n 次方根、實係數多項式方程式）、離散型隨機變數（期望值與變異數、二項分布、幾何分布）

北一女中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、多重選擇題 4 題（每個選項 2 分，共 40 分，答錯不倒扣）、填充題 3 題（每題 6 分，共 18 分）、混合題 3 題（每題 6 分，共 18 分）；滿分 100 分。卷首附公式：二項分布 X～B(n, p) 時 E(X)＝np、Var(X)＝np(1－p)；幾何分布 X～G(p) 時 E(X)＝1/p、Var(X)＝(1－p)/p²。答案卷上，第 12 題寫出答案即可，第 13 題寫出機率分布表即可，第 14 題要寫完整過程。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 6 分，共 24 分）

已知實係數方程式

x^{3} + a x^{2} + b x - 6 = 0

有一根

1 + i

，試問哪一個選項也是此方程式的根？

(1) $2$
(2) $- 2$
(3) $3$
(4) $- 3$
(5) $6$

已知

4 - 2 i

為複數

a

的一個四次方根，試問

a

的另三個四次方根在複數平面上圍成的三角形面積為何？

(1) $103$
(2) $20$
(3) $1010$
(4) $40$
(5) $2010$

設複數平面上五點

P_{k} (cos \frac{2 k π}{5} + i sin \frac{2 k π}{5})

，

k = 0, 1, 2, 3, 4

，試問哪一個選項為

∠ P_{1} P_{3} P_{2}

？

(1) $\frac{π}{10}$
(2) $\frac{π}{5}$
(3) $\frac{3 π}{10}$
(4) $\frac{2 π}{5}$
(5) $\frac{π}{2}$

如右圖，在複數平面上一正六邊形

O A B C D E

，其中

O

為原點，

A (a)

、

B (b)

、

C (c)

、

D (d)

、

E (e)

，試問哪一個選項為

\frac{c - e}{b - a}

？

(1) $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$
(2) $3 i$
(3) $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$
(4) $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$
(5) $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$

載入中...

二、多重選擇題（每個選項 2 分，共 40 分，答錯不倒扣）

設

z = cos 10 0^{\circ} + i sin 10 0^{\circ}

，則下列哪些選項是正確的？（

\overline{z}

為

z

的共軛複數）

(1) $\overline{z}$ 的主輻角為 $26 0^{\circ}$
(2) $z^{4}$ 的主輻角為 $40 0^{\circ}$
(3) $1 + z$ 的主輻角為 $4 0^{\circ}$
(4) $i + z$ 的主輻角為 $9 5^{\circ}$
(5) $z^{2}$ 與 $(\overline{z})^{- 2}$ 的主輻角相等

設

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 3

是一個實係數三次多項式，請問下列哪些選項是正確的？

(1) 若方程式 $f (x) = 0$ 有一整數根，則此根不可能為 $5$ 。
(2) 若 $f (4 + 2 i) = 0$ ，則 $f (4 - 2 i) = 0$
(3) 若 $f (2 - 3 i) = 7$ ，則 $f (2 + 3 i) = - 7$
(4) 方程式 $f (x) = 4$ 至少有一正根
(5) 方程式 $f (x) = 4$ 至少有一負根

某人投擲

1

枚不公正硬幣

30

次，每次硬幣出現正面的機率為

0.4

，各次間互不影響。設隨機變數

X

表示投擲

30

次中出現正面的次數，請問下列哪些選項是正確的？

(1) $X$ 的期望值為 $12$
(2) $X$ 的標準差小於 $3$
(3) $X = 12$ 時，機率最大
(4) $P (X = 11) = P (X = 13)$
(5) $P (X = 13) < P (X = 14)$

某彩卷公司宣稱每張彩卷的中獎機率至少

0.2

，某甲決定每期買一張直到中獎為止，以測試是否拒絕假設「每張彩卷的中獎機率至少

0.2

」。設

X

為中獎時，總共買彩卷的張數。以中獎機率

0.2

測試，設定顯著水準

0.05

，以「

X > k

」為拒絕域。請利用右表判斷下列哪些選項是正確的？

k 9101112 P (X = k) 0.033554 0.026843 0.021474 0.017179 P (X \leq k) 0.865782 0.892626 0.914101 0.931281 k 13141516 P (X = k) 0.013743 0.010995 0.008796 0.007036 P (X \leq k) 0.945024 0.956020 0.964816 0.971853

(1) $P (X = 3) = 0.128$
(2) $P (X > 3) = 0.512$
(3) $P (X > k) = (0.8)^{k - 1}$
(4) 拒絕域為 $X > 14$
(5) 若直到第 $14$ 期才中獎，則拒絕假設。

