段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

溪湖高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 溪湖高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 溪湖高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題選項 (E) 要想到 b 等於 log a 就是 10 的 b 次方等於 a，代回去剛好在圖形上；第 3 題選項 (E) 用算幾不等式比較兩個函數值的平均與中點的函數值；第 8 題兩邊底數不同，先把以九分之一為底的對數換成以三分之一為底，再注意底數小於一不等號反向；第 13 題要看出兩條曲線與直線都對稱於直線 y 等於 x，交點互為對稱點。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 3 題（每題 7 分，錯一個得 5 分，錯兩個得 3 分，錯三個以上全錯，共 21 分）、填充題 13 題（共 79 分）；填充題依答對題數給分，答對 1～13 題依序得 7、14、21、28、35、41、47、53、59、64、69、74、79 分。本頁第 1～3 題為原卷多選題 1～3，第 4～16 題依序為原卷填充題 1～13。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題（每題 7 分，錯一個得 5 分，錯兩個得 3 分，錯三個以上全錯，共 21 分）

關於對數函數圖形的敘述，下列哪些選項是正確的？

(A) $y = lo g_{6} x$ 為嚴格遞增函數
(B) $y = lo g_{2} x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形對稱於 $x = y$
(C) $y = lo g x$ 與 $y = lo g (- x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(D) $y = lo g x$ 對稱於直線 $x - y = 0$ 的函數為 $y = (\frac{1}{10})^{x}$
(E) $y = lo g_{8} x$ 的圖形上任取相異兩點 $A$ 、 $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為正

若點

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上的一點，則下列哪些點必在此函數圖形上？

(A) $(100 a, 2 b)$
(B) $(a^{\frac{4}{5}}, \frac{4}{5} b)$
(C) $(\frac{1}{a ^{3}}, - 3 b)$
(D) $(\frac{a}{10}, \frac{b}{10})$
(E) $(1 0^{a}, 1 0^{b})$

下圖為某種酵母菌的單位容積菌數（

y

個）與培養時間（

x

天）的關係圖。若其關係為指數函數

y = f (x) = k \times a^{x}

，其中

k

，

a

是常數，下列哪些選項是正確的？

(A) $a = 6$
(B) $k = \frac{15}{2}$
(C) 若培養時間為 $2$ 天，則此酵母菌的單位容積菌數為 $270$ 個
(D) 若培養時間為 $4$ 天，則此酵母菌的單位容積菌數為 $1920$ 個
(E) 已知 $0 \leq α \leq β \leq 3$ ，則 $\frac{f ( α ) + f ( β )}{2} \leq f (\frac{α + β}{2})$

載入中...

二、填充題（共 79 分）

設

a = lo g_{3} 2

，

b = lo g_{6} 3

，則

3^{a + \frac{1}{b} + 1} =

____。

試解指數方程式

4^{x + 1} = 9 \times 2^{x} - 2

，得

x =

____。（有兩解，全對才給分）

設

x

為實數，則

2^{x} - x = 3

有 ____ 個實根。

方程式

x^{1 + l o g_{2} x} = 4 x^{2}

之解為

x =

____。（有兩解，全對才給分）

試求不等式

lo g_{\frac{1}{3}} (3 x + 1) \geq lo g_{\frac{1}{9}} (8 x^{2} + 17)

，

x

的範圍為 ____。

設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

，

y = 6

與

y = 3^{x}

的交點，求

\overline{P Q} =

____。

設

0 \leq x \leq 1

，則

f (x) = (\frac{1}{25})^{x} - (\frac{1}{5})^{x - 1}

的最大值為

a

，最小值

b

，求

(a, b) =

____。

若正實數

x

，

y

滿足

lo g x = 1.2

，

lo g y = 2.4

，則

lo g (x^{2} + y)

的值最接近的整數為 ____。（

lo g 2 = 0.3010

）

將

0. 3^{20}

表示成小數時，從小數點後第

a

位開始出現不為

0

的數，此不為

0

的數是

b

，求數對

(a, b) =

____。（

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

）

若

A (a + 1, 4 b - 3)

為

x + y = k

與

y = 1 0^{x}

的交點，

B (3 a + 8, - 2 b + 4)

為

x + y = k

與

y = lo g x

的交點，求

k =

____。

甲、乙兩國都提倡要增加人口，若剛開始的時候，兩國的人口數相等，甲國每

12

年人口增為

2

倍，乙國每

22

年人口增為

4

倍。設每年的人口成長率一直維持不變，則經過 ____ 年後，乙國的人口是甲國人口的

2

倍。

某食品公司要推出一款新的益生菌產品，而這種益生菌是由甲，乙兩種菌種混合而成。經過實驗發現，如果乙菌種個數是甲菌種個數的一千倍以上時，新的益生菌產品才會廣受歡迎。如果甲菌種一天之後菌種個數變為

2

倍，而乙菌種一天後菌種個數變為

5

倍，若取相同數量的甲，乙兩菌種混合繁殖，則至少經過 ____ 天後（取整數），這種益生菌才會廣受歡迎。（

lo g 2 = 0.3010

）

設銀行利率的算法有單利和複利兩種： (I) 單利：本利和

S = 本金 P \times (1 + 期利率 \times 期數)

