段考詳解範圍：數學甲上第三、四單元（導數與微分公式、導數的應用）＋第三冊複習（三角函數、指數與對數、平面向量）

基隆高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 6 分，答案完全答對才給分，共 30 分）、多選題 5 題（每題 6 分；所有選項均答對者得 6 分，答錯 1 個選項者得 4 分，答錯 2 個選項者得 2 分，答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者該題以零分計算，共 30 分）、填充題第 11～16 題共 8 格（每格 5 分，每題之答案完全答對才給分，共 40 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題(共 30 分)

已知函數

f (x) = x^{2} + ∣ x - 3∣

，試問導數

f^{'} (2)

的值為何？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

設函數

f (x) = {x^{3}, x^{2} + a x + b, x \leq 2 x > 2

在

x = 2

處可微分，求

f (3)

的值。

(A) $13$
(B) $15$
(C) $17$
(D) $19$
(E) $21$

某品牌計算機在計算對數

lo g_{a} b

時需按

log (a, b)

。某生在計算

lo g_{a} b

時（其中

a > 1

且

b > 1

）順序弄錯，誤按為

log (b, a)

，所得為正確值的

\frac{4}{9}

倍。試選出

a

、

b

間的關係式

(A) $a^{2} = b^{3}$
(B) $a^{3} = b^{2}$
(C) $a^{2} = b^{- 3}$
(D) $a^{3} = b^{- 2}$
(E) $3 a = 2 b$

如下圖所示，

O

為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點

P

落在

Δ O E F

內部（不含邊界）？

(A) $O P = O C + O E$
(B) $O P = \frac{1}{4} O C + \frac{1}{2} O E$
(C) $O P = - \frac{1}{4} O C + \frac{1}{2} O E$
(D) $O P = \frac{1}{4} O C - \frac{1}{2} O E$
(E) $O P = - \frac{1}{4} O C - \frac{1}{2} O E$

載入中...

某生實驗得到

15

筆兩物理量的數據

(s_{k}, t_{k})

，

k = 1, 2, \dots, 15

。老師建議他將其中的

t_{k}

先取對數，在坐標平面上標出對應的點

(s_{k}, lo g t_{k})

，

k = 1, 2, \dots, 15

，如圖所示；其中第一個數據為橫軸坐標，第二個數據為縱軸坐標。利用迴歸直線分析，某生印證了其理論。試問該生所得

s, t

的關係式最可能為下列哪一選項？

(A) $t^{2} = 1 0^{s}$
(B) $s = 3 t$
(C) $t = 1 0^{s}$
(D) $s = 2 t$
(E) $t^{3} = 1 0^{s}$

載入中...

二、多選題(共 30 分)

考慮多項式函數

f (x) = 4 x^{3} - 11 x^{2} + 6 x

。請選出正確的選項：

(A) 函數 $f$ 的圖形與直線 $y = 1$ 交於一點
(B) 函數 $f$ 的圖形在點 $(1, - 1)$ 的切線斜率為正
(C) 函數 $f$ 的唯一相對極小值為 $- \frac{9}{4}$
(D) $f (π) > 0$
(E) $f (x)$ 沒有反曲點

此圖是函數

y = 3 \cdot sin (a x)

的部分圖形，其中

a > 0

，且

f (\frac{π}{2}) = f (π) = 0

，則下列選項哪些正確？

(A) 圖形的振幅為 $3$
(B) 圖形的週期為 $\frac{π}{2}$
(C) $C$ 點坐標為 $(\frac{5 π}{4}, 3)$
(D) $a = \frac{1}{2}$
(E) 此圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 平移而得。

載入中...

考慮坐標平面上的點

O (0, 0)

、

A

、

B

、

C

、

D

、

E

、

F

、

G

，如圖所示：其中

B

點、

C

與

D

點、

E

與

F

點、

G

與

A

點依序在一、二、三、四象限內。若

v

為坐標平面上的向量，且滿足

v \cdot O A > 0

及

v \cdot O B > 0

，則

v

與下列哪些向量的內積一定小於

0

？

(A) $O G$
(B) $O F$
(C) $O E$
(D) $O D$
(E) $O C$

載入中...