三、填充題（每題 6 分，共 18 分）

設

X

為一隨機變數，已知

E (X + 4) = 10

，

V a r (2 X + 6) = 16

，則

E (X^{2}) =

____。

設

x

的方程式

(x + 2) (x^{2} - 4 x + a) = 0

3

實根，若

3

實根由小而大排列恰形成一個等差數列，則

a =

____。

一位同學玩遊戲，每局成功機率固定，且各局成功與否互不影響。若她放學後連續玩，直到一局成功就停止，設隨機變數

X

表示共玩的局數。若

V a r (X) = \frac{3}{4}

，則

E (X) =

____。

四、混合題（每題 6 分，共 18 分）

混合題（第 12～14 題）（第 12～14 題）　甲有一箱子，其內有

1

黑球

2

白球共

3

顆；乙有一箱子，其內有

2

黑球

1

白球共

3

顆。每局比賽甲、乙兩人輪流由自己的箱子內隨機取

1

球，取出不放回，由甲先取。當有人取出黑球時，則該局比賽結束，並由取出黑球的人獲勝。隨機變數

X

表示每局比賽結束時，甲、乙兩人取球總個數。

（填充題）每局比賽乙獲勝的機率為 ____。

請寫出隨機變數

X

的機率分布表。

試求隨機變數

X

的期望值與變異數。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(4)(5)

第 6 題(2)(4)

第 7 題(1)(2)(3)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題

40

第 10 題

\frac{20}{9}

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

\frac{5}{9}

第 13 題

P (X = 1) = \frac{1}{3}

，

P (X = 2) = \frac{4}{9}

，

P (X = 3) = \frac{1}{9}

，

P (X = 4) = \frac{1}{9}

第 14 題期望值

2

，變異數

\frac{8}{9}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：虛根成對、四次方根、圓周角、正六邊形

第 1 題答案 (3)。係數都是實數，所以虛根成對：

1 + i

是根，

1 - i

也是根。三次方程式

x^{3} + a x^{2} + b x - 6 = 0

的三根之積為

6

（根與係數關係：三根積

= - \frac{- 6}{1}

）。設第三個根為

r

，則

(1 + i) (1 - i) r = 2 r = 6

，

r = 3

。

也可以這樣看：

1 \pm i

是

x^{2} - 2 x + 2 = 0

的兩根，所以

x^{3} + a x^{2} + b x - 6 = (x^{2} - 2 x + 2) (x - r)

，比較常數項

- 2 r = - 6

，

r = 3

。

第 2 題答案 (2)。令

w = 4 - 2 i

。

a

的四個四次方根是

w

、

w i

、

- w

、

- w i

（每乘一次

i

就繞原點逆時針轉

9 0^{\circ}

，而

(w i)^{4} = w^{4} i^{4} = w^{4} = a

）。四個點到原點的距離都是

∣ w ∣ = 4^{2} + 2^{2} = 25

，是一個正方形的四個頂點，正方形的對角線長

2∣ w ∣ = 45

，面積

= \frac{1}{2} \times 45 \times 45 = 40

。拿掉

w

之後剩下的三個頂點圍成的三角形，恰好是正方形沿一條對角線切開的一半，面積

= \frac{40}{2} = 20

。

不必把

a = (4 - 2 i)^{4}

算出來，只需要

∣4 - 2 i ∣

。另三個根實際上是

2 + 4 i

、

- 4 + 2 i

、

- 2 - 4 i

。

第 3 題答案 (2)。五個點的絕對值都是

1

，輻角依序相差

\frac{2 π}{5}

，所以

P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}

是單位圓的內接正五邊形頂點。

∠ P_{1} P_{3} P_{2}

的頂點

P_{3}

在圓上，是對著弧

P_{1} P_{2}

（不含

P_{3}

的那一段）的圓周角。這段弧所對的圓心角是

\frac{4 π}{5} - \frac{2 π}{5} = \frac{2 π}{5}

，圓周角是圓心角的一半，所以

∠ P_{1} P_{3} P_{2} = \frac{π}{5}

。

角的頂點是中間那個字母

P_{3}

，不是

P_{1}

。

第 4 題答案 (4)。由圖，

O \to A \to B \to C \to D \to E

是逆時針方向。正六邊形每個外角是

6 0^{\circ}

，所以沿著邊走，每換一邊，方向就逆時針轉

6 0^{\circ}

、長度不變。令

ω = cos 6 0^{\circ} + i sin 6 0^{\circ}

，則各邊代表的複數依序是

a

（

O

到

A

）、

b - a = aω

、

c - b = a ω^{2}

、

d - c = a ω^{3} = - a

、

e - d = a ω^{4}

。於是

c - e = - (d - c) - (e - d) = a - a ω^{4} = a (1 - ω^{4})

。

ω^{4} = cos 24 0^{\circ} + i sin 24 0^{\circ} = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

，所以

1 - ω^{4} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i

。又

\frac{1}{ω} = cos 6 0^{\circ} - i sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

，所以

\frac{c - e}{b - a} = \frac{1 - ω ^{4}}{ω} = (\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i) (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i) = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + (\frac{3}{4} - \frac{3 3}{4}) i = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i

。

這個比值的絕對值是

3

（

\overline{E C}

是隔一個頂點的對角線，長為邊長的

3

倍），輻角是

- 3 0^{\circ}

（從

A B

的方向順時針轉

3 0^{\circ}

就是

E C

的方向）。頂點若是順時針排列，答案會變成共軛的

\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i

，所以要先看圖確認方向。

02多選第 5 題：主輻角

第 5 題答案 (1)(4)(5)。主輻角要落在

0^{\circ} \leq θ < 36 0^{\circ}

。(1) 對：

\overline{z} = cos (- 10 0^{\circ}) + i sin (- 10 0^{\circ})

