段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、對數方程式與不等式、指數與對數的應用）

溪湖高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單選題 6 題（共 30 分）、填充題 13 題共 15 格（共 70 分，依答對格數給分：答對 1～15 格依序得 6、12、18、24、30、35、40、45、50、55、58、61、64、67、70 分）。本頁第 1～6 題為原卷單選第 1～6 題，第 7～21 題依序為原卷填充 1、2(1)、2(2)、3～11、12(1)、12(2)、13。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（共 6 題，共 30 分）

圖中四個曲線

Γ_{1}

、

Γ_{2}

、

Γ_{3}

、

Γ_{4}

依序為函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形，則在

a

，

b

，

c

，

d

中，哪一個數最大？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E) 無法判斷

載入中...

若

y = - lo g_{2} x

、

y = - lo g_{3} x

、

y = lo g_{4} x

、

y = lo g_{5} x

的圖形如圖所示，若

y = f (x)

的圖形恰為

Γ_{1}

，則

f (5) =

？

(A) $- lo g_{2} 5$
(B) $- lo g_{3} 5$
(C) $lo g_{4} 5$
(D) $1$
(E) $- 1$

載入中...

以下有關

a = 2^{3}

，

b = 0. 5^{0.5}

，

c = 2^{- 3}

三數的大小關係，試選出正確的選項。

(A) $a < b < c$
(B) $a < c < b$
(C) $b < a < c$
(D) $b < c < a$
(E) $c < b < a$

已知

lo g 22 \approx 1.342423

，若

lo g x \approx 0.342423

，則下列哪一個選項最有可能是

x

的值？

(A) $0.22$
(B) $2.2$
(C) $1.2$
(D) $220$
(E) $2200$

哆啦A夢有很多神奇的道具，其中小淳老師最想要的是「十元銀行」，這家銀行每個小時會給

10 %

的利息。小淳老師一開始存了

10

元，

1

個小時後變成

11

元，

2

個小時後變成

12.1

元，一天後約莫變成

98.50

元。請問兩天後約莫變成

(A) $187$ 元
(B) $197$ 元
(C) $970$ 元
(D) $985$ 元
(E) $9702$ 元

設三個函數

y = 2^{x}

、

y = lo g_{1.3} x

、

y = lo g_{2} x

的圖形畫在

x y

坐標平面上，每個函數皆分別與曲線

A

、

B

、

C

其中之一對應，如圖所示，請觀察圖形後，判斷下列敘述哪個是正確的？

(A) 曲線 $B$ 為函數 $y = lo g_{2} x$ 的圖形
(B) 當 $x > 0$ 時， $lo g_{1.3} x > lo g_{2} x$ 恆成立
(C) 設 $a > 1$ 時，函數 $y = x$ 的圖形與函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形不會有交點
(D) 設 $a > 1$ 時，函數 $y = a^{x}$ 的圖形與函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) 設 $a > 1$ 時，函數 $y = a^{x}$ 的圖形與函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形凹口皆向上

載入中...

二、填充題（共 15 格，共 70 分）

已知

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則以

a

、

b

表示

lo g 13.5 =

____。

填充第 2 題（第 8～9 題）　試解下列方程式與不等式：

(1)

9^{x^{2}} - 3^{3 x + 2} = 0

，則

x =

____。

(2)

0. 4^{2 x + 1} > 0.16

，則

x

的範圍為 ____。

若

lo g_{x - 2} (- x^{2} + 8 x - 7)

有意義，且

x

為整數，則滿足此條件之所有

x

值的和為 ____。

試求

lo g_{2} 16 - lo g_{\frac{1}{3}} 27 + lo g_{5} 125

之值為 ____。

求值：

lo g \frac{2}{5} + 3 lo g \frac{1}{2} - \frac{1}{2} lo g 25 =

____。

解方程式

lo g 3 x + lo g (x - 3) = lo g 12

，

x =

____。

解不等式

lo g (1 0^{x} + 1000) < 2 + \frac{x}{2} + lo g 1.1

，則

x

的範圍為 ____。

設

a

，

b

為兩實數，且點

(4, a)

，

(250, b)

都在函數

y = lo g x

的圖形上，試求

a + b

之值為 ____。

已知

5^{x} = 10000

，

lo g_{5} 16 = y

，則

x - y =

____。

已知

lo g_{a} x = 2

，

lo g_{b} x = 3

，

lo g_{c} x = 4

，則

lo g_{ab c} x =

____。

已知設正數數列

{x_{n}}

，滿足

lo g x_{n + 1} = 1 + lo g x_{n}

，且

lo g (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{10}) = 1

，則

lo g (x_{31} + x_{32} + \dots + x_{40}) =

____。

填充第 12 題（第 19～20 題）　某公司為增進業務的發展，制定了一個激勵銷售人員的獎勵模型：

y = a lo g_{4} (x - 1) + b

，

x

表銷售金額（萬元），

y

表獎勵金額（萬元），

a

，

b

為常數。已知銷售金額為

17

萬元時，獎勵為

1

萬元；銷售金額為

129

萬元時，獎勵為

4

萬元。

(1) 根據上述資料可得數對

(a, b) =

____。

(2) 若欲得到

9

萬元的獎勵，則銷售金額應為 ____ 萬元。

小興準備向銀行貸款

1

百萬元當做創業基金，其年利率為

2 %

，約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款，但給小興創業優惠改以單利計息還款。此優惠下，小興在三年期滿還款時可以比複利計息少繳 ____ 元。（已知