， (II) 複利：本利和

S = 本金 P \times (1 + 期利率)^{期數}

，泰瑞準備向某銀行貸款

5

百萬元當作投資基金，其年利率為

2%

，約定兩年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利（每半年複利一次）計息還款，但給泰瑞青年優惠改以單利計息還款。請問在此優惠下，泰瑞在兩年期滿還款時可以比一般複利計息少繳 ____ 元。（四捨五入到整數）（已知

(1.02)^{4} = 1.08243216

，

(1.01)^{4} = 1.04060401

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)(E)

第 2 題(B)(C)(E)

第 3 題(B)(D)

第 4 題

36

第 5 題

1

或

- 2

第 6 題

2

第 7 題

4

或

\frac{1}{2}

第 8 題

- \frac{1}{3} < x \leq 2

第 9 題

17

第 10 題

(- \frac{24}{25}, - 4)

第 11 題

3

第 12 題

(11, 3)

第 13 題

5

（照題意用對稱求得；卷面數據其實互相矛盾，見詳解）

第 14 題

132

第 15 題

8

第 16 題

3020

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1～3 題：對數函數的圖形、圖形上的點、由兩點求指數函數

第 1 題

(A) 正確。 底數 $6 > 1$ ， $y = lo g_{6} x$ 在 $x > 0$ 上是嚴格遞增函數。

(B) 錯誤。 由換底公式 $lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{lo g x}{- lo g 2} = - lo g_{2} x$ ，所以兩圖形上的點是 $(x, y)$ 與 $(x, - y)$ 的關係，對稱於 $x$ 軸，不是對稱於直線 $x = y$ 。

(C) 正確。 點 $(x_{0}, y_{0})$ 在 $y = lo g x$ 上，即 $y_{0} = lo g x_{0}$ ；則 $(- x_{0}, y_{0})$ 滿足 $y_{0} = lo g (- (- x_{0}))$ ，在 $y = lo g (- x)$ 上。反過來也一樣，所以兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(D) 錯誤。 直線 $x - y = 0$ 就是 $y = x$ 。 $y = lo g x$ 對它對稱，是把 $x$ 、 $y$ 互換： $x = lo g y$ ，即 $y = 1 0^{x}$ ，不是 $(\frac{1}{10})^{x}$ 。

(E) 正確。 設 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ 。底數 $8 > 1$ ， $y = lo g_{8} x$ 遞增，所以 $y_{1} < y_{2}$ ，斜率 $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} > 0$ 。（兩點相異且 $x$ 坐標不同，直線不會是鉛直線。）

y = (\frac{1}{10})^{x}

與

y = 1 0^{x}

對稱於

y

軸；與

y = lo g x

對稱於

y = x

的是

y = 1 0^{x}

。

第 2 題

點 $(a, b)$ 在 $y = lo g x$ 上，所以 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。逐項看 $x$ 坐標代入 $lo g$ 後是否等於 $y$ 坐標。

(A) 錯誤。 $lo g (100 a) = 2 + lo g a = 2 + b$ ，要等於 $2 b$ 必須 $b = 2$ ，不一定成立。例如 $a = 1$ 、 $b = 0$ ：點 $(100, 0)$ ，但 $lo g 100 = 2 \neq = 0$ 。

(B) 正確。 $lo g a^{\frac{4}{5}} = \frac{4}{5} lo g a = \frac{4}{5} b$ 。

(D) 錯誤。 $lo g \frac{a}{10} = lo g a - 1 = b - 1$ ，要等於 $\frac{b}{10}$ 必須 $b = \frac{10}{9}$ ，不一定成立。例如 $a = 1$ 、 $b = 0$ ：點 $(\frac{1}{10}, 0)$ ，但 $lo g \frac{1}{10} = - 1 \neq = 0$ 。

(E) 正確。 $b = lo g a$ 就是 $1 0^{b} = a$ ，所以點 $(1 0^{a}, 1 0^{b}) = (1 0^{a}, a)$ 。而 $lo g 1 0^{a} = a$ ，等於 $y$ 坐標，所以在圖形上。

第 3 題

由圖，曲線過 $(\frac{1}{2}, 15)$ 與 $(3, 480)$ ：

$k a^{\frac{1}{2}} = 15$ ， $k a^{3} = 480$ 。兩式相除： $a^{3 - \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}} = \frac{480}{15} = 32 = 2^{5}$ ，所以 $a^{\frac{1}{2}} = 2$ ， $a = 4$ 。代回 $k \times 2 = 15$ ， $k = \frac{15}{2}$ 。所以 $f (x) = \frac{15}{2} \times 4^{x}$ 。

(A) 錯誤。 $a = 4$ 。

(B) 正確。 $k = \frac{15}{2}$ 。

(D) 正確。 $f (4) = \frac{15}{2} \times 256 = 1920$ 。

(E) 錯誤。 $f (α)$ 、 $f (β)$ 都是正數，由算幾不等式：

$\frac{f ( α ) + f ( β )}{2} \geq f (α) f (β) = k^{2} a^{α + β} = k a^{\frac{α + β}{2}} = f (\frac{α + β}{2})$

