基隆高中 114 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)。先找四邊形內的一點來測試：四條直線兩兩相交，四邊形的頂點是 $(3,4)$、$(-2,1)$、$(-1,-3)$、$(2,-2)$，原點 $(0,0)$ 在四邊形內（圖上也看得出陰影蓋住原點），而且不在任何一條線上。把 $(0,0)$ 代入：

$3x-5y+11=11>0$，取 $\ge 0$；

$6x-y-14=-14<0$，取 $\le 0$；

$x-3y=0<8$，取 $\le 8$；

$4x+y=0>-7$，取 $\ge -7$。

四個方向都和 (A) 相同。

答案 (E)。令 $f(x,y)=4x+3y+6$，兩點在直線同側等於 $f(A)$、$f(B)$ 同號：$f(A)=8-3t+6=14-3t$，$f(B)=4t+12+6=4t+18$。要 $(14-3t)(4t+18)>0$，解得 $-\frac{9}{2}<t<\frac{14}{3}$。

$\frac{14}{3}\approx 4.67$，選項中 $-3.2$、$-1$、$0$、$4.6$ 都在範圍內，只有 $5$ 不在：$t=5$ 時 $f(A)=-1$、$f(B)=38$ 異號，兩點在異側。

直線 $AB$ 的斜率 $\frac{-3-(-1)}{3-2}=-2$，方程式 $y+1=-2(x-2)$，即 $y=-2x+3$。$C(a,a^2)$ 在這條線上：$a^2=-2a+3$，$a^2+2a-3=0$，$(a+3)(a-1)=0$，$a=-3$ 或 $a=1$。

(A) 正確。 $a=-3$ 時 $C(-3,9)$，$9=-2\times (-3)+3$。

(B) 錯誤。 $a=-1$ 時 $C(-1,1)$，$-2\times (-1)+3=5\ne 1$。

(C) 錯誤。 $a=0$ 時 $C(0,0)$，$3\ne 0$。

(D) 錯誤。 $a=0.5$ 時 $C(0.5,0.25)$，$-2\times 0.5+3=2\ne 0.25$。

(E) 正確。 $a=1$ 時 $C(1,1)$，$-2\times 1+3=1$。

(A) 正確。 圓心 $(-1,1)$、半徑 $\sqrt{5}$，標準式為 $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=5$。

(B) 正確。 半徑的平方是圓心到 $P$ 的距離平方：$(2+1{)}^2+(1-2{)}^2=10$，圓為 $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=10$，展開得 $x^2+y^2+2x-4y+5-10=0$，即 $x^2+y^2+2x-4y-5=0$。

(C) 錯誤。 配方：$(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=-5+4+1=0$，圖形只有一點 $(-2,1)$，不是圓。

(D) 正確。 與兩軸都相切又過第一象限的點 $P(1,2)$，圓心在第一象限且到兩軸距離都等於半徑 $r$，可設為 $(x-r{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$。代入 $P$：$(1-r{)}^2+(2-r{)}^2=r^2$，$r^2-6r+5=0$，$r=1$ 或 $5$。$r=1$ 時為 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$，展開得 $x^2+y^2-2x-2y+1=0$。

(E) 正確。 同上，$r=5$ 時為 $(x-5{)}^2+(y-5{)}^2=25$，展開得 $x^2+y^2-10x-10y+25=0$。

圓的方程式中 $x^2$ 與 $y^2$ 的係數必須相同，所以 $a=1$。這時配方得 $(x+b{)}^2+(y+c{)}^2=b^2+c^2-d^2$，要表示一個圓，右邊必須大於 $0$，即 $b^2+c^2>d^2$。

(A) 錯誤。 $d$ 可以是 $0$ 或負數。例如 $b=2$、$c=0$、$d=-1$：$x^2+y^2+4x+1=0$，即 $(x+2{)}^2+y^2=3$，是圓，但 $d<0$。

(B) 錯誤。 例如 $b=1$、$c=0$、$d=0$：$x^2+y^2+2x=0$，即 $(x+1{)}^2+y^2=1$，是圓，但 $b>0$。

(C) 正確。 理由如上。

(D) 正確。 半徑平方 $b^2+c^2-d^2$ 要大於 $0$。

(E) 錯誤。 與 (D) 相反；$b^2+c^2<d^2$ 時右邊為負，沒有圖形。

反射時入射角等於反射角，所以把點對反射的邊作對稱，反射後的路徑就會拉成直線。

$M(1,1)$ 對 $\overline{BC}$（直線 $y=4$）的對稱點是 $M^{\prime }(1,7)$，母球從 $M$ 到 $P$ 再到 $Q$，等於從 $M^{\prime }$ 直直走到 $Q$，所以 $M^{\prime }$、$P$、$Q$ 共線。

