段考詳解範圍：指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、指數與對數的應用

基隆高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 基隆高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 基隆高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要分清楚同在 x 軸上方的兩條曲線哪一條底數大，底數愈接近一的圖形愈陡；第 7 題 x 與 y 的乘積可能是負數，那時右邊的對數沒有意義；第 9 題由圖上兩點定出係數後，生命值的門檻要仔細比較；第 13 題合併對數之前要先保留真數為正的條件；第 14 題用題目給的近似值算出的年數不是整數，要無條件進位。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、多選題 4 題（每題 8 分，共 32 分；答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，答錯多於 2 個選項或未作答得 0 分）、填充與混合題 7 題（第 10～14 題填充每題 6 分，混合題組第 15 題單選 2 分、第 16 題計算 6 分，共 38 分）。題號照原卷 1～16。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（每題 6 分，共 30 分。）說明：第 1～5 題為單選題，請將答案劃記在答案卡上，每題 6 分。

試比較下列各數的大小：

a = \frac{1}{3}

，

b = 3^{- 2}

，

c = 6 \frac{1}{9}

，

d = 3^{0.2}

(A) $d > c > a > b$
(B) $a > d > b > c$
(C) $a > b > c > d$
(D) $c > a > d > b$
(E) $b > d > c > a$

試求

(lo g_{4} 5 + lo g_{2} 125) (lo g_{25} 8 - lo g_{5} \frac{1}{4})

的值＝

(A) $\frac{1}{7}$
(B) $\frac{1}{4}$
(C) $1$
(D) $4$
(E) $7$

附圖為

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

，

y = lo g_{a} x

，

y = lo g_{b} x

，

y = lo g_{c} x

四個函數的圖形，則下列何者正確？（圖中

y = lo g_{a} x

、

y = lo g_{c} x

為實線，

y = lo g_{b} x

、

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

為虛線）

(A) $a > b > 1 > c$
(B) $b > a > c > \frac{1}{2}$
(C) $a > b > \frac{1}{2} > c$
(D) $b > a > \frac{1}{2} > c$
(E) $a > b > c > \frac{1}{2}$

載入中...

設正實數

b

滿足

(lo g 100) (lo g b) + lo g 100 + lo g b = 7

。下列何者正確。

(A) $1 \leq b \leq 10$
(B) $10 \leq b \leq 10$
(C) $10 \leq b \leq 1010$
(D) $1010 \leq b \leq 100$
(E) $100 \leq b \leq 10010$

坐標平面上，直線

x = 2

分別交函數

y = lo g_{10} x

、

y = lo g_{2} x

的圖形於

P

、

Q

兩點；直線

x = 10

分別交函數

y = lo g_{10} x

、

y = lo g_{2} x

的圖形於

R

、

S

兩點。試問四邊形

P QS R

的面積最接近下列哪一個選項？（

lo g_{10} 2 \approx 0.3010

）

(A) $10$
(B) $11$
(C) $12$
(D) $13$
(E) $14$

二、多選題（每題 8 分，共 32 分。）說明：第 6～9 題為多選題，請將答案劃記在答案卡上。所有選項均正確得 8 分；答錯一個選項得 5 分；答錯兩個選項得 2 分。答錯多於 2 個選項或未作答，該題以 0 分計算。

設

f (x) = a^{x}

，

g (x) = a^{- x}

中

a > 1

，下列何者正確？

(A) $f (2024) \cdot g (2025) = \frac{1}{a}$
(B) $y = f (x)$ 與 $y = g (x)$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(C) $f (x) \cdot g (x) = 1$
(D) $y = f (x)$ 與 $y = g (x)$ 的圖形僅交於一點
(E) $f (x) + g (x)$ 之值恆不小於 $2$

