段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數與合成函數、函數的極限、連續函數與勘根定理）

基隆高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

是非題 10 題（每題 2 分，共 20 分）、單選題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、多選題 3 題（每題 10 分，共 30 分）、選填題 4 題（每題 5 分，共 20 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、是非題(每題 2 分，共 20 分)

無窮數列

⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}} ⟩

的極限為

0

若函數

f (x)

在

x = a

的極限存在，則

x \to a lim f (x) = f (a)

。

函數

f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6

的定義域為

{x ∣ - 1 \leq x \leq 3, x \in R}

f (x) = 2 x^{2} + 1

，

g (x) = x - 5

，求

(f \circ g) (3) = - 38

。

若多項式函數

f (x)

滿足

f (1) = 3

，則

x \to 1 lim f (x) = 3

。

函數

f (x) = x^{5} + x^{3} - 2 x

為奇函數。

極限

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

不存在。

若

f (x) = x^{3} + x

，則在

2

與

3

之間至少有一個實數

c

，使得

f (c) = 20

。

無窮級數

k = 1 \sum \infty [1 + (- 1)^{k}]

是收斂級數。

無窮等比級數

2 + (- 2) + 2 + (- 2) + \dots

的和為

\frac{2}{1 - ( - 1 )} = 1

。

二、單選題(每題 6 分，共 30 分) 說明：第 11 題至第 15 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

下列何者為收斂數列？

(A) $⟨ (1.01)^{n} ⟩$
(B) $⟨ (- 0.99)^{n} ⟩$
(C) $⟨ (3 + 1)^{n} ⟩$
(D) $⟨ (\frac{π}{2})^{n} ⟩$
(E) $⟨ \frac{7 ^{n}}{2024} ⟩$

已知無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

中的每一項都滿足

\frac{4 n - 1}{3 n} \leq c_{n} \leq \frac{4 n + 1}{3 n}

，求

n \to \infty lim c_{n}

的值？

(A) $\frac{3}{2}$
(B) $- \frac{1}{2}$
(C) $\frac{4}{3}$
(D) $2$
(E) 不存在

n \to \infty lim [(\frac{4}{n} - 3) (\frac{3 n + 3}{n - 5} + 2)]

的值為

(A) $- 6$
(B) $- 10$
(C) $- 12$
(D) $- 15$
(E) 不存在

函數

f (x) = x^{5} + 2 x

與

g (x) = x^{3} - x + 1

的合成函數

(g \circ f) (x)

為幾次多項式？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $8$
(E) $15$

試選出下列哪個選項的函數圖形，其

x \to 2 lim f (x)

存在。

載入中...

三、多選題(每題 10 分，共 30 分) 說明：第 16 題至第 18 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 10 分；答錯 1 個選項者，得 6 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列哪些無窮等比級數為收斂級數？

(A) $\frac{9}{10} + \frac{9 ^{2}}{1 0 ^{2}} + \frac{9 ^{3}}{1 0 ^{3}} + \frac{9 ^{4}}{1 0 ^{4}} + \dots$
(B) $\frac{10}{9} + \frac{1 0 ^{2}}{9 ^{2}} + \frac{1 0 ^{3}}{9 ^{3}} + \frac{1 0 ^{4}}{9 ^{4}} + \dots$
(C) $\frac{π}{4} + (\frac{π}{4})^{3} + (\frac{π}{4})^{5} + (\frac{π}{4})^{7} + \dots$
(D) $5 + (- 5) + 5 + (- 5) + \dots$
(E) $\frac{2}{5} - \frac{2 ^{3}}{5 ^{2}} + \frac{2 ^{5}}{5 ^{3}} - \frac{2 ^{7}}{5 ^{4}} + \dots$

下列何者表

y

是

x

的函數？

載入中...

假設

f (x) = x^{3} - 4 x - 2

，已知

f (x) = 0

有

3

個根，則

f (x) = 0

在哪些連續整數之間有實根？

(A) $- 2$ ， $- 1$ 之間
(B) $- 1$ ， $0$ 之間
(C) $0$ ， $1$ 之間
(D) $1$ ， $2$ 之間
(E) $2$ ， $3$ 之間。

四、選填題(每題 5 分，共 20 分) 說明：1.第 19 至 22 題，將答案劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號 2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

求

(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{27}) + \dots\dots + ((\frac{1}{2})^{n - 1} - (\frac{1}{3})^{n}) + \dots\dots

的值為

\frac{19-1}{19-2}

。

直角三角形

A B C

中，

\overline{A B} = 18

，

\overline{A C} = 12

，

∠ B A C = 9 0^{\circ}

，圖中各內接正方形面積分別為

S_{1}

，

S_{2}

，

S_{3}

，……，求

S_{1} + S_{2} + S_{3} + \dots\dots + S_{n} + \dots\dots =

20-1 20-2

載入中...

