段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮級數、函數的奇偶性、合成函數與反函數、函數的極限、連續函數與中間值定理）

臺南二中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（每題 4 分）、填充題 16 題共 21 格（每格 4 分），合計 100 分。卷面的總分前後不一致：試題頁印多重選擇題共 20 分、填充題共 80 分，參考答案頁印共 16 分、共 84 分；依題數與格數計算是 16 分與 84 分。題號對照：本頁第 5～9 題為原卷填充第 1 題的 (1)～(5)，第 10～19 題為原卷填充第 2～11 題，第 20～21 題為原卷填充第 12 題的 (1)(2)，第 22～25 題為原卷填充第 13～16 題。答案已與學校公布的答案逐題核對：學校有印出答案的 24 題全部照學校公布的寫，其中 2 題在答案後面加了說明（本頁第 1 題與連續函數的定義有關；本頁第 10 題嚴格來說還要排除 x 等於 0），理由寫在詳解；本頁第 14 題學校的答案欄沒有印出答案，為本站依題目計算。

一、多重選擇題：（每題 4 分，共 20 分）說明：恰錯 1 個選項得 2 分，恰錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項以上或未作答 0 分。

x

為實數，下列函數何者為連續函數？

(A) $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{3 - x}$
(B) $f (x) = x - x^{2} + 2$
(C) $f (x) = ∣ x ∣$
(D) $f (x) = [x]$
(E) $f (x) = sin x$

下列函數何者是奇函數？

(A) $f (x) = sin x$
(B) $g (x) = 5 x^{4} + 3$
(C) $h (x) = x^{3} + 2$
(D) $m (x) = cos x$
(E) $k (x) = lo g ∣ x ∣$

[x]

表不大於

x

之最大整數，則下列何者正確？

(A) $x \to 0^{+} lim \frac{[ x ]}{x} = 0$
(B) $x \to 0^{-} lim \frac{[ x ]}{x}$ 不存在
(C) $x \to 2 lim \frac{[ x ]}{x}$ 不存在
(D) $x \to \infty lim \frac{[ x ]}{x} = 1$
(E) $x \to 1.5 lim x - [x] = 1$

下列何者為真？

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 均收斂，則 $⟨ a_{n} - b_{n} ⟩$ 收斂
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ ， $⟨ b_{n} ⟩$ 均發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 發散， $⟨ b_{n} ⟩$ 收斂，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(D) 若 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ ，則無窮級數之和 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 存在
(E) 若無窮級數之和 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 存在，則 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ 。

二、填充題：（每格 4 分，共 80 分，每格答案須完全正確才得該格分數。）（本頁第 5～25 題為原卷填充第 1～16 題）

填充第 1 題（第 5～9 題）　求下列的極限值：

(1)

n \to \infty lim \frac{3 ^{n + 1} - 2 ^{n}}{2 ^{n} - 3 ^{n}} =

____

(2)

n \to \infty lim (\frac{n ^{2}}{3 n - 1} - \frac{2 n ^{2} - 1}{6 n - 1}) =

____

(3)

n \to \infty lim n (n + 1 - n) =

____。

(4)

x \to 6 lim (\frac{2 x - 17}{x ^{2} - 7 x + 6} + \frac{x - 5}{x - 6}) =

____

(5)

n \to \infty lim \frac{2 ^{2} + 4 ^{2} + 6 ^{2} + \dots + ( 2 n ) ^{2}}{n ^{3}} =

____

x \in R

，若數列

⟨ (\frac{x - 1}{2 x})^{n} ⟩

發散，則

x

之範圍為 ____。

數列

⟨ a_{n} ⟩

收斂，且

n \to \infty lim \frac{7 a _{n} + 1}{4 a _{n} - 2} = 2

，則

n \to \infty lim a_{n} =

____。

求

n \to \infty lim \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots\dots + n ( n + 1 )}{n ^{2}} =

____。〈Hint：

k = k^{2} < k (k + 1) < \frac{k + ( k + 1 )}{2} = \frac{1}{2} (2 k + 1)

〉

n = 1 \sum \infty \frac{7 + 3 ^{n + 1}}{5 ^{n}} =

____。

求

k = 1 \sum 10 (k + 1) (k + 3)