不等號方向與選項相反，等號只在 $f (α) = f (β)$ ，即 $α = β$ 時成立。例如 $α = 0$ 、 $β = 2$ ：左邊 $\frac{7.5 + 120}{2} = 63.75$ ，右邊 $f (1) = 30$ ，左邊比較大。

(E) 也可以從圖形看：

y = k a^{x}

（

a > 1

）的圖形凹口向上，兩點連成的弦在圖形上方，所以弦中點的高度（左邊）不小於圖形在中點的高度（右邊）。

判斷點是否在

y = lo g x

上，就把

x

坐標代進去，用對數律化成

b = lo g a

的式子比較；求

y = k a^{x}

時，兩點的式子相除可以消去

k

。

02填充第 1～5 題（第 4～8 題）：換底公式、指數與對數方程式、實根個數、對數不等式

第 4 題

$a = lo g_{3} 2$ ，所以 $3^{a} = 2$ 。

$b = lo g_{6} 3$ ，由換底公式 $\frac{1}{b} = lo g_{3} 6 = lo g_{3} (2 \times 3) = lo g_{3} 2 + 1 = a + 1$ 。

所以指數 $a + \frac{1}{b} + 1 = a + (a + 1) + 1 = 2 a + 2$ ，

$3^{2 a + 2} = (3^{a})^{2} \times 3^{2} = 2^{2} \times 9 = 36$ 。

第 5 題

$4^{x + 1} = 4 \times (2^{x})^{2}$ 。設 $t = 2^{x} > 0$ ，方程式變成 $4 t^{2} = 9 t - 2$ ，即 $4 t^{2} - 9 t + 2 = 0$ ， $(4 t - 1) (t - 2) = 0$ ， $t = \frac{1}{4}$ 或 $t = 2$ ，都大於 $0$ 。

$2^{x} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}$ 得 $x = - 2$ ； $2^{x} = 2$ 得 $x = 1$ 。所以 $x = 1$ 或 $- 2$ 。

第 6 題

$2^{x} - x = 3$ 即 $2^{x} = x + 3$ ，實根個數就是 $y = 2^{x}$ 與直線 $y = x + 3$ 的交點個數。

列幾個值比較：

$x = - 3$ ： $2^{- 3} = \frac{1}{8} > 0 = x + 3$ ； $x = 0$ ： $2^{0} = 1 < 3$ ； $x = 2$ ： $2^{2} = 4 < 5$ ； $x = 3$ ： $2^{3} = 8 > 6$ 。

$2^{x} - (x + 3)$ 在 $- 3$ 到 $0$ 之間由正變負，在 $2$ 到 $3$ 之間由負變正，所以兩圖形至少交兩次。 $y = 2^{x}$ 的圖形凹口向上，一條直線與它最多交兩點，所以恰有 $2$ 個實根。

兩個實根大約是

x \approx - 2.86

與

x \approx 2.44

。

第 7 題

$x$ 要在 $lo g_{2} x$ 有意義，所以 $x > 0$ 。兩邊取以 $2$ 為底的對數：

$(1 + lo g_{2} x) lo g_{2} x = lo g_{2} 4 + 2 lo g_{2} x = 2 + 2 lo g_{2} x$ 。

設 $t = lo g_{2} x$ ： $t + t^{2} = 2 + 2 t$ ， $t^{2} - t - 2 = 0$ ， $(t - 2) (t + 1) = 0$ ， $t = 2$ 或 $t = - 1$ 。

所以 $x = 2^{2} = 4$ 或 $x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ 。

檢查：

x = 4

時左邊

4^{1 + 2} = 64

，右邊

4 \times 16 = 64

；

x = \frac{1}{2}

時左邊

(\frac{1}{2})^{0} = 1

，右邊

4 \times \frac{1}{4} = 1

。

第 8 題

真數條件： $3 x + 1 > 0$ 且 $8 x^{2} + 17 > 0$ （後者恆成立），得 $x > - \frac{1}{3}$ 。

換底： $lo g_{\frac{1}{9}} (8 x^{2} + 17) = \frac{lo g ( 8 x ^{2} + 17 )}{lo g \frac{1}{9}} = \frac{lo g ( 8 x ^{2} + 17 )}{2 lo g \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{3}} (8 x^{2} + 17) = lo g_{\frac{1}{3}} 8 x^{2} + 17$ 。

不等式變成 $lo g_{\frac{1}{3}} (3 x + 1) \geq lo g_{\frac{1}{3}} 8 x^{2} + 17$ 。底數 $\frac{1}{3}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，對數函數遞減，去掉對數時不等號反向：

$3 x + 1 \leq 8 x^{2} + 17$ 。

在 $x > - \frac{1}{3}$ 時兩邊都是正數，平方不改變方向： $9 x^{2} + 6 x + 1 \leq 8 x^{2} + 17$ ， $x^{2} + 6 x - 16 \leq 0$ ， $(x + 8) (x - 2) \leq 0$ ， $- 8 \leq x \leq 2$ 。