1.0 2^{3} = 1.061208

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(E)

第 4 題(B)

第 5 題(C)

第 6 題(D)

第 7 題

3 b - a

第 8 題

2

或

- \frac{1}{2}

第 9 題

x < \frac{1}{2}

第 10 題

15

第 11 題

\frac{17}{2}

第 12 題

- 2

第 13 題

4

第 14 題

2 < x < 4

第 15 題

3

第 16 題

4

第 17 題

\frac{12}{13}

第 18 題

31

第 19 題

(2, - 3)

第 20 題

4097

第 21 題

1208

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6：指數與對數函數的圖形、比大小、常用對數與成長

第 1 題答案 (B)。在直線

x = 1

上看：

y = a^{x}

在

x = 1

的函數值就是底數

a

，所以四條曲線與直線

x = 1

的交點高度，就是四個底數的大小。

Γ_{1}

、

Γ_{2}

由左往右上升，底數大於

1

；

Γ_{3}

、

Γ_{4}

由左往右下降，底數介於

0

與

1

之間。在

y

軸右側，

Γ_{2}

比

Γ_{1}

上升得快，在

x = 1

處

Γ_{2}

較高，所以

b > a > 1

。因此最大的是

b

。

同理在直線

x = - 1

上看，函數值是

\frac{1}{a}

、

\frac{1}{b}

、

\frac{1}{c}

、

\frac{1}{d}

；

Γ_{3}

在

y

軸左側比

Γ_{4}

高，所以

\frac{1}{c} > \frac{1}{d}

，得

c < d < 1

。

第 2 題答案 (C)。

Γ_{1}

、

Γ_{2}

是遞增的，對應底數大於

1

且前面沒有負號的

y = lo g_{4} x

、

y = lo g_{5} x

。當

x > 1

時，由換底

lo g_{4} x = \frac{lo g x}{lo g 4}

、

lo g_{5} x = \frac{lo g x}{lo g 5}

，分子

lo g x > 0

相同，分母

lo g 4 < lo g 5

，所以

lo g_{4} x > lo g_{5} x

，在

x > 1

這一段較高的

Γ_{1}

是

y = lo g_{4} x

。所以

f (5) = lo g_{4} 5

。

Γ_{3}

、

Γ_{4}

是遞減的

y = - lo g_{3} x

與

y = - lo g_{2} x

；

x > 1

時

lo g_{2} x > lo g_{3} x

，所以

- lo g_{2} x

較低，是

Γ_{4}

。

第 3 題答案 (E)。把三數都化成以

2

為底：

0.5 = 2^{- 1}

，所以

b = (2^{- 1})^{0.5} = 2^{- 0.5}

。三個指數分別是

3

、

- 0.5

、

- 3

。因為

0.5 < 3

，

0.5 < 3

，所以

- 3 < - 0.5 < 3

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

是遞增函數，指數大的值就大，所以

c < b < a

。

數值約為

a \approx 3.32

、

b \approx 0.61

、

c \approx 0.30

。

第 4 題答案 (B)。

0.342423 = 1.342423 - 1

，所以

lo g x \approx lo g 22 - lo g 10 = lo g \frac{22}{10} = lo g 2.2

，得

x \approx 2.2

。

常用對數的整數部分只決定小數點的位置，小數部分相同代表數字排列相同。

lo g x

介於

0

與

1

之間，

x

介於

1

與

10

之間，只有

2.2

符合數字排列是

22

。

第 5 題答案 (C)。每小時乘以

1.1

，

t

小時後的金額是

10 \times 1. 1^{t}

元。一天是

24

小時，

10 \times 1. 1^{24} \approx 98.50

，所以

1. 1^{24} \approx 9.850

。兩天是

48

小時：

10 \times 1. 1^{48} = 10 \times (1. 1^{24})^{2} \approx 10 \times 9.85 0^{2} \approx 10 \times 97.02 = 970.2

，約

970

元。

第二天不是再加

88.5

元，而是把第一天結束時的約

98.50

元再乘上同一個倍數

9.850

。

第 6 題

答案 (D)。 $y = 2^{x}$ 過 $(0, 1)$ ，是曲線 $C$ ；另兩條過 $(1, 0)$ 的是對數函數。 $x > 1$ 時 $lo g_{1.3} x = \frac{lo g x}{lo g 1.3}$ ，分母 $lo g 1.3 < lo g 2$ ，所以 $lo g_{1.3} x > lo g_{2} x$ ，在 $x > 1$ 這一段較高的 $B$ 是 $y = lo g_{1.3} x$ ， $A$ 是 $y = lo g_{2} x$ 。

