段考詳解範圍：數列的極限、級數與無窮等比級數、函數（合成函數、反函數、高斯符號）、函數的極限與連續

蘭陽女中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 4 分，共 20 分）、多選題 4 題（每題 8 分，共 32 分；全對得 8 分，答錯 1 個選項得 5 分，答錯 2 個選項得 3 分，未作答或答錯多於 2 個選項得零分）、選填題 10 題（A 到 I 每題 5 分，J 題 3 分，共 48 分；每一題格子全對才給分，答案為分數時需化為最簡分數，否則不計分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：每題 4 分，共 20 分

下列哪一個無窮數列為發散數列？

(1) $⟨ \frac{1}{n} ⟩$
(2) $⟨ 3 - \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(3) $⟨ (π - 3)^{n} ⟩$
(4) $⟨ (5 - 3)^{n} ⟩$
(5) $⟨ tan^{n} 6 0^{\circ} ⟩$

若

a = n \to \infty lim (\frac{2}{n ^{2}} + \frac{4}{n ^{2}} + \dots + \frac{2 n}{n ^{2}})

，求

a

為下列何值？

(1) $0$
(2) $\frac{1}{2}$
(3) $1$
(4) $2$
(5) 不存在

關於極限，下列的極限有幾個是整數？

x \to - 1 lim (x^{100} - 2 x - 3)

，

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x + 3}{x + 2}

，

x \to 2 lim \frac{x + 1}{x - 2}

，

x \to 1 lim (\frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{x - 1}{x + 1})

，

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3}

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

求

x \to 0 lim \frac{1}{x} (\frac{1}{4 + 2 x} - \frac{1}{4}) =

？

(1) $- \frac{1}{8}$
(2) $- \frac{1}{4}$
(3) $- \frac{1}{2}$
(4) $0$
(5) $1$

已知首項為

2

的無窮等比級數的和為

6

，且其前

n

項的和

S_{n}

滿足

∣ 6 - S_{n} ∣ < \frac{1}{100}

，求

n

的最小值為何？

(1) $13$
(2) $14$
(3) $15$
(4) $16$
(5) $17$

二、多選題：每題 8 分 (全對得 8 分，答錯 1 個選項，可得 5 分；答錯 2 個選項，可得 3 分；未作答或答錯多於 2 個選項者，得零分) ，共 32 分。

已知數列

⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩, ⟨ d_{n} ⟩, ⟨ e_{n} ⟩

定義如下：

a_{n} = (- 1)^{n}

；

b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}

；

c_{n} = (\frac{- 10}{3})^{n}

；

d_{n} = \frac{1}{3} c_{n}

；

e_{n} = \frac{1}{c _{n}}

，其中

n = 1, 2, 3, \dots

下列選項中，試選出會發散的無窮級數。

(1) $n = 1 \sum \infty a_{n}$
(2) $n = 1 \sum \infty b_{n}$
(3) $n = 1 \sum \infty c_{n}$
(4) $n = 1 \sum \infty d_{n}$
(5) $n = 1 \sum \infty e_{n}$

某城市的計程車車資計費方式為：前

1250

公尺，基本收費

90

元，超過

1250

公尺的部分，每

200

公尺加收

5

元，不足

200

公尺以

200

公尺計算。已知搭乘

x

公尺所需支付的車資為

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a, 90 + 5 \times (- [\frac{b - x}{200}]), 當 0 < x \leq 1250 當 x > 1250

元，其中

a, b

為實數，符號

[]

為高斯符號，請選出正確的選項。

(1) $[π] = 3$
(2) $[- 4.3] = - 4$
(3) $a = 90$
(4) $b = 1450$
(5) 車資 $500$ 元最多可搭乘 $17650$ 公尺

對於無窮數列

⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩

，選出正確的選項？（選項 (5) 的極限符號下方，卷面印的是

n \to 0

，照卷面原樣）

(1) 若 $⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩$ 均為發散數列，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 必為發散數列
(2) 若 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ ，則 $n \to \infty lim a_{n}^{2} = 0$
(3) 若 $n \to \infty lim a_{2 n} = 1$ ，則 $n \to \infty lim a_{n} = 1$
(4) 若 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩$ 均為收斂數列
(5) 若 $c_{n} = sin \frac{1}{n}$ ，則 $n \to 0 lim n c_{n} = 0$