設

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}

是首項為

3

且公比為

3

的等比數列。試選出滿足不等式

lo g_{3} a_{1} - lo g_{3} a_{2} + lo g_{3} a_{3} - lo g_{3} a_{4} + \dots + (- 1)^{n + 1} lo g_{3} a_{n} > 18

的項數

n

之可能選項。

(A) $71$
(B) $72$
(C) $73$
(D) $74$
(E) $75$

在坐標平面上，

Γ

是邊長為

4

的正方形，其中心位在點

(1, 1)

，且各邊與坐標軸平行。已知函數

y = a \times 2^{x}

的圖形與

Γ

相交，其中

a

為整數，則

a

的可能為？

(A) $- 2$
(B) $1$
(C) $4$
(D) $7$
(E) $10$

三、填充題(共 40 分)

已知函數

f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 3}

，則 (1)

f^{'} (1) =

____。（請將答案約分為最簡分數，否則不予計分） (2) 過

(1, \frac{1}{4})

的切線方程式為

x +

____

y =

____。

若函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 2

圖形的反曲點為

(- 1, 2)

，則數對

(a, b) =

____。

若

f (x) = \frac{( x - 6 ) ( x - 7 )}{( x - 8 )}

，則

f^{'} (7) =

____。

坐標平面上有一個半徑為

5

的圓，其圓心為

O

點。已知圓上有

A

、

B

兩點，且

\overline{A B} = 8

，則內積

A O \cdot O B =

____。

設

O

、

A

、

B

為坐標平面上不共線三點，其中向量

O A

垂直

O B

。若

C

、

D

兩點在直線

\overline{A B}

上，滿足

O C = \frac{3}{5} O A + \frac{2}{5} O B

、

\overline{A D} = 6 \overline{B D}

，且

O C

垂直

O D

，則

\frac{O B}{O A} =

____。（請將答案約分為最簡分數，否則不予計分）

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如圖所示：圖中，圓弧 QRT 為一個以 O 點為圓心、

\overline{QT}

為直徑的半圓，

\overline{QT} = 3

。圓弧 QST 的圓心在

P

點，

\overline{P Q} = \overline{P T} = 1

。圓弧 QRT 與圓弧 QST 所圍出的灰色區域 QSTRQ 即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為

aπ + \frac{1}{4} b

，其中

π

為圓周率，

a

為有理數，

b

為整數，則 (1)

a =

____。（請將答案約分為最簡分數，否則不予計分） (2)

b =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(C)

第 5 題(A)

第 6 題(A)(C)(D)

第 7 題(A)(C)

第 8 題(C)(D)

第 9 題(A)(C)(E)

第 10 題(A)(B)(C)

第 11 題(1)

- \frac{1}{8}

　(2)

x + 8 y = 3

第 12 題

(3, 2)

第 13 題

- 1

第 14 題

7

第 15 題

\frac{1}{2}

第 16 題(1)

\frac{1}{24}

　(2)

3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：含絕對值的導數、可微分的條件、換底公式

第 1 題答案 (D)。在

x = 2

附近

x < 3

，

∣ x - 3∣ = 3 - x

，所以

f (x) = x^{2} - x + 3

。

f^{'} (x) = 2 x - 1

，

f^{'} (2) = 3

。

導數只看這一點附近的函數，所以先確定

x = 2

附近絕對值裡面的正負，去掉絕對值再微分。

第 2 題答案 (E)。可微分一定連續：左邊

f (2) = 2^{3} = 8

，右邊的極限

4 + 2 a + b

，所以

4 + 2 a + b = 8

。左右兩段在

x = 2

的導數也要相等：

x^{3}

的導數

3 x^{2}

在

x = 2

是

12

，

x^{2} + a x + b

的導數

2 x + a

在

x = 2

是

4 + a

，所以

4 + a = 12

，

a = 8

。代回得

b = 8 - 4 - 16 = - 12

。

f (3) = 9 + 3 a + b = 9 + 24 - 12 = 21

。

只有連續還不夠，左右兩段的切線斜率也要接得起來。

第 3 題答案 (B)。正確值是

lo g_{a} b

，誤按得到

lo g_{b} a

。由換底公式，

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}

，

lo g_{b} a = \frac{lo g a}{lo g b}

。題意

\frac{lo g a}{lo g b} = \frac{4}{9} \cdot \frac{lo g b}{lo g a}

，即

(\frac{lo g a}{lo g b})^{2} = \frac{4}{9}

。因為

a > 1

、

b > 1

，

lo g a

、

lo g b

都是正的，所以

\frac{lo g a}{lo g b} = \frac{2}{3}

，

3 lo g a = 2 lo g b

，

lo g a^{3} = lo g b^{2}

，得

a^{3} = b^{2}

。

若沒有

a > 1

、

b > 1

的條件，比值也可能是

- \frac{2}{3}

，那就會得到 (D)