(A) 錯誤。 曲線 $B$ 是 $y = lo g_{1.3} x$ 的圖形。

(B) 錯誤。 當 $0 < x < 1$ 時 $lo g x < 0$ ，除以較小的正數 $lo g 1.3$ 反而更小，所以 $lo g_{1.3} x < lo g_{2} x$ ；例如 $x = 0.1$ 時 $lo g_{1.3} 0.1 \approx - 8.78 < lo g_{2} 0.1 \approx - 3.32$ 。 $x = 1$ 時兩者都等於 $0$ ，也不是大於。

(C) 錯誤。 圖中的 $B$ 就是反例： $a = 1.3 > 1$ ， $y = lo g_{1.3} x$ 與 $y = x$ 有兩個交點。也可以直接驗證： $lo g_{1.3} 1.3 = 1 < 1.3$ ，但 $lo g_{1.3} 2.197 = lo g_{1.3} 1. 3^{3} = 3 > 2.197$ ，兩函數的大小在 $x = 1.3$ 與 $x = 2.197$ 之間交換，圖形在這中間相交。

(D) 正確。 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 互為反函數：點 $(p, q)$ 在 $y = a^{x}$ 上，即 $q = a^{p}$ ，等價於 $p = lo g_{a} q$ ，也就是點 $(q, p)$ 在 $y = lo g_{a} x$ 上； $(p, q)$ 與 $(q, p)$ 對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 $a > 1$ 時 $y = a^{x}$ 的圖形凹口向上，但 $y = lo g_{a} x$ 的圖形是 $y = a^{x}$ 對 $y = x$ 的鏡射，凹口向下。

(B) 只在

x > 1

時成立；題目寫「當

x > 0

時恆成立」就要檢查

0 < x \leq 1

這一段。

比較指數或對數函數的底數，最快的辦法是看直線 x＝1（指數）或固定一個 x 值用換底公式比分母；指數與對數函數互為反函數，圖形對稱於 y＝x。

02填充 7～12（原卷填充 1～5）：對數律、指數方程式與不等式、對數有意義的條件

第 7 題

13.5 = \frac{27}{2} = \frac{3 ^{3}}{2}

，所以

lo g 13.5 = 3 lo g 3 - lo g 2 = 3 b - a

。

第 8 題

9^{x^{2}} = (3^{2})^{x^{2}} = 3^{2 x^{2}}

，方程式化為

3^{2 x^{2}} = 3^{3 x + 2}

。指數函數是一對一的，所以

2 x^{2} = 3 x + 2

，即

2 x^{2} - 3 x - 2 = 0

，

(2 x + 1) (x - 2) = 0

，

x = 2

或

x = - \frac{1}{2}

。

代回檢查：

x = 2

時兩邊都是

3^{8}

；

x = - \frac{1}{2}

時

2 x^{2} = \frac{1}{2}

、

3 x + 2 = \frac{1}{2}

，也相等。兩個解都要寫。

第 9 題

0.16 = 0. 4^{2}

，不等式化為

0. 4^{2 x + 1} > 0. 4^{2}

。底數

0.4

介於

0

與

1

之間，

y = 0. 4^{x}

是遞減函數，函數值大的指數反而小，所以

2 x + 1 < 2

，得

x < \frac{1}{2}

。

底數小於

1

時，去掉底數比指數，不等號方向要改變。

第 10 題底數要大於

0

且不等於

1

：

x - 2 > 0

且

x - 2 \neq = 1

，即

x > 2

且

x \neq = 3

。真數要大於

0

：

- x^{2} + 8 x - 7 > 0

，即

x^{2} - 8 x + 7 < 0

，

(x - 1) (x - 7) < 0

，

1 < x < 7

。合起來

2 < x < 7

且

x \neq = 3

，整數

x

為

4

、

5

、

6

，和為

15

。

容易漏掉底數不可以等於

1

這個條件而把

3

算進去（得

18

）。

第 11 題

lo g_{2} 16 = lo g_{2} 2^{4} = 4

。

27 = 3^{3} = (\frac{1}{3})^{- 3}

，所以

lo g_{\frac{1}{3}} 27 = - 3

。

125 = 5^{\frac{3}{2}}

，所以

lo g_{5} 125 = \frac{3}{2}

。原式

= 4 - (- 3) + \frac{3}{2} = \frac{17}{2}

。

中間是減去

lo g_{\frac{1}{3}} 27

，它本身是

- 3

，減去負數變成加

3

。

第 12 題

\frac{1}{2} lo g 25 = lo g 2 5^{\frac{1}{2}} = lo g 5

，

3 lo g \frac{1}{2} = lo g \frac{1}{8}

。原式

= lo g \frac{2}{5} + lo g \frac{1}{8} - lo g 5 = lo g (\frac{2}{5} \times \frac{1}{8} \div 5) = lo g \frac{1}{100} = - 2