已知函數

y = f (x)

的圖形如下：選出所有正確的選項。

(1) $x \to 1 lim f (x) = 1$
(2) $x \to 2 lim f (x)$ 不存在
(3) $x \to 3 lim f (x) = f (3)$
(4) $x \to 3 lim f (x)$ 存在
(5) $x \to 4^{-} lim f (x) = 2$

載入中...

三、選填題：A-I 每題為 5 分，J 題為 3 分共 48 分，每一題格子全對才給分，答案為分數時，需化為最簡分數，否則不計分。（本頁第 10～19 題依序為卷面選填題 A～J）

求

x \to 3 lim \frac{1 - x - x ^{2} - 11}{x - 3} =

____

求

k = 1 \sum 10 (6 k^{2} + 2 k)

之值為 ____

已知三次多項式滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 2

，

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x - 3} = 6

，求

f (0)

的值為 ____

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - a x + 3}{x - 1}, k, x \neq = 1 x = 1

為連續函數，求數對

(a, k) =

____

已知

f (x) = \frac{x - 1}{x}

，

g (x) = \frac{x}{x - 1}

，求

(g \circ f) (- 3)

的值 ____

甲、乙兩人輪流投擲一粒公正骰子，約定如下：當擲出點數為質數點時，此人獲勝；當擲出點數不為質數點時，改由另一人投擲。已知由甲先投擲，求甲獲勝的機率 ____

若

f (x) = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}

，且

g (x), f (x)

互為反函數，則

g (x) = a x + b

，求數對

(a, b)

為 ____

求

x \to 2 lim \frac{( x - 1 ) ^{100} - 1}{x - 2}

的值 ____

若

a_{n} = \frac{1 ^{2}}{n ^{2} + 1} + \frac{2 ^{2}}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{n ^{2}}{n ^{2} + n}

，則

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}}

的值 ____

設

p = x \to 202 3^{+} lim ([x] + x - [x])

，

q = x \to 202 3^{-} lim ([x] + x - [x])

，其中

[x]

表示不大於

x

的最大整數，試求

p + q

之值為 ____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(1)

第 5 題(4)

第 6 題(1)(3)(4)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題(2)(5)

第 9 題(1)(2)(4)(5)

第 10 題

7

第 11 題

2420

第 12 題

- 9

第 13 題

(a, k) = (4, - 2)

第 14 題

4

第 15 題

\frac{2}{3}

第 16 題

(a, b) = (2, 3)

第 17 題

100

第 18 題

\frac{1}{3}

第 19 題

4046

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～2：數列的收斂與發散、先求和再取極限

第 1 題答案 (5)。(1)

\frac{1}{n}

趨近

0

，收斂。(2)

\frac{1}{n ^{2}}

趨近

0

，所以

3 - \frac{1}{n ^{2}}

趨近

3

，收斂。(3) 是公比

π - 3 \approx 0.14

的等比數列，公比在

- 1

與

1

之間，收斂到

0

。(4) 是公比

5 - 3 \approx - 0.76

的等比數列，公比也在

- 1

與

1

之間，收斂到

0

。(5)

tan 6 0^{\circ} = 3

，所以這是公比

3 \approx 1.73

的等比數列

⟨ (3)^{n} ⟩

，公比大於

1

，各項愈來愈大、沒有上限，發散。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

；(4) 的公比是負的，但絕對值小於

1

，正負交錯地趨近

0

，仍然收斂。

第 2 題答案 (3)。括號內共

n

項，分母都是

n^{2}

，先合成一個分數：

\frac{2 + 4 + \dots + 2 n}{n ^{2}} = \frac{2 ( 1 + 2 + \dots + n )}{n ^{2}} = \frac{n ( n + 1 )}{n ^{2}} = 1 + \frac{1}{n}