已知

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 4}, 8, x \neq = 4 x = 4

為連續函數，則數對

(a, b) =

(21-1, 21-2 21-3 21-4)

若

a

，

b

為實數，已知

x \to 3 lim \frac{x ^{2} + a x + 15}{x - 3} = b

，試求數對

(a, b) =

(22-1 22-2, 22-3 22-4)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

102

第 11 題(B)

第 12 題(C)

第 13 題(D)

第 14 題(E)

第 15 題(A)

第 16 題(A)(C)(E)

第 17 題(B)(D)

第 18 題(A)(B)(E)

第 19 題

\frac{3}{2}

第 20 題

81

第 21 題

(0, - 16)

第 22 題

(- 8, - 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：數列的極限、極限與函數值、定義域、合成函數、多項式函數的極限

第 1 題1正確。分子

(- 1)^{n}

只在

1

與

- 1

之間變換，所以

- \frac{1}{n ^{3}} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}} \leq \frac{1}{n ^{3}}

。

n \to \infty

時

- \frac{1}{n ^{3}}

與

\frac{1}{n ^{3}}

都趨近

0

，由夾擠定理，這個數列的極限為

0

。

各項正負交錯，但絕對值

\frac{1}{n ^{3}}

愈來愈接近

0

，從兩側一起靠近

0

。這和

⟨(- 1)^{n} ⟩

本身發散不一樣。

第 2 題2錯誤。極限看的是

x

接近

a

時函數值的趨勢，與

f (a)

是多少、甚至有沒有定義都無關。反例：

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

在

x = 1

的極限是

2

（見第 7 題），但

f (1)

沒有定義。又如

f (x) = {x + 1, 5, x \neq = 1 x = 1

，在

x = 1

的極限是

2

，而

f (1) = 5

，兩者不相等。

x \to a lim f (x) = f (a)

成立時，稱

f (x)

在

x = a

連續；題目少了「連續」這個條件。

第 3 題2錯誤。根號內不能是負數：

2 x^{2} - 4 x - 6 \geq 0

，同除以

2

得

x^{2} - 2 x - 3 \geq 0

，即

(x - 3) (x + 1) \geq 0

，所以

x \leq - 1

或

x \geq 3

。定義域是

{x ∣ x \leq - 1 或 x \geq 3, x \in R}

，不是

- 1 \leq x \leq 3

。

檢查：取

x = 0

，根號內是

- 6

，沒有意義，所以

0

不在定義域裡；題目寫的範圍恰好是根號內小於或等於

0

的部分。

第 4 題2錯誤。

(f \circ g) (3) = f (g (3))

，先算裡面：

g (3) = 3 - 5 = - 2

，再代入

f

：

f (- 2) = 2 \times (- 2)^{2} + 1 = 9

。所以

(f \circ g) (3) = 9

，不是

- 38

。

順序反過來算

(g \circ f) (3) = g (f (3)) = g (19) = 14

，也不是

- 38

。合成函數由右邊的函數先作用。

第 5 題1正確。多項式函數在每一個實數

a

都滿足

x \to a lim f (x) = f (a)

（由極限的加、減、乘運算性質逐項得到），所以

x \to 1 lim f (x) = f (1) = 3

。

和第 2 題比較：一般的函數不能用函數值當極限，多項式函數因為處處連續才可以。

02是非第 6～10 題：奇函數、約分求極限、中間值定理、級數的收斂與發散

第 6 題1正確。

f (- x) = (- x)^{5} + (- x)^{3} - 2 (- x) = - x^{5} - x^{3} + 2 x = - (x^{5} + x^{3} - 2 x) = - f (x)

，對所有實數

x

都成立，所以

f (x)

是奇函數。

多項式函數只含奇數次項（

x^{5}

、

x^{3}

、

x

）時就是奇函數；只要多一個常數項或偶數次項就不是。

第 7 題2錯誤。

x \to 1

時

x \neq = 1

，可以約分：

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1

。所以

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 1) = 2

，極限存在。

直接代

x = 1

會得到

\frac{0}{0}

，這只表示函數在

x = 1

沒有定義，不表示極限不存在。

第 8 題1正確。

f (x) = x^{3} + x

是多項式函數，在

2

到

3

之間連續。

f (2) = 8 + 2 = 10

，

f (3) = 27 + 3 = 30

，而

20

介於

10

與

30

之間，由中間值定理，在

2

與

3

之間至少有一個實數

c

使得

f (c) = 20

。

也可以用勘根定理：令

h (x) = f (x) - 20

，

h (2) = - 10 < 0

、

h (3) = 10 > 0

，所以

h (x) = 0

在

2

與

3

之間有實根。

第 9 題2錯誤。把前幾項寫出來：

k = 1

時

1 + (- 1) = 0

，

k = 2

時

1 + 1 = 2

，

k = 3

時

0

，

k = 4

時

2

，……。部分和依序是

0, 2, 2, 4, 4, 6, 6, \dots

，愈加愈大，不會趨近一個定值，所以是發散級數。

級數收斂時，一般項一定趨近

0

；這裡的一般項在

0

與

2

之間跳動，不趨近

0

，可以直接判定發散。

第 10 題2錯誤。首項

2

，公比

r = - 1

。無窮等比級數要

∣ r ∣ < 1

才收斂，才可以用

\frac{a}{1 - r}

求和；這裡

∣ r ∣ = 1

，不能套公式。實際看部分和：

2, 0, 2, 0, \dots

，在

2

與

0

之間來回，沒有極限，所以這個級數發散，沒有和。

1

剛好是

2

與

0

的平均，看起來很合理，但級數的和是指部分和數列的極限，部分和不趨近

1

。

級數收不收斂要看部分和；無窮等比級數的求和公式只在公比的絕對值小於 1 時才能用。

03單選第 11～13 題：等比數列的收斂、夾擠定理、極限的四則運算

第 11 題答案 (B)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

- 1 < r \leq 1

時收斂，其餘情形發散。(A)

r = 1.01 > 1

，發散。(B)

r = - 0.99

，

∣ r ∣ < 1

，收斂（極限為

0

）。(C)

r = 3 + 1 \approx 2.73 > 1

，發散。(D)

r = \frac{π}{2} \approx 1.57 > 1

，發散。(E)