，

- 10 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 26 0^{\circ}

。(2) 錯：由棣美弗定理

z^{4} = cos 40 0^{\circ} + i sin 40 0^{\circ}

，

40 0^{\circ}

超過範圍，主輻角是

40 0^{\circ} - 36 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

。(3) 錯：

∣1∣ = ∣ z ∣ = 1

，原點、

1

、

1 + z

、

z

四點是菱形，對角線平分夾角，所以

1 + z

的輻角是

0^{\circ}

與

10 0^{\circ}

的正中間

5 0^{\circ}

，不是

4 0^{\circ}

。(4) 對：

i = cos 9 0^{\circ} + i sin 9 0^{\circ}

，同理

i + z

的輻角是

9 0^{\circ}

與

10 0^{\circ}

的正中間

9 5^{\circ}

。(5) 對：

z^{2}

的主輻角是

20 0^{\circ}

；

(\overline{z})^{- 2}

的輻角是

(- 10 0^{\circ}) \times (- 2) = 20 0^{\circ}

，兩者相等。

(5) 其實兩個數根本相等：

∣ z ∣ = 1

時

\overline{z} = \frac{1}{z}

，所以

(\overline{z})^{- 2} = z^{2}

。菱形對角線平分夾角的做法，只有兩個複數絕對值相等時才能用。

03多選第 6 題：實係數三次多項式

第 6 題答案 (2)(4)。(1) 錯：題目只說

a, b

是實數，沒說是整數，所以不能用「整數根必整除常數項」來排除

5

。例如

f (x) = (x - 5) (x^{2} + \frac{3}{5}) = x^{3} - 5 x^{2} + \frac{3}{5} x - 3

，

a = - 5

、

b = \frac{3}{5}

都是實數，而

5

是它的整數根。(2) 對：實係數多項式方程式虛根成對。(3) 錯：實係數多項式滿足

f (\overline{z}) = \overline{f (z)}

，所以

f (2 + 3 i) = \overline{f (2 - 3 i)} = \overline{7} = 7

。(4) 對：令

g (x) = f (x) - 4 = x^{3} + a x^{2} + b x - 7

。

g (0) = - 7 < 0

；

g (x)

的最高次項係數為正，

x

取得夠大時

g (x) > 0

。由勘根定理，

g (x) = 0

在

0

的右邊至少有一個實根，即

f (x) = 4

至少有一正根。(5) 錯：例如

g (x) = (x - 7) (x^{2} + 1) = x^{3} - 7 x^{2} + x - 7

，即

a = - 7

、

b = 1

，此時

f (x) = 4

的實根只有

7

，沒有負根。

(1) 是把「整係數一次因式檢驗法」用到實係數上的陷阱。(4)(5) 的差別在

g (0) < 0

：往右走函數值終究會變正，一定穿過

x

軸；往左走函數值本來就是負的，不一定會穿過。

04多選第 7 題：二項分布

第 7 題答案 (1)(2)(3)。

X \sim B (30, 0.4)

。(1) 對：

E (X) = 30 \times 0.4 = 12

。(2) 對：

V a r (X) = 30 \times 0.4 \times 0.6 = 7.2 < 9

，所以標準差

7.2 < 3

。(3)(4)(5) 比相鄰兩項：

P (X = k) = C_{k}^{30} (0.4)^{k} (0.6)^{30 - k}

，所以

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{30 - k}{k + 1} \times \frac{0.4}{0.6} = \frac{2 ( 30 - k )}{3 ( k + 1 )}

。這個比值大於

1

相當於

60 - 2 k > 3 k + 3

，即

k < 11.4

。所以

k \leq 11

時機率遞增、

k \geq 12

時機率遞減：

P (X = 11) < P (X = 12) > P (X = 13) > P (X = 14)

。(3) 對：

X = 12

時機率最大。(5) 錯：

P (X = 13) > P (X = 14)

。(4) 錯：

\frac{P ( X = 13 )}{P ( X = 11 )} = \frac{2 \times 19}{3 \times 12} \times \frac{2 \times 18}{3 \times 13} = \frac{38}{36} \times \frac{36}{39} = \frac{38}{39}

，不等於

1

，所以

P (X = 13) < P (X = 11)