下列有關對數的選項哪些正確？

(A) $lo g_{1} 1 = 1$
(B) $lo g 5 + lo g 2 = 1$
(C) $\frac{lo g _{3} 5}{lo g _{3} 6} = \frac{lo g _{4} 5}{lo g _{4} 6}$
(D) 當 $x y \neq = 0$ ， $lo g_{3} (x^{2} y^{2}) = 2 lo g_{3} x y$
(E) $lo g_{2} x \cdot lo g_{3} y \cdot lo g_{π} z = lo g_{2} y \cdot lo g_{3} z \cdot lo g_{π} x$ （ $π$ 表圓周率， $x > 0$ ， $y > 0$ ， $z > 0$ ）

同一坐標平面上，下列敘述何者正確？

(A) $y = lo g_{3} x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 兩圖形恰一個交點
(B) $y = lo g_{2} x$ 與 $y = x$ 兩圖形不相交
(C) $y = lo g x$ 與 $y = lo g (- x)$ 兩圖形對稱 $y$ 軸
(D) $y = lo g_{2} x$ 與 $y = \frac{1}{2} x$ 兩圖形恰一個交點
(E) $y = lo g_{3} x$ 與 $y = 3^{x}$ 兩圖形對稱於直線 $x - y = 0$

某遊戲中，將攻擊力

(y)

與生命值

(x)

設成函數關係：

y = a \cdot lo g_{3} (x + b)

且

a

，

b \neq = 0

，其函數圖形如附圖，關於此遊戲的敘述何者為真？（圖形通過

(0, 0)

與

(2, 4)

）

(A) $a > 0$
(B) $b > 0$
(C) $a \cdot b > 0$
(D) 當攻擊力要超過 $20$ 時，生命值至少要為 $245$
(E) $x_{1} < x_{2}$ ，當生命值為 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 時，攻擊力分別為 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ ，則生命值 $\frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ 時的攻擊力小於 $\frac{y _{1} + y _{2}}{2}$

載入中...

三、填充與混合題（填充題每題 6 分，混合題組單選題 2 分、計算題 6 分，共 38 分。）說明：第 10～14 題為填充題，混合題選擇題為單選題，另一題為計算題，計算題須詳列過程。請將答案填寫在答案卡上相對應的位置。填充題答案應化至最簡形式，配分如前述，答錯不倒扣。

指數方程式

2^{1 - 2 x^{2}} = (0.5)^{x^{2} - 2 x + 2}

之實根為 ____。

依臺灣法規，食品中碘

131

的安全容許量需低於

100

貝克／公斤。已知某食材中，碘

131

含量為

3200

貝克／公斤，若碘

131

半衰期為

8

天，至少要超過 ____ 天碘含量才在安全容許量內。

lo g \frac{25}{9} - lo g \frac{7}{4} + 2 lo g 3 + \frac{1}{2} lo g 49 =

____。

滿足

lo g_{2} (x - 2) + lo g_{2} (x - 5) < 2

之

x

解為 ____。

將本金

10

萬元存入銀行，年利率為

2.4%

，採複利計，請問 ____ 年後本利和會到達

20

萬元？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

）

※混合題組（第 15～16 題）　小定在網路上看到一則英國麥田圈的新聞，此麥田圈的圖案最外圍是一個正方形

Q_{1}

，內切一個圓形，再內接一個正方形

Q_{2}

，再內切一個圓形，再內接一個正方形

Q_{3}

，再內切一個圓形，……依此類推。（示意圖如下圖）

請問

Q_{2}

的邊長是

Q_{1}

邊長的幾倍？（單選題 2 分）

(A) $\frac{1}{2}$ 倍
(B) $\frac{1}{3}$ 倍
(C) $\frac{1}{2}$ 倍
(D) $\frac{1}{3}$ 倍
(E) $\frac{1}{4}$ 倍

載入中...