\frac{7 ^{n}}{2024}

是公比

7

的等比數列，除以

2024

只是乘上一個常數，各項仍愈來愈大，發散。

(A) 的公比只比

1

大一點，前幾項成長很慢，但只要公比大於

1

，項就會超過任何數。(B) 的各項正負交錯，絕對值

(0.99)^{n}

趨近

0

。

第 12 題答案 (C)。

\frac{4 n - 1}{3 n} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3 n}

，

\frac{4 n + 1}{3 n} = \frac{4}{3} + \frac{1}{3 n}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{3 n} \to 0

，左右兩個數列的極限都是

\frac{4}{3}

。

c_{n}

夾在中間，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = \frac{4}{3}

。

題目沒有給

c_{n}

的一般項，也不需要：兩邊的極限相同時，中間的數列就被夾到同一個值。

第 13 題答案 (D)。分開看兩個括號。第一個：

n \to \infty

時

\frac{4}{n} \to 0

，所以

\frac{4}{n} - 3 \to - 3

。第二個：

\frac{3 n + 3}{n - 5}

分子分母同除以

n

，得

\frac{3 + \frac{3}{n}}{1 - \frac{5}{n}} \to \frac{3}{1} = 3

，所以

\frac{3 n + 3}{n - 5} + 2 \to 5

。兩個括號各自收斂，乘積的極限等於極限的乘積：

(- 3) \times 5 = - 15

。

(A) 的

- 6

是

(- 3) \times 2

，漏了分式的極限

3

；先把每一部分的極限都算出來再相乘。

04單選第 14、15 題：合成函數的次數、由圖形看極限

第 14 題答案 (E)。

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = (f (x))^{3} - f (x) + 1 = (x^{5} + 2 x)^{3} - (x^{5} + 2 x) + 1

。

(x^{5} + 2 x)^{3}

展開後最高次項是

(x^{5})^{3} = x^{15}

，係數為

1

；後面的

- (x^{5} + 2 x) + 1

最高只有

5

次，消不掉

x^{15}

。所以

(g \circ f) (x)

是

15

次多項式。

兩個多項式合成，次數是兩者次數相乘（

3 \times 5 = 15

），不是相加（

8

）。

第 15 題答案 (A)。極限存在的條件是：

x

從

2

的左邊、右邊接近時，函數值趨近同一個數；與

x = 2

那一點有沒有定義無關。(A) 左右兩段都朝點

(2, 3)

靠近，左極限、右極限都是

3

，極限存在（等於

3

）；

(2, 3)

是空心點只表示

f (2)

不是

3

或沒有定義，不影響極限。(B)

x

接近

2

時，圖形沿著鉛直虛線

x = 2

往上，函數值愈來愈大，不趨近任何數，極限不存在。(C) 左邊趨近

3

、右邊趨近

2

，左右極限不相等，極限不存在。(D) 左邊趨近

3

、右邊趨近

- 1

，不相等，極限不存在；實心點

(2, 0)

只是

f (2) = 0

。(E) 左邊趨近實心點的高度，右邊沿著虛線

x = 2

往上愈來愈大，右極限不存在，所以極限不存在。

空心點、實心點決定的是

f (2)

的值，極限只看

2

的兩側。(A) 是「極限存在但函數在該點不連續」的例子，正好對應是非第 2 題。

看圖判斷極限：左右兩邊各自趨近哪個高度，兩個高度相同才存在；那一點本身是空心或實心不影響。

05多選第 16～18 題：等比級數的收斂、函數圖形、勘根定理

第 16 題答案 (A)(C)(E)。無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是公比

r

滿足

∣ r ∣ < 1

；公比用後項除以前項求。(A)

r = \frac{9}{10}

，

∣ r ∣ < 1

，收斂。(B)

r = \frac{10}{9} > 1

，發散。(C)

r = (\frac{π}{4})^{3} \div \frac{π}{4} = (\frac{π}{4})^{2} = \frac{π ^{2}}{16}

；因為

π < 4

，

0 < \frac{π}{4} < 1

，平方後仍小於

1

，收斂。(D)

r = - 1

，

∣ r ∣ = 1

，發散。(E)

r = (- \frac{2 ^{3}}{5 ^{2}}) \div \frac{2}{5} = - \frac{8}{25} \times \frac{5}{2} = - \frac{4}{5}

，再檢查下一項：

\frac{2 ^{5}}{5 ^{3}} \div (- \frac{2 ^{3}}{5 ^{2}}) = - \frac{4}{5}

，確實是等比；

∣ r ∣ = \frac{4}{5} < 1

，收斂。

1, 3, 5, 7

，每次多

2

，公比是

\frac{π}{4}

的平方，約

0.617

。(E) 的分子每次乘

2^{2} = 4

、分母每次乘

5

，再加上正負交錯，公比是

- \frac{4}{5}

，不是

- \frac{2}{5}

。

第 17 題答案 (B)(D)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

至多對應一個

y

，也就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。(A) 圖形是三段鉛直的線段，沿著其中一段畫鉛直線，會與圖形交於無限多點，同一個

x

對應很多個

y

，不是。(B) 曲線由左往右一路前進，沒有回頭，每條鉛直線恰交一點，是。(C) 曲線在中段往回折，

y

軸附近的鉛直線與它交於三點，不是。(D) 兩條鉛直虛線把圖形分成左、中、右三段，三段的

x

範圍互不重疊，每條鉛直線至多與其中一段交於一點，是（虛線不是圖形的一部分，函數在那兩個

x

沒有定義）。(E) 封閉曲線，內部的鉛直線與它交於上、下兩點，不是。

(D) 的圖形斷成三段仍然是函數圖形：函數圖形不必連成一條線，定義域也不必是全體實數。(A) 若換成三段水平線段且

x

範圍不重疊，就會是函數圖形。

第 18 題答案 (A)(B)(E)。

f (x)