與 $x > - \frac{1}{3}$ 取交集得 $- \frac{1}{3} < x \leq 2$ 。

以

x = 2

檢查：

lo g_{\frac{1}{3}} 7

與

lo g_{\frac{1}{9}} 49 = lo g_{\frac{1}{3}} 7

相等，等號成立，所以

2

在解內。

底數不同的對數先換成同底；對數不等式先寫真數條件，底數小於

1

時去掉對數要把不等號反向。

03填充第 6～9 題（第 9～12 題）：兩點距離、最大值與最小值、常用對數

第 9 題

$P$ ： $3^{x} = 2$ ， $x = lo g_{3} 2$ ， $P (lo g_{3} 2, 2)$ ； $Q$ ： $3^{x} = 6$ ， $x = lo g_{3} 6$ ， $Q (lo g_{3} 6, 6)$ 。

水平距離 $lo g_{3} 6 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} \frac{6}{2} = lo g_{3} 3 = 1$ ，鉛直距離 $6 - 2 = 4$ 。

$\overline{P Q} = 1^{2} + 4^{2} = 17$ 。

第 10 題

設 $t = (\frac{1}{5})^{x}$ 。底數 $\frac{1}{5}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $0 \leq x \leq 1$ 時 $t$ 由 $1$ 遞減到 $\frac{1}{5}$ ，所以 $\frac{1}{5} \leq t \leq 1$ 。

$(\frac{1}{25})^{x} = t^{2}$ ， $(\frac{1}{5})^{x - 1} = (\frac{1}{5})^{x} \times 5 = 5 t$ ，

$f (x) = t^{2} - 5 t = (t - \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4}$ 。

頂點 $t = \frac{5}{2}$ 不在 $\frac{1}{5} \leq t \leq 1$ 內，在這段上 $t^{2} - 5 t$ 隨 $t$ 增加而遞減：

$t = \frac{1}{5}$ （ $x = 1$ ）時最大： $\frac{1}{25} - 1 = - \frac{24}{25}$ ； $t = 1$ （ $x = 0$ ）時最小： $1 - 5 = - 4$ 。

所以 $(a, b) = (- \frac{24}{25}, - 4)$ 。

第 11 題

$lo g x^{2} = 2 lo g x = 2.4 = lo g y$ ，所以 $x^{2} = y$ 。

$x^{2} + y = 2 y$ ， $lo g (x^{2} + y) = lo g 2 + lo g y = 0.3010 + 2.4 = 2.701$ ，最接近的整數為 $3$ 。

第 12 題

$lo g 0. 3^{20} = 20 lo g 0.3 = 20 (lo g 3 - 1) = 20 (0.4771 - 1) = - 10.458 = - 11 + 0.542$ 。

所以 $0. 3^{20} = 1 0^{0.542} \times 1 0^{- 11}$ 。又 $lo g 3 = 0.4771 < 0.542 < 0.6020 = 2 lo g 2 = lo g 4$ ，所以 $3 < 1 0^{0.542} < 4$ ，

$0. 3^{20} = 3. \dots \times 1 0^{- 11}$ ，寫成小數時從小數點後第 $11$ 位開始出現不為 $0$ 的數，此數是 $3$ 。 $(a, b) = (11, 3)$ 。

實際上

0. 3^{20} \approx 3.487 \times 1 0^{- 11}

。

同一式子裡出現

a^{2 x}

與

a^{x}

時，設

t = a^{x}

化成二次函數，記得先求

t

的範圍；小於

1

的數取常用對數後寫成「負整數＋0 到 1 之間的小數」，就能讀出第幾位與首位數字。

04填充第 10～13 題（第 13～16 題）：對稱於 y＝x、成長比較、單利與複利

第 13 題

$y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ ；直線 $x + y = k$ 把 $x$ 、 $y$ 互換後還是 $x + y = k$ ，也對稱於 $y = x$ 。所以 $x + y = k$ 與 $y = 1 0^{x}$ 的交點 $A$ ，對 $y = x$ 的對稱點就是 $x + y = k$ 與 $y = lo g x$ 的交點 $B$ ， $A$ 、 $B$ 的坐標互換：

$a + 1 = - 2 b + 4$ ， $4 b - 3 = 3 a + 8$ 。

由第一式 $a = 3 - 2 b$ ，代入第二式： $4 b - 3 = 9 - 6 b + 8$ ， $10 b = 20$ ， $b = 2$ ， $a = - 1$ 。

所以 $A (0, 5)$ 、 $B (5, 0)$ ， $k = 0 + 5 = 5$ 。

這是照題意的解法。嚴格來說卷面數據互相矛盾：

A (0, 5)

並不在

y = 1 0^{x}

上（

1 0^{0} = 1

），

B (5, 0)

也不在

y = lo g x

上（

lo g 5 \neq = 0

）；若要求

A

真的在

y = 1 0^{x}

上、

B

真的在

y = lo g x

上且兩者都在同一條

x + y = k

上，找不到同時符合的

a

、

b

。命題的意思應是利用對稱性求

k

，答案為

5

。

第 14 題

設兩國一開始的人口都是 $P$ 。

甲國每 $12$ 年變為 $2$ 倍， $t$ 年後人口為 $P \times 2^{\frac{t}{12}}$ ；乙國每 $22$ 年變為 $4 = 2^{2}$ 倍， $t$ 年後人口為 $P \times 4^{\frac{t}{22}} = P \times 2^{\frac{t}{11}}$ 。