。所以

a = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n}) = 1

。

不可以把每一項分別取極限得到

0 + 0 + \dots + 0 = 0

：項數

n

也跟著變多，極限的加法性質只能用在固定的有限項。

等比數列先看公比；項數會跟著變多的和，先求和再取極限。

02單選 3～4：函數的極限

第 3 題答案 (2)，有

2

個是整數。依序計算：第一個是多項式，直接代入得

(- 1)^{100} - 2 (- 1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0

，是整數。第二個分母在

x = 1

不為

0

，代入得

\frac{1 + 1 + 3}{1 + 2} = \frac{5}{3}

，不是整數。第三個當

x \to 2

時分母趨近

0

、分子趨近

3

，函數值的絕對值可以任意大，極限不存在。第四個代入得

\frac{3}{- 2} + \frac{0}{2} = - \frac{3}{2}

，不是整數。第五個分子分母都趨近

0

，先因式分解

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{x - 3} = x - 2

（

x \neq = 3

），極限是

3 - 2 = 1

，是整數。所以只有第一個與第五個是整數。

0

也是整數；極限不存在的那一個不能算進去。

第 4 題答案 (1)。先把括號內通分：

\frac{1}{4 + 2 x} - \frac{1}{4} = \frac{4 - ( 4 + 2 x )}{4 ( 4 + 2 x )} = \frac{- 2 x}{4 ( 4 + 2 x )}

。乘上

\frac{1}{x}

後約去

x

（

x \neq = 0

）：

\frac{1}{x} \cdot \frac{- 2 x}{4 ( 4 + 2 x )} = \frac{- 2}{4 ( 4 + 2 x )} = \frac{- 1}{2 ( 4 + 2 x )}

。令

x \to 0

得

\frac{- 1}{2 \times 4} = - \frac{1}{8}

。

先代入；分母為零時，看分子是不是也為零，再決定是約分還是極限不存在。

03單選 5、多選 6：無窮等比級數

第 5 題答案 (4)。設公比為

r

，由

\frac{2}{1 - r} = 6

得

1 - r = \frac{1}{3}

，

r = \frac{2}{3}

。前

n

項的和

S_{n} = \frac{2 ( 1 - ( \frac{2}{3} ) ^{n} )}{1 - \frac{2}{3}} = 6 - 6 (\frac{2}{3})^{n}

，所以

∣ 6 - S_{n} ∣ = 6 (\frac{2}{3})^{n}

。條件成為

6 (\frac{2}{3})^{n} < \frac{1}{100}

，即

(\frac{3}{2})^{n} > 600

。逐次平方：

(\frac{3}{2})^{2} = 2.25

，

(\frac{3}{2})^{4} = 5.0625

，

(\frac{3}{2})^{8} \approx 25.63

，

(\frac{3}{2})^{16} \approx 656.8 > 600

；而

(\frac{3}{2})^{15} = (\frac{3}{2})^{16} \div \frac{3}{2} \approx 437.9 < 600

。所以

n

的最小值是

16

。

也可以用常用對數：

n > \frac{lo g 600}{lo g 3 - lo g 2} \approx \frac{2.778}{0.176} \approx 15.8

，所以

n

最小是

16

。

第 6 題答案 (1)(3)(4)。(1)

a_{n} = (- 1)^{n}

，部分和依序是

- 1, 0, - 1, 0, \dots

，在兩個值之間跳動，不會趨近一個定值，發散。(2)

b_{n} = (- 1)^{n} + (- 1)^{n + 1} = (- 1)^{n} (1 - 1) = 0

，每一項都是

0

，部分和恆為

0

，收斂。(3)

c_{n}

是公比

- \frac{10}{3}

的等比數列，因為

10 > 3

，公比的絕對值大於

1

，無窮等比級數發散。(4)

d_{n} = \frac{1}{3} c_{n}

的公比同樣是

- \frac{10}{3}

，首項不為

0

，發散。(5)

e_{n} = \frac{1}{c _{n}} = (- \frac{3}{10})^{n}

，公比的絕對值

\frac{3}{10} \approx 0.95 < 1

，收斂。

題目要選的是「會發散」的級數。無窮等比級數在首項不為

0

時，收斂的條件是公比的絕對值小於

1

；(1) 的公比是

- 1

，不合這個條件。

無窮等比級數只在公比的絕對值小於 1 時收斂；總和與部分和的差也是一個等比數列。

04多選 7：高斯符號與車資

第 7 題答案 (1)(3)(5)。(1)