當

n

最小為多少時，

Q_{n}

的邊長會小於

Q_{1}

邊長的

\frac{1}{10}

？計算題（需列出計算過程）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(C)

第 6 題(A)(C)(D)(E)

第 7 題(B)(C)(E)

第 8 題(A)(B)(C)(E)

第 9 題(A)(B)(C)

第 10 題

1

或

- 3

第 11 題

40

第 12 題

2

第 13 題

5 < x < 6

第 14 題

31

第 15 題(A)

第 16 題

n = 8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：化成同底數比大小、換底公式

第 1 題答案 (A)。全部化成以

3

為底：

a = \frac{1}{3 ^{\frac{1}{2}}} = 3^{- \frac{1}{2}}

，

b = 3^{- 2}

，

c = (3^{- 2})^{\frac{1}{6}} = 3^{- \frac{1}{3}}

，

d = 3^{0.2} = 3^{\frac{1}{5}}

。底數

3 > 1

，指數愈大值愈大。指數的大小是

\frac{1}{5} > - \frac{1}{3} > - \frac{1}{2} > - 2

，所以

d > c > a > b

。

c

的根號裡是

\frac{1}{9} = 3^{- 2}

，開

6

次方根就是指數乘以

\frac{1}{6}

。

第 2 題答案 (E)。第一個括號換成以

2

為底：

lo g_{4} 5 = \frac{lo g _{2} 5}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 5

，

lo g_{2} 125 = lo g_{2} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g_{2} 5

，相加得

2 lo g_{2} 5

。第二個括號換成以

5

為底：

lo g_{25} 8 = \frac{lo g _{5} 8}{lo g _{5} 25} = \frac{3 lo g _{5} 2}{2}

，

- lo g_{5} \frac{1}{4} = lo g_{5} 4 = 2 lo g_{5} 2

，相加得

\frac{7}{2} lo g_{5} 2

。相乘：

2 lo g_{2} 5 \times \frac{7}{2} lo g_{5} 2 = 7 \times (lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2) = 7

。

lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = \frac{lo g 5}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 5} = 1

。

02單選第 3～5 題：由圖形比較底數、常用對數、圖形圍成的面積

第 3 題答案 (B)。在

x > 1

的地方看：遞增的兩條是

y = lo g_{a} x

、

y = lo g_{b} x

，所以

a > 1

、

b > 1

。取同一個

x > 1

（例如

x = a

），

lo g_{a} a = 1

，而

y = lo g_{b} x

在

y = lo g_{a} x

下方，所以

lo g_{b} a < 1 = lo g_{b} b

；

b > 1

時

lo g_{b} x

遞增，得

a < b

。遞減的兩條是

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

與

y = lo g_{c} x

，所以

0 < c < 1

。取

x = 2

：

lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1

，

y = lo g_{c} x

在它下方，所以

lo g_{c} 2 < - 1 = lo g_{c} \frac{1}{c}

；

0 < c < 1

時

lo g_{c} x

遞減，得

2 > \frac{1}{c}

，即

c > \frac{1}{2}

。合起來

b > a > 1 > c > \frac{1}{2}

，也就是

b > a > c > \frac{1}{2}

。

底數大於

1

時，底數愈接近

1

，圖形在

x > 1

這邊升得愈快；底數小於

1

時也一樣，愈接近

1

降得愈快。所以兩條實線的底數都比同側的虛線更接近

1

。

第 4 題答案 (D)。

lo g 100 = 2

，代入得

2 lo g b + 2 + lo g b = 7

，

3 lo g b = 5

，

lo g b = \frac{5}{3}

。選項的端點取對數分別是

0

、

\frac{1}{2}

、

1

、

\frac{3}{2}

、

2

、

\frac{5}{2}

（例如

lo g 1010 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

）。

\frac{3}{2} \leq \frac{5}{3} \leq 2

，

lo g x

遞增，所以

1010 \leq b \leq 100

。

第 5 題答案 (C)。四點坐標：

P (2, lo g 2)

，

Q (2, lo g_{2} 2) = (2, 1)

，

R (10, lo g 10) = (10, 1)

，

S (10, lo g_{2} 10)

。

lo g_{2} 10 = \frac{lo g 10}{lo g 2} = \frac{1}{lo g 2}

。四邊形

P QS R

的兩邊

\overline{P Q}

、

\overline{R S}

都是鉛直線段，是梯形，高為

10 - 2 = 8

。

\overline{P Q} = 1 - lo g 2

，

\overline{R S} = \frac{1}{lo g 2} - 1

。面積

= \frac{P Q + R S}{2} \times 8 = 4 (\frac{1}{lo g 2} - lo g 2) \approx 4 \times (3.3223 - 0.3010) \approx 12.09