乙國是甲國的 $2$ 倍： $2^{\frac{t}{11}} = 2 \times 2^{\frac{t}{12}}$ ，即 $2^{\frac{t}{11} - \frac{t}{12}} = 2^{1}$ ， $\frac{t}{132} = 1$ ， $t = 132$ 。

第 15 題

設甲、乙一開始都是 $N$ 個， $n$ 天後甲有 $N \times 2^{n}$ 個，乙有 $N \times 5^{n}$ 個。

要乙是甲的一千倍以上： $5^{n} \geq 1000 \times 2^{n}$ ，即 $(\frac{5}{2})^{n} \geq 1000$ 。

兩邊取常用對數： $n lo g \frac{5}{2} \geq 3$ 。 $lo g \frac{5}{2} = lo g \frac{10}{4} = 1 - 2 lo g 2 = 1 - 0.6020 = 0.398$ ，

$n \geq \frac{3}{0.398} \approx 7.54$ 。 $n$ 取整數，至少經過 $8$ 天。

檢查：

(\frac{5}{2})^{7} \approx 610 < 1000

，

(\frac{5}{2})^{8} \approx 1526 \geq 1000

。

第 16 題

本金 $P = 5000000$ 元。

單利（以年計）：年利率 $2%$ ，兩年，本利和 $S = 5000000 \times (1 + 0.02 \times 2) = 5000000 \times 1.04 = 5200000$ 元。

複利（每半年複利一次）：期利率 $\frac{2%}{2} = 1%$ ，兩年共 $4$ 期，本利和 $S = 5000000 \times (1.01)^{4} = 5000000 \times 1.04060401 = 5203020.05$ 元。

相差 $5203020.05 - 5200000 = 3020.05$ ，四捨五入到整數為 $3020$ 元。

單利若也以半年為一期計算：

5000000 \times (1 + 0.01 \times 4)

，結果相同。題目附的

(1.02)^{4}

是期利率

2%

時才用得到，本題用不到。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

對稱於

y = x

，與斜率

- 1

的直線的兩個交點坐標互換；成長比較題先把倍數寫成同底的指數，再列方程式或不等式。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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常見問題

溪湖高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題選項 (E) 要想到 b 等於 log a 就是 10 的 b 次方等於 a，代回去剛好在圖形上；第 3 題選項 (E) 用算幾不等式比較兩個函數值的平均與中點的函數值；第 8 題兩邊底數不同，先把以九分之一為底的對數換成以三分之一為底，再注意底數小於一不等號反向；第 13 題要看出兩條曲線與直線都對稱於直線 y 等於 x，交點互為對稱點。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用）

溪湖高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、多選題（每題 7 分，錯一個得 5 分，錯兩個得 3 分，錯三個以上全錯，共 21 分）

關於對數函數圖形的敘述，下列哪些選項是正確的？

(A) $y = lo g_{6} x$ 為嚴格遞增函數
(B) $y = lo g_{2} x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形對稱於 $x = y$
(C) $y = lo g x$ 與 $y = lo g (- x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(D) $y = lo g x$ 對稱於直線 $x - y = 0$ 的函數為 $y = (\frac{1}{10})^{x}$
(E) $y = lo g_{8} x$ 的圖形上任取相異兩點 $A$ 、 $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為正

若點

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上的一點，則下列哪些點必在此函數圖形上？

(A) $(100 a, 2 b)$
(B) $(a^{\frac{4}{5}}, \frac{4}{5} b)$
(C) $(\frac{1}{a ^{3}}, - 3 b)$
(D) $(\frac{a}{10}, \frac{b}{10})$
(E) $(1 0^{a}, 1 0^{b})$

下圖為某種酵母菌的單位容積菌數（

y

個）與培養時間（

x

天）的關係圖。若其關係為指數函數

y = f (x) = k \times a^{x}

，其中

k

，

a

是常數，下列哪些選項是正確的？

(A) $a = 6$
(B) $k = \frac{15}{2}$
(C) 若培養時間為 $2$ 天，則此酵母菌的單位容積菌數為 $270$ 個
(D) 若培養時間為 $4$ 天，則此酵母菌的單位容積菌數為 $1920$ 個
(E) 已知 $0 \leq α \leq β \leq 3$ ，則 $\frac{f ( α ) + f ( β )}{2} \leq f (\frac{α + β}{2})$

載入中...

二、填充題（共 79 分）

設

a = lo g_{3} 2

，

b = lo g_{6} 3

，則

3^{a + \frac{1}{b} + 1} =

____。

試解指數方程式

4^{x + 1} = 9 \times 2^{x} - 2

，得

x =

____。（有兩解，全對才給分）

設

x

為實數，則

2^{x} - x = 3

有 ____ 個實根。

方程式

x^{1 + l o g_{2} x} = 4 x^{2}

之解為

x =

____。（有兩解，全對才給分）

試求不等式

lo g_{\frac{1}{3}} (3 x + 1) \geq lo g_{\frac{1}{9}} (8 x^{2} + 17)

，

x

的範圍為 ____。

設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

，

y = 6

與

y = 3^{x}

的交點，求

\overline{P Q} =

____。

設

0 \leq x \leq 1

，則

f (x) = (\frac{1}{25})^{x} - (\frac{1}{5})^{x - 1}

的最大值為

a

，最小值

b

，求

(a, b) =

____。

若正實數

x

，

y

滿足

lo g x = 1.2

，

lo g y = 2.4

，則

lo g (x^{2} + y)