a^{3} = b^{- 2}

。

02單選第 4、5 題：向量的線性組合、取對數後的迴歸直線

第 4 題答案 (C)。正六邊形的中心到六個頂點等距，且

O F = - O C

。把每個選項改用

O F

、

O E

表示：若

O P = x O F + y O E

，

P

在

Δ O E F

內部（不含邊界）的條件是

x > 0

、

y > 0

且

x + y < 1

。

O C

的係數

k

換成

O F

的係數是

- k

。(A)

x = - 1

，不合。(B)

x = - \frac{1}{4}

，不合。(C)

x = \frac{1}{4}

、

y = \frac{1}{2}

，

x + y = \frac{3}{4} < 1

，在內部。(D)

x = - \frac{1}{4}

，不合。(E)

x = \frac{1}{4}

、

y = - \frac{1}{2}

，不合。

x + y = 1

時

P

落在

\overline{E F}

上，

x + y < 1

才會在

\overline{E F}

靠

O

的這一側。

第 5 題答案 (A)。圖中的點大致排在一條通過原點附近的直線上：最左邊的點約在

(- 0.9, - 0.45)

，最右邊的點約在

(1.8, 0.9)

，縱坐標大約是橫坐標的一半，所以迴歸直線約為

lo g t = \frac{1}{2} s

。兩邊乘以

2

：

2 lo g t = s

，即

lo g t^{2} = s

，得

t^{2} = 1 0^{s}

。

其他選項：(C)

t = 1 0^{s}

是

lo g t = s

，斜率

1

，太陡；(E)

t^{3} = 1 0^{s}

是

lo g t = \frac{1}{3} s

，斜率

\frac{1}{3}

，太平；(B)、(D) 是

s

與

t

成正比，取對數後

lo g t = lo g s +

常數，不是直線，而且

s \leq 0

的點根本沒有對應。

03多選第 6、7 題：三次函數的導數應用、正弦函數的圖形

第 6 題

答案 (A)(C)(D)。 $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 22 x + 6 = 2 (3 x - 1) (2 x - 3)$ ， $x < \frac{1}{3}$ 時遞增、 $\frac{1}{3} < x < \frac{3}{2}$ 時遞減、 $x > \frac{3}{2}$ 時遞增。極大值 $f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{11}{9} + 2 = \frac{25}{27}$ ，極小值 $f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - \frac{99}{4} + 9 = - \frac{9}{4}$ 。

(A) 正確。 極大值 $\frac{25}{27} < 1$ ，所以 $x \leq \frac{3}{2}$ 時 $f (x)$ 都小於 $1$ ； $x > \frac{3}{2}$ 時 $f$ 遞增且會變得很大，與 $y = 1$ 只交一次。共交於一點。

(B) 錯誤。 $f (1) = - 1$ ，點在圖形上； $f^{'} (1) = 12 - 22 + 6 = - 4 < 0$ ，切線斜率為負。

(D) 正確。 $f (x) = x (4 x^{2} - 11 x + 6) = x (4 x - 3) (x - 2)$ ，三個根是 $0$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $2$ 。 $π > 2$ ，三個因式都是正的， $f (π) > 0$ 。

(E) 錯誤。 $f^{''} (x) = 24 x - 22$ 在 $x = \frac{11}{12}$ 由負變正， $(\frac{11}{12}, f (\frac{11}{12}))$ 是反曲點。

第 7 題

答案 (A)(C)。圖形從原點往上，經過最高點 $A$ 後在 $x = \frac{π}{2}$ 第一次回到 $x$ 軸，再經過最低點 $B$ 在 $x = π$ 回到 $x$ 軸，所以從 $0$ 到 $π$ 恰好是一個完整的週期，週期是 $π$ 。