。

對數律合併前先把係數搬進真數；對數有意義要同時檢查底數大於 0 且不等於 1、真數大於 0。

03填充 13～18（原卷填充 6～11）：對數方程式、不等式與換底

第 13 題真數要大於

0

：

3 x > 0

且

x - 3 > 0

，所以

x > 3

。在此範圍內，由對數律

lo g 3 x + lo g (x - 3) = lo g (3 x (x - 3))

，方程式化為

3 x (x - 3) = 12

，

x^{2} - 3 x - 4 = 0

，

(x - 4) (x + 1) = 0

，

x = 4

或

x = - 1

。

x = - 1

不滿足

x > 3

，捨去，所以

x = 4

。

代回檢查：

lo g 12 + lo g 1 = lo g 12

，成立。

第 14 題右邊寫成一個對數：

2 + \frac{x}{2} + lo g 1.1 = lo g 100 + lo g 1 0^{\frac{x}{2}} + lo g 1.1 = lo g (110 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}})

。底數

10 > 1

，

lo g

是遞增函數，所以不等式等價於

1 0^{x} + 1000 < 110 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}}

。令

t = 1 0^{\frac{x}{2}} > 0

，則

1 0^{x} = t^{2}

，得

t^{2} - 110 t + 1000 < 0

，即

(t - 10) (t - 100) < 0

，

10 < t < 100

。也就是

1 0^{1} < 1 0^{\frac{x}{2}} < 1 0^{2}

，所以

1 < \frac{x}{2} < 2

，

2 < x < 4

。

左邊的真數

1 0^{x} + 1000

恆正，不必另外限制

x

。代

x = 3

檢查：左邊

lo g 2000 \approx 3.301

，右邊

3.5 + lo g 1.1 \approx 3.541

，成立。

第 15 題點在

y = lo g x

的圖形上，代入得

a = lo g 4

，

b = lo g 250

。

a + b = lo g (4 \times 250) = lo g 1000 = 3

。

第 16 題由對數的定義，

5^{x} = 10000

即

x = lo g_{5} 10000 = lo g_{5} 1 0^{4} = 4 lo g_{5} 10

；

y = lo g_{5} 16 = lo g_{5} 2^{4} = 4 lo g_{5} 2

。

x - y = 4 (lo g_{5} 10 - lo g_{5} 2) = 4 lo g_{5} \frac{10}{2} = 4 lo g_{5} 5 = 4

。

第 17 題由換底公式，

lo g_{x} a = \frac{1}{lo g _{a} x} = \frac{1}{2}

，同理

lo g_{x} b = \frac{1}{3}

，

lo g_{x} c = \frac{1}{4}

。所以

lo g_{x} (ab c) = lo g_{x} a + lo g_{x} b + lo g_{x} c = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{13}{12}

，

lo g_{ab c} x = \frac{1}{lo g _{x} ( ab c )} = \frac{12}{13}

。

不可以把

2 + 3 + 4 = 9

當答案：真正可以相加的是以

x

為底的

lo g_{x} a

、

lo g_{x} b

、

lo g_{x} c

。

第 18 題

lo g x_{n + 1} = 1 + lo g x_{n} = lo g 10 + lo g x_{n} = lo g (10 x_{n})

，所以

x_{n + 1} = 10 x_{n}

，

{x_{n}}

是公比

10

的等比數列。由

lo g (x_{1} + \dots + x_{10}) = 1

得

x_{1} + \dots + x_{10} = 10

。每一項往後推

30

項就乘上

1 0^{30}

：

x_{31} = 1 0^{30} x_{1}

，…，

x_{40} = 1 0^{30} x_{10}

，所以

x_{31} + \dots + x_{40} = 1 0^{30} \times 10 = 1 0^{31}

，其對數為

31

。

前十項的和是

10

，不是每一項都是

1

；只用到「每一項往後推

30

項都乘上同一個倍數」，不必求出

x_{1}

。

對數方程式先寫真數條件再合併；含 10 的 x 次方與 10 的 x/2 次方的不等式，令 t 等於 10 的 x/2 次方化成二次不等式。

04填充 19～21（原卷填充 12～13）：對數模型與單利複利

第 19 題代入兩組資料：

x = 17

時

y = 1

，

a lo g_{4} 16 + b = 1

，即

2 a + b = 1

；

x = 129

時

y = 4

，

a lo g_{4} 128 + b = 4

。

128 = 2^{7} = 4^{\frac{7}{2}}

，所以

lo g_{4} 128 = \frac{7}{2}

，得

\frac{7}{2} a + b = 4

。兩式相減

\frac{3}{2} a = 3

，

a = 2

，

b = 1 - 2 a = - 3

。數對

(a, b) = (2, - 3)