，最接近

12

。

\frac{1}{0.3010} \approx 3.3223

。

比較對數函數的底數，取一個好算的

x

（例如讓某一條的值等於

1

或

- 1

），再看其他曲線在它的上方或下方。

03多選第 6、7 題：指數函數的性質、對數的基本性質

第 6 題答案 (A)(C)(D)(E)。(A) 正確。

f (2024) \cdot g (2025) = a^{2024} \cdot a^{- 2025} = a^{- 1} = \frac{1}{a}

。(B) 錯誤。

g (x) = a^{- x} = f (- x)

，把

x

換成

- x

是對

y

軸鏡射，兩圖形對稱於

y

軸；兩圖形都在

x

軸上方，不可能對稱於

x

軸。(C) 正確。

a^{x} \cdot a^{- x} = a^{0} = 1

。(D) 正確。

a^{x} = a^{- x}

，底數

a > 1

，指數要相等：

x = - x

，

x = 0

，只交於

(0, 1)

一點。(E) 正確。

a^{x} + a^{- x} - 2 = (a^{\frac{x}{2}})^{2} - 2 a^{\frac{x}{2}} a^{- \frac{x}{2}} + (a^{- \frac{x}{2}})^{2} = (a^{\frac{x}{2}} - a^{- \frac{x}{2}})^{2} \geq 0

，所以

f (x) + g (x) \geq 2

，

x = 0

時等號成立。

(E) 也可以用算幾不等式：

a^{x}

、

a^{- x}

都是正數，乘積是

1

，和至少是

21 = 2

。

第 7 題答案 (B)(C)(E)。(A) 錯誤。對數的底數不可以是

1

，

lo g_{1} 1

沒有意義。(B) 正確。

lo g 5 + lo g 2 = lo g 10 = 1

。(C) 正確。由換底公式，左邊

= lo g_{6} 5

，右邊也

= lo g_{6} 5

。(D) 錯誤。

x y \neq = 0

只能確定

x^{2} y^{2} > 0

，左邊有意義；但若

x y < 0

（例如

x = 1

、

y = - 1

），右邊的

lo g_{3} x y = lo g_{3} (- 1)

沒有意義，等式不成立。正確的寫法是

lo g_{3} (x^{2} y^{2}) = 2 lo g_{3} ∣ x y ∣

。(E) 正確。全部換成常用對數：左邊

= \frac{lo g x}{lo g 2} \cdot \frac{lo g y}{lo g 3} \cdot \frac{lo g z}{lo g π}

，右邊

= \frac{lo g y}{lo g 2} \cdot \frac{lo g z}{lo g 3} \cdot \frac{lo g x}{lo g π}

，分子都是

lo g x \cdot lo g y \cdot lo g z

，分母都是

lo g 2 \cdot lo g 3 \cdot lo g π

，兩邊相等。

(D) 只有在

x y > 0

時才成立。

04多選第 8、9 題：對數函數圖形的交點與對稱、由圖定出函數

第 8 題答案 (A)(B)(C)(E)。(A) 正確。

lo g_{\frac{1}{3}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{3}} = - lo g_{3} x

，兩式相等時

lo g_{3} x = - lo g_{3} x

，

lo g_{3} x = 0

，

x = 1

，只交於

(1, 0)

。(B) 正確。

x \leq 1

時

lo g_{2} x \leq 0

，而

x > 0

，圖形不相交。

x > 1

時，設

k < x \leq k + 1

（

k

為正整數），則

2^{x} > 2^{k} \geq k + 1 \geq x

（

2^{1} = 2

、

2^{2} = 4

、

2^{3} = 8

、……每次加倍，至少比

k + 1

大或相等），取對數得

x > lo g_{2} x

，也不相交。(C) 正確。把

y = lo g x

的

x

換成

- x

就得到

y = lo g (- x)