。

p \neq = \frac{1}{2}

時二項分布左右不對稱，離期望值一樣遠的兩個次數機率不會相等。

05多選第 8 題：幾何分布與拒絕域

第 8 題答案 (1)(2)(4)。以中獎機率

0.2

計算時，

X

是幾何分布：第

k

張才中獎表示前

k - 1

張都沒中、第

k

張中，

P (X = k) = (0.8)^{k - 1} \times 0.2

。(1) 對：

P (X = 3) = 0. 8^{2} \times 0.2 = 0.128

。(2) 對：

X > 3

表示前

3

張都沒中，

P (X > 3) = 0. 8^{3} = 0.512

。(3) 錯：

X > k

表示前

k

張都沒中，

P (X > k) = (0.8)^{k}

，不是

(0.8)^{k - 1}

。(4) 對：拒絕域

X > k

的機率要不超過顯著水準

0.05

，而且

k

取符合條件的最小整數。由附表，

P (X > 13) = 1 - 0.945024 = 0.054976 > 0.05

，

P (X > 14) = 1 - 0.956020 = 0.043980 < 0.05

，所以

k = 14

，拒絕域為

X > 14

。(5) 錯：第

14

期才中獎即

X = 14

，不在拒絕域

X > 14

內，不拒絕假設。

表上給的是

P (X \leq k)

，要用

1

去減才是

P (X > k)

。拒絕域是「大於

14

」，

14

本身不算，要到第

15

期以後才中獎才拒絕。

06填充題（第 9～11 題）：期望值與變異數、等差的三根、幾何分布

第 9 題

E (X + 4) = E (X) + 4 = 10

，所以

E (X) = 6

。

V a r (2 X + 6) = 2^{2} V a r (X) = 16

，所以

V a r (X) = 4

。由

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

，

E (X^{2}) = 4 + 6^{2} = 40

。

加常數不改變變異數，乘以

2

則變異數變成

4

倍。

第 10 題三個實根是

- 2

以及

x^{2} - 4 x + a = 0

的兩根

α \leq β

，其中

α + β = 4

、

α β = a

。看

- 2

排在哪裡：若

- 2

在中間，等差中項給

α + β = - 4

，矛盾；若

- 2

最大，則

α + β \leq - 4

，也矛盾。所以

- 2

最小，三根由小到大是

- 2, α, β

，等差的條件是

2 α = - 2 + β

。與

α + β = 4

聯立：

2 α = - 2 + (4 - α)

，

α = \frac{2}{3}

，

β = \frac{10}{3}

。因此

a = α β = \frac{2}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{9}

。

檢查：三根

- 2, \frac{2}{3}, \frac{10}{3}

的公差是

\frac{8}{3}

，確實等差。

第 11 題設每局成功的機率為

p

，則

X

是幾何分布

G (p)

。由卷首公式

V a r (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{3}{4}

，得

4 - 4 p = 3 p^{2}

，即

3 p^{2} + 4 p - 4 = 0

，

(3 p - 2) (p + 2) = 0

。

p

是機率，取

p = \frac{2}{3}

。所以

E (X) = \frac{1}{p} = \frac{3}{2}

。

07混合題（第 12～14 題）：輪流取球

第 12 題甲的箱子是

1

黑

2

白，乙的箱子是

2

黑

1

白，取出不放回，順序是甲、乙、甲、乙。乙獲勝就是第一顆黑球出現在第

2

次或第

4

次取球。第

2

次：甲取到白球、乙取到黑球，機率

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

。第

4

次：甲白、乙白、甲再從剩下的

1

黑

1

白取到白球，此時乙的箱子只剩

2

顆黑球，一定取到黑球，機率

\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{9}

。所以乙獲勝的機率為

\frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}

。

甲雖然先取，但甲的箱子黑球少，獲勝機率只有

1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}

。

第 13 題

X

可能的值是

1, 2, 3, 4

，照取球順序（甲、乙、甲、乙）逐次相乘。①

X = 1

：甲第一次就取到黑球，機率

\frac{1}{3}

。②

X = 2

：甲取到白球、乙取到黑球，機率

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

。③

X = 3

：甲白、乙白，接著甲從剩下的

1

黑

1

白取到黑球，機率

\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{9}

。④

X = 4

：甲白、乙白、甲再取到白球，此時乙的箱子只剩

2

顆黑球，一定取到黑球，機率

\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{9}

。機率分布表如下：

x_{k} P (X = x_{k}) 1 \frac{1}{3} 2 \frac{4}{9} 3 \frac{1}{9} 4 \frac{1}{9}

四個機率的和是

\frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = 1

。

最多取

4

球就一定結束：甲的白球只有

2

顆、乙的白球只有

1

顆。

第 14 題期望值

E (X) = 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{4}{9} + 3 \times \frac{1}{9} + 4 \times \frac{1}{9} = \frac{3 + 8 + 3 + 4}{9} = 2

。變異數

V a r (X) = (1 - 2)^{2} \times \frac{1}{3} + (2 - 2)^{2} \times \frac{4}{9} + (3 - 2)^{2} \times \frac{1}{9} + (4 - 2)^{2} \times \frac{1}{9} = \frac{3}{9} + 0 + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{9}

。

也可以用

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

：

E (X^{2}) = \frac{3 + 16 + 9 + 16}{9} = \frac{44}{9}

，

\frac{44}{9} - 4 = \frac{8}{9}

。

取後不放回的題目，把每一步「箱子裡還剩什麼」寫清楚再逐次相乘；分布表寫完先檢查機率總和是不是 1，再往下算期望值與變異數。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