。

第 20 題模型為

y = 2 lo g_{4} (x - 1) - 3

。令

y = 9

：

2 lo g_{4} (x - 1) - 3 = 9

，

lo g_{4} (x - 1) = 6

，

x - 1 = 4^{6} = 4096

，

x = 4097

（萬元）。

代回檢查：

lo g_{4} 4096 = 6

，

2 \times 6 - 3 = 9

。

第 21 題本金

1

百萬元

= 1000000

元。複利三年的本利和：

1000000 \times 1.0 2^{3} = 1000000 \times 1.061208 = 1061208

元。單利三年的利息是每年

1000000 \times 0.02 = 20000

元，三年

60000

元，本利和

1060000

元。少繳

1061208 - 1060000 = 1208

元。

複利是「利息也生利息」，三年下來多出的

1208

元就是前兩年利息再生的利息。

對數模型用兩組資料列兩條一次方程式解出係數；單利每年利息固定，複利每年乘上同一個倍數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

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常見問題

溪湖高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

原卷單選第 6 題（本頁第 6 題）：要先由過哪個點與高低辨認三條曲線，選項 (B) 在 x 介於 0 與 1 之間不成立，(C) 圖中的曲線 B 就是反例。原卷填充第 3 題（本頁第 10 題）：底數除了大於 0 還不能等於 1。原卷填充第 7 題（本頁第 14 題）：要把右邊寫成一個對數，再令 10 的 x/2 次方為 t 解二次不等式。原卷填充第 10 題（本頁第 17 題）：要先換成以 x 為底再相加。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、對數函數的圖形、對數方程式與不等式、指數與對數的應用）

溪湖高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

一、單選題（共 6 題，共 30 分）

圖中四個曲線

Γ_{1}

、

Γ_{2}

、

Γ_{3}

、

Γ_{4}

依序為函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形，則在

a

，

b

，

c

，

d

中，哪一個數最大？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E) 無法判斷

載入中...

若

y = - lo g_{2} x

、

y = - lo g_{3} x

、

y = lo g_{4} x

、

y = lo g_{5} x

的圖形如圖所示，若

y = f (x)

的圖形恰為

Γ_{1}

，則

f (5) =

？

(A) $- lo g_{2} 5$
(B) $- lo g_{3} 5$
(C) $lo g_{4} 5$
(D) $1$
(E) $- 1$

載入中...

以下有關

a = 2^{3}

，

b = 0. 5^{0.5}

，

c = 2^{- 3}

三數的大小關係，試選出正確的選項。

(A) $a < b < c$
(B) $a < c < b$
(C) $b < a < c$
(D) $b < c < a$
(E) $c < b < a$

已知

lo g 22 \approx 1.342423

，若

lo g x \approx 0.342423

，則下列哪一個選項最有可能是

x

的值？

(A) $0.22$
(B) $2.2$
(C) $1.2$
(D) $220$
(E) $2200$

哆啦A夢有很多神奇的道具，其中小淳老師最想要的是「十元銀行」，這家銀行每個小時會給

10 %

的利息。小淳老師一開始存了

10

元，

1

個小時後變成

11

元，

2

個小時後變成

12.1

元，一天後約莫變成

98.50

元。請問兩天後約莫變成

(A) $187$ 元
(B) $197$ 元
(C) $970$ 元
(D) $985$ 元
(E) $9702$ 元

設三個函數

y = 2^{x}

、

y = lo g_{1.3} x

、

y = lo g_{2} x

的圖形畫在

x y

坐標平面上，每個函數皆分別與曲線

A

、

B

、

C

其中之一對應，如圖所示，請觀察圖形後，判斷下列敘述哪個是正確的？

(A) 曲線 $B$ 為函數 $y = lo g_{2} x$ 的圖形
(B) 當 $x > 0$ 時， $lo g_{1.3} x > lo g_{2} x$ 恆成立
(C) 設 $a > 1$ 時，函數 $y = x$ 的圖形與函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形不會有交點
(D) 設 $a > 1$ 時，函數 $y = a^{x}$ 的圖形與函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) 設 $a > 1$ 時，函數 $y = a^{x}$ 的圖形與函數 $y = lo g_{a} x$ 的圖形凹口皆向上

載入中...

二、填充題（共 15 格，共 70 分）

已知

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則以

a

、

b

表示

lo g 13.5 =

____。

填充第 2 題（第 8～9 題）　試解下列方程式與不等式：

(1)

9^{x^{2}} - 3^{3 x + 2} = 0

，則

x =

____。

(2)

0. 4^{2 x + 1} > 0.16

，則

x

的範圍為 ____。

若

lo g_{x - 2} (- x^{2} + 8 x - 7)

有意義，且

x

為整數，則滿足此條件之所有

x

值的和為 ____。

試求

lo g_{2} 16 - lo g_{\frac{1}{3}} 27 + lo g_{5} 125

之值為 ____。

求值：

lo g \frac{2}{5} + 3 lo g \frac{1}{2} - \frac{1}{2} lo g 25 =

____。

解方程式

lo g 3 x + lo g (x - 3) = lo g 12

，

x =

____。

解不等式

lo g (1 0^{x} + 1000) < 2 + \frac{x}{2} + lo g 1.1

，則

x

的範圍為 ____。

設

a

，

b

為兩實數，且點

(4, a)