的值最接近的整數為 ____。（

lo g 2 = 0.3010

）

將

0. 3^{20}

表示成小數時，從小數點後第

a

位開始出現不為

0

的數，此不為

0

的數是

b

，求數對

(a, b) =

____。（

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

）

若

A (a + 1, 4 b - 3)

為

x + y = k

與

y = 1 0^{x}

的交點，

B (3 a + 8, - 2 b + 4)

為

x + y = k

與

y = lo g x

的交點，求

k =

____。

甲、乙兩國都提倡要增加人口，若剛開始的時候，兩國的人口數相等，甲國每

12

年人口增為

2

倍，乙國每

22

年人口增為

4

倍。設每年的人口成長率一直維持不變，則經過 ____ 年後，乙國的人口是甲國人口的

2

倍。

2

倍，而乙菌種一天後菌種個數變為

5

倍，若取相同數量的甲，乙兩菌種混合繁殖，則至少經過 ____ 天後（取整數），這種益生菌才會廣受歡迎。（

lo g 2 = 0.3010

）

設銀行利率的算法有單利和複利兩種： (I) 單利：本利和

S = 本金 P \times (1 + 期利率 \times 期數)

， (II) 複利：本利和

S = 本金 P \times (1 + 期利率)^{期數}

，泰瑞準備向某銀行貸款

5

百萬元當作投資基金，其年利率為

2%

(1.02)^{4} = 1.08243216

，

(1.01)^{4} = 1.04060401

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)(E)

第 2 題(B)(C)(E)

第 3 題(B)(D)

第 4 題

36

第 5 題

1

或

- 2

第 6 題

2

第 7 題

4

或

\frac{1}{2}

第 8 題

- \frac{1}{3} < x \leq 2

第 9 題

17

第 10 題

(- \frac{24}{25}, - 4)

第 11 題

3

第 12 題

(11, 3)

第 13 題

5

（照題意用對稱求得；卷面數據其實互相矛盾，見詳解）

第 14 題

132

第 15 題

8

第 16 題

3020

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1～3 題：對數函數的圖形、圖形上的點、由兩點求指數函數

第 1 題

(A) 正確。 底數 $6 > 1$ ， $y = lo g_{6} x$ 在 $x > 0$ 上是嚴格遞增函數。

(D) 錯誤。 直線 $x - y = 0$ 就是 $y = x$ 。 $y = lo g x$ 對它對稱，是把 $x$ 、 $y$ 互換： $x = lo g y$ ，即 $y = 1 0^{x}$ ，不是 $(\frac{1}{10})^{x}$ 。

y = (\frac{1}{10})^{x}

與

y = 1 0^{x}

對稱於

y

軸；與

y = lo g x

對稱於

y = x

的是

y = 1 0^{x}

。

第 2 題

點 $(a, b)$ 在 $y = lo g x$ 上，所以 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。逐項看 $x$ 坐標代入 $lo g$ 後是否等於 $y$ 坐標。

(A) 錯誤。 $lo g (100 a) = 2 + lo g a = 2 + b$ ，要等於 $2 b$ 必須 $b = 2$ ，不一定成立。例如 $a = 1$ 、 $b = 0$ ：點 $(100, 0)$ ，但 $lo g 100 = 2 \neq = 0$ 。

(B) 正確。 $lo g a^{\frac{4}{5}} = \frac{4}{5} lo g a = \frac{4}{5} b$ 。

(E) 正確。 $b = lo g a$ 就是 $1 0^{b} = a$ ，所以點 $(1 0^{a}, 1 0^{b}) = (1 0^{a}, a)$ 。而 $lo g 1 0^{a} = a$ ，等於 $y$ 坐標，所以在圖形上。

第 3 題

由圖，曲線過 $(\frac{1}{2}, 15)$ 與 $(3, 480)$ ：

(A) 錯誤。 $a = 4$ 。

(B) 正確。 $k = \frac{15}{2}$ 。

(D) 正確。 $f (4) = \frac{15}{2} \times 256 = 1920$ 。

(E) 錯誤。 $f (α)$ 、 $f (β)$ 都是正數，由算幾不等式：

$\frac{f ( α ) + f ( β )}{2} \geq f (α) f (β) = k^{2} a^{α + β} = k a^{\frac{α + β}{2}} = f (\frac{α + β}{2})$

(E) 也可以從圖形看：

y = k a^{x}

（

a > 1

）的圖形凹口向上，兩點連成的弦在圖形上方，所以弦中點的高度（左邊）不小於圖形在中點的高度（右邊）。

判斷點是否在

y = lo g x

上，就把

x

坐標代進去，用對數律化成

b = lo g a

的式子比較；求

y = k a^{x}

時，兩點的式子相除可以消去

k

。

02填充第 1～5 題（第 4～8 題）：換底公式、指數與對數方程式、實根個數、對數不等式

第 4 題

$a = lo g_{3} 2$ ，所以 $3^{a} = 2$ 。

$b = lo g_{6} 3$ ，由換底公式 $\frac{1}{b} = lo g_{3} 6 = lo g_{3} (2 \times 3) = lo g_{3} 2 + 1 = a + 1$ 。