(A) 正確。 $y = 3 sin (a x)$ 的最大值 $3$ 、最小值 $- 3$ ，振幅是 $3$ 。

(B) 錯誤。 週期是 $π$ ，不是 $\frac{π}{2}$ 。

(C) 正確。 $A$ 是第一個最高點，在四分之一週期 $x = \frac{π}{4}$ ； $C$ 是下一個最高點，再過一個週期， $x = \frac{π}{4} + π = \frac{5 π}{4}$ ，坐標 $(\frac{5 π}{4}, 3)$ 。

(D) 錯誤。 週期 $\frac{2 π}{a} = π$ ， $a = 2$ 。

(E) 錯誤。 平移不改變週期； $y = 3 sin 3 x$ 的週期是 $\frac{2 π}{3}$ ，與這個圖形的週期 $π$ 不同，不能平移得到。

題目寫的

f

指的就是

y = 3 sin (a x)

。由

f (\frac{π}{2}) = 0

只能知道

a

是

2

的倍數，要再看圖：

0

到

\frac{π}{2}

之間只有一個最高點

A

、沒有別的零點，所以

a = 2

。

04多選第 8～10 題：內積的正負、等比數列取對數、指數函數的圖形

第 8 題

答案 (C)(D)。若 $- w$ 可寫成 $λ O A + μ O B$ （ $λ \geq 0$ 、 $μ \geq 0$ ，不全為 $0$ ），也就是 $- w$ 的方向落在 $∠ A O B$ 之內（含兩邊），則 $v \cdot w = - (λ v \cdot O A + μ v \cdot O B) < 0$ ，一定小於 $0$ 。若 $- w$ 的方向在 $∠ A O B$ 之外，就找得到一個 $v$ 與 $O A$ 、 $O B$ 都夾銳角，卻與 $w$ 垂直或夾銳角，內積不小於 $0$ 。

由圖： $A$ 在第四象限、略低於 $x$ 軸； $B$ 在第一象限， $∠ A O B$ 是 $x$ 軸正向附近、從 $O A$ 轉到 $O B$ 的角。

(A) 錯誤。 $G$ 在第四象限，取 $v = (1, 0)$ ： $A$ 、 $B$ 、 $G$ 的 $x$ 坐標都是正的，三個內積都大於 $0$ 。

(B) 錯誤。 $F$ 幾乎在 $y$ 軸負向的正下方， $- O F$ 很陡，比 $O B$ 更靠近 $y$ 軸，在 $∠ A O B$ 之外。取 $v$ 與 $O F$ 垂直、指向 $x$ 軸正向附近（略偏下），它與 $O A$ 、 $O B$ 都夾銳角，但與 $O F$ 的內積是 $0$ ，不小於 $0$ 。

(D) 正確。 $D$ 在第二象限、只略高於 $x$ 軸， $- O D$ 指向第四象限、比 $O A$ 更貼近 $x$ 軸，落在 $∠ A O B$ 之內。

(E) 錯誤。 $C$ 幾乎在 $y$ 軸正向的正上方， $- O C$ 指向第四象限且很陡，比 $O A$ 更靠近 $y$ 軸，在 $∠ A O B$ 之外。取 $v$ 與 $O C$ 垂直、指向 $x$ 軸正向附近（略偏上），它與 $O A$ 、 $O B$ 都夾銳角，但與 $O C$ 的內積是 $0$ 。

這題要靠圖上各點的位置判斷；關鍵是看「反方向的向量」有沒有落在

O A

與

O B

夾出的角裡。

第 9 題

答案 (A)(C)(E)。 $a_{k} = 3 \cdot (3)^{k - 1} = 3^{\frac{k + 1}{2}}$ ，所以 $lo g_{3} a_{k} = \frac{k + 1}{2}$ ，這是公差 $\frac{1}{2}$ 的等差數列： $1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, \dots$ 。把相鄰兩項配成一組： $lo g_{3} a_{2 m - 1} - lo g_{3} a_{2 m} = - \frac{1}{2}$ 。