，兩圖形對稱於

y

軸。(D) 錯誤。

x = 2

時

lo g_{2} 2 = 1 = \frac{1}{2} \times 2

，

x = 4

時

lo g_{2} 4 = 2 = \frac{1}{2} \times 4

，兩圖形至少有

(2, 1)

、

(4, 2)

兩個交點。(E) 正確。

y = lo g_{3} x

就是

x = 3^{y}

，與

y = 3^{x}

互換

x

、

y

，兩圖形對稱於直線

y = x

，即

x - y = 0

。

(B) 的意思就是

y = lo g_{2} x

的圖形整個在直線

y = x

的下方；把它對

y = x

鏡射，就是

y = 2^{x}

的圖形整個在

y = x

的上方。

第 9 題答案 (A)(B)(C)。圖形通過

(0, 0)

：

0 = a lo g_{3} b

，

a \neq = 0

，所以

lo g_{3} b = 0

，

b = 1

。通過

(2, 4)

：

4 = a lo g_{3} (2 + 1) = a

，所以

a = 4

，函數是

y = 4 lo g_{3} (x + 1)

。(A) 正確。

a = 4 > 0

。(B) 正確。

b = 1 > 0

。(C) 正確。

ab = 4 > 0

。(D) 錯誤。

4 lo g_{3} (x + 1) > 20

，

lo g_{3} (x + 1) > 5

，底數

3 > 1

，

x + 1 > 3^{5} = 243

，

x > 242

。生命值超過

242

（例如

243

）攻擊力就超過

20

，不必到

245

。(E) 錯誤。令

u = x_{1} + 1

、

v = x_{2} + 1

，

0 < u < v

。

\frac{y _{1} + y _{2}}{2} = 2 (lo g_{3} u + lo g_{3} v) = 4 lo g_{3} uv

，生命值

\frac{x _{1} + x _{2}}{2}

的攻擊力是

4 lo g_{3} \frac{u + v}{2}

。因為

\frac{u + v}{2} - uv = \frac{( v - u ) ^{2}}{2} > 0

，底數

3 > 1

，所以中點的攻擊力大於

\frac{y _{1} + y _{2}}{2}

，不是小於。

(E) 從圖上看：對數函數的圖形凹口向下，兩點連線的中點落在圖形的下方。

由圖上的點決定係數時，先用通過原點這種好用的點，把一個未知數消掉。

05填充第 10～12 題：指數方程式、半衰期、對數律

第 10 題

0.5 = 2^{- 1}

，右邊

= 2^{- (x^{2} - 2 x + 2)}

。底數相同，指數相等：

1 - 2 x^{2} = - x^{2} + 2 x - 2

，移項得

x^{2} + 2 x - 3 = 0

，

(x + 3) (x - 1) = 0

，

x = 1

或

x = - 3

。

驗算：

x = 1

時左邊

2^{- 1}

，右邊

(0.5)^{1}

；

x = - 3

時左邊

2^{- 17}

，右邊

(0.5)^{17}

，都相等。

第 11 題經過

t

天後，含量為

3200 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{8}}

貝克／公斤。要低於

100

：

(\frac{1}{2})^{\frac{t}{8}} < \frac{100}{3200} = \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^{5}

。底數

\frac{1}{2} < 1

，指數要比較大：

\frac{t}{8} > 5

，

t > 40

。所以至少要超過

40

天。

每

8

天減半：

3200 \to 1600 \to 800 \to 400 \to 200 \to 100

，經過

5

次半衰期（

40

天）剛好是

100

，題目要「低於」，所以要超過

40

天。

第 12 題用對數律把係數移到真數的指數：

2 lo g 3 = lo g 9

，

\frac{1}{2} lo g 49 = lo g 7

。原式

= lo g (\frac{25}{9} \times \frac{4}{7} \times 9 \times 7) = lo g 100 = 2

。

06填充第 13、14 題：對數不等式、複利

第 13 題先要真數為正：

x - 2 > 0

且

x - 5 > 0

，得

x > 5

。在這個範圍內合併：

lo g_{2} (x - 2) (x - 5) < 2 = lo g_{2} 4

，底數

2 > 1

，

(x - 2) (x - 5) < 4

，

x^{2} - 7 x + 6 < 0

，

(x - 1) (x - 6) < 0

，

1 < x < 6

。與

x > 5

取交集：

5 < x < 6

。

若忘了先要求

x > 5

，會誤答

1 < x < 6

；例如

x = 3

時

lo g_{2} (3 - 5)