的值

=

____。

n = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )} =

____。（編按：卷面求和符號下方印作

n = 1

，式子裡的變數是

k

；依題意應為

k = 1

）

求

n = 1 \sum \infty \frac{n}{5 ^{n}} =

____。

甲、乙兩人依甲、乙、甲、乙 ….. 之順序輪流投擲一個公正骰子，先擲出六點者獲勝，則甲獲勝的機率為 ____。

如右圖，設正三角形

A B C

之一邊長為

8

，今依

\overline{A B}

，

\overline{B C}

，

\overline{C A}

之順序將各邊分為

1 : 2

之點命為

A_{1}

，

B_{1}

，

C_{1}

；其次依

\overline{A_{1} B_{1}}

，

\overline{B_{1} C_{1}}

，

\overline{C_{1} A_{1}}

之順序將三角形

A_{1} B_{1} C_{1}

之各邊分為

1 : 2

之點命為

A_{2}

，

B_{2}

，

C_{2}

；再次這樣，將三角形

A_{2} B_{2} C_{2}

之各邊分為

1 : 2

之點命名為

A_{3}

，

B_{3}

，

C_{3}

，如此繼續無窮，試求

△ A B C

，

△ A_{1} B_{1} C_{1}

，

△ A_{2} B_{2} C_{2}

，……等三角形之面積總和為 ____。

載入中...

設

f (x)

為三次多項式，且

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 2

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 5

，則

f (3) =

____。

填充第 12 題（第 20～21 題）　設

a_{1} = 1

，

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a_{1} x, a_{2} x^{2}, a_{3} x^{3}, a_{n} x^{n}, \frac{1}{2} < x \leq 1 \frac{1}{3} < x \leq \frac{1}{2} \frac{1}{4} < x \leq \frac{1}{3} \frac{1}{n + 1} < x \leq \frac{1}{n}

，若

f (x)

在

0 \leq x \leq 1

內連續，

(1) 求

a_{n} =

____

(2)

n = 1 \sum \infty \frac{n - 1}{a _{n}} =

____。

設

a

、

b

為固定常數，且

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 4, a x + b, - 4, x \leq 1 1 < x < 3 x \geq 3

為一連續函數，則數對

(a, b) =

____。

已知方程式

2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 2 = 0

在兩個連續正整數

n

與

n + 1

間有一實根，則

n =

____。

f (x) = x^{2} - 4

，

g (x) = 5 - x

，若

g \circ f

為一函數，試求

g \circ f

的定義域為 ____（注意：定義域須以集合表示。）

設

f (x) = \frac{3 x - 4}{x + 4}

，求

f^{- 1} (5) =

____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)(E)（(A) 的判定與連續函數的定義有關，見詳解）

第 2 題(A)

第 3 題(A)(B)(C)(D)

第 4 題(A)(C)(E)

第 5 題

- 3

第 6 題

\frac{1}{18}

第 7 題

\frac{1}{2}

第 8 題

\frac{8}{5}

第 9 題

\frac{4}{3}

第 10 題

- 1 < x \leq \frac{1}{3}

（照學校公布的答案；嚴格來說還要排除 x＝0，見詳解）

第 11 題

5

第 12 題

\frac{1}{2}

第 13 題

\frac{25}{4}

第 14 題

635

第 15 題

\frac{1}{6}

第 16 題

\frac{5}{16}

第 17 題

\frac{6}{11}

第 18 題

243

第 19 題

24

第 20 題

n!

第 21 題

1

第 22 題

(- 4, 8)

第 23 題

2

第 24 題

{x ∣ - 3 \leq x \leq 3}

第 25 題

- 12

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選 1～4：連續函數、奇函數、高斯符號的極限、收斂與發散的性質

第 1 題答案 (B)(C)(E)。題目說

x

為實數，要判斷的是函數在每一個實數是否都連續。(A)

x = 3

時分母為

0

，

f (3)