$n$ 為偶數時，共 $\frac{n}{2}$ 組，總和 $- \frac{n}{4} < 0$ ，不可能大於 $18$ ，所以 (B)、(D) 錯誤。

$n$ 為奇數時，前 $n - 1$ 項配成 $\frac{n - 1}{2}$ 組，再加上最後一項 $\frac{n + 1}{2}$ ：總和 $- \frac{n - 1}{4} + \frac{n + 1}{2} = \frac{n + 3}{4}$ 。 $\frac{n + 3}{4} > 18$ 得 $n > 69$ 。(A) $71$ 、(C) $73$ 、(E) $75$ 都是大於 $69$ 的奇數，正確。

例如

n = 71

時總和是

\frac{74}{4} = 18.5

；

n = 69

時總和恰為

18

，不大於

18

。

第 10 題

答案 (A)(B)(C)。正方形的中心 $(1, 1)$ 、邊長 $4$ ，所以它是 $- 1 \leq x \leq 3$ 、 $- 1 \leq y \leq 3$ 的區域。 $y = a \times 2^{x}$ 在 $- 1 \leq x \leq 3$ 這一段， $2^{x}$ 由 $\frac{1}{2}$ 遞增到 $8$ 。

(A) 正確。 $a = - 2$ ： $x = - 1$ 時 $y = - 1$ ，圖形通過正方形的頂點 $(- 1, - 1)$ 。

(B) 正確。 $a = 1$ ： $x = 0$ 時 $y = 1$ ，點 $(0, 1)$ 在正方形內；圖形往右上延伸會穿過上邊 $y = 3$ （在 $x = lo g_{2} 3$ 處， $0 < lo g_{2} 3 < 3$ ）。

(D) 錯誤。 $a = 7$ ： $- 1 \leq x \leq 3$ 時 $y \geq 7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2} > 3$ ，整段都在正方形上方，不相交。

(E) 錯誤。 $a = 10$ ： $- 1 \leq x \leq 3$ 時 $y \geq 5 > 3$ ，不相交。

a > 0

時，只要

x = - 1

處的值

\frac{a}{2} \leq 3

（即

a \leq 6

）就會相交；

a < 0

時要

\frac{a}{2} \geq - 1

（即

a \geq - 2

）。

05填充第 11～13 題：除法的微分公式、反曲點、用定義求導數

第 11 題

(1) 由除法的微分公式， $f^{'} (x) = \frac{0 \cdot ( x ^{2} + 3 ) - 1 \cdot 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{- 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ ， $f^{'} (1) = \frac{- 2}{16} = - \frac{1}{8}$ 。

(2) $f (1) = \frac{1}{4}$ ，點 $(1, \frac{1}{4})$ 在圖形上，切線斜率 $- \frac{1}{8}$ 。切線 $y - \frac{1}{4} = - \frac{1}{8} (x - 1)$ ，兩邊乘以 $8$ ： $8 y - 2 = - x + 1$ ，整理成 $x + 8 y = 3$ 。

原卷 (2) 的兩格依序填

8

與

3

。

第 12 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

，

f^{''} (x) = 6 x + 2 a

。三次函數的反曲點在

f^{''} (x) = 0

的地方，所以

6 (- 1) + 2 a = 0

，

a = 3

。反曲點在圖形上：

f (- 1) = - 1 + a - b + 2 = 2

，代入

a = 3

得

b = 2

。

(a, b) = (3, 2)

。

驗算：

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 2

，

f (- 1) = - 1 + 3 - 2 + 2 = 2

。

第 13 題用導數的定義：

f (7) = 0

，所以

f^{'} (7) = x \to 7 lim \frac{f ( x ) - f ( 7 )}{x - 7} = x \to 7 lim \frac{( x - 6 ) ( x - 7 )}{( x - 8 ) ( x - 7 )} = x \to 7 lim \frac{x - 6}{x - 8} = \frac{1}{- 1} = - 1

。

也可以用除法的微分公式：分子

g (x) = (x - 6) (x - 7)

滿足

g (7) = 0

、

g^{'} (7) = 1

，所以

f^{'} (7) = \frac{g ^{'} ( 7 ) ( 7 - 8 ) - g ( 7 ) \cdot 1}{( 7 - 8 ) ^{2}} = - 1