北一女中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要先由圖確認頂點是逆時針排列，否則會算成共軛；第 6 題選項 (1) 的係數只是實數不是整數，不能用整數根整除常數項來排除；第 7 題選項 (4) 二項分布在機率不是二分之一時不對稱，要用相鄰兩項的比來判斷；第 8 題表上給的是累積機率，要用 1 去減，而且拒絕域不含 14 本身。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 112 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：複數與多項式方程式（複數平面、極式、n 次方根、實係數多項式方程式）、離散型隨機變數（期望值與變異數、二項分布、幾何分布）

北一女中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、單選題（每題 6 分，共 24 分）

已知實係數方程式

x^{3} + a x^{2} + b x - 6 = 0

有一根

1 + i

，試問哪一個選項也是此方程式的根？

(1) $2$
(2) $- 2$
(3) $3$
(4) $- 3$
(5) $6$

已知

4 - 2 i

為複數

a

的一個四次方根，試問

a

的另三個四次方根在複數平面上圍成的三角形面積為何？

(1) $103$
(2) $20$
(3) $1010$
(4) $40$
(5) $2010$

設複數平面上五點

P_{k} (cos \frac{2 k π}{5} + i sin \frac{2 k π}{5})

，

k = 0, 1, 2, 3, 4

，試問哪一個選項為

∠ P_{1} P_{3} P_{2}

？

(1) $\frac{π}{10}$
(2) $\frac{π}{5}$
(3) $\frac{3 π}{10}$
(4) $\frac{2 π}{5}$
(5) $\frac{π}{2}$

如右圖，在複數平面上一正六邊形

O A B C D E

，其中

O

為原點，

A (a)

、

B (b)

、

C (c)

、

D (d)

、

E (e)

，試問哪一個選項為

\frac{c - e}{b - a}

？

(1) $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$
(2) $3 i$
(3) $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$
(4) $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$
(5) $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$

載入中...

二、多重選擇題（每個選項 2 分，共 40 分，答錯不倒扣）

設

z = cos 10 0^{\circ} + i sin 10 0^{\circ}

，則下列哪些選項是正確的？（

\overline{z}

為

z

的共軛複數）

(1) $\overline{z}$ 的主輻角為 $26 0^{\circ}$
(2) $z^{4}$ 的主輻角為 $40 0^{\circ}$
(3) $1 + z$ 的主輻角為 $4 0^{\circ}$
(4) $i + z$ 的主輻角為 $9 5^{\circ}$
(5) $z^{2}$ 與 $(\overline{z})^{- 2}$ 的主輻角相等

設

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 3

是一個實係數三次多項式，請問下列哪些選項是正確的？

(1) 若方程式 $f (x) = 0$ 有一整數根，則此根不可能為 $5$ 。
(2) 若 $f (4 + 2 i) = 0$ ，則 $f (4 - 2 i) = 0$
(3) 若 $f (2 - 3 i) = 7$ ，則 $f (2 + 3 i) = - 7$
(4) 方程式 $f (x) = 4$ 至少有一正根
(5) 方程式 $f (x) = 4$ 至少有一負根

某人投擲

1

枚不公正硬幣

30

次，每次硬幣出現正面的機率為

0.4

，各次間互不影響。設隨機變數

X

表示投擲

30

次中出現正面的次數，請問下列哪些選項是正確的？

(1) $X$ 的期望值為 $12$
(2) $X$ 的標準差小於 $3$
(3) $X = 12$ 時，機率最大
(4) $P (X = 11) = P (X = 13)$
(5) $P (X = 13) < P (X = 14)$

某彩卷公司宣稱每張彩卷的中獎機率至少

0.2

，某甲決定每期買一張直到中獎為止，以測試是否拒絕假設「每張彩卷的中獎機率至少

0.2

」。設

X

為中獎時，總共買彩卷的張數。以中獎機率

0.2

測試，設定顯著水準

0.05

，以「

X > k

」為拒絕域。請利用右表判斷下列哪些選項是正確的？

k 9101112 P (X = k) 0.033554 0.026843 0.021474 0.017179 P (X \leq k) 0.865782 0.892626 0.914101 0.931281 k 13141516 P (X = k) 0.013743 0.010995 0.008796 0.007036 P (X \leq k) 0.945024 0.956020 0.964816 0.971853

(1) $P (X = 3) = 0.128$
(2) $P (X > 3) = 0.512$
(3) $P (X > k) = (0.8)^{k - 1}$
(4) 拒絕域為 $X > 14$
(5) 若直到第 $14$ 期才中獎，則拒絕假設。