是多項式函數，處處連續。算各整數點的函數值：

f (- 2) = - 8 + 8 - 2 = - 2

，

f (- 1) = - 1 + 4 - 2 = 1

，

f (0) = - 2

，

f (1) = 1 - 4 - 2 = - 5

，

f (2) = 8 - 8 - 2 = - 2

，

f (3) = 27 - 12 - 2 = 13

。

f (- 2) f (- 1) < 0

、

f (- 1) f (0) < 0

、

f (2) f (3) < 0

，由勘根定理，在

- 2

與

- 1

之間、

- 1

與

0

之間、

2

與

3

之間各至少有一個實根。三次方程式至多三個實根，這三個區間已經各佔一個，所以其他區間沒有實根：(C)(D) 不選。

f (0)

、

f (1)

、

f (2)

同號只表示勘根定理在

0

到

2

之間用不上，並不能直接說沒有根；這裡是靠「三個根都已經找到位置」才排除 (C)(D)。

勘根定理：連續函數在區間兩端的函數值一正一負，區間內至少有一個實根；配合方程式的次數可以把根的位置全部定出來。

06選填第 19、20 題：無窮等比級數的和

第 19 題前

n

項的和

S_{n} = [1 + \frac{1}{2} + \dots + (\frac{1}{2})^{n - 1}] - [\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + (\frac{1}{3})^{n}]

。第一個括號是首項

1

、公比

\frac{1}{2}

的等比級數，和為

\frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 [1 - (\frac{1}{2})^{n}]

；第二個括號是首項

\frac{1}{3}

、公比

\frac{1}{3}

的等比級數，和為

\frac{\frac{1}{3} [ 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n} ]}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} [1 - (\frac{1}{3})^{n}]

。

n \to \infty

時

(\frac{1}{2})^{n} \to 0

、

(\frac{1}{3})^{n} \to 0

，所以

n \to \infty lim S_{n} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。

兩個無窮等比級數的公比

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

絕對值都小於

1

，各自收斂到

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

與

\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

，相減即得。注意第二個級數從

\frac{1}{3}

開始，首項不是

1

。

第 20 題設最大的正方形邊長為

x

。它的一個頂點在

A

，兩邊貼在

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上，對角的頂點在斜邊

\overline{B C}

上。正方形上方的小直角三角形，鉛直的股長

12 - x

、水平的股長

x

，與

△ A B C

相似（對應角相等），所以

\frac{x}{12 - x} = \frac{18}{12}

，

12 x = 18 (12 - x)

，

30 x = 216

，

x = \frac{36}{5}

，

S_{1} = (\frac{36}{5})^{2} = \frac{1296}{25}

。正方形右邊剩下的直角三角形，水平的股長

18 - \frac{36}{5} = \frac{54}{5}

、鉛直的股長

\frac{36}{5}

，也與

△ A B C

相似，邊長是原來的

\frac{54}{5} \div 18 = \frac{3}{5}

倍。第二個正方形內接在這個小三角形裡，位置與第一個相同，所以邊長是第一個的

\frac{3}{5}

，面積是

(\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}

倍；之後每一個都一樣。

S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots

是首項

\frac{1296}{25}

、公比

\frac{9}{25}

的等比數列，

\frac{9}{25} < 1

，所以

S_{1} + S_{2} + S_{3} + \dots = \frac{\frac{1296}{25}}{1 - \frac{9}{25}} = \frac{1296}{16} = 81

。

檢查：

△ A B C

的面積是

\frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 108

，所有正方形的面積和

81

小於

108

，合理。題目的圖是示意圖，邊長的比例沒有照題目的數據畫，不能用量的。

圖形一層一層縮小的問題：先求第一個的大小，再用相似形找出每次縮小的比例，面積的公比是邊長比的平方。

07選填第 21、22 題：由連續、由極限存在求係數

第 21 題

x \neq = 4

時

f (x)

是分式，分母不為

0

，是連續的；只要在

x = 4

連續即可，也就是

x \to 4 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 4} = f (4) = 8

。

x \to 4

時分母趨近

0

，極限卻存在，分子也必須趨近

0

：

16 + 4 a + b = 0

，即

b = - 4 a - 16

。代回分子：

x^{2} + a x - 4 a - 16 = (x^{2} - 16) + a (x - 4) = (x - 4) (x + 4 + a)

。約去

x - 4

，極限為

x \to 4 lim (x + 4 + a) = 8 + a

。由

8 + a = 8

得

a = 0

，

b = - 16

。答：

(a, b) = (0, - 16)

。

檢查：

a = 0

、

b = - 16

時，

x \neq = 4

的部分是

\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} = x + 4

，

x \to 4

時趨近

8

，與

f (4) = 8

相同。作答格依序填

0

、負號、

1

、

6

。

第 22 題

x \to 3

時分母趨近

0

，極限存在（等於實數

b

），所以分子也必須趨近

0

：

9 + 3 a + 15 = 0

，

a = - 8

。這時分子是

x^{2} - 8 x + 15 = (x - 3) (x - 5)

，約去

x - 3

：

b = x \to 3 lim (x - 5) = - 2

。答：

(a, b) = (- 8, - 2)

。

如果分子在

x = 3

不是

0

，分式的絕對值在

x

接近

3

時會愈來愈大，極限不可能是實數；這就是「分母趨近

0

、極限存在，則分子趨近

0

」的理由。作答格依序填負號、

8

、負號、

2

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子一定也趨近 0；先用這個條件求出一個係數，再因式分解約分求極限。