，

(250, b)

都在函數

y = lo g x

的圖形上，試求

a + b

之值為 ____。

已知

5^{x} = 10000

，

lo g_{5} 16 = y

，則

x - y =

____。

已知

lo g_{a} x = 2

，

lo g_{b} x = 3

，

lo g_{c} x = 4

，則

lo g_{ab c} x =

____。

已知設正數數列

{x_{n}}

，滿足

lo g x_{n + 1} = 1 + lo g x_{n}

，且

lo g (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{10}) = 1

，則

lo g (x_{31} + x_{32} + \dots + x_{40}) =

____。

填充第 12 題（第 19～20 題）　某公司為增進業務的發展，制定了一個激勵銷售人員的獎勵模型：

y = a lo g_{4} (x - 1) + b

，

x

表銷售金額（萬元），

y

表獎勵金額（萬元），

a

，

b

為常數。已知銷售金額為

17

萬元時，獎勵為

1

萬元；銷售金額為

129

萬元時，獎勵為

4

萬元。

(1) 根據上述資料可得數對

(a, b) =

____。

(2) 若欲得到

9

萬元的獎勵，則銷售金額應為 ____ 萬元。

小興準備向銀行貸款

1

百萬元當做創業基金，其年利率為

2 %

1.0 2^{3} = 1.061208

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(E)

第 4 題(B)

第 5 題(C)

第 6 題(D)

第 7 題

3 b - a

第 8 題

2

或

- \frac{1}{2}

第 9 題

x < \frac{1}{2}

第 10 題

15

第 11 題

\frac{17}{2}

第 12 題

- 2

第 13 題

4

第 14 題

2 < x < 4

第 15 題

3

第 16 題

4

第 17 題

\frac{12}{13}

第 18 題

31

第 19 題

(2, - 3)

第 20 題

4097

第 21 題

1208

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6：指數與對數函數的圖形、比大小、常用對數與成長

第 1 題答案 (B)。在直線

x = 1

上看：

y = a^{x}

在

x = 1

的函數值就是底數

a

，所以四條曲線與直線

x = 1

的交點高度，就是四個底數的大小。

Γ_{1}

、

Γ_{2}

由左往右上升，底數大於

1

；

Γ_{3}

、

Γ_{4}

由左往右下降，底數介於

0

與

1

之間。在

y

軸右側，

Γ_{2}

比

Γ_{1}

上升得快，在

x = 1

處

Γ_{2}

較高，所以

b > a > 1

。因此最大的是

b

。

同理在直線

x = - 1

上看，函數值是

\frac{1}{a}

、

\frac{1}{b}

、

\frac{1}{c}

、

\frac{1}{d}

；

Γ_{3}

在

y

軸左側比

Γ_{4}

高，所以

\frac{1}{c} > \frac{1}{d}

，得

c < d < 1

。

第 2 題答案 (C)。

Γ_{1}

、

Γ_{2}

是遞增的，對應底數大於

1

且前面沒有負號的

y = lo g_{4} x

、

y = lo g_{5} x

。當

x > 1

時，由換底

lo g_{4} x = \frac{lo g x}{lo g 4}

、

lo g_{5} x = \frac{lo g x}{lo g 5}

，分子

lo g x > 0

相同，分母

lo g 4 < lo g 5

，所以

lo g_{4} x > lo g_{5} x

，在

x > 1

這一段較高的

Γ_{1}

是

y = lo g_{4} x

。所以

f (5) = lo g_{4} 5

。

Γ_{3}

、

Γ_{4}

是遞減的

y = - lo g_{3} x

與

y = - lo g_{2} x

；

x > 1

時

lo g_{2} x > lo g_{3} x

，所以

- lo g_{2} x

較低，是

Γ_{4}

。

第 3 題答案 (E)。把三數都化成以

2

為底：

0.5 = 2^{- 1}

，所以

b = (2^{- 1})^{0.5} = 2^{- 0.5}

。三個指數分別是

3

、

- 0.5

、

- 3

。因為

0.5 < 3

，

0.5 < 3

，所以

- 3 < - 0.5 < 3

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

是遞增函數，指數大的值就大，所以

c < b < a

。

數值約為

a \approx 3.32

、

b \approx 0.61

、

c \approx 0.30

。

第 4 題答案 (B)。

0.342423 = 1.342423 - 1

，所以

lo g x \approx lo g 22 - lo g 10 = lo g \frac{22}{10} = lo g 2.2

，得

x \approx 2.2

。

常用對數的整數部分只決定小數點的位置，小數部分相同代表數字排列相同。

lo g x

介於

0

與

1

之間，

x

介於

1

與

10

之間，只有

2.2

符合數字排列是

22

。

第 5 題答案 (C)。每小時乘以

1.1

，

t

小時後的金額是

10 \times 1. 1^{t}

元。一天是

24

小時，

10 \times 1. 1^{24} \approx 98.50

，所以

1. 1^{24} \approx 9.850

。兩天是

48

小時：

10 \times 1. 1^{48} = 10 \times (1. 1^{24})^{2} \approx 10 \times 9.85 0^{2} \approx 10 \times 97.02 = 970.2