所以指數 $a + \frac{1}{b} + 1 = a + (a + 1) + 1 = 2 a + 2$ ，

$3^{2 a + 2} = (3^{a})^{2} \times 3^{2} = 2^{2} \times 9 = 36$ 。

第 5 題

$2^{x} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}$ 得 $x = - 2$ ； $2^{x} = 2$ 得 $x = 1$ 。所以 $x = 1$ 或 $- 2$ 。

第 6 題

$2^{x} - x = 3$ 即 $2^{x} = x + 3$ ，實根個數就是 $y = 2^{x}$ 與直線 $y = x + 3$ 的交點個數。

列幾個值比較：

$x = - 3$ ： $2^{- 3} = \frac{1}{8} > 0 = x + 3$ ； $x = 0$ ： $2^{0} = 1 < 3$ ； $x = 2$ ： $2^{2} = 4 < 5$ ； $x = 3$ ： $2^{3} = 8 > 6$ 。

兩個實根大約是

x \approx - 2.86

與

x \approx 2.44

。

第 7 題

$x$ 要在 $lo g_{2} x$ 有意義，所以 $x > 0$ 。兩邊取以 $2$ 為底的對數：

$(1 + lo g_{2} x) lo g_{2} x = lo g_{2} 4 + 2 lo g_{2} x = 2 + 2 lo g_{2} x$ 。

設 $t = lo g_{2} x$ ： $t + t^{2} = 2 + 2 t$ ， $t^{2} - t - 2 = 0$ ， $(t - 2) (t + 1) = 0$ ， $t = 2$ 或 $t = - 1$ 。

所以 $x = 2^{2} = 4$ 或 $x = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ 。

檢查：

x = 4

時左邊

4^{1 + 2} = 64

，右邊

4 \times 16 = 64

；

x = \frac{1}{2}

時左邊

(\frac{1}{2})^{0} = 1

，右邊

4 \times \frac{1}{4} = 1

。

第 8 題

真數條件： $3 x + 1 > 0$ 且 $8 x^{2} + 17 > 0$ （後者恆成立），得 $x > - \frac{1}{3}$ 。

不等式變成 $lo g_{\frac{1}{3}} (3 x + 1) \geq lo g_{\frac{1}{3}} 8 x^{2} + 17$ 。底數 $\frac{1}{3}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，對數函數遞減，去掉對數時不等號反向：

$3 x + 1 \leq 8 x^{2} + 17$ 。

在 $x > - \frac{1}{3}$ 時兩邊都是正數，平方不改變方向： $9 x^{2} + 6 x + 1 \leq 8 x^{2} + 17$ ， $x^{2} + 6 x - 16 \leq 0$ ， $(x + 8) (x - 2) \leq 0$ ， $- 8 \leq x \leq 2$ 。

與 $x > - \frac{1}{3}$ 取交集得 $- \frac{1}{3} < x \leq 2$ 。

以

x = 2

檢查：

lo g_{\frac{1}{3}} 7

與

lo g_{\frac{1}{9}} 49 = lo g_{\frac{1}{3}} 7

相等，等號成立，所以

2

在解內。

底數不同的對數先換成同底；對數不等式先寫真數條件，底數小於

1

時去掉對數要把不等號反向。

03填充第 6～9 題（第 9～12 題）：兩點距離、最大值與最小值、常用對數

第 9 題

$P$ ： $3^{x} = 2$ ， $x = lo g_{3} 2$ ， $P (lo g_{3} 2, 2)$ ； $Q$ ： $3^{x} = 6$ ， $x = lo g_{3} 6$ ， $Q (lo g_{3} 6, 6)$ 。

水平距離 $lo g_{3} 6 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} \frac{6}{2} = lo g_{3} 3 = 1$ ，鉛直距離 $6 - 2 = 4$ 。

$\overline{P Q} = 1^{2} + 4^{2} = 17$ 。

第 10 題

設 $t = (\frac{1}{5})^{x}$ 。底數 $\frac{1}{5}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $0 \leq x \leq 1$ 時 $t$ 由 $1$ 遞減到 $\frac{1}{5}$ ，所以 $\frac{1}{5} \leq t \leq 1$ 。

$(\frac{1}{25})^{x} = t^{2}$ ， $(\frac{1}{5})^{x - 1} = (\frac{1}{5})^{x} \times 5 = 5 t$ ，

$f (x) = t^{2} - 5 t = (t - \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4}$ 。

頂點 $t = \frac{5}{2}$ 不在 $\frac{1}{5} \leq t \leq 1$ 內，在這段上 $t^{2} - 5 t$ 隨 $t$ 增加而遞減：

$t = \frac{1}{5}$ （ $x = 1$ ）時最大： $\frac{1}{25} - 1 = - \frac{24}{25}$ ； $t = 1$ （ $x = 0$ ）時最小： $1 - 5 = - 4$ 。

所以 $(a, b) = (- \frac{24}{25}, - 4)$ 。

第 11 題

$lo g x^{2} = 2 lo g x = 2.4 = lo g y$ ，所以 $x^{2} = y$ 。

$x^{2} + y = 2 y$ ， $lo g (x^{2} + y) = lo g 2 + lo g y = 0.3010 + 2.4 = 2.701$ ，最接近的整數為 $3$ 。