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常見問題

基隆高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題極限存在不代表等於函數值，要多一個連續的條件；第 9 題每一項在零與二之間跳動，部分和愈加愈大，不能看成兩個級數分開算；第 16 題選項 C 的公比是圓周率除以四的平方，選項 E 的公比是負的五分之四，都要用相鄰兩項相除來確認；第 20 題要先用相似三角形求第一個正方形的邊長，再找出相鄰正方形的邊長比；第 21 題分母趨近零而極限存在，分子也必須趨近零。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自基隆高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數與合成函數、函數的極限、連續函數與勘根定理）

基隆高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

一、是非題(每題 2 分，共 20 分)

無窮數列

⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}} ⟩

的極限為

0

若函數

f (x)

在

x = a

的極限存在，則

x \to a lim f (x) = f (a)

。

函數

f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6

的定義域為

{x ∣ - 1 \leq x \leq 3, x \in R}

f (x) = 2 x^{2} + 1

，

g (x) = x - 5

，求

(f \circ g) (3) = - 38

。

若多項式函數

f (x)

滿足

f (1) = 3

，則

x \to 1 lim f (x) = 3

。

函數

f (x) = x^{5} + x^{3} - 2 x

為奇函數。

極限

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

不存在。

若

f (x) = x^{3} + x

，則在

2

與

3

之間至少有一個實數

c

，使得

f (c) = 20

。

無窮級數

k = 1 \sum \infty [1 + (- 1)^{k}]

是收斂級數。

無窮等比級數

2 + (- 2) + 2 + (- 2) + \dots

的和為

\frac{2}{1 - ( - 1 )} = 1

。

下列何者為收斂數列？

(A) $⟨ (1.01)^{n} ⟩$
(B) $⟨ (- 0.99)^{n} ⟩$
(C) $⟨ (3 + 1)^{n} ⟩$
(D) $⟨ (\frac{π}{2})^{n} ⟩$
(E) $⟨ \frac{7 ^{n}}{2024} ⟩$

已知無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

中的每一項都滿足

\frac{4 n - 1}{3 n} \leq c_{n} \leq \frac{4 n + 1}{3 n}

，求

n \to \infty lim c_{n}

的值？

(A) $\frac{3}{2}$
(B) $- \frac{1}{2}$
(C) $\frac{4}{3}$
(D) $2$
(E) 不存在

n \to \infty lim [(\frac{4}{n} - 3) (\frac{3 n + 3}{n - 5} + 2)]

的值為

(A) $- 6$
(B) $- 10$
(C) $- 12$
(D) $- 15$
(E) 不存在

函數

f (x) = x^{5} + 2 x

與

g (x) = x^{3} - x + 1

的合成函數

(g \circ f) (x)

為幾次多項式？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $8$
(E) $15$

試選出下列哪個選項的函數圖形，其

x \to 2 lim f (x)

存在。

載入中...

下列哪些無窮等比級數為收斂級數？

(A) $\frac{9}{10} + \frac{9 ^{2}}{1 0 ^{2}} + \frac{9 ^{3}}{1 0 ^{3}} + \frac{9 ^{4}}{1 0 ^{4}} + \dots$
(B) $\frac{10}{9} + \frac{1 0 ^{2}}{9 ^{2}} + \frac{1 0 ^{3}}{9 ^{3}} + \frac{1 0 ^{4}}{9 ^{4}} + \dots$
(C) $\frac{π}{4} + (\frac{π}{4})^{3} + (\frac{π}{4})^{5} + (\frac{π}{4})^{7} + \dots$
(D) $5 + (- 5) + 5 + (- 5) + \dots$
(E) $\frac{2}{5} - \frac{2 ^{3}}{5 ^{2}} + \frac{2 ^{5}}{5 ^{3}} - \frac{2 ^{7}}{5 ^{4}} + \dots$

下列何者表

y

是

x

的函數？

載入中...

假設

f (x) = x^{3} - 4 x - 2

，已知

f (x) = 0

有

3

個根，則

f (x) = 0

在哪些連續整數之間有實根？

(A) $- 2$ ， $- 1$ 之間
(B) $- 1$ ， $0$ 之間
(C) $0$ ， $1$ 之間
(D) $1$ ， $2$ 之間
(E) $2$ ， $3$ 之間。

求

(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{27}) + \dots\dots + ((\frac{1}{2})^{n - 1} - (\frac{1}{3})^{n}) + \dots\dots

的值為

\frac{19-1}{19-2}

。

直角三角形

A B C

中，

\overline{A B} = 18

，

\overline{A C} = 12

，

∠ B A C = 9 0^{\circ}

，圖中各內接正方形面積分別為

S_{1}

，

S_{2}

，

S_{3}

，……，求

S_{1} + S_{2} + S_{3} + \dots\dots + S_{n} + \dots\dots =

20-1 20-2

載入中...