，約

970

元。

第二天不是再加

88.5

元，而是把第一天結束時的約

98.50

元再乘上同一個倍數

9.850

。

第 6 題

(A) 錯誤。 曲線 $B$ 是 $y = lo g_{1.3} x$ 的圖形。

(E) 錯誤。 $a > 1$ 時 $y = a^{x}$ 的圖形凹口向上，但 $y = lo g_{a} x$ 的圖形是 $y = a^{x}$ 對 $y = x$ 的鏡射，凹口向下。

(B) 只在

x > 1

時成立；題目寫「當

x > 0

時恆成立」就要檢查

0 < x \leq 1

這一段。

比較指數或對數函數的底數，最快的辦法是看直線 x＝1（指數）或固定一個 x 值用換底公式比分母；指數與對數函數互為反函數，圖形對稱於 y＝x。

02填充 7～12（原卷填充 1～5）：對數律、指數方程式與不等式、對數有意義的條件

第 7 題

13.5 = \frac{27}{2} = \frac{3 ^{3}}{2}

，所以

lo g 13.5 = 3 lo g 3 - lo g 2 = 3 b - a

。

第 8 題

9^{x^{2}} = (3^{2})^{x^{2}} = 3^{2 x^{2}}

，方程式化為

3^{2 x^{2}} = 3^{3 x + 2}

。指數函數是一對一的，所以

2 x^{2} = 3 x + 2

，即

2 x^{2} - 3 x - 2 = 0

，

(2 x + 1) (x - 2) = 0

，

x = 2

或

x = - \frac{1}{2}

。

代回檢查：

x = 2

時兩邊都是

3^{8}

；

x = - \frac{1}{2}

時

2 x^{2} = \frac{1}{2}

、

3 x + 2 = \frac{1}{2}

，也相等。兩個解都要寫。

第 9 題

0.16 = 0. 4^{2}

，不等式化為

0. 4^{2 x + 1} > 0. 4^{2}

。底數

0.4

介於

0

與

1

之間，

y = 0. 4^{x}

是遞減函數，函數值大的指數反而小，所以

2 x + 1 < 2

，得

x < \frac{1}{2}

。

底數小於

1

時，去掉底數比指數，不等號方向要改變。

第 10 題底數要大於

0

且不等於

1

：

x - 2 > 0

且

x - 2 \neq = 1

，即

x > 2

且

x \neq = 3

。真數要大於

0

：

- x^{2} + 8 x - 7 > 0

，即

x^{2} - 8 x + 7 < 0

，

(x - 1) (x - 7) < 0

，

1 < x < 7

。合起來

2 < x < 7

且

x \neq = 3

，整數

x

為

4

、

5

、

6

，和為

15

。

容易漏掉底數不可以等於

1

這個條件而把

3

算進去（得

18

）。

第 11 題

lo g_{2} 16 = lo g_{2} 2^{4} = 4

。

27 = 3^{3} = (\frac{1}{3})^{- 3}

，所以

lo g_{\frac{1}{3}} 27 = - 3

。

125 = 5^{\frac{3}{2}}

，所以

lo g_{5} 125 = \frac{3}{2}

。原式

= 4 - (- 3) + \frac{3}{2} = \frac{17}{2}

。

中間是減去

lo g_{\frac{1}{3}} 27

，它本身是

- 3

，減去負數變成加

3

。

第 12 題

\frac{1}{2} lo g 25 = lo g 2 5^{\frac{1}{2}} = lo g 5

，

3 lo g \frac{1}{2} = lo g \frac{1}{8}

。原式

= lo g \frac{2}{5} + lo g \frac{1}{8} - lo g 5 = lo g (\frac{2}{5} \times \frac{1}{8} \div 5) = lo g \frac{1}{100} = - 2

。

對數律合併前先把係數搬進真數；對數有意義要同時檢查底數大於 0 且不等於 1、真數大於 0。

03填充 13～18（原卷填充 6～11）：對數方程式、不等式與換底

第 13 題真數要大於

0

：

3 x > 0

且

x - 3 > 0

，所以

x > 3

。在此範圍內，由對數律

lo g 3 x + lo g (x - 3) = lo g (3 x (x - 3))

，方程式化為

3 x (x - 3) = 12

，

x^{2} - 3 x - 4 = 0

，

(x - 4) (x + 1) = 0

，

x = 4

或

x = - 1

。

x = - 1

不滿足

x > 3

，捨去，所以

x = 4

。

代回檢查：

lo g 12 + lo g 1 = lo g 12

，成立。

第 14 題右邊寫成一個對數：

2 + \frac{x}{2} + lo g 1.1 = lo g 100 + lo g 1 0^{\frac{x}{2}} + lo g 1.1 = lo g (110 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}})