三、填充題（每題 6 分，共 18 分）

設

X

為一隨機變數，已知

E (X + 4) = 10

，

V a r (2 X + 6) = 16

，則

E (X^{2}) =

____。

設

x

的方程式

(x + 2) (x^{2} - 4 x + a) = 0

3

實根，若

3

實根由小而大排列恰形成一個等差數列，則

a =

____。

一位同學玩遊戲，每局成功機率固定，且各局成功與否互不影響。若她放學後連續玩，直到一局成功就停止，設隨機變數

X

表示共玩的局數。若

V a r (X) = \frac{3}{4}

，則

E (X) =

____。

四、混合題（每題 6 分，共 18 分）

混合題（第 12～14 題）（第 12～14 題）　甲有一箱子，其內有

1

黑球

2

白球共

3

顆；乙有一箱子，其內有

2

黑球

1

白球共

3

顆。每局比賽甲、乙兩人輪流由自己的箱子內隨機取

1

球，取出不放回，由甲先取。當有人取出黑球時，則該局比賽結束，並由取出黑球的人獲勝。隨機變數

X

表示每局比賽結束時，甲、乙兩人取球總個數。

（填充題）每局比賽乙獲勝的機率為 ____。

請寫出隨機變數

X

的機率分布表。

試求隨機變數

X

的期望值與變異數。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(1)(4)(5)

第 6 題(2)(4)

第 7 題(1)(2)(3)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題

40

第 10 題

\frac{20}{9}

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

\frac{5}{9}

第 13 題

P (X = 1) = \frac{1}{3}

，

P (X = 2) = \frac{4}{9}

，

P (X = 3) = \frac{1}{9}

，

P (X = 4) = \frac{1}{9}

第 14 題期望值

2

，變異數

\frac{8}{9}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：虛根成對、四次方根、圓周角、正六邊形

第 1 題答案 (3)。係數都是實數，所以虛根成對：

1 + i

是根，

1 - i

也是根。三次方程式

x^{3} + a x^{2} + b x - 6 = 0

的三根之積為

6

（根與係數關係：三根積

= - \frac{- 6}{1}

）。設第三個根為

r

，則

(1 + i) (1 - i) r = 2 r = 6

，

r = 3

。

也可以這樣看：

1 \pm i

是

x^{2} - 2 x + 2 = 0

的兩根，所以

x^{3} + a x^{2} + b x - 6 = (x^{2} - 2 x + 2) (x - r)

，比較常數項

- 2 r = - 6

，

r = 3

。

第 2 題答案 (2)。令

w = 4 - 2 i

。

a

的四個四次方根是

w

、

w i

、

- w

、

- w i

（每乘一次

i

就繞原點逆時針轉

9 0^{\circ}

，而

(w i)^{4} = w^{4} i^{4} = w^{4} = a

）。四個點到原點的距離都是

∣ w ∣ = 4^{2} + 2^{2} = 25

，是一個正方形的四個頂點，正方形的對角線長

2∣ w ∣ = 45

，面積

= \frac{1}{2} \times 45 \times 45 = 40

。拿掉

w

之後剩下的三個頂點圍成的三角形，恰好是正方形沿一條對角線切開的一半，面積

= \frac{40}{2} = 20

。

不必把

a = (4 - 2 i)^{4}

算出來，只需要

∣4 - 2 i ∣

。另三個根實際上是

2 + 4 i

、

- 4 + 2 i

、

- 2 - 4 i

。

第 3 題答案 (2)。五個點的絕對值都是

1

，輻角依序相差

\frac{2 π}{5}

，所以

P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}

是單位圓的內接正五邊形頂點。

∠ P_{1} P_{3} P_{2}

的頂點

P_{3}

在圓上，是對著弧

P_{1} P_{2}

（不含

P_{3}

的那一段）的圓周角。這段弧所對的圓心角是

\frac{4 π}{5} - \frac{2 π}{5} = \frac{2 π}{5}

，圓周角是圓心角的一半，所以

∠ P_{1} P_{3} P_{2} = \frac{π}{5}

。

角的頂點是中間那個字母

P_{3}

，不是

P_{1}

。

第 4 題答案 (4)。由圖，

O \to A \to B \to C \to D \to E

是逆時針方向。正六邊形每個外角是

6 0^{\circ}

，所以沿著邊走，每換一邊，方向就逆時針轉

6 0^{\circ}

、長度不變。令

ω = cos 6 0^{\circ} + i sin 6 0^{\circ}

，則各邊代表的複數依序是

a

（

O

到

A

）、

b - a = aω

、

c - b = a ω^{2}

、

d - c = a ω^{3} = - a

、

e - d = a ω^{4}

。於是

c - e = - (d - c) - (e - d) = a - a ω^{4} = a (1 - ω^{4})

。

ω^{4} = cos 24 0^{\circ} + i sin 24 0^{\circ} = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

，所以

1 - ω^{4} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i

。又

\frac{1}{ω} = cos 6 0^{\circ} - i sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

，所以

\frac{c - e}{b - a} = \frac{1 - ω ^{4}}{ω} = (\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i) (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i) = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + (\frac{3}{4} - \frac{3 3}{4}) i = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i

。

這個比值的絕對值是

3

（

\overline{E C}

是隔一個頂點的對角線，長為邊長的

3

倍），輻角是

- 3 0^{\circ}

（從

A B

的方向順時針轉

3 0^{\circ}

就是

E C

的方向）。頂點若是順時針排列，答案會變成共軛的

\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i

，所以要先看圖確認方向。

02多選第 5 題：主輻角

第 5 題答案 (1)(4)(5)。主輻角要落在

0^{\circ} \leq θ < 36 0^{\circ}

。(1) 對：

\overline{z} = cos (- 10 0^{\circ}) + i sin (- 10 0^{\circ})