沒有意義。

第 14 題

n

年後本利和為

10 \times (1.024)^{n}

萬元。要到達

20

萬元：

(1.024)^{n} \geq 2

。題目只給

lo g 2

，把

1.024

寫成

\frac{1024}{1000} = \frac{2 ^{10}}{1 0 ^{3}}

：

lo g 1.024 = 10 lo g 2 - 3 \approx 10 \times 0.3010 - 3 = 0.010

。取常用對數：

n lo g 1.024 \geq lo g 2

，

n \geq \frac{0.3010}{0.010} = 30.1

。

n

取整數，所以要

31

年。

這題的答案對

lo g 2

的位數很敏感：用更精確的

lo g 2 \approx 0.30103

，

lo g 1.024 \approx 0.0103

，算出

n \geq 29.2

，只要

30

年。本題依題目給的

lo g 2 \approx 0.3010

計算。

對數不等式：先寫真數為正的條件，再合併、去對數，最後取交集。

07混合題組第 15、16 題：一層層縮小的正方形

第 15 題答案 (A)。設

Q_{1}

的邊長為

s

。內切圓的直徑等於正方形的邊長

s

。

Q_{2}

內接於這個圓，它的對角線就是圓的直徑

s

，正方形邊長是對角線的

\frac{1}{2}

，所以

Q_{2}

的邊長是

\frac{s}{2}

，為

Q_{1}

邊長的

\frac{1}{2}

倍。

第 16 題由第 15 題，每往內一層，邊長變成前一層的

\frac{1}{2}

倍，所以

Q_{n}

的邊長是

Q_{1}

邊長的

(\frac{1}{2})^{n - 1}

倍。要

(\frac{1}{2})^{n - 1} < \frac{1}{10}

，即

(2)^{n - 1} > 10

，兩邊平方得

2^{n - 1} > 100

。

2^{6} = 64 < 100

，

2^{7} = 128 > 100

，而

2^{n - 1}

隨

n

遞增，所以

n - 1 \geq 7

，

n \geq 8

。

n

最小為

8

。

檢查：

Q_{7}

的邊長是

Q_{1}

的

(\frac{1}{2})^{6} = \frac{1}{8}

倍，還大於

\frac{1}{10}

；

Q_{8}

是

\frac{1}{8 2} \approx \frac{1}{11.3}

倍，才小於

\frac{1}{10}

。也可以取對數：

\frac{n - 1}{2} lo g 2 > 1

，

n - 1 > \frac{2}{0.3010} \approx 6.64

，同樣得

n = 8

。

每次乘上固定倍數的量，第

n

項是首項乘以倍數的

n - 1

次方；要它小於某個數，就解指數不等式。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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基隆高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要分清楚同在 x 軸上方的兩條曲線哪一條底數大，底數愈接近一的圖形愈陡；第 7 題 x 與 y 的乘積可能是負數，那時右邊的對數沒有意義；第 9 題由圖上兩點定出係數後，生命值的門檻要仔細比較；第 13 題合併對數之前要先保留真數為正的條件；第 14 題用題目給的近似值算出的年數不是整數，要無條件進位。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1、2 題：化成同底數比大小、換底公式

02單選第 3～5 題：由圖形比較底數、常用對數、圖形圍成的面積

03多選第 6、7 題：指數函數的性質、對數的基本性質

04多選第 8、9 題：對數函數圖形的交點與對稱、由圖定出函數

05填充第 10～12 題：指數方程式、半衰期、對數律

06填充第 13、14 題：對數不等式、複利

07混合題組第 15、16 題：一層層縮小的正方形

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基隆高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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