沒有定義，在

x = 3

不連續，不選。(B)

f (x) = - x^{2} + x + 2

是多項式函數，在每一個實數都連續，選。(C)

x > 0

時

∣ x ∣ = x

、

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，都是多項式；在

x = 0

，左極限

x \to 0^{-} lim (- x) = 0

、右極限

x \to 0^{+} lim x = 0

、函數值

∣0∣ = 0

，三者相等，所以處處連續，選。(D) 卷面在這一題沒有說明括號的意義，依第 3 題的說明當作高斯符號。在整數點左右極限不相等，例如

x \to 1^{-} lim [x] = 0

、

x \to 1^{+} lim [x] = 1

，在

x = 1

不連續，不選。(E) 正弦函數的圖形是一條不間斷的曲線，在每一個實數都連續，選。

課本對連續函數的定義是「在定義域內每一點都連續」；照這個定義，(A) 在

x \neq = 3

的每一點都連續，也算連續函數，答案會多一個 (A)。本題題幹指明

x

為實數，學校的答案也不選 (A)，這裡照「在所有實數都連續」來判斷；考試遇到這種題，先看題目有沒有指定範圍。

第 2 題答案 (A)。奇函數要滿足

f (- x) = - f (x)

。(A)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數，選。(B)

g (- x) = 5 x^{4} + 3 = g (x)

，是偶函數；

g (0) = 3 \neq = 0

，不是奇函數。(C)

h (- x) = - x^{3} + 2

，而

- h (x) = - x^{3} - 2

，兩者不相等，不是奇函數。(D)

cos (- x) = cos x

，是偶函數；

m (0) = 1 \neq = 0

，不是奇函數。(E)

k (- x) = lo g ∣ - x ∣ = lo g ∣ x ∣ = k (x)

，是偶函數；例如

k (10) = 1

、

k (- 10) = 1

，不滿足

k (- 10) = - k (10)

，不是奇函數。

奇函數若在

x = 0

有定義，一定有

f (0) = 0

；(B)(C)(D) 都可以用這一點很快排除。

第 3 題答案 (A)(B)(C)(D)。(A)

0 < x < 1

時

[x] = 0

，所以

\frac{[ x ]}{x} = 0

，右極限為

0

，對。(B)

- 1 < x < 0

時

[x] = - 1

，

\frac{[ x ]}{x} = \frac{- 1}{x}

；

x

從左邊趨近

0

時，

\frac{- 1}{x}

是正數而且愈來愈大、沒有上限，不會趨近任何定值，極限不存在，對。(C)

1 < x < 2

時

[x] = 1

，左極限

x \to 2^{-} lim \frac{1}{x} = \frac{1}{2}

；

2 < x < 3

時

[x] = 2

，右極限

x \to 2^{+} lim \frac{2}{x} = 1

。左右極限不相等，極限不存在，對。(D) 由

x - 1 < [x] \leq x

，

x > 0

時各除以

x

得

1 - \frac{1}{x} < \frac{[ x ]}{x} \leq 1

；

x \to \infty

時左右兩邊都趨近

1

，由夾擠定理，極限為

1

，對。(E)

x

在

1.5

附近時

[x] = 1

，

x - [x] = x - 1

，極限為

1.5 - 1 = 0.5

，不是

1

，錯。

高斯符號的極限先看

x

落在哪兩個相鄰整數之間，把

[x]