，

- 10 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 26 0^{\circ}

。(2) 錯：由棣美弗定理

z^{4} = cos 40 0^{\circ} + i sin 40 0^{\circ}

，

40 0^{\circ}

超過範圍，主輻角是

40 0^{\circ} - 36 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

。(3) 錯：

∣1∣ = ∣ z ∣ = 1

，原點、

1

、

1 + z

、

z

四點是菱形，對角線平分夾角，所以

1 + z

的輻角是

0^{\circ}

與

10 0^{\circ}

的正中間

5 0^{\circ}

，不是

4 0^{\circ}

。(4) 對：

i = cos 9 0^{\circ} + i sin 9 0^{\circ}

，同理

i + z

的輻角是

9 0^{\circ}

與

10 0^{\circ}

的正中間

9 5^{\circ}

。(5) 對：

z^{2}

的主輻角是

20 0^{\circ}

；

(\overline{z})^{- 2}

的輻角是

(- 10 0^{\circ}) \times (- 2) = 20 0^{\circ}

，兩者相等。

(5) 其實兩個數根本相等：

∣ z ∣ = 1

時

\overline{z} = \frac{1}{z}

，所以

(\overline{z})^{- 2} = z^{2}

。菱形對角線平分夾角的做法，只有兩個複數絕對值相等時才能用。

03多選第 6 題：實係數三次多項式

第 6 題答案 (2)(4)。(1) 錯：題目只說

a, b

是實數，沒說是整數，所以不能用「整數根必整除常數項」來排除

5

。例如

f (x) = (x - 5) (x^{2} + \frac{3}{5}) = x^{3} - 5 x^{2} + \frac{3}{5} x - 3

，

a = - 5

、

b = \frac{3}{5}

都是實數，而

5

是它的整數根。(2) 對：實係數多項式方程式虛根成對。(3) 錯：實係數多項式滿足

f (\overline{z}) = \overline{f (z)}

，所以

f (2 + 3 i) = \overline{f (2 - 3 i)} = \overline{7} = 7

。(4) 對：令

g (x) = f (x) - 4 = x^{3} + a x^{2} + b x - 7

。

g (0) = - 7 < 0

；

g (x)

的最高次項係數為正，

x

取得夠大時

g (x) > 0

。由勘根定理，

g (x) = 0

在

0

的右邊至少有一個實根，即

f (x) = 4

至少有一正根。(5) 錯：例如

g (x) = (x - 7) (x^{2} + 1) = x^{3} - 7 x^{2} + x - 7

，即

a = - 7

、

b = 1

，此時

f (x) = 4

的實根只有

7

，沒有負根。

(1) 是把「整係數一次因式檢驗法」用到實係數上的陷阱。(4)(5) 的差別在

g (0) < 0

：往右走函數值終究會變正，一定穿過

x

軸；往左走函數值本來就是負的，不一定會穿過。

04多選第 7 題：二項分布

第 7 題答案 (1)(2)(3)。

X \sim B (30, 0.4)

。(1) 對：

E (X) = 30 \times 0.4 = 12

。(2) 對：

V a r (X) = 30 \times 0.4 \times 0.6 = 7.2 < 9

，所以標準差

7.2 < 3

。(3)(4)(5) 比相鄰兩項：

P (X = k) = C_{k}^{30} (0.4)^{k} (0.6)^{30 - k}

，所以

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{30 - k}{k + 1} \times \frac{0.4}{0.6} = \frac{2 ( 30 - k )}{3 ( k + 1 )}

。這個比值大於

1

相當於

60 - 2 k > 3 k + 3

，即

k < 11.4

。所以

k \leq 11

時機率遞增、

k \geq 12

時機率遞減：

P (X = 11) < P (X = 12) > P (X = 13) > P (X = 14)

。(3) 對：

X = 12

時機率最大。(5) 錯：

P (X = 13) > P (X = 14)

。(4) 錯：

\frac{P ( X = 13 )}{P ( X = 11 )} = \frac{2 \times 19}{3 \times 12} \times \frac{2 \times 18}{3 \times 13} = \frac{38}{36} \times \frac{36}{39} = \frac{38}{39}

，不等於

1

，所以

P (X = 13) < P (X = 11)

。

p \neq = \frac{1}{2}

時二項分布左右不對稱，離期望值一樣遠的兩個次數機率不會相等。

05多選第 8 題：幾何分布與拒絕域

第 8 題答案 (1)(2)(4)。以中獎機率

0.2

計算時，

X

是幾何分布：第

k

張才中獎表示前

k - 1

張都沒中、第

k

張中，

P (X = k) = (0.8)^{k - 1} \times 0.2

。(1) 對：

P (X = 3) = 0. 8^{2} \times 0.2 = 0.128

。(2) 對：

X > 3

表示前

3

張都沒中，

P (X > 3) = 0. 8^{3} = 0.512

。(3) 錯：

X > k

表示前

k

張都沒中，

P (X > k) = (0.8)^{k}

，不是

(0.8)^{k - 1}

。(4) 對：拒絕域

X > k

的機率要不超過顯著水準

0.05

，而且

k

取符合條件的最小整數。由附表，

P (X > 13) = 1 - 0.945024 = 0.054976 > 0.05

，

P (X > 14) = 1 - 0.956020 = 0.043980 < 0.05

，所以

k = 14

，拒絕域為

X > 14

。(5) 錯：第

14

期才中獎即

X = 14

，不在拒絕域

X > 14

內，不拒絕假設。

表上給的是

P (X \leq k)