$N(3,2)$ 對 $\overline{OA}$（直線 $y=0$）的對稱點是 $N^{\prime }(3,-2)$，從 $P$ 到 $Q$ 再到 $N$，等於從 $P$ 直直走到 $N^{\prime }$，所以 $P$、$Q$、$N^{\prime }$ 共線。

因此 $\overleftrightarrow{PQ}$ 就是直線 $M^{\prime }{N}^{\prime }$：斜率 $\frac{-2-7}{3-1}=-\frac{9}{2}$，方程式 $y-7=-\frac{9}{2}(x-1)$，整理得 $9x+2y-23=0$。$a+b+c=9+2-23=-12$。

$\sqrt{a^2+b^2}$ 就是 $P$ 到原點 $O$ 的距離 $\overline{OP}$。圓心 $K(1,2)$、半徑 $\sqrt{6}$，$\overline{OK}=\sqrt{5}<\sqrt{6}$，原點在圓內。

圓上離 $O$ 最近與最遠的點都在直線 $OK$ 上：最近 $\sqrt{6}-\sqrt{5}\approx 0.21$，最遠 $\sqrt{6}+\sqrt{5}\approx 4.69$。$P$ 從最近點沿圓走到最遠點，左右兩個半邊各走一次，$\overline{OP}$ 都會連續地從最小值變到最大值，所以介於兩者之間的每一個距離，圓上恰有 $2$ 個點。

介於 $0.21$ 與 $4.69$ 之間的正整數是 $1,2,3,4$，每個各對應 $2$ 個點，共 $8$ 個點。

學校答案印 (E)，本站算得最近距離為 $\sqrt{13}$（約 $3.61$），五個選項都不精確，最接近 (D)。

把路徑看成整條直線 $2x+3y-16=0$，點 $(4,7)$ 到它的距離：

$$\frac{|2\times 4+3\times 7-16|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}\approx 3.61$$

$\sqrt{13}$ 不是選項中的任何一個數，最接近的是 (D) $3.5$，而不是 (E) $4$。

先求交點：由 $x+y=3$ 得 $y=3-x$，代入圓：$(x-1{)}^2+(2-x{)}^2=1$，$2x^2-6x+4=0$，$x^2-3x+2=0$，$x=1$ 或 $2$。兩交點為 $(1,2)$、$(2,1)$。

以 $\overline{AB}$ 為直徑的圓：圓心是中點 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$，半徑平方是 ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$。

${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$，展開得 $x^2+y^2-3x-3y+4=0$，所以 $d=-3$。

圓 $C:(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$，圓心 $(1,1)$，半徑 $1$。

(A) 錯誤。 $(2-1{)}^2+(8-1{)}^2=50\ne 1$，光源不在圓上（在圓外），這個敘述錯，要選。

(B) 正確。 半徑為 $\sqrt{1}=1$。

(C) 正確。 圓心為 $(1,1)$。

(D) 錯誤。 距離為 $\sqrt{(2-1{)}^2+(8-1{)}^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，不是 $5$，這個敘述錯，要選。

題目問「何者錯誤」，所以答 (A)(D)。

影子的兩端是從光源 $(2,8)$ 對圓所作的兩條切線與 $x$ 軸的交點。

先看鉛直線 $x=2$：它過 $(2,8)$，圓心 $(1,1)$ 到它的距離是 $|2-1|=1$，等於半徑，所以 $x=2$ 是一條切線，與 $x$ 軸交於 $(2,0)$。

其他切線設斜率 $m$：$y-8=m(x-2)$，即 $mx-y+8-2m=0$。圓心到切線的距離等於半徑：

$$\frac{|m-1+8-2m|}{\sqrt{m^2+1}}=1\Rightarrow |7-m|=\sqrt{m^2+1}$$

平方：$49-14m+m^2=m^2+1$，$m=\frac{48}{14}=\frac{24}{7}$。只得到一個斜率，另一條切線就是上面的鉛直線。

切線 $y-8=\frac{24}{7}(x-2)$，令 $y=0$：$x-2=-8\times \frac{7}{24}=-\frac{7}{3}$，$x=-\frac{1}{3}$。

影子從 $x=-\frac{1}{3}$ 到 $x=2$，影長 $2-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{3}$。