換成那個整數再算；在整數點要左右分開看。

第 4 題答案 (A)(C)(E)。(A) 設

n \to \infty lim a_{n} = α

、

n \to \infty lim b_{n} = β

，由極限的運算性質，

n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = α - β

，收斂，對。(B) 反例：

a_{n} = (- 1)^{n}

、

b_{n} = (- 1)^{n + 1}

都發散，但

a_{n} + b_{n} = 0

，收斂，錯。(C) 假設

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

收斂，則

a_{n} = (a_{n} + b_{n}) - b_{n}

是兩個收斂數列的差，由 (A) 也會收斂，與

⟨ a_{n} ⟩

發散矛盾，所以

⟨ a_{n} + b_{n} ⟩

發散，對。(D) 反例：

a_{n} = n - n - 1 = \frac{1}{n + n - 1}

，

n \to \infty lim a_{n} = 0

；但前

n

項的和

S_{n} = (1 - 0) + (2 - 1) + \dots + (n - n - 1) = n

沒有上限，級數發散，和不存在，錯。(E) 設前

n

項的和為

S_{n}

，級數的和存在表示

n \to \infty lim S_{n} = S

。

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

（

n \geq 2

），所以

n \to \infty lim a_{n} = S - S = 0

，對。

(D) 與 (E) 是互逆的敘述：級數收斂時一般項一定趨近

0

，但一般項趨近

0

時級數不一定收斂。

判斷連續先找函數沒有定義或圖形斷開的點；高斯符號的極限把 x 所在的區間定下來再算；收斂與發散的敘述，對的用運算性質說明，錯的舉一個反例。

02填充 5～9（原卷填充 1 的 (1)～(5)）：極限的計算

第 5 題分子分母同除以

3^{n}

：

\frac{3 - ( \frac{2}{3} ) ^{n}}{( \frac{2}{3} ) ^{n} - 1}

。

n \to \infty

時

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

，所以極限為

\frac{3 - 0}{0 - 1} = - 3

。

3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}

，除以

3^{n}

後是

3

，不是

1

。

第 6 題兩個分式各自都會愈來愈大，不能分開算，先通分。分子：

n^{2} (6 n - 1) - (2 n^{2} - 1) (3 n - 1) = (6 n^{3} - n^{2}) - (6 n^{3} - 2 n^{2} - 3 n + 1) = n^{2} + 3 n - 1

；分母：

(3 n - 1) (6 n - 1) = 18 n^{2} - 9 n + 1

。原式

= n \to \infty lim \frac{n ^{2} + 3 n - 1}{18 n ^{2} - 9 n + 1} = n \to \infty lim \frac{1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n ^{2}}}{18 - \frac{9}{n} + \frac{1}{n ^{2}}} = \frac{1}{18}

。

第 7 題括號裡是兩個愈來愈大的數相減，先有理化：

n + 1 - n = \frac{( n + 1 ) - n}{n + 1 + n} = \frac{1}{n + 1 + n}

。原式

= n \to \infty lim \frac{n}{n + 1 + n}

，分子分母同除以

n

：

\frac{1}{1 + \frac{1}{n} + 1} \to \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

。

第 8 題

x^{2} - 7 x + 6 = (x - 1) (x - 6)

，通分：

\frac{( 2 x - 17 ) + ( x - 5 ) ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x - 6 )} = \frac{x ^{2} - 4 x - 12}{( x - 1 ) ( x - 6 )} = \frac{( x - 6 ) ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x - 6 )} = \frac{x + 2}{x - 1}

（

x \neq = 6

）。

x \to 6

時趨近

\frac{8}{5}

。

兩個分式在

x \to 6

時各自都沒有極限，一定要先合併，約掉

x - 6

之後才能代入。

第 9 題

2^{2} + 4^{2} + \dots + (2 n)^{2} = 4 (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}) = 4 \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{3}

。原式

= n \to \infty lim \frac{2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{3 n ^{3}} = n \to \infty lim \frac{2 ( 1 + \frac{1}{n} ) ( 2 + \frac{1}{n} )}{3} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 2}{3} = \frac{4}{3}