3 \leq π < 4

，所以

[π] = 3

，對。(2) 不大於

- 4.3

的最大整數是

- 5

（

- 4

比

- 4.3

大），錯。(3) 前

1250

公尺收基本費

90

元，所以

a = 90

，對。(4) 超過

1250

公尺時，設

t = \frac{x - 1250}{200}

，加收的次數是「不小於

t

的最小整數」（不足

200

公尺也算一次），而這個數正好等於

- [- t]

。例如

t = 0.3

時

- [- 0.3] = - (- 1) = 1

；

t = 2

時

- [- 2] = 2

。所以

- [\frac{b - x}{200}] = - [- \frac{x - 1250}{200}]

，即

b = 1250

，錯。也可以代數字檢查：若

b = 1450

，搭

1251

公尺時

[\frac{199}{200}] = 0

，車資仍是

90

元，與「超過就加收

5

元」不合。(5)

90 + 5 m = 500

得加收次數

m = 82

，所以超過的部分最多

82 \times 200 = 16400

公尺，最多可搭

1250 + 16400 = 17650

公尺（再多

1

公尺就是

505

元），對。

高斯符號是無條件捨去到整數（往數線左邊取），負數要特別小心；要做無條件進位時，先變號、取高斯、再變號。

無條件進位可以寫成先變號、取高斯符號、再變號。

05多選 8：數列極限的性質與反例

第 8 題答案 (2)(5)。(1) 取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，兩個都發散，但

a_{n} + b_{n} = 0

收斂，錯。(2) 兩個收斂數列的積的極限等於極限的積，

n \to \infty lim a_{n}^{2} = 0 \times 0 = 0

，對。(3) 取

a_{n}

在

n

為偶數時是

1

、

n

為奇數時是

0

，則

a_{2 n} = 1

的極限是

1

，但

⟨ a_{n} ⟩

在

0

與

1

之間跳動，發散，錯。(4) 同 (1) 的例子，

a_{n} + b_{n}

收斂但

a_{n}

、

b_{n}

都發散，錯。(5) 卷面印的是

n \to 0

。照卷面把

n

看成趨近

0

的實數：因為

- 1 \leq sin \frac{1}{n} \leq 1

，所以

- ∣ n ∣ \leq n sin \frac{1}{n} \leq ∣ n ∣

，兩邊都趨近

0

，由夾擠定理知極限是

0

，照卷面的寫法是對的，學校公布的答案也選了這一項。

(5) 要留意：數列的足碼

n

是正整數，一般只討論

n \to \infty

。如果這個選項是

n \to \infty

，那麼

n sin \frac{1}{n}

會趨近

1

而不是

0

（例如

n = 1000

時約為

0.9999998

），選項就不成立。本頁答案照卷面印的

n \to 0

判斷。

和收斂不代表各自收斂；只有一部分的項收斂也不代表整個數列收斂，舉反例最快。

06多選 9：由圖形讀極限

第 9 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1)

x

從左右兩邊靠近

1

時，圖形都靠近點

(1, 1)

，極限是

1

，對。(2)

x

從左邊靠近

2

時圖形一直往上衝，從右邊靠近

2

時圖形在下方，兩邊不會靠近同一個數，極限不存在，對。(3)

x

從左右兩邊靠近

3

時，圖形都靠近空心點

(3, 1)

，所以

x \to 3 lim f (x) = 1

；但實心點在

(3, 2)

，

f (3) = 2

，兩者不相等，錯。(4) 承 (3)，極限存在（等於

1

），對。(5)

x

從左邊靠近

4

時，圖形沿斜線段靠近實心點

(4, 2)