。

06填充第 14～16 題：內積、直線上的點、月亮形狀的面積

第 14 題

\overline{O A} = \overline{O B} = 5

。設

∠ A O B = θ

，由餘弦定理

8^{2} = 5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 5 cos θ

，

cos θ = \frac{50 - 64}{50} = - \frac{7}{25}

，所以

O A \cdot O B = 5 \cdot 5 \cdot (- \frac{7}{25}) = - 7

。

A O = - O A

，所以

A O \cdot O B = 7

。

注意題目是

A O

不是

O A

，差一個負號。

第 15 題

設 $O A = a$ 、 $O B = b$ ， $∣ a ∣ = p$ 、 $∣ b ∣ = q$ ， $a \cdot b = 0$ 。 $D$ 在直線 $A B$ 上且 $\overline{A D} = 6 \overline{B D}$ ，有兩種位置：

$D$ 在線段 $A B$ 上（ $\overline{A D} : \overline{D B} = 6 : 1$ ）時 $O D = \frac{1}{7} a + \frac{6}{7} b$ ， $O C \cdot O D = \frac{1}{35} (3 p^{2} + 12 q^{2}) > 0$ ，不可能垂直。

$D$ 在線段 $A B$ 外（ $B$ 在 $A$ 、 $D$ 之間）時 $A D = 6 B D$ ， $O D - a = 6 (O D - b)$ ，得 $O D = \frac{6 b - a}{5}$ 。

$O C \cdot O D = \frac{( 3 a + 2 b ) \cdot ( 6 b - a )}{25} = \frac{- 3 p ^{2} + 12 q ^{2}}{25} = 0$ ， $q^{2} = \frac{p ^{2}}{4}$ ，所以 $\frac{O B}{O A} = \frac{q}{p} = \frac{1}{2}$ 。

D

若在

A

的外側（

A

在

D

、

B

之間），

\overline{A D}

會比

\overline{B D}

短，不可能是它的

6

倍，所以只有上面兩種位置。

第 16 題

灰色區域＝半圓 QRT 扣掉弦 $\overline{QT}$ 與圓弧 QST 圍成的弓形。

半圓：半徑 $\frac{3}{2}$ ，面積 $\frac{1}{2} π (\frac{3}{2})^{2} = \frac{3 π}{8}$ 。

弓形： $Δ P QT$ 三邊 $1, 1, 3$ ，由餘弦定理 $cos ∠ QP T = \frac{1 + 1 - 3}{2} = - \frac{1}{2}$ ， $∠ QP T = \frac{2 π}{3}$ 。扇形 $P QT$ 面積 $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}$ ， $Δ P QT$ 面積 $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{4}$ ，弓形面積 $\frac{π}{3} - \frac{3}{4}$ 。

灰色面積 $= \frac{3 π}{8} - (\frac{π}{3} - \frac{3}{4}) = \frac{π}{24} + \frac{1}{4} 3$ 。所以 (1) $a = \frac{1}{24}$ ，(2) $b = 3$ 。

P

到

\overline{QT}

的距離

\overline{P O} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}

，所以

S

離

O

只有

\frac{1}{2}

，比半圓半徑

\frac{3}{2} \approx 0.87

小，弧 QST 確實整段在半圓裡面。

不規則的圓弧區域，拆成「扇形減三角形」的弓形再相加減。

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同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 112 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 8 題要看反方向的向量有沒有落在 OA 與 OB 夾出的角裡，E 與 D 兩點都靠近 x 軸；第 9 題要把相鄰兩項配對，項數為偶數時總和是負的；第 15 題 D 點在線段 AB 的延長線上，不在線段內；第 16 題灰色區域等於半圓扣掉弓形。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自基隆高中 112 學年度上學期高三第二次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 112 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1～3 題：含絕對值的導數、可微分的條件、換底公式

02單選第 4、5 題：向量的線性組合、取對數後的迴歸直線

03多選第 6、7 題：三次函數的導數應用、正弦函數的圖形

04多選第 8～10 題：內積的正負、等比數列取對數、指數函數的圖形

05填充第 11～13 題：除法的微分公式、反曲點、用定義求導數

06填充第 14～16 題：內積、直線上的點、月亮形狀的面積

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高三第二次段考
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