。

指數型同除以底數最大的那一項；兩項各自沒有極限時先通分或有理化合併；有點點點的式子先用公式求和再取極限。

03填充 10～12（原卷填充 2～4）：等比數列的斂散、極限的運算、夾擠定理

第 10 題令

r = \frac{x - 1}{2 x}

（

x \neq = 0

）。數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

，所以發散的條件是

r > 1

或

r \leq - 1

。

r > 1

：

\frac{x - 1}{2 x} - 1 = \frac{- ( x + 1 )}{2 x} > 0

，即

x (x + 1) < 0

，

- 1 < x < 0

。

r \leq - 1

：

\frac{x - 1}{2 x} + 1 = \frac{3 x - 1}{2 x} \leq 0

，即

x (3 x - 1) \leq 0

且

x \neq = 0

，

0 < x \leq \frac{1}{3}

。所以嚴格來說

x

的範圍是

- 1 < x < 0

或

0 < x \leq \frac{1}{3}

。

學校公布的答案寫

- 1 < x \leq \frac{1}{3}

，是把上面兩段直接接起來，連

x = 0

也包含在內；答案欄照學校公布的寫法。但

x = 0

時分母

2 x

為

0

，這個數列沒有定義，談不上收斂或發散，嚴格來說要把

x = 0

排除，兩種寫法只差這一點。另外

r = - 1

（

x = \frac{1}{3}

）時數列是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，發散，要包含；

r = 1

（

x = - 1

）時數列每一項都是

1

，收斂，不包含。

第 11 題設

n \to \infty lim a_{n} = L

，並令

b_{n} = \frac{7 a _{n} + 1}{4 a _{n} - 2}

，已知

n \to \infty lim b_{n} = 2

。把式子去分母：

b_{n} (4 a_{n} - 2) = 7 a_{n} + 1

。兩邊的數列都收斂，取極限得

2 (4 L - 2) = 7 L + 1

，

8 L - 4 = 7 L + 1

，

L = 5

。

檢查：

L = 5

時

\frac{7 \cdot 5 + 1}{4 \cdot 5 - 2} = \frac{36}{18} = 2

，相符。先去分母再取極限，就不必先擔心分母的極限是不是

0

。

第 12 題照提示，每一項都有

k < k (k + 1) < \frac{2 k + 1}{2}

（右邊是算幾不等式，

k \neq = k + 1

所以等號不成立）。把

k = 1, 2, \dots, n

加起來：左邊

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

；右邊

\frac{1}{2} [3 + 5 + \dots + (2 n + 1)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{n ( 3 + 2 n + 1 )}{2} = \frac{n ( n + 2 )}{2}

。所以

\frac{n ( n + 1 )}{2} < 分子 < \frac{n ( n + 2 )}{2}

，各除以

n^{2}

：

\frac{n + 1}{2 n} < \frac{分子}{n ^{2}} < \frac{n + 2}{2 n}

。

n \to \infty

時左右兩邊都趨近

\frac{1}{2}

，由夾擠定理，極限為

\frac{1}{2}

。

等比數列收斂的條件是公比大於 −1 且小於或等於 1，和等比級數的條件不同；根式的和求不出來時，找上下兩個求得出和的式子把它夾住。

04填充 13～18（原卷填充 5～10）：級數求和與無窮等比級數的應用

第 13 題拆成兩個無窮等比級數：

\frac{7 + 3 ^{n + 1}}{5 ^{n}} = 7 (\frac{1}{5})^{n} + 3 (\frac{3}{5})^{n}

，公比

\frac{1}{5}

、

\frac{3}{5}

的絕對值都小於

1

，都收斂。

n = 1 \sum \infty 7 (\frac{1}{5})^{n} = \frac{\frac{7}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{7}{4}

；

n = 1 \sum \infty 3 (\frac{3}{5})^{n} = \frac{\frac{9}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{9}{2}

。和為

\frac{7}{4} + \frac{9}{2} = \frac{25}{4}

。

從

n = 1

開始，首項分別是

\frac{7}{5}

與

\frac{9}{5}

，不是

7

與

3

。

第 14 題

(k + 1) (k + 3) = k^{2} + 4 k + 3

。

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 4 k = 4 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} = 220

，

k = 1 \sum 10 3 = 30

。總和

= 385 + 220 + 30 = 635

。

第 15 題卷面求和符號下方印的是

n = 1

，式子裡的變數卻是

k

；這裡依題意把求和的變數當作

k

，從

k = 1

加起。拆項：

\frac{1}{( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 3})

。前

m

項的和

S_{m} = \frac{1}{2} [(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{2 m + 1} - \frac{1}{2 m + 3})] = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2 m + 3})

。

m \to \infty

時趨近

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

。

若照卷面的字面，求和的變數是

n

而每一項都與

n

無關，級數就是同一個非零常數無限相加，沒有和；學校公布的答案

\frac{1}{6}

也是把變數當作

k

算的。

第 16 題設前

n

項的和

S_{n} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5 ^{2}} + \frac{3}{5 ^{3}} + \dots + \frac{n}{5 ^{n}}

，則

\frac{1}{5} S_{n} = \frac{1}{5 ^{2}} + \frac{2}{5 ^{3}} + \dots + \frac{n - 1}{5 ^{n}} + \frac{n}{5 ^{n + 1}}

。相減：

\frac{4}{5} S_{n} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5 ^{2}} + \dots + \frac{1}{5 ^{n}} - \frac{n}{5 ^{n + 1}} = \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5 ^{n}}) - \frac{n}{5 ^{n + 1}}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{5 ^{n}} \to 0

、

\frac{n}{5 ^{n + 1}} \to 0

，所以

\frac{4}{5} S_{n} \to \frac{1}{4}

，

S_{n} \to \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{16}

。

\frac{n}{5 ^{n}} \to 0

的理由：由二項式定理，

n \geq 2

時

5^{n} = (1 + 4)^{n} > \frac{n ( n - 1 )}{2} \cdot 4^{2} = 8 n (n - 1)