，左極限是

2

，對。

極限只看「靠近時」圖形往哪裡去，與那一點本身的函數值無關；實心點才是函數值。

x = 4

的右極限是

1

，與左極限不同。

讀圖求極限時，分別看左邊與右邊靠近的高度；空心點是極限的位置，實心點是函數值。

07選填 A～C（第 10～12 題）：絕對值的極限、求和公式、由極限決定多項式

第 10 題答案

7

。

x

在

3

附近時，

1 - x - x^{2}

接近

1 - 3 - 9 = - 11

，是負的，所以

1 - x - x^{2} = x^{2} + x - 1

。分子成為

x^{2} + x - 1 - 11 = x^{2} + x - 12 = (x - 3) (x + 4)

，與分母約去

x - 3

後剩下

x + 4

，極限是

3 + 4 = 7

。

絕對值要先判斷

x

在

3

附近時裡面的正負，再去掉絕對值；不能直接把絕對值拿掉。

第 11 題答案

2420

。

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 k = \frac{10 \times 11}{2} = 55

。所以原式

= 6 \times 385 + 2 \times 55 = 2310 + 110 = 2420

。

第 12 題答案

- 9

。

x \to 1

時分母

x - 1

趨近

0

，極限卻存在，所以分子也要趨近

0

，即

f (1) = 0

；同理

f (3) = 0

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x - 1) (x - 3) (a x + b)

。第一個極限：

x \to 1 lim (x - 3) (a x + b) = - 2 (a + b) = 2

，得

a + b = - 1

。第二個極限：

x \to 3 lim (x - 1) (a x + b) = 2 (3 a + b) = 6

，得

3 a + b = 3

。兩式相減得

a = 2

，

b = - 3

，所以

f (x) = (x - 1) (x - 3) (2 x - 3)

，

f (0) = (- 1) (- 3) (- 3) = - 9

。

分母趨近

0

而極限存在，分子一定也趨近

0

，這是設因式的依據。

分母趨近零而極限存在時，分子也必須趨近零，由此找出公因式。

08選填 D、E、G（第 13、14、16 題）：連續、合成函數與反函數

第 13 題答案

(a, k) = (4, - 2)

。

f (x)

在

x = 1

連續，表示

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - a x + 3}{x - 1}

存在而且等於

f (1) = k

。分母趨近

0

，所以分子在

x = 1

的值也要是

0

：

1 - a + 3 = 0

，

a = 4

。這時

\frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{x - 1} = x - 3

（

x \neq = 1

），極限是

1 - 3 = - 2

，所以

k = - 2

。

x \neq = 1

的地方

f (x)

是分母不為

0

的有理函數，本來就連續；整個函數連續只需要再檢查

x = 1

。

第 14 題答案

4

。

(g \circ f) (- 3) = g (f (- 3))

。先算

f (- 3) = \frac{- 3 - 1}{- 3} = \frac{4}{3}

，再算

g (\frac{4}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}} = 4

。

g \circ f

是先算

f

再算

g

，順序不能顛倒。

第 16 題答案

(a, b) = (2, 3)