已知

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 4}, 8, x \neq = 4 x = 4

為連續函數，則數對

(a, b) =

(21-1, 21-2 21-3 21-4)

若

a

，

b

為實數，已知

x \to 3 lim \frac{x ^{2} + a x + 15}{x - 3} = b

，試求數對

(a, b) =

(22-1 22-2, 22-3 22-4)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

102

第 11 題(B)

第 12 題(C)

第 13 題(D)

第 14 題(E)

第 15 題(A)

第 16 題(A)(C)(E)

第 17 題(B)(D)

第 18 題(A)(B)(E)

第 19 題

\frac{3}{2}

第 20 題

81

第 21 題

(0, - 16)

第 22 題

(- 8, - 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：數列的極限、極限與函數值、定義域、合成函數、多項式函數的極限

第 1 題1正確。分子

(- 1)^{n}

只在

1

與

- 1

之間變換，所以

- \frac{1}{n ^{3}} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}} \leq \frac{1}{n ^{3}}

。

n \to \infty

時

- \frac{1}{n ^{3}}

與

\frac{1}{n ^{3}}

都趨近

0

，由夾擠定理，這個數列的極限為

0

。

各項正負交錯，但絕對值

\frac{1}{n ^{3}}

愈來愈接近

0

，從兩側一起靠近

0

。這和

⟨(- 1)^{n} ⟩

本身發散不一樣。

第 2 題2錯誤。極限看的是

x

接近

a

時函數值的趨勢，與

f (a)

是多少、甚至有沒有定義都無關。反例：

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

在

x = 1

的極限是

2

（見第 7 題），但

f (1)

沒有定義。又如

f (x) = {x + 1, 5, x \neq = 1 x = 1

，在

x = 1

的極限是

2

，而

f (1) = 5

，兩者不相等。

x \to a lim f (x) = f (a)

成立時，稱

f (x)

在

x = a

連續；題目少了「連續」這個條件。

第 3 題2錯誤。根號內不能是負數：

2 x^{2} - 4 x - 6 \geq 0

，同除以

2

得

x^{2} - 2 x - 3 \geq 0

，即

(x - 3) (x + 1) \geq 0

，所以

x \leq - 1

或

x \geq 3

。定義域是

{x ∣ x \leq - 1 或 x \geq 3, x \in R}

，不是

- 1 \leq x \leq 3

。

檢查：取

x = 0

，根號內是

- 6

，沒有意義，所以

0

不在定義域裡；題目寫的範圍恰好是根號內小於或等於

0

的部分。

第 4 題2錯誤。

(f \circ g) (3) = f (g (3))

，先算裡面：

g (3) = 3 - 5 = - 2

，再代入

f

：

f (- 2) = 2 \times (- 2)^{2} + 1 = 9

。所以

(f \circ g) (3) = 9

，不是

- 38

。

順序反過來算

(g \circ f) (3) = g (f (3)) = g (19) = 14

，也不是

- 38

。合成函數由右邊的函數先作用。

第 5 題1正確。多項式函數在每一個實數

a

都滿足

x \to a lim f (x) = f (a)

（由極限的加、減、乘運算性質逐項得到），所以

x \to 1 lim f (x) = f (1) = 3

。

和第 2 題比較：一般的函數不能用函數值當極限，多項式函數因為處處連續才可以。

02是非第 6～10 題：奇函數、約分求極限、中間值定理、級數的收斂與發散

第 6 題1正確。

f (- x) = (- x)^{5} + (- x)^{3} - 2 (- x) = - x^{5} - x^{3} + 2 x = - (x^{5} + x^{3} - 2 x) = - f (x)

，對所有實數

x

都成立，所以

f (x)

是奇函數。

多項式函數只含奇數次項（

x^{5}

、

x^{3}

、

x

）時就是奇函數；只要多一個常數項或偶數次項就不是。

第 7 題2錯誤。

x \to 1

時

x \neq = 1

，可以約分：

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1

。所以

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 1) = 2

，極限存在。

直接代

x = 1

會得到

\frac{0}{0}

，這只表示函數在

x = 1

沒有定義，不表示極限不存在。

第 8 題1正確。

f (x) = x^{3} + x

是多項式函數，在

2

到

3

之間連續。

f (2) = 8 + 2 = 10

，

f (3) = 27 + 3 = 30

，而

20

介於

10

與

30

之間，由中間值定理，在

2

與

3

之間至少有一個實數

c

使得

f (c) = 20

。

也可以用勘根定理：令

h (x) = f (x) - 20

，

h (2) = - 10 < 0

、

h (3) = 10 > 0

，所以

h (x) = 0

在

2

與

3

之間有實根。

第 9 題2錯誤。把前幾項寫出來：

k = 1

時

1 + (- 1) = 0

，

k = 2

時

1 + 1 = 2

，

k = 3

時

0

，

k = 4

時

2

，……。部分和依序是

0, 2, 2, 4, 4, 6, 6, \dots

，愈加愈大，不會趨近一個定值，所以是發散級數。

級數收斂時，一般項一定趨近

0

；這裡的一般項在

0

與

2

之間跳動，不趨近

0

，可以直接判定發散。

第 10 題2錯誤。首項

2

，公比

r = - 1

。無窮等比級數要

∣ r ∣ < 1

才收斂，才可以用

\frac{a}{1 - r}

求和；這裡

∣ r ∣ = 1

，不能套公式。實際看部分和：

2, 0, 2, 0, \dots

，在

2

與

0

之間來回，沒有極限，所以這個級數發散，沒有和。

1

剛好是

2

與

0

的平均，看起來很合理，但級數的和是指部分和數列的極限，部分和不趨近

1

。

級數收不收斂要看部分和；無窮等比級數的求和公式只在公比的絕對值小於 1 時才能用。

03單選第 11～13 題：等比數列的收斂、夾擠定理、極限的四則運算

第 11 題答案 (B)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

- 1 < r \leq 1

時收斂，其餘情形發散。(A)

r = 1.01 > 1

，發散。(B)

r = - 0.99

，

∣ r ∣ < 1

，收斂（極限為

0

）。(C)

r = 3 + 1 \approx 2.73 > 1

，發散。(D)

r = \frac{π}{2} \approx 1.57 > 1

，發散。(E)