，所以

0 < \frac{n}{5 ^{n}} < \frac{1}{8 ( n - 1 )}

，由夾擠定理趨近

0

。

第 17 題每擲一次，擲出六點的機率是

\frac{1}{6}

，沒有擲出的機率是

\frac{5}{6}

。甲在全部的第

1, 3, 5, \dots

次投擲時獲勝，表示前面每一次都沒有擲出六點：機率為

\frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^{2} \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^{4} \cdot \frac{1}{6} + \dots

。這是首項

\frac{1}{6}

、公比

\frac{25}{36}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{1}{6}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{11} = \frac{6}{11}

。

甲兩次投擲之間隔著乙的一次，所以公比是

(\frac{5}{6})^{2}

，不是

\frac{5}{6}

。

第 18 題

△ A B C

的面積為

\frac{3}{4} \cdot 8^{2} = 163

。

A_{1}

在

\overline{A B}

上且

\overline{A A_{1}} : \overline{A_{1} B} = 1 : 2

，

C_{1}

在

\overline{C A}

上且

\overline{C C_{1}} : \overline{C_{1} A} = 1 : 2

，所以

\overline{A A_{1}} = \frac{1}{3} \overline{A B}

、

\overline{A C_{1}} = \frac{2}{3} \overline{A C}

。

△ A A_{1} C_{1}

與

△ A B C

共用

∠ A

，面積比等於夾邊乘積的比：

\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}

。同理另外兩個角落的三角形

△ B B_{1} A_{1}

、

△ C C_{1} B_{1}

也各佔

\frac{2}{9}

，所以

△ A_{1} B_{1} C_{1}

的面積是

△ A B C

的

1 - 3 \times \frac{2}{9} = \frac{1}{3}

。三個角落的三角形兩邊分別相等、夾角都是

6 0^{\circ}

，彼此全等，所以

△ A_{1} B_{1} C_{1}

三邊等長，仍是正三角形；同樣的做法重複下去，每一個三角形的面積都是前一個的

\frac{1}{3}

。面積總和是首項

163

、公比

\frac{1}{3}

的無窮等比級數：

\frac{16 3}{1 - \frac{1}{3}} = 243

。

要先說明新的三角形仍是正三角形，下一層才能用同一個比

\frac{1}{3}

；公比是面積比

\frac{1}{3}

，不是邊長比。

級數求和三種常用手法：拆成等比級數、拆項相消、錯位相減；情境題先找出首項與公比，再確認公比的絕對值小於 1。

05填充 19～22（原卷填充 11～13）：由極限決定多項式、分段函數的連續

第 19 題

x \to 1

時分母

x - 1

趨近

0

而極限存在，所以

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f

是三次式，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (a x + b)

。第一式：

x \to 1 lim (x - 2) (a x + b) = - (a + b) = 2

，

a + b = - 2

。第二式：

x \to 2 lim (x - 1) (a x + b) = 2 a + b = 5

。相減得

a = 7

，

b = - 9

，

f (x) = (x - 1) (x - 2) (7 x - 9)

。

f (3) = 2 \times 1 \times 12 = 24

。

第 20 題各段都是單項式，在各自的區間內連續，只要看接點

x = \frac{1}{n}

（

n \geq 2

）。在

x = \frac{1}{n}

的左側（含這一點）用的是

a_{n} x^{n}

，函數值與左極限都是

a_{n} (\frac{1}{n})^{n}

；右側用的是

a_{n - 1} x^{n - 1}

，右極限是

a_{n - 1} (\frac{1}{n})^{n - 1}

。兩者相等：

\frac{a _{n}}{n ^{n}} = \frac{a _{n - 1}}{n ^{n - 1}}

，得

a_{n} = n a_{n - 1}

。由

a_{1} = 1

逐項推：

a_{2} = 2

，

a_{3} = 3 \cdot 2

，

\dots

，

a_{n} = n (n - 1) \dots 2 \cdot 1 = n!

。

檢查前兩個接點：

x = \frac{1}{2}

時

a_{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

、

a_{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

；

x = \frac{1}{3}

時

a_{2} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9}

、

a_{3} \cdot \frac{1}{27} = \frac{2}{9}

。卷面的分段只寫到

0 < x \leq 1

，

x = 0

那一點不影響

a_{n}

的推導。

第 21 題由上一小題

a_{n} = n!