第 12 題

$lo g 0. 3^{20} = 20 lo g 0.3 = 20 (lo g 3 - 1) = 20 (0.4771 - 1) = - 10.458 = - 11 + 0.542$ 。

所以 $0. 3^{20} = 1 0^{0.542} \times 1 0^{- 11}$ 。又 $lo g 3 = 0.4771 < 0.542 < 0.6020 = 2 lo g 2 = lo g 4$ ，所以 $3 < 1 0^{0.542} < 4$ ，

$0. 3^{20} = 3. \dots \times 1 0^{- 11}$ ，寫成小數時從小數點後第 $11$ 位開始出現不為 $0$ 的數，此數是 $3$ 。 $(a, b) = (11, 3)$ 。

實際上

0. 3^{20} \approx 3.487 \times 1 0^{- 11}

。

同一式子裡出現

a^{2 x}

與

a^{x}

時，設

t = a^{x}

化成二次函數，記得先求

t

的範圍；小於

1

的數取常用對數後寫成「負整數＋0 到 1 之間的小數」，就能讀出第幾位與首位數字。

04填充第 10～13 題（第 13～16 題）：對稱於 y＝x、成長比較、單利與複利

第 13 題

$a + 1 = - 2 b + 4$ ， $4 b - 3 = 3 a + 8$ 。

由第一式 $a = 3 - 2 b$ ，代入第二式： $4 b - 3 = 9 - 6 b + 8$ ， $10 b = 20$ ， $b = 2$ ， $a = - 1$ 。

所以 $A (0, 5)$ 、 $B (5, 0)$ ， $k = 0 + 5 = 5$ 。

這是照題意的解法。嚴格來說卷面數據互相矛盾：

A (0, 5)

並不在

y = 1 0^{x}

上（

1 0^{0} = 1

），

B (5, 0)

也不在

y = lo g x

上（

lo g 5 \neq = 0

）；若要求

A

真的在

y = 1 0^{x}

上、

B

真的在

y = lo g x

上且兩者都在同一條

x + y = k

上，找不到同時符合的

a

、

b

。命題的意思應是利用對稱性求

k

，答案為

5

。

第 14 題

設兩國一開始的人口都是 $P$ 。

乙國是甲國的 $2$ 倍： $2^{\frac{t}{11}} = 2 \times 2^{\frac{t}{12}}$ ，即 $2^{\frac{t}{11} - \frac{t}{12}} = 2^{1}$ ， $\frac{t}{132} = 1$ ， $t = 132$ 。

第 15 題

設甲、乙一開始都是 $N$ 個， $n$ 天後甲有 $N \times 2^{n}$ 個，乙有 $N \times 5^{n}$ 個。

要乙是甲的一千倍以上： $5^{n} \geq 1000 \times 2^{n}$ ，即 $(\frac{5}{2})^{n} \geq 1000$ 。

兩邊取常用對數： $n lo g \frac{5}{2} \geq 3$ 。 $lo g \frac{5}{2} = lo g \frac{10}{4} = 1 - 2 lo g 2 = 1 - 0.6020 = 0.398$ ，

$n \geq \frac{3}{0.398} \approx 7.54$ 。 $n$ 取整數，至少經過 $8$ 天。

檢查：

(\frac{5}{2})^{7} \approx 610 < 1000

，

(\frac{5}{2})^{8} \approx 1526 \geq 1000

。

第 16 題

本金 $P = 5000000$ 元。

單利（以年計）：年利率 $2%$ ，兩年，本利和 $S = 5000000 \times (1 + 0.02 \times 2) = 5000000 \times 1.04 = 5200000$ 元。

複利（每半年複利一次）：期利率 $\frac{2%}{2} = 1%$ ，兩年共 $4$ 期，本利和 $S = 5000000 \times (1.01)^{4} = 5000000 \times 1.04060401 = 5203020.05$ 元。

相差 $5203020.05 - 5200000 = 3020.05$ ，四捨五入到整數為 $3020$ 元。

單利若也以半年為一期計算：

5000000 \times (1 + 0.01 \times 4)

，結果相同。題目附的

(1.02)^{4}

是期利率

2%

時才用得到，本題用不到。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

對稱於

y = x

，與斜率

- 1

的直線的兩個交點坐標互換；成長比較題先把倍數寫成同底的指數，再列方程式或不等式。

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常見問題

溪湖高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

溪湖高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選第 1～3 題：對數函數的圖形、圖形上的點、由兩點求指數函數

02填充第 1～5 題（第 4～8 題）：換底公式、指數與對數方程式、實根個數、對數不等式

03填充第 6～9 題（第 9～12 題）：兩點距離、最大值與最小值、常用對數

04填充第 10～13 題（第 13～16 題）：對稱於 y＝x、成長比較、單利與複利

這一章的單元冊

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02填充第 1～5 題（第 4～8 題）：換底公式、指數與對數方程式、實根個數、對數不等式

03填充第 6～9 題（第 9～12 題）：兩點距離、最大值與最小值、常用對數

04填充第 10～13 題（第 13～16 題）：對稱於 y＝x、成長比較、單利與複利

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溪湖高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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