\frac{7 ^{n}}{2024}

是公比

7

的等比數列，除以

2024

只是乘上一個常數，各項仍愈來愈大，發散。

(A) 的公比只比

1

大一點，前幾項成長很慢，但只要公比大於

1

，項就會超過任何數。(B) 的各項正負交錯，絕對值

(0.99)^{n}

趨近

0

。

第 12 題答案 (C)。

\frac{4 n - 1}{3 n} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3 n}

，

\frac{4 n + 1}{3 n} = \frac{4}{3} + \frac{1}{3 n}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{3 n} \to 0

，左右兩個數列的極限都是

\frac{4}{3}

。

c_{n}

夾在中間，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = \frac{4}{3}

。

題目沒有給

c_{n}

的一般項，也不需要：兩邊的極限相同時，中間的數列就被夾到同一個值。

第 13 題答案 (D)。分開看兩個括號。第一個：

n \to \infty

時

\frac{4}{n} \to 0

，所以

\frac{4}{n} - 3 \to - 3

。第二個：

\frac{3 n + 3}{n - 5}

分子分母同除以

n

，得

\frac{3 + \frac{3}{n}}{1 - \frac{5}{n}} \to \frac{3}{1} = 3

，所以

\frac{3 n + 3}{n - 5} + 2 \to 5

。兩個括號各自收斂，乘積的極限等於極限的乘積：

(- 3) \times 5 = - 15

。

(A) 的

- 6

是

(- 3) \times 2

，漏了分式的極限

3

；先把每一部分的極限都算出來再相乘。

04單選第 14、15 題：合成函數的次數、由圖形看極限

第 14 題答案 (E)。

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = (f (x))^{3} - f (x) + 1 = (x^{5} + 2 x)^{3} - (x^{5} + 2 x) + 1

。

(x^{5} + 2 x)^{3}

展開後最高次項是

(x^{5})^{3} = x^{15}

，係數為

1

；後面的

- (x^{5} + 2 x) + 1

最高只有

5

次，消不掉

x^{15}

。所以

(g \circ f) (x)

是

15

次多項式。

兩個多項式合成，次數是兩者次數相乘（

3 \times 5 = 15

），不是相加（

8

）。

第 15 題答案 (A)。極限存在的條件是：

x

從

2

的左邊、右邊接近時，函數值趨近同一個數；與

x = 2

那一點有沒有定義無關。(A) 左右兩段都朝點

(2, 3)

靠近，左極限、右極限都是

3

，極限存在（等於

3

）；

(2, 3)

是空心點只表示

f (2)

不是

3

或沒有定義，不影響極限。(B)

x

接近

2

時，圖形沿著鉛直虛線

x = 2

往上，函數值愈來愈大，不趨近任何數，極限不存在。(C) 左邊趨近

3

、右邊趨近

2

，左右極限不相等，極限不存在。(D) 左邊趨近

3

、右邊趨近

- 1

，不相等，極限不存在；實心點

(2, 0)

只是

f (2) = 0

。(E) 左邊趨近實心點的高度，右邊沿著虛線

x = 2

往上愈來愈大，右極限不存在，所以極限不存在。

空心點、實心點決定的是

f (2)

的值，極限只看

2

的兩側。(A) 是「極限存在但函數在該點不連續」的例子，正好對應是非第 2 題。

看圖判斷極限：左右兩邊各自趨近哪個高度，兩個高度相同才存在；那一點本身是空心或實心不影響。

05多選第 16～18 題：等比級數的收斂、函數圖形、勘根定理

第 16 題答案 (A)(C)(E)。無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是公比

r

滿足

∣ r ∣ < 1

；公比用後項除以前項求。(A)

r = \frac{9}{10}

，

∣ r ∣ < 1

，收斂。(B)

r = \frac{10}{9} > 1

，發散。(C)

r = (\frac{π}{4})^{3} \div \frac{π}{4} = (\frac{π}{4})^{2} = \frac{π ^{2}}{16}

；因為

π < 4

，

0 < \frac{π}{4} < 1

，平方後仍小於

1

，收斂。(D)

r = - 1

，

∣ r ∣ = 1

，發散。(E)

r = (- \frac{2 ^{3}}{5 ^{2}}) \div \frac{2}{5} = - \frac{8}{25} \times \frac{5}{2} = - \frac{4}{5}

，再檢查下一項：

\frac{2 ^{5}}{5 ^{3}} \div (- \frac{2 ^{3}}{5 ^{2}}) = - \frac{4}{5}

，確實是等比；

∣ r ∣ = \frac{4}{5} < 1

，收斂。

1, 3, 5, 7

，每次多

2

，公比是

\frac{π}{4}

的平方，約

0.617

。(E) 的分子每次乘

2^{2} = 4

、分母每次乘

5

，再加上正負交錯，公比是

- \frac{4}{5}

，不是

- \frac{2}{5}

。

第 17 題答案 (B)(D)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

至多對應一個

y

，也就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。(A) 圖形是三段鉛直的線段，沿著其中一段畫鉛直線，會與圖形交於無限多點，同一個

x

對應很多個

y

，不是。(B) 曲線由左往右一路前進，沒有回頭，每條鉛直線恰交一點，是。(C) 曲線在中段往回折，

y

軸附近的鉛直線與它交於三點，不是。(D) 兩條鉛直虛線把圖形分成左、中、右三段，三段的

x

範圍互不重疊，每條鉛直線至多與其中一段交於一點，是（虛線不是圖形的一部分，函數在那兩個

x

沒有定義）。(E) 封閉曲線，內部的鉛直線與它交於上、下兩點，不是。

(D) 的圖形斷成三段仍然是函數圖形：函數圖形不必連成一條線，定義域也不必是全體實數。(A) 若換成三段水平線段且

x

範圍不重疊，就會是函數圖形。

第 18 題答案 (A)(B)(E)。

f (x)