。底數

10 > 1

，

lo g

是遞增函數，所以不等式等價於

1 0^{x} + 1000 < 110 \cdot 1 0^{\frac{x}{2}}

。令

t = 1 0^{\frac{x}{2}} > 0

，則

1 0^{x} = t^{2}

，得

t^{2} - 110 t + 1000 < 0

，即

(t - 10) (t - 100) < 0

，

10 < t < 100

。也就是

1 0^{1} < 1 0^{\frac{x}{2}} < 1 0^{2}

，所以

1 < \frac{x}{2} < 2

，

2 < x < 4

。

左邊的真數

1 0^{x} + 1000

恆正，不必另外限制

x

。代

x = 3

檢查：左邊

lo g 2000 \approx 3.301

，右邊

3.5 + lo g 1.1 \approx 3.541

，成立。

第 15 題點在

y = lo g x

的圖形上，代入得

a = lo g 4

，

b = lo g 250

。

a + b = lo g (4 \times 250) = lo g 1000 = 3

。

第 16 題由對數的定義，

5^{x} = 10000

即

x = lo g_{5} 10000 = lo g_{5} 1 0^{4} = 4 lo g_{5} 10

；

y = lo g_{5} 16 = lo g_{5} 2^{4} = 4 lo g_{5} 2

。

x - y = 4 (lo g_{5} 10 - lo g_{5} 2) = 4 lo g_{5} \frac{10}{2} = 4 lo g_{5} 5 = 4

。

第 17 題由換底公式，

lo g_{x} a = \frac{1}{lo g _{a} x} = \frac{1}{2}

，同理

lo g_{x} b = \frac{1}{3}

，

lo g_{x} c = \frac{1}{4}

。所以

lo g_{x} (ab c) = lo g_{x} a + lo g_{x} b + lo g_{x} c = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{13}{12}

，

lo g_{ab c} x = \frac{1}{lo g _{x} ( ab c )} = \frac{12}{13}

。

不可以把

2 + 3 + 4 = 9

當答案：真正可以相加的是以

x

為底的

lo g_{x} a

、

lo g_{x} b

、

lo g_{x} c

。

第 18 題

lo g x_{n + 1} = 1 + lo g x_{n} = lo g 10 + lo g x_{n} = lo g (10 x_{n})

，所以

x_{n + 1} = 10 x_{n}

，

{x_{n}}

是公比

10

的等比數列。由

lo g (x_{1} + \dots + x_{10}) = 1

得

x_{1} + \dots + x_{10} = 10

。每一項往後推

30

項就乘上

1 0^{30}

：

x_{31} = 1 0^{30} x_{1}

，…，

x_{40} = 1 0^{30} x_{10}

，所以

x_{31} + \dots + x_{40} = 1 0^{30} \times 10 = 1 0^{31}

，其對數為

31

。

前十項的和是

10

，不是每一項都是

1

；只用到「每一項往後推

30

項都乘上同一個倍數」，不必求出

x_{1}

。

對數方程式先寫真數條件再合併；含 10 的 x 次方與 10 的 x/2 次方的不等式，令 t 等於 10 的 x/2 次方化成二次不等式。

04填充 19～21（原卷填充 12～13）：對數模型與單利複利

第 19 題代入兩組資料：

x = 17

時

y = 1

，

a lo g_{4} 16 + b = 1

，即

2 a + b = 1

；

x = 129

時

y = 4

，

a lo g_{4} 128 + b = 4

。

128 = 2^{7} = 4^{\frac{7}{2}}

，所以

lo g_{4} 128 = \frac{7}{2}

，得

\frac{7}{2} a + b = 4

。兩式相減

\frac{3}{2} a = 3

，

a = 2

，

b = 1 - 2 a = - 3

。數對

(a, b) = (2, - 3)

。

第 20 題模型為

y = 2 lo g_{4} (x - 1) - 3

。令

y = 9

：

2 lo g_{4} (x - 1) - 3 = 9

，

lo g_{4} (x - 1) = 6

，

x - 1 = 4^{6} = 4096

，

x = 4097

（萬元）。

代回檢查：

lo g_{4} 4096 = 6

，

2 \times 6 - 3 = 9

。

第 21 題本金

1

百萬元

= 1000000

元。複利三年的本利和：

1000000 \times 1.0 2^{3} = 1000000 \times 1.061208 = 1061208

元。單利三年的利息是每年

1000000 \times 0.02 = 20000

元，三年

60000

元，本利和

1060000

元。少繳

1061208 - 1060000 = 1208

元。

複利是「利息也生利息」，三年下來多出的

1208

元就是前兩年利息再生的利息。

對數模型用兩組資料列兩條一次方程式解出係數；單利每年利息固定，複利每年乘上同一個倍數。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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溪湖高中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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02填充 7～12（原卷填充 1～5）：對數律、指數方程式與不等式、對數有意義的條件

03填充 13～18（原卷填充 6～11）：對數方程式、不等式與換底

04填充 19～21（原卷填充 12～13）：對數模型與單利複利

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高二第二次段考
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