。令

y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}

，解出

x

：

2 y = x - 3

，

x = 2 y + 3

。把

x, y

對調得反函數

g (x) = 2 x + 3

，所以

a = 2

，

b = 3

。檢查：

f (g (x)) = \frac{1}{2} (2 x + 3) - \frac{3}{2} = x

。

連續就是極限值等於函數值；反函數是把對應關係倒過來，解出 x 再對調。

09選填 F（第 15 題）：輪流擲骰子

第 15 題答案

\frac{2}{3}

。骰子的質數點是

2, 3, 5

，每一次擲出質數點的機率是

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

，擲不出的機率也是

\frac{1}{2}

。甲在第

1, 3, 5, \dots

次投擲。甲在第

1

次就獲勝的機率是

\frac{1}{2}

；在第

3

次獲勝，表示前兩次都沒有人擲出質數點，機率是

(\frac{1}{2})^{2} \cdot \frac{1}{2}

；在第

5

次獲勝的機率是

(\frac{1}{2})^{4} \cdot \frac{1}{2}

；依此類推。甲獲勝的機率是首項

\frac{1}{2}

、公比

\frac{1}{4}

的無窮等比級數的和：

\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3}

。

乙獲勝的機率是

\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}

，兩人的機率相加是

1

，可以用來檢查。

輪流進行、直到有人成功為止的機率，把各輪的機率列出來就是無窮等比級數。

10選填 H～J（第 17～19 題）：高次式的極限、夾擠定理、左右極限

第 17 題答案

100

。令

t = x - 1

，則

x \to 2

時

t \to 1

，而且

x - 2 = t - 1

，原式成為

t \to 1 lim \frac{t ^{100} - 1}{t - 1}

。因為

t^{100} - 1 = (t - 1) (t^{99} + t^{98} + \dots + t + 1)

，約去

t - 1

後剩下

t^{99} + t^{98} + \dots + t + 1

，共

100

項；令

t \to 1

，每一項都趨近

1

，極限是

100

。

t^{n} - 1 = (t - 1) (t^{n - 1} + t^{n - 2} + \dots + 1)

，括號裡共有

n

項。

第 18 題答案

\frac{1}{3}

。各項的分母不同，沒辦法直接相加，改用夾擠定理。分母中

n^{2} + 1

最小、

n^{2} + n

最大，所以

\frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{2} + n} \leq a_{n} \leq \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + \dots + n ^{2}}{n ^{2} + 1}

，其中

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。各除以

n^{2}

：左邊是

\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2} n ^{2} + n}

，分子分母同除以

n^{3}

得

\frac{( 1 + \frac{1}{n} ) ( 2 + \frac{1}{n} )}{6 1 + \frac{1}{n}}

，極限是

\frac{1 \times 2}{6 \times 1} = \frac{1}{3}

；右邊同樣化成

\frac{( 1 + \frac{1}{n} ) ( 2 + \frac{1}{n} )}{6 1 + \frac{1}{n ^{2}}}

，極限也是

\frac{1}{3}

。由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{3}

。

把每一項的分母都換成最大的，整個和變小；都換成最小的，整個和變大，這樣就得到上下界。

第 19 題答案

4046

。

x

從右邊靠近

2023

時（

2023 < x < 2024

），

[x] = 2023

，

x - [x] = x - 2023

趨近

0

，所以

p = 2023 + 0 = 2023

。

x

從左邊靠近

2023

時（

2022 < x < 2023

），

[x] = 2022

，

x - [x] = x - 2022

趨近

1 = 1

，所以

q = 2022 + 1 = 2023

。因此

p + q = 4046

。

從左邊靠近整數時，高斯符號的值是少

1

的那個整數，但根號裡的小數部分趨近

1

，兩者正好補回來，所以這個函數在

x = 2023

的左右極限相等。

分母各不相同的和用夾擠定理；有高斯符號的極限要分左右兩邊，先把高斯符號換成確定的整數。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

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多選第 7 題：加收次數是無條件進位，要看出它等於先變號、取高斯符號、再變號，才能定出 b 是 1250 而不是 1450。多選第 8 題的選項 5：卷面印的是 n 趨近 0，照卷面用夾擠定理得到 0；若是 n 趨近無限大，結果會是 1。選填 C（本頁第 12 題）：由兩個極限存在先推出 1 與 3 都是多項式的根，再設因式。選填 I（本頁第 18 題）：各項分母不同，要把分母全部換成最大與最小的來夾。詳解逐題寫在本頁。

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蘭陽女中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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02單選 3～4：函數的極限

03單選 5、多選 6：無窮等比級數

04多選 7：高斯符號與車資

05多選 8：數列極限的性質與反例

06多選 9：由圖形讀極限

07選填 A～C（第 10～12 題）：絕對值的極限、求和公式、由極限決定多項式

08選填 D、E、G（第 13、14、16 題）：連續、合成函數與反函數

09選填 F（第 15 題）：輪流擲骰子

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高三第一次段考
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