是多項式函數，處處連續。算各整數點的函數值：

f (- 2) = - 8 + 8 - 2 = - 2

，

f (- 1) = - 1 + 4 - 2 = 1

，

f (0) = - 2

，

f (1) = 1 - 4 - 2 = - 5

，

f (2) = 8 - 8 - 2 = - 2

，

f (3) = 27 - 12 - 2 = 13

。

f (- 2) f (- 1) < 0

、

f (- 1) f (0) < 0

、

f (2) f (3) < 0

，由勘根定理，在

- 2

與

- 1

之間、

- 1

與

0

之間、

2

與

3

之間各至少有一個實根。三次方程式至多三個實根，這三個區間已經各佔一個，所以其他區間沒有實根：(C)(D) 不選。

f (0)

、

f (1)

、

f (2)

同號只表示勘根定理在

0

到

2

之間用不上，並不能直接說沒有根；這裡是靠「三個根都已經找到位置」才排除 (C)(D)。

勘根定理：連續函數在區間兩端的函數值一正一負，區間內至少有一個實根；配合方程式的次數可以把根的位置全部定出來。

06選填第 19、20 題：無窮等比級數的和

第 19 題前

n

項的和

S_{n} = [1 + \frac{1}{2} + \dots + (\frac{1}{2})^{n - 1}] - [\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + (\frac{1}{3})^{n}]

。第一個括號是首項

1

、公比

\frac{1}{2}

的等比級數，和為

\frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 [1 - (\frac{1}{2})^{n}]

；第二個括號是首項

\frac{1}{3}

、公比

\frac{1}{3}

的等比級數，和為

\frac{\frac{1}{3} [ 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n} ]}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} [1 - (\frac{1}{3})^{n}]

。

n \to \infty

時

(\frac{1}{2})^{n} \to 0

、

(\frac{1}{3})^{n} \to 0

，所以

n \to \infty lim S_{n} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。

兩個無窮等比級數的公比

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

絕對值都小於

1

，各自收斂到

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

與

\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

，相減即得。注意第二個級數從

\frac{1}{3}

開始，首項不是

1

。

第 20 題設最大的正方形邊長為

x

。它的一個頂點在

A

，兩邊貼在

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上，對角的頂點在斜邊

\overline{B C}

上。正方形上方的小直角三角形，鉛直的股長

12 - x

、水平的股長

x

，與

△ A B C

相似（對應角相等），所以

\frac{x}{12 - x} = \frac{18}{12}

，

12 x = 18 (12 - x)

，

30 x = 216

，

x = \frac{36}{5}

，

S_{1} = (\frac{36}{5})^{2} = \frac{1296}{25}

。正方形右邊剩下的直角三角形，水平的股長

18 - \frac{36}{5} = \frac{54}{5}

、鉛直的股長

\frac{36}{5}

，也與

△ A B C

相似，邊長是原來的

\frac{54}{5} \div 18 = \frac{3}{5}

倍。第二個正方形內接在這個小三角形裡，位置與第一個相同，所以邊長是第一個的

\frac{3}{5}

，面積是

(\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}

倍；之後每一個都一樣。

S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots

是首項

\frac{1296}{25}

、公比

\frac{9}{25}

的等比數列，

\frac{9}{25} < 1

，所以

S_{1} + S_{2} + S_{3} + \dots = \frac{\frac{1296}{25}}{1 - \frac{9}{25}} = \frac{1296}{16} = 81

。

檢查：

△ A B C

的面積是

\frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 108

，所有正方形的面積和

81

小於

108

，合理。題目的圖是示意圖，邊長的比例沒有照題目的數據畫，不能用量的。

圖形一層一層縮小的問題：先求第一個的大小，再用相似形找出每次縮小的比例，面積的公比是邊長比的平方。

07選填第 21、22 題：由連續、由極限存在求係數

第 21 題

x \neq = 4

時

f (x)

是分式，分母不為

0

，是連續的；只要在

x = 4

連續即可，也就是

x \to 4 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 4} = f (4) = 8

。

x \to 4

時分母趨近

0

，極限卻存在，分子也必須趨近

0

：

16 + 4 a + b = 0

，即

b = - 4 a - 16

。代回分子：

x^{2} + a x - 4 a - 16 = (x^{2} - 16) + a (x - 4) = (x - 4) (x + 4 + a)

。約去

x - 4

，極限為

x \to 4 lim (x + 4 + a) = 8 + a

。由

8 + a = 8

得

a = 0

，

b = - 16

。答：

(a, b) = (0, - 16)

。

檢查：

a = 0

、

b = - 16

時，

x \neq = 4

的部分是

\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} = x + 4

，

x \to 4

時趨近

8

，與

f (4) = 8

相同。作答格依序填

0

、負號、

1

、

6

。

第 22 題

x \to 3

時分母趨近

0

，極限存在（等於實數

b

），所以分子也必須趨近

0

：

9 + 3 a + 15 = 0

，

a = - 8

。這時分子是

x^{2} - 8 x + 15 = (x - 3) (x - 5)

，約去

x - 3

：

b = x \to 3 lim (x - 5) = - 2

。答：

(a, b) = (- 8, - 2)

。

如果分子在

x = 3

不是

0

，分式的絕對值在

x

接近

3

時會愈來愈大，極限不可能是實數；這就是「分母趨近

0

、極限存在，則分子趨近

0

」的理由。作答格依序填負號、

8

、負號、

2

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子一定也趨近 0；先用這個條件求出一個係數，再因式分解約分求極限。

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