。拆項：

\frac{n - 1}{n !} = \frac{n}{n !} - \frac{1}{n !} = \frac{1}{( n - 1 )!} - \frac{1}{n !}

。前

m

項的和

S_{m} = (\frac{1}{0 !} - \frac{1}{1 !}) + (\frac{1}{1 !} - \frac{1}{2 !}) + \dots + (\frac{1}{( m - 1 )!} - \frac{1}{m !}) = 1 - \frac{1}{m !}

。

m \to \infty

時

\frac{1}{m !} \to 0

，所以和為

1

。

0! = 1

；第一項

n = 1

時分子是

0

。

第 22 題三段各自連續，只要兩個接點

x = 1

、

x = 3

連續。

x = 1

：函數值與左極限是

4

，右極限是

a + b

，所以

a + b = 4

。

x = 3

：左極限是

3 a + b

，函數值與右極限是

- 4

，所以

3 a + b = - 4

。相減得

2 a = - 8

，

a = - 4

，

b = 8

。

(a, b) = (- 4, 8)

。

中間那一段是通過

(1, 4)

與

(3, - 4)

的直線

y = - 4 x + 8

。

分母趨近 0 而極限存在，分子在那一點一定也是 0；分段函數的連續只要看接點，左極限、右極限與函數值三者相等。

06填充 23～25（原卷填充 14～16）：中間值定理、合成函數的定義域、反函數

第 23 題令

f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 2

，它是多項式函數，處處連續。代入整數：

f (- 1) = - 2

，

f (0) = 2

，

f (1) = - 2

，

f (2) = 16 - 16 - 4 + 2 = - 2

，

f (3) = 54 - 36 - 6 + 2 = 14

。

f (2) < 0 < f (3)

，由中間值定理，

2

與

3

之間至少有一個實根。又

f (- 1)

與

f (0)

異號、

f (0)

與

f (1)

異號，所以

- 1

與

0

之間、

0

與

1

之間也各有一個實根；三次方程式最多三個實根，三個根的位置都確定了。題目要兩個連續「正整數」，

0

不是正整數，所以

n = 2

。

f (1)

與

f (2)

都是

- 2

，同號，而且三個根都已經找到，

1

與

2

之間沒有根。

第 24 題

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = 5 - (x^{2} - 4) = 9 - x^{2}

。

f

的定義域是全體實數，還要讓

f (x)

落在

g

的定義域

{x ∣ x \leq 5}

內：

x^{2} - 4 \leq 5

，

x^{2} \leq 9

，

- 3 \leq x \leq 3

。定義域為

{x ∣ - 3 \leq x \leq 3}

。

題目要求用集合表示，只寫

- 3 \leq x \leq 3

不合規定。

第 25 題

f^{- 1} (5)

就是讓

f (x) = 5

的那個

x

。

\frac{3 x - 4}{x + 4} = 5

，

3 x - 4 = 5 x + 20

，

2 x = - 24

，

x = - 12

。檢查：

f (- 12) = \frac{- 36 - 4}{- 12 + 4} = \frac{- 40}{- 8} = 5

。所以

f^{- 1} (5) = - 12

。

不必先把整個反函數求出來；求反函數在某一點的值，解

f (x)

等於那個值就好。

用中間值定理找根，把整數一個一個代入看正負號哪裡改變；合成函數的定義域要讓內層的函數值落在外層的定義域裡。

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填充第 2 題（本頁第 10 題）：等比數列收斂的條件是公比大於負 1 且小於或等於 1，公比等於負 1 時發散要包含，而且嚴格來說 x 不能是 0。多選第 4 題的 D 與 E：級數收斂時一般項趨近 0，反過來不成立。填充第 8 題（本頁第 16 題）：分子是 n 的級數要用錯位相減。填充第 12 題（本頁第 20、21 題）：由接點連續得到遞迴關係，求出階乘後再拆項相消。填充第 14 題（本頁第 23 題）：0 與 1 之間也有根，但 0 不是正整數。詳解逐題寫在本頁。

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04填充 13～18（原卷填充 5～10）：級數求和與無窮等比級數的應用

05填充 19～22（原卷填充 11～13）：由極限決定多項式、分段函數的連續

06填充 23～25（原卷填充 14～16）：中間值定理、合成函數的定義域、反函數

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