，要用

1

去減才是

P (X > k)

。拒絕域是「大於

14

」，

14

本身不算，要到第

15

期以後才中獎才拒絕。

06填充題（第 9～11 題）：期望值與變異數、等差的三根、幾何分布

第 9 題

E (X + 4) = E (X) + 4 = 10

，所以

E (X) = 6

。

V a r (2 X + 6) = 2^{2} V a r (X) = 16

，所以

V a r (X) = 4

。由

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

，

E (X^{2}) = 4 + 6^{2} = 40

。

加常數不改變變異數，乘以

2

則變異數變成

4

倍。

第 10 題三個實根是

- 2

以及

x^{2} - 4 x + a = 0

的兩根

α \leq β

，其中

α + β = 4

、

α β = a

。看

- 2

排在哪裡：若

- 2

在中間，等差中項給

α + β = - 4

，矛盾；若

- 2

最大，則

α + β \leq - 4

，也矛盾。所以

- 2

最小，三根由小到大是

- 2, α, β

，等差的條件是

2 α = - 2 + β

。與

α + β = 4

聯立：

2 α = - 2 + (4 - α)

，

α = \frac{2}{3}

，

β = \frac{10}{3}

。因此

a = α β = \frac{2}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{9}

。

檢查：三根

- 2, \frac{2}{3}, \frac{10}{3}

的公差是

\frac{8}{3}

，確實等差。

第 11 題設每局成功的機率為

p

，則

X

是幾何分布

G (p)

。由卷首公式

V a r (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{3}{4}

，得

4 - 4 p = 3 p^{2}

，即

3 p^{2} + 4 p - 4 = 0

，

(3 p - 2) (p + 2) = 0

。

p

是機率，取

p = \frac{2}{3}

。所以

E (X) = \frac{1}{p} = \frac{3}{2}

。

07混合題（第 12～14 題）：輪流取球

第 12 題甲的箱子是

1

黑

2

白，乙的箱子是

2

黑

1

白，取出不放回，順序是甲、乙、甲、乙。乙獲勝就是第一顆黑球出現在第

2

次或第

4

次取球。第

2

次：甲取到白球、乙取到黑球，機率

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

。第

4

次：甲白、乙白、甲再從剩下的

1

黑

1

白取到白球，此時乙的箱子只剩

2

顆黑球，一定取到黑球，機率

\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{9}

。所以乙獲勝的機率為

\frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}

。

甲雖然先取，但甲的箱子黑球少，獲勝機率只有

1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}

。

第 13 題

X

可能的值是

1, 2, 3, 4

，照取球順序（甲、乙、甲、乙）逐次相乘。①

X = 1

：甲第一次就取到黑球，機率

\frac{1}{3}

。②

X = 2

：甲取到白球、乙取到黑球，機率

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

。③

X = 3

：甲白、乙白，接著甲從剩下的

1

黑

1

白取到黑球，機率

\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{9}

。④

X = 4

：甲白、乙白、甲再取到白球，此時乙的箱子只剩

2

顆黑球，一定取到黑球，機率

\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{9}

。機率分布表如下：

x_{k} P (X = x_{k}) 1 \frac{1}{3} 2 \frac{4}{9} 3 \frac{1}{9} 4 \frac{1}{9}

四個機率的和是

\frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = 1

。

最多取

4

球就一定結束：甲的白球只有

2

顆、乙的白球只有

1

顆。

第 14 題期望值

E (X) = 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{4}{9} + 3 \times \frac{1}{9} + 4 \times \frac{1}{9} = \frac{3 + 8 + 3 + 4}{9} = 2

。變異數

V a r (X) = (1 - 2)^{2} \times \frac{1}{3} + (2 - 2)^{2} \times \frac{4}{9} + (3 - 2)^{2} \times \frac{1}{9} + (4 - 2)^{2} \times \frac{1}{9} = \frac{3}{9} + 0 + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{9}

。

也可以用

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

：

E (X^{2}) = \frac{3 + 16 + 9 + 16}{9} = \frac{44}{9}

，

\frac{44}{9} - 4 = \frac{8}{9}

。

取後不放回的題目，把每一步「箱子裡還剩什麼」寫清楚再逐次相乘；分布表寫完先檢查機率總和是不是 1，再往下算期望值與變異數。

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03多選第 6 題：實係數三次多項式

04多選第 7 題：二項分布

05多選第 8 題：幾何分布與拒絕域

06填充題（第 9～11 題）：期望值與變異數、等差的三根